Investigación de operaciones INGENERIA INDUSTRIAL
4° SEMESTRE 2° UNIDAD
PROF. Ing. JOSE DE ANDA ANDA BERNAL BERNAL
Nombre. CHRISTIAN OMAR BONILLA JIMENEZ CESAR ANDRES MAGDALENO GUTIERREZ JESSICA ITZEL RUIZ GOMEZ DAVID EMMANUEL PINEDO MARTINEZ
3/octubre /2016
EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIDAD NO. 1 Planteamiento de problemas PROBLEMA 1 La corporación esmeralda mezcla solventes de dos bases premezcladas. Donimil y Capilal, Cada litro de Dominil cuesta $80.00 y contiene 8 partes de petróleo, 10 partes de resina de polivinilo y 6 partes de líquidos minerales. Capital cuesta $100.00 y contiene 6 partes petróleo, 4 partes de resinas de polivinilo y 12 partes de líquidos minerales. Cada recipiente de solvente Esmeralda debe contener al menos 24 partes de petróleo, 20 partes de resinas de polivinilo y 24 partes de líquidos minerales. Encuentre la mejor combinación de Donimil y Capital que satisfagan los requerimientos para el solvente Esmeralda al costo mínimo. m ínimo. ¿Cuál es el costo por litro de la mezcla final? VARIABLES: X1= Cantidad de solvente dominil a hacer utilizada X2= Cantidad de solvente capilal a hacer utilizada F.O. MIN F.O. MIN X0= $80x1 + $100x2 RESTRICCIONES: 8x1+6x2≥24 Partes de petróleo 10x1+4x2≥20 partes de resina de polivinilo 6x1+12x2≥24 partes de líquidos minerales X1 x2 ≥ 0
Método Grafico: 8x1 + 6x2 = 24 X1 = 0 8(0) + 6X2 =24 X2 = 24/6 X2 = 0 8X1 + 6(0) =24 X1 = 24/8
X2 = 4 X1 = 3
10x1 + 4x2=20 X1 = 0 10(0) + 4X2 =20 X2 = 20/4 X2 = 0 10X1 + 4(0) =24 X1 = 20/10
X2 = 5 X1 = 2
6x1 + 12x2 = 24 X1 = 0 6(0) + 12X2 =24 X2 = 24/12 X2 = 0 6X1 + 12(0) =24 X1 = 24/6
X2 = 2 X1 = 4
x1 , x2 ≥ 0
EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIDAD NO. 1 Planteamiento de problemas PROBLEMA 1 La corporación esmeralda mezcla solventes de dos bases premezcladas. Donimil y Capilal, Cada litro de Dominil cuesta $80.00 y contiene 8 partes de petróleo, 10 partes de resina de polivinilo y 6 partes de líquidos minerales. Capital cuesta $100.00 y contiene 6 partes petróleo, 4 partes de resinas de polivinilo y 12 partes de líquidos minerales. Cada recipiente de solvente Esmeralda debe contener al menos 24 partes de petróleo, 20 partes de resinas de polivinilo y 24 partes de líquidos minerales. Encuentre la mejor combinación de Donimil y Capital que satisfagan los requerimientos para el solvente Esmeralda al costo mínimo. m ínimo. ¿Cuál es el costo por litro de la mezcla final? VARIABLES: X1= Cantidad de solvente dominil a hacer utilizada X2= Cantidad de solvente capilal a hacer utilizada F.O. MIN F.O. MIN X0= $80x1 + $100x2 RESTRICCIONES: 8x1+6x2≥24 Partes de petróleo 10x1+4x2≥20 partes de resina de polivinilo 6x1+12x2≥24 partes de líquidos minerales X1 x2 ≥ 0
Método Grafico: 8x1 + 6x2 = 24 X1 = 0 8(0) + 6X2 =24 X2 = 24/6 X2 = 0 8X1 + 6(0) =24 X1 = 24/8
X2 = 4 X1 = 3
10x1 + 4x2=20 X1 = 0 10(0) + 4X2 =20 X2 = 20/4 X2 = 0 10X1 + 4(0) =24 X1 = 20/10
X2 = 5 X1 = 2
6x1 + 12x2 = 24 X1 = 0 6(0) + 12X2 =24 X2 = 24/12 X2 = 0 6X1 + 12(0) =24 X1 = 24/6
X2 = 2 X1 = 4
x1 , x2 ≥ 0
A = X0 = 80(4) + 100(0) = 320 B = X0 = 80(2.4) + 100(0.80) = 272 C = X0 = 80(0.90) + 100(2.8) = 7480 D = X0 = 80(0) + 100(5) = 500
PROBLEMA 4 4.- Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas. Maquina
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
1
2
3
4
2
2
3
2
1
2
El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las maquinas 1 y 2 es de $10.00 y $15.00 respectivamente. Las horas totales presupuestadas para todos los productos en las maquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 es de $65.00, $70.00, $55.00 y $45.00 respectivamente. Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar el beneficio neto total. VARIABLES: X1= Cantidad de producto 1 a fabricar. X2= Cantidad de producto 2 a fabricar. X3= Cantidad de producto 3 a fabricar. X4= Cantidad de producto 4 a fabricar. F.O Max X0= 10 X2+ 15 X2 RESTRICCIONES: 3X2 ≤ 500 2X2 ≤ 380 X2 ≥0 MÉTODO GRAFICO 3x1 = 500 X2 = 0
3X1 =500 X1 = 500/3
2x2 = 380 X1 = 0
2X2 =380 X2 = 380/2 X2 = 190
X1 = 166.6
3x1 + 2x2 = 880 X1 = 0 3(0) + 2X2 =880 X2 = 880/2 X2 = 0 3X1 + 2(0) =880 X1 = 880/3 x1, x2 ≥ 0
A=X0 = 10(0) + 15(0) =0 B=X0 = 10(166) + 15(0) = 1660 C=X0 = 10(166) + 15(190) = 4510 D=X0 = 10(0) + 15(190) = 2850
X2 = 440 X1 = 293.3
MÉTODO SIMPLEX
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
PROBLEMA 5 La señora Teresa es propietaria de una pequeña tienda de perfumes donde mezcla sus propias marcas y a la vez vende otras marca, actualmente está ofreciendo dos de sus propia marcas, Gala y Macumba. Gala le ofrece una utilidad de $90.00 la onza, mientras que Macumba le produce solo una utilidad de $60.00 la onza. Estas dos marcas se elaboran co0n tres esencias, E1, E2, E3. Los requerimientos de mezclado son:
Gala
Esencia 1
Esencia 2
Esencia 3
.2 oz
.3 oz
.5 oz
Macumba .1 oz .1 oz .8 oz Teresa verifica su existencia de esencias todos los días. Esta mañana tiene 48 onzas de E1, 30onzas de E2, 60 onzas de E3. ¿Qué debe mezclar ella hoy para maximizar sus utilidades? VARIABLES: X1= Cantidad de onzas de perfume Gala que X2= Cantidad de onzas de perfume Macumba que se debe mezclar MAX X0 = 90x1 + 60x2 RESTRICCIONES: Esencia 1 - .2x1 + .1x2 ≤ 48 oz. Esencia 2 - .3x1 + .1x2 ≤ 30 oz. Esencia 3 - .5x1 + .8x2 ≤ 60 oz. x1 , x2 ≥ 0 Método Grafico .2x1 + .1x2 = 48 oz. X1 = 0 .2(0) + .1X2 =48 X2 = 48/.1 X2 = 0 .2X1 + .1(0) =48 X1 = 48/.2
X2 = 480 X1 = 240
se
debe
mezclar
.3x1 + .1x2 = 30 oz. X1 = 0 .3(0) + .1X2 =30 X2 = 30/.1 X2 = 0 .3X1 + .1(0) =30 X1 = 30/.3
X2 = 300 X1 = 100
.5x1 + .8x2 = 60 oz. X1 = 0 .5(0) + .8X2 =60 X2 = 60/.8 X2 = 0 .5X1 + .8(0) =60 X1 = 60/.5
X2 = 75 X1 = 120
x1 , x2 ≥ 0
A= X0 = 90(0) +60(0) = 0 B= X0 = 90(100) +60(0) = 9000 C= X0 = 90(94) +60(15) = 9360 D= X0 = 90(0) +60(75) = 4500
Método Simplex
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
INTERACCIÓN 3
EJERCICIO 6 La empresa el rey del concreto fabrica bolsas de concreto a partir de arena de más y arena de rio. Cada libra de arena de mar cuesta $6.00 y contiene 4 unidades de arena fina, 3 unidades de arena gruesa y 5 u8nidades de grava. Cada libra de arena de rio cuesta $10.00 y contiene 3 unidades de arena fina, 6 unidades de arena gruesa y 12 unidades de grava. Cada bolsa de concreto debe contener al menos 12 unidades de arena gruesa< y 10 unidades de grava. Construya el modelo que represente este problema cuyo objetivo es determinar el número de libras de arena de mar y de arena de ríos que deben ser mezcladas y que satisfagan los requerimientos mínimos de arena fina, arena gruesa y grava a un costo mínimo e indique el costo por libra. VARIABLE: X1 = Cantidad de X2 = Cantidad de arena de rio a utilizar
arena
F.O MIN X0 = 6x1 + 10x2 RESTRICCIONES: 4x1 + 3x2 ≥ 12 3x1 + 6x2 ≥ 12 5x1 + 12x2 ≥ 10 x1 , x2 ≥ 0
MÉTODO GRAFICO 4x1 + 3x2 = 12 X1 = 0 4(0) + 3X2 =12 X2 = 0 4X1 + 3(0) =12
X2 = 12/3 X1 = 12/4
X2 = 4 X1 = 3
3x1 + 6x2 = 12 X1 = 0 3(0) + 6X2 =12 X2 = 0 3X1 + 6(0) =12
X2 = 12/6 X1 = 12/3
X2 = 2 X1 = 4
5x1 + 12x2 = 10
de
mar
a
utilizar
X1 = 0 X2 = 0
5(0) + 12X2 =10 X2 = 10/12 5X1 + .12(0) =10 X1 = 10/5
x1 , x2 ≥ 0
A=X0 =6(4) +10(0) = 24 B=X0 =6(2.3) +10(.80)= 22.1 C=X0 =6(0) +10(5) = 40
X2 = 0.83 X1 = 2
PROBLEMA 7 Una compañía produce dos tipos de sombreros vaqueros, cada sombrero del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compañía puede producir 500 sombreros al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipo a 150 y 250 sombreros. Suponga que los beneficios por sombrero son 80 pesos para el tipo uno y 50 pesos para el tipo dos. Construya el modelo matemático que determine el número de sombreros que deben producirse. VARIABLES: =Sombreros vaqueros a producir tipo 1 = Sombreros vaqueros a producir tipo 2 F.O Max = $80 + $50 RESTRICCIONES: ≤ 150 ≤ 250 , ≥ 0
MÉTODO GRAFICO X1 = 150 X2 = 0
X1 =150
X2 = 250 X1 = 0
X2 =250
X1 , X2 ≥ 0
A=X0 =80(0) + 50(0) =0 B=X0 =80(150) + 50(0) = 12000 C=X0 =80(150) + 50(250)= 24500 D=X0 =80(0) + 50(250)= 12500
MÉTODO SIMPLEX
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
INTERACCIÓN 3
PROBLEMA 9 Un herrero con 80kg de acero, y 120 kgs de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos de cada una para sacar el máximo beneficio. Pará la de paseo empleara 1 kg de acero y 3 kgs, y para la de montaña 2kgs de ambos metales. ¿Cuantas bicicletas de paseo y de montaña venderá? VARIABLES: X1 = Cantidad de bicicletas de paseo a producir X2= Cantidad de bicicletas de montaña a producir F.O Max = $20000X1 + $15000X2 RESTRICCIONES: X1+ 2X2 <= 80 3X1 + 2X2 <= 120
Método Grafico x1 + 2x2 = 80 X1 = 0 1(0) + 2X2 =80 X2 = 0 X1 + 2(0) =80
X2 = 80/2 X1 = 80
3x1 + 2x2 = 120 X1 = 0 3(0) + 2X2 =120 X2 = 120/2 X2 = 0 3X1 + 2(0) =120 X1 = 120/3 x1 , x2 ≥ 0
A=X0 = 20(0) + 25(0) = 0 B=X0 = 20(40) + 15(0) = 800 C=X0 = 20(20) + 15(30)= 850 D=X0 = 20(0) + 15(40)= 600
X2 = 40
X2 = 60 X1 = 40
Método Simplex
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
INTERACCIÓN 3
EJERCICIO 10 Un autobús del distrito federal ofrece plazas para fumadores al precio de 10 pesos y a no fumadores al precio de 6 pesos. Al no fumador se le deja llevar 50kgs de peso y al fumador 20kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admiten un equipaje de hasta 3000kgs. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros con la finalidad de optimizar el beneficio? VARIABLES: X1= Plazas para fumadores X2= Plazas para no fumadores F.O Max = $10X1 + $6X2 RESTRICCIONES: X1+ X2 <= 90 20X1 + 50X2 <=3000 Método Grafico x1 + x2 = 90 X1 = 0 X2 = 0
1(0) + X2 =90 1X1 + 1(0) =90
X2 = 90 X1 = 90
20x1 + 50x2 = 3000 X1 = 0 20(0) + 50X2 =3000 X2 = 0 20X1 + 50(0) =3000 x1 , x2 ≥ 0
X2 = 3000/50 X2 = 60 X1 = 3000/20 X1 = 150
A=X0 = 50(0) + 20(0) = 0 B=X0 = 50(90) + 20(0) = 4500 C=X0 = 50(50) + 30(40)= 3300 D=X0 = 50(0) + 20(60)= 1200
Método Simplex
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
PROBLEMAS EN EQUIPO
Pastelería En la pastelería “De Luna” se venden dos diferentes tipos de pasteles: chocolate y vainilla, el día de
ayer hubo grandes ventas lo cual ocasionó un descontrol en el inventario de los ingredientes que se requieren para elaborar los pasteles y es necesario tener el control de dicho inventario para saber cuántos y que tipos de pasteles pueden elaborarse con dichos ingredientes. Los trabajadores fueron a bodega y vieron que hay 18 huevos, 4 litros de leche, 12 kilos de harina, 100 ml de solución de chocolate y 120ml de solución de vainilla. Para la elaboración de un pastel de chocolate se necesitan 6 huevos, 2 litros de leche, 4 kilos de harina y 40 ml de solución de jarabe de chocolate y nos genera una utilidad neta de $80 por pastel. Para la elaboración de un pastel de vainilla se necesitan 7 huevos, 2 litros de leche, 6 kilos de harina y 60 ml de solución de jarabe de vainilla y nos genera una utilidad neta de $100 por pastel. Encontrar que cantidad de pasteles se deberían elaborar para maximizar la utilidad. VARIABLES: X1=Cantidad de Pasteles de chocolate a elaborar X2= Cantidad de Pasteles de vainilla a elaborar F.O. Max X0= 80 x1 + 100 x2 RESTRICCIONES: 18 huevos 4 lts de leche 12 kg de harina 100 ml de solución de chocolate 120 ml de solución de vainilla
Pasteles 6 x1+7 x2 <=18 2 x1+2 x2 <= 4 4 x1+6 x2 <= 12 60 x2 <= 100 40 x1<= 120 X1, x2 ≥ 0
Método Grafico 6 x1+7 x2 =18 X1 = 0 6(0) + 7X2 =18 X2 = 0 6X1 + 7(0) =18
X2 = 18/7 X1 = 18/6
X2 = 2.5 X1 = 3
2 x1+2 x2 = 4 X1 = 0 X2 = 0
X2 = 4/2 X1 = 4/2
X2 = 2 X1 = 2
4 x1+6 x2 = 12 X1 = 0 4(0) + 6X2 =12 X2 = 0 4X1 + 6(0) =12
X2 = 12/6 X1 = 12/4
X2 = 2 X1 = 3
60 x2 = 100 X1 = 0
60X2 =100
X2 = 100/60
X2 = 1,6
40 x1= 120 X2 = 0
40X1 = 120
X1, x2 ≥ 0
2(0) + 2X2 =4 2X1 + 2(0) =4
X1 = 120/40
X1 = 3
A=X0 = 80(0) + 100(0) = 0 B=X0 = 80(2) + 100(0) = 160 C=X0 = 80(.40) + 100(1.6)= 192 D=X0 = 80(0) + 100(1.6)= 160
Método Simplex
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
INTERACCIÓN 3
EQUIPO 2 Lácteos Una empresa de lácteos fabrica 3 tipos de yogurt. A, B Y C, además cuenta con dos máquinas para la fabricación de dichos yogurts, la máquina (m1) y máquina (m2), se sabe que los 3 tipos de yogurt deben de pasar por las dos máquinas de manera simultánea. Es conocido que la maquina m1 cuenta con 350 horas disponibles al mes y la maquina m2 tiene 500 horas disponibles al mes. A continuación se muestran las horas que cada yogurt necesita en cada máquina y la utilidad por unidad que genera. UTILIDAD POR Yogurt HORAS EN MAQUINA (M1) HORAS EN MAQUINA (M2) UNIDAD A 2 4 $15 B 3 7 $10 C 4 6 $9
La empresa desea saber qué cantidad de cada yogurt debe producir para generar mayores utilidades. VARIABLES: X1: Cantidad de yogurt A por fabricar. X2: Cantidad de yogurt B por fabricar. X3: Cantidad de yogurt C por fabricar. F.O Max X0= $15 X1+ $10 X2+ $9 X3 RESTRICCIONES: 2 X1+3 X2+4 X3 ≤ 350 horas disponibles en m1 4 X1+7 X2+6 X3 ≤ 500 horas disponibles en m2 X1, X2, X3 ≥0
Método Simplex
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
EQUIPO 3 La empresa La empresa “ESTRELLA” se encarga de fabricar blusas en talla chica y grande. Al inicio del día se
tiene disponible 6.90m de tela y una disponibilidad de 7 horas/hombre. La blusa chica requiere 0.70 metros de tela y 1 hora/hombre, con un beneficio de $20. La blusa grande requiere 1.20 metros de tela y 1 hora/hombre con un beneficio de $50. La empresa quiere saber cuántas blusas grandes y cuántas blusas chicas debe producir para maximizar la ganancia. VARIABLES: X1= Cantidad de blusas chicas a producir X2= Cantidad de blusas grandes a producir F.O MAX Xo = $20x1 + $50x2 RESTRICCIONES:
.70metrosx1+1.20metrosx2 ≤6.90 metros de tela X1+X2≤7 horas/hombre X1 ; X2≥ 0 Método Grafico .70x1+1.20x2 =6.90 X1 = 0 .70 (0) + 1.20X2 =6.90 X2 = 0 .70X1 + 1.20 (0) =6.90
X1+X2=7 X1 = 0 X2 = 0
1(0) + 1X2 =7 1X1 + 1(0) =4
X1 ; X2≥ 0
A=X0 = 20(0) + 50(0) = 0 B=X0 = 20(7) + 50(0) = 140 C=X0 = 20(5.8) + 50(5.2)= 376 D=X0 = 20(0) + 50(5.7)= 285
X2 = 7 X1 = 7
X2 = 6.90/1.20 X2 = 5.75 X1 = 6.90/.70 X1 = 9.85
Metodo Simplex
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
EQUIPO 4 Taquería Las Planchitas En la taquería planchitas se producen dos tipos de tacos el tacobijado y taco dorado. Cada orden de tacobijado cuesta $85 y contiene 5 tacos y cada orden de tacos dorados cuesta $60 y consta de 3 tacos. En preparar una orden de tacobijado tardan 10 minutos y en una orden de tacos dorados tardan 5 min. ¿Cuántas órdenes de cada tipo de taco puedo preparar en 180 minutos, maximizando las utilidades, si solo se cuenta con 600 tortillas y cada taco lleva 2? VARIABLES: = =
. = $85 + $60
RESTRICCIONES: 10 + 5 ≤ 180 10 + 6 ≤ 600 , ≥ 0
Método Grafico 10 + 5 = 180 X1 = 0 10(0) + 5X2 =180 X2 = 0 10X1 + 5(0) =180
X2 = 180/5 X2 = 36 X1 = 180/10 X1 = 18
10 + 6 ≤ 600 X1 = 0 10(0) + 6X2 =600 X2 = 0 10X1 + 6(0) =180
X2 = 600/6 X2 = 100 X1 = 600/10 X1 = 60
, ≥ 0
A=X0 = 85(0) + 60(0) = 0 B=X0 = 85(18) + 60(0) = 1530 C=X0 = 85(0) + 60(36) = 2160
MÉTODO SIMPLEX
INTERACCIÓN 1
INTERACCIÓN 2
INTERACCIÓN 3
EQUIPO 5 Televisores Un fabricante de televisores tiene que decidir el número de unidades de 27” y 20” que debe
producir en una de sus plantas. La investigación de mercado indica que se puede vender a lo más 40 unidades de 27” y 10 de 20” de cada mes. El número máximo de horas de trabajo disponible es de 500 al mes. Un televisor de 27” requiere de 20 horas de trabajo y uno de 20” 10 horas de trabajo. Cada unidad de 27” vendida produce una ganancia de $120 y cada una de 20” produce
una ganancia de $80. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si los números no exceden los máximos indicados en la investigación del mercado. VARIABLES X1= Cantidad de televisores de 27 in a producir. X2= Cantidad de televisores de 20 in a producir. F.O Max X0=120x1+80x2 RESTRICCIONES: Número de horas disponibles: 20x1+10x2≤500 horas. Investigación del mercado: 40 ux1+10ux2≤50u X1, x2≥0
MÉTODO GRAFICO 20x1+10x2 = 500 X1 = 0 20(0) + 10X2 =500 X2 = 500/10 X2 = 0 20X1 + 10(0) =500 X1 = 500/20
40x1+10x2 = 50 X1 = 0 40(0) + 10X2 =50 X2 = 0 40X1 + 10(0) =50
X1, x2≥0
X2 = 50 X1 = 25
X2 = 50/10 X2 = 5 X1 = 50/40 X1 = 1.25
A=X0 = 120(0) + 80(0) = 0 B=X0 = 120(1.25) + 80(0) = 150 C=X0 = 120(0) + 80(5) = 400
MÉTODO SIMPLEX
