PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL MIGUEL ENRIQUE ENRIQUE RAYA AYALA AYALA PRIMER EXAMEN 1.
La vida media de una película fotográfica de alta velocidad esta siendo investigada por un fabricante y se dispone de los siguientes siguientes datos: Vida (días) 126 131 116 125 134 134 136 130 134 120
Vida (días) 120 125 150 130 149 129 147 126 117 143
Vida (días) 129 132 128 126 127 141 145 162 129 127
Vida (días) 122 111 148 120 117 133 129 140 131 133
Construir el histograma, polígono de frecuencias, ojiva y gráfica de circulo, calcular la media, mediana, moda, rango, desviación media, varianza y desviación estándar. 2.
17.2 17.0 17.2
3.
3 2 6 5 3 9 7 4 6 4 2 10 11 4
Se hicieron análisis químicos de cloruros (Cl -) expresados en unidades en mg/L procedentes de una muestra de aguas residuales usando el método de nitrato de mercurio. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: 17.1 17.0 17.1 16.9 17.0 17.1 17.3 17.2 16.9 17.0 17.1 17.3 17.4 17.1 17.1 17.0 17.1 Calcular la media, mediana, moda, desviación media, desviación estándar y rango. Una compañía de aparatos electrónicos fabrica fuentes de energía para computadoras personales. Se producen varios cientos de fuentes en cada turno y cada unidad se somete a una prueba de quemado de 12 horas. El número de unidades que fallan durante esta prueba de 12 horas en cada turno se presenta a continuación. 6 4 7 6 7 9 4 6 4 8 14 14 10 12 3 10 12 9 2 7 8 5 11 7 4 3 2 3 4 6 4 6 3 2 5 4 8 3 4 8 8 4 9 8 11 14 15 13 6 2 12 7 6 4 10 4 3 10 7 4 5 6 7 2 6 7 8 2 1 4
5 10 4 11 2 8 2 5 3 8 9
10 13 9 10 2 6 10 7 13 5 6
10 8 4 14 8 10 6 6 4 5 2
9 7 16 13 13 7 2 4 3 5 6
13 10 5 10 2 6 10 14 4 8 9
7 6 8 12 17 10 9 7 8 7 3
Construir el histograma, polígono de frecuencias, ojiva de frecuencias absolutas y ojiva de frecuencias relativas acumuladas y gráfica de circulo, calcular la media, mediana, moda, rango, desviación media, varianza y desviación estándar. A continuación se muestran los diámetros de ocho pistones automotrices. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar. 74.001mm 74.003mm 73.998mm 74.006mm 74.005mm 74.001mm 74.000mm 74.002mm 4.
5.
Considere la siguiente distribución de frecuencias: a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. b) Calcule la mediana y la moda. xi fi
115 4
116 6
117 9
118 13
119 15
xi fi
120 19
121 20
122 18
123 15
124 10
6.
La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de niños de una escuela elemental. Determinar la media, mediana, moda, rango, desviación media y desviación estándar. X f x F 75 5 102 4 78 5 106 3 79 2 110 4 82 2 114 2 86 5 118 1 91 3 122 3 94 5 126 2 98 2
7.
En el artículo “Evaluation of Low-Temperature Properties of HMA Mixtures” (P. Sebaaly, A. Lake y J. Epps, Journal of Transportation Engineering, 2002: 578-583) se midieron los siguientes valores de la tensión de fractura (en
1
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL MIGUEL ENRIQUE ENRIQUE RAYA AYALA AYALA megapascales) para una muestra de 24 mezclas de asfalto mezclado caliente (HMA). 75 79 80 80 105 126 138 179 179 191 223 232 232 236 242 245 247 254 274 384 470 a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. b) Calcule la mediana y la moda.
30 149 240
8.
9.
Las propiedades mecánicas permisibles para diseño estructural de vehículos aeroespaciales metálicos, requieren un método aprobado para analizar estadísticamente los datos de prueba empíricos. En el artículo “Establishing Mechanical Property Allowables for Metals” (J. of Testing and Evaluation, 998: 293-299) se emplearon los datos adjuntos de Resistencia última a la tensión (ksi) como base para superar dificultades en el desarrollo del método. 122.2 124.2 124.3 125.6 126.3 126.5 128.8 129.0 129.2 129.4 129.6 130.2 131.6 131.8 131.8 132.3 132.4 132.4 132.9 133.0 133.1 133.1 133.1 133.1 133.5 133.8 133.9 134.0 134.0 134.0 134.6 134.7 134.7 134.7 134.8 134.8 135.3 135.3 135.4 135.4 135.5 135.5 135.8 135.8 135.9 135.9 135.9 135.9 136.4 136.4 136.6 136.8 136.9 136.9 137.8 137.8 137.9 137.9 138.2 138.2 138.5 138.6 138.7 138.7 139.0 139.1 140.7 140.7 140.9 141.2 141.4 141.5 143.8 143.9 144.1 144.5 144.5 147.7 126.5 127.2 127.3 127.5 127.9 128.6 130.4 130.8 131.3 131.4 131.5 131.6 132.5 132.5 132.5 132.5 132.6 132.7 133.2 133.2 133.3 133.3 133.5 133.5 134.0 134.1 134.2 134.3 134.4 134.4 134.8 134.9 134.9 135.2 135.2 135.2 135.6 135.6 135.7 135.8 135.8 135.8 136.0 136.0 136.1 136.2 136.2 136.3 137.0 137.1 137.2 137.6 137.6 137.8 138.3 138.3 138.4 138.4 138.4 138.5 139.5 139.6 139.8 139.8 140.0 140.0 141.6 142.9 143.4 143.5 143.6 143.8 147.7 131.4 133.2 a) Construya el histograma usando las clases de igual amplitud con la primera clase con el límite inferior de 122 y el superior de 124. b) Con los datos agrupados determinar: la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, la varianza y el rango. Se hace un estudio de análisis de concentraciones de demanda bioquímica de oxigeno (DBO). Los datos se muestran en la tabla siguiente:
Clase Frecuencia 50≤x<60 8 60≤x<70 10 70≤x<80 16 80≤x<90 14 90≤x<100 10 100≤x<110 5 110≤x<120 2 Determinar la media, mediana, moda, rango, desviación media y desviación estándar. 10.
Se determino el índice de claridad para los cielos sobre Bagdad para cada uno de los 365 días durante un determinado año (“Contribution (“Contribution to the Study of the Solar Radiation Climate of the Bagdad Environment”, Solar energy, 1990: 712). En la tabla siguiente se dan los resultados. Clase Frecuencia 0.15≤x<0.25 8 0.25≤x<0.35 14 0.35≤x<0.45 28 0.45≤x<0.50 24 0.50≤x<0.55 39 0.55≤x<0.60 51 0.60≤x<0.65 106 0.65≤x<0.70 84 0.70≤x<0.75 11 a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. b) Calcule la mediana y la moda.
11.
Las longitudes de d e las rutas de autobús para un sistema de tránsito particular varían por lo común de una ruta a otra. En el artículo “Planning of City Bus Routes” (J. of the Institution of Engineers, 1995: 211-215) aparece aparece la siguiente información acerca de las longitudes (en km) para un determinado sistema: Longitud Frecuencia ≤x<8 6 ≤x<8 6 8 ≤x<10 23 ≤x<10 10≤x<12 30 12≤x<14 35 14≤x<16 32 ≤x<18 16 ≤x<18 48 18 ≤x<20 42 ≤x<20 20≤x<22 40 22≤x<24 28 24≤x<26 27 ≤x<28 26 ≤x<28 26 28 ≤x<30 14 ≤x<30 30≤x<35 27 35≤x<40 11 40≤x<45 2
2
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL MIGUEL ENRIQUE ENRIQUE RAYA AYALA AYALA megapascales) para una muestra de 24 mezclas de asfalto mezclado caliente (HMA). 75 79 80 80 105 126 138 179 179 191 223 232 232 236 242 245 247 254 274 384 470 a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. b) Calcule la mediana y la moda.
30 149 240
8.
9.
Las propiedades mecánicas permisibles para diseño estructural de vehículos aeroespaciales metálicos, requieren un método aprobado para analizar estadísticamente los datos de prueba empíricos. En el artículo “Establishing Mechanical Property Allowables for Metals” (J. of Testing and Evaluation, 998: 293-299) se emplearon los datos adjuntos de Resistencia última a la tensión (ksi) como base para superar dificultades en el desarrollo del método. 122.2 124.2 124.3 125.6 126.3 126.5 128.8 129.0 129.2 129.4 129.6 130.2 131.6 131.8 131.8 132.3 132.4 132.4 132.9 133.0 133.1 133.1 133.1 133.1 133.5 133.8 133.9 134.0 134.0 134.0 134.6 134.7 134.7 134.7 134.8 134.8 135.3 135.3 135.4 135.4 135.5 135.5 135.8 135.8 135.9 135.9 135.9 135.9 136.4 136.4 136.6 136.8 136.9 136.9 137.8 137.8 137.9 137.9 138.2 138.2 138.5 138.6 138.7 138.7 139.0 139.1 140.7 140.7 140.9 141.2 141.4 141.5 143.8 143.9 144.1 144.5 144.5 147.7 126.5 127.2 127.3 127.5 127.9 128.6 130.4 130.8 131.3 131.4 131.5 131.6 132.5 132.5 132.5 132.5 132.6 132.7 133.2 133.2 133.3 133.3 133.5 133.5 134.0 134.1 134.2 134.3 134.4 134.4 134.8 134.9 134.9 135.2 135.2 135.2 135.6 135.6 135.7 135.8 135.8 135.8 136.0 136.0 136.1 136.2 136.2 136.3 137.0 137.1 137.2 137.6 137.6 137.8 138.3 138.3 138.4 138.4 138.4 138.5 139.5 139.6 139.8 139.8 140.0 140.0 141.6 142.9 143.4 143.5 143.6 143.8 147.7 131.4 133.2 a) Construya el histograma usando las clases de igual amplitud con la primera clase con el límite inferior de 122 y el superior de 124. b) Con los datos agrupados determinar: la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, la varianza y el rango. Se hace un estudio de análisis de concentraciones de demanda bioquímica de oxigeno (DBO). Los datos se muestran en la tabla siguiente:
Clase Frecuencia 50≤x<60 8 60≤x<70 10 70≤x<80 16 80≤x<90 14 90≤x<100 10 100≤x<110 5 110≤x<120 2 Determinar la media, mediana, moda, rango, desviación media y desviación estándar. 10.
Se determino el índice de claridad para los cielos sobre Bagdad para cada uno de los 365 días durante un determinado año (“Contribution (“Contribution to the Study of the Solar Radiation Climate of the Bagdad Environment”, Solar energy, 1990: 712). En la tabla siguiente se dan los resultados. Clase Frecuencia 0.15≤x<0.25 8 0.25≤x<0.35 14 0.35≤x<0.45 28 0.45≤x<0.50 24 0.50≤x<0.55 39 0.55≤x<0.60 51 0.60≤x<0.65 106 0.65≤x<0.70 84 0.70≤x<0.75 11 a) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. b) Calcule la mediana y la moda.
11.
Las longitudes de d e las rutas de autobús para un sistema de tránsito particular varían por lo común de una ruta a otra. En el artículo “Planning of City Bus Routes” (J. of the Institution of Engineers, 1995: 211-215) aparece aparece la siguiente información acerca de las longitudes (en km) para un determinado sistema: Longitud Frecuencia ≤x<8 6 ≤x<8 6 8 ≤x<10 23 ≤x<10 10≤x<12 30 12≤x<14 35 14≤x<16 32 ≤x<18 16 ≤x<18 48 18 ≤x<20 42 ≤x<20 20≤x<22 40 22≤x<24 28 24≤x<26 27 ≤x<28 26 ≤x<28 26 28 ≤x<30 14 ≤x<30 30≤x<35 27 35≤x<40 11 40≤x<45 2
2
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL MIGUEL ENRIQUE ENRIQUE RAYA AYALA AYALA Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la muestra. b) Calcule la mediana y la moda. a)
Calcular y graficar la recta de ajuste. Calcular el posible escurrimiento para un volumen de lluvia de 140. c) Calcular el posible un volumen de lluvia para un escurrimiento de 60.Determinar el coeficiente de correlación. a) b)
La relación de eficiencia para un espécimen de acero sumergido en un tanque fosfatizado es el peso de recubrimiento de fosfato dividido entre 15. Se prueban diodos de un lote, uno a la vez y se la pérdida de metal (ambos en mg/pie 2). En el artícuo “Estatistical Process Control of a marcan ya sea como defectuoso o como no Phosphate Coating Line” (Wire J. Intl., mayo de defectuoso. Esto continúa hasta encontrar dos 1997: 78-84) aparecen los siguientes datos de la artículos defectuosos o cuando se han probado temperatura del tanque y relación de eficiencia. cinco artículos. a) Describa el espacio muestral de este Temp. 170 172 173 174 174 175 176 177 Rel. 0.84 1.31 1.42 1.03 1.07 1.08 1.04 1.80 experimento. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se Temp. 182 182 182 184 184 185 186 188 encuentren dos diodos defectuosos Rel. 1.81 1.94 2.68 1.49 2.52 3.00 1.87 3.08 consecutivos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se revisen Temp. 180 180 180 180 180 181 181 182 menos de 4 diodos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no se Rel. 1.45 1.60 1.61 2.13 2.15 0.84 1.43 0.90 a) Calcular y graficar la recta de ajuste. encuentren diodos defectuosos? b) Calcular la posible relación para una temperatura de 190. 16. Describa el espacio muestral para cada uno de c) Calcular la posible temperatura para una los experimentos: a) Un lote de 120 tapas de baterías para celdas relación de 1.5 d) Determinar el coeficiente de correlación. de marcapasos contiene varias defectuosas debido a un problema con el material de 13. Un estudio relacionado para evaluar la refacción del sistema de alimentación. Se capacidad de sistemas pantanosos de flujo seleccionan tres tapas al azar (sin subterráneo para eliminar la demanda reemplazo) y se inspeccionan con cuidado. bioquímica de oxigeno (DBO) y otros b) Una paleta de 10 piezas fundidas contiene componentes químicos, dio como resultado los una unidad defectuosa y nueve en buen datos siguientes en relación con x=carga másica estado. Se seleccionan cuatro piezas al azar de DBO (kg/ha/d) y y= eliminación de masa de (Sin reemplazo) y se inspeccionan. DBO (kg/ha/d). (kg/ha/d). 17. Una persona vende dos tipos de computadora y su control de venta demuestra que tienen igual X 3 8 10 11 13 16 27 demanda. Cuatro clientes entran uno tras otro a y 4 7 8 8 10 11 16 su establecimiento para adquirir una computadora. X 30 35 37 38 44 103 142 a) ¿Cuáles son los posibles resultados de este y 24 21 9 31 30 75 90 experimento? a) Calcular y graficar la recta de ajuste. b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los b) Determinar el coeficiente de correlación. clientes eligen el mismo tipo de computadora? 14. En el artículo “Characterization of Highway Runoff in Austin, Texas, Area” (J. of Envir. 18. Cuatro universidades, 1, 2, 3 y 4, participan en Engr., 1998: 131-137) Aparecen los siguientes 3 un torneo vocacional de básquetbol. En la datos con relación a el volumen de lluvia (m ) y 3 primera ronda 1 jugará contra 2 y 3 contra 4. el volumen de escurrimiento (m ) para Los dos ganadores jugaran por el campeonato y determinado lugar. también jugaran los 2 perdedores. Un posible resultado puede ser representado por 1324 (1 Lluvia 5 12 14 17 23 30 40 47 vence a 2 y 3 le gana a 4 en la primera ronda, y Escurrimiento 4 10 13 15 15 25 27 46 después 1 derrota a 3 y 2 vence a 4). a) Determinar el espacio muestral. Lluvia 55 67 75 81 96 112 127 Escurrimiento 38 46 53 70 82 99 100 12.
3
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL MIGUEL ENRIQUE ENRIQUE RAYA AYALA AYALA Si A es el evento en el que 1 gana el torneo. Enumere los resultados de A. c) Si B es el evento en el que 2 llega a la final. Enumero los resultados de B. d) ¿Cuáles son los resultados de A ∪ B y A ∩ B ? e) ¿Cuáles son los resultados de AC ?. b)
19.
20.
21.
Suponga que los vehículos que toman determinada salida de la autopista dan vuelta a la derecha (D), a la izquierda (I) o siguen derecho (F). Considere el hecho de observar la dirección de 3 vehículos consecutivos. a) Liste los resultados del evento A donde los 3 vehículos van en la misma dirección. b) Enumere los resultados del evento B donde los 3 vehículos toman direcciones distintas. c) Registre los resultados del evento C en que exactamente dos de los tres vehículos dan vuelta a la derecha. d) Liste los resultados del evento D en que exactamente dos vehículos van en la misma dirección. e) Enumere los resultados de D C , C ∪ D y C ∩ ∩ D . La biblioteca de una universidad tiene en reserva 5 ejemplares de cierto texto. Dos ejemplares (1 y 2) de primeras impresiones y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas impresiones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio y se detiene solo cuando se selecciona una segunda impresión. Un resultado posible es 5, y otro es 213. a) Liste los resultados resultados del espacio muestral. muestral. b) Sea A el evento en el que exactamente se debe examinar un libro. ¿Qué resultados están en A?. c) Sea B el evento en el que se selecciona el libro 5. ¿Qué resultados están en B?. d) Sea C el evento en el que no se examina el libro 1. ¿Qué resultados están en C?. Un departamento académico acaba de terminar una votación secreta para elegir jefe de departamento. La urna contiene cuatro papeletas con votos para el candidato A y tres papeletas con votos para el candidato B. Suponga que las papeletas se sacan una por una de la caja. a) Determine el espacio muestral. muestral. b) Suponga que se realiza el conteo a medida que se sacan las papeletas. ¿En qué resultados A se mantiene delante de B en todo el conteo?.
SEGUNDO EXAMEN 22.
Si no se permiten repeticiones. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los 6 dígitos 2,3,5,6,7 2,3,5,6,7 y 9? b) ¿Cuántos de estos son menores de 400? c) ¿Cuántos de estos son pares? d) ¿Cuántos de estos son impares? e) ¿Cuántos son múltiplos de 5? a)
23.
En una fábrica de llantas se elaboran 10 tipos diferentes de neumáticos. Si se requiere preparar una remesa de seis tipos de llantas, ¿De cuántas maneras se puede preparar el envío?
24.
Se elegirán 3 inspectores de 5 disponibles para inspeccionar las actividades de una industria contaminante. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar?
25.
¿De cuántas maneras se pueden acomodar una reunión de 7 personas a) En una fila de 7 sillas? b) Alrededor de una mesa redonda?
26.
Siendo 3 niños y dos niñas: a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila? b) ¿De cuántas si los niños se sientan juntos y las niñas también? c) ¿De cuántas si las niñas se sientan juntas?
27.
¿Cuántas señales diferentes se pueden dar con 6 banderas colgadas en una línea vertical siendo cuatro rojas idénticas y dos azules idénticas?
28. Demostrar que n C r = n C n − r 29. Demostrar que n Pn = n Pn −1 30.
Suponga que un cliente desea instalar un teléfono inalámbrico, para lo cual tiene 10 colores decorativos disponibles en 3 longitudes de cables y con 2 tipos de tonos rotativos. ¿Cuántas diferentes selecciones puede hacer?.
31.
¿De cuántas formas diferentes pueden ocuparse una gerencia y una subgerencia si existen 8 candidatos que pueden ocupar indistintamente indistintamente la gerencia o la subgerencia?
32.
Siendo 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos. ¿De cuántas maneras pueden sentarse
4
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? 33.
Supóngase que una urna contiene 8 bolas diferentes de las cuáles se seleccionan 3 ¿De cuántas maneras se puede hacer el experimento? a) Con sustitución. b) Sin sustitución.
34.
¿De cuántas maneras puede la Sociedad Química Mexicana seleccionar las fechas en que 3 conferencistas dicten su conferencia. Si cada conferencia debe ser dictada en días diferentes y hay 5 fechas disponibles?
35.
Una compañía constructora requiere enviar material desde su bodega hasta una obra en una ciudad Y. Si no existe ninguna ruta directa de la bodega a la ciudad Y, pero hay 6 caminos de la bodega a la ciudad X y 5 de X a Y. ¿Cuántas posibles rutas pueden considerarse?
36.
¿De cuántas maneras pueden colocarse en un cordón eléctrico con nueve portalámparas, tres focos rojos, cuatro amarillos y dos azules?
37.
De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y tres mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres.
38.
Si una clínica en un centro médico tiene 4 especialistas del corazón, 3 de medicina interna y 2 cirujanos generales. ¿Cuántas maneras existen de seleccionar un médico de cada tipo?.
39.
Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los años para asistir a la asamblea anual de la asociación de estudiantes. a) ¿De cuántas maneras pueden escogerse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles? b) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo? c) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles son casados y solo asistirán si van ambos?
40.
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? b) ¿Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias? c) ¿Cuántas si tiene que contestar cuatro de las 5 primeras preguntas?
41.
En un zoológico se exhibirán en 8 jaulas cinco leones numerados del 1 al 5 y 3 tigres numerados del 1 al 3. a) ¿De cuántas maneras se pueden colocar? b) Si los tigres deben estar en jaulas continúas ¿De cuántas formas podrán exhibirse los leones y los tigres?
42.
En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes?
43.
Un cono de nieve se forma colocando al azar, una sobre otra, tres bolas de nieve diferentes de un total de 8 sabores disponibles. ¿Cuántas formas diferentes pueden crearse? a) Considere que un cono es diferente de otro con los mismos sabores, si estos están en posiciones diferentes. b) Considere que un cono es igual a otro con los mis sabores, aunque estos estén en posiciones diferentes.
44.
Si n P2 = 30 , ¿Cuál es el valor de n?
45.
El gerente de una pequeña fabrica desea determinar el número de maneras en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que pueden servir como operadores del equipo de producción, 8 que pueden desempeñarse como personal de mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores. Si el turno requiere 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y un supervisor ¿De cuántas maneras puede integrarse el primer turno?
46.
Un candidato presidencial planea visitar cada uno de los 15 estados de un país. ¿Cuántas rutas diferentes son posibles?
47.
Ocho hombres y ocho mujeres con las mismas habilidades solicitan dos empleos. Debido a que los dos nuevos empleados deben trabajar estrechamente, sus personalidades deben ser compatibles. Para lograr esto el administrador de personal ha aplicado una prueba y debe comparar las calificaciones para cada posibilidad. ¿Cuántas comparaciones debe efectuar el administrador?
48.
Unas lavadoras automáticas pueden tener 5 tipos de defectos mayores y 5 de defectos menores.
5
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA De cuántas maneras pueden ocurrir un defecto mayor y un defecto menor. b) De cuántas maneras pueden ocurrir dos defectos menores y dos mayores. a)
49.
Las placas de un tipo de vehículos se forman mediante 3 dígitos, excluido el cero en la primera posición y el cero y el uno en la tercera. ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar?
50.
En una lotería en la cual hay un primer y un segundo premio, se emitieron 20 boletos. ¿De cuántas maneras posibles se pueden tener el par de boletos ganadores?.
51.
En una configuración de un sistema de cómputo, para que la empresa lo use en el control de calidad, un ingeniero tiene 4 opciones de computadora: IBM, VAX, Honeywell o HP. Son 6 las marcas de monitores que pueden adquirirse y 3 los tipos de impresoras gráficas. a) Si todo el equipo es compatible, ¿En cuántas formas puede diseñarse el sistema? b) Si el ingeniero necesita usar un paquete de software estadístico que esta disponible solo para equipos IBM o VAX, ¿De cuántas maneras puede configurar el sistema?
52.
Un ingeniero químico tiene 7 tratamientos distintos, cuya eficacia desea comparar en la producción de un molde de arena que pueda usarse en el moldeo de hierro fundido. Desea comparar cada tratamiento con los demás. ¿Cuántas comparaciones tendrá que efectuar?
53.
El equipo de un colegio juega 12 partidos durante la temporada. ¿De cuántas maneras pueden darse los resultados de los juegos, para que al final de la temporada haya ganado 7 juegos, perdido 3 y empatado 2?
54.
Una compañía tiene 10 programadores, 8 analistas de sistemas, 4 ingenieros en sistemas y 3 estadísticos. Se elegirá un equipo para un nuevo proyecto a largo plazo. El equipo consistirá en 3 programadores, 2 analistas de sistemas, 2 ingenieros de sistemas y 1 estadístico. a) ¿En cuántas formas puede seleccionarse el equipo? b) Si el cliente insiste en que se incluya en el proceso un ingeniero en sistemas con el que ya a trabajado ¿De cuántas formas puede seleccionarse el equipo?
55.
Se requiere acomodar 10 viajeros en un hotel asignándolos a dos habitaciones triples y dos dobles. a) ¿De cuántas formas se puede hacer? b) ¿De cuántas si dos de los viajeros están casados y deben estar juntos? c) ¿De cuántas si dos de los viajeros están casados y deben estar juntos en una habitación doble?
56.
El consejo de estudiantes de ingeniería de cierta universidad, tiene un representante en cada una de cinco especializaciones de ingeniería (civil, eléctrica, industrial, de materiales y mecánica). ¿En cuántas formas se puede: a) Seleccionar presidente y vicepresidente del consejo? b) Seleccionar presidente, vicepresidente y secretario? c) Seleccionar dos miembros para el consejo del decano?
57.
En un experimento, se pide a unas personas que escojan un número del 1 al 10, de modo que cada persona del espacio muestral se encuentre en el conjunto S={1, 2, 3, …, 9, 10}. Si C={1, 2, 3, 4, 5, 6} y D={5, 6, 7, 8, 9}, exprese en términos de estos el evento de que una persona a) Escoja un número mayor de 6. b) Seleccione un 5 o un 6. c) Seleccione el número 10.
58.
Una compañía de ingenieros constructores esta trabajando actualmente en plantas eléctricas en tres lugares diferentes. Sea A i el evento en el que la planta del lugar i se termina en la fecha del contrato. Utilice las operaciones de unión, intersección y complemento para describir dada uno de los siguientes eventos, en términos de A 1 , A2 y A3 , dibuje el diagrama de Venn y sombree la región correspondiente a cada uno. a) Por lo menos una planta se termina en la fecha del contrato. b) Todas las plantas se terminan en la fecha del contrato. c) Solo se termina la planta del sitio 1 en la fecha del contrato. d) Exactamente se termina una planta en la fecha del contrato. e) Se termina ya sea la planta del lugar 1 o las otras en la fecha del contrato.
59.
En un estudio de necesidades futuras de una comunidad, C es el evento de que habrá capital suficiente para la expansión y T es el evento de que el transporte será suficiente. Exprese por
6
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA medio de símbolos de probabilidad las probabilidades de que: a) No habrá capital suficiente para la expansión. b) No habrá transporte suficiente para la expansión. c) Habrá capital o transporte suficiente para la expansión. d) Habrá capital y transporte suficiente para la expansión. e) Haya transporte aceptable, pero capital insuficiente para la expansión. f) No haya ni capital suficiente para la expansión, ni transporte aceptable. 60.
61.
62.
En una evaluación estudiantil del personal docente, V es el evento de que un profesor es muy capaz en su área, D es el evento de que aplica pruebas difíciles y R es el evento de que califica en forma estricta. Exprese por medio de símbolos de probabilidad las probabilidades de que: a) El profesor es incapaz en su área. b) El profesor es muy capaz en su área o califica en forma estricta. c) El profesor no es muy capaz en su área, pero aplica pruebas difíciles. d) El profesor es muy capaz en su área, pero no califica en forma estricta. e) El profesor no califica en forma estricta. f) El profesor no aplica pruebas difíciles, pero califica en forma estricta. g) El profesor no es muy capaz en su área o no aplica pruebas difíciles. Si W es el evento de que un empleado este bien capacitado y Q es el evento de que el empleado cubre la cuota de producción, exprese simbólicamente las probabilidades de que: a) Un empleado bien capacitado cubra la cuota de producción. b) Un empleado que cubre la cuota de producción no este bien capacitado. c) Un empleado que no este bien capacitado no cubra la cuota de producción. d) Un empleado que cubre la cuota de producción este bien capacitado. e) Un empleado que esta bien capacitado, no cubra la cuota de producción. f) Un empleado que no cubre la cuota de producción no este bien capacitado. Un departamento de orientación aplica a los estudiantes varias clases de pruebas. Si I es el evento de que un estudiante obtiene una calificación alta en inteligencia, A es el evento
de que un estudiante obtiene una calificación alta en la escala de adaptación social y N es el evento de que un estudiante presenta tendencias neuróticas, exprese simbólicamente las probabilidades de que: a) Un estudiante que obtiene una calificación alta en inteligencia, presente tendencias neuróticas b) Un estudiante que no obtiene una calificación alta en la escala de adaptación social no tenga una calificación alta en inteligencia. c) Un estudiante que presenta tendencias neuróticas no obtenga una calificación alta en inteligencia ni la escala de adaptación social. d) Un estudiante que obtuvo una calificación alta en adaptación social la obtenga en inteligencia. e) Un estudiante obtenga una calificación alta en adaptación social si no presenta tendencias neuróticas. f) Si obtuvo una calificación alta tanto en inteligencia como en adaptación social, que no presente tendencias neuróticas. 63.
Si E es el evento de que una solicitante para una hipoteca de una casa sea una empleada, G es el evento de que tiene una buena clasificación de crédito y A es el evento de que su solicitud es aprobada, exprese simbólicamente las probabilidades de que: a) Un solicitante que tiene una buena clasificación de crédito sea un empleado. b) Un solicitante cuya solicitud no es aprobada no tenga una buena clasificación de crédito. c) Se apruebe la solicitud de un individuo que esta empleado y que tiene una buena clasificación de crédito. d) Se le apruebe la solicitud a una empleada. e) Si no es empleada que no se le apruebe la solicitud. f) Una persona que no se le aprobó la solicitud no sea empleada o no tenga una buena clasificación de crédito.
64.
Un amigo ofrece una cena. Su provisión actual de vino son ocho botellas de zinfandel, 10 de merlot y 12 de cabernet (él solo bebe vino tinto), todas de diferentes vinaterías. a) Si desea servir 3 botellas de zinfandel y es importante el orden de servicio. ¿Cuántas formas hay para hacer esto? b) Si se eligen al azar seis botellas de vino de las treinta para servir, ¿Cuántas formas hay para hacer esto?
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA Si se seleccionan al azar 6 botellas, ¿Cuántas formas hay para obtener dos botellas de cada variedad? d) Si se eligen al azar seis botellas, ¿Cuál es la probabilidad de que esto de cómo resultado que se elijan dos botellas de cada variedad? e) Si se seleccionan al azar seis botellas, ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean de la misma variedad? c)
65.
Uno de los 240 miembros de un club de tenis será nombrado el jugador del año. Si 145 de los miembros son mujeres, 85 usan un revés a dos manos y 50 son mujeres que usan un revés a dos manos. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada a) Sea hombre con revés a dos manos? b) Sea mujer y no use revés a dos manos? c) Sea mujer o use un revés a dos manos? d) Sea hombre?, Si resulto que usa un revés a dos manos
66.
Beethoven escribió 9 sinfonías, Mozart escribió 27 conciertos para piano y Schubert 15 cuartetos para cuerdas. a) Si el locutor de una estación de radio universitaria desea reproducir primero una sinfonía de Beethoven y después un concierto de Mozart. ¿En cuántas formas se puede hacer esto?. b) El gerente de la radiodifusora determina que en cada noche sucesiva (siete días por semana), se transmita una sinfonia de Beethoven, seguida por un concierto para piano de Mozart y después un cuarteto para cuerdas de Schubert. ¿Durante cuántos años podría continuar esta política antes de que se tenga que repetir el mismo programa.
67.
Las probabilidades de que un misil estalle durante el lanzamiento o de que su sistema de guía presente un mal funcionamiento en el vuelo son 0.002 y 0.005. ¿Cuál será la probabilidad de que el misil: a) No explote durante el lanzamiento? b) Explote durante le lanzamiento o presente un mal funcionamiento en el sistema de guía en el vuelo. c) No explote durante le lanzamiento ni tenga un mal funcionamiento en el sistema de guía en el vuelo.
68.
¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 soles consecutivos lanzando al aire una moneda balanceada?
69.
Poco después recomenzar a prestar servicio, algunos de los autobuses que fabrico cierta compañía, presentan grietas en la parte inferior del bastidor principal; suponga que determinada ciudad tiene 25 de estos autobuses, y las grietas aparecieron en realidad en 8 de ellos. a) ¿Cuántas formas hay de seleccionar una muestra de 5 autobuses de los 25 para una inspección completa? b) ¿En cuántas formas una muestra de 5 autobuses contiene exactamente 4 con grietas visibles? c) Si se escoge al azar una muestra de 5 autobuses ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 5 tengan grietas visibles? d) Si se seleccionan los autobuses como en el inciso c), ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro de los autobuses seleccionados tengan grietas visibles?
70.
Una planta de producción emplea 20 trabajadores en el turno diurno, 15 en el segundo turno y 10 en la noche. Un consultor de control de calidad selecciona seis de estos trabajadores para hacerles entrevistas exhaustivas. Supóngase que la selección se hace de tal forma que un determinado grupo de 6 trabajadores tiene las mismas probabilidades de ser seleccionado que cualquier otro grupo. a) ¿Cuántas selecciones dan como resultado seis trabajadores del turno diurno? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los seis trabajadores seleccionados sean del turno diurno? c) ¿Cuál es la probabilidad de que los seis trabajadores sean del mismo turno? d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estén representados entre los trabajadores seleccionados?
71.
La probabilidad de que un accidente de automóvil sea consecuencia de una falla de los frenos es 0.04, la probabilidad de que se atribuya correctamente a una falla de los frenos es 0.82 y la probabilidad de que se atribuya incorrectamente a una falla de los frenos es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Un accidente de automóvil se atribuya a una falla de los frenos? b) Un accidente de automóvil que se atribuye a una falla de los frenos en realidad se deba a dicha falla mecánica?
72.
Un departamento académico con cinco miembros de la facultad redujo su opción para
8
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA jefe de departamento al candidato A o al candidato B. Luego cada uno de los miembros voto en una papeleta por uno de los candidatos. Suponga que en realidad hay 3 votos para A y 2 para B. Si se eligen las papeletas para llevar el conteo en orden aleatorio, ¿Cuál es la probabilidad de que A este delante de B todo el conteo de votos? 73.
74.
Un investigador estudia los efectos de la temperatura, presión y el tipo de catalizador en el rendimiento de cierta reacción química. Están en consideración 3 temperaturas diferentes, cuatro presiones y 5 catalizadores distintos. a) Si cualquier ejecución del experimento tiene que ver con el uso de una sola temperatura, presión y catalizador. ¿Cuántas ejecuciones del experimento son posibles? b) ¿En cuántas ejecuciones del experimento se usa la menor temperatura y las dos presiones más bajas? Hay 80 solicitantes que buscan tener una franquicia de alimentos rápidos 24 tienen un grado universitario y experiencia previa en el servicio de alimentos rápidos, 12 sólo tienen grado universitario y 8 ninguna de las dos cualidades. ¿Cuál será la probabilidad de que un solicitante: a) Tenga un grado universitario? b) No tenga experiencia en el servicio de alimentos rápidos? c) Tenga experiencia previa? Si tiene grado universitario. d) No tenga grado universitario? Si no tiene experiencia previa.
75.
Una caja de determinado almacén contiene 4 focos de 40 W, 5 de 60 W y 6 de 75 W. Suponga que se seleccionan al azar 3 focos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de los focos seleccionados sean de 75 W? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 focos seleccionados tengan la misma capacidad nominal? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un foco de cada capacidad?
76.
Uno de los 200 estudiantes de último grado de administración de una universidad debe ser seleccionado para el consejo estudiantil. Si 77 de estos están inscritos en un curso de contabilidad, 64 toman un curso de derecho mercantil y 92 no toman ninguno de los cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante elegido:
Este inscrito en ambos cursos? Solo este inscrito en contabilidad? Este inscrito en alguno de los cursos, pero no en ambos? d) Este inscrito en derecho mercantil?, si no esta inscrito en contabilidad. a) b) c)
77.
Tres moléculas tipo A, tres B, tres C y tres D, se deben combinar para formar una molécula en cadena. Una de estas moléculas en cadena es ABCDABCDABCD, y otra es BCDDAAABDBCC. a) ¿Cuántas moléculas en cadena hay? b) Suponga que se elige al azar una molécula del tipo descrito. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres moléculas de cada tipo terminen una junto a la otra?
78.
Entre los 400 internos de una prisión 160 son infractores de primera incidencia y 240 criminales insensibles. Entre los infractores de primera incidencia 120 cumplen condenas de menos de 5 años, al igual que 80 de los criminales insensibles, los restantes cumplen condenas más largas. Si se selecciona al azar uno de estos internos de la prisión, para realizar una entrevista acerca de las condiciones de la misma. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Sea infractor de primera incidencia? b) Cumpla una condena de menos de 5 años? Si se trata de un criminal insensible. c) Este sentenciado a más de 5 años? Si fue su primera incidencia.
79.
Una profesora de matemáticas desea programar una cita con cada uno de sus ocho asistentes de enseñanza, cuatro hombres y cuatro mujeres, para analizar su curso de cálculo. Suponga que los ordenamientos posibles de citas tengan la misma probabilidad de ser seleccionados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una asistente este entre los tres primeros con quien se reúna la profesora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que después de las cinco primeras citas, la muestra se haya reunido con todas las asistentes? c) Supóngase que la maestra tiene los mismos ocho asistentes el semestre siguiente y otra vez programa citas sin considerar el orden durante el primer semestre. ¿Cuál es la probabilidad de que el orden de las citas sea diferente?
80.
Tres parejas de casados compraron boletos para el teatro y se sientan en una fila que consiste
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA solo en seis asientos. Si eligen sus asientos de un modo totalmente aleatorio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Jim y Paula (marido y mujer) elijan los dos asientos del extremo izquierdo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Jim y Paula se sienten juntos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que, por lo menos una de las esposas termine sentada junto a su marido? 81.
En un laberinto en forma de T, a una rata se le da alimento si da vuelta a la izquierda y si dobla a la derecha se le da una descarga eléctrica. En la primera prueba, hay una probabilidad de 50% de que la rata de vuelta a cualquier lado; luego si se recibe alimento en la primera prueba, la probabilidad de que en la segunda prueba de vuelta a la izquierda es 68% y si en la primera prueba recibe una descarga eléctrica, la probabilidad de que en la segunda prueba de vuelta a la izquierda es 0.84. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Una rata de vuelta a la izquierda en la segunda prueba? b) Una rata que da vuelta a la izquierda en la segunda prueba también haya dado vuelta a ese lado en la primera prueba?
82.
¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún 3 en cuatro lanzamientos de un dado balanceado?
83.
En el póquer de cinco cartas, una escalera consiste en cinco cartas con denominaciones adyacentes. Si se suponen que los ases pueden ser altos o bajos, y recibe una mano de cinco cartas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga una escalera con carta alta de 10? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una escalera? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una escalera con cartas del mismo palo?
84.
85.
Las probabilidades de que una persona que viaja por el noroeste de Estados Unidos visite Boston, Providence o ambas ciudades son 0.45, 0.36 y 0.18. ¿Cuál será la probabilidad de que una persona que: a) Visita Boston, también visite Providence? b) No visito providence, visite Boston? c) No visite ninguna de las dos ciudades. Una encuesta de mujeres que ocupan puestos ejecutivos, revelo que la probabilidad de que una de tales mujeres pueda tomar decisiones
financieras es 0.60 y la probabilidad de que una de estas mujeres pueda tomar decisiones financieras y correr riesgos sustanciales es 0.42. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer que ocupa un puesto ejecutivo que puede tomar decisiones financieras este dispuesta a correr riesgos sustanciales?. 86.
Se tiene tres cajas. En la primera hay: seis conejos y dos conejas; en la segunda, ocho conejos y cinco conejas, y en la tercera, cuatro conejos y seis conejas. Se elije una caja al azar y se saca un animalito también al azar. Determinar la probabilidad de que: a) El animalito provenga de la primera caja dado que fue una coneja. b) El animalito que se extraiga sea un conejo.
87.
Reproducir el siguiente diagrama y sombrear las áreas pedidas:
U B
A
C
a) A ∩ B b) A ∪ C c)
A ∩ C C
d) A ∪ B ∪ C
e) A ∩ B ∩ C C
f) A ∩ B g) h)
i)
C
C
∩ C C
( A ∪ B ) ∩ C ( A ∪ B ) ∩ C C ( A ∪ B )C ∪ C C
88.
Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad p de que: a) Las dos sean espadas. b) Una sea espada y la otra corazón.
89.
Hay seis solicitantes para un puesto ejecutivo y la tabla siguiente presenta algunos de los hechos acerca de sus antecedentes.
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA Solicitante ¿Nacido ¿Graduado Estado en de civil El país? universidad A No Si Soltero B No No Casado C Si Si Casado D Si No Soltero E Si Si Casado F Si No Casado Uno de estos debe obtener el empleo y el evento de que este lo cubra un graduado de universidad, por ejemplo, se representa como {A, C, E}. Exprese de una manera similar el evento de que el puesto sea cubierto por a) Una persona soltera b) Un graduado de universidad nacido en el país c) Una persona casada nacida en el extranjero d) Una persona nacida en el extranjero 90.
91.
Se escogen al azar 3 lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad de que: a) Ninguna sea defectuosa. b) Una exactamente sea defectuosa. c) Una por lo menos no sea defectuosa. Se ha identificado recientemente un riesgo ambiental en la sobreexposición a asbesto en el aire. De una muestra de 10 edificios públicos de más de 20 años de antigüedad, en 3 se identificó aislamiento con materiales que producen un número excesivo de partículas de asbesto en el aire. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que otro edificio del mismo tipo tenga el problema?
92.
Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de sus números sea 10 o mayor si: a) Aparece un cinco en el primer dado. b) Si aparece un cinco por lo menos en un dado.
93.
Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad p de que sean todas sol si: a) la primera de las monedas es sol. b) Por lo menos una de las monedas es sol.
94.
Se lanza un par de dados corrientes. Si los dos números que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad p de que: a) la suma sea 6. b) Aparezca un 1. c) La suma sea menor o igual a 4.
95.
Se escogen al azar 2 dígitos entre 1 y 9. La suma es par hallar la probabilidad p de que ambos números sean impares.
96.
Las probabilidades de que en cualquier año un adolescente asista a un partido de futbol profesional, un encuentro de tenis profesional o a ambos son 0.37, 0.13 y 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier año un adolescente asista: a) A un partido de futbol profesional, pero no a uno de tenis profesional? b) Ni a un encuentro de futbol profesional ni a un encuentro de tenis profesional? c) A un partido de tenis?, si no asistió a un partido de futbol.
97.
Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar. ¿Cuál es la probabilidad p de que sean todos niños?.
98.
A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad p de que todas sean espadas?
99.
Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas. Se sacan tres bolas de la urna una tras otra. Hallar la probabilidad p de que las dos primeras sean rojas y la tercera sea blanca.
100. A
causa de una reciente crisis de energía en California, fueron necesarios los apagones programados, que podrían seguir siéndolo en el futuro. Suponga que existe probabilidad de 60% de que la temperatura sea mayor de 85ºF en un día dado de julio y un área específica. Suponga también que la probabilidad es de 30% de que se necesite un apagón programado en esta área. Se tiene una probabilidad de 20% de que ocurran ambos acontecimientos. Calcule la probabilidad de que la temperatura sea mayor de 85ºF en un día cualquiera de julio sin que se necesite un apagón programado en tal día.
101. En
una planta de electrónica, se sabe con base en la experiencia pasada que la probabilidad de que un empleado nuevo que ha asistido al programa de capacitación de la compañía cubra su cuota de producción es 0.86 y que la probabilidad correspondiente para un empleado nuevo que no ha asistido al programa de capacitación es 0.35. Si 80% de todos los empleados nuevos han asistido al programa de capacitación, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Un empleado nuevo no cubra su cuota de producción?
11
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA b)
Un empleado nuevo que no haya asistido al programa de capacitación de la compañía no cubra su cuota de producción?
102. Considere
que en un ejercicio militar de dos unidades, Roja y Azul, existe probabilidad de 60% de que la unidad Roja cumpla con sus objetivos, y 70% de que lo haga la unidad Azul. La probabilidad es de 18% de que solo tenga éxito la unidad Roja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas unidades logren sus objetivos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una u otra los alcance, no así ambas?
103. Suponga
que 1% de los neumáticos de una marca específica están defectuosos, como resultado de un problema con el proveedor de un componente químico importante de los neumáticos mismos. Suponga también que 0.5% de los neumáticos de esta marca fallarán tarde o temprano por entallamiento de su flanco. Además en 1.4% de los neumáticos de esta marca ocurrirá por lo menos uno de estos dos problemas. ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente futuro con estos neumáticos ocurra el entallamiento sin que se identifique problema alguno en la composición química del neumático?
104. Considere
elegir al azar un alumno de cierta universidad, y si 5 de cada 10 tienen una tarjeta de crédito Visa y 2 de cada 5 una MasterCard. Suponga que la probabilidad de que tenga ambas tarjetas es 0.25. a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de esas tarjetas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga una tarjeta Visa, pero no una MasterCard?
105. Una consultoría de computadoras a licitado en 3
proyectos: Sea Ai={proyecto i otorgado}, para i=1, 2 y 3, y suponga que P(A 1)=0.22, P(A2)=0.25, P(A3)=0.28, P( A1 ∩ A2 ) = 0.11 ,
P ( A1 ∩ A3 ) = 0.05 ,
P( A2 ∩ A3 ) = 0.07 ,
P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0.01 .
Calcule
las
siguientes probabilidades: Que le otorguen el primer proyecto o el segundo.
a)
b) c) d) e) f)
Que no le otorguen el primer proyecto ni el segundo. Que le otorguen por lo menos un proyecto. Que no lo otorguen ningún proyecto. Que solo le otorguen el tercer proyecto. Que no le otorguen ni el primero ni el segundo, o le otorguen el tercero.
106. Una
compañía eléctrica ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de electricidad sea menor a 240 kWh durante un determinado mes. La probabilidad de que una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebase el consumo subsidiado durante enero es 0.8, durante el mes de julio es 0.7 y la probabilidad de que no rebase el consumo durante, por lo menos uno de los dos meses es 0.9. Calcule la probabilidad de que: a) Se rebase el consumo subsidiado en el mes de enero y julio. b) El consumo subsidiado sea rebasado en exactamente uno de los dos meses.
107. En
cierta comunidad el 8% de todos los adultos mayores de 50 años padecen diabetes. Si un médico de esta comunidad diagnostica correctamente que el 95% de las personas que padecen diabetes tienen la enfermedad y diagnostica incorrectamente que el 2% de las personas que no padecen la enfermedad la tienen. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona mayor de 50 años diagnosticada por este médico como un enfermo de diabetes en realidad padezca la enfermedad?
108. Considere
el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) que compran cada cinco clientes en cierta tienda. a) Si la probabilidad de que a lo mucho uno de estos clientes compre una secadora eléctrica es 0.428, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 compren secadora eléctrica? b) Si la probabilidad de que los cinco compren secadora de gas es 0.116 y de que los cinco compren secadoras eléctricas es 0.005. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos se venda una de cada tipo?
109. La
probabilidad de que el siguiente requisito para ayuda de un asesor de software de estadística se relacione con el paquete SPSS es 0.3 y la probabilidad de que sea para ayuda con SAS es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que a) No se relacione con SPSS? b) Se relacione con alguno de los dos paquetes?
12
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA c)
No se relacione con ninguno de los dos paquetes?
110. Una
caja contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75 W. Si se seleccionan los focos uno por uno en orden aleatorio ¿Cuál es la probabilidad de que al menos se deban elegir dos focos para obtener uno de 75 W?
111. La
inspección visual humana de uniones de soldadura en tarjetas de circuito impreso puede ser muy subjetiva. Parte del problema surge de los distintos tipos de defectos de soldadura (por ejemplo, no humedecer la zona Terminal, visibilidad de codos, huecos) incluso el grado en que la unión posee uno o más de estos defectos. En consecuencia aun los inspectores más experimentados pueden estar en desacuerdo con la disposición de determinada unión. En un lote de 10,000 uniones, el inspector A encontró que 724 estaban defectuosas, el inspector B encontró 751, y por lo menos uno de los dos inspectores consideró que 1,159 de las uniones eran defectuosas. Suponga que se selecciona al azar una de las 10,000 uniones. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los inspectores considere defectuosa la unión seleccionada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector A, pero no el B, juzgue defectuosa la unión elegida?
112. Se detecto una enfermedad en la sangre en el
2% de las personas de cierta población. Una nueva prueba de sangre identificara correctamente al 96% de las personas que padecen la enfermedad y al 94% de las personas que no padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona cuyo resultado en la prueba de sangre es: a) Positivo en realidad padezca la enfermedad? b) Negativo en realidad no padezca la enfermedad?
113. La ruta que utiliza cierto automovilista para ir al
trabajo tiene dos cruceros con semáforo. La probabilidad de que pare en el primer semáforo es 0.4, la probabilidad de que pare en el segundo semáforo es 0.5 y la probabilidad de que se detenga por lo menos en uno de los semáforos es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga a) En ambos semáforos? b) En el primero, pero no en el segundo? c) En exactamente un semáforo?
114. Se
van a reemplazar las computadoras de 6 miembros de la facultad de cierto departamento. Dos de los miembros de la facultad eligieron laptops y los otros cuatro eligieron computadoras de escritorio. Supóngase que solo se pueden llevar acabo dos configuraciones en un día establecido, y las dos computadoras por configurar se eligen al azar de 6. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas coonfiguraciones seleccionadas sean para las computadoras laptop? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas configuraciones elegidas sean para maquinas de escritorio? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una configuración seleccionada sea para una computadora de escritorio? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija una computadora de cada tipo para configuración?
115. Un determinado sistema puede experimentar tres
tipos de defectos. Sea A i (i=1, 2, 3) el evento en el que el sistema tiene un defecto de tipo i. suponga que: P(A1)=0.12, P(A2)=0.07, P(A3)=0.05, P( A1 ∪ A2 ) = 0.13 ,
P( A1 ∪ A3 ) = 0.14 , P( A2 ∪ A3 ) = 0.10 , P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0.01 ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tenga un defecto tipo 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga tanto el defecto tipo uno como el 2? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga un defecto tipo 1 y tipo 2, pero no un tipo 3? d) Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga a lo sumo dos de esos defectos? a)
116. En
cierta facultad, 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, 15% reprobaron química y 10% reprobaron las dos. Se selecciona un estudiante al azar. a) Si reprobó química, ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó matemáticas? b) Si reprobó matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó química? c) ¿Cuál es la probabilidad de que reprobó matemática o química?.
117. En
un sistema de lanzamiento de cohetes se encontró que la probabilidad de que el sistema de propulsión funcione correctamente es 0.9. Además la probabilidad de que tanto el sistema de propulsión como el de control remoto
13
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA funcionen correctamente es 0.8. Determine la probabilidad de que el control remoto funcione bien, si ya se lanzo el cohete y el sistema propulsor trabajo correctamente. 118. Con base en la experiencia se sabe que en cierta
industria, el 60% de todas las discusiones entre los empleados y la gerencia se refieren a los salarios, el 15% es sobre condiciones laborales y el 25% acerca de las prestaciones. Así mismo, el 45% de las discusiones referentes a salarios se resuelven en huelgas, el 70% de las discusiones por condiciones laborales se resuelven sin huelgas y el 40% de las discusiones acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Una discusión entre los empleados y la gerencia de esta industria se resuelva sin huelgas? b) Si se resuelve sin huelgas una discusión entre los empleados y la gerencia de esta industria, esta haya sido con motivo de los salarios? 119. Un
torno mecánico deja de funcionar si dos de sus partes se rompen, lo cual ocurre con una probabilidad de 0.1. Si la probabilidad de que se rompa la primera pieza es de 0.3 determinar la probabilidad de que el torno no funcione si ya se ha roto la pieza.
120. Tres
máquinas A, B y C producen respectivamente 60%, 30% y 10% de número total de artículos de una fabrica. Los porcentajes de desperfecto de producción de estas máquinas son respectivamente 2%, 3% y 4%. Seleccionando un artículo al azar resulto defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo halla sido producido por la máquina C.
121. En
cierta facultad 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 1.80m de altura. Además 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es más alto de 1.80m, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?.
122. La
probabilidad de que un hombre vivirá años más es ¼ y la probabilidad de que esposa vivirá 10 años más es 1/3. Hallar probabilidad de que: a) Ambos estén vivos dentro de 10 años. b) Al menos uno estará vivo a los 10 años. c) Ninguno estará vivo a los 10 años. d) Solamente la esposa estará viva a los años.
10 su la
123. La
caja A contiene 8 artículos de los cuales 3 son defectuosos, y la caja B contiene 5 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Se saca al azar un artículo de cada caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso y el otro no? c) Si un articulo es defectuoso y el otro no, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo defectuoso proceda de la caja A?.
124. En
un estudio del agua acerca de plantas de generación eléctrica y otras de tipo industrial que vierten aguas residuales en el sistema de agua. Se observo que 5% tenía signos de contaminación química y térmica; 40% de contaminación química y 35% de contaminación térmica. Suponga que los resultados del estudio reflejan con exactitud la situación general. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una corriente de agua con contaminación térmica también tenga química? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un río con contaminación química no tenga contaminación térmica?
125. Un
generador de dígitos aleatorios de una calculadora electrónica se activa dos veces para simular un número aleatorio de dos dígitos. En teoría cada dígito del 0 al 9 tiene la misma probabilidad que los demás de aparecer en el ensayo dado. ¿Cuál es la probabilidad de que un número formado por dos dígitos al azar termine con 9, dado que empezó con 2?
126. En
un estudio de las causas de interrupciones del abasto de energía eléctrica, se recopilaron los siguientes datos: El 5% se debe a falla de transformadores, el 80% resulta del daño de las líneas de alimentación y el 1% involucra ambos problemas. A partir de esos porcentajes, calcule la probabilidad de que una interrupción del abasto de energía eléctrica comprenda: a) Daño de las líneas dado que el daño proviene de los transformadores. b) Daño de los transformadores dado que el daño esta en las líneas. c) Daño de transformadores sin daño en las líneas. d) Daño de transformadores dada la ausencia de daño en las líneas. e) Daño de transformadores o en las líneas.
10 127. Se
desarrollo una prueba para diagnosticar un tipo específico de artritis en personas de más de
14
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 50 años. Con base en una encuesta nacional, se sabe que 10% de las personas de dicho grupo de edad sufre la forma de artritis en cuestión. El examen se administra a personas con artritis confirmada y sus resultados son correctos en 85% de los casos. Cuando se emprende el examen en personas del mismo grupo de edad, de las cuales se sabe que no sufren el padecimiento, se identifico el malestar en 4% ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo tenga la enfermedad, dado que la información de la prueba indica su presencia?
131. Se
tienen 20 dados, 2 de los cuales están cargados. La probabilidad de que se obtenga un 6 en un dado cargado es el doble de la probabilidad de no obtenerlo. a) Si se elige un dado al azar y se lanza, determine la probabilidad de obtener un 6. b) Si se obtiene un 6 al lanzar un dado seleccionado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el dado haya estado cargado?
132. Considere 128. El
candado de la bicicleta de Susana tiene una combinación de 3 discos, cada uno de los cuales incluye los números enteros del 0 al 9. El candado se abre cada disco señala la cifra correcta. Susana olvido el número del tercer disco, pero recuerda que el primero esta entre 0 y 5 inclusive, y el segundo entre 6 y 9. Determinar la probabilidad de que la combinación que abre el candado: a) Inicie con 3. b) Inicie con número par. c) Inicie con el mismo número que termina.
129. Se
informa que 50% de los chips de computadora producidos es defectuoso. La inspección revela que apenas 5% de los chips comercializados legalmente en realidad tiene defectos. Por desgracia algunos chips son robados antes de la inspección. Si 1% de los chips existentes en el mercado son robados ¿Calcule la probabilidad de que un chip sea robado dado que resulto defectuoso?
130. A medida
que la sociedad se vuelve dependiente de las computadoras, los datos deben comunicarse por redes de comunicación pública, como satélites, sistemas de microondas y teléfonos. Al recibir un mensaje es necesaria su autentificación. Ello se logra mediante el uso de una clave secreta cifrada. Aunque sea secreta siempre existe la posibilidad de que caiga en las manos indebidas, lo cual posibilitaría que un mensaje no auténtico parezca ser auténtico. Suponga que 95% de los mensajes recibidos son auténticos. Además considere que apenas 0.1% de los mensajes no auténticos se envían con la clave correcta, y que el envío de todos los mensajes auténticos se envía con la clave correcta. Calcule la probabilidad de que un mensaje sea autentico dado que se uso la clave correcta.
elegir al azar un alumno de cierta universidad, y si 5 de cada 10 tienen una tarjeta de crédito Visa y 2 de cada 5 una MasterCard. Suponga que la probabilidad de que tenga ambas tarjetas es 0.25. a) Si tiene una tarjeta Visa, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una MasterCard? b) Si tiene una tarjeta Visa, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga una MasterCard? c) Dado que tiene una tarjeta MasterCard, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una Visa? d) Dado que tiene una tarjeta MasterCard, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga una Visa? e) Debido a que el individuo seleccionado tiene al menos una tarjeta, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una tarjeta visa?
133. Si
se eligen al azar dos focos de una caja que contiene 4 de 40 W, 5 de 60 W y 6 de 75 W. a) Si se encuentra que por lo menos uno de ellos es de 75 W, ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean de 75 W? b) Dado que por lo menos uno de los dos focos elegidos no es de 75 W, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tengan el mismo valor nominal?
134. Entre 64 médicos del personal de un hospital, 58
tienen seguros de negligencia, 33 son cirujanos y 31 de los cirujanos tienen seguro de negligencia. Si se selecciona, en forma aleatoria, a uno de estos médicos al azar para representar al personal del hospital en una convención. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Sea un cirujano sin seguro de negligencia?. b) No sea cirujano y que no tenga seguro de negligencia? c) No tenga seguro de negligencia?, si resulto ser cirujano.
15
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 135. Una tienda de departamentos vende camisas deportivas en tres tallas
(pequeña, mediana y grande), en tres modelos (A cuadros, estampadas y de franjas) y con dos largos de manga (corta y larga). En las tablas siguientes se dan las proporciones de camisas vendidas de las distintas combinaciones de categorías. Manga corta Manga Larga Modelo Modelo Talla Talla Cuadros Estampada Franjas Cuadros Estampada Franjas Pequeña 0.04 0.02 0.05 Pequeña 0.03 0.02 0.03 Mediana 0.08 0.07 0.12 Mediana 0.10 0.05 0.07 Grande 0.03 0.07 0.08 Grande 0.04 0.02 0.08 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea mediana, de manga larga y estampada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea mediana y estampada? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga larga? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? f) ¿Cuál es la probabilidad de que el modelo de la siguiente camisa vendida sea estampada? g) Dado que la camisa recién vendida era a cuadros y de manga corta, ¿Cuál es la probabilidad de que su talla fuera mediana? h) Dado que la camisa recién vendida era a cuadros y mediana, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera de manga corta? i) Dado que la camisa recién vendida era a cuadros y mediana, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera de manga larga? es la probabilidad de que el siguiente 136. La probabilidad de que un autobús que viaja de componente sea un reproductor de discos México a Irapuato salga a tiempo es 0.8, la compactos?, si se sabe que se trata de un probabilidad de que llegue a tiempo es 0.75 y la componente de audio. probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.72. ¿Cuál es la probabilidad de qu e: 139. Tres parejas de casados compraron boletos para a) No salga a tiempo de México, pero llegue a el teatro y se sientan en una fila que consiste tiempo a Irapuato? solo en seis asientos. b) Llegue a tiempo a Irapuato, si salio a tiempo a) ¿Cuál es la probabilidad de que Jim y Paula de México? se sienten juntos en el extremo izquierdo y c) Haya salido a tiempo de México, si no llego a que John y Mary Lou (marido y mujer) se tiempo a Irapuato? sienten juntos en medio? b) Dado que John y Mary Lou se sienten juntos 137. Una caja contiene 6 bolas rojas y 4 verdes, y en medio, ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda caja contiene 6 bolas rojas y 3 los otros dos esposos se sienten junto a sus verdes. Se escoge al azar una bola de la primera esposas? c) caja y se coloca en la segunda caja. Después se Dado que John y Mary Lou se sienten juntos, selecciona al azar una bola de la segunda caja y ¿Cuál es la probabilidad de que todos los se pone en la primera caja. esposos se sienten junto a sus esposas? a) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola roja de la primera caja y una bola 140. Las probabilidades de que una persona que se roja de la segunda caja? detiene en una estación de servicio pida que se b) En la conclusión del proceso de selección, revisen sus llantas es de 0.14, la probabilidad de ¿Cuál es la probabilidad de que los números que pida que se revise el aceite es de 0.27 y la de bolas rojas y verdes de la primera caja probabilidad de que se detenga por otra razón es sean idénticos a los números del comienzo? 0.68. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se detiene en una estación de 138. Cierto taller repara componentes de audio y servicio: video. Sea A el evento en el cual el siguiente a) Se le revise tanto las llantas como el aceite? componente llevado a reparación sea uno de b) Solo se le revise el aceite? audio, y sea B el evento en el cual el siguiente c) No se le revisen las llantas?, dado que no se componente sea un reproductor de discos le reviso el aceite. compactos (Así que el evento B esta contenido en A). Suponga que P(A)=0.6 y P(B)=0.05. ¿Cuál
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 141. La
probabilidad de que cierta persona salga a desayunar es 0.40 y la probabilidad de que si sale a desayunar gaste más de $50.00 es 0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que salga a desayunar y gaste más de $50.00?
Si tiene localizador de emergencia, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea localizado? b) Si no tiene localizador de emergencia, ¿Cuál es la probabilidad de que sea localizado? a)
148. Una 142. Si P( B/A) > P( B ) , demuestre que P ( B / A) < P ( B C
C
)
143. Para
dos eventos cualesquiera A y B con P(B)>0, demuestre que
(
)
P ( A / B ) + P A / B = 1 C
144. Demuestre que para tres eventos cualesquiera A,
B
y
C
con
P(C)>0,
P ( A ∪ B / C ) = P( A / C ) + P( B / C ) − P( A ∩ B / C )
empresa que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y uno de lujo. El año pasado, 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo básico. De los compradores del modelo básico, 30% compran una garantía ampliada, en tanto que 50% de los compradores del modelo de lujo hacen lo mismo. Si se sabe que un comprador seleccionado al azar tiene una garantía ampliada, ¿Qué tan probable es que tenga un modelo básico?
Para clientes que compran un juego completo de neumáticos en cierta distribuidora, considere los eventos siguientes: A={Los eventos son fabricados en Estados Unidos}, B={el comprador solicita de inmediato el balanceo de neumáticos}, C={El comprador pide alineación de neumáticos delanteros}. Suponga las siguientes probabilidades: P(A)=0.75, P(B/A)=0.9, P(B/A C )=0.8, P(C / A ∩ B ) = 0.8 , C C P(C / A ∩ B ) = 0.7 , P(C / A ∩ B ) = 0.6 , C C P (C / A ∩ B ) = 0.3 . a) ¿Cuál es la probabilidad de que los neumáticos sean fabricados en Estados Unidos, el comprador solicite balanceo de los neumáticos y alineación de los neumáticos delanteros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador solicite balanceo de los neumáticos y alineación de los neumáticos delanteros? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador solicite alineación de los neumáticos delanteros? d) Si pidió balanceo y alineación de los neumáticos delanteros, ¿Cuál es la probabilidad de que los neumáticos hallan sido fabricados en Estados Unidos?
149. 145. En cierta gasolinera, 40% de
los clientes utilizan gasolina regular sin plomo, 35% usan gasolina extra sin plomo y 25% gasolina Premium sin plomo. De los clientes que consumen gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques. De los que compran gasolina extra, 60% llenan sus tanques, en tanto que quienes llevan gasolina Premium, 50% llenan sus tanques. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? c) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular? d) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina extra? e) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina Premium?
146. La probabilidad
de que un estudiante que asiste a una universidad compre una computadora personal es 0.50 y la probabilidad de que sus calificaciones suban si compra una computadora personal es 0.72. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que asiste a la universidad compre una computadora personal y mejore sus calificaciones?
147. Setenta
por ciento de los aviones ligeros que desaparecen mientras vuelan en cierto país son descubiertos después. De las aeronaves descubiertas, 60% tienen localizador de emergencia, mientras que 90% de las no descubiertas no tienen localizador. Suponga que desaparece un avión ligero.
150. En
una gran universidad, en la interminable búsqueda de un libro de texto satisfactorio, el departamento de estadística ha probado un texto diferente en cada uno de los tres últimos trimestres. Durante el trimestre de otoño, 500 estudiantes emplearon el texto del profesor Mean; durante el trimestre de invierno, 300 utilizaron el Texto del profesor Median; y durante el trimestre de primavera, 200 usaron el texto del profesor Mode. Un estudio al final de cada trimestre, demostró que 200 estudiantes
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA estuvieron satisfechos con el libro de Mean, 150 con el libro de Median y 160 con el de Mode. Si se selecciona al azar un estudiante que tomó estadística durante uno de estos tres trimestres y admite estar satisfecho con el texto. a) ¿Es más probable que el estudiante haya empleado el libro de Mean, Median o Mode? b) ¿Quién es el autor menos probable? 151. Si
se sacan dos cartas de una baraja normal de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean de diamantes si se retiran: a) Con reemplazo? b) Sin reemplazo?
152. Una amiga que vive en
los Ángeles realiza viajes frecuentes de consultoría a Washington, D. C.; 50% de las veces viaja en la aerolínea #1, 30% en la aerolínea #2 y 20% en la aerolínea #3. Para la aerolínea #1, los vuelos llegan con retraso a Washington, D. C. 30% de las veces y a L. A. 10% de las veces. Para la aerolínea #2, estos porcentajes son 25 y 20%, mientras que para la aerolínea #3 los porcentajes son 40% y 25%. Si se sabe que en un determinado viaje ella llego tarde a exactamente uno de los dos destinos, ¿Cuáles son las probabilidades de haber volado en las aerolíneas #1, #2 y #3?
153. En cierta gasolinera, 40% de los clientes utilizan
gasolina regular sin plomo, 35% usan gasolina extra sin plomo y 25% gasolina Premium sin plomo. De los clientes que consumen gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques. De los que compran gasolina extra, 60% llenan sus tanques, en tanto que quienes llevan gasolina Premium, 50% llenan sus tanques. Además, 70% de los clientes que llenan su tanque con gasolina regular usan tarjeta de crédito; 50% de los clientes que consumen gasolina regular y no llenan su tanque, usan tarjeta de crédito; 60% de los clientes que llenan su tanque con gasolina extra usan tarjeta de crédito; 50% de los clientes que compran gasolina extra, pero no llenan su tanque, usan tarjeta de crédito; 50% de los clientes que llenan su tanque con gasolina Premium usan tarjeta de crédito; 40% de los clientes que consumen gasolina Premium y no llenan su tanque, usan tarjeta de crédito. Calcule la probabilidad de que: a) Consuma gasolina extra, llene el tanque y use tarjeta de crédito. b) Consuma gasolina Premium, no llene el tanque y use tarjeta de crédito. c) Consuma gasolina Premium y use tarjeta de crédito.
d) e) f)
Llene el tanque y use tarjeta de crédito. Use tarjeta de crédito. Si el cliente usa tarjeta de crédito, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina Premium?
154. El
uso del aspecto de las plantas en la prospección de depósitos minerales se denomina prospección geobotánica. Un indicador de cobre es una pequeña planta de menta con flores de color malva. Suponga que en una región dada se tiene probabilidad de 30% de alto contenido de cobre en el suelo y de 23% de presencia de esa planta. Si el contenido de cobre es alto existe 70% de probabilidad de que este presente la planta. a) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto y la planta este presente. b) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto, dada la presencia de la planta.
155. Un
estudio de inundaciones repentinas graves ocurridas durante los últimos 15 años, muestra que la probabilidad de que se emita una advertencia de tales inundaciones es de 0.5, y de que se rompa la presa durante una inundación, de 0.33. La probabilidad de falla de la presa dada la emisión de la advertencia, es de 0.17. Calcule la probabilidad de que se emita una advertencia de inundación y ocurra la falla de la presa.
156. Entre
60 piezas de equipaje cargadas en un avión en San Francisco, el destino de 45 es Seattle y el de 15 Vancouver. Si se envían dos de estas piezas por equivocación a Pórtland y la “selección” es aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ambas maletas debieran haberse enviado a Seattle? b) Ambas debieran haberse enviado a Vancouver? c) Una pieza de equipaje debiera haberse enviado a Seattle y la otra a Vancouver?
157. Una fundidora produce piezas de hierro fundido
para uso de las transmisiones automáticas de camiones. Son dos las dimensiones cruciales de dicha pieza, A y B. Suponga que si la pieza cumple la especificación de la dimensión A, existe la probabilidad de 98% de que también cumpla la dimensión B. Además, existe 95% de probabilidad de que cumpla con la especificación de la dimensión A y de 97% de que lo haga con la dimensión B. Se selecciona
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA aleatoriamente e inspecciona una unidad de dicha pieza. ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con las especificaciones de ambas dimensiones? 158. Una
compañía de prospección petrolera tiene dos proyectos activos, uno en Asia y otro en Europa. La probabilidad de que el proyecto Asiático tenga éxito es 0.4 y la probabilidad de que el proyecto europeo sea exitoso es 0.7. Suponiendo que los dos eventos son independientes. a) Si fracasa el proyecto asiático, ¿Cuál es la probabilidad de que también fracase el proyecto europeo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los proyectos tenga éxito? c) Dado que por lo menos uno de los dos proyectos es exitoso, ¿Cuál es la probabilidad de que solo el proyecto asiático tenga éxito?
159. Si
A y B son eventos independientes demuestre que también lo son A C y B.
160. Suponga
que las proporciones de fenotipos sanguíneos de determinada población son: A0.42, B-0.10, AB-0.04 y O-0.44. Si los fenotipos de dos individuos seleccionados al azar son independientes entre si. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fenotipos sean O? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean iguales?
161. En
una clase de quinto grado de 18 niños y 12 niñas, se selecciona al azar a un alumno cada semana para ser el asistente del profesor. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione a un niña dos semanas consecutivas si: a) El mismo alumno no puede ser asistente dos semanas consecutivas? b) Se elimina la restricción anterior?
162. Una
de las hipótesis que sustentan la teoría de gráficas de control es que los puntos sucesivos son independientes entre sí. Cada punto graficado indica que un proceso de manufactura esta trabajando de manera correcta o que hay un mal funcionamiento. Aun cuando un proceso este trabajando bien, hay una pequeña probabilidad de que determinado punto indique un problema en el proceso. Suponga que esta probabilidad es 0.05 a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de 10 puntos sucesivos indique un
problema cuando en realidad el proceso trabaja en forma correcta? b) Conteste la pregunta anterior para 25 puntos. 163. La
probabilidad de que un alumno cometa un error de marcación en una pregunta de un examen de opción múltiple es 0.1. Si hay 10 preguntas y estas se marcan de manera independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se cometan errores? b) ¿De qué al menos se cometa un error?
164. Un
calentador tiene 5 válvulas de alivio idénticas. La probabilidad de que en algún momento se abra determinada válvula es 0.95. Si la operación de las válvulas es independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Por lo menos se abra una válvula? b) Por lo menos no se abre una válvula?
165. Dos
bombas conectadas en paralelo fallan en determinado día sin que haya dependencia mutua. La probabilidad de que solo falle la bomba más vieja es de 0.1 Y la probabilidad de que solo falle la bomba más nueva es 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de bombeo falle cualquier día, (Esto sucede si fallan ambas bombas)?
166. Considere
lanzar de manera independiente dos dados, uno rojo y otro verde. Sea A el evento en que el dado rojo muestra 3 puntos, B el evento donde el dado verde muestra 4 puntos y C el evento donde el número total de puntos que aparecen en los dos dados es 7. a) ¿Son estos eventos independientes por pares; es decir, A y B son eventos independientes, A y C son independientes y B y C son independientes? b) ¿Los tres eventos son mutuamente independientes?
167. Dos
inspectores comprueban si tienen defectos los componentes que llegan a un distribuidor (ambos inspectores comprueban cada componente). El primer inspector detecta 90% de los componentes defectuosos, al igual que el segundo inspector. Por lo menos un inspector no detecta un defecto en 20% de los componentes defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo el primer inspector detecte un componente defectuoso?
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los inspectores detecte un componente defectuoso? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos inspectores no detecten los 3 componentes defectuosos de un lote? (Suponiendo que las inspecciones de componentes diferentes son independientes entre si. b)
168. Sesenta
por ciento de los automóviles examinados en un centro de verificación pasan la prueba. Si se supone que automóviles sucesivos paran la prueba o no sin dependencia mutua. Calcule la probabilidad de que: a) Pasen los 3 automóviles contiguos. b) Por lo menos es rechazado uno de los tres automóviles contiguos.. c) Exactamente pasa uno de los tres automóviles contiguos inspeccionados. d) A lo sumo pasa 1 de los tres automóviles contiguos inspeccionados e) Dado que por lo menos uno de los tres automóviles contiguos pasa la verificación, ¿Cuál es la probabilidad de que pasen los 3?
169. Si
5 de los 10 camiones de entrega de una compañía no satisfacen las normas de emisión de contaminantes y se seleccionan 3 de estos para una inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los camiones seleccionados satisfaga la norma de emisión de contaminantes?
170. Una
compañía maderera acaba de recibir un lote de 10,000 tablas de 2x4. Suponga que 20% de estas tablas están demasiado verdes para ser utilizadas en construcción de primera calidad. Se eligen al azar dos tablas una después de la otra. Sea A el evento de que la primera tabla esta verde y B la segunda tabla esta verde. a) Calcule P(A), P(B) y P( A ∩ B ) . b) ¿Son independientes A y B? Con A y B independientes y P(A) = P(B) = 0.2 c) ¿Cuál es P( A ∩ B ) ? d) ¿Cuánta diferencia hay entre la respuesta del inciso a) y al anterior? e) ¿Se puede suponer que A y B del inciso a) son independientes para obtener en esencia la probabilidad correcta? Suponga que el lote consta de 10 tablas de las cuales dos están verdes f) ¿La suposición de independencia produce ahora más o menos la respuesta correcta para P ( A ∩ B ) ?
¿Cuál es la diferencia crítica entre la situación aquí y la del inciso a)? h) ¿Cuándo se considera que una suposición de independencia es valida para obtener una respuesta más o menos correcta para P ( A ∩ B ) ? g)
171. El
profesor Stan der Deviation puede tomar una de dos rutas en su camino de regreso a casa del trabajo. En la primera ruta hay cuatro cruces de ferrocarril. La probabilidad de que se detenga ante el paso de un tren en cualquiera de los cruces es 0.1, y los trenes operan de manera independiente en los cuatro cruces. La otra ruta es más larga pero solo hay dos cruces, independientes entre sí, con la misma probabilidad de detención para cada uno que en la primera ruta. En determinado día, el profesor Deviation tiene una junta en casa programada para cierta hora. Sin importar que ruta tome, calcula que llegará tarde si el tren se cruza en su camino por lo menos en la mitad de los cruces, ¿Cuál ruta debe tomar para reducir la probabilidad de llegar tarde a la junta?
172. Si
una persona selecciona al azar 4 de las 15 monedas de oro que un comerciante tiene en existencia y seis de las monedas son falsas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ninguna moneda sea falsa? b) Una moneda sea falsa? c) Al menos una sea falsa?
173. Las probabilidades de
que una persona acusada de conducir imprudentemente se le multe, se le cancele la licencia o ambas son 0.88, 0.62 y 0.55. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona acusada de manejar imprudentemente: a) Se le multe o se le cancele la licencia? b) Únicamente se le multe? c) Se le cancele la licencia? Si ya fue multado. d) Se le multe o se le cancele la licencia?, pero no ambas.
174. Una
profesora de geología tiene dos asistentes graduados que le ayudan en su investigación. La probabilidad de que el ayudante de mayor edad este ausente en un día determinado es 0.08, la probabilidad de que el más joven de los dos este ausente en un día determinado es 0.06 y la probabilidad de que ambos estén presentes en un día determinado es 0.88. ¿Cuál será la probabilidad de que en un día determinado: a) Los dos ayudantes no asistan?. b) Únicamente falte el ayudante más joven?.
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA Asista cualquiera de los dos?, pero no ambos. d) Asista el ayudante de mayor edad? Si no asistió el más joven. c)
175. Suponga que a una zorra se le colocan etiquetas
idénticas en las orejas. Luego se suelta a la zorra durante cierto tiempo. Considere los dos eventos C 1 = {Se pierde la etiqueta de la oreja izquierda} y C 2 = {Se pierde la etiqueta de la oreja derecha}. Sea π=P(C 1)=P(C 2) y suponga que C 1 y C 2 son eventos independientes. Obtenga una expresión (Donde aparezca π) para obtene r la probabilidad de que exactamente se pierda una etiqueta dado que a lo sumo se pierde una. 176. Una
viga de concreto podría fallar ya sea por esfuerzo de corte (C) o flexión (F). Suponga que se eligen al azar tres vigas con falla y se determina el tipo de falla para cada una. Sea X=Número de vigas entre las 3 seleccionadas que fallaron por esfuerzo de corte. Enumere cada resultado del espacio muestral junto con el valor relacionado de X.
177. Sea X = número de dígitos diferentes de cero de
un código postal seleccionado al azar. ¿Cuáles son los valores posibles de X? de 3 posibles resultados y el valor relacionado de X. 178. Comenzando
en determinado momento, cada automóvil que llega a un crucero es observado para ver si da vuelta a la izquierda (I), a la derecha (D) o sigue derecho (F). El experimento termina cuando se observa que un automóvil da vuelta a la izquierda. Sea X = número de automóviles observados, ¿Cuáles son los valores posibles de X? Enumere cinco resultados y sus valores relacionados.
179. Para
cada variable aleatoria definida aquí, describa el conjunto de valores posibles de la variable e indique si la variable es continua o discreta. a) X = número de huevos que no están rotos en un cartón de 18 huevos elegido al azar. b) Y = Número de estudiantes en la lista de un curso que no asistieron el primer día de clases. c) U = Número de veces que un novato intenta golpear una pelota de golf antes de lograrlo. d) X = Longitud de una serpiente de cascabel seleccionada al azar. e) Z = Cantidad de regalías obtenidas de la venta de una primera edición de 10,000 libros de texto.
Y = pH de una muestra de suelo seleccionada al azar. g) X = Tensión (en libras por pulgada cuadrada) del encordado de una raqueta de tenis seleccionada al zar. h) X = Número total de lanzamientos de una moneda requeridos para que tres individuos obtengan una coincidencia (AAA ó SSS). f)
180. Un
taller automotriz que se especializa en ajustes de motor sabe que 45% de los ajustes se efectúan en automóviles de 4 cilindros, 40% en automóviles de 6 cilindros y 15% en automóviles de 8 cilindros. Sea X = número de cilindros del siguiente automóvil al que se le hace un ajuste de motor. a) Calcule la distribución de probabilidades de X. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente automóvil ajustado tenga por lo menos 4 cilindros? c) ¿Más de 6 cilindros?
181. De una caja con
cuatro pelotas de color negro y dos de color verde, se seleccionan 3 en sucesión y con remplazo. Sea “x” la variable aleatoria que asigna el número de pelotas verdes obtenidas. Determinar: a) La distribución de probabilidades. b) La distribución de probabilidades acumuladas. c) La función de probabilidad. d) ¿Cuántas pelotas verdes esperaría obtener? e) La desviación estándar para esta distribución.
182. A
veces las aerolíneas registran más pasajeros del cupo normal de los vuelos. Supóngase que para un avión con 50 asientos 55 pasajeros tienen boleto. Defina la variable aleatoria Y como el número de pasajeros con boleto que en realidad se presenta para el vuelo. La distribución de probabilidades de Y se muestra en la siguiente tabla: Y 45 46 47 48 49 P(y) 0.05 0.10 0.12 0.14 0.25
Y P(y)
50 51 52 53 54 55 0.17 0.06 0.05 0.03 0.02 0.01 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan acomodar a todos los pasajeros con boleto que se presentan para realizar el vuelo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no todos los pasajeros con boleto que se presentan para realizar el vuelo puedan ser acomodados?
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA Si tu eres la primera persona en lista de espera (lo que significa que serás el primero en abordar el avión si hay asientos disponibles después de que han sido acomodados todos los pasajeros con boleto), ¿Cuál es la probabilidad de que pueda realizar el vuelo? d) ¿Cuál es la probabilidad si eres la tercera persona en la lista de espera? e) ¿Cuántos pasajeros con boleto esperaría que se presentaran en el siguiente vuelo? f) Determinar la varianza para esta distribución. c)
183. Un
paquete sorpresa contiene 5 piezas con un valor de $1.00 cada una, 5 piezas con un valor de $3.00 cada una y 10 piezas con un valor de $5.00 cada una. Es lógico pagar $4.00 por el privilegio de elegir una de estas piezas al azar?
184. Un
negocio de computadoras que atiende pedidos por correo, tiene 6 líneas telefónicas. Sea X el número de líneas en uso en un momento específico. Supongamos que la distribución de X se muestra en la siguiente tabla: X 0 1 2 3 4 5 6 P(x) 0.10 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04 Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) A lo sumo tres líneas están en uso. b) Menos de 3 líneas están en uso. c) Por lo menos 3 líneas están en uso. d) Entre 2 y 5 líneas, inclusive, están en uso. e) Entre 2 y 4 líneas, inclusive, no están en uso. f) Por lo menos cuatro líneas no están en uso. g) ¿Cuántas líneas esperaría que estuvieran en uso? h) Determinar la varianza para esta distribución. 185. Un departamento de planeación de un
municipio requiere a un contratista para que remita una, dos, tres, cuatro o cinco formas (Dependiendo de la naturaleza del proyecto) a fin de solicitar un permiso de construcción. Sea Y=número de formas requeridas del siguiente solicitante. Se sabe que la probabilidad de que se requieran “y” formas es proporcional a “y”, es decir, p(y)=ky para y=1, 2,…,5. a) ¿Cuál es el valor de k? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo se requieran 3 formas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran entre 2 y 4 formas inclusive?.
186. Un
llavero contiene cuatro llaves casi idénticas de una oficina, pero sólo una abre la puerta. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba. Se “x” la variable aleatoria que asigna el número de intentos hasta lograr abrir la puerta. Determinar: a) La distribución de probabilidades. b) La distribución de probabilidades acumuladas. c) ¿Cuántas llaves esperaría tener que probar para abrir la puerta. d) ¿Cuál es la desviación estándar para esta distribución? e) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que probar todas las llaves para abrir la puerta?
187. Un
contratista debe decidir entre dos trabajos. El primero promete un beneficio de $120,000 con una probabilidad de ¾ o una perdida de $30,000 (Como consecuencia de huelgas y otras demoras) con una probabilidad de ¼; el segundo trabajo promete un beneficio de $180,000 con una probabilidad de ½ o una pérdida de $45,000 con una probabilidad de ½. ¿Qué trabajo debe seleccionar el contratista para incrementar al máximo su beneficio esperado?.
188. Muchos fabricantes tienen programas de control
de calidad que incluyen la revisión de defectos en materiales recibidos. Supóngase que un fabricante de computadoras recibe tarjetas en lotes de 5. De cada lote se seleccionan 2 tarjetas para inspeccionarlas. a) Liste los 10 posibles resultados. b) Supóngase que las tarjetas 1 y 2 son las únicas defectuosas de un lote de 5 y se escogerán al azar dos tarjetas. Sea X el número de tarjetas defectuosas observadas entre las inspeccionadas. Determina la distribución de probabilidad de X. c) Determinar la distribución de probabilidad acumulada. 189. Un
arquitecto que diseña jardines debe decidir si concursa para el diseño de los jardines de una construcción pública. ¿Qué debe hacer si imagina que el trabajo promete un beneficio de $10,800 con una probabilidad de 0.40 o una pérdida de $7,000 (como resultado de una falta de lluvias o tal vez una helada anticipada) con una probabilidad de 0.60 y que no vale la pena a menos de que su beneficio esperado sea de $1,000 como mínimo?
190. Un
embarque de siete monitores Reuters contiene dos aparatos defectuosos. Un banco
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA realiza una compra aleatoria de 3 de estos monitores. Si “x” es la variable aleatoria que asigna el número de unidades defectuosas que se adquieren. Determinar: a) La distribución de probabilidades. b) La distribución de probabilidades acumuladas. c) La función de probabilidad. d) ¿Cuántas unidades defectuosas esperaría adquirir? e) ¿Cuál es la varianza para esta distribución? regiones de California son particularmente propensas a sismos. Suponga que en un área, 30% de los propietarios de casa esta asegurado contra daños por sismos. Se elige al azar a cuatro propietarios de casa; sea X el número de propietarios de entre los cuatro que tienen seguro contra sismos. a) Determine la distribución de probabilidad de X. b) ¿Cuál es el valor más probable para X? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 de los 4 seleccionados tengan seguro contra sismos?
Liste los cuatro resultados para los cuales Y=5 y luego termine. e) Obtenga una fórmula general para p(y).
d)
194. Se
lanzan 2 dados no cargados de manera independiente. Sea M=el máximo de los dos lanzamientos (Así que M(1,5)=5, M(3,3)=3, etc). a) ¿Cuál es la distribución de probabilidades de M? b) Determine F(M). c) ¿Cuál sería el máximo que esperaría obtener? d) ¿Cuál es la varianza de esta distribución?
191. Algunas
195. Una
biblioteca se suscribe a dos semanarios, cada uno de los cuales se supone llega en el correo del miércoles. En realidad cada uno podría llegar el miércoles, jueves, viernes o sábado. Suponga que los dos llegan de manera independiente y que para cada uno: P(Miércoles)=0.3, P(Jueves)=0.4, P(Viernes)=0.2 y P(Sábado)=0.1. Sea Y=número de días que pasan después del miércoles hasta que llegan los semanarios. Determine la distribución de probabilidad de Y.
192. Un
196. La
193. El
197. De
conductor de camión tiene que entregar una carga de materiales para construcción en una de dos construcciones, que se encuentran a 18 y 22 millas de distancia de la maderería. Ha extraviado la orden que le indica a donde debe llevar la carga. Después de la entrega debe regresar a la maderería. Las construcciones están a 8 millas de distancia entre si y para cumplir las cosas el teléfono de la maderería no funciona. Si el conductor cree que la probabilidad de que la carga deba ir a la construcción que se halla a 18 millas de la maderería es de 1/6 y de 5/6 de que vaya a la otra construcción, ¿A dónde debe ir primero para reducir al mínimo la distancia esperada que deberá recorrer?
voltaje de una batería nueva puede ser aceptable (A) o inaceptable (I). Cierta linterna necesita dos baterías, así que se eligen de manera independiente y se prueban hasta encontrar dos aceptables. Suponga que 90% de las baterías tienen voltaje aceptable, Sea Y el número de baterías que deben ser probadas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deban probar 2 baterías? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se requiera probar 3 baterías? c) ¿Para tener Y=5 Qué debe ser cierto de la quinta batería seleccionada?
gerencia de una compañía de minería debe decidir si continúa una operación en cierto sitio. Si continúan y tienen éxito, obtendrán un beneficio de $4,500,000; si continúan y no tienen éxito, perderán $2,700,000; si no continúan pero habrían tenido éxito de haber continuado perderán $1,800,000 (por razones de competencia); y si no continúan y no habrían tenido éxito de haber continuado, obtendrán un beneficio de $450,000 (porque los fondos destinados a la operación siguen sin gastarse). ¿Qué decisión aumentaría al máximo el beneficio esperado de la compañía si se cree que hay una probabilidad de éxito de: a) ½? b) 1/3? un conjunto de n piezas, entre las cuales se sabe que exactamente tres es están defectuosas, se escogen al azar dos piezas. Sea x el número de piezas defectuosas entre las escogidas. Calcule n si se sabe que E(x)=3/4.
198. Una
X
organización de consumidores que evalúa automóviles nuevos, suele informar el número de defectos importantes en un automóvil examinado. Sea X el número de defectos importantes de un automóvil de cierto tipo seleccionado al azar. Si: 0 1 2 3 4 5 6
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA F(x)
0.06 0.19 0.39 0.67 0.92 0.97 Calcule las siguientes probabilidades: a) P(2). b) P(x>3) c) P(2≤x≤5) d) P(2
1
199. Una
compañía de seguros ofrece a sus asegurados varias opciones para el pago de primas. Para un asegurado seleccionado al azar, sea X= número de meses entre pagos sucesivos. Si: X 1 3 4 6 12 F(x) 0.30 0.40 0.45 0.60 1 a) Determinar f(x). b) Calcular P(3 ≤x≤6) c) Calcular P(4 ≤x) d) Calcular E(x) e) Calcular la varianza
200. Una
moneda se lanza hasta que sale un sol. Sea “x” la variable aleatoria que asigna el número de lanzamientos que se realizan para que salga el primer sol. Determinar: a) La distribución de probabilidades b) La función de probabilidad.
201. De una caja que contiene 7 listones de color azul
y 3 de color negro, se extraen 8 sin remplazo. “x” es la variable aleatoria que asigna el número de listones de color azul que se extraen. Determinar: a) La distribución de probabilidades. b) La función de probabilidad. 202. Suponga
que se lanzan 2 dados y sea “x” la variable aleatoria que asigna el valor absoluto de la diferencia entre los dos números que aparecen. Determinar: a) La distribución de probabilidades b) ¿Qué diferencia esperaría obtener?
203. En un problema de una prueba aplicada a niños
pequeños, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica al animal respectivo. Si un niño asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos. Determinar la distribución de probabilidad para la variable aleatoria “x” que asigna el número de correspondencias correctas. TERCER EXAMEN 204. Una
moneda corriente se lanza tres veces. Hallar la probabilidad p de que salgan: a) tres soles.
b) c) d)
Dos soles. Un sol. Cero soles.
205. Una
computadora se descompone en promedio 1.8 veces por mes. Obtenga las probabilidades de que esta computadora funcione durante un mes: a) Sin descomposturas. b) Con una sola descompostura.
206. El
equipo A tiene 2/3 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega 4 partidos, hallar la probabilidad de que A gane: a) Dos partidos. b) Un partido por lo menos. c) Más de la mitad de los juegos.
207. Entre
las 12 casas que hay en venta en un fraccionamiento, 9 tienen aire acondicionado. Si se seleccionan 4 de las casas para un desplegado en un periódico. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de estas tengan aire acondicionado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 2 tengan aire acondicionado? c) ¿Cuántas casas esperaría que tuvieran aire acondicionado?
208. Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad
p de que sean: a) 3 niños y 3 niñas. b) Menos niños que niñas. 209. El
número de quejas que una oficina de boletos de tren recibe por día promedia 3.6 quejas/día. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba: a) Solo 2 quejas en cualquier día determinado? b) Por lo menos 3 quejas en cualquier día determinado?
210. La
probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es ¼. a) Si dispara 7 veces ¿Cuál es la probabilidad de que dos veces por lo menos pegue en el blanco? b) ¿Cuántas veces tiene que disparar para que la probabilidad de pegar por lo menos una vez sea mayor que 2/3?
211. Determinar el número esperado de
niños de una familia con 8 hijos, suponiendo la distribución del sexo igual probable. ¿Cuál es la probabilidad de que el número esperado de niños suceda?.
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 212. La
probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Un cargamento de 10,000 artículos se envía a sus almacenes. Hallar el número esperado E de artículos defectuosos y la desviación estándar.
luces defectuosas. Si este valor permanece invariable y se selecciona al azar una muestra de 100 luces, encontrar la probabilidad de que se encuentren 3 luces defectuosas o menos 220. Sea
213. En
la cocina de un restaurante, durante el lavado de platos, se rompe uno de cada 32 por día de trabajo. Calcule la probabilidad de que sea el decimosexto plato que se lave el primero que se rompa.
214. Entre
20 celdas solares que se presentan en una exposición comercial, 12 son celdas planas y las otras son celdas de concentración. Si una persona que visita la exposición selecciona al azar 6 de las celdas solares para revisarlas ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 3 de estas sean planas? b) Por lo menos 1 sea plana? c) A lo sumo 4 sean planas?
215. Un
servicio de ambulancias recibe en promedio 5.5 llamadas de emergencia por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día determinado reciba: a) Solo cuatro llamadas de emergencia? b) Cuando mucho 7 llamadas de emergencia? c) Por lo menos 5 llamadas de emergencia?
216. La
compañía XYZ ha planeado presentaciones de ventas a una docena de clientes importantes. La probabilidad de recibir un pedido producto de este esfuerzo se estima en 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de recibir cuatro o más pedidos?
217. Un
proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción de 2% de piezas defectuosas. Cada dos horas se toma una muestra aleatoria de tamaño 50. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas, el proceso debe interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso sea interrumpido.
218. El número de llamadas que una persona obtiene
en respuesta a un anuncio en el periódico para la venta de un piano promedia 4.4 llamadas/día. ¿Cuáles son las probabilidades de que en respuesta a dicho anuncio una persona reciba: a) Solo dos llamadas? b) Solo tres llamadas? c) A lo sumo 3 llamadas?
x una variable aleatoria binomial con parámetros n= 15 y p= 0.2. a) Calcule E(x) y Var (x). b) Calcule P( x ≤ 1) c)
Calcule P(2 ≤ x ≤ 7 )
d)
Calcule P(2 ≤ x < 7 )
e)
Calcule P( x ≥ 3)
221. Entre
12 hombres que solicitan un trabajo en el servicio postal, las esposas de 9 trabajan. Si se selecciona aleatoriamente a 2 de los solicitantes para una consideración adicional, ¿Cuáles son las probabilidades de que: a) La esposa de ninguno trabaje? b) Solo la esposa de uno trabaje? c) Las esposas de ambos trabajen?
222. Las
ratas albinas utilizadas en estudios de regulación hormonal de una vía metabólica reciben la inyección de un medicamento que inhibe la síntesis corporal de proteínas. La probabilidad de que la rata muera a causa del medicamento antes de que termine el experimento es de 0.2. Si se trata a 10 animales con el fármaco: a) ¿Cuántos se espera que fallezcan antes del experimento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 8?
223. Se
ha observado que el 80% de las impresoras conectadas a computadoras en el hogar funcionan correctamente en el momento de la instalación. Las demás precisan ajustes. Un distribuidor específico vende 10 unidades en un mes. a) Calcule la probabilidad de que al menos 9 de las impresoras funcionen correctamente al ser instaladas. b) Considere 5 meses en los que se venden 10 unidades mensuales ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos 9 unidades funcionen adecuadamente en cada uno de los 5 meses?
224. Una
variable aleatoria binomial tiene media 5 y varianza 4. Calcular los valores de n y p que caracterizan la distribución.
219. Se
sabe que el proceso de producción de luces direccionales para automóvil produce un 1% de
25
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 225. Un
banco recibe en promedio 7.5 solicitudes de préstamo por día. Determinar la probabilidad de que en cualquier día el banco reciba: a) Exactamente 6 solicitudes de préstamo. b) Como máximo 4 solicitudes de préstamo. c) Como mínimo 8 solicitudes de préstamo. d) Entre 5 y 10 solicitudes de préstamo inclusive.
226. Cuando
se prueban tarjetas de circuitos empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. En una muestra de 25 tarjetas, ¿Cuál es la probabilidad de q ue: a) Cuando mucho dos estén defectuosas? b) Por lo menos 5 estén defectuosas? c) Entre 1 y 4 inclusive estén defectuosas? d) Ninguna este defectuosa? e) ¿Cuántas espera que estén defectuosas? f) ¿Cuál es la desviación estándar del número de defectuosas? inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques provenientes de Madrid por vía aérea. Si la selección es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando, encuentre las probabilidades de que el inspector de aduanas: a) No encuentre ningún embarque con contrabando. b) Encuentre contrabando en todos los embarques. c) Por lo menos en un embarque encuentre contrabando.
a) b) c) d)
A lo sumo 6 se detengan por completo? 6 se detengan por completo? Al menos 6 se detengan por completo? ¿Cuántos de los siguientes 20 automovilistas espera que se detengan por completo?
230. Un
tipo de raqueta de tenis se fabrica en dos tamaños: mediano y extra grande. 60% de los clientes de cierta tienda prefieren la versión extra grande. Entre 10 clientes seleccionados al azar que prefieren este tipo de raqueta, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes que prefiera la versión extra grande: a) Sea por lo menos 6? b) Este dentro de una desviación estándar del valor medio? c) La tienda tiene en existencia 6 raquetas de cada modelo, ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes 10 clientes que prefieren este tipo de raqueta obtengan la versión que desean de las existencias actuales?
227. Un
231. Las
228. Una compañía que produce cristal fino sabe por
232. Veinte por ciento de todos
experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y se deben clasificar como “de segunda”. a) Entre 6 copas seleccionadas al azar, ¿Qué tan probable es que solo una sea de segunda? b) Entre 6 copas seleccionadas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 sean de segunda? c) Si se examina una por una a las copas, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo se deban seleccionar cinco para encontrar 4 que no sean de segunda? que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un cruce con luces rojas intermitentes en todas direcciones cuando no esta visible ningún otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar que llegan a la intersección en estas condiciones,
probabilidades de que conduciendo cierto sedán de 2 puertas se obtenga un rendimiento promedio de menos de 20 millas por galón de combustible, cualquier cantidad de 20 a 25 millas por galón o más de 25 millas por galón son 0.30, 0.60 y 0.10. Obtenga la probabilidad de que entre 6 automóviles de esta tipo sometidos a prueba, dos promedien como mínimo 20 millas por galón, 3 promedien cualquier cantidad de 20 a 25 millas por galón y 1 promedie más de 25 millas por galón. los teléfonos de cierto tipo son llevados a reparación cuando todavía esta vigente la garantía. De estos 60% se reparan en tanto que el otro 40% se deben sustituir por nuevas unidades. Si una compañía compra 10 de estos teléfonos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos terminen reemplazados dentro del periodo de garantía?
233. Un
embarque de 200 alarmas contra robo contienen 10 piezas defectuosas. Se seleccionan al azar 5 alarmas contra robo para enviarlas a un cliente, ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma contra robo defectuosa?.
229. Suponga
234. El consejo universitario informa que 2% de los
2 millones de estudiantes de secundaria que se presentan a un test de aptitud cada año reciben lugares especiales como resultado de incapacidades documentadas. Considere una muestra de 25 estudiantes que ha realizado el
26
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA examen en fechas recientes. ¿Cuál es la probabilidad de que a) Uno recibió un lugar especial? b) Por lo menos uno recibió un lugar especial? c) Por lo menos dos recibieron un lugar especial? d) El número entre los 25 que recibieron un lugar especial este dentro de dos desviaciones estándar del número que esperarías pudieran recibir lugar especial? e) Suponga que a un estudiante que no recibe un lugar especial se le dan 3 horas para el examen, mientras que a un estudiante con lugar especial se le dan 4 horas y media. ¿Cuál esperaría que fuera el tiempo promedio permitido a los 25 estudiantes seleccionados? 235. Suponga
que 90% de las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Cierto tipo de linterna requiere dos baterías tipo D, y la linterna trabaja solo si ambas baterías tienen voltajes aceptables. Entre 10 linternas elegidas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos funcionen 9?
236. Un
puente de peaje cobra un dólar a los automóviles de pasajeros y 2.50 a otros vehículos. Supóngase que durante las horas diurnas, 60% de los automóviles son de pasajeros. Si 25 vehículos cruzan el puente durante determinado periodo diurno, ¿Cuál es el ingreso por peaje esperado?
237. Un
estudiante que esta tratando de escribir un trabajo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si elige el tema A, pedirá dos libros por medio de préstamo ínter bibliotecario, pero si selecciona el B pedirá 4 libros. El estudiante cree que un buen trabajo requiere por lo menos la mitad de los libros solicitados para cualquier tema elegido. Si la probabilidad de que un libro solicitado por medio de préstamo ínter bibliotecario en realidad llegue a tiempo es 0.9 y los libros llegan de modo independiente entre si. a) ¿Cuál tema deberá seleccionar el estudiante para maximizar la probabilidad de hacer un buen trabajo? b) ¿Cuál si la probabilidad de llegada es solo de 0.5 en lugar de 0.9?
238. En una distribución binomial, para una “n” fija: a) ¿hay valores de “p” para los cuales la
b)
¿Para qué valores de “p” se maximiza la varianza?
239. Una
compañía que fabrica equipo aeroespacial ha construido cinco misiles. La probabilidad de realizar un disparo exitoso con ellos es, en cualquier prueba, 0.95. Suponiendo lanzamientos independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que la primera falla ocurra en el quinto disparo?
240. En
Atlanta, la probabilidad de ocurra una tormenta en cualquier día durante la primavera es 0.05. Suponiendo independencia.¿Cuál es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 25 de abril? Suponiendo que la primavera empieza el 21 de marzo.
241. Supongamos
que el 30% de los aspirantes a ingresar a la carrera de informática de la UPIICSA tiene conocimientos avanzados en programación computacional. Si los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determinar la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un conocimiento avanzado en programación en la quinta entrevista.
242. Las
probabilidades de que una forma estatal de impuesto sobre la renta se presente correctamente, solo contenga errores que favorecen al contribuyente, solo contenga errores que favorecen al gobierno y de que contenga ambos tipos de errores son 0.60, 0.20, 0.10 y 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 de dichas formas de tributación (seleccionadas aleatoriamente para una auditoria) 7 se presenten en forma correcta, 1 solo contenga errores que favorecen al contribuyente, 1 solo contenga errores que favorecen al gobierno y 1 contenga ambos tipos de errores?.
243. Supongamos
que una compañía de explotación de petróleo asociada a PEMEX perforará una serie de pozos en Veracruz para buscar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0.2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente puede perforar a lo más 10 pozos?
varianza vale 0?
27
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 244. Si
la probabilidad de que cierto instrumento de medición sufra una desviación excesiva es 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que para encontrar el primer instrumento con desviación excesiva se deban probar: a) Seis instrumentos? b) Menos de 3 instrumentos? c) Por lo menos 2 instrumentos? d) ¿Cuántos instrumentos esperaría tener que probar?
245. Se sabe que 20% de las personas a quienes se
les administra cierto medicamento se siente muy aletargado en dos minutos. Encuentre las probabilidades de que entre 14 personas a quienes se les administra este medicamento: a) A lo sumo dos se sientan muy aletargadas en dos minutos. b) Por lo menos 5 se sientan muy aletargadas en dos minutos. c) Entre dos y cuatro inclusive se sientan muy aletargadas en dos minutos. que un contador de Hacienda ha encontrado que 9 de 10 auditorias de empresas nacionales contienen errores importantes. Si el contador revisa la contabilidad de una serie de empresas ¿Cuál es la probabilidad de que a) La primera contabilidad con errores importantes sea la tercera contabilidad revisada? b) La primera contabilidad con errores importantes sea encontrada después de revisar la tercera.
250. En un departamento de una empresa se tienen 10
computadoras, de las cuales 4 son defectuosas. Un empresario selecciona 5 de las computadoras al azar, suponiendo que todas funcionan bien. ¿Cuál es la probabilidad de que las 5 computadoras sean defectuosas? 251. De
6 profesores, 3 han estado en el departamento de matemáticas 5 ó más años. Si se escogen aleatoriamente 4 profesores del grupo de 6. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos tengan 5 ó más años de antigüedad?
252. Un
estudio revela que 70% de todos los pacientes que asisten a cierta clínica médica deben esperar por lo menos 15 minutos para ver a su doctor. Obtenga la distribución de probabilidades para la variable aleatoria x que asigna al número de pacientes que deben esperar por lo menos 15 minutos para ser atendidos, de un total de 10 pacientes.
246. Supongamos
253. Se tienen en existencia 20 chips de
computadora. 3 de ellos presentan errores de grabación que no se pueden identificar a simple vista. Se seleccionan e instalan 5 de los chips en equipos. a) Encuentre la probabilidad de que no se seleccione algún chip con error de grabación. b) Calcule la probabilidad de que se elija por lo menos un chip con error.
254. Los 247. La
probabilidad de que un pozo perforado al azar sea productivo es de 1/3. Suponga que un grupo perfora pozos en diversas partes del país, de modo que el estatus de un pozo no afecta a ningún otro. Si ya se perforaron 3 pozos y todos resultaron productivos ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto no lo sea?
248. Un recipiente contiene 10 esferas de las cuales 5
son negras, 2 blancas y 3 anaranjadas. Se sacan tres esferas del recipiente, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres esferas sean negras? 249. En
una ciudad determinada se dice que los gastos médicos son la razón del 60% de todas las bancarrotas personales. ¿Cuál es la probabilidad de que se mencionen los gastos médicos como el motivo de 4 de las 6 bancarrotas personales próximas que se registren en esa ciudad?
expedientes de una compañía de albercas indican que la probabilidad de que una de sus nuevas albercas requiera reparación en el plazo de un año es de 0.20. Determinar la probabilidad de la sexta alberca construida en un año determinado sea: a) La primera en requerir reparación en ese lapso. b) La cuarta en requerir reparación en ese lapso.
255. Si la probabilidad de que un juego de tenis entre
dos jugadores profesionales lleguen a muerte súbita es 0.15, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de 3 encuentros entre estos jugadores lleguen a la muerte súbita? 256. Un
distribuidor de software desea obtener retroalimentación de los clientes acerca de su más reciente paquete. Han adquirido el producto 3000 clientes. Suponga que 600 de ellos están insatisfechos con el producto. Se realiza un
28
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA muestreo aleatorio e interrogatorio de 20 clientes acerca del paquete. Sea x el número de clientes muestreados que están insatisfechos. Determinar la probabilidad de que: a) Menos de 4 estén insatisfechos. b) Por lo menos 2 estén insatisfechos. 257. De acuerdo con
un estudio de población se sabe que, para las próximas elecciones, la probabilidad de que una persona bote por un partido político es de 0.27. Durante el proceso electoral. Determina la probabilidad de: a) La vigésima persona en llegar a votar sea el voto número 9 a favor de dicho partido político. b) ¿Cuántos votantes esperaría que votarán para que el partido político obtuviera sus primeros 9 votos.
258. Cierto
tipo de cámara digital viene en una versión de 3 mega píxeles y una de 4 mega píxeles. Una tienda de cámaras recibió un envío de 15 de estas cámaras, de las cuales 6 tienen una resolución de 3 mega píxeles. Suponga que se eligen al azar cinco de estas cámaras para colocarlas en el mostrador; las otras diez se colocan en un almacén. ¿Cuál es la probabilidad de que se elijan para el mostrador: a) 2 cámaras de 3 mega píxeles? b) Cuando mucho 2 cámaras de 3 mega píxeles? c) Por lo menos 4 cámaras de 3 mega píxeles? d) ¿Cuántas cámaras de 3 mega píxeles espera que se elijan para el mostrador? e) ¿Cuál es la desviación estándar para las cámaras de 3 mega píxeles para el mostrador?
259. Cada uno de los 12 refrigeradores de cierto tipo
se devolvió a un distribuidor por un sonido agudo oscilante cuando el refrigerador esta funcionando. Suponga que 7 de estos refrigeradores tienen un compresor defectuoso y los otros cinco tienen problemas menos graves. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los 6 primeros examinados: a) 5 tengan un compresor defectuoso? b) A lo sumo 4 tengan un compresor defectuoso? c) La probabilidad de que el número de refrigeradores con un compresor defectuoso exceda su valor medio en una desviación estándar. menciona la incompatibilidad como la causa legal de 55% de los casos de divorcio registrados en un municipio determinado.
Obtenga la probabilidad de que se mencione la incompatibilidad como la causa de 4 de los siguientes 6 casos de divorcio registrados en ese municipio. Un profesor que enseño dos secciones del último trimestre de estadística en ingeniería, el primero con 20 alumnos y el segundo con 30, decidió asignar un proyecto. Después de recibir todos los proyectos, el profesor los ordeno al azar antes de calificarlos. Considere los 15 primeros proyectos calificados. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) 10 de estos provengan de la segunda sección? b) Por lo menos 10 de estos provengan de la segunda sección? c) Al menos 10 de estos sean de la misma sección? d) ¿Cuántos esperaría que fueran de la segunda sección? e) ¿Cuál es la desviación estándar para los de la segunda sección? f) ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar del número de proyectos que no están entre los 15 primeros que son de la segunda sección?
261.
262. Un
geólogo reunió 10 especimenes de roca basáltica y 10 de granito. El geólogo instruye a un asistente de laboratorio a seleccionar al azar 15 de los especimenes para análisis. a) ¿Cuál es la distribución de probabilidades del número de especimenes de granito seleccionados para el análisis? b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los especimenes de uno de los dos tipos de roca sean seleccionados para el análisis? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de especimenes de granito seleccionados para su análisis este dentro de una desviación estándar de su valor promedio?
263. Un
gerente de personal que entrevista a 11 ingenieros para 4 vacantes, ha programado 6 entrevistas para el primer día de entrevistas y cinco para el segundo. Suponga que los candidatos son entrevistados al azar? a) ¿Cuál es la distribución de probabilidades para que “x” de los mejores cuatro candidatos sean entrevistados el primer día? b) ¿Cuántos de los 4 mejores candidatos se espera que sean entrevistados el primer día?.
260. Se
264. Una
prueba de opción múltiple consiste en 10 preguntas con 4 respuestas para cada pregunta.
29
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA Un estudiante responde cada pregunta lanzando al aire una moneda de $5 y una de $10 y verificando la primera respuesta si obtiene sol en las dos monedas, la segunda respuesta si obtiene sol en la moneda de $5 y águila en la de $10, la tercera si obtiene águila en la de $5 y sol en la de $10 y la cuarta si obtiene águila en las dos monedas. Encuentre las probabilidades de que: a) Obtenga exactamente 3 respuestas correctas. b) No obtenga ninguna respuesta correcta. c) A lo sumo obtenga 4 respuestas correctas. que llegan a un cruce pueden dar vuelta a la izquierda o a la derecha, o continuar de frente. En un estudio sobre los patrones del transito en este cruce, los ingenieros han observado que 40% de los vehículos dan vuelta a la izquierda, 25% a la derecha y el resto continua de frente. Calcule la probabilidad de que, de los siguientes seis automóviles que lleguen al cruce, dos den vuelta a la izquierda, dos a la derecha y dos sigan de frente.
a) b)
270. Una
caja contiene un número muy grande de canicas rojas, blancas, azules y amarillas en las proporciones 4:3:2:1. Encuentre la probabilidad de que en 10 retiros, con reemplazo, saquen: a) 4 rojas, 3 blancas, 2 azules y 1 amarilla. b) 8 rojas y 2 amarillas.
271. Si
la probabilidad de que una persona que viaja por cierta aerolínea pague una tarifa adicional para ver una película es 0.65. ¿Cuál es la probabilidad de que solo 3 de 6 personas que viajan por esta aerolínea pague una tarifa adicional para ver una película?
265. Los vehículos
266. Un
gerente de personal está entrevistando a empleados potenciales con el propósito de ocupar dos vacantes. La probabilidad de que el entrevistado tenga las cualidades necesarias y acepte un ofrecimiento es 0.8. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro personas deban ser entrevistadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de cuatro personas deban ser entrevistadas?
Aparezca un 1, dos 2, tres 3. Cada lado aparezca una vez.
272. Tres
compañías X, Y y Z, tienen probabilidades de obtener un pedido de tipo particular de mercancía de 0.4, 0.3, y 0.3 respectivamente. Tres pedidos se van a asignar en forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las compañías reciba los tres pedidos?
273. Estamos
interesados en el peso de unos costales de forraje. Específicamente, necesitamos saber si alguno de los cuatro eventos siguientes a ocurrido: P(T 1) =0.2 T 1 = ( X ≤ 10) P(T 2) =0.2 T 2 = (10 < X ≤ 11) P(T 3) =0.2 T = (11 < X ≤ 11.5) 3
P(T 4) =0.4 T 4 = (11.5 < X ) Si 10 costales se seleccionan al azar, ¿Cuál es la 267. La probabilidad de que un experimento tenga un resultado exitoso es 0.80. El experimento se probabilidad de que 4 tengan un peso menor o igual a 10 repetirá hasta que ocurran cinco resultados libras, de que uno sea mayor a 10 libras pero menor o igual a 11 libras y de que 2 sean más grandes que 11.5 exitosos. a) ¿Cuál es el número esperado de repeticiones libras? necesarias? 274. Se estima que 25 automóviles pasan por un b) ¿Cuál es la varianza? cruce particular cada hora. Obtenga la probabilidad de que menos de 10 vehículos 268. Suponga que la probabilidad de que nazca un crucen durante cualquier intervalo de una hora. varón es 0.45. Una pareja desea tener exactamente dos niñas en su familia. Tendrán 275. Si el 40% de los ratones que se usan en una hijos hasta que se satisfaga esta condición. prueba se tornarán muy agresivos un minuto ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga después de habérseles administrado un a) 4 hijos? medicamento experimental. Obtenga la b) A lo sumo 4 hijos? probabilidad de que exactamente 4 de 10 c) ¿Cuántos varones esperaría que tuviera esta ratones a los que se les a administrado el familia? medicamento se tornen muy agresivos un minuto d) ¿Cuántos hijos esperaría que tuviera esta familia? después? 269. Se
lanza 6 veces un dado, encuentre la probabilidad de que:
276. El
número de glóbulos rojos por unidad cuadrada de sangre visible bajo el microscopio
30
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA sigue la distribución de Poisson con media 4. Encuentre la probabilidad de que más de 5 glóbulos rojos sean visibles para el observador. 277. Un
telar experimenta una rotura de hilo aproximadamente cada 10 horas. Se esta produciendo un estilo particular de tela que requiere 25 horas de trabajo. Si con tres o más roturas el producto es no satisfactorio, encuentre la probabilidad de que la tela se termine con la calidad aceptable.
278. Cuando
se rueda un comercial de televisión, la probabilidad de que cierto actor logre todas sus líneas en una toma es 0.40. ¿Cuál es la probabilidad de que este actor logre todas sus líneas por vez primera en la cuarta toma?
279. Los
geofísicos determinan la antigüedad de un circonio, al encontrar el número de huellas de fisión de uranio sobre una superficie pulida. Un circonio tiene antigüedad tal que se encontraron 125 huellas en una pieza de 25 cm2 , ¿Cuál es la probabilidad que una muestra de 2 cm2 de este circonio contenga cuando mucho 3 huellas, lo que llevaría a la subestimación de su antigüedad?
280. Si
es verdad que se pueden prevenir el 80% de todos los accidentes industriales prestando estricta atención a las normas de seguridad, obtenga la probabilidad de que se puedan prevenir, por lo tanto, 4 de 7 accidentes.
281. Suelen
requerirse estructuras de apoyo de peso en las minas subterráneas para soportar cargas adicionales durante las operaciones de extracción. A medida que las estructuras se ajustan al nuevo peso ocurren desplazamientos de pequeña escala que llevan a la liberación de energía sísmica y acústica, el llamado “Ruido de Roca”. Esa energía es detectable con equipo geofísico especial. Suponga que en una mina específica el número promedio de ruidos de roca que se registra durante actividad normal es de 3 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se registren más de 10 ruidos de roca en un periodo de 2 horas?
282. La
cantidad de fracturas en una superficie de caldera de cierto tipo, seleccionada al azar, es de 5 fracturas/m2 , en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en un m2 de caldera seleccionado al azar se encuentren: a) a lo sumo 4 fracturas? b) 8 fracturas?
c) d) e)
Por lo menos 9 fracturas? Entre 5 y 8 fracturas inclusive? Entre 5 y 8 fracturas?
283. El
número de tornados observados en determinada región es de 8 tornados/año. Calcular la probabilidad de que durante los siguientes 6 meses se observen: a) Menos de 6. b) Entre 6 y 9 inclusive. c) Por lo menos 10. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el número observado de tornados sea mayor al esperado más de una desviación estándar?
284. Un
estudio demuestra que 50% de las familias de un área metropolitana grande tiene por lo menos 2 automóviles. Obtener las probabilidades de que entre 16 familias seleccionadas al azar en esta área metropolitana: a) Exactamente 9 tengan por lo menos dos automóviles. b) A lo sumo 6 tengan por lo menos dos automóviles. c) Cualquier cantidad entre 8 y 12 tengan por lo menos dos automóviles.
285. Una
tienda de música vende tres tipos de aparatos: 15% de precios altos, 49% de precios medios y 36% de precios bajos. ¿Cuál es la probabilidad de que, entre 12 clientes: a) 5 compren aparatos de precios altos, 4 de precios medios y 3 de precios bajos. b) La misma cantidad de clientes compren aparatos de precios bajos, medios y altos. c) La misma cantidad de clientes compren aparatos de precios bajos y medios.
286. En
una máquina copiadora, 15 de cada mil copias salen defectuosas. Determinar la probabilidad de que la cuarta copia sea: a) La primera defectuosa. b) La tercera defectuosa.
287. Suponga
que la cantidad de conductores que viajan entre cierto origen y destino es de 20/día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de conductores, que viajen durante 6 horas a) Sea a lo sumo 10? b) Sea mayor que 20? c) Este entre 10 y 20, inclusive? d) Este entre 5 y 15? e) Este dentro de dos desviaciones estándar respecto a la media?
31
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA Entre 5 y 8 inclusive sean portadores del gen? b) Por lo menos 8 lleven el gen? a) 288. Considere escribir en un disco de computadora y
luego enviarlo a través de un certificador que cuenta el número de impulsos faltantes. Suponga que este número X tiene una distribución de Poisson con parámetro μ=0.2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el disco falte exactamente un impulso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el disco falten por lo menos dos impulsos? c) Si se eligen de forma independiente 2 discos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno contenga impulsos faltantes? 289. Suponga
que un examen del servicio social esta diseñado para que 70% de todas las personas con un coeficiente intelectual (IQ) de 90 pueda aprobarla. Determinar la probabilidad de que entre 15 personas con IQ de 90 que hacen el examen: a) Lo aprueban a lo sumo 6. b) Lo aprueban como mínimo 12. c) Lo aprueban de 8 a 12 inclusive.
290. La probabilidad de pasarse un tope por
no verlo en cierta calle es de 0.7. Determinar la probabilidad de que: a) El decimocuarto conductor que transita la calle sea el quinto en no verlo y pasárselo. b) El número de conductores observados hasta encontrar el quinto conductor que se pasa el tope por no verlo, supere la media por más de una desviación estándar.
291. Entre
los 180 empleados de una compañía, 144 son sindicalizados y los otros no. Se debe seleccionar al azar a 5 empleados para prestar sus servicios en el comité de consultoría para el fondo de pensión. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 5 empleados seleccionados sean sindicalizados?
292. Suponga
que las probabilidades de que cualquier persona crea un rumor acerca de la vida privada de cierto político es 0.25. ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta persona que oye el rumor sea la primera que la cree?
294. Suponga
que aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto con una tasa de 8 aviones/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que a) exactamente 6 aviones pequeños lleguen durante 1 hora? b) Por lo menos 10 aviones pequeños lleguen durante 1 hora? c) Por lo menos 20 aviones pequeños lleguen durante 2 horas y media? d) A lo sumo 10 aviones pequeños lleguen durante 2 horas y media? e) ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar del número de aviones pequeños que llegan durante un periodo de 90 minutos?
295. El
departamento de bomberos de una localidad reporta que 40% de los incendios ocurre en casas habitación, 30% en oficinas y 30% en fábricas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre ocho incendios seleccionados al azar, 3 sean en casa habitación, 3 en oficina y 2 en fábricas?.
296. Un
grupo desea vender un proyecto a una constructora. Si la probabilidad de que esto suceda es de 0.3. Determinar la probabilidad de que la venta del proyecto tome presentarlo a más de 3 constructoras.
297. La
cantidad de personas que llegan a una sala de urgencias es de 5 personas/hora, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en determinada hora lleguen a) Cuatro personas? b) Por lo menos 4 personas? c) ¿Cuántas personas espera que lleguen durante un periodo de 45 minutos?
298. Si
un futbolista anota 80% de los tiros a gol, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El quinto tiro sea el tercer gol? b) El quinto tiro sea el cuarto gol? c) Se hagan menos de 5 tiros para anotar dos goles?
299. Como 293. En
un artículo de “Los Ángeles Times” (3 de diciembre de 1993) se informa que una de cada 200 personas es portadora de un gen defectuoso que ocasiona cáncer de colon hereditario. En una muestra de 1000 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
resultado de experiencias anteriores se sabe que en cierto colegio la participación de los alumnos en competencias deportivas es de 35% en atletismo, 15% en basquetbol, 40% en futbol y 10% en judo. ¿Cuál es la probabilidad de que, de un grupo de 25 alumnos de dicho colegio, 10
32
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA estén en futbol, 4 en atletismo, 7 en basquetbol y 4 en judo?. 300. El
número de solicitudes de auxilio que recibe un servicio de remolque de vehículos tiene una tasa de 4 solicitudes/hora. a) Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente 10 solicitudes durante un periodo de dos horas. b) Si los operadores de las grúas toman un receso de 30 minutos para almorzar, ¿Cuál es la probabilidad de que no pierdan ninguna llamada de auxilio? c) ¿Cuántas llamadas esperaría durante el receso?
301. La
probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0.70. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer niño expuesto a la enfermedad sea el primero en contraerla?
302. En
el artículo “Reliability-Based Service-Life Assess-ment of aging Concrete Structures” (J. Structural Engr., 1993: 1600-1621) se indica que se puede emplear un proceso de poisson para representar la ocurrencia de cargas estructurales con el tiempo. Suponga que el tiempo promedio entre ocurrencias de cargas es medio año. a) ¿Cuántas cargas espera que ocurran durante 2 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de 5 cargas durante 2 años? c) ¿Cuán largo debe ser un periodo para que la probabilidad de que no ocurra ninguna carga durante ese tiempo sea a lo sumo 0.1?
303. Sea
x una variable aleatoria continua con función de densidad si 2 ≤ x ≤ 4 kx
f ( x ) =
0
Cualquier otro valor a) Calcule el valor de k. b) Calcule P (2.5 ≤ x ≤ 3) Calcule P ( x > 2.5) d) Calcule E(x) y la varianza. c)
304. Sea
x la cantidad de tiempo durante el cuál un estudiante seleccionado al azar saca en préstamo un libro de la reserva de 2 horas en una biblioteca universitaria, Suponga que x tiene la función de densidad
0≤x≤2 0.5 x f ( x ) = en caso contrario 0 a) Calcule la probabilidad de que se tarde menos de 1 hora. b) Entre media hora y 1.5 horas. c) Más de hora y media. d) Calcule E(x) y la varianza. 305. Suponga
que el error que se comete al hacer cierta medición es una variable aleatoria continua con función de densidad k (4 − x 2 ) -2≤ x ≤ 2 f ( x ) = en caso contrario 0 a) Determinar el valor de k. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el error sea mayor a 0? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el error este entre -1 y 1? d) ¿Cuál es la probabilidad de que x<-0.5 ó x>0.5? e) Calcule E(x) y la varianza.
306. Un
maestro de una universidad nunca termina su clase antes de terminar la hora y siempre termina su clase dentro de 2 minutos después de la hora. Sea X=Tiempo que transcurre entre el final de la hora y el fin de la clase, si la función de densidad es: kx 2 0≤x≤2
f ( x ) =
0
en caso contrario a) Determinar el valor de k. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine dentro de 1 minuto después de que termine la hora? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe más allá de la hora entre 60 y 90 segundos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe durante por lo menos 90 segundos, más allá de la hora? e) Calcule E(x) y la varianza. 307. El
peso de arrastre real de una pastilla estéreo que se fija en 3 gramos en un tocadiscos se puede considerar como una variable aleatoria continua con función de densidad
k [1 − ( x − 3)2 ] 2≤x≤4 f ( x ) = 0 en caso contrario a)
Determine del valor de k.
33
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de arrastre real sea mayor que el peso establecido? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real esté dentro de 0.25 gramos del peso prescrito? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real difiera del peso prescrito en mas de 0.5 gramos? e) Calcule E(x) y la varianza. b)
(0,0.75), (0,0) y (a,0). Determinar el valor de a y f(x) para que se trate de una función de densidad de variable aleatoria continua. 312. La gráfica de
f(x) es un triangulo isósceles, que se forma por encima del eje x, con vértices (0,0.5), (-a,0) y (a,0). Determinar el valor de a y f(x) para que se trate de una función de densidad de variable aleatoria continua. grafica de f(x)=3x-x2 forma un área con el eje x, por que valor k se debe multiplicar esta función para que se trate de una función de densidad de variable aleatoria continua, determinar la función.
313. La 308. Para
ir al trabajo una persona primero debe abordar un autobús cerca de casa y después transbordar otro. Si el tiempo de espera total (en minutos) es una variable aleatoria continua con función de densidad 0 ≤ y < 5 ky
f ( y ) = 10k − ky
5 ≤ y ≤ 10
0 Cualquier otro valor a) Determinar el valor de k. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea a lo sumo 3 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea a lo sumo 8 minutos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera este entre 3 y 8 minutos? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea menos de 2 minutos o más de 6 minutos? f) Calcule E(x) y la varianza. 309. Sea
x una variable aleatoria continua con función de densidad 0 ≤ x < π 2 k cos x
− k cos x 3 2 ≤ x < 2 f ( x ) 3 2 ≤ x < 2π k cos x 0 Cualquier otro valor π
π
π
Determinar a) el valor de k b) P(x<π/4) c) P(π/2π) e) Calcule E(x) y la varianza. 310. La gráfica de f(x) es el medio círculo, con centro
en el origen, que se forma por arriba del eje x determinar f(x) para que sea una función de densidad de variable aleatoria continua. 311. La gráfica de f(x) es el triángulo rectángulo, que
se forma en el primer cuadrante con vértices
314. El precio de apertura de
cierta acción bursátil se distribuye de manera uniforme en el intervalo [35 34 ,44 14 ] .¿Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día dado: a) este precio sea menor a 40? b) este precio este entre 40 y 42? c) este precio este entre 42 y 46?
315. En
la selva lacandona se han identificado 100 nidos de cotorros guayaberos (especie en peligro de extinción). Existen muchos animales carroñeros que hacen que de cada 10 nidos cuatro sobrevivan. ¿Cuál es la probabilidad de que entre estos 100 nidos identificados sobrevivan 40 o más? [sugerencia: usar una aproximación normal].
316. La probabilidad
de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.7. Si se prueban 100 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones ,determine la probabilidad de que el vapor se condense en más de la mitad de los tubos [sugerencia: usar una aproximación normal].
317. Suponga
que la temperatura de reacción x (en ºC) de cierto proceso químico tiene una distribución uniforme en el intervalo [-5,5], ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de reacción a) Sea menor a 0ºC? b) Este entre -2.5ºC y 2.5ºC? c) Este entre -2ºC y 3ºC?
318. Se
cree que el tiempo x (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para cierto experimento tiene una distribución uniforme en el intervalo [25,35]. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación a) Sea mayor a 33 minutos?
34
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA b)
Este dentro de 2 minutos del tiempo medio?
319. El
tiempo (milisegundos) que una cabeza de lectura y escritura tarda en localizar un registro deseado en un dispositivo de memoria de disco de computadora una vez que la cabeza a sido colocada en la pista correcta, tiene una distribución uniforme en el intervalo [0,25]. Calcule a) P(10≤x≤20) b) P(x≥10)
326. Sea
X= Tiempo entre dos llegadas sucesivas en la ventanilla de atención de un banco local. Si X α=1, tiene una distribución exponencial con calcule lo siguiente: a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. b) La desviación estándar del tiempo entre llegadas sucesivas. c) P(x≤4) d) P(2≤x≤5)
327. Se 320. El
número promedio de rayos que caen en transformadores durante la estación de tormentas eléctricas intensas es de 2 por semana en un área dada. Calcule la probabilidad de que durante la siguiente temporada de tormentas debe esperarse cuando mucho una semana para que caiga el primer rayo en un transformador.
321. El ruido de roca en una mina subterránea ocurre
con una tasa promedio de 3 ruidos por hora. Calcule la probabilidad de que no se registre tal ruido al menos durante 30 minutos.
X la distancia (m) que recorre un animal desde el lugar donde nace hasta el primer territorio desocupado que encuentra. Suponga que para las ratas canguro, x tiene una distribución exponencial con parámetro α=0.01386. ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia sea: a) A lo sumo 100 m? b) A lo sumo 200 m? c) Entre 100 y 200 m? d) Mayor que la distancia promedio en más de dos desviaciones estándar?
328. La amplia experiencia con ventiladores de cierto 322. Cada año en California ocurren casi 500 sismos
con magnitud suficiente para ser percibidos. Sin embargo los de magnitud destructiva sobrevienen en promedio una vez por año, con una distribución exponencial. Calcule la probabilidad de que transcurran por lo menos 3 meses antes de que tenga lugar el primer temblor destructivo. 323. Se
estima que el tiempo transcurrido hasta la falla de un cinescopio de televisión se distribuye exponencialmente con una media de 3 años. La compañía ofrece garantía por el primer año de uso ¿Qué porcentaje de pólizas tendrá que pagar por este tipo de fallas?
tipo utilizados en motores diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo para el tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el tiempo medio hasta que se presenta una falla es 25000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador seleccionado al azar dure a) Por lo menos 20,000 horas? b) A lo sumo 30,000 horas? c) Entre 20,000 y 30,000 horas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil de un ventilador exceda el valor medio en más de dos desviaciones estándar? e) ¿En más de 3 desviaciones estándar? 329. El
324. En
el concurso anual de pesca de sábalo se inscriben 200 participantes. Se sabe que 40% de los participantes logrará pescar más de 260 kg de sábalo. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 70 concursantes pesquen más de 260 kg de sábalo.
325. Una
caja contiene 24 caramelos. El tiempo que transcurre entre la venta de cada caramelo se distribuye exponencialmente con media de 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que una caja abierta a las 8:00 hrs se termine antes de las 12:00 hrs?
diámetro interior de un anillo de pistón se distribuye normalmente con media de 12 cm y desviación estándar de 0.02 cm. a) ¿Qué fracción de los anillos de pistón tendrá diámetros que excederán de 12.05 cm? b) ¿Qué valor de diámetro interior tiene una probabilidad de 0.9 de ser excedido? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro interior se encuentre entre 11.95 y 12.05 cm?
330. Supóngase
que la temperatura T durante junio está distribuida normalmente con media 68º y desviación estándar 6º. Hallar la probabilidad p de que la temperatura este entre 70º y 80º.
35
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 331. Supóngase
que las estaturas H de 800 estudiantes están normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviación estándar 5 pulgadas. Hallar el número N de estudiantes con estatura. a) Entre 65 y 70 pulgadas. b) Mayor o igual a 6 pies.
332. Sea
Z una variable aleatoria normal estándar y calcule las siguientes probabilidades. a) P(0≤Z≤2.17) b) P(0≤Z≤1) c) P(-2.50≤Z≤0) d) P(-2.50≤Z≤2.50) e) P(Z ≤1.37) f) P(-1.75≤Z) g) P(-1.50≤Z≤2.00) h) P(1.37 ≤Z≤2.50) i) P(1.50≤Z) j) P(|Z|≤2.50)
333. En
cada caso determine el valor de la constante c que hace correcto el enunciado de probabilidad. a) P(0≤Z≤c)=0.291 b) P(c≤Z)=0.121 c) P(-c≤Z≤c)=0.668 d) P(c≤|Z|)=0.016
334. Suponga que la fuerza que actúa en una
columna que ayuda a sostener un edificio tiene una distribución normal, con media 15 kips y desviación estándar 1.25 kips. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza a) Sea a lo sumo 18 kips? b) Se encuentre entre 10 y 12 kips? c) Difiera de 15 kips en a lo sumo dos desviaciones estándar?
335. Suponga
que el diámetro de árboles de determinado tipo a la altura del pecho (pulg) y tiene una distribución normal μ=8.8 con σ=2.8. ¿C uál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, a) Sea por lo menos 10 pulgadas? b) Mayor de 10 pulgadas? c) Mayor de 20 pulgadas? d) Este entre 5 y 10 pulgadas? e) ¿Qué valor de c es tal que el intervalo (8.8-c, 8.8+c) incluya 98% de los valores de diámetro? f) Si se elige a 4 árboles de manera independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 1 tenga un diámetro mayor que 10 pulgadas?
336. Se cuenta con dos máquinas para cortar tapones
de corcho de botellas de vino. La primera produce corchos con diámetros que tienen una distribución normal con media de 3 cm y desviación estándar de 0.1 cm. La segunda máquina produce corchos con diámetros que tienen una distribución normal con media de 3.04 cm y desviación estándar de 0.02 cm. Los corchos aceptables tienen diámetros entre 2.9 y 3.1cm. ¿Cuál máquina tiene más probabilidades de producir un corcho aceptable? 337. En el artículo “Monte Carlo Simulation-Tool for
Better Understanding of LRFD” (J. Structural Engr., 1993: 1586-1599) se indica que la Resistencia a la deformación permanente (ksi) para acero grado A36 tiene una distribución normal con μ=43 y σ=4.5. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia s la deformación permanente sea a) A lo sumo 40? b) Mayor que 60? c) ¿Cuál valor de la resistencia a la deformación permanente separa al 75% más fuerte de los otros? 338. El
dispositivo de apertura automática de un paracaídas militar de carga ha sido diseñado para abrirse cuando el paracaídas está a 200 metros sobre el nivel del suelo. Suponga que la altitud de apertura tiene en realidad una distribución normal con valor medio de 200 metros y desviación estándar de 30 metros. El equipo se daña si el paracaídas se abre a una altitud menor de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que se dañe la carga de por lo menos uno de cinco paracaídas lanzados de forma independiente?
339. La
lectura de temperatura de un termopar colocado en un medio de temperatura constante tiene una distribución normal con media μ, la temperatura real del entorno, y desviación estándar σ . ¿Cuál tendría que ser el valor de σ para asegurar que 95% de las lecturas están dentro de 0.1º de μ.
340. La distribución de
resistencia para resistores de cierto tipo es normal, y 10% de los resistores tiene una resistencia mayor que 10.256 ohms y 5% una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar de la distribución de resistencia?
341. Si
la longitud de roscado de un perno tiene una distribución normal, ¿Cuál es la probabilidad de
36
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA que la longitud de un perno seleccionado al azar esté a) Dentro de 1.5σ de su valor medio. b) A más de 2.5σ de su valor medio. c) Entre 1σ y 2σ de su valor medio. 342. Los
nacimientos masculinos en un hospital son de 46%. Calcule la probabilidad de que, de los siguientes 170 nacimientos registrados en dicho hospital, entre 80 y 90 (inclusive) sean niños.
343. Una
undécima, duodécima y la decimotercera columnas de la tabla de números aleatorios, iniciando en la fila 6? 349. Una
asesora del condado quiere volver a evaluar una muestra aleatoria de 15 de 8,019 casas unifamiliares. Si las numera como 0001, 0002, …, 8018 y 8,019. ¿Cuáles (por número) elegirá si las selecciona usando la vigésima primera, vigésima segunda, vigésima tercera y la vigésima cuarta columnas de la tabla de números aleatorios, iniciando en la fila 11?
máquina que produce cojinetes se prepara de modo que el diámetro promedio de los cojinetes sea de 0.5 pulg. Un cojinete es 350. Los siguientes son los pagos promedio aceptable si su diámetro esta dentro de 0.004 mensuales de la AFDC (Aid to Families with pulg de su valor objetivo. Sin embargo, suponga Dependent Children; Ayuda para familias con que hay variación durante el curso de la hijos dependientes) de un año reciente de 50 producción, de modo que el diámetro de los estados, registrados en orden alfabético. cojinetes tiene una distribución normal con valor medio 0.499 pulg y desviación estándar de 0.002 111 530 216 128 462 283 413 237 193 177 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes no es 406 257 230 213 325 306 184 168 310 266 279 393 450 92 241 302 319 193 281 313 aceptable? 295 402 183 310 257 257 302 315 353 128 244 116 127 348 418 232 400 166 451 315 OCTAVO EXAMEN 335 707 266 91 703 380 618 79 588 199 Elabore una lista de las 5 muestras sistemáticas 344. ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño n=2 posibles de tamaño n=10 que se pueden tomar de podemos seleccionar de una población finita de tamaño: esta población empezando con uno de los primeros 5 a) N=6 números y tomando después cada décimo número de b) N=10 la lista. c) N=25 351. Las siguientes son las cifras mensuales de la 345. ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño n=3 cantidad de correo aéreo (en millones de toneladas por milla) de un año reciente. podemos seleccionar de una población finita de tamaño: a) N=15 67 62 75 67 70 68 b) N=30 64 70 66 73 73 97 76 73 80 78 78 72 c) N=60 75 75 73 83 76 108 84 78 86 85 81 78 346. Elabore una lista de las 28 muestras posibles de 78 75 78 86 76 111 tamaño n=2 que se pueden tomar de una 79 77 87 84 82 77 población finita cuyos elementos se representan 79 77 80 84 72 117 como a, b, c, d, e, f, g y h. Elabore una lista de las seis muestras sistemáticas posibles de tamaño n=8 que se pueden tomar 347. Refiriéndonos al ejercicio anterior, ¿Cuál es la empezando con uno de los primeros 6 números y probabilidad de que una muestra aleatoria de tomando después cada 6 número de la lista. tamaño n=2 de la población determinada incluya el elemento que se representa por medio 352. Con base en sus volúmenes de ventas, 18 de las de la letra d? 24 tiendas de ropa de una ciudad se clasifican como pequeñas y las otras 6 se clasifican como 348. Un bacteriólogo quiere hacer una revisión doble grandes. ¿Cuántas muestras estratificadas de una muestra de n=10 de los 812 especímenes diferentes de 4 de estas tiendas de ropa podemos sanguíneos analizados por un laboratorio seleccionar si: médico en un mes determinado. Si numera los a) Debemos distribuir la mitad de la muestra a especimenes como 001, 002, 003, …, 811 y 812. cada uno de los estratos. ¿Cuáles elegirá si los selecciona usando la
37
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA b)
La distribución debe ser proporcional.
353. Entre
240 personas que pueden conformar un jurado, 120 son blancos, 80 son negros y 40 son hispanos. ¿Cuántas muestras estratificadas diferentes de 6 de las 240 personas podemos seleccionar, si: a) Debemos distribuir 1/3 de la muestra a cada uno de los estratos. b) La distribución debe ser proporcional.
354. Se
debe tomar una muestra estratificada de tamaño n=80 de una población de tamaño N=2000, que consta de 4 estratos de tamaño 500, 1200, 200 y 100. ¿Cuán grande debe ser la muestra que se tiene que tomar de cada uno de los cuatro estratos, si la distribución debe ser proporcional?
355. Se
tomaran muestras aleatorias de tamaño n=2 con reemplazo de la población finita que consta de los números 3, 5, 7, 9 y 11. a) Elabore una lista de las 25 muestras ordenadas que se pueden tomar de la población y calcule sus medias. (Por ordenadas queremos decir que 3 y 7, por ejemplo es diferente de 7 y 3). b) Suponiendo que el muestreo es aleatorio, es decir, que cada una de las muestras de la parte a) tiene una probabilidad de 1/25, estructure una distribución del muestreo de la media para muestras aleatorias de tamaño n=2, tomadas con reemplazo de la población en referencia. c) Encuentre las probabilidades de que la media de la muestra aleatoria difiera de μ=7: i. Por más de 1. ii. Cuando mucho 2.
356. Una
población finita consiste en los N=6 números, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 y se puede verificar con facilidad que su media es μ=13.5 y su desviación estándar es
1 2
105 que es 5.12
redondeado a 2 decimales. Elabore una lista de las 20 muestras posibles de tamaño n=3 tomadas sin reemplazo de esta población finita. Y calcule las medias de las 20 muestras obtenidas. b) Asignando una probabilidad de 1/20 a cada una de las muestras obtenidas estructure la distribución muestral de la media para estas muestras aleatorias. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de tamaño n=3 a)
tomada sin reemplazo de la población en referencia difiera de μ=13.5 por menos de 3? d) Calcule la media y la desviación estándar de la distribución muestral obtenida en la parte c). 357. Una
población finita consiste en los N=6 números, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 y se puede verificar con facilidad que su mediana es 13.5 y 1
su desviación estándar es
2
105 que es 5.12
redondeado a 2 decimales. Elabore una lista de las 20 muestras posibles de tamaño n=3 tomadas sin reemplazo de esta población finita.Calcule las medianas de las 20 muestras obtenidas. b) Asignando una probabilidad de 1/20 a cada una de las muestras obtenidas estructure la distribución muestral de la mediana para estas muestras aleatorias. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la mediana de una muestra aleatoria de tamaño n=3 tomada sin reemplazo de la población en referencia difiera de 13.5 por menos de 3? a)
358.
Una población finita consiste en los N=6 números, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 y se puede verificar con facilidad que su rango es 15 y su desviación estándar es
1 2
105 que es 5.12
redondeado a 2 decimales. a) Determine los rangos de las 20 muestras de tamaño n=3 tomadas sin reemplazo de la población en referencia. b) Estructure una distribución muestral del rango para muestras aleatorias de tamaño n=3 tomadas sin reemplazo de la población en referencia. 359. Una marca particular de jabón para lavadora de
platos se vende en 3 tamaños: 25 oz, 40oz y 65oz. El 20% de todos los compradores seleccionan la caja de 25oz, 50% seleccionan una caja de 40 oz y el 30% restante selecciona la caja de 65 oz. Sean X 1 y X 2 los tamaños de paquetes seleccionados por dos compradores por dos compradores independientemente seleccionados. a) Determine la distribución de muestreo de x , calcule E( x ) y compare con µ . b) Determine la distribución de muestreo de la varianza muestral S 2 , calcule E(S 2) y compare con σ 2.
38
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 360. Hay dos semáforos en mi camino al
trabajo. Sea X 1 el número de semáforos en los cuales me tengo que detener y suponga que la distribución de X 1 es como sigue: 2 X 1 0 1 2 µ = 1.1 ,σ = 0.49 P(X 1) 0.2 0.5 0.3 Sea X 2 el número de semáforos en los cuales me tengo que detener camino a casa; X 2 es independiente de X 1. Suponga que X 2 tiene la misma distribución que X 1 , de modo que X 1 , X 2 es una muestra aleatoria de tamaño n=2. Sea T 0=X 1+X 2. a) determine la distribución de probabilidades para T 0. b) Calcule µ T ¿Cómo se relaciona con µ , la media de la población? 2 2 c) Calcule σ T ¿Cómo se relaciona con σ , 0 la varianza de la población? 0
361. Se
sabe que 80% de todos los discos de almacenamiento extraíbles funcionan satisfactoriamente durante el periodo de garantía (son “éxitos”). Suponga que se seleccionan al azar n=10 unidades de disco. Sea X= el número de éxitos de la muestra. El estadístico X/n es la proporción de la muestra (fracción) de éxitos. Obtenga la distribución muestral del estadístico.
362. Una caja contiene 10
sobres sellados numerados 1, …, 10. Los primero 5 no contienen dinero, cada uno de los siguientes 3 contienen $5 y hay un billete de $10 en cada uno de los últimos 2. Se selecciona un tamaño de muestra de 3 con reemplazo (así que se tiene una muestra aleatoria) y se obtiene la cantidad más grande en cualquiera de los sobres seleccionados. Si X 1 , X 2 y X 3 denotan las cantidades en los sobres seleccionados, el estadístico de interés es M= el máximo de X 1 , X 2 y X 3. Obtenga la distribución de probabilidad de este estadístico.
363. Sea
X el número de paquetes enviados por un cliente seleccionado al azar vía una compañía de paquetería y mensajería. Suponga que la distribución de X es como sigue: X 1 2 3 4 P(X) 0.4 0.3 0.2 0.1 a) Considere una muestra aleatoria de tamaño n=2 (dos clientes) y sea x el número medio muestral de paquetes enviados. Obtenga la distribución de probabilidades de x . b) Calcule P( P ( x ≤ 2.5 ) .
De nuevo considere una muestra aleatoria de tamaño n=2, pero ahora enfóquese en el rango muestral R. Obtenga la distribución de R. d) Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n=4 ¿Cuál es P( x ≤ 1.5 ) ? c)
364. Una
compañía mantiene 3 oficinas en una región, cada una manejada por dos empleados. La información concerniente a salarios anuales (miles de dólares) es la siguiente:
Oficina Empleado Salario
1 1 29.7
1 2 33.6
2 3 30.2
2 4 33.6
3 5 25.8
3 6 29.7
Suponga que dos de estos empleados se seleccionan al azar de entre los seis (sin reemplazo). Determine la distribución del salario medio muestral x . b) Suponga que se selecciona al azar una de las tres oficinas. Sean X 1 y X 2 los salarios de los dos empleados. Determine la distribución muestral de x . c) ¿Cómo se compara E( x ) de los incisos a) y b) con el salario medio de la población µ ?. a)
365. Cuando tomamos una muestra de una población
infinita, ¿Qué sucede con el error estándar de la media si el tamaño de la muestra: a) Se incrementa de 60 a 240; b) Se incrementa de 200 a 450; c) Se incrementa de 25 a 225; d) Se reduce de 640 a 40? 366. ¿Cuál
es el valor del factor de corrección continua cuando: a) n=10 y N=200; b) n=10 y N=500; c) n=10 y N=2000; d) n=20 y N=200; e) n=40 y N=400; f) n=400 y N=4000?
367. La
media de una muestra aleatoria de tamaño n=36 se usa para estimar la media de una población infinita que tiene la desviación estándar σ =9. ¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad de que el error sea menor que 4.5, si tenemos que usar el teorema del límite central?
368. La
media de una muestra aleatoria de tamaño n=25 se usa para estimar la media de una población muy grande (Consistente en los periodos de concentración de personas mayores de 65 años), que tiene una desviación estándar
39
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA =2.4 minutos. ¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad de que el error sea menor que 1.2 minutos, si tenemos que usar el teorema del límite central? σ
diámetro interno de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor medio de 12 cm y desviación estándar de 0.04 cm: a) Si x es el diámetro medio en una muestra aleatoria de n=16 anillos. ¿Dónde esta centrada la distribución muestral de x y cuál es la desviación estándar de la distribución x ? b) Responda las preguntas planteadas en el inciso a) con un tamaño de muestra de n=64 anillos. c) ¿Con cuál de las dos muestras aleatorias, la del a) o la del b), es más probable que x este dentro de 0.01 cm de 12 cm? Explique su razonamiento. d) Suponga que el diámetro de la distribución es normal y calcule P(11.99 ≤ x ≤ 12.01) cuando n=16. e) Suponga que el diámetro de la distribución es normal y calcule ¿Qué tan probable es que el diámetro medio muestral exceda de 12.01 cuando n=25?
aleatoria de una población normal que tiene la desviación estándar σ =0.025, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño n=16 “tenga un error” a lo sumo de 0.01?
369. El
373. Los datos
adjuntos sobre resistencia a la flexión (MPa) de vigas de concreto de un tipo son: 5.9 7.2 7.3 6.3 8.1 6.8 7.0 7.6 6.8 6.5 7.0 6.3 7.9 9.0 8.2 8.7 7.8 9.7 7.4 7.7 9.7 7.8 7.7 11.6 11.3 11.8 10.7 a) Calcule una estimación puntual del valor medio de resistencia de la población conceptual de todas las vigas fabricadas de esta manera y diga que estimador utilizó [Sugerencia xi = 219.8 ] b) Calcule una estimación puntual del valor de resistencia que separa el 50% más débil de dichas vigas del 50% más resistente y diga que estimador se utilizó. c) Calcule e interprete una estimación puntual de la desviación estándar de la población σ. ¿Qué estimador utilizó? [Sugerencia 2 xi = 1860.94 ]
∑
∑
374. Considere la siguiente muestra de observaciones
sobre espesor de recubrimiento de pintura de baja viscosidad: 0.88 0.88 1.04 1.09 1.12 1.29 1.31 1.49 1.59 1.62 1.65 1.71 1.76 1.83 Suponga que la distribución del espesor de recubrimiento es normal. a) Calcule la estimación puntual de la media del espesor de recubrimiento y diga que estimador utilizó. b) Calcule una estimación puntual de la mediana de la distribución del espesor de recubrimiento y diga que estimador utilizó.
X 1 , X 2 , …, X 100 los pesos netos reales de 0.83 100 sacos de 50 lb de fertilizante seleccionados 1.48 al azar: a) Si el peso esperado de cada saco es de 50 lb y la varianza es 1, calcule P(49.9 ≤ x ≤ 50.1) (aproximadamente). Por medio del teorema del limite central. b) Si el peso esperado es de 49.8 lb en lugar de 50 lb de modo que en promedio los sacos están menos llenos, calcule P(49.9 ≤ x ≤ 50.1) . 375. Para estimar el tiempo de servicio promedio de un restaurante de hamburguesas, un consultor de la gerencia anoto los tiempos que requieren 371. La media de una muestra aleatoria de tamaño 35 personas, de una muestra aleatoria, para n=144 se usa para estimar la media de una tomar una orden estándar (consistente en dos población muy grande (Que consta de los pesos hamburguesas, dos paquetes de papas fritas y de ciertos animales), que tiene una desviación dos bebidas). En promedio estas personas estándar σ =3.6 onzas. ¿Qué podemos decir, con requirieron 72.2 segundos con una desviación base en el teorema del límite central, acerca de estándar de 12.8 segundos para tomar las la probabilidad de que el error sea: órdenes. a) Menor que 0.42 onzas. a) ¿Qué puede afirmar el consultor con una b) Mayor que 0.75 onzas? confianza del 95% acerca del error máximo, 372. Si las medidas de la gravedad específica de un si usa x =72.2 segundos como una metal se pueden considerar como una muestra 370. Sean
40
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA estimación del tiempo promedio requerido para tomar esta orden estándar? b) Estructure un intervalo de confianza del 95% para el tiempo promedio real que una persona necesita para tomar la orden estándar. 376. Un
estudio del crecimiento anual de ciertos cactos reveló que 64 de estos, seleccionados al azar de una zona desértica, crecieron en promedio 52.8 mm con una desviación estándar de 4.5 mm. a) Elabore un intervalo de confianza del 99% para el crecimiento anual promedio verdadero de dicha clase de cactos. b) ¿Qué podemos afirmar con una confianza del 99% sobre el error máximo, si usamos x =52.8 mm como una estimación del crecimiento anual promedio verdadero de dicha clase de cactos?
377. Un
estudio conducido por una aerolínea demostró que una muestra aleatoria de 120 de sus pasajeros que arribaron al aeropuerto Kennedy en vuelos procedentes de Europa necesitaron en promedio 24.15 minutos con una desviación estándar de 3.29 minutos para reclamar su equipaje y pasar la aduana. a) ¿Qué puede afirmar la aerolínea con una confianza del 95% acerca del error máximo, si usa x=24.15 minutos como una estimación del tiempo promedio verdadero que uno de sus pasajeros que arriba al aeropuerto Kennedy en un vuelo procedente de Europa requiere para reclamar su equipaje y pasar la aduana? b) ¿Por cuánto se incrementa el error máximo si la aerolínea desea tener una confianza del 99% en vez del 95%? c) Elabore un intervalo de confianza para el tiempo promedio verdadero que uno de sus pasajeros que arriba al aeropuerto Kennedy en un vuelo procedente de Europa requiere para reclamar su equipaje y pasar la aduana, con una confianza: i. Del 95%; ii. Del 98%; iii. Del 99%; iv. Del 99.9%
378. Una
funcionaria de distrito pretende usar la media de una muestra aleatoria de 150 alumnos de sexto grado de un distrito escolar muy grande para estimar la calificación media que todos los alumnos de sexto grado del distrito obtendrían si presentarán una prueba de conocimientos de
Aritmética. Si, con base en la experiencia, la funcionaria sabe que σ =9.4 para tales datos. ¿Qué puede afirmar con una probabilidad de 0.95 acerca del error máximo?. 379. Considere una distribución de población normal
con valor de σ conocido. ¿Cuál es el nivel de confianza para el intervalo x − 2.81 σ n < µ < x + 2.81 σ n ?
a) b)
¿Cuál es el nivel de confianza para el intervalo x − 1.44 σ n < µ < x + 1.44 σ n ?
c)
¿Qué valor de z en la forma del intervalo α
2
de confianza da un nivel de confianza de 99.7%? d) Responda la pregunta hecha en el inciso c) para un nivel de confianza de 75%. 380. Cada
uno de los siguientes intervalos es un intervalo de confianza para µ =frecuencia de resonancia promedio verdadera (Hz) para todas las raquetas de tenis de un tipo: (114.4,115.6) y (114.1,115.6). a) ¿Cuál es el valor de la frecuencia de resonancia media muestral? b) Ambos intervalos se calcularon con los mismos datos muestrales. El nivel de confianza para uno de estos intervalos es 90% y para el otro es 99%. ¿Cuál de estos intervalos tiene un nivel de confianza de 90% y por qué?
381. Suponga
que se selecciona una muestra de 50 botellas de una marca particular de jarabe para la tos y se determina el contenido de alcohol. Sea µ el contenido promedio de alcohol de la población de todas las botellas de la marca estudiada. Suponga que el intervalo de confianza de 95% resultante es 7.8< µ <9.4 a) ¿Habría resultado un intervalo de confianza de 90% calculado con esta muestra más angosto o más ancho que el intervalo dado? Explique su razonamiento. b) Considere la siguiente proposición: Existe 95% de probabilidad de que el µ este entre 7.8 y 9.4. ¿Es correcta esta proposición? ¿Por qué? c) Considere la siguiente proposición: Se puede estar totalmente confiado de que 95% de todas las botellas de este tipo de jarabe para la tos tienen un contenido de alcohol entre 7.8 y 9.4. ¿Es correcta esta proposición? ¿Por qué?
41
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA d)
Considere la siguiente proposición: Si el proceso de selección de la muestra de tamaño 50 y de cálculo del intervalo de 95% correspondiente se repite 100 veces, 95 de los intervalos resultantes incluirán µ ¿Es correcta esta proposición? ¿Por qué?
382. Se
desea un intervalo de confianza para la perdida de carga parásita promedio verdadera µ (watts) de cierto tipo de motor de inducción cuando la corriente a través de la línea se mantiene a 10 amps a una velocidad de 1500 rpm. Suponga que la perdida por carga parásita esta normalmente distribuida con σ =3. a) Calcule un intervalo de confianza para µ de 95% cuando n=25 y x =58.3. b) Calcule un intervalo de confianza para
µ de
95% cuando n=100 y x =58.3. c) Calcule un intervalo de confianza para
µ de
99% cuando n=100 y x =58.3. d) Calcule un intervalo de confianza para
µ de
82% cuando n=100 y x =58.3. e) ¿Qué tan grande debe ser n si el ancho del intervalo de 99% para µ tiene que ser 1? 383. Suponga
que la porosidad al helio (en porcentaje) de muestras de carbón tomadas de cualquier costura particular esta normalmente distribuida con desviación estándar verdadera de 0.75. a) Calcule el intervalo de confianza de 95% para la porosidad promedio verdadera de una costura se la porosidad promedio en 20 especímenes de la costura fue de 4.85. b) Calcule el intervalo de confianza de 98% para la porosidad promedio verdadera de una costura basada en 16 especímenes con porosidad promedio muestral de 4.56. c) ¿Qué tan grande debe ser un tamaño de muestra si el ancho del intervalo de 95% tiene que ser de 0.4?
384. Con
base en pruebas extensas se sabe que el punto de cedencia de un tipo particular de varilla de refuerzo esta normalmente distribuido con σ =100. La composición de la varilla se modificó un poco, pero no se cree que la modificación haya afectado la normalidad o el valor de σ . a) Suponiendo que este tiene que ser el caso, si una muestra de 25 varillas modificadas dio por resultado un punto de cedencia promedio muestral de 8439 lb, calcule un intervalo de
confianza de 90% para el punto de cedencia promedio verdadero de la varilla modificada. b) ¿Cómo modificaría el intervalo del inciso a) para obtener un nivel de confianza de 92%? 385. Una
encuesta que se condujo en una ciudad grande en 1986 reveló que 200 familias gastaban en promedio $218.67 por semana en alimentos con una desviación estándar de $14.93. Ya que se desea ajustar el gasto semanal en alimentos promedio verdadero de esta ciudad a un intervalo bastante estrecho, elabore un intervalo de confianza de 90%.
386. Una
distribuidora de máquinas vendedoras de refrescos planifica usar el número medio de refrescos vendidos durante una semana por 60 de sus máquinas para estimar el número promedio vendido por cualquiera de las máquinas durante una semana. Si 60 máquinas seleccionadas al azar tuvieron una media de 255.3 refrescos, con una desviación estándar de 48.2 refrescos, de un intervalo de confianza del 95% para el número promedio verdadero vendido por cualquiera de sus máquinas durante una semana.
387. Una muestra aleatoria de 60 latas de mitades de
pera tiene un peso medio de 16.1 onzas y una desviación estándar de 0.3 onzas. Si se usa x =16.1 onzas como una estimación del peso medio de todas las latas de mitades de pera del lote grande del cual provino la muestra, ¿Con que confianza podemos afirmar que el error de esta estimación es a lo sumo 0.1 onzas?. 388. El
tiempo de secado de la pintura de un fabricante es 20 minutos. Investigando la efectividad de una modificación de la composición química de su pintura, el fabricante quiere probar la hipótesis nula µ =20 minutos contra una alternativa apropiada, donde µ es el tiempo de secado promedio de la pintura modificada: a) ¿Qué hipótesis alternativa debería usar el fabricante si no quiere realizar la modificación de la composición química de la pintura a menos de que reduzca el tiempo de secado? b) ¿Qué hipótesis alternativa debería usar el fabricante si el nuevo proceso en realidad es más económico y quiere hacer la modificación a menos de que aumente el tiempo de secado de la pintura?
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 389. El
departamento de policía de una ciudad está considerando cambiar las llantas de sus automóviles por llantas radiales. Si µ 1 es el número promedio de millas que duran las llantas antiguas y µ 2 es el número promedio de millas que duran las llantas nuevas, la hipótesis nula que se debe probar es µ 1 = µ 2 . a) ¿Qué hipótesis alternativa debería usar el departamento si no quiere comprar las llantas radiales a menos de que prueben definitivamente que duran más?. En otras palabras, las llantas radiales se someten a prueba y se conservan las llantas antiguas a menos de que se pueda rechazar la hipótesis nula. b) ¿Qué hipótesis alternativa debería usar el departamento si esta ansioso por usar las llantas nuevas (Que tienen algunas otras características atractivas) a menos de que en realidad duren menos que las llantas antiguas?. Nótese que ahora se someten a prueba las llantas antiguas y que se conservarán sólo si se puede rechazar al hipótesis nula. c) ¿Qué hipótesis alternativa debería usar el departamento de manera que el rechazo de la hipótesis nula pueda llevar sea a conservar las llantas antiguas o a comprar las llantas nuevas?
390. Un
botánico desea probar la hipótesis nula de que el diámetro promedio de las flores de una planta particular es 9.6 cm. Decide tomar una muestra aleatoria de tamaño n=80 y aceptar la hipótesis nula si la media de la muestra cae entre 9.3 y 9.9 cm; si la media de la muestra cae fuera de este intervalo rechazará la hipótesis nula. Determine la decisión que el botánico tomará y si está será errónea si: a) obtiene x =10.2 cm y µ =9.6 cm; b)
obtiene x =10.2 cm y
c)
obtiene x =9.2 cm y
µ =9.6 cm;
d)
obtiene x =9.2 cm y
µ =9.8 cm.
391. Un
µ =9.8 cm;
especialista en educación esta considerando el uso de material educativo en cintas de audio para una clase especial de estudiantes de tercer grado que tienen dificultades de lectura. A los estudiantes de esta clase se les aplica una prueba de lectura estandarizada en mayo del año escolar y µ 1 es la calificación promedio
obtenida después de muchos años de experiencia. Determinando que µ 2 es la calificación promedio para los estudiantes que usan las cintas de audio y suponiendo que desean calificaciones altas: a) ¿Qué hipótesis nula debería usar el especialista en educación? b) ¿Qué hipótesis alternativa se debería usar si el especialista no quiere adoptar las nuevas cintas a menos de que mejoren las calificaciones en la prueba estandarizada? c) ¿Qué hipótesis alternativa se debería usar, si el especialista quiere adoptar las nuevas cintas a menos de que empeoren las calificaciones en la prueba estandarizada? 392. Suponga
que se pide a un servicio de pruebas psicológicas que verifique si un ejecutivo se adecua emocionalmente para asumir la presidencia de una corporación grande. ¿Qué tipo de error cometería si rechaza equivocadamente la hipótesis nula de que el ejecutivo sea ideal para el trabajo? ¿Qué tipo de error cometería si acepta equivocadamente la hipótesis nula de que el ejecutivo sea ideal para el trabajo?
393. Suponga
que queremos probar la hipótesis nula de que un dispositivo anticontaminante para automóviles es efectivo. Explique en que condiciones cometeríamos un error tipo I y en que condiciones cometeríamos un error tipo II.
394. Para
una población de referencia con σ =8.4 pulgadas queremos probar la hipótesis nula µ =80.0 pulgadas contra la hipótesis alternativa µ <80.0 pulgadas con base en una muestra aleatoria de tamaño n=100. a) ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo I si se rechaza la hipótesis nula cuando x <78.0 pulgadas y de otra manera se acepta? b) ¿ ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo II cuando en realidad µ =77.5 pulgadas?
395. Para
una población determinada con σ =21.0 cm, queremos probar la hipótesis nula µ =255 cm contra la hipótesis alternativa µ ≠ 255 cm con base en una muestra aleatoria de tamaño n=36. Si se rechaza la hipótesis nula cuando x <248 cm o x >262 cm: a) Encuentre la probabilidad de un error tipo I; b) Encuentre la probabilidad de un error tipo II cuando en realidad µ =258.5 cm.
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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IV ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 396. Para
una población dada con σ =$8, queremos probar la hipótesis nula µ =$65 contra la hipótesis alternativa µ >$65 con base en una muestra aleatoria de tamaño n=100. Si se rechaza la hipótesis nula cuando x >$66: a) Encuentre la probabilidad de un error tipo I; b) Encuentre la probabilidad de un error tipo II cuando en realidad µ =$65.5; c) Encuentre la probabilidad de un error tipo II cuando en realidad µ =$66.5
397. Una
tienda virtual expide su propia tarjeta de crédito. Se desea averiguar si el saldo promedio mensual es mayor que $400, una revisión aleatoria de 172 clientes nos da una media muestral de $407 con una desviación estándar de $38. Pruebe la hipótesis nula H 0: µ =400, contra la alternativa H A: µ >400 con un nivel de significancia de α =0.05.
398. Se
obtiene una muestra de 60 velocímetros de una marca, y cada uno esta calibrado para comprobar su precisión a 55 km/hr. El p romedio muestral resultante y la desviación estándar son 70 y 20 km/hr, respectivamente. Pruebe la hipótesis nula H 0: µ =55, contra la alternativa H A: µ >55 con un nivel de significancia de α =0.01.
399. El
nivel mínimo para que un servicio de correo gratuito se considere exitoso es que 80% de sus suscriptores utilicen el servicio de forma regular. Se realizó una investigación con 2000 de los usuarios registrados para verificar quienes usaron su correo en el último mes, y se encontró que 1550 lo habían utilizado con un nivel de significancia de 0.05, pruebe la hipótesis de que el servicio es exitoso.
400. Pruebe
la hipótesis de que 55% de las familias que compran una computadora hoy día contratan un servicio de acceso a Internet como parte del paquete. Se realizó una encuesta a 400 familias que compraron una computadora el mes pasado, y se encontró que 228 habían comprado el servicio de acceso a Internet junto con la máquina. Use α =0.01.
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