UNIVERSIDAD NACIONAL José Faustino Faustino Sánchez Sánchez Carrión FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y METALURGICA
40 PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción
INTRODUCCIÓN
La transferencia de calor desempeña un papel importante en muchos procesos industriales, siendo su uso muy extenso en áreas como la petroquímica, metalúrgica, refrigeración, plantas nucleares, procesos químicos, etc. La transferencia de calor es la transferencia de energía que ocurre de una parte a otra de un cuerpo, o entre diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia de temperaturas. Dicha transferencia puede ocurrir por conducción, convección y radiación o la agrupación de estas. En este material de instrucción se introducirá al estudio de problemas resueltos de transferencia de calor por conducción, usando la expresión matemática que introdujo en 1822 el matemático francés Joseph Fourier, y que hoy se conoce como la Ley de Fourier de la conducción del calor.
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
1
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INDICE
INTRODUCCIÓN ............................................. ..................................................................... ............................................... ..................................... .............. 1 PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN ............................................. ..................................................................... ............................................... ......................................... .................. 3 ANEXOS ............................................. ..................................................................... ............................................... ............................................... ........................... ... 44 FACTORES DE CONVERSIÓN ..................................... ............................................................ ....................................... ................ 44 CONSTANTES, ECUACIONES Y OTROS ............................................... .......................................................... ........... 46 CONDUCTIVIDADES CONDUCTIVIDADES TÉRMICAS DE ALGUNOS MATERIALES ............... 47 BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA ........................................... ................................................................... ............................................... ....................................... ................ 48
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN
1.
Calcule la pérdida de calor por m2 e área superficial en la pared aislante temporal de un cuarto de almacenamiento de frio, si la temperatura exterior es de 299,9 K y la interior de 276,5 K. La pared está formada por 25,4 mm de corcho prensado con un valor de k de 0,0433 W/m.K. Solución:
k 0, 0433
W m K 3
T 1 299,9 K T 2 276,5 K
q
Aplicando la ecuación de Fourier: q k A
dT dx
1
La cual resolviendo nos queda: q
A
k T 1 T 2 x
2
Reemplazando datos en esta última ecuación: W 0 ,0433 299 ,9 ,0433 ,9 K 276 ,5 ,5 K q W m K 39 ,9 ,9 3 A ,4 10 m m2 25 ,4
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción 2. En
la determinación de la conductividad térmica de un material aislante, la
temperatura en ambos lados de una placa plana de 25 mm del material es 318,4 y 303,2 K. El flujo específico de calor es 35,1 W/m 2. Calcule la conductividad térmica en Btu/h.pie y W/m.K Solución:
k
T 1 318, 4 K 4 K q
W m
35,1 A2
T 2 303, 2 K 2 K
Aplicando la ecuación de Fourier: q k A
dT dx
1
La cual resolviendo nos queda: q
A
k T 1 T 2 x
2 4
Reemplazando datos en la ecuación (2): 35 ,1 ,1
,4 K 303 ,2 ,2 K W k 318 ,4 2 3 m 2510 m k 0 ,058 ,058
3.
W m K
Una barra de hierro (k=7,3 W/m.K) de 60 cm de longitud y área transversal de 2 cm2 , tiene un extremo a 80 ºC y el otro a 20 ºC. Calcular:
a) El gradiente de temperatura. b) La rapidez de transferencia de calor. c)
Su temperatura a 20 cm del extremo caliente. Solución: T 1 80 º C
q x 60 cm
a)
T 2 20 º C
T 20 80 º C 100 º C 0, 6cm 6 cm m x
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Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción b)
De la ecuación de Fourier: W k A T T q
1
x
2
2
1m2
7, 3 m K 2 cm 104 cm2 80 º C 20 º C 0,146W 0, 60 m
c)
k A T T q
W
1 '
2
x
'
1m2
2
'
7, 3 2cm 4 2 80 º C T 2 10 cm m K 0,146W 0, 20 m T 2' 60 º C 4. Hállese
la ecuación para el calor conducido a través de una placa de área A y
grosor L, que tiene las temperaturas superficiales T 1 y T 2 cuando la conductividad varía según la ecuación: k k 0 1 T Solución: 5
T 1
qk
qk
T 2 Según La ecuación de Fourier: q k
k A
dT
1
dx dT 1 T q k k 0 dx T dT 2 q k x 1 T k dx 0 A 0 dx T 1 T 2 q k x k 0 k 0 T dT A
T 1
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Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción k x k T T 0 T 2 T 2 0 2 1 2 1 q k A x k T T 2 T T 0 2 1 1 2 2 1 A k T T A T q 0 1 2 1 T 2 1 k x 2 qk
5.
Los datos para una puerta plana de cristal son: A 20 pies2 L 0 ,75 pu lg T 1 80º F T 40º F k 5 Btu 0 ,017 2 0 h pieº F ºF Determínese el flujo de calor por hora. Solución:
A 20 pies2 T 1 80º F
qk
qk 6
T 2 40º F
Reemplazando datos en la ecuación de Fourier. dT k A qk dx
Btu
1
80º F 40º F 20 pies2 0 ,017º F 1 h pie º F F F 40º 80º q k 1 pie 2 1 0 ,75 pu lg 12 pu lg Btu 129 280 qk 5
h
6.
Una cara de una placa de cobre de 3 cm de espesor se mantiene a 400 ºC y la otra cara a 100 ºC. ¿Cuánto calor se transfiere a través de la placa? k Cu 370
W a 250 ºC . mº C Solución:
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T 1 400º C
qk
qk T 2 100º C
De la ecuación de Fourier:
k A
q k qk
dT
1
dx x2
A
dx k
x1
T 2
dT
T 1
k T 2 T 1 A x2 x1 q k T T 1 2 x q k
k
A
W 370 400º C 100º C W q mº C 3 ,7 106 0 ,03m m2 k A 7.
Calcúlese la intensidad de paso de calor a través de la pared de un horno de ladrillo refractario limitada por dos superficies planas de dimensiones 4 2 0 ,2 m , si las temperaturas de las caras interna y externa son 350 ºC y 80 ºC, respectivamente. La conductividad del ladrillo refractario a 0 ºC es 0,71 Kcal/m.h.ºC, y a 500 ºC es 1 Kcal/m.h.ºC. Solución:
4m 2m
T 1 350º C
qk
q k T 2 80º C
0 ,2 m Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
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Calcular la temperatura media: T m
350 80
215º C
2
Interpolar a la temperatura media: k
T
kcal 0 ºC m hº C Tm =215 ºC k m 50 0 ºC 1 kcal m hº C kcal De donde se obtiene: k m 0 ,83 m hº C Reemplazando en la ecuación de Fourier: dT q k A dx 0,71
q k k A T 1 T 2
x kcal 0 ,83 8 m2 350º C 80º C kcal q k m hº C 8964 0 ,2 m h 8.
Una caja con un área e superficie total de 1,2 m 2 y una pared de 4 cm de espesor esta hecha con un material aislante. Un calefactor eléctrico e 10 W dentro de la caja mantiene la temperatura interior en 15 ºC arriba de la temperatura exterior. Encuentre la conductividad térmica del material aislante. Solución:
Resolviendo la ecuación de Fourier: dT q k A dx Se tiene: q k
Reemplazando datos: 10 W
k A T 1 T 2
x
k 1 ,2 m2 15º C
0 ,04 m W k 0 ,0222 m º C
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Un plano de espesor x tiene una superficie que se mantiene a T 1 y otra a T 2. Si la conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con: k A b T c T 3 . Donde a, b, y c son constantes, deduzca la expresión para el flujo especifico de calor mono dimensional, q/A. Solución:
k A b T c T 3 T 1 q
T 2 x
De la ecuación de Fourier:
dT q k A dx
Resolviendo, se tiene: x2
x1
q
q
q
A
x
T 2
dx k dT
T 2
9
T 1
a b T c T dT 3
T 1 A b c x a T T T 2 T 2 T 3 T 3
2 1 2 1 4c 2 3 1 3 b2 2 2 A a T T T T T T 1 2 2 2 1 2 4 1 q x c b A T T a T T T 2 T T T 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 q 2 x
A
10.
Entre las superficies de una placa de 0,0305 m de espesor se mantiene una
diferencia de temperaturas de 150 ºC. determinar la tasa de transferencia de calor por unidad de área a través de la placa, si el material es cobre de conductividad térmica k=380,7 W/m.ºC y además si se pusiera asbesto en vez de cobre, ¿cuál sería el flujo de calor a través del asbesto de k=0,173 W/m.ºC? Solución:
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Para el Cobre: de la ecuación de Fourier: q
k Cu T 1 T 2
k
x
A
W 380 ,7 150º C W q m º C 1 ,87106 m2 0 ,0305m k
A
Para el Asbesto: de la ecuación de Fourier: q
k Asbesto T 1 T 2
x
k
A
W 0 ,173 150º C W q m º C 850 ,8 0 ,0305 m m2 k
A 11.
Una placa de hierro de 2 cm de espesor tiene una sección recta de 5 cm 2. Una de las caras se halla a la temperatura de 150 ºC y la opuesta a 140 ºC. Calcular la cantidad de calor que se transmite por segundo. La conductividad térmica del hierro vale 0,115 cal/s.cm.ºC. Solución:
A 5cm2 k Fe 0 ,115
10 cal s cm º C
T 1 150º C
qk
qk T 2 140º C
x 2 cm
Resolviendo la ecuación de Fourier: q k k A
Se tiene:
dT dx
q k k A T 1 T 2
Reemplazando datos: 0 ,115
x
cal
5cm2 150º C 140º C
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q k
s cm º C
cal 2cm
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2 ,875
s
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El techo de una casa calentada eléctricamente tiene 6 m de largo, 8 m de ancho y 0,25 m de espesor y esta hecho por una capa plana de concreto cuya conductividad térmica es k=0,8 W/m.ºC. las temperaturas de las superficies interior y exterior se miden como 15 ºC y 4 ºC, respectivamente, durante un periodo de 10 horas. Determine:
a) La velocidad de la pérdida de calor a través el techo esa noche. b) El costo de esta pérdida de calor para el propietario de la casa, si el costo de la
electricidad es de 0,08 dólares/KW.h. Solución:
a) De la ecuación de Fourier se tiene: q k
k A T 1 T 2
x
W 6 m 8m 15º C 4º C 0 ,8 q k m º C 0 ,25 m qk 1689 ,6W ó q k 1 ,6896 kW
b)
11
qk * 1 ,6896 kW 10 h 16 ,896 kW h Costo 16 ,896 kW h 0 ,08$ kW h Costo 1 ,35 $ 13.
Considere una pared gruesa de 3 m de alto, 5 m de ancho y 0,30 m de espesor, cuya conductividad térmica es k=0,9 W/m.ºC. Cierto día, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de esa pared y resultan ser de 16 ºC y 2 ºC, respectivamente. Determinar la velocidad de la perdida de calor a través de la pared en ese día. Solución:
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k 0 ,9
qk
T 1 16º C
W m º C
qk
3m
T 2 2º C
0 ,3 m
qk
q k
14.
k A T 1 T 2
x
W 0 ,9 3m 5m 16º C 2º C m º C 0 ,3 m
630W
La pared de un horno está recubierta de 2 pies de ladrillo. El ladrillo tiene una conductividad térmica de 0.6BTU/h.pie. ºF, un calor específico de 0.2 BTU/lb.ºF y una densidad de 110 lb/pie3. La temperatura en la superficie interna de la pared es 1100 ºF, y en la superficie externa es de 200 ºF. a)
Calcular las pérdidas de calor por hora a través de una pared de 10 pies de altura y de 10 pies de longitud.
b)
Calcular la temperatura de ladrillo en un punto situado a 4 1/2 pulgada, de la superficie interna. Solución:
k 0 ,6
qk
T 1 1100º F
Btu h pie º F
qk T 2 200º F
2 pies
a) Area 10 pies 10 pies 100 pies2
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Btu 0 ,6 100 pies2 1100º F 200º F k A T 1 T 2 h pieº F q k x 2 pies Btu qk 27 000 h
b)
15.
Btu 100 pies2 1100º F T ' 0 ,6 k A T 1 T ' h pieº F q k x' 9 1 pie pu lg 2 12 pu lg T ' 931 ,25 º F
Calcular la cantidad de calor que se transmite por conductibilidad a través de una losa de hormigón armado (k=1,3 kcal/h.m.ºC), con una superficie de 16 m 2 y un espesor de 10 cm, cuando la temperatura exterior (arriba) es de 45 ºC y la interior (abajo) es de 15 ºC. Solución: 13
q
16 m2
x 10 cm
T 1 45 º C
T 2 15 º C
Por la ecuación de Fourier: dT q k A dx q
x2
dx k A
x1
q
T 2
dT
T 1
k A T 1 T 2 x
1
Reemplazando datos: 1, 3 kcal 16 m2 45 º C 15 º C h mºC kcal 6 240 q 0,1m h
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Una pared plana grande, tiene un espesor de 0,35 m; una de sus superficies se mantiene a una temperatura de 35 ºC, mientras que la otra superficie está a 115 ºC. Únicamente se dispone de dos valores de la conductividad térmica del material de que esta hecha la pared; así se sabe que a 0 ºC, k = 26 W/m.K y a 100 ºC, k = 32 W/m.K. Determinar el flujo térmico que atraviesa la pared, suponiendo que la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura. Solución: T º C
W k m K
0º C 100º C
T 1 115º C
qk
26 32
qk T 2 35º C
x 0 ,35 m
Partiendo de la ecuación de Fourier: q k
x2
A q
dx
dx k
x1
T 2
dT
T 1
k T 1 T 2
k
14
dT
qk k A
1
x
A
Calculando la temperatura media de la pared: T m T 1 T 2 115 35 75º C
2
Interpolando para T m=75 ºC
2
k 26
W m K k m
32
T
W m K k m 30 ,5
0 ºC Tm =75 ºC 10 0 ºC W
m K
Reemplazando en la ecuación (1):
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30 ,5 W 115º C 35º C q W m K k 6 971 ,4 A 0 ,35m m K 17.
Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata de la misma longitud y área. Un extremo de la barra compuesta se mantiene a 80 ºC mientras que el extremo opuesto está a 30 ºC. Cuando el flujo de calor alcanza el estado estable, encuentre la temperatura de la unión. La conductividad térmica del oro es 314 W/m.ºC; y la de la plata es 427 W/m.ºC.
Solución:
k Au 314
W
k Ag 427
m º C
T 1 80º C
W
m º C
T 2
q k
qk
Au x
Ag
T 3 30º C
x 15
qk A q
k Au T 1 T 2
qk x (1) T 1 T 2 A k x Au k Ag T 2 T 3 q x Ag : k (2) T2 T3 k k Ag A x
Au :
Sumando (1) y (2) se obtiene: T T q k x 1 1 1 3 A k k Au Ag qk x 1 1 m º C
80 º C 30 º C
A qk x
A
314 427 W
9047,1
W
m
(3)
Reemplazando (3) en (2): T 30 º C 2
9047,1
W
m 427
1
W mº C
T 2 51º C
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Se disponen dos cubos, uno de cobre y otro de aluminio, unidos por uno de sus caras. La cara opuesta a ésta, del cubo de cobre, se mantiene a (100+5x) ºC, mientras que la opuesta a ellas del cubo de aluminio se mantiene a (20+4x) ºC. Calcular el flujo de calor y la temperatura en la cara común si el lado de los cubos mide 0,20 m. Considerar x como el último digito de su número de D.N.I. k Al 240
W W , k Cu 400 mº C mº C Solución:
T 1
Cu
l
q
q
T 2 T 3 0, 2 m
0, 2 m
Considerando la transferencia de calor de forma lineal, y de la ecuación de Fourier se tiene: Cu : q k Cu A T 1 T 2 xCu Al : q k Al A T 2 T 3 x Al
T1 T2
q xCu
A k Cu q x Al (2) T2 T 3 A k Al
Sumando las ecuaciones (1) y (2) se tiene: T T q xCu x Al 1 3 A k k Al Cu
q
A T 1 T 3 xCu
x Al
3
k Cu k Al
El último digito de mi número de D.N.I. es 6: T 1 100 5 6 130 º C T 3 20 4 6 44 º C Reemplazando datos en la ecuación (3): 2
q
(1)
0, 2 m 130 º C 44 º C 0, 2 m 0, 2 m W W 400 240 mºC m º C
2580W
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Reemplazando luego en la ecuación (2) se tiene: T 2 44 º C
2580W
0, 2 m
2
0, 2 m W 240 m º C
T 2 97, 75 º C Para otros números finales del D.N.I: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
19.
T1 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
T3 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56
q
2400 2430 2460 2490 2520 2550 2580 2610 2640 2670
T2 70 74,625 79,25 83,875 88,5 93,125 97,75 102,375 107 111,625
Una pared exterior de una casa puede aproximarse por medio de una capa de 4 pulg de ladrillo común (k=0,7 W/m. ºC), seguida de una pared de yeso (k=0,48 W/m.ºC) de 1,5 pulg. ¿Qué espesor de aislante de lana mineral de baja densidad (k=0,065 W/m.ºC) deberá añadirse para reducir la pérdida de calor (o ganarlo) a través de la pared en un 80%? Solución:
k 1 T 1 Ladrillo común
k 2 Yeso
qk
q k T 2
x1 q k
A
x2 T 1 T 2 x1 x2 k 1
(1)
k 2
Para poder comparar la pérdida de calor con y sin aislante, las paredes deben estar a la misma temperatura interna y externa.
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k 1 T 1
k 2
k 3
Lana min eral
Yeso
L.C.
qk
qk T 2
x2
x1 q k ´ A
x3
T 1 T 2 x1 x2 x3 k 1 k 2 k 3
(2)
La pérdida de calor se reducirá en un 80% q
T 1 T 2 T 1 T 2 x1 x2 x1 x2 x3
q´ k
A qk A
k A
k k
0,8
1
k k k 2
1
x1 x2 k 1 k 2 0,8
1
T 1 T 2 x1 x2 k 1 k 2
2
3
1
x1 x2 x3 k 1 k 2 k 3 1
x1 x2 k 1 k 2 1 1 1 x x 0,8 x x x x x 1 2 1 2 1 2 3 k 2 k 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k 1 0, 2 1 x1 x2 x1 x2 x3 k 1 k 2 k 1 k 2 k 3
x1 x2 x3 x1 x2 k 2 k 2 k 3 k 1 k 1 0,8 k 3 x1 x2 (3) x 3 0, 2 k 1 k 2
0, 2
Reemplazando valores en la ecuación (3): Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
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0, 0254 m 4pulg 0, 0254 m 1, 5pulg 0,8 0, 065 1pulg 1pulg x3 0, 2 0, 7 0, 48
x3 0, 0584 m 20.
Se construye un horno de 225 m de espesor de un tipo de ladrillo Silico-Aluminoso, 120 mm de ladrillo refractario aislante y 220 mm de ladrillo de alta alumina. La temperatura en el interior del horno es de 927 ºC y la temperatura exterior es de 57 ºC. Las conductividades térmicas son 0,8; 0,7 y 0,6 W/m.K respectivamente. Hallar la pérdida de calor si el área del horno es de 2,2 m 2 y la temperatura de contacto del ladrillo aislante y ladrillo de alta alúmina. Solución: A 2, 2 m2 T1 927 º C
k A T 2
A: Ladrillo Silico-Aluminoso
W
k C
k B
k A 0, 8 T 3
q
B: Ladrillo Refractario Aislant
T 4 57 º C
B
A
x A
x B
k 0, 7 B
x A 225 mm x B 120 mm xC 220 mm
C
xC
m K W
19
m K
C: Ladrillo de Alta Alúmina
k C 0, 6
W
m K
Aplicando la ecuación de Fourier a cada pared: Pared A : Pared B : Pared C :
q q q
k A A T 1 T 2
q x A T1 T2 A k A q x B T2 T 3 A k B q xC T3 T 4 A k C q x A x B xC TT k 1 4 k k A B C A
A T k B A x T 2 3
x B
k C A T 3 T 4
xC
Sumando (1), (2) y (3):
De donde se obtiene: q
A T 1 T 4 x A
k A
x B
k B
xC
5
k C
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
(1) (2) (3) (4)
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Reemplazando datos en la ecuación (5): 2 ,2 927 57 2 336 ,01W q 0 ,225 0 ,120 0 ,220 0 ,8 0 ,7 0 ,6 Reemplazando datos en la ecuación (3): 2 336 ,01 0 ,220 T 3 57 2 ,2 0 ,6 T 3 446 ,3º C 21.
Una pared de un horno, con espesor de 0,244 m, se construye con un material que tiene una conductividad térmica de 1,30 W/m.K. Esta pared se aislará en el exterior con otro material que tiene una k promedio de 0,346 W/m.K, de tal manera que se limiten las pérdidas de calor en el horno a 1830 W/m 2. La temperatura de la superficie interior del horno será de 1588 K, y la de la superficie externa de 299 K. Calcule el espesor del aislante necesario para que esto se cumpla. Solución: T1 1588 º C
k A
k B
T 2 T 3 299 K
A
x A
20
q 1830 W A m2
k A 1,30
W m K
k B 0, 346
W
m K x A 0, 244 m
B
x B
Pared A: q
k A T 1 T 2 ∆ x A
A
q ∆ x A T 1 T 2 A .k
1
A
Pared B: q
k B T 2 T 3 ∆ x B
A
T 2 T 3
S u
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
mando las ecuaciones (1) y (2):
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q ∆ x . B A k B
2
q x A x B 1 3 A k k B A Reemplazando datos en la ecuación (3): TT
3
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
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1588 K 299 K 1830
W 0, 244 m W m2
1,30 m K x B 0,179 m 22.
W 0, 346 m K x B
Una pared de un horno industrial construido con ladrillo refractario (k=0,6 Btu/h.pie.ºF), tiene 8,5 pulg de ancho. La superficie externa se recubre con material aislante (k=0,04 Btu/h.pie.ºF) de 1,2 pulg de espesor. La temperatura de la superficie interior es de 1800 ºF y la de la superficie exterior de 100 ºF. ¿Cuál es la temperatura T entre la cara del ladrillo y la del aislante? Solución: k A 0 ,6
k B 0 ,04
T 1 1800º F
qk
qk
T Ladrillo
refractario 8 ,5pulg
Ladrillo:
q
k A A T 1 T
k
Aislante:
aislante
21
1 ,2pulg
x A
qk
T 2 100º F
Material
T T
x B
Sumando (1) y (2):
x A
(1)
A A k
1
k B A T T 2
q k
T T qk x B (2) 2 A k B T T qk x A x B (3) 1 2 A k A k B
reemplazando datos en (3):
8 ,5 pu lg 1 pie 1 ,2 pu lg 1 pie 12 pu lg qk 12 pu lg 1800º F 100º F 0 ,6 Btu 0 ,04 Btu A h pieº F h pieº F
461 ,88 Btu A h pie2 q k
reemplazando este valor obtenido en la ecuación (2):
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
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1 ,2 pu lg 1 pie Btu 12 pu lg Btu T 100º F 461 ,88 h pie2 0 ,04 h pieº F T 1254 ,72º F 23.
Para la construcción de las paredes de un horno se propone el empleo de tres capas de distintas materiales dispuestas en serie del modo siguiente: 1º Una capa interior de 12 cm de espesor de ladrillo refractario (k=1,30 Kcal/h.m.ºC), 2º Una capa intermedia de 14 cm de espesor de ladrillo aislante (k=0,15 Kcal/h.m.ºC), y 3º Una capa exterior e 12 cm de espesor de ladrillo ordinario (k=0,60 Kcal/h.m.ºC) La superficie interna del refractario estará a 1150 ºC, la superficie externa del ladrillo ordinario se hallará expuesta a la atmósfera y se desea que su temperatura sea de unos 40 ºC. Como el ladrillo aislante que nos proponemos emplear no resiste temperaturas superiores a los 1000 ºC, nos interesa saber la temperatura máxima a que quedará sometido para informar si es conveniente su empleo en las condiciones indicadas. En caso de no ser así, calcúlese el espesor que habrá de tener el refractario para que el aislante que de por debajo de los 1000 ºC. Solución:
Kcal h mC k B 0 ,15 Kcal h m C Kcal k 0 ,6 C hmC k A 1 ,3
k A Ladrillo
T 1 1150º C refractario
k B
Ladrillo aislante
k C
Ladrillo ordinario
T 2
q k
qk T 3
12 cm
14 cm
T4 40º C 12 cm
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
22
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Ladrillo
q
refractario : Ladrillo
x A
q
k B A T 2 T 3
k
x B
(1) (2)
k
q
T T q k x A 2 1 A k A T T qk x B 3 2 A k B T T q k xC 3 4 A k C T T q k x A x B xC 1 4 A k A k B k C
k
aislante : Ladrillo ordinario :
k A A T 1 T 2
k C A T 3 T 4
(3)
x C
Sumando (1), (2) y (3):
(4)
Reemplazando datos en (4): 1150º C 40º C
q k
0 ,12m 0 ,12m 0 ,14m Kcal Kcal A Kcal 1 ,13 0 ,15 0 ,60 h mº C h mº C h mº C qk
905 ,65
Kcal
h m2
A Reemplazando en (1):
Kcal 905 ,65 0 ,12m 1150º C T 2 h m2 1 ,3 Kcal 23 h mº C T 2 1066º C Como esta temperatura es mayor que la máxima (1000 ºC), su empleo no será conveniente para las condiciones indicadas. El espesor que deberá tener el ladrillo refractario para que el aislante pueda ser usado será: q k
k A T 1 T 2 x A´
A Kcal 1 ,3 1150º C 1000º C Kcal 905 ,65 h mº C h m2 x A´ x A´ 0 ,22 m 22 cm
24.
Las temperaturas de las caras externa e interna de una pared rectangular construida de caolín, de dimensiones 2 m x 3 m x 0,2m, se mantiene a 1050 ºC y 150 ºC. Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción a)
Calcúlese la cantidad de calor perdida por hora si las conductividades térmicas de caolín a 500 ºC y 1150 ºC valen 0,223 y 0,387 kcal/m.h.ºC, suponiendo que varían linealmente con la temperatura.
b)
Si se duplica el espesor manteniendo constantes las demás condiciones, ¿Cuál será la cantidad de calor transmitida a su través? Solución:
T 1 1050º C
qk
qk T 2 150º C
2m
0 ,2 m
Interpolando para 1050 ºC y 150 ºC, se tiene: kcal m hº C kcal k 0 ,135 m hº C
T 1050º C k 0 ,362 T 150º C Obteniendo:
km
kcal 0 ,362 0 ,135 0 ,2485 m hº C 2
a) q k
k A T 2 T 1 , x x 2
k A T T qk
m
1
x x 2
2 1
A 2 m 3m 6m2
1
Kcal 6 m2 1050º C 150º C 0 ,2485 m hº C 0 ,2 m
q k 6709 ,5
kcal
h
b) Kcal 6 m2 1050º C 150º C 0 ,2485 kcal m hº C 3354 ,75 qk 0 ,4 m h
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
24
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción 25.
Las paredes de un horno rectangular tienen 30 cm de espesor y están constituidas por una capa de ladrillo refractario (k=0,75 Kcal/m.h.ºC) y una capa de ladrillo ordinario (k=0,09 Kcal/m.h.ºC). La temperatura de la cara interna del refractario, medida con un termopar, es 250 ºC, y la de la cara externa del ladrillo ordinario es 70 ºC. Calcúlese el espesor de la capa de ladrillo ordinario y la temperatura de la superficie externa del refractario, suponiendo que las conductividades de ambos materiales permanecen constantes con la temperatura, y siendo la cantidad de calor transmitida a su través de 100 Kcal/m 2.h. Solución:
0 ,3m
k A 0 ,75
Kcal h mº C
k 0 ,09
Kcal h mº C
B
k A
T 1 250º C
k B
qk
qk
T 2 Ladrillo Ladrillo refractario ordinario x
Ladrillo
refractario: ladrillo
ordinario:
q
q
k
0 ,3 x
k A A T 1 T 2
k
x A
T 3 70º C
k B A T 2 T 3
T T qk x A (1) 1 2 A k A T T qk x B (2) 2 3 A k B T T qk x A x B (3) 1 3 A k A k B
x B
Sumando (1) y (2):
reemplazando datos en (3):
kcal x 0 ,3 x 250º C 70º C 100 2 hm kcal kcal 0 ,75 0 ,09 h mº C h mº C x 0 ,152 m
reemplazando en la ecuación (1):
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
25
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250º C T 100 2
26.
Kcal 0 ,157 m
h m2 0 ,75 Kcal h mº C T 2 229 ,1º C
Un horno está encerrado por paredes hechas (de adentro hacia afuera) de 8 pulg de ladrillo refractario de caolín (k=0,113 Btu/h.pie.ºF), 6 pulg de ladrillo de caolín aislante (k=0,15 Btu/h.pie.ºF), y de 7 pulg de ladrillo de arcilla refractaria (k=0,58 Btu/h.pie.ºF) ¿Cuál es la pérdida de calor por pie cuadrado de pared cuando el interior del horno se mantiene a 2200 ºF y el exterior a 200 ºF? Solución:
T1 2200º F
k A L.R.C.
q A
k B L.C.A.
k C L.A.R. q
T 2 T3 T 4 200º F 8 pu lg
6 pu lg
7 pu lg
Btu h pieº F x A 8 pu lg 0, 67 pie Btu k B 0,15 h pieº F ; x B 6 pu lg 0, 5 pie xC 7 pu lg 0,58 pie Btu k 0, 58 C h pieº F k A 0,113
Por fórmula: T 1 T 4 x x B C k A k B k C
q A x A
1
Reemplazando datos: q 2 200 200 A 0, 67 0, 5 0, 58 0,113 0,15 0, 58 q Btu 194,8 A h pie2 Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
26
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción 27.
La pared de un horno consiste en una serie de 7 pulg de ladrillo refractario de caolín (k=0,113 BTU/h.pie.ºF), 6 pug de ladrillo de caolín aislante (k=0,15 BTU/h.pie.ºF), y suficiente ladrillo de arcilla refractaria (k=0,58 BTU/h.pie.ºF) para reducir las pérdidas de calor a 100 BTU/h.pie 2 cuando las temperaturas del interior y del exterior son de 1500 ºF y 100 ºF, respectivamente.
a)
¿Qué grosor de ladrillo de arcilla refractaria deberá usarse?
b)
Si se deja una faja de aire (k=0,0183 BTU/h.pie.ºF) de 1/8 de pulg de grueso entre el ladrillo aislante y el ladrillo de arcilla refractaria sin que esto afecte su soporte estructural, ¿qué grosor de ladrillo aislante se requerirá? Solución:
a) k A q 100
T1 1500º F
BTU h pie
L.R.C.
2
k C
k B
L.C.A.
L.A.R. q 100
T2
BTU h pie 2
T 3 T 4 100º F
7 pu lg
k A 0,113
Btu h pieº F
Btu k B 0,15 h pieº F k 0, 58 C
Btu
6 pu lg
x
x A 7 pu lg 0, 58 pie
; x B 6 pu lg 0, 5 pie xC x
h pieº F
Por fórmula: T 1 T 4 x x B C k A k B k C
q A x A
1
Reemplazando los datos: 100
1500 100 0, 58 0, 5 x 0,113 0,15 0, 58
x 3, 21pies 38, 5 pulg
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
27
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b) k A q 100
BTU
h pie
T 1 1500º F
k B L.C.A.
L.R.C.
2
k aire
k C L.A.R.
AIRE
q 100
T T
2
T 2 T 3
3
BTU h pie
2
T 4 100º F
x
7 pu lg
k aire
0, 0183
Btu h pieº F
1 pu lg 38 ,5 pu lg 8
1 ; xaire x pu lg 0,104 pie 8
Por fórmula: T 1 T 4 x x x k B k aire k C k A B aire C
q A x A
2
Reemplazando datos: 100
1500 100 0, 58 x 0, 0104 3, 21 0,113 0,15 0, 0183 0, 58
x 0, 41 pies 4, 98 pulg 28.
Una pared de horno está formada por 13cm de un material refractario y 26cm de un material aislante de conductividad desconocida. La temperatura de la cara interna del refractario es 750 ºC, y la de la externa del aislante, 150 º C. Posteriormente se aísla la pared con una capa de 5cm de espesor de lana mineral (K = 0,052 Kcal/m.h.ºC) y se determinan las temperaturas en los siguientes puntos:
Cara interna, 750 ºC;
Cara externa del refractario, 700 ºC;
Cara externa del aislante, 530 ºC;
Cara externa de la lana mineral, 75 ºC.
Determínese la disminución de las pérdidas de calor, refiriéndola a las pérdidas en las condiciones iniciales. Solución:
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
28
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción k A
k B
k A
T 1 750º C
k C 0 ,052
k B
Kcal m hº C
T 1 ' 750º C
q k
q k
q k
T 2' 700º C T 3 ' 530º C
T2
Material T 3 150º C
Material
Material refractario aislante Material
aislante
refractario 0 ,13m
0 ,26 m
q k
0 ,13m
0 ,26 m
a
Lana T 4 ' 75º C min eral 0 ,05 m
b
Aplicando la ecuación de Fourier en la figura (b) para la Lana mineral: kcal 0 ,052 530º C 75º C q k k C T 3 ' T 4 ' m hº C A 0 ,05 m 0 ,05 m q k 473 ,2 kcal A m2 h Reemplazando este valor en la ecuación resultante para el material refractario: 473 ,2
kcal
m2 h
k A T 1 ' T 2 '
0 ,13m k A 1 ,23
y, en el Material aislante: 473 ,2
kcal 2
m h
k B 0 ,724
0 ,13 m
kcal m hº C
k B T 2 ' T 3 '
0 ,26 m
k A 750º C 700º C
29
k A 700º C 530º C
0 ,26 m
kcal m hº C
Calculo del flujo de calor para la figura (a) q k
A
T 1 T 3 x A
k A
x B
k B
q k
A
750º C 150º C 0 ,13m 0 ,26 m 1 ,23 kcal 0 ,724 kcal m hº C m hº C
1290 ,86
kcal
h
La disminución del calor será: 1290 ,86 473 ,2 100 % dis min ución 1290 ,86 % dis min ución 63 ,34% 29.
A través de una tubería de acero fluye vapor de agua a 350 ºF. El interior del tubo está recubierto de una capa de 1/32 pulgadas de vidrio, y su exterior por 1 pulgada de material refractario. El diámetro externo de la tubería de acero es de 3,5 pulg y el interior de 3 pulg. Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción
Estime la velocidad de pérdida de calor por unidad de longitud de tubería si la temperatura superficial externa es de 120 ºF. Las conductividades térmicas de los materiales pueden tomarse como: Btu h pieº F Btu k Acero 26 h pieº F Btu k Refractario 0, 03 h pieº F k Vidrio
0, 5
Solución:
T 3 T 2
T 4 T 1 350 º F
T 1
Vidrio
r 1
T 4 120 º F r 2
r 3
Acero
k Vidrio 0,5 Btu h pieº F Btu k Acero 26 h pieº F Btu k Vidrio 0, 03 h pieº F
r 4
Refractario
q30 1 r pulg 1 pie 0,122 pies 1 2 32 12 pulg 3 r pulg 1 pie 0,125 pies 2 2 12 pulg 3, 5 r pulg 1 pie 0,146 pies 3 2 12 pulg 3, 5 r 1 pulg 1 pie 0, 229 pies 12 pulg 4 2 Aplicando la ecuación de Fourier a cada capa: Vidrio: 3
q
L
Acero:
2 k Vidrio T 1 T 2
r ln 2 r 1 r ln r 2
q T T 1 1 2 L 2 k Vidrio
1
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción q
L
Refractario:
2 k Acero T 2 T 3
r 3 r 2 r ln 3 r q T T 2 2 3 L 2 k Acero q
ln
2
2 k Refractario T 3 T 4
r 4 r 3 r ln 4 q 3 r 3 TT 3 4 2 k Refractario L Sumando las ecuaciones (1, (2) y (3): r 2 r 4 r 3 ln ln ln q r r r T1 T4 1 2 3 2 L k k k Acero Refractario Vidrio Ordenando: 2 T 1 T 4 q L r 4 4 r2 r3 ln ln ln r r r 1 2 3 k Vidrio k Acero k Refractario Reemplazando datos en la ecuación (4): q 2 350 120 L ln 0,125 ln 0,146 ln 0, 229 0,122 0,125 0,146 0, 5 26 0, 03 q Btu 95, 92 L h pie L
30.
ln
Un tubo cilíndrico de caucho duro y paredes gruesas, cuyo radio interior mide 0,5 cm y el exterior 2 cm se usa como serpentín de enfriamiento provisional en un baño, por su interior fluye una corriente rápida de agua fría y la temperatura de la pared interna alcanza 275 K y la temperatura de la superficie exterior es 297 K. El serpentín debe extraer del baño un total de 20 W. ¿Cuántos metros de tubo se necesitan? Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
31
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción k caucho
0 ,151
W m K Solución:
r 1 0,5cm , T 1 275 K r 2 2cm , T 2 297 K k caucho 0,151
Caucho
W
m K
Agua
fría qk 20W
r 1 T 1
r 2
T 2
De la ecuación de Fourier, se obtiene: qk
2 L k caucho T 1 T 2
r ln 2 r 1 32 Reemplazando datos y como el flujo de calor va desde fuera hacia dentro de la tubería (contrario a lo que se consideró al deducir la fórmula), se considera el calor con signo negativo.
W 275 K 297 K 2 L 0,151 m K 20W 2 cm ln 0, 5cm L 1, 33cm
31.
Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable de 1,0 pie de longitud, con diámetro de 0,25 pulgadas y diámetro externo de 0,40 pulgadas, para extraer calor de un baño. La temperatura en la superficie interior del tubo es de 40 ºF y de 80 ºF en el exterior. La conductividad térmica del acero inoxidable depende de la temperatura: k 7, 75 7, 78103 T , donde k se da en Btu/h.pie.ºF y T en ºF. Calcule la extracción de calor en Btu/s. Solución:
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción k 7, 75 7, 78 103 T
T 1 r 1
T 2 r r 2
0, 25 pulg
1
0,125 pulg
2
r 2
0, 40 pulg 2
0, 20 pulg
T 1 40 º F T 2 80 º F
q
Se debe deducir una ecuación a partir de la ecuación de Fourier, considerando que el calor fluye en sentido de adentro hacia fuera: dT q k A
1
dr
Donde: A 2 r L Reemplazando e integrando la ecuación (1):
q
r 2
q
r 1 r 2 r L
T 2
dr k dT T 1
7, 78103
ln 2 7, 75 T 2 T 1 2 2 L r 1 7, 78103 2 L 7, 75 T 1 T 2
q
2
T 2 T 1 2
2
r ln 2 r 1 Reemplazando datos en la ecuación (2): 7, 78103
2
2
33
T 1 T 2
2
2
2
40 80 2 1 7, 75 40 80 4 391, 58 Btu 2 q h 0, 20 ln 0,125 Btu 1h Btu q 4 391, 58 1, 22 h 3600 s s El signo nos indica que el flujo del calor es de adentro hacia fuera. 32.
Se tiene un horno de cilindro compacto de mortero con las siguientes medidas: Diámetro exterior: 48 pulgadas. Diámetro interior: 32 pulgadas. Altura: 56 pulgadas. Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción k Mortero
W m K
0,17
Donde trabaja a las siguientes temperaturas: T interior 1400 º C T exterior 50 º C Hallar la cantidad de calor que incide sobre el refractario: Solución:
T 1 1400 º C T 2 50 º C
T 1
r 1
r 2
T 2
q
h 56 pulg W k 0,17 m K
r 1
r2
32 pulg
2
34
0, 4064 m
1m 39, 37 pulg
48 pulg 1m 0, 6096 m 2 39, 37 pulg
h 56 pulg
1m 1, 4224 m 39, 37 pulg
Aplicando la ecuación de Fourier: dT q k A Donde: A 2 r h Reemplazando e integrando la ecuación (1): r 2
1
dr
q
T 2
dr k dT r T 2q r hr ln 2 k T T 2 h 2 1 r 1 1
q
1
2 k h T 1 T 2
r ln 2 r 1 Reemplazando datos en la ecuación (2):
2
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción
q
33.
2 0,17 1,4224 1400 50 5056, 04W ln 0, 6096 0, 4064
La sección de pasajeros de un avión a reacción comercial tiene la forma de un tubo cilíndrico de 35 m de largo y 2,5 m de radio exterior. Sus paredes están formadas con un material aislante de 6 cm de espesor y de 4×10 -5cal/s.cm.ºC de conductividad térmica. El interior se mantiene a 25 ºC mientras que el exterior está a -35 ºC. ¿Qué tasa de calefacción es necesaria para mantener esta diferencia de temperaturas? Solución:
k 4 105
T 1
cal s cmº C
T 2 r 1 r 2
r 1 2, 5 m 0, 06 m 2, 44 m r 2 2, 5 m T 1 25 º C T 2 35 º C
q
35
Aplicando la ecuación de Fourier para un cilindro: dT q k A dr dT q k 2 r L drT r
q
2
dr
k
2
dT
1 q1 2 rr 2 L ln k T T 2 L 2 1 r 1
r
q
T
2 k L T 1 T 2
ln
r 2 r 1
1
Reemplazando datos en la ecuación (1): cal 5 2 4 10 q
35 m 25 º C 35 º C 2, 5 m ln 2, 44 m
s cmº C
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
102 cm 1m
cal
2171, 5 s
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción 34.
Calcular la cantidad e calor que se transmite por conductibilidad a través del cilindro de un motor a explosión, de acero fundido (k=40 kcal/h.mºC), con diámetro interior de 150 mm y diámetro exterior de 180 mm y 250 mm de longitud, si la temperatura interna es de 300 ºC y la externa de 90 ºC.
T1 r 1
T 2
r 1
r 2
r
150 mm 2 180 mm
2
2 T 1 300 º C T 2 90 º C
75 mm 90 mm
q
Solución:
Por la ley de Fourier: dT q k A dr dT q k 2 r L drT r
q
2
dr
k
2
dT
1 q1 2 rr 2 L ln k T T 2 L 2 1 r 1
r
q
T
2 k L T 1 T 2
ln
r 2 r 1
1
Reemplazando datos en la ecuación (1): kcal 0, 25 m 300 º C 90 º C 2 40 h mº C kcal 72 333, 7 q h 90 ln 75 35.
Un cilindro hueco, de longitud 1 m, y radios interior r 0, 01 10 x m , donde x es el ultimo digito del numero de su D.N.I. y exterior R 0, 6 m mantiene en el interior una temperatura de 150 ºC. El cilindro tiene una conductividad térmica k=200
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
36
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W/m.ºC. Si deseamos que la temperatura en la cara externa del cilindro sea de 80 ºC. ¿Cuál será el consumo energético del sistema? Solución:
T 2 T 1 r
R
r 0, 0110 xm R 0,6 m T 1 150 º C T 2 80 ºC
q
De la ecuación de Fourier: dT q k A dr dT q k 2 r L dr q
r 2
r 1
q
dr
r
2 k L
T 2
dT
T 1
2 k L T 1 T 2
1
R ln r El último digito del número de mi D.N.I. es 6, por lo que: r 0, 01 10 6 0,16 m Reemplazando en la ecuación (1) W 1m 150 º C 80 º C 2 200 mº C q 66 517, 6W 0, 6 ln 0,16 Para otros números finales del D.N.I.: x 0 1 2 3 4 5 6
r
q
0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16
49069,0863 51825,8934 54627,7674 57486,7763 60414,1904 63420,874 66517,5801
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
37
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción 0,17 0,18 0,19
7 8 9
36.
69715,188 73024,9053 76458,4513
Una barra cilíndrica de cobre de (1+10x) metros y radio 0,02 m se dispone de forma que uno de sus extremos se mantiene a 100 ºC y el otro a 20 º. Calcular:
a) El flujo de energía en forma de calor. b)
Su temperatura a 0,3 m del extremo a 100 ºC.
k 400
W , x es la última cifra de su D.N.I. m º C Solución: T 2 20º C
T 1 100 º C
q r 1
a)
De la ecuación de Fourier:
38
dT
q k A dx
Resolviendo se tiene:
q A r 2
k A T 1 T 2 x
1
2
0,02 m 1, 26 103 m 2
El último dígito del número de mi D.N.I. es 6: x 110 x 1 10 6 61m Suponiendo que la transferencia de calor se da linealmente y reemplazando en la ecuación (1):
400 W 1, 26 103 m2 100 º C 20º C mº C q 0, 66W 61m Para otros números finales del D.N.I.: x 0 1 2 3 4 5 6
∆x 1
11 21 31 41 51 61
q
40,32 3,66 1,92 1,3 0,98 0,79 0,66
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción 71 81 91
7 8 9
b)
0,56 0,49 0,44
A x 0, 3 m , la temperatura será: T2 ' , y reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
400 W 1, 26 103 m2 100 º C T ' 2 mº C 0, 66W 0, 3 m T 2' 99, 6 º C Para otros números finales del D.N.I.: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
37.
q
40,32 3,66 1,92 1,3 0,98 0,79 0,66 0,56 0,49 0,44
T2 76 97,82 98,85 99,22 99,41 99,52 99,6 99,66 99,7 99,73
Una olla de acero (k=80 W/m.ºC) se coloca encima de una placa caliente a 101 ºC. El agua hierve en su interior a T=(100-x)ºC, donde x es el último digito de su numero de D.N.I. El radio de la olla es de 0,10 m, y el espesor del fondo de 0,003 m. Calcular la potencia transmitida a través del fondo de la olla. Solución: T 1 101º C T 2 100 x º C r 0,1m T 2
T 1
r
x
q
De la ecuación de Fourier se tiene: dT q k A dx
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
0,003m
39
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción
q
k 80
k A T 1 T 2
1
x
W
mº C
A r 2
2
0,1m 0, 0314 m2
El último digito del número de mi D.N.I. es 6, por lo que: T 2 100 6 94 º C Reemplazando en la ecuación (1) 80 W 0, 0314 m2 101º C 94 º C mº C q 5861,3W 0, 003m
38.
Un horno cilíndrico vertical de 22 pies de diámetro, está envuelto en la parte superior por un domo semiesférico fabricado de ladrillo al cromo de 32%, de 8 pulgadas de grueso. Derive una expresión para la conducción a través del domo. Cuando el interior y exterior del domo semiesférico se mantienen a 1600 ºF y 300 ºF, respectivamente, ¿cuál es la pérdida de calor por pie cuadrado de superficie interna del domo?, ¿cómo se compara la perdida total de calor por un techo plano estructuralmente soportado y del mismo material, y que se exponga a las mismas diferencias de temperaturas? Solución: T 2 300 º T 1 1600 º F r 1
r 2
d 22 pies r 1 11 pies r 2 11, 667 pies k 0, 794 semiesfera
Btu h pie º F
2 r 2
Aplicando la ecuación de Fourier: qk k A r
qk r
2
1
dT dr
dr k 2 2 r
T 2
dT
T 1
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
40
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r 1 r 2 2 r r k T 2 T 1 1 2 qk
qk 2 k T 2 T 1 r 1 r 2 r 1 r 2 Remplazando datos: 2 0 ,794
Btu 300º F 1600º F 11 pies 11 ,667 pies h pieº F qk 11 pies 11 ,667 pies Btu qk 1247 238 ,6 h 2 2 Área interna 2 3 ,14 11 pies 759 ,88 pies qk 1641 ,4 Btu A h pie2 Si el techo fuera plano: Btu 0 ,794 1600º F 300º F qk k T 1 T 2 h pieº F 11 ,667 pies 11 pies A r 2 r 1 qk 1547 ,5 Btu A h pie2 Por lo tanto la pérdida de calor es menor debido a la menor superficie. 39.
Un submarino de investigación para un pasajero tiene un casco esférico de hierro de 1,50 m de radio externo y 2 cm de espesor, forrado con hule de igual espesor. Si el submarino navega por aguas del Ártico (temperatura de 0ºC) y la taza de calor liberado dentro de la pequeña nave (incluye el calor metabólico del pasajero) es de 1500 W, encuentre la temperatura de equilibrio del interior. k Hierro
7, 3
W W , k Hule 0,151 m K m K Solución:
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
41
Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción W k Hierro 7, 3 m K W
T 3 0º C T 2 T 1
Hierro
r 1
k Hule 0,151
r 2 r 3
Hule
m K
r 1 1,5 m 0, 02 m 1, 48m r 2 1, 5m r 3 1,5 m 0,02 m 1, 52 m
q 1500W
Aplicando la
ecuación de Fourier a cada esfera se tiene: Hierro: q
Hule:
4 k Hierro T 1 T 2
1 1 r 1 r 2 T1 T2 q 1 1 r r 4 k Hierro 1 2 q
1
4 k Hule T 2 T 3
1 1 r 2 r 3 2 T T q 1 1 2 3 4 k Hule r2 r3 Sumando las ecuaciones (1) y (2): 1 1 1 1 1 1 TT 1 3q r r k r r 4 k Hierro 1 2 Hule 2 3 Despejando: 1 1 1 1 1 q 1 T 1 4 k r r k T 3 3 r r Hierro 1 2 Hule 2 3 Reemplazando datos en la ecuación (3): 1 1500 1 1 1 1 1 T1 0 4 7, 3 1, 48 1,5 0,151 1,5 1, 52
T 1 6, 9 º C 40.
Un horno esférico tiene un radio interior de 4 pies y un radio exterior de 6 pies. La conductividad térmica es de 0,10 BTU/pie.h.ºF .La temperatura interior del horno es 2000 ºF y la superficie exterior está a 200 ºF. Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
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Universidad Nacional de Huacho - Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Problemas Resueltos de Transferencia de Calor por Conducción a)
Calcular la perdida total de calor para 24 horas de operación.
b) ¿Cuál es el flujo de calor y la temperatura en un radio de 5 pies?
Solución:
r 1 4 pies T 2 200º F
T 1 2000º F
k 0,10
Btu h pie º F
Area esfera=4 r 2
qk a)
Aplicando la ecuación de Fourier: qk k A
dT dr
dr 2 k T dT qk r 2 T 1 1 4 r qk r 1 r 2 4 r r k T 2 T 1 1 2 r
43
2
qk 4 k T 2 T 1 r 1 r 2 r 1 r 2
(1)
Remplazando datos: Btu 4 0 ,10 200º F 2000º F 4 pies 6 pies h pieº F 27129 ,6 qk 4 pies 6 pies 5 Btu q k 6 ,5110 día b)
Reemplazando el valor del flujo de calor en la ecuación (1), para r 2=5 pies Btu T ' 2000º F 4 pies 5 pies 4 0 ,10 h pieº F Btu 27129 ,6 4 pies 5 pies h T ' 920º F
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
Btu h
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ANEXOS
FACTORES DE CONVERSIÓN Dimensión
Longitud
Masa
Volumen
Fuerza
Energía
1
Unidad S.I.
Conversión de unidades
1 m=100 cm= 1 000 mm= 39,37 pulg= 3,2808 pie= 1,0926 yd 1 km= 1 000 m= 0,622 millas 1 Å= 10 -10 m= 10-8 cm= 0,1 nm= 10 -4 µ m 1 micra= 10-6 m= 10-4 cm= 10-3 mm= 1 µ m metro (m) 1 yd= 0,9144 m 1 milla= 1 609 m= 5 280 pies 1 pie= 12 pulg= 0,3048 m 1 pulg= 0,0254 m= 2,54 cm 1 kg= 1 000 g= 2,205 lb m 1 tonelada métrica (ton)= 1 000 kg= 2 205 lb m 1 tonelada larga= 2 240 lb m (Se usa en Estados Unidos) kilogramo 1 tonelada corta= 2 000 lb m= 907,1847 kg (Obsoleta, se usaba en Reino unido) 1 lbm= 0,4536 kg= 16 onzas= 453,6 g (kg) 1 onza= 28,3495 g 1 slug= 32,174 lb m= 14,5939 kg 1 u1= 1,660 540×10-27 kg 1 m3= 1 000 L= 10 6 cm3= 35,315 pie3= 6,1024×104 pulg3= 264,17 gal E.U. 1 cm3= 0,06102 pulg3 1 L= 1 000 mL= 1 000 cm 3= 1 dm3 metro 1 pie3= 28,32 L= 7,48 gal E.U.= 0,0283 m 3 cúbico 1 gal E.U.= 231 pulg 3= 3,7854 L= 3785,4 cm 3= 128 onzas fluidas (m3) 1 pulg3= 16,387 mL= 16,387 cm 3 1 gal inglés= 1,20094 gal E.U. 1 onza fluida= 29,5735 cm 3=0,0295735 L 1 N= 1 kg.m/s2= 105 dina= 0,22481 lb f Newton 1 kgf = 9,80665 N= 9,80 kg.m/s 2 1 lbf = 32,174 lb m.pie/s2= 4,44822 N (N) 1 dina= 1 g.cm/s2= 10-5 kg.m/s2=7,2330×10-5 lbm.pie/s2 = 2,2481×10-6 lbf 1 J= 1 W.s= 1 N.m= 1 m 3.Pa= 10-5 m3.bar= 10 cm3.bar= 9,86923 cm3.atm 1 J = 6,2×10 18 eV= 0,23901 cal= 10 7 dina.cm= 107 ergio= 2,777×10 -7 kW.h 1 J= 5,12197×10 -3 pie3.psia= 0,737562 pie.lb f = 9,47831×10-4 Btu 1 kJ= 1 000 J= 1 000 N.m= 1 kPa.m 3= 0,94782 Btu 1 cal2= 4,184 J 1 cal (IT)3= 4,1868 J 1 Btu= 1 055,04 J= 1 055,04 W.s= 252,16 cal= 251,996 cal (IT) Joule (J) 1 Btu= 778,161 pie.lb = 5,40395 psi.pie 3 f 1 kW.h= 3 412,14 Btu= 3,6×10 6 J 1 hp.h= 0,7457 kW.h= 2 544,5 Btu 1 pie.lbf =1,35582 J 1 atm.L= 24,2 cal 1 tec4= 29,3×109 J 1 tep5 =41,84×109 J= 1,428 tec
Unidad de masa atómica.
2
Caloría termodinámica (generalmente preferida por los físicos) y corresponde al calor específico del agua a la temperatura ambiente. 3 Caloría de la tabla internacional de vapor de agua (IT) (preferida en general por los ingenieros), y corresponde al calor específico dela agua a 15 ºC. 4 tec: tonelada equivalente de carbón. Representa la energía liberada por la combustión de 1 tonelada de carbón (hulla).
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Potencia
Presión
temperatura
1 therm= 105 Btu= 1,055×10 5 kJ (gas natural) 1 eV= 1,602×10 -19 J 1 W =1 J/s= 14,340 cal/min 1 kW= 1000 W= 1,341 hp= 3 412,14 Btu/h= 737,56 pie.lb f /s=0,94783 Btu/s 1 hp6= 745,7 W= 550 pie.lb f /s= 0,7068 Btu/s Watt (W) 1 hp= 42,41 Btu/min= 2 544,5 Btu/h= 0,74570 kW 1 hp de caldera= 33 475 Btu/h 1 Btu/h= 1,055056 kJ/h= 0,29307 W 1 tonelada de refrigeración= 200 Btu/min 1 Pa= 1 N/m2= 1 kg.m-1.s-2= 1,4504×10-4 psi= 0,020886 lb f /pie2 1 atm= 101 325 Pa= 101,325 kPa= 1,0132 bar= 14,696 lb f /pulg2= 14,696 psi 1 atm= 2 116,2 lb f /pie2= 760 mm Hg (0 °C)= 760 torr= 10,3323 m H 2O (4 °C) 1 atm= 29,921 pulg Hg (0 °C)= 33,90 pie H 2O (4 °C)= 1,033 kg f /cm2 1 psi= 1 lbf /pulg2= 2,036 pulg de Hg (0 °C)= 2,311 pie H 2O (70 °F) 2 Pascal 1 psi= 51,715 mm Hg (0 °C)= 29,92 pulg Hg (30 °F)= 144 lb f /pie 1 psi= 6,89476×10 5 g/cm.s2= 6,89476×104 dina/cm2= 6,89476×103 Pa (Pa) 1 lbf /pie2= 4,788×102 dina/cm2= 47,88 Pa 1 pulg Hg= 3,387 kPa 1 dina/cm2= 2,0886×10-3 lbf /pie2 1 mm de Hg (0 °C)= 1,333224×10 2 Pa= 0,1333224 kPa 1 bar= 105 Pa= 10 2 kPa= 106 dina/cm2= 0,986923 atm=14,5038 psi= 750,061 torr T(K)= T(°C)+273,15 T(°R)= T(°F)+459,67= 1,8.T(K) Kelvin (K) T(°F)= 1,8.T(°C)+32 ∆T(K)= ∆T(°C) ∆T(°F)= ∆T(°R)= 1,8. ∆T(K)
Densidad
kg/m3
Viscosidad dinámica
Pa.s
Conductividad térmica
W/m.K
3 3 3 3 3 1 lbm/pulg 3 = 27,680 g/cm 3 = 27,680×10 kg/m = 1 728 lb m/pie 1 lbm/pie = 16,019 kg/m 1 slug/pie3= 515,38 kg/m3 1 g/cm3= 1 kg/L= 1 000 kg/m3= 62,428 lbm/pie3= 0,036127 lbm/pulg3 45 1 Pa.s= 1 N.s/m2= 1 kg/m.s= 1 000 cp lb m/pie.h= 6,7197×10 -4 lbm/pie.s= 2,0886×10 -5 lbf .s/pie2 1 cp=10-2 g/cm.s= 2,4191 2 1 poise= 1 g/cm.s= 10 cp= 241,9 lb m/pie.h 1 lbm/pie.s = 1,4882 kg/m.s= 14,882 poise= 1 488,2 cp 1 lbm/pie.h= 0,4134×10 -3 kg/m.s= 0,4134×10 -2 poise= 0,4134 cp 1 W/m. °C= 1 W/m.K= 0,5779 Btu/h.pie. °F 1 Btu/h.pie. °F= 0,4132 cal/s.m. °C
5
tep: tonelada equivalente de petróleo. Equivale a la energía liberada en la combustión de 1 tonelada de crudo de petróleo. 6 Caballo de potencia mecánico. El caballo de potencia eléctrico se toma exactamente como 746 W.
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CONSTANTES, ECUACIONES Y OTROS
Constante Universal de los gases R= 8,31447 J/mol.K R= 8,31447 kPa.m3/kmol.K R= 0,0831447 bar.m3/kmol.K R= R= 0.08205 0,08205 L.atm/mol.K m3.atm/kmol.K R= 1,9858 Btu/lbmol. °R R= 1 545,35 pie.lbf /lbmol. °R R= 10,73 psi.pie3lbmol. °R R= 0,730 pie3.atm/lbmol. °R R= 1,9872 cal/mol.K R= 82,057 cm3.atm/mol.K Constante de Stefanσ= 5,6704×10 -8 W/m2.K 4 σ= 5,71×10-5 ergio/cm2.s.K 4 σ= 4,92×10-8 kcal/m2.h.K 4 σ= 0,1714×10 -8 Btu/h.pie2. °R 4
Ley de Fourier
dx
Ley de Newton de enfriamiento s
Ley de Stefan - Boltzmann
q A Ts s
dM
k
k
M k ,entra M k , sale k 1 dt sist k 1 k de Energía dU Ecuación de balance M Q W ˆ ˆc E ˆ p k H E k dt sist k 1
yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Ecuación de balance de Entropía k Q dS S ˆ S M k T gen dt k 1 0 sist
Ecuación de continuidad
deci centi mili micro nano
A1 v1 A2 v2 Ecuación de Bernoulli
P v 2 P v 2 1 1 z1 2 2 z2 2 g 2 g
q k AdT
q h AT T
Prefijos de unidades Alfabeto griego del SI Prefijo Símbolo Factor Letra May. Min.
Ecuación de balance de masa
4
pico
femto atto zepto yocto
Ecuación general de la energía
P v 2 1 1 z h 1 2 g
P v 2 h h 2 2 z A R L 2 g
da
24 10 1021 alpha beta 1018 gamma 1015 delta 10 épsilon 109 zeta 106 eta 103 theta 102 iota 101 kappa
d c m µ n p f a z y
10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24
Y Z E P T G M k h
Aceleración de la 2
g= 9,80665 m/s2 g= 32,174 pie/s2
Mg. Ing. Ronald F. Rodríguez Espinoza
lambda um nu xi omicron pi rho sigma tau upsilon phi chi psi Omega
Α Β Γ ∆
Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ
µ ν ξ ο π ρ σ τ 46 υ φ χ ψ ω
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CONDUCTIVIDADES TÉRMICAS DE ALGUNOS MATERIALES
Sustancia
k (W/mK)
Aluminio
205.0
Latón
109.0
Cobre
385.0
Plomo
34.7
Mercurio
8.3
Plata
406.0
Acero
50.2
Ladrillo aislante
0.15
Ladrillo rojo
0.6
Hormigón
0.8
Corcho
0.04
Fieltro
0.04
Fibra de vidrio
0.04
Vidrio
0.8
Hielo
1.6
Lana mineral
0.04
Espuma de poliestireno
0.01
Madera
0.12 - 0.04
Aire
0.024
Argón
0.016
Helio
0.14
Hidrógeno
0.14
Oxígeno
0.023
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47