Facultad de Ciencias de la Ingeniería PROBLEMA 1
Un globo de aire caliente que se eleva verticalmente desde el suelo es rastreado por un observador situado a 500 metros del punto de despegue. En el instante en que el ángulo de elevación del observador al globo
4
, este ángulo crece a razón de 0,14 radianes por minuto. ¿Con qué velocidad se
está elevando el globo en ese instante?. Solución:
Si llamamos x a la altura del globo y al ángulo de elevación del observador, se puede apreciar que estos varían o son funciones del tiempo. Además se sabe que d dt
0,14 rad
cuando
min
4
, y se quiere saber a cuanto equivale ,
haciendo
uso
trigonométricas se tiene que
de x 500
las
dx dt
razones
tan derivando
implícitamente con respecto al tiempo obtenemos: dx dt
500sec 2
d dt
Finalmente reemplazando se tiene que
500 se sec2 0,14 50 500 dt 4
dx
la velocidad con la cual se está elevando el globo es de 140 m
min
2
2
0,14 14 140
.
PROBLEMA 2
El ángulo de elevación del sol disminuye a una velocidad de 0, 25 radianes por hora. ¿Qué tan rápido aumenta la sombra de un edificio de 400 pies de alto en el momento en que el sol tiene un ángulo de elevación de
6
radianes?
Solución:
Colocándole nombre a la variables se tiene que h : Altura del edificio x : Largo de la sombra : Ángulo de elevación elevación del del sol Identificando que cambia con el tiempo y que permanece constante se tiene lo siguiente: h : Permanece x : Cambia
: Cambia
constante
con el tiempo x t con el tiempo x
Datos conocidos del problema
d dt
rad d hr , h 400 pies y 0. 25 25 ra
6
radianes
h
Ecuación que relaciona las variables tan , derivando implícitamente con respecto al tiempo y x
despejando la razón de cambio solicitada se tiene que: tan
h
d
x
dt
sec2
d dt
h
1 dx x
2
dt
dx dt
x2 sec2
d dt
h
De donde se observa que no conocemos el valor de x , sin embargo es calculable fácilmente, ya que , 400 400 tan x 400 3 pies , finalmente calculamos la razón de cambio solicitada 1 x 6 3 dx dt
400 3
2
2
2 0.25 4002 22 0.25 3 400 pies / hora .
400
400
Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile
Facultad de Ciencias de la Ingeniería PROBLEMA 3
En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es de aproximadamente tres veces la altura.¿ A qué ritmo cambia la altura del montón cuando ésta es de 15 pies. Solución:
Diagrama del problema Se sabe que el Volumen V , el diámetro D y por ende el radio r varían con el tiempo, es decir son funciones de tiempo, además conocemos que D 2r y por datos del 3 problema D 3h , por lo tanto r h del mismo modo se 2 sabe qué
dV dt
10
pies 3
y se nos pide calcular
min
dh dt
en el
instante en que la altura mide 15 pies . Luego debemos encontrar una ecuación que relacione las variables, en este 1 caso corresponde al volumen del cono V r 2 h pero 3 2 1 3 3 reemplazando se obtiene que V h h V h 3 , derivando esta última expresión con respecto 3 2 4 al tiempo y despejando la razón de cambio solicitada se tiene: dV
4 3 dh dh dt 3h2 dt 4 dt dt 9 h2
dV
Finalmente evaluando se tiene: dh 40 40 8 pies min dt 9 225 dt 2225 405 8 pies Es decir la altura está aumentando a razón de . min 405 dh
PROBLEMA 4 3
De un estanque cónico invertido escapa agua a razón de 1 dm por minuto y al mismo tiempo entra agua al estanque a una razón constante K . El estanque tiene 60 dm de altura y 40 dm de diámetro en la parte superior. Si el nivel del agua se eleva a una velocidad de 2 dm por minuto. Calcule la velocidad ( K ) con la que entra el agua al estanque en el instante en que el nivel de agua es de 2 dm. Solución:
El volumen de aguas en el cono está dado por V
1 3
r
2
h , se
sabe que el radio, la altura y el volumen (nivel de agua) son funciones del tiempo ya que el nivel de agua está aumentado dh 0 , sin embargo no conocemos la variación del radio con dt
respecto al tiempo por lo cual conviene dejar expresado el volumen en función del radio (o determinar la razón de cambio del radio), luego Por lo tanto el volumen en función de h está dado por V
r h
20 60
1
r h. 3
2
1 1 h h h3 . Por otro lado la 3 3 27
1
razón de cambio del volumen corresponde a la diferencia entre el volumen que entra “ K ” y el 3
volumen que sale 1 dm por minuto ,es decir,
dV dt
K 1
dm3 min
. Así derivando con respecto al
tiempo obtenemos: V
1 27
h
3
d dt
dV dt
1 27
3h2
dh dt
dV dt
1 9
h
2
dh dt
Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
y evaluando nos queda K 1
1
9
2 2 K 2
8 9
1
8 9 dm3
la que entra el agua al estanque es de
9
min
K
8 9 dm3 9
. Luego la velocidad ( K ) con
min
.
PROBLEMA 5
Un volantín se mantiene a una altura de 60 metros y se mueve horizontalmente a razón de 6 metros por segundo. En el instante en que se han soltado 120 mts de cuerda. Determine a) La velocidad a la que se está soltando la cuerda. Solución:
Se sabe que la distancia y y la longitud x varían con el tiempo mientras que la altura a la que vuela el volantín permanece constante 60 m , además conocemos como varia la longitud x ya que
dx dt
6
m s
y se nos pide calcular
calcular la velocidad con la que se está soltando cuerda, es decir
dy dt
. Para
ello utilizaremos el Teorema de Pitágoras sobre la relación x 2 602 y 2 , derivando con respecto al tiempo obtenemos 2 x
dx dt
2y
dy
dt
dy
x
dt
dx
dt y
, sin
embargo no conocemos el valor de x por lo cual debemos calcularlo: x2 602 y 2 x 2 3600 14400 x 2 10800 x 3600 3 x 60 3 ( ya que x es longitud ) m 60 3 6 dy 3 3 . Por lo tanto la velocidad a la cual se dt dt s 120 está soltando cuerda es de 3 3 metros por segundo. b) La razón con que cambia el ángulo entre el cordel y el suelo.
Finalmente evaluando obtenemos que
dy
Solución:
Se sabe que la distancia y , la longitud x y el ángulo varían con el tiempo mientras que la altura a la que vuela el volantín permanece constante
60 m , además conocemos como varia la longitud x ya que
dx dt
6
m s
y del
apartado anterior también sabemos como varía la longitud de la cuerda dy dt
3 3
m s
. Luego debemos encontrar una fórmula que
relacione las
variables en este caso haremos uso de una razón trigonométrica cos derivamos implícitamente con respecto al tiempo y despejamos la razón de cambio pedida se tiene: dx
sen
d dt
dt
y x y
2
dy
x
dy
y
dx
dt d dt dt 2 dt y sen
Como se aprecia se necesitamos el valor del ángulo en ese instante, luego: 60 1 1 sen sen arsen 120 2 6 2 Finalmente reemplazando se tiene que: d
x
dt
Por lo tanto el ángulo
dy dt
y
dx dt
y 2 sen
60 3 3 3 120 6 1202 sen 6
decrece a razón de
1 40
540 720 180 1 rad 7200 7200 40 s
radianes por segundo.
Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile
x y
si
