OPERACIONES UNITARIAS PARA ALIMENTOS TUTORIAL DE PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 13/04/16
1. Se están mezclando 990 kg de sal con 10 kg de carbonato magnésico. magnésico. Después de que el mezclador ha estado funcionando algún tiempo se tomaron 10 muestras, cada una de 200gramos, 200gramos, y se analizó el carbonato magnésico que contenían, resultando los siguientes pesos de carbonato magnésico: 2.30, 1.72, 1.63, 1.73, 2.10, 1.82, 2.32, 2.20, 2.10 y 2.13 gramos. Calcúlese la desviación r.c.m de las composiciones de las muestras respecto a la composición media. 2. En una mezcladora intermitente, en la que se mezcla almidón y legumbres secas pulverizadas para preparar una mezcla a utilizar como sopa, las proporciones iniciales iniciales de legumbres secas a almidón eran de 40: 60. Si la varianza de las composiciones de las muestras medidas en términos de las composiciones fraccionales de almidón resultó ser de 0,0823 después de 5 minutos de mezcla, ¿Cuánto tiempo se debe continuar la mezcla para lograr la varianza de composición de muestra máxima especificada especificada de 0.02? 3. Un ganadero decide elaborar una mezcla para alimento de animales a base de alfalfa, sorgo, avena, maíz, soya y harinolina. De cada 100 kilogramos de mezcla, desea que al menos 30 de ellos sean proteínas, no más de 40 sean de calcio y como máximo 35 kilogramos de fósforo. A continuación se presenta la información de la mezcla y los precios de los ingredientes a combinar: Ingrediente Proteína (%) Calcio (%) Fósforo (%) Precio ($/kg) Alfalfa 25 50 25 7 Sorgo 40 20 40 9 Avena 10 30 60 8 Maíz 65 15 20 20 Soya 40 20 40 5 Harinolina 30 20 50 15 Además, no se pueden usar más de 10 kilogramos de harinolina ni más de 12 kilogramos de soya por cada 100 kilogramos de mezcla. a. Plantear el modelo funcional b. Plantear modelo matemático c. ¿Cuál es la composición de la mezcla?
Planteamiento: X1= Número de Kilogramos de alfalfa. X2= Número de Kilogramos de sorgo. X3= Número de Kilogramos de avena. X4= Número de Kilogramos de maíz. X5= Número de Kilogramos de soya. X6= Número de Kilogramos de harinolina. F.O.: Min z = 7x1 + 9x2 + 8x3 + 20x4 + 5x5 + 15x6 Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 100 0.25x1 + 0.4x2 + 0.1x3 + 0.65x4 + 0.4x5 + 0.3x6 ≥ 30(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) 0.5x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.15x4 + 0.20x5 + 0.20x6 ≤ 40(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)
0.25x1 + 0.4x2 + 0.6x3 + 0.2x4 + 0.4x5 + 0.50x6 ≤ 35(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) x6 ≤ 10(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) x5 ≤ 12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ϵ Z
Explicación de las restricciones:
Se establece la suma de los kilogramos de ingredientes debe ser igual a 100 kilogramos de la mezcla para alimento de animales. Se establece la suma de los porcentajes de proteína de los ingredientes debe ser como mínimo 30 kilogramos de la mezcla. Se establece la suma de los porcentajes de calcio de los ingredientes debe ser como máximo 40 kilogramos de la mezcla. Se establece la suma de los porcentajes de fósforo de los ingredientes debe ser como máximo 35 kilogramos de la mezcla. Se establece que la harinolina se debe usar como máximo 10 kilogramos. Se establece que la soya se debe usar como máximo 12 kilogramos. Tipo de Planteamiento:
Se trata del tipo planteamiento de Mezclas. - Solución:
x1= 66.6667 x2= 21.3333 x3= 0 x4= 0 x5= 12 x6= 0 z= 718.667 La solución nos quiere decir que se van a utilizar 66.6667 kilogramos de alfalfa, 21.333 kilogramos de sorgo, de avena, de maíz y de harinolina no se van a utilizar nada; y 12 kilogramos de soya, con lo que se establece que la mezcla para alimento de animales va a consistir en su mayoría de alfalfa, también se utiliza sorgo y soya, lo que implica que se cumplan las restricciones y además se van a minimizar los costos en $718.667. 1. Una fábrica produce dos tipos de bolsas de lujo y estándar, se tienen dos dep artamentos, uno de cortado y otro de empaquetado con la siguiente información: Tipo de bolsa Horas Horas Utilidad departamento 1 departamento 2 Estándar 7 2 $50 Lujo 2 12 $100 Horas disponibles 28 24 Planteamiento: x1= Número de bolsas estándar a producir. x2= Número de bolsas de lujo a producir. F.O.: Sujeto a:
Max z = 50x 1 + 100x2 7x1 + 2x2 ≤ 28 2x1 + 12x2 ≤ 24 x1, x2 ≥ 0
x1, x2 ϵ Z Explicación de las restricciones:
Se establece la suma de las horas para cortar las bolas en el departamento de cortado, no deben de superar las 28 horas con las que dispone este departamento. Se establece la suma de las horas para empaquetar las bolsas en el departamento de empaquetado, no deben de superar las 24 horas con las que dispone este departamento. Tipo de Planteamiento:
Se trata del tipo planteamiento de planeación de producción. - Solución:
x1= 3.6 x2= 1.4 z= 320 La solución nos quiere decir que se van a producir 3.6 bolsas estándar y 1.4 bolsas de lujo, con lo cual se establece que las bolsas estándar son las que se van a producir mas, además cumplen con las restricciones y la ganancia máxima va a ser de $320 2. Pedrito es un pequeño fabricante de camisas para caballero y blusas de dama para las
tiendas de descuento Waldos, corporación que aceptará toda la producción surtida por Pedrito, El proceso de producción incluye el corte, la costura, y el empaque. Se ha empleado a 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidad por unidad para las dos prendas: Tiempo de producción (minutos x unidad) Producto Corte Costura Empaque Utilidad unitaria Camisas 20 70 12 $8 Blusas 60 60 4 $12 Plantear el modelo que maximice las ganancias. Planteamiento: X1= Número de camisas a producir. X2= Número de blusas a producir. F.O.: Max z = 8x 1 + 12x2 Sujeto a: 20x1 + 60x2 ≤ 60000 70x1 + 60x2 ≤ 84000 12x1 + 4x2 ≤ 12000 x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ϵ Z Explicación de las restricciones: Se establece la suma de los minutos que se necesitan para cortar los dos productos en el departamento de corte los cuales no deben de sobrepasar el máximo de minutos disponibles del departamento que son 60000 minutos. Se establece la suma de los minutos que se necesitan para coser los dos productos en el departamento de costura los cuales no deben de sobrepasar el máximo de minutos disponibles del departamento que son 84000 minutos. Se establece la suma de los minutos que se necesitan para empaquetar los dos productos en el departamento de empaque los cuales no deben de sobrepasar el máximo de minutos disponibles del departamento que son 12000 minutos. Tipo de Planteamiento:
Se trata del tipo planteamiento de planeación de producción.
- Solución:
x1= 480 x2= 840 z= 13920 La solución nos quiere decir que se van a producir 480 camisas para caballero y 840 blusas para dama, con lo cual se establece que las blusas son las que se van a terminar más rápido por 360 unidades más que las camisas, además se puede observar que estas cantidades cumplen con las tres restricciones que se establecen en el planteamiento, y la ganancia máxima va a ser de $13,920. 15. La granja Oaks utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones: Libra x libra de alimento Proteínas Fibra Costo/libra Maíz 0.09 0.02 0.30 Soya 0.60 0.06 0.90
Los requerimientos mínimos estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho 5% de fibra de toda la mezcla. Planteamiento: x1 = libras de maíz x2 = libras de soya F.O.: Min z = 0.3x1 + 0.9x2 Sujeto a: x1 + x2 >= 800 0.09x1 + 0.6x2 >= 0.3(x1 + x2) 0.02x1 + 0.06x2 <= 0.05(x1 + x2) x1, x2 >= 0 Explicación de restricciones: La primer restricción nos dice que se la granja necesita al menos 800 libras de la mezcla, la segunda restricción nos dice que la mezcla debe tener por lo menos un 30% de proteínas y la tercer restricción dice que cuando mucho, la mezcla debe tener 5% de fibra. Todo esto se debe dar con el menor costo posible, por lo cual la función objetivo se encuentra minimizada. Tipo de planteamiento: Este es un planteamiento de mezclas, ya que se esta mezclando maíz y soya para obtener la mezcla que cumpla con los requisitos necesarios con el menor costo posible. Solución: x1 = 470.588 x2 = 329.412 z = 437.647 Interpretación de resultados:
El resultado dice que por un costo de $437.647 se puede hacer la mezcla que cubra con las restricciones dadas, además se mezclan exactamente 800 libras. El porcentaje de proteínas es de 30% con lo cual cumple con el requerimiento de que la mezcla cuente con al menos 30% de proteínas, además, la mezcla tiene menos del 5% de fibras con lo cual cumple la restricción de contener cuanto mucho 5% de fibras. 24 .- Burger King
Burger King vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas de queso. La de un cuarto de libra utiliza un cuarto de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0.2 libras. El restaurante empieza el día con 200 libras de carne, pero puede ordenar más a un costo adicional de 25 centavos por libra, para cubrir el resto de entrega. Cualquier sobrante se les da a los perros. Las utilidades son 20 centavos de dólares por hamburguesa de un cuarto de libra y 15 centavos por una con queso. No se espera vender más de 900 piezas por día. ¿Cuántas hamburguesas de cada tipo deben preparar?
Planteamiento: X1= Número de hamburguesas de ¼ de libra. X2= Número de hamburguesas de queso. X3= Número de libras de carne extra. F.O.: Max z = 0.20x1 + 0.15x2 - 0.25x3 Sujeto a: x1 + x2 ≤ 900 0.25x1 + 0.2x2 ≤ 200 + x3 x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2, x3 ϵ Z Explicación de las restricciones: Se establece que la suma de hamburguesas de ¼ de libra y de queso debe ser como máximo de 900 piezas por día. Se establece que la suma de libras de carne de cada tipo de hamburguesa debe ser como máximo 200 libras mas de carne extra. Tipo de Planteamiento:
Se trata del tipo planteamiento Mixto. - Solución:
x1= 900 x2= 0 x3= 25 z= 173.75 La solución nos quiere decir que se van a producir 900 hamburguesas de ¼ de libra, se indica que no se van a producir hamburguesas de queso extras, con lo que se observa que las hamburguesas de 1/4 de libra van a sobrepasar a las de queso por 900 extras; y que se va a utilizar 25 libras de carne extra, con lo que se cumplen las restricciones dadas y se van a maximizar las ganancias en $173.75.
4. Trazar el sistema de un equipo de filtración para bebidas carbonatas, para un secador de harina de pescado y de una torre de destilación de alcohol.
