Problemas Isostaticos e Hiperestaticos

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES EN LOS MEDIOS CONTÍNUOS

PROBLEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS

Julio Melián Pérez-Marín 2010

Elasticidad y resistencia de materiales. Problemas isostáticos e hiperestáticos Julio Melián/2010

2


INTRODUCCIÓN

En la obra de este mismo autor sobre “Elasticidad Tensorial” se requiere una gran dosis de asimilación práctica en forma de realización de múltiples ejercicios y problemas que ayuden al alumno a fijar sus conceptos y, sobre todo, a lograr una clara y eficaz manera de aplicarlos logrando así el rendimiento que su conocimiento y dominio debiera exigir.

Así que, como un complemento de dicha obra y continuación de la misma, se ofrece este compendio de 113 problemas: unos resueltos con toda clase de detalles, otros tan solo con la orientación de su enfoque y planteamiento, completando la colección con una serie de enunciados que el alumno debe resolver por sí solo, adquiriendo así su propia autonomía y completando su formación.

La extensión hacia el análisis elástico de las vigas cargadas transversalmente es el epílogo adecuado de esta obra. Igualmente se han introducido una colección de problemas con el planteamiento hiperestático de la casuística de pórticos simples que serán de aplicación e interés para las asignaturas de cálculo de estructuras incluidas en el plan de estudios para el Título de Grado de Arquitecto.

La práctica, como método para alcanzar el dominio de una materia, es el procedimiento más adecuado para la preparación y éxito del estudiante. La entrada en el Espacio de Educación Superior Europeo (EEES) de la Escuela de Arquitectura de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, exige la utilización de estos métodos para cumplir sus objetivos con la aportación por la Universidad de los medios oportunos para el trabajo del alumno.

3


Esta obra está dividida en capítulos en los que se agrupan problemas referentes a los ejercicios propios de las siguientes materias:  Cálculo y prácticas de álgebra tensorial: cambios de coordenadas, obtención de vectores transformados de otros por un tensor, obtención de valores propios y direcciones principales de un tensor simétrico y determinación de componentes intrínsecas del transformado de un vector. Todo ello como esencia conceptual de la condición tensorial de los esfuerzos actuantes en el interior de un sólido sometido a cargas externas. 

Problemas específicos de Círculos de Mohr y aplicaciones concretas a tensores de esfuerzos. Dentro de las mismas premisas citadas antes.



Casos isostáticos en problemas de deformaciones de estructuras articuladas con elementos unidimensionales. Orientado a comenzar el ejercicio de la utilización de la Ley de Hooke que relaciona esfuerzos con deformaciones.



Problemas de determinación de tensiones y esfuerzos en barras de estructuras hiperestáticas articuladas. Problemas hiperestáticos de deformaciones. Con lo que se pretende que el alumno organice su mente en la percepción de las condiciones hiperestáticas de la estructura y así poder determinar incógnitas imposibles de calcular por las ecuaciones deducidas de la Estática Analítica.



Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en cuerpos tridimensionales en situación isostática. Traspasando así la barrera de los elementos unidimensionales para adentrarnos en las formas reales tridimensionales.



Problemas de esfuerzos y deformaciones elásticas en sistemas tridimensionales hiperestáticos. Con lo que se desea completar y concluir la formación práctica integral del contenido de esta materia.



Problemas de resolución de reacciones y determinación de diagramas de fuerzas cortantes, momentos flectores y elásticas en vigas isostáticas e hiperestáticas. Ello capacitará al alumno para abordar, en cursos sucesivos de Cálculo de Estructuras, y el estudio de pórticos simples, y estructuras reticulares como soporte resistente en la edificación, cuyo desarrollo práctico se aborda en un último capítulo como iniciación en los pórticos isostáticos e hiperestáticos.

Desde aquí le deseo al lector el mejor aprovechamiento de este trabajo. Las Palmas de Gran Canaria, enero de 2010 El Autor 4


ÍNDICE

Capítulo 1:

Álgebra Tensorial

Capítulo 2:

Círculos de Mohr

Capítulo 3:

Problemas isostáticos unidimensionales

Capítulo 4:

Sistemas y estructuras articuladas planas

Capítulo 5:

Sistemas tridimensionales hiperestáticos

Capítulo 6:

Elementos estructurales con carga transversal

Capítulo 7:

Sistemas estructurales compuestos. Pórticos

5


Deseo dedicar este trabajo a los que fueron mis alumnos en la primera etapa de la Escuela de Arquitectura de Las Palmas, sin cuyo apoyo esta obra nunca hubiera visto la luz.

6


Capítulo Primero

Álgebra Tensorial

7


8


PROBLEMA nº I-1  3 1 1      Definido para unos ejes i ; j ; k ; el siguiente Tensor simétrico:  1 2 0  , determinar:  1 0 2  

a) Invariantes del Tensor. b) Valores Propios. c) Dirección principal correspondiente al mayor de los ejes del Elipsoide de Lamé. d) Componentes normal y transversal del transformado por el Tensor, de aquel versor cuya 







dirección viene dada por un vector: V  3i  2 j  6 k

SOLUCIÓN

a) Los tres invariantes serán: A  B  C  t 11  t 22  t 33  3  2  2  7 2 2 2 AB  BC  CA  t 11 t 22  t 22 t 33  t 33 t 11  t 12  t 13  t 23  3  2  2  2  2  3  1 2  1 2  14

t 11 ABC  t 12

t 12 t 22

t 13 3 1 1 t 23  1 2 0  3  2  2  1  1  2  1  1  2  8

t 13

t 23

t 33

1 0

2

b) La ecuación cúbica que nos determina los valores propios: t 11  

t 12

t 13

t 12

t 22  

t 23

t 13

t 23

t 33  



3

1

1

1

2

0

1

0

2



A  4  B  2 C  1 

0

3     2     2     2     2     0  2     3     2     2   0 2     0  2   5   4  0



 1  2   2  4   1  3

c) El eje mayor del Elipsoide de Lamé corresponde al del valor propio

A  4 por lo que el

sistema de ecuaciones homogéneas a plantear sería: 3  A 1   2   3  0   1  2  A 2  0   2  A  0 3  1



  1   2   3  0    1  2 2  0    2  0 1 3 



 1  2 2  2 3  2  3 

que, unidas a la condición de versor que define la dirección principal en cuestión :  12   22   32  1

9


d) El

 6  1  3  6   ; y resultando obteniéndose:  2  6  6   3  6     V 3 2  6  versor de V es n    i  j  k ; por 7 7 V 7



la dirección: u A 

6  6  6  i j k 3 6 6

lo que su vector asociado mediante la

transformación del Tensor , será:   2 6   3 2 6   3 2 6   17  7  15  3 w  n  T    3  1  1 i   1  2  0  j   1  0  2 k  i  j k 7 7  7 7 7  7 7 7  7 7 7 7

  51 14 90 155 resultando así que su componente normal es:   n  w      3,163 ; y la 49 49 49 49

transversal:  

2 563 24.025 27.587  24.025 3.562 w  2      1,218 49 2.401 2.401 49

Reflexiónese acerca del resultado y los valores dados como componentes del tensor.

10


PROBLEMA nº I-2

    Un tensor plano (T), transforma los versores n1 y n2 en los vectores v1 y v 2 , siendo: 3  1  i  j 2 2  1 3  n2   i  j 2 2  n1 

2  2  i 4 j 2 2  2  2  v 2  6 i 6 j 2 2  v1  4

  Hallar el tensor (T), referido a los ejes X e Y cuyos versores son i y j .

SOLUCIÓN   t x   t xx Si el tensor tiene por expresión (T )        t y   t yx

t xy   , resultará que t yy 

  v1  n1  ( T ) ;   v 2  n 2  ( T )

es decir:  2 2   3 1 v1  4 i 4 j   i  2 2 2  2  2 2   1 v 2  6 i 6 j    i  2 2  2

   t xx t xy   3 1   3 1     j    t xx  t yx i   t xy  t yy  j  t t 2 2 2 2  yy    yx    3    t xx t xy   1 3   1 3      t xx  j t yx i    t xy  t yy  j 2   t yx t yy   2 2 2 2   

  lo que, igualando los coeficientes de i y de j , en ambas ecuaciones, daría: 3 1 2 t xx  t yx  4 ; 2 2 2 3 1 2 t xy  t yy  4 ; 2 2 2

1 3 2 t xx  t yx  6 ; 2 2 2 1 3 2  t xy  t yy  6 ; 2 2 2 

Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que, una vez resuelto, da respuesta al problema: 3  t xx   3   2 ; 2 

3  t xy   3   2 ; 2 

3 3  t yx    1 2 ;  2 

3 3  t yy    1 2 ;  2 

11


PROBLEMA nº I-3 En un espacio de dos dimensiones, determinado por un sistema de ejes cartesianos X e Y, se pide: 





a) Hallar el tensor (T) de 2º Orden tal que transforma al vector v  v x i  v y j en el   v x  a ;   v '  v x' i  v 'y j ; de tal manera que en el punto   el vector v se transforma en sí v y  b; ' v x  n; v x  a ; mismo. Y para   (cuando n  ), sean  ' v y  n; v y  b;   b)Hallar el lugar geométrico del extremo del v ' , cuando el v describe la recta v y  b

SOLUCIÓN

  Sustituyendo los valores dados de las componentes de v y v ' en las fórmulas de   transformación, se podrán calcular las componentes del Tensor solicitado en los ejes i y j .  Con él, haciendo la transformación de v con su componente v y  b constante, podrá deducirse que dicha condición implica otro valor constante para v x' , lo que, a su vez, obliga a que ese lugar geométrico pedido sea otra recta perpendicular a la anterior.

12


PROBLEMA nº I-4  4  2  en un espacio de dos dimensiones, referido a los ejes X e Y, determinar sus Valores 1 2 

Dado el tensor 

Propios y Direcciones Principales.

 u2

Y

SOLUCIÓN υ

 u1

En general, las direcciones principales serán:      u1  1  i  1  j  cos   i  sen  j ;      u2   2  i   2  j   sen  i  cos   j ;

υ   u1 con i ,

X cumplen las condiciones de

(expresiones que, en función del ángulo υ que forman   que u1 y u 2 sean unitarios y perpendiculares) siendo sus asociados:    a0  4 cos   sen   i   2 cos   2 sen   j ;    b0   4 sen  cos    i  2 sen  2 cos    j ;

  que deberán ser perpendiculares entre sí: a0  b0  0 (producto escalar nulo) por lo que:

4 cos   sen    4 sen  cos      2 cos   2 sen   2 sen  2 cos    0     lo que, tras el correspondiente desarrollo analítico, resulta   0 ; es decir, u1  i y u2  j    a 0  4 i  2 j; con lo que las direcciones principales resultarán      siendo sus módulos los b 0  i  2 j; 

valores propios A, B A  4 2  2 2  20  2 5 B  12  2 2  5

;

  Esto mismo puede ser razonado, entendiendo que si u1 y u 2 coinciden con los ejes   originales, sus transformados serán las componentes t x y t y del Tensor dado, llegándose a la misma conclusión.

13


PROBLEMA nº I-5 Considérese el Tensor que, expresado en los ejes X, Y, Z, es: 1 1 0   T    1 0 1   0 1 1  

y determínense sus valores propios y direcciones principales, así como la forma que adquiere al referirlo a dichas direcciones.

SOLUCIÓN

Para calcular sus valores propios resolveremos la ecuación: 1  1  1  1  0    1     21     0  1        2  0  2  2    1 0 1 1  3    direcciones principales vendrán dadas por aquel triedro u1 ; u2 ; u3 tal que multiplicado 1

1

0



2

Las

2



por

el Tensor T  nos den tres vectores de direcciones coincidentes con el triedro y de módulos 1;2 ;3 .

Tras el planteamiento de las ecuaciones homogéneas y la independiente del módulo unidad del versor de cada dirección, se obtienen como solución:





2   i k 2  3    u2  i  jk 3    6  u1  i 2j k 6  u1 









El Tensor, referido a sus direcciones principales, queda: 1 0 0    T    0 2 0   0 0  1  

14


PROBLEMA nº I-6   

Dado el Tensor simétrico referido a los ejes i ; j ; k

3 2 7    2  5 1 7 1 0   

determínese: a) Sus invariantes.

b) Valores Propios. c) La dirección principal correspondiente al mayor de los ejes del Elipsoide de Lamé. SOLUCIÓN

a) Invariantes: A  B  C  t11  t 22  t 33  3  5  2 2 2 2 AB  BC  CA  t11t 22  t 22 t 33  t 33 t11  t12  t13  t 23  15  4  49  1  69

t11 ABC  t12

t12 t 22

t13 3 2 7 t 23  2  5 1  14  14  245  3  270

t13

t 23

t 33

7

1

0

b) Valores Propios: 3 2 7

2 5 1

7 1  0   3  2  2  69   270  0 

  5     6     9   0



A  9   B  5 C   6 

c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio



n22



n32

1   nA 

A9:

 n1     n2    25 n22  n22  16 n22  1 n3 

 6 n1  2 n2  7 n3  0   n1  5 n2 2 n1  14 n2  n3  0  n3  4 n2 7 n1  n2  9 n3  0  n12

  5    2  3  54   0



5  i  42

5 42 1 42 4 42

1  4  j k 42 42

15


PROBLEMA nº I-7   

Dado el Tensor que, referido a los ejes i ; j ; k , tiene por expresión: 1  13  6 6  1 13 6  6 2 2 3  3

2  3 2  3 5  3

a) Compruébense que sus invariantes valen 6, 11 y 6. b) Determínense sus valores propios. c) Determínense sus direcciones principales SOLUCIÓN

a) Invariantes: A  B  C  t11  t 22  t 33 

13 13 5   6 6 6 3

2 2 2 AB  BC  CA  t11t 22  t 22 t 33  t 33 t11  t12  t13  t 23 

13

t11

t12

t13

ABC  t12 t13

t 22

t 23  1 6 2 t 33 3

t 23

6

1

6 13 6 2 3

2 2 5

169 260 1 32     11 36 36 36 36

3 3

6

3

b) Valores Propios: 13   6 1 6 2 3

1

6 13   6 2 3

2 2

3

3 5  3

0



3  6 2  11  6 

  1  2  5   6   0

A  3   1    3     2   0   B  2 C  1 

c) Dirección principal correspondiente al mayor valor propio

A 3:

3  n1   5 n1  n2  4 n3  0  3   n1  5 n2  4 n3  0  n1  n2  n3  3  n2  4 n1  4 n2  8 n3  0  3  3  2 2 2 2 n1  n2  n3  1  3n2  1  n3  3  nA 

3 3  3  i  j k 3 3 3

El mismo proceso se seguirá con los otros dos valores propios, resultando:  nB 

16

2 2  i j; 2 2

 nC 

6 6  6  i j2 k; 6 6 6


PROBLEMA nº I-8 Dado el Tensor

 3 1 2   T    1 4 1  ,  2 1 3  

  

referid aciertos ejes conocidos i ; j ; k , hallar sus valores

propios y direcciones principales

PROBLEMA nº I-9 

Determinar las componentes intrínsecas del transformado del versor n 

2 2  i j 2 2

mediante un tensor plano que tiene un valor propio igual a -1 y que da, como 

transformado de un versor a , el vector de componentes intrínsecas   3;   2 . 

Se supone que i

y

 j son los versores de las direcciones principales.

PROBLEMA nº I-10

Dado el tensor

 2  T    0  0 

0 7 4 3 4

 0  3 . 4  5  4 

Determínese la posición de los vectores que al

transformarse por el Tensor no cambian de dirección y duplican su módulo.

PROBLEMA nº I-11 Un elemento de volumen de un sólido se encuentra sometido a los esfuerzos normales y cortantes que indica la figura, medidos en Kg/cm2. Determinar los esfuerzos normales máximos de tracción y de compresión. 20 20

20 20

20 2

20 2

17


18


Capítulo Segundo

Círculos de Mohr

19


20


PROBLEMA nº II-1 El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en la figura. Determinar ζx, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante máximo sea de 120 Kg/cm2. En caso de existir dos ó más soluciones, se deberá elegir el ζx de tracción. Determinar también, gráficamente, los valores propios del tensor de esfuerzos. Finalmente, calcúlense los esfuerzos normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales.

Z 40 Kg/cm2

ηzy

40 3 Kg/cm2 Y 40 Kg/cm

2

ζx X

SOLUCIÓN 1. El esfuerzo cortante ηzy será igual al esfuerzo cortante ηyz= 40 3 ya que convergen en una

arista de corte de planos ortogonales. 2. Los planos perpendiculares a los ejes Y y Z son perpendiculares entre sí, y ambos pasan

por el eje X, que será Dirección Principal por no tener esfuerzo cortante asociado. 3. Los esfuerzos aplicados a los planos normales a Y y Z se encontrarán en uno de los tres

Círculos Principales de Mohr (los dos en el mismo círculo) ya que sus normales son perpendiculares a una dirección principal y, además, diametralmente opuestos por ser perpendiculares entre ellos. 21


4. Así, al dibujar las posiciones de los puntos Py y Pz, obtendremos el círculo de la figura:

η

Py(40, 40 3 ) ζ

Pz(- 40, 40 3 )

5. Con lo que deducimos que el centro de ese círculo principal es el origen de ζ y η, que su

radio es de 80 y que los valores principales serán +80 Kg/cm2 y -80 Kg/cm2. Por tanto, para que se alcance un η max = 120 Kg/cm2, será preciso localizar un ζx situado bien a la izquierda o la derecha de los valores propios encontrados. η

Py

η max = 120

80 ζ

ζ2x= -160

ζ1x=160 Pz

6. Así que el esfuerzo pedido será: ζx=160 Kg/cm2

7. De otra parte, los valores propios serán los correspondientes al Tensor de Esfuerzos: 0   160 0   0   0 80  0 0  80  

22


8. Finalmente, el versor que forma ángulos iguales con los tres ejes coordenados será el  n

3  3  3  uA  uB  uC 3 3 3

por lo que su transformado será:  3  3  3  t  160 u A  80 uB  80 uC 3 3 3

y sus componentes intrínsecas:  

1 3

1 3

  n  t  160  80  80



 160 2 80 2 80 2   160  2 14 1 160    80 Kg / cm 2  Kg / cm 2        3 3 3 3 3 3 3    

160 Kg / cm 2  53.33Kg / cm 2 ; 3



80 14 Kg / cm 2  99.79 Kg / cm 2 3

valores que, con cierta aproximación, se comprueban mediante los Círculos de Mohr:

η

η max = 120

54º 44’ 08”

R=80

 100

ζ  z  80

ζx=160

ζZ=-80

 53

23


PROBLEMA II-2 Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe que de los planos cuyas normales forman 60º con la dirección principal del mayor valor propio, el que soporta mayor esfuerzo cortante tiene asociado un esfuerzo normal de compresión de 40 Kg/cm2 y que la máxima compresión que soporta esa familia de planos es de 60 Kg/cm2. De otra parte, la compresión máxima absoluta del tensor de esfuerzos es de 100 Kg/cm2. Determinar el esfuerzo máximo de tracción y el esfuerzo máximo cortante.

SOLUCIÓN

1. Para la familia de planos que forman 60º con la dirección principal X correspondiente al

valor propio mayor (A), sus esfuerzos ζ y η habrán de pertenecer, en la construcción gráfica de Mohr, al arco perteneciente a ese ángulo con centro en OA. 2. De ese arco, el punto que corresponde a la máxima compresión, será el situado en la

posición extrema izquierda. (Este punto podría coincidir con el mayor esfuerzo η de los existentes en dicho arco, en el caso de que este arco no llegara a alcanzar la vertical por su centro). Esa compresión máxima es de 60 Kg/cm2 (P’). 3. Sin embargo, el enunciado advierte que el máximo η se alcanza con un valor menor, (de

  40 Kg / cm 2 ). Lo que implica que el máximo η se produce sobre el centro OA, y que

este punto está en   40 Kg / cm 2 , desconociéndose, por el momento, el radio del arco. 4. Volviendo al apartado 2, el punto que represente a la compresión máxima de esa familia

tiene que estar sobre la vertical de P’, sobre el susodicho arco y en la circunferencia η exterior de los Círculos de Mohr (punto P). arco de 60º con X

P

  40

ζ

P’ C

OA

  60

  100

24


5. De otra parte, el máximo absoluto de compresión es de 100 Kg/cm2. Así, el punto C

correspondiente al menor valor propio esta situado en esta coordenada. También perteneciente a la circunferencia exterior, como el P. 6. Esto supone que la circunferencia con centro en OA y radio OAC será una de las interiores

de los Círculos de Mohr

η P

  40 P’

ζ

B

C

OA

  60

  100

7. Como se ha dicho en 4 y 5, por C y por P pasará la circunferencia exterior de los Círculos

de Mohr y, además, CP tendrá que formar con la vertical que pasa por C un ángulo de 30º, con lo que puede trazarse la recta CP y así, en su intersección con P’P estará el punto P.

η

30º

P

  40

ζ

P’ C

OA

  60

  100

25


8. Así que la construcción de los Círculos de Mohr quedará:

  60

  40

η

P

RB=80

η max = 80

60º RA=60 OA C

P’

ζ

OB

  40

A  60

2 T 2 9. Resultando que:  max  80 Kg / cm ; y  max  60 Kg / cm

26


PROBLEMA II-3 Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente: 1. En el plano donde se produce el esfuerzo cortante máximo absoluto, su esfuerzo normal asociado es ζηmax = 10. 2. De su correspondiente tensor de esfuerzos, el valor propio intermedio vale B = 30. 3. En un cierto plano π cuya normal forma 45º con el eje principal correspondiente al valor propio B, los esfuerzos que actúan en él son:

   50    30 2

  

Determinar: a) El esfuerzo máximo de tracción que se produce en ese punto. b) El correspondiente esfuerzo máximo de compresión. c) El máximo esfuerzo cortante absoluto. d) El máximo esfuerzo cortante relativo a los planos que pasan por la dirección principal correspondiente al esfuerzo normal máximo de tracción. e) El máximo esfuerzo cortante relativo a los planos que pasan por la dirección principal correspondiente al esfuerzo normal máximo de compresión.

SOLUCIÓN:

Según se establece en el punto 1 del enunciado, el centro de la circunferencia mayor de los Círculos de Mohr (OB) se encuentra en   10 . Igualmente según el punto 3, un punto Pπ de coordenadas ( 50 , 30 2 ) estará en un círculo de centro OB, por lo que el radio de ese círculo será

50  10 2  30

2



2

 1600  1800  10 34 . η

10 34

Pπ 30 2

O

OB

ζ

50

27


Esta circunferencia donde se encuentra Pπ se cortará con el círculo menor AB en el punto M que se determina con la recta que forma 45º con BB’ trazada desde B (según el punto 3). El punto B se conoce por el punto 2. Así, en el corte de la recta BB” con el citado círculo determinaremos M y su proyección sobre el eje ζ nos dará el centro OC, y se determina fácilmente A: B’

η

B”

45º

Circunferencia de Pπ 10 34

M A

O

OB

B

ζ

OC

x

Cálculo analítico: O B B  30  10  20 ;  2 2 2 BOC  MOC  x ;   O B OC  MOC  O B M  O B M  10 34 ; 



20  x 2  x 2  10

34



2

 400  40 x  2 x 2  3400 ;

x 2  20 x  1500  0 ;  x  10  100  1500  10  40  30 ;  OOC  OB  x  60 ;

OO A  OOC  x  90 ;

El resto de la construcción de Mohr ya es fácil utilizando el centro OB y radio OB A para determinar C:

η 80 50 30 C = - 70

OA

OB

B

OC

A=90

ζ

Respuestas a las cuestiones planteadas: trac a)  max  90 ;

28

comp b)  max  70 ;

abs relA c)  max  80 ; d)  max  50 ;

ralC e)  max  30


PROBLEMA II-4 El estado de esfuerzos en un punto es tal como el que se expone en la figura Z

Y

4 4

4

2 X a) Determinar, utilizando los procedimientos gráficos de Mohr, los esfuerzos normales

máximos de tracción y de compresión, así como las direcciones en que estos se manifiestan. b) Calcular que esfuerzo normal habría que aplicar en la dirección del eje Z para que no

exista dilatación ni contracción volumétrica.

SOLUCIÓN: a) 1. El eje Z es principal por no existir esfuerzos cortantes en el plano correspondiente. Su valor propio sería B=0 2. Los planos que se indican en la figura (X e Y) pasan por el eje Z, así que en los Círculos de Mohr, los puntos PX (4, 4) y PY (-2, 4) estarán sobre uno de los círculos base del esquema de Mohr, y puede dibujarse como en la figura que sigue: η θA

-2

PX

C

4

B 4

O

A

ζ

B

PY 4 θC 29


3. De manera que los máximos esfuerzos normales serán: trac  max  A6 comp  max  C  4

4. Y sus respectivas direcciones serán perpendiculares a Z y formando con X e Y, respectivamente los ángulos dados por: 1 2 1  C  arc tan 2

 A  arc tan

b) Si ζZ es el esfuerzo normal según Z, las deformaciones longitudinales unitarias en

cada eje serán:  2  4   Z   ; E E  4   2   Z  y   ; E E   Z 4  2  z   ;  E E 

x 

y si su suma debe ser nula:

30

2   Z    4  2 Z   0



 Z  2


PROBLEMA II-5 Sin determinar los valores propios por procedimientos analíticos, dibujar directamente los círculos de Mohr del estado de esfuerzos indicado en la figura. Explíquese con toda claridad la construcción seguida.

2 7

7 3

PROBLEMA II-6 El estado de esfuerzos en un punto queda representado por el esquema de la figura mediante los esfuerzos normales y cortantes (expresados en Kg/cm2) que actúan en las seis caras de un elemento de volumen tomado alrededor de dicho punto según los ejes X, Y y Z. Se pide determinar los esfuerzos máximos de tracción y compresión sobre la familia de planos cuyas normales forman 60º con el eje Y, así como el máximo esfuerzo cortante que se ejerce sobre esa familia de planos. 50

Z 50 3

Y 30

X

50 3

50

31


PROBLEMA II-7 Un bloque de forma prismática tiene sus aristas paralelas a los ejes X, Y y Z. Las caras perpendiculares al eje Z, están impedidas de cualquier desplazamiento en sentido alguno. Y sobre las otras caras el prisma está sometido a los esfuerzos que señala la figura. Determinar los esfuerzos máximos absolutos y la dilatación cúbica unitaria.

Z 60 50

Y X

100

PROBLEMA II-8 El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en la figura, del cual no se conoce el esfuerzo normal ζZ (ni si es de tracción ó compresión). Determinar ζZ, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante máximo sea de 60 Kg/cm2, así como si ha de ser de tracción ó compresión. En caso de existir dos ó más soluciones, se deberá elegir el menor valor absoluto de ζZ. Indicar, en estas condiciones, cuales serán los valores propios del tensor de esfuerzos, y el esfuerzo normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales (este último cálculo debe realizarse analíticamente basado en los resultados anteriores que se obtuvieron gráficamente).

ζZ

20 3 Kg/cm

20 Kg/cm2

32

2

20 Kg/cm2


PROBLEMA II-9 El esquema de la figura representa el estado de esfuerzos de un punto. Utilizando los procedimientos gráficos de Mohr, determinar: 1.

Esfuerzos normales máximos de tracción, compresión y esfuerzo cortante máximo absoluto.

2.

Esfuerzo normal máximo de tracción y esfuerzo cortante máximo que se presentan en el abanico de planos cuya normal forme el mismo ángulo que forma el eje Y con la dirección principal correspondiente a la compresión normal máxima. Z

15 Kg/cm2 10 3 Kg/cm2

Y

35 3 Kg/cm2

X PROBLEMA II-10

Un cuerpo elástico sometido a ciertas tensiones externas, tiene un estado de esfuerzos en un punto de su interior, tal que el eje “U” corresponde a una dirección principal de su tensor de esfuerzos, y sobre dos de los planos que pasan por ese eje “U” (oblicuos entre sí) actúan los esfuerzos normales y cortantes siguientes:  Sobre el plano π1: o  1  10 3 Kg / cm 2  17 ,321 Kg / cm 2 o  1  3 Kg / cm 2 

Sobre el plano π2:





o  2  7 3  3 Kg / cm 2  15 ,125 Kg / cm 2 o  2  3 3 Kg / cm 2  5 ,196 Kg / cm 2 Además, en ese tensor de esfuerzos, el máximo cortante absoluto es: ηmax = 10 Kg/cm2 Determinar

33


1. Cuantas soluciones pueden cumplir con las condiciones enunciadas 2. La expresión matricial del tensor de esfuerzos en cada caso, indicando si existen o no esfuerzos de compresión en cada uno, y sus esfuerzos máximos de tracción y de compresión (si lo hay) 3. Esfuerzo cortante puro máximo (si lo hay) 4. Valor del esfuerzo principal en la dirección “U”, según cada solución NOTA: Resuélvase el problema mediante el uso de los círculos de Mohr y dense las explicaciones de las correspondientes construcciones gráficas.

PROBLEMA II-11 El esquema de la figura representa el estado de esfuerzos de un punto, del que se desea saber, utilizando exclusivamente los procedimientos gráficos de Mohr, que esfuerzo de tracción ζTx habría que aplicar en las caras frontal y posterior para lograr que el esfuerzo cortante máximo absoluto fuera de 50 Kg/cm2. Igualmente, se desea saber con qué esfuerzo de compresión se obtendría igual esfuerzo cortante máximo. Determinar también el máximo esfuerzo de compresión en las condiciones anteriores.

Z

40 Kg/cm2

10 3 Kg/cm2 20 Kg/cm2 Y

ζx X

34


PROBLEMA nº II-12 El Tensor elástico en un punto de un sólido es: 1 2 0    2 0 2   0 2  1   XYZ

Determinar

a) Los máximos esfuerzos normales, y las direcciones en que se producen. b) En que sección se produce el máximo esfuerzo cortante puro. c) En que sección se produce el máximo esfuerzo cortante. PROBLEMA nº II-13 El estado de esfuerzos en un punto queda definido por los esfuerzos que se ejercen sobre tres planos ortogonales entre sí cuyas normales son los ejes X, Y y Z. a) Sobre el plano normal al eje Z se ejerce una tracción de 100 Kg/cm2. b) Sobre los planos normales a X e Y actúan sendas compresiones de 400 Kg/cm2, acompañadas de esfuerzos cortantes de 100 Kg/cm2. Determinar:  Esfuerzo máximo cortante absoluto.  Máximos esfuerzos normal y cortante de la familia de planos que forman 60º con el eje Z.  Que esfuerzo habría se sustituir al de 100 Kg/cm2 según el eje Z, para que según esta dirección no se produzca dilatación ni contracción alguna

PROBLEMA nº II-14 El estado de esfuerzos en el interior de un sólido elástico es tal que, sobre los planos normales a las generatrices de un cono de 45º de apertura con su eje de revolución, el esfuerzo normal máximo que se presenta es una tracción de 100 Kg/cm2 y el mínimo, también de tracción, es de 10 Kg/cm2 . Igualmente, de la totalidad de los planos referidos, el que soporta mayor esfuerzo cortante es cargado con un ζ=80 Kg/cm2. El eje del cono al que se hace referencia es la dirección principal de valor propio intermedio. Determinar los esfuerzos máximos absolutos de tracción, compresión y cortante.

35


PROBLEMA nº II-15 Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente:   1. Los versores n1 y n 2 forman un mismo ángulo (de valor desconocido) con la dirección principal de valor propio mínimo.   2. Sobre los planos perpendiculares a n1 y n 2 actúan los esfuerzos normales y cortantes siguientes:  ζ1 = 30 Kg/cm2;

η1 = 40 Kg/cm2;

 ζ2 = 0 Kg/cm2;

η2 = 10 Kg/cm2;

3. El esfuerzo normal máximo es: ζmax = 70 Kg/cm2;  4. Además, se sabe que la dirección n1 forma 45º con la dirección principal de mayor valor propio. Determinar: a) Expresión del Tensor de esfuerzos referida a sus direcciones principales. b) Esfuerzo de compresión máximo. c) Esfuerzo cortante máximo.

 d) Ángulos que forma la dirección n1 con las direcciones principales.

PROBLEMA nº II-16 Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente: 1. Las direcciones principales son X, Y y Z, cuyos valores propios A, B y C son desconocidos, aunque se sabe que A>B>C. 2. El plano YZ no soporta ningún esfuerzo normal. 3. De los planos cuyas normales forman 60º con el eje X, el que soporta mayor esfuerzo normal de compresión está sometido a:

 1  60 Kg/cm2; y  1  20 3 Kg/cm2; mientras que el que soporta menor esfuerzo normal en compresión, tiene:

 2  30 Kg/cm2; y  2  10 3 Kg/cm2; Se desea saber: a) El esfuerzo cortante máximo de la familia de planos que forman con el eje X el ángulo citado en el punto 3. b) El esfuerzo de compresión máximo. c) El máximo esfuerzo cortante absoluto y el esfuerzo máximo de tracción. 36


PROBLEMA nº II-17 Del estado de esfuerzos en un punto se sabe lo siguiente: 1. Las direcciones principales son X, Y y Z, cuyos valores propios A, B y C son desconocidos, aunque se sabe que A>B>C. 2. El valor propio A es de 60 Kg/cm2. 3. De la familia de planos cuyas normales forman 60º con el eje X, se saben los esfuerzos normales y cortantes que soportan dos de ellos:  ζ1 = 10+5 3 = 18,66 Kg/cm2;

η1 = 35 Kg/cm2;

 ζ2 = 10 Kg/cm2;

η2 = 10 13 Kg/cm2;

Se desea saber: a) El esfuerzo cortante máximo de la familia de planos descrita en el punto 3. b) Los esfuerzos normales máximo y mínimo de la citada familia de planos. c) El esfuerzo de compresión máximo absoluto del estado de esfuerzos. d) El máximo esfuerzo cortante absoluto y el esfuerzo cortante puro máximo.

PROBLEMA II-18 El estado de esfuerzos en un punto del interior de un sólido elástico es el que se indica en la figura, del cual no se conoce el esfuerzo normal ζZ (ni si es de tracción ó compresión). Determinar ζZ, mediante el uso de los Círculos de Mohr, para que el esfuerzo cortante máximo sea de 150 Kg/cm2, así como si ha de ser de tracción ó compresión. En caso de existir dos ó más soluciones, se deberá determinar cuales son. Indicar, en estas condiciones, cuales serán los valores propios del tensor de esfuerzos, y el esfuerzo normal y cortante sobre el plano que forma ángulos iguales con los principales.

ζZ

50 3 Kg/cm

2

50 Kg/cm2

50 Kg/cm2

37


PROBLEMA nº II-19 El estado de esfuerzos en un punto es el que se indica gráficamente. Explicando razonadamente la solución mediante el uso de los círculos de Mohr, determinar las siguientes características del tensor de esfuerzos: 1. Valores Propios del Tensor. 2. Esfuerzos máximos de tracción, compresión y cortante. 3. Esfuerzo cortante puro mínimo. 4. Deformación volumétrica unitaria.

40

Z 40 60

Y

200

 X   Siguiendo procedimiento analítico, y siendo i ; j ; k los versores de los ejes X; Y; Z;

indicados en la figura, determinar también  1 1 2  k 5. Esfuerzo normal perpendicular al versor: n  i  j  2 2 2

PROBLEMA II-20 Determinar la presión q vertical, distribuida uniformemente, que habría que aplicar en las caras superior e inferior del paralelepípedo recto rectangular de la figura, de material elástico de módulo de Young E y módulo de Poisson μ, sobre el que actúan las fuerzas horizontales P, para que su volumen permanezca invariable. (A = área de caras laterales)

q

P

P AA

q

38


PROBLEMA II-21 El paralelepípedo recto rectangular de la figura, de material elástico de módulo de Young E y módulo de Poisson μ, se encuentra sometido a la acción de las fuerzas P horizontales, así como a una compresión uniformemente distribuida sobre sus caras superior e inferior de valor:

q = P/2A

Determinar en función de los datos: 1.

La orientación del plano sobre la que se manifiesta el esfuerzo cortante máximo, su

valor y el esfuerzo normal que lleva asociado. Variación de su volumen.

2.

(Datos: E; μ; P; A = área de caras laterales; y L = longitud de la barra)

q

P

P A q L

PROBLEMA II-22 Del estado de esfuerzos plano en un punto se sabe:  1. Para una cierta orientación n1 , los esfuerzos normal y tangencial que actúan en ese plano son  1  80 Kg/cm2 y  1  30 Kg/cm2. 2. El esfuerzo cortante máximo absoluto corresponde a un plano desconocido y vale

 max  50 Kg/cm2. 3. No existe ninguna orientación de plano en el que haya esfuerzo cortante puro. Se pide determinar: a) Esfuerzo normal máximo.

 b) Orientación del plano donde actúa el esfuerzo normal máximo referido a n1 .  c) Expresión del Tensor de Esfuerzos referido a los ejes n1 y su perpendicular. d) Expresar dicho tensor referido a las direcciones principales.

39


PROBLEMA nº II-23 Los ejes X; Y; Z ; son las direcciones principales de un tensor de esfuerzos, ordenados de mayor a menor dimensión de sus valores propios respectivos. Sobre el plano cuyo versor normal se encuentra sobre el Y-Z formando 30º con el eje Z, actúa esfuerzo cortante puro de valor   30 3 Kg / cm 2 . Se sabe también que el esfuerzo normal que actúa sobre el plano perpendicular al versor  1 1 2  n i  j  k ; tiene un valor de 40 Kg/cm2. 2 2 2

Calcular: a) Esfuerzo máximo de tracción. b) Esfuerzo máximo de compresión. c) Esfuerzo máximo cortante.

PROBLEMA nº II-24 El estado de esfuerzos en un punto reúne las características siguientes: a) El esfuerzo cortante puro máximo es igual a 20 3 Kg / cm 2 . b) El esfuerzo cortante puro mínimo es igual a 20 Kg / cm 2 . c) El esfuerzo cortante máximo absoluto es igual a 40 Kg / cm 2 . Determinar: 1. Esfuerzos normales máximos absolutos de compresión y de tracción. 2. Esfuerzo cortante máximo en el haz de planos que forman 45º con el eje principal

de valor propio intermedio, así como esfuerzo normal asociado.

PROBLEMA nº II-25 Del estado de esfuerzos en un punto material se sabe lo siguiente: a) Sobre la sección donde tiene lugar el “ max absoluto ”, actúan los esfuerzos:

 1  5 Kg / cm 2 ;

 1  35 Kg / cm 2 ;

b) Además, se sabe que el esfuerzo normal que actúa sobre el plano que forma ángulos iguales con los ejes principales, vale:  2  10 Kg / cm 2 ;

40


Determinar: 1º. El esfuerzo cortante que actúa en el plano mencionado en b) formando ángulos

iguales con los tres ejes principales. 2º. Las componentes escalares del tensor de esfuerzos referidas a las direcciones

principales. 3º. Comprobar los resultados obtenidos mediante comparación con los círculos de

Mohr.

PROBLEMA nº II-26 Del estado de esfuerzos en un punto se sabe: a) El esfuerzo cortante máximo vale 30 Kg / cm 2 y en el plano en que actúa no existe esfuerzo normal alguno. b) La diferencia entre los esfuerzos principales de tracción es de 20 Kg / cm 2 . Determinar: 1º. Esfuerzos normales máximos de tracción y compresión. 2º. Valor del esfuerzo cortante puro mínimo y orientación del plano sobre el que

actúa, referido a las direcciones principales. 3º. Esfuerzos normal y cortante en el plano que forma ángulos iguales con los tres

principales.

41


PROBLEMA II-27 Llamemos X ,Y y Z a los ejes principales del estado de esfuerzos en un punto. Sean A, B y C sus correspondientes valores propios, siendo A>B>C. De este estado de esfuerzos se sabe: 1. Del abanico de planos que forma un cierto ángulo θ con el eje X, existen dos planos sometidos a los esfuerzos: 

 1  10 3 Kg / cm 2  2   1  20 Kg / cm



 2  0 Kg / cm 2  2  2  10 Kg / cm



2. El esfuerzo cortante máximo absoluto es de  MAX  10 1  3



3. El esfuerzo cortante puro mínimo es nulo. Determinar los esfuerzos máximo de tracción y de compresión. SOLUCIÓN: Los puntos P1 y P2 que representan los esfuerzos en los dos planos referidos en el enunciado, deberán estar en un arco del gráfico de los Círculos de Mohr con centro en el punto OA, por lo que, en el corte del eje ζ con la mediana del segmento P1 P2 se encontrará OA.

η

P1

P2

ζ OA

42


Si el esfuerzo cortante puro mínimo es cero, quiere decir que para   0 , existe un   0 .  O sea, que   0 es un valor propio tal que, dada la posición del arco P1 P2 , no podrá ser ni

el mayor (ya que en este caso P1 y P2 quedarían fuera del área de existencia) ni, evidentemente, el más pequeño, por lo que B  0 .

Bajo tales condiciones, con centro en OA y radio OAB se trazará el círculo interior BC, pudiéndose determinar la posición del valor propio C.





Finalmente al ser el esfuerzo cortante máximo absoluto:  MAX  10  1  3 , este será el radio del círculo máximo que deberá pasar por C, determinándose así el valor propio A.

η P1

P2

C

B

A

ζ

OA

Con los valores dados en el enunciado resultan: T  MAX  20

C Kg / cm 2 ;  MAX  20 3

Kg / cm 2 ;

43


PROBLEMA II-28 El estado de esfuerzos de un punto se caracteriza por tener un esfuerzo cortante máximo absoluto que alcanza un valor de 100 Kg/cm2, en un plano donde no existe esfuerzo normal, ni en tracción, ni en compresión. Además, el esfuerzo cortante puro mínimo es de 50 Kg/cm2. Si denominamos X, Y y Z a las Direcciones Principales del correspondiente Tensor de Esfuerzos, y A, B y C, a sus correspondientes Valores Propios (siendo A>B>C), calcular: 

Esfuerzos máximos de tracción y compresión.



Esfuerzos que se manifiestan en el plano cuya normal forma 60º con el eje X y 45º con el eje Z.



En función de μ, determinar que esfuerzo debiera añadirse al existente en la dirección del eje Z para que, en esa dirección, no se produjera deformación longitudinal alguna.



¿Se podría obtener el mismo resultado si en vez de modificar el esfuerzo en el eje Z, se hiciera sobre cualquiera de los otros ejes X ó Y? ¿Los resultados serían distintos dependiendo del módulo de elasticidad E del material en cuestión?

44


SOLUCIÓN:

η P (0; 100)

Q (0; 50)

C (Z)

OA

O

B (Y) +25

75

A (X)

+100 -100

1. El punto P representa el esfuerzo máximo absoluto acompañado de ζ=0. Mientras que el Q está marcando el esfuerzo cortante puro mínimo. Así se determina que el radio del círculo máximo es de 100, y su centro el origen de coordenadas. Con ello, quedan calculados los valores propios A y C. Si se une C con Q y se traza por este punto la perpendicular a esa recta CQ, se obtendrá B, para así completar los Círculos de Mohr. El esfuerzo máximo de tracción será de 100 Kg/cm2. El esfuerzo máximo de compresión será de -100 Kg/cm2. Si en vez de unir C con Q, se uniera A con Q, aparecería otra solución simétrica a esta.

45

ζ


η

N45Z N60X

J

M45Z η

M60X

60º

45º

OA

C (Z)

O ζ

OC

B (Y) +25

75

ζ A (X)

+100 -100

2. La intersección de los arcos MN a 60º con el eje X y MN a 45º con el eje Z permitirá determinar los valores de ζ y η correspondientes al punto solución J (cruce de los arcos).

3. Si los esfuerzos principales según X e Y son respectivamente +100 Kg/cm2 y +25 Kg/cm2, para que no exista deformación según Z (εZ = 0), será preciso que: z 

z E



100  25 0 E



 z   125 

con lo que el incremento al -100 Kg/cm2 existente, será de 100+125μ Kg/cm2.

4. También es evidente que conservando el ζZ actual, será posible evitar la deformación en esa dirección variando ζx ó ζY convenientemente en la fórmula:

x y  100   0 . El resultado es independiente de E. E E

46


PROBLEMA II-29 Un elemento cúbico, de un material de módulo de elasticidad E y módulo de Poisson μ, está sometido a una tracción de 68 Kg/cm2 según el eje Z vertical. En la dirección del eje X, está sometido también a otra tracción de 18 Kg/cm2. Sobre ambas caras no actúan esfuerzos cortantes. Además, se sabe que existe un esfuerzo puro cortante de 60 Kg/cm2 que actúa sobre un plano cuya normal forma con el eje Z un ángulo θ cuya tangente trigonométrica vale 4 4/3: (   arc tan  53 ,13º ). 3 1. Determinar el esfuerzo cortante máximo absoluto existente en el estado de esfuerzos que estamos estudiando. 2. Determinar la deformación cúbica unitaria en ese estado de esfuerzos. NOTA: Los ejes X, Y y Z son ortogonales entre sí; y se desconocen las acciones de los esfuerzos actuantes sobre la cara perpendicular al eje Y. SOLUCIÓN: a) Del estado de esfuerzos indicado, los ejes X y Z son principales, ya que no existen esfuerzos

cortantes sobre los planos normales a ambos, siendo sus correspondientes valores propios (en el tensor de esfuerzos correspondiente) 18 y 68, respectivamente. El eje Y será la tercera dirección principal. b) Esto permite dibujar uno de los Círculos de Mohr de ese estado de esfuerzos, así como el comienzo del arco correspondiente a la familia de planos cuyas normales forman el referido ángulo θ con el eje Z (punto M), (   arc tan

4  53 ,13º ); e, indiscutiblemente, también es 3

posible señalar el punto P que representa al plano citado de coordenadas (0; 60):

η P (0; 60)

M

θ=53,13º OA

ζ

O 18

B (X)

50

A (Z)

68

47


c) Los puntos M y P pertenecen al círculo que representa a la familia de planos cuyas normales

forman 53,13º con el eje principal Z. Por tanto, como cuerda de ese arco, permiten determinar su centro sobre el eje horizontal ζ: el punto OA. Ya, con el centro OA se trazará, pasando por B, el otro círculo menor BC, determinándose inequívocamente el Tensor de Esfuerzos analizado.

η N P (0; 60)

M

OA

C (Y)

O 18

B (X)

50 68

-66

48

A (Z)

ζ


d) La determinación analítico-geométrica de los valores deducidos gráficamente se obtiene por el

siguiente procedimiento: En el triángulo ABM y puesto que la tangente del ángulo en B es conocida (4/3), la relación de los lados BM , MA y AB es 3, 4 y 5; con lo que MB  30 . La misma relación existe en el triángulo BMP, por lo que sus catetos valdrán MP  24 y BP  18 . Así,

OJ  24 y OP  JM  36 ; precisamente resulta ser JM  JP

por lo que

OJ  OO A resultando ser el radio de esta circunferencia O A B  O A C  42 ; siendo así finalmente el valor propio C  66 y el esfuerzo cortante máximo absoluto 68  66   67 . 2

η

P (0; 60)

36

24 C (Y)

OA

42

24

M

36

J

30 O 18

B (X)

18

24 P

A (Z)

50 68

-66

49


e) En cuanto a la deformación cúbica unitaria de este estado de esfuerzos, será necesario

determinar cada una de las deformaciones longitudinales unitarias según cada dirección principal. Es decir:

       

A B  C 68  48      E E E  B A  C 18  2       E E E  C B  A  66  86       E E E

A  B C

e  A   B   C 

Al ser   0 ,3 resultaría una dilatación del orden de e 

50

8 E

20  40  E


PROBLEMA II-30 Referido a unos ciertos ejes X, Y y Z, el estado de esfuerzos en un punto queda expresado por el tensor:  10   0   10 3

0 10 3  5 0  ; en Kg/cm2  0  10 

Razonando con los Círculos de Mohr, determinar: 1. Los valores propios del tensor (comprobar el resultado mediante cálculo

analítico) e indicar los esfuerzos máximos de tracción, cortante y de compresión. 2. La dirección principal en que se manifiesta ese esfuerzo normal de tracción. 3. El esfuerzo cortante máximo que aparece en la familia de planos cuyas normales

forman 60º con la dirección principal antes calculada.

SOLUCIÓN:  10   La expresión matricial del tensor, referida a X, Y y Z:  0   10 3

0 10 3  5 0  ; indica  0  10 

claramente que la dirección Y es principal, ya que no lleva acompañado esfuerzo cortante alguno, y que el correspondiente valor propio es de 5 Kg/cm2.    Las direcciones X y Z, perpendiculares a Y, tendrán sus tensiones asociadas t x y t z

con sus componentes intrínsecas ζ y η ocupando posiciones en los círculos de Mohr PX y PZ sobre la circunferencia determinada por el ángulo θY = 90º.  Además, al ser X y Z perpendiculares entre sí, los puntos representativos PX y PZ serán diametralmente opuestos en la circunferencia aludida.  Con todo lo anterior, podemos situar PX y PZ en el diagrama (ζ;η), unirlos como diámetro y dibujar la circunferencia principal correspondiente, con centro en OY, determinando los valores propios que serán de A = +20 y C = -20 Kg/cm2.

51


 De este diagrama, ya se conocía que 5 Kg/cm2 era otro valor propio, por lo que el esfuerzo máximo de tracción será  max  20 Kg / cm 2 y el máximo esfuerzo cortante de  max  20 Kg / cm 2 , también.  La dirección principal del ζmax vendrá determinada por el ángulo APX con la vertical AA’ que, como puede apreciarse es de 30º. Así que esa dirección será expresada

 referida a los ejes dados X, Y y Z mediante las expresión u A 

3 1 i  k en la que 2 2

   i , j , k son los versores de esos ejes.

 Respecto a la familia de planos cuyas normales forman los 60º con la dirección  calculada u A , trazaremos la recta AMN y, con centro en OA, el arco MN, determinando así el esfuerzo cortante máximo correspondiente: 1 1  3  20  CN'  CN cos 60º  20  10  NN '  CN sen 60 º  20  10 3 2 2  2  2 2 35 CB 60 º CB  25  CO A   12 ,5  O A N'  CO A  CN'  2 ,5   max  O A N  NN'  O A N'  2 2  60º  max  17 ,50 Kg cm 2 CN  AC cos 60º  40

52


η P (0; 20)

A’

N

Px

10 3

60 º  max

M

C

OA

O=OY

N’

60º

30º

B (Y) A

+5 -10

10 +20

-20 10 3

PZ

53

ζ


PROBLEMA II-31

Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe:  Que las Direcciones Principales son X, Y y Z: la X correspondiente al esfuerzo máximo de tracción y la Z al máximo de compresión.  Que de los planos que pasan por el eje X, el que soporta el esfuerzo cortante máximo, tiene   200 kg / cm 2 .  Que de los planos que pasan por el eje Z, el que soporta el esfuerzo cortante máximo, tiene   400 kg / cm 2 .  Que existe una orientación de un plano en el que no existen esfuerzos cortantes ni normales. Determinar: 1. 2. 3. 4. 5.

Esfuerzo normal máximo de tracción. Esfuerzo normal máximo de compresión. Esfuerzo cortante máximo absoluto y esfuerzo normal asociado a este. Esfuerzo cortante puro máximo. Máximo esfuerzo cortante de la familia de planos que forman 45º con el eje principal Y.

SOLUCIÓN:

54

1.

Los planos que pasan por el eje X (correspondiente al mayor valor propio A) tienen sus normales perpendiculares a X, así que los esfuerzos σ y τ estarán en el círculo de centro OA, y el mayor τ será su propio radio R A  200 .

2.

El mismo razonamiento cabe hacerse respecto a los planos que pasan por el eje Z (correspondiente al menor valor propio C) y, entonces, RC  400 .

3.

Si existe un cierto plano sin esfuerzo cortante, ese será principal. Y si el normal es nulo, este será Valor Propio intermedio, ya que los otros dos uno es tracción y el otro, compresión.


4.

Con lo anterior estamos en condiciones de dibujar los tres círculos de Mohr y dar respuesta a las cuestiones planteadas: tracc comp  max  800 Kg / cm 2 ; max  400 Kg / cm 2 ; abs  max  600 Kg / cm 2 ;  max  0

η

ηma x

D

E

C (-400)

OB (200)

OA (-200)

5.

A (800)

B

ζ

OC (400)

En cuanto a la determinación del esfuerzo cortante puro máximo, este se puede deducirse del triángulo BDOB: 2

2

2

BD  OB D  BO B  BD   puro  600 2  200 2  400 2  565 ,68 Kg / cm 2 6. El cortante máximo de la familia de planos que se pregunta se calculará como el radio OBE en el triángulo OBOCE: 2

2

O B E  OC O B  OC E  200 2  400 2  200 5  448 Kg / cm 2

55


PROBLEMA II-32 Del estado de esfuerzos en un punto se sabe: a) Que sobre un cierto plano, perpendicular a una dirección X, solamente actúa un esfuerzo normal de tracción de

.

b) Que del abanico de planos que pasan por dicho eje X, el que tiene por normal no soporta esfuerzo normal alguno, mientras que c) Que el versor

.

es perpendicular a X, y que los esfuerzos que actúan sobre el

plano normal a

son

.

1º.- Determinar el esfuerzo de tracción máximo a que se ve sometido el punto y el máximo esfuerzo cortante. 2º.- De entre los esfuerzos cortantes que actúan en planos cuyas normales forman 45º con el eje X, ¿cuánto vale el mayor de ellos?

SOLUCIÓN: a)

El eje X es dirección principal de esfuerzos y su valor propio es 30 Kg/cm2.

b)

El abanico de planos que pasan por X están definidos por versores perpendiculares a X por lo que, en los círculos de Mohr, su representación se situará sobre uno de los círculos principales (el que sea asociado a la dirección principal X); al igual que la que corresponde al versor τ

, que

también es perpendicular a X.

P1 P2 111,3 5 30

c)

Llevando las conclusiones anteriores a los Círculos de Mohr:

80 σ

En el borrador que figura en el dibujo de la izquierda, tras la representación de los ejes ζ y η, se

60

56

posicionan los puntos P1 y P2 con los valores de los esfuerzos dados


para n1 y n2, y en la mediana del segmento

se hallará el centro del círculo

asociado al eje principal X. Así, el trazado del círculo en cuestión se determinará de forma inmediata, obteniéndose dos de los valores propios que faltaban.

Tan solo queda posicionar el valor propio 30, para, con ello acabar así de trazar los tres Círculos de Mohr.

d) Llevando la construcción deducida antes a un gráfico con la escala adecuada, resultará:

η P1 P2

ηmax = 113,14

C = -133,14

OB

B

OC

A = 93,14

ζ

57


e)

La consideración de los planos cuyas normales forman 45º con el eje X, al ser este el principal de valor propio intermedio, obliga a analizar el arco que, con centro en OB, identifica todos los esfuerzos normales y cortantes que actúan en los diferentes planos de ese abanico.

η N

P

M C

OA

B

OC

OB

f)

58

El mayor esfuerzo cortante del arco en cuestión será entonces:

A

ζ


PROBLEMA II-33

Del estado de esfuerzos en un punto, se sabe: 

Existen dos valores propios iguales y de signo contrario.



El esfuerzo cortante puro mínimo se presenta en un plano cuya normal sigue la dirección W y vale



.

El esfuerzo normal máximo absoluto de compresión actúa sobre un plano cuya normal sigue la dirección X, y tiene un valor de

.

1. Determinar los esfuerzos normal y cortante que actúan en un plano cuya normal U forma el mismo ángulo que el eje W con la dirección X, y que, además forma 60º con la dirección principal de mayor valor propio. Considerando las familias de planos cuyas normales forman un ángulo θ común con la dirección principal del valor propio máximo, ¿entre qué valores de θ ningún plano de dichas familias presentará esfuerzos de compresión?

SOLUCIÓN

1. Existiendo dos valores propios iguales y de signo contrario, un círculo de Mohr que pasa por esos valores propios tendrá su centro en el origen de coordenadas.

2. Si el

= 200, quiere decir que el primer punto del eje η que pertenece al campo

de existencia del gráfico de los Círculos de Mohr será él mismo. De manera que, además del centro mencionado en 1., sabremos que o el radio del círculo será de 200 (determinando así los dos valores propios de +/- 200 Kg/cm2 en caso de que dicho círculo fuera uno de los interiores), o ese centro corresponderá al círculo exterior. Por tanto existen dos vías para la solución del problema.

3. Si seguimos en primer lugar la primera, y tenemos en cuenta que, además, el máximo esfuerzo de compresión es de 400, habremos definido otro valor propio no coincidente con los anteriores, con lo que los tres círculos de Mohr quedarán definidos.

59


4. Determinados ya los valores propios A, B y C; la dirección del eje X definirá la dirección principal de C, y la W (correspondiente al plano de

) pertenecerá al

círculo de OC y, por tanto, perpendicular a X y, por tanto, uno de los condicionantes para la dirección U es que el punto que represente los esfuerzos asociados a él, esté sobre dicho círculo AB.

θ0

η ηmax=300

60º

P

(X) C (-400) OA (-300)

B (200) OB (-100)

(W)

A (200)

ζ

OC (0)

5. La otra condición, según expresa el primer apartado del enunciado, es que forma 60º con el eje principal del valor propio A. Por tanto habrá de trazarse en el sentido correcto la línea de 60º citada y el arco correspondiente con centro en OA. La intersección con el círculo AB dará la solución buscada: punto P. (Trazado en color azul). 6. Analizando el 2º apartado, para todo ángulo θ comprendido entre 0º y el definido θ0 (en marrón) no existirán esfuerzos de compresión sobre los planos que

representa.

60


7. Volviendo a la otra consideración, de que el origen de coordenadas sea centro del círculo mayor, el dato facilitado de que un valor propio es de –400 Kg/cm2, implica que el otro sea de +400 Kg/cm2, resultando también fácil la construcción de los tres círculos de Mohr y las respuestas a las cuestiones planteadas.

θ0

η ηmax=400

60º

P (W)

(X) C (-400)

B (100)

A (400)

ζ

OB (0)

8. Existe también la solución simétrica respecto al eje η.

61


62


Capítulo Tercero

Problemas isostáticos unidimensionales

63


64


PROBLEMA III-1 Dos barras de acero, idénticas, de longitud L y sección S, se encuentran articuladas en uno de sus extremos C, y los otros (A y B) están articulados en puntos fijos a un techo horizontal. El ángulo θ que forman las barras con el eje de simetría vertical, es conocido. Del extremo común C se cuelga un peso P. Se desea conocer el esfuerzo a que se ven sometidas las barras de acero, el alargamiento total de su longitud y el desplazamiento vertical que sufrirá la articulación C.

SOLUCIÓN: A

B Y θ M

θ

Y sen

N

C P

θ X

a)

θ

X sen

C P

B

θ--Δθ

L

θ

D

A

( X  Y ) cos 

θ L C

δC

δ C’

b)

c)

Como puede verse en esta figura, dicha estructura sería simétrica, por lo que con este único razonamiento bastaría para deducir que las tensiones de las barras AC y BC deberán ser iguales. Sin embargo, aún no asumiendo tal circunstancia, ello queda puesto de manifiesto en el análisis del equilibrio de la articulación C. Si se efectúan los cortes M y N por dos planos normales a cada barra e infinitamente próximos al nudo C [fig. b)], el equilibrio de este deberá producirse bajo la acción de la carga exterior P y de las tensiones X e Y que actuarían en cada barra. Así, al proyectar las fuerzas X e Y sobre ejes horizontal y vertical, resultará: X sen  Y sen

 X  Y (como se dedujo por simetría)

y también: ( X  Y ) cos   P  2 X cos   P  X 

P 2 cos 

Ello implica que si “S” fuera el área de la sección recta de las barras, el esfuerzo a que se verían sometidas sería:



P 2 S cos 

;

y el alargamiento de cada barra:

 L

 E



PL ; 2 SE cos

65


siendo el desplazamiento vertical del punto C:

C   

1 PL  cos  2 SE cos 2 

Para la resolución del caso anterior se ha tenido en cuenta que, en virtud de la escasa magnitud de las deformaciones de los materiales elásticos, el ángulo θ [fig. c)] variará también muy poco y su incremento Δθ es imperceptible frente a los valores de origen (      ). No obstante, este incremento puede determinarse con una precisión suficientemente alta [ver en la fig. c) el triángulo DBC’ y el DBC]: tan(    ) 

tan(    ) 

DB DC'



Lsen  L cos    C

Lsen L cos  

tan  P



PL 2 SE cos 2 

1

;

y como:

2 SE cos 3 

tan   tan  tan    tan    1  tan   tan  1    tan  1    tan 

[donde se ha sustituido tan Δθ por Δθ (dado su valor tan pequeño) y despreciando Δθ frente a tan θ]; resulta finalmente:   tan  

P 2SE cos  3

  

y:

P 2SE cos   tag

 

3



P 2SE cos 2   sen

P 1  2    SE cos   sen 2 E sen 2

de donde podemos concluir que el incremento del ángulo θ es independiente de la longitud L de las barras, siendo directamente proporcional al esfuerzo ζ a que están sometidas y, por tanto, a la carga P aplicada en C, e inversamente proporcional a la sección S de las barras.

66


PROBLEMA III-2 Dos piezas prismáticas longitudinales, están dispuestas como muestra la figura: con sus extremos articulados en una pared fija en A y B, y entre sí en su otro extremo C, del que cuelga verticalmente una carga P. Supuesta la barra AC de acero y la horizontal BC de madera, con módulos de elasticidad conocidos, así como las características geométricas L y θ, determínese las secciones rectas de ambas barras para que sus esfuerzos de trabajo sean respectivamente ζtA y ζtM. Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá su punto de unión C. A

L

L sen θ

EA θ

EM B

C P

SOLUCIÓN: Es importante entender especialmente que aquí el desplazamiento del punto C no es vertical como en otros casos, en los que las razones de simetría obligan a ello. Es más, siendo ahora los elementos componentes de la estructura de diferente material (acero y madera: EA y EM) y de diferente sección (SA y SM), el concepto de simetría no tiene ningún sentido.

Y cos θ

A L sen θ

L

Y Y sen θ

EA θ B a)

EM L cos θ

θ

n m

C P

X

n m

C P

b)

Aislemos el nudo articulado C para establecer el equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre él. Para ello, como es habitual, cortaremos las barras AC y BC por secciones rectas infinitamente próximas al nudo C [fig b)]. Al plantear las ecuaciones de equilibrio para los ejes horizontal y

67


vertical, resulta que la tensión en la barra de acero (AC) habrá de ser una tracción cuya componente vertical llegue a equilibrar a la carga P, teniendo esta misma tensión una componente horizontal que será a su vez equilibrada por la tensión de la barra de madera que, naturalmente, estará sometida a compresión. Denominando por X e Y a estas fuerzas respectivas de tracción y compresión, las ecuaciones de equilibrio nos darán: Y sen  P    Y cos   X 

P  sen   P   X tan  

Y

Así, las tensiones de las barras quedan determinadas con la exclusiva aportación de las ecuaciones de equilibrio de la Estática, como corresponde a un caso isostático. Los correspondientes esfuerzos normales en las barras serían:

P  ; ( tracción )  S A  sen    P  ; ( compresión )  S M  tan 

A  M

Si la intención es que los elementos de acero y madera estén sometidos a los esfuerzos de trabajo que requiere el enunciado, ζA y ζM deben coincidir con ζtA y ζtM y las secciones Sd con que deberían ser diseñadas para tales barras serían:

P   tA  sen    P    tM  tan 

S Ad  d SM

Entrando ahora en la deformación de la estructura, determinaremos mediante la Ley de Hooke las deformaciones de cada barra según las tensiones X e Y a las que son sometidas para, posteriormente, situar el nudo articulado C en la nueva posición que le corresponde ante los giros libres que pueden dar las barras AC y BC alrededor de sus articulaciones fijas en A y B, respectivamente. Así, podemos ver en la figura c) como la barra AC se alarga en δA desplazándose el nudo C hasta CA y, por su parte, la barra BC se acorta en δM desplazándose el nudo C hasta CM. Y dado que la articulación C deberá ser única, las barras girarán alrededor de sus articulaciones fijas A y B para que sus extremos CA y CM resulten coincidentes en C’, donde quedaría definitivamente el nudo C después de la deformación de la estructura [fig. d)].

68


A L sen θ

L EA

B

EA θ

EM

δM C CM

δA

δM C CM

CA

L cos θ

c)

θ

EM

CA

J

P

C’

δA

yC θ

d)

C’

xC

Las cuantías correspondientes a las deformaciones δA y δM de cada barra quedarán determinadas por la Ley de Hooke:

A  M 

A

P L   A     S A E A sen     P L 2     cos   L cos  M S M E M sen   

L

EA

M EM

así [fig. III-7 b)], asumiendo ya conocidos las deformaciones δA y δM de las barras, el desplazamiento total de C hasta C’ tendrá las componentes horizontal y vertical que se indican a continuación:

desplaz

horizontal : xC   M

desplaz vertical :

yC  C M J  JC '   A sen  

JC A (    A cos  )   A sen   M tan tan

PL cos    xC   S E  tan  M M   A   M  cos  ; o bien:  3 yC   y  PL  1  PL  cos  sen   C S A E A sen 2 S M E M sen 2

xC   M

69


PROBLEMA III-3 Una pilastra de sección variable está compuesta de dos materiales diferentes: acero (de Módulo de Elasticidad EA y sección SA) y de hormigón (de Módulo de Elasticidad EH y sección SH). Se le somete a una tracción axial desde el exterior (W) y compresión en el tramo central de hormigón con una carga P. Se desea saber los esfuerzos a que se ven sometidos cada tramo de la pilastra y el alargamiento total de la misma. W

a

(EA; SA)

P

(EH; SH)

2a

P a

(EA; SA)

(a) W

SOLUCIÓN:

W

a

W

(EA; SA)

a

(EA; SA)

W

EA SA

P 2a

EH (EH; SH)

(EA; SA)

(a) W 70

SH

ζH

P a

P

ζA ζASA=W

ζH SH+P =W

(b)

(c)


Como no puede ser menos, deberemos aislar una parte de la pilastra mediante un corte por una sección recta, que ponga de manifiesto el esfuerzo ζ que se produce en uno de los tramos, para luego repetir la operación con otra sección perteneciente al otro tramo. De esa manera, conocidos los esfuerzos y las longitudes de cada uno se podrá determinar su incremento de longitud y así el alargamiento total.

En la figura (a) se ha efectuado un corte por una sección correspondiente al tramo central de hormigón sustituyendo las acciones del resto de la pilastra por el correspondiente esfuerzo normal ζH que, al ser multiplicado por la superficie sobre la que actúa SH, nos dará la fuerza total que está ejerciendo la parte inferior sobre la aislada. A esta fuerza le tendremos que agregar la carga P que actúa en su mismo sentido, y a esta resultante se le tendrá que oponer la carga exterior W en el correcto estado de equilibrio, tal como se indica al pié de la figura (b) que muestra esta situación.

De la misma manera, efectuando un corte en el tramo de acero del primer tercio de la pilastra [fig. (c)], el esfuerzo normal ζA actuando sobre la superficie SA equilibra la fuerza W. El tramo inferior, por simetría respecto al plano horizontal central, será exactamente igual que el primero de ellos. Por tanto los valores de los esfuerzos serán:

W ; SA WP  SH

A  H

   ; 

(nótese que si P  W   H   ; y el hormigón estaría en compresión) así, a través de la Ley de Hooke, podemos determinar las deformaciones longitudinales unitarias:

A  H 

A

W  ;  EASA  WP   ; E H S H 



EA

H EH

y las deformaciones parciales de cada tramos serán:

H  H

W a ; EASA

    ( W  P )  2a   2a  ;  E H SH

A  A a 

o sea, que el alargamiento total de la pilastra vendrá definido por la expresión:

 Total  2 A   H 

2W  a ( W  P )  2 a  ; EASA E H SH

71


PROBLEMA III-4 Un anillo metálico cuyo Módulo de Elasticidad es “E”, tiene un radio “R” y un espesor “e” (muy pequeño frente a R). se le somete a una presión interna uniforme de valor “p”. ¿Cuánto ha de valer “e” para que el esfuerzo que soporta el anillo sea “ζt”?.

e p

2R

SOLUCIÓN: En el anillo resulta evidente su simetría respecto a cualquier diámetro y, por tanto, respecto a su centro. Ello nos permite poder trabajar con una de sus mitades simétricas, sabiendo que la otra mitad tendrá un comportamiento idéntico. Así, si imaginamos un corte por uno de los diámetros (AB), la otra mitad del anillo actuará sobre esta con los esfuerzos normales y cortantes que mutuamente se ejerzan, y que serán los mismos en cualquier sección diametral del anillo en cuestión. De estos esfuerzos, podemos asegurar que el cortante es nulo, dado que éste no existe en el plano perpendicular a la sección recta (nos encontraríamos en el exterior del anillo donde ninguna acción es ejercida). De manera que tan solo tendremos un esfuerzo normal que se transmite a lo largo de toda la circunferencia del anillo, dando lugar a la extensión total del mismo (obtenida como suma integral de los alargamientos de cada elemento de longitud de arco del anillo) y aumentando el tamaño del radio. El anillo está, pues, sometido a una tracción lineal en la dirección tangente a su arco. Si fuerzas radiales uniformemente distribuidas actúan a lo largo del perímetro de un anillo delgado circular, a modo de una presión interna p (fig. III-12), este sufrirá un estiramiento longitudinal uniforme en todo él. Para su estudio, aún tratado como elemento unidimensional, consideraremos su espesor e como una dimensión muy pequeña en comparación con el radio del anillo R, así como la dimensión transversal a nuestro plano de trabajo, que podemos designar como b, de manera que la sección recta del anillo, será S  b  e . C  df θ

p p

A R

(a) 72

ζ

O

(b)

 df

dθ

df y

θ e

B

ζ

(c)


En el anillo resulta evidente su simetría respecto a cualquier diámetro y, por tanto, respecto a su centro. Ello nos permite poder trabajar con una de sus mitades simétricas, sabiendo que la otra mitad tendrá un comportamiento idéntico. Así, si imaginamos un corte por uno de los diámetros (AB), la otra mitad del anillo actuará sobre esta con los esfuerzos normales y cortantes que mutuamente se ejerzan, y que serán los mismos en cualquier sección diametral del anillo en cuestión. De estos esfuerzos, podemos asegurar que el cortante es nulo, dado que éste no existe en el plano perpendicular a la sección recta, ya que nos encontramos con el exterior del anillo donde ninguna acción es ejercida. De manera que tan solo tendremos un esfuerzo normal que se transmite a lo largo de todo el perímetro del anillo, dando lugar a la extensión total del mismo, que se obtiene como suma integral de los alargamientos de cada elemento de longitud de arco del anillo. Ante éstos razonamientos, y volviendo a la figura III-12 (b), el corte diametral AB y la consideración de simetría que persiste en el eje o diámetro perpendicular OC, nos permite afirmar, no solo que los esfuerzos normales en A y B sean iguales, sino que la presión interna p dará como resultante una fuerza de dirección vertical que habrá de ser contrarrestada por la que provoquen los esfuerzos ζ en A y B, mientras que las componentes horizontales de las fuerzas debidas a la presión se anularán entre sí por la simetría aludida respecto a OC. Así que propongámonos determinar la fuerza que ejerce esta presión p sobre un elemento de anillo de carácter genérico. Para ello, elijamos una sección del anillo situada en la posición que determina un ángulo variable θ cuyo arco desde B habrá de ser l  R   , y consideremos un incremento de θ en “dθ”, que determinará un arco dl  R  d sobre el que se ejercerá, en dirección radial, la



fuerza infinitesimal df  p  b  dl , formando con la horizontal el mismo ángulo θ. Por ello, su componente vertical sería:

df y  df  sen   p  b  sen   dl  p  b  R  sen   d Así, la suma de todas estas componentes desde que θ vale 0 hasta que alcanza los π radianes, abarcando así la semicircunferencia de la figura, será:

Fy 





0

0

 p  b  R  sen   d  p  b  R sen   d  p  b  R cos   cos 0  2 p  b  R

Esta fuerza, como se dijo antes, será equilibrada por la que producen los esfuerzos normales ζ en A y B, es decir:

F  2  b  e de donde se deduce que:

  p

R e

73


Este esfuerzo dará lugar, en la fase elástica de dilatación del anillo, a la deformación longitudinal unitaria  

 E



pR que afectará a la longitud del perímetro total del anillo, de manera que su Ee

longitud original: L  2R , pasará a ser:

L'  1   L  2 1   R  2R' ; es decir, el nuevo radio del anillo será:

R'  1   R Como puede observarse los resultados son independientes la anchura b del anillo.

74


PROBLEMA III-5 Las barras elásticas AB y AC de la figura tienen secciones respectivas 2S y S, con un mismo módulo de elasticidad E. Si en un momento determinado la articulación A sufriera una carga vertical de valor W, determinar el esfuerzo normal ζ y la tensión T que tendría que soportar la barra AC, así como la deformación longitudinal unitaria de la barra AB en función de los datos S, E, y la longitud AC = L.

A

30º

B

W C

PROBLEMA III-6 Las barras elásticas AB y AC de la figura tienen secciones respectivas 2S y S, con un mismo módulo de elasticidad E. Si en un momento determinado la articulación A que une a ambas barras sufriera un pequeño desplazamiento hacia la izquierda en una magnitud conocida 2δ. 3 , hasta la posición A’, determinar el esfuerzo normal ζ y la tensión T que tendría que soportar la barra AC, en función de los datos S, E, δ y la longitud AC = L.

B A’

A

30º

2δ. 3 C

75


PROBLEMA III-7 La barra AB de la figura, de peso P, se encuentra en equilibrio formando un ángulo de 45º con la horizontal. Además, está articulada en el suelo en su extremo A y amarrada desde el otro extremo B al punto C por un cable CB=2L que forma un ángulo de 30º con el suelo. Finalmente, también soporta en su extremo B una fuerza vertical igual a su propio peso P. Si las respectivas secciones y materiales de la barra y cable son (Sb; Eb) y (Sc; Ec), determinar: 

La fuerza que soporta la articulación A.



La tensión del cable BC.



Los esfuerzos de tracción y/o compresión en barra y cable.



Desplazamiento del punto B (horizontal y vertical).

B 2L

C

76

30º

P

A

45º


Capítulo Cuarto

Sistemas y estructuras planas articuladas hiperestáticas

77


78


PROBLEMA IV-1 Tres barras dispuestas simétricamente según indica la figura (se supone que las dos exteriores son de un material de Módulo de Elasticidad E1 y la central de módulo E2), con secciones respectivas S1 y S2, están cargadas en su nudo común C con la fuerza vertical P. Las características geométricas son las que se indican: L y θ. A

D

B

Particularizar para: E1  2 E 2

E2; S2 E1; S1

θ

θ

L

S1  6 S 2

  60º

C P SOLUCIÓN:

Idealizaremos tres cortes (m, n y k) en las proximidades del nudo C sobre cada una de las barras, para aislar el nudo C, sometido a la carga exterior y a las tensiones de cada barra, y así poder estudiar su equilibrio.

D

A

B

E2; S2 E1; S1

θ

θ

L

X

k m

X sen

n

C P

(a)

θ

θ L C

δY (b)

B

θ-Δθ

X sen

C P

D

A

Y θ θ X

δX C’

(c)

Evidentemente, por razones de simetría, las tensiones de las barras inclinadas serán iguales y las llamaremos X. Por su parte, la barra vertical CD tendrá una tensión diferente que denominamos Y. Dado que ya habremos utilizado una ecuación de las de equilibrio (proyección según el eje horizontal) al considerar la simetría, solo nos quedará la ecuación de equilibrio vertical que se expresaría así:

2 X cos   Y  P ( I )

79


Si observamos la realidad geométrica de simetría de la figura (c) estaremos ante el hecho de que el alargamiento δY y los dos alargamientos δX deberán ser tales que los tres den la confluencia de las barras AC, BC y DC. Esto puede ser expresado de diversas formas, pero quizás sea la más clara evidenciar que el triángulo DBC’ es rectángulo en D, lo mismo que lo era el DBC antes de la deformación. Aplicando el Teorema de Pitágoras en ambos triángulos tenemos:

2

2

BC'  BD  DC' 2

2

BC  BD  DC

2

2

 

L2 ( 1   x )2  BD  ( L cos  )2 ( 1   y )2    2 2 2  L  BD  ( L cos  )  2

La diferencia miembro a miembro de ambas expresiones permite escribir:

L2 ( 1   x )2  L2  ( L cos  )2 ( 1   y )2  ( L cos  )2 o sea, dividiendo todo por L2 y desarrollando los cuadrados de los paréntesis:

( 1  2 x   x2 )  1  cos 2   ( 1  2 y   y2 )  cos 2  o lo que es lo mismo:

2 x   x2  cos 2   ( 2 y   y2 ) y es aquí donde debemos aplicar los criterios de la Elasticidad en relación a los ínfimos valores de las deformaciones de los materiales. Esto significará que si ε es muy pequeño, ε2 será despreciable frente a su primera potencia y podremos deducir que:

2 x  2 y cos 2 

  x   y cos 2  ( II )

Esta última fórmula, que es la ecuación hiperestática de las deformaciones, debemos expresarla en función de los respectivos esfuerzos ζ y, a su vez, de las fuerzas X e Y. Así que, como:

x

X  E 1 E 1 S1    Y  y  y  E 2 E 2 S 2 

x 



al sustituirlo en la expresión ( II ) nos permitirá tener la ecuación hiperestática que se complementa con la ( I ):

2 X cos   Y  P ( I ) X Y  cos 2  ( III ) E 1 S1 E 2 S 2

80


Así tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, de las que podemos despejar X e Y. Obtenidos los valores de estas fuerzas, tendremos los esfuerzos correspondientes (dividiendo por las áreas de la secciones rectas sobre las que actúa) y finalmente, por la Ley de Hooke, las deformaciones δx y δy a que dan lugar. Particularizando para los las relaciones dadas entre E1 y E2; entre S1 y S2; y el ángulo θ, resultará:

1  X Y  P  Y P   X  Y  P  4 X Y 1     X  3 Y  X  3 P 2 E 2 6 S 2 E 2 S 2 4    4 Y, de otra parte,

PL   X P    x   x  L  48 E S   E 1 S 1 48 E 2 S 2    2 2     Y P      L cos 60º  P  L  y   y E 2 S 2 4 E 2 S 2   y 8 E 2 S 2 

x 

81


PROBLEMA IV-2 Un soporte vertical de sección constante S, de material cuyo Módulo de Elasticidad es E, está construido de tal manera que su base y su capitel están atrapados por superficies (piso y techo) fijos e inamovibles. Es decir, empotrados en ellos. La carga axial P se aplica en una sección intermedia como se representa en la figura. Se desea conocer las reacciones en A y B, así como los esfuerzos normales a que se encuentra sometido cada tramo del soporte y el desplazamiento que sufre la sección C. A

a L

C P

b

B SOLUCIÓN: Se establecerá la ecuación de equilibrio isostático: R A  RB  P (I), resultando precisa una segunda ecuación (la hiperestática) para poder calcular las dos reacciones RA y RB.

RA

RA A

RA A

A xa

a

a

C

C para

P

B RB

b

xa:

P

 A  S  RA

ζB para x  a :  B  S  P  RA

(b) R A  RB  P

(a)

82

xa

ζA

L

(c)

 B  S  R A  P   RB


La ecuación hiperestática se planteará, plasmando la condición de que la distancia entre A y B no pueda variar:  A   B  0 (II). Esta ecuación hay que expresarla en función de RA y RB tras la aplicación de la Ley de Hooke: Como se ve en la figura (b), al cortar por una sección recta perteneciente al primer tramo, el esfuerzo normal será:  A 

RA

S

; mientras que al cortar por la sección recta en el segundo tramo [fig. (c)],

el esfuerzo correspondiente será:  B 

RB

S

; así, convirtiendo estos esfuerzos en sus

correspondientes alargamientos respectivos, tendremos:

A A a

A E

a

RA  R  a ; y:  B   B  b  B  b   B  b ; E SE SE

(el primero de alargamiento y el segundo un acortamiento); con lo que la ecuación (II) se transformará en la ecuación hiperestática deseada:

R A  a  RB  b (II) R A  RB  P (I)

que en unión de la:

hará posible dar respuesta a las cuestiones planteadas:

Pb   Pb   A  LS   Pab L  A  Pa  SEL     Pa  RB   B  L LS  RA 

83


PROBLEMA IV-3 Un bloque pesado indeformable cuelga de una superficie horizontal fija, suspendido por tres cables de materiales diferentes (E1, E2 y E3), y de igual sección recta S y longitud a, tal como se indica en la figura. Se pide determinar los esfuerzos a que se verán sometidos los tres cables. b

a

b

A1

A2

A3

E1

E2

E3

B1

B2

B3

P

SOLUCIÓN: En la figura (a) se plantea el equilibrio de las fuerzas exteriores, todas verticales, aunque por la falta de simetría que supone la diferencia de materiales de los cables, habrá que suponer que las reacciones en los tres articulaciones (A1, A2 y A3) serán distintas entre sí.

b

a

b

R1

R2

R3

R1

R2

R1

A1

A2

A3

A1

A2

A3

E1

E2

E3

E1

E2

E3

B1

B2

B3

ζ1

ζ2

a ζ3

R1

R2

R3

A1

A2

A3

E1

E2

E3

δ1

δ2 B2

B1

(c) (a)

P

Sumatoria de fuerzas verticales = 0 R1  R2  R3  P Momentos respecto al punto A2 = 0 R1  b  R3  b  0 o sea: R1  R3 84

(b) R1 ; S R 2  2 ; S R1 3  ; S

1 

δ3

B3

P 1  2  3 

1 E1

2 E2

3 E3



R1 ; SE1



R2 ; SE2



R1 ; SE3


Sin embargo, la otra ecuación isostática de equilibrio que habría de aplicarse en este caso, el equilibrio de momentos, si se toman respecto al punto A2, resultan las dos fuerzas de reacción R1 y R3 iguales. No obstante, aunque hemos podido utilizar dos ecuaciones de la Estática, sigue existiendo grado uno de hiperestaticidad, ya que son tres las incógnitas. Así se hace necesario establecer la ecuación hiperestática en base a las deformaciones de los tres cables, conservando la condición hipotética de partida de que el bloque que sustentan es indeformable, por lo que la línea B1B2B3 deberá permanecer recta después de la deformación, lo que conlleva una relación entre los alargamientos δ1, δ2 y δ3.

Una vez determinados los esfuerzos normales, como muestra en la figura (b), así como las deformaciones [fig. (c)], la relación entre los alargamientos se deducirían de la semejanza entre los triángulos constituidos por los incrementos de unos respecto a los otros:

 1   3  2(  2   3 )

o sea:

R R1 R1 R    2 2  1  ; que es la tercera ecuación buscada. E1 E 3  E2 E3 

Resolviendo:

 E 2 E 1  E 3  E E  E 3    R1  R1 ;  P  2 R1  R2   2  2 1 E1 E 3 2 E1 E 3   2 E1 E 3 P 1  2 E1 E 3   4 E 1 E 3  E 2 E 1  E 3  S   R  R  P 3  1 E 2 E 1  E 3  P 4 E 1 E 3  E 2  E 1  E 3      2  4 E E  E  E  E  S    E E  E 1 3 2 1 3 2 1 3 R    P 2   2 E1 E 3 P 4 E 1 E 3  E 2 E 1  E 3  3   4 E 1 E 3  E 2 E 1  E 3  S  2 R2 

85


PROBLEMA IV-4 El esquema de la figura está compuesto por cuatro barras articuladas de acero cuyo módulo de elasticidad es E, formando un rombo de lado “a”, cuyo semi-ángulo en las articulaciones superior e inferior es de 30º. Las secciones de las barras perimetrales son iguales, e igual a 2S, mientras que las de las diagonales son: S, para la AA, y 4S para la BB. Las cargas, como se indica en la figura, son W en la dirección de la diagonal vertical y 2W, en la dirección de la diagonal horizontal. Calcular: 

Incremento total “δT” de la longitud de la diagonal AA.



Fuerza a que se ve sometida la diagonal horizontal.



Esfuerzo “ζp” a que se ven sometidas las barras perimetrales AB.

w A

2w

B

B

2w

30º A

PROBLEMA IV-5

w

El esquema de la figura indica dos planchas rígidas indeformables atravesadas por cuatro pernos roscados de acero de módulo de Elasticidad “EA”. Las planchas sujetan un bloque de hormigón de módulo de elasticidad “EH” y módulo de Poisson “µ”, mediante un par de tuercas colocadas en cada perno, sin ejercer ninguna presión sobre el bloque de hormigón. Estando así las cosas (sin presión alguna entre ninguno de los elementos del sistema, se procede a dar un giro completo de apriete de las cuatro turcas superiores, avanzando así un paso de rosca cuya longitud es “e”. Produciendo así una tensión de estiramiento en los pernos de acero y una compresión uniforme sobre el bloque de hormigón. 86


Las dimensiones del bloque de hormigón corresponden a un cubo de arista “a” y el área de la sección recta de los pernos de acero es S = a2/10. La relación entre los módulos de elasticidad de los materiales es EA = 10.EH. Determinar: 1. El esfuerzo normal al que se ve sometido el acero. 2. El máximo esfuerzo cortante del hormigón. 3. La deformación longitudinal unitaria del hormigón en dirección horizontal.

EH; µ

EA; S

e

(paso de rosca)

PROBLEMA IV-6 La estructura de la figura, corresponde a un hexágono regular con barras perimetrales de sección doble que las radiales. Calcular las tensiones en cada barra. P

P

P

P

P

P

87


PROBLEMA IV-7 Tres barras de la misma sección e idéntico material, están dispuestas como muestra la figura: dos con sus extremos articulados en una pared fija en A y B, y la tercera en C (en el techo). Sus otros extremos están unidos entre sí mediante una articulación única D, de la que cuelga verticalmente una carga P. Supuesto conocido el módulo E de elasticidad, así como las características geométricas L (longitud de la barra AD) y el ángulo θ, determínese la sección recta mínima que habría que dar a las barras para que sus esfuerzos no superen a uno de trabajo dado ζT. Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá la articulación D. C

A

L sen θ

θ B

D

P SOLUCIÓN: Sea S la sección buscada de las barras.

C

A

Aislando

el

nudo

D

y

denominando X, Y y Z a las tensiones que soporta cada barra, resultarán las ecuaciones

L sen θ

isostáticas

Z

Y

equilibrio

siguientes:

 Z  Ysen   P ;   X  Y cos  ;

θ B

D

X P 88

de


Problema hiperestático de primer orden que precisa de una ecuación más. Las deformaciones

L cos θ

producen en cada barra serán:

XL cos    X   SE ;  YL  ;  Y  SE  ZLsen    Z  SE ; 

C

A

L

L sen θ

que se

debiendo ser tales que el desplazamiento final de la articulación D (que es extremo

θ B

de todas ellas) esté en un punto

D DB

único y común para todas las

DA

barras (DA, DB y DC coincidan en D’).

D’

 X   Y  cos  ;  Z   Y  sen  HD' X cos   Y cos  X  Y cos  tan     ; Zsen   Ysen  Z  Y sen 

θ

tan  

DB

D δX

δY

H

δZ – δY .senθ

DC

DA

HD A



Z  Y  tan 2   X  Y Obsérvese que se ha tomado para el cálculo

δZ

anterior el valor absoluto de δX. De esta manera hemos planteado la ecuación

θ

hiperestática que deberá ser unida a las dos

D’

δX

DC

isostáticas obtenidas antes. Así, si sustituimos X y Z en esta última, podremos determinar Y,

δX + δY .cosθ

para luego obtener X y Z.

89


P  Ysen   Y  tan 2   Y cos   Y



 sen 2  P Y  1  sen 3  cos 3    sen 2   cos  X  P  1  sen 3  cos 3    1  cos 3  P Z  1  sen 3  cos 3  

Haciendo un análisis comparativo de las tres fuerzas obtenidas, deducimos que Z es mayor que las otras dos, por dar un resultado superior a

P 1  sen   cos 3  3

, siendo inferiores a este valor las

otras dos fuerzas X e Y.

Por ello, la barra vertical CD será la que sufra mayor solicitación de carga, por lo que la sección que precise definirá a las demás:

S

Z

T



1  cos 3 



P

1  sen   cos   T 3

3

Finalmente, el desplazamiento de la articulación D quedará definida por sus componentes horizontal y vertical δX y δZ utilizando los valores obtenidos de X, Z y S.

90


PROBLEMA IV-8 Tres barras de la misma sección e idéntico material, están dispuestas como muestra la figura, de manera que las tres tienen sus extremos articulados en una bóveda de forma circular fija en A, B, y C. Sus otros extremos están unidos entre sí mediante una articulación única D (justo en el centro geométrico de la bóveda), de la que cuelga verticalmente una carga P. Supuesto conocido el módulo E de elasticidad, así como la longitud de las barras R (radio de la bóveda), determínese la sección recta mínima que habría que dar a las barras para que sus esfuerzos no superen a uno de trabajo dado ζT. Determinar igualmente el desplazamiento que sufrirá la articulación D.

C B R

45º

D

A

P SOLUCIÓN: Sea S la sección buscada de las barras.

C Aislando el nudo D y denominando X, Y y Z a las tensiones que soporta cada barra, resultarán las ecuaciones isostáticas de equilibrio siguientes:

B

Y

R

 2  Y  P; Z  2  2  X  Z ;  2

Z 45º D

X

A

Problema hiperestático de primer orden que precisa de una ecuación más.

P 91


Las deformaciones que se producen en cada barra serán:

C

XR   X  DD A   SE ;  YR  ;  Y  DDC  SE  ZR   Z  DDB  SE ; 

B R

debiendo ser tales que el desplazamiento final de la articulación D (que es extremo de todas ellas) esté en un punto único y común para todas las barras (DA, DB y DC coincidan en D’).

45º DA

D

A

DB

45º

DC

δY

D’

δX

tan 45º  1 

Y   X D

DA

DB

DC

δX

Y   Z

2 2  Y   Z  ; 2 2 Z 2;  Y  X  Z 2;

De esta manera hemos planteado la ecuación hiperestática que deberá ser unida a las dos isostáticas obtenidas antes. Así,

δY

D’



Obsérvese que se ha tomado para el cálculo anterior el valor absoluto de δX

H 45º

HD'

2 2 ; 2  2

X Z 

X Z 

45º

δZ

HD B

 3 Y4P  1   X P 4  Z  2 P  4

Haciendo un análisis comparativo de las tres fuerzas obtenidas, deducimos que Y es mayor que las otras dos fuerzas X y Z. Por ello, la barra vertical CD será la que sufra mayor solicitación de carga, por lo que la sección que precise definirá a las demás:

S

Y

T



3 P  4 T

Finalmente, el desplazamiento de la articulación D quedará expresada por sus componentes horizontal y vertical δX y δZ utilizando los valores obtenidos de X, Z y S.

92


PROBLEMA IV-9 Dos barras metálicas iguales, de longitudes “a” y de módulo de elasticidad “E”, están articuladas entre sí, por uno de sus extremos (B), y a sendas articulaciones fijas A, en sus otros extremos. En B actúa verticalmente una carga exterior “2P”. Determinar la tensión a que se encuentran sometidas las barras y el desplazamiento vertical del nudo B, cuando la sección de las barras es conocida y de valor “S”.

a

a

A

A

B

2P SOLUCIÓN:

g)

La disposición de las barras y su carga presentan una simetría total respecto al eje vertical que pasa por B, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas A serán asimismo simétricas, con una componente vertical P (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal que, unida a P se compondrá en la tensión axial X (cuya función será que los extremos A de las barras, mediante su estiramiento longitudinal, no se aproximen entre sí).

P

P

X

a A

θ

a

X

B

A

B’

2P h)

La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones A fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que el punto B deberá desplazarse verticalmente hasta la posición B’, produciéndose un alargamiento de las barras en función de la tensión X a que están sometidas, y resultando un pequeño ángulo θ entre la horizontal y la nueva posición de las barras. Todo esto nos permite establecer la relación entre la tensión X y el alargamiento de AB, de una parte, y la ecuación de equilibrio aplicada al nudo B’, de la otra:

X

X θ

X 

X



X SE

E X X    a  a'   1  a SE SE  

B’

X

2P

2 X  sen   2 P

93


cos  

Y como la relación entre a’ y a es el coseno de θ:

sen   1  cos 2   1 

X2

1

1   X 2

 1

a 1  ; resultará: a' 1   X

1  1  2 X 

2 X  P 2 ;  2 X 3  2 P 2 X  SE  P 2  0 ; 1  2 X

2 X 1  2 X de

donde

deberán

determinarse la solución real de X y, además, otras dos raíces imaginarias no válidas.



P

Por último, utilizando la solución de X, se tendrá también el valor de θ   arcsen  , X  siendo el desplazamiento vertical del nudo B:

BB'  a  tan 

PROBLEMA IV-10 Tres barras metálicas iguales, de módulo de elasticidad “E”, de sección recta “S”, y de longitudes “a”, están articuladas entre sí en los puntos B (como indica la figura), y a sendas articulaciones fijas A. En B actúan verticalmente unas cargas exteriores “P”. Plantear las ecuaciones isostática e hiperestática que permitan determinar las tensiones a que se encuentran sometidas las barras. Plantear igualmente las ecuaciones que permitan calcular el desplazamiento de los nudos B.

a

a

A

a

B

A

B

P

P

SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga presentan simetría vertical, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas A serán asimismo simétricas, con una componente vertical P (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal X que, unida a P, se compondrá en la tensión axial inclinada Y que, transmitida hasta el nudo B, se volverá a descomponer para equilibrar la carga exterior sometiendo a la barra central a la tensión X.

P Y

P a

A

a

a B

B

X

A

θ

X B’

B’

P

94

Y

P


b) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones A fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que los puntos B deberán desplazarse horizontal y verticalmente hasta las posiciones B’, produciéndose un alargamiento de las barras en función de las tensiones Y (las de AB) y X (la de BB) a que estarán sometidas. Resultando un pequeño ángulo θ entre la horizontal y la nueva posición de las barras AB (ahora AB’).

c) El equilibrio de los nudos A y B, nos permitirá expresar las tensiones desconocidas X e Y en función de un único parámetro: θ.

Y

P A

X

B’

X

θ

B’

Y

P P  Y  P  Ysen    sen   P P  X tan   X   tan 

(ecuaciones isostáticas)

d) Todo esto nos permite, conocido el área de la sección recta de las barras S, establecer la relación entre el alargamiento de AB y la tensión Y. Lo mismo que entre el alargamiento de BB y la tensión X.

X

 Pa  ; X  X a   E   SE tan   Pa  Y P  Y  Y  a  Y  Y   ;   SEsen  E SE SEsen   

X 



X P  SE SE tan 

e) Si observamos la relación geométrica que ha de existir entre ambos alargamientos, deduciremos la ecuación hiperestática que permite resolver el problema:

3a A

θ

A

a  Y

θ

B

B

B’

B’

A

A B’ a   X

B’

a  Y 95


( a   Y ) cos   ( a   x )  ( a   Y ) cos   3a ; 2( a   Y ) cos    x  2a ; 2 Y cos    x  2a( 1  cos  ); cos  Pa 1 Pa   2a( 1  cos  ); sen  SE tan  SE 3 Pa  2a( 1  cos  ); tan  SE 3 P  tan   sen  ; 2 SE

2

Una vez conocido el ángulo θ, las ecuaciones siguientes permitirán calcular las tensiones X e Y:

P  Ysen    P  X tan   En forma análoga se determinaría las deformaciones de cada barra:

Pa   X   X  a  SE tan   Pa  Y  Y  a   SEsen  pudiendo así calcular los desplazamientos vertical y horizontal de los nudos B.

96


PROBLEMA IV-11 La figura representa un marco rígido indeformable que contiene en su interior una probeta de hormigón cilíndrica de sección AH y módulo de elasticidad EH. La probeta se encuentra sujeta, sin ejercer presión alguna, por un plato de prensa (también rígido e indeformable) accionado por el vástago de acero de sección Aa y módulo de elasticidad Ea, que va roscado a la parte superior del marco exterior citado. a)

Determínese el esfuerzo de compresión en el vástago de acero cuando el volante

de la prensa se la gira un cuarto de vuelta, siendo “p” el paso de rosca. b)

Calcular, asimismo, el esfuerzo cortante máximo en el hormigón y la orientación

del plano en que actúa.

La

LH

97


PROBLEMA IV-12 Entre dos superficies horizontales inamovibles (techo y suelo) se encuentra encajada una columna de material de módulo de elasticidad “E” y de sección variable en tres tramos. El primer tramo tiene de sección recta S; el segundo, 2S; y el tercero, 3S. Los tres tramos tienen la misma longitud “a”; de forma que la altura total será de “3a”.

En las secciones de separación de cada tramo actúan sendas cargas exteriores “P”, y no se tiene en cuenta para nada el peso propio de la columna.

Determinar las Reacciones en A y B y la deformación longitudinal del tramo central.

A

a

a

a

S

P

P

B

98

2S

3S


SOLUCIÓN 1. Las reacciones en A y B serán ambas de dirección ascendente por cuanto las cargas externas tienden a empotrar en el suelo la pilastra y simultáneamente a desprenderla del techo:

R A  RB  2 P única ecuación isostática de equilibrio que puede considerarse.

2. La longitud 3a que separa A de B no puede ser variada, por lo que el incremento total de longitudes de los tres tramos sumados deberá ser nulo.

RA Sección 1-1 a S

a

P

Sección 2-2 2S

a

P

Sección 3-3 3S

RB 3. Considerando secciones en cada tramo, los esfuerzos a que se verán sometidos serán: RA S RA  P 2  2S RA  2 P 3  3S

1 

99


4. Y los alargamientos correspondientes: RA a SE R P 2  2 a  A a 2 SE R  2P 3  3 a  A a 3 SE

1  1  a 

5. Con lo cual la ecuación hiperestática nos permite escribir:

 1   2   3  0 ;  RA  RA 

RA  P RA  2 P  0 2 3

7 15 P ;  RB  P; 11 11

6. En cuanto a la deformación del tramo central, será preciso calcular previamente el esfuerzo a que se halla sometido:

2 

RA  P 2 P  ; (compresión) 2S 11 S

dando lugar a una contracción longitudinal de:

2  

2 Pa ; 11 SE

Para comprobar estos resultados, deberá verificarse que la suma de las reacciones da 2P y que la suma de las deformaciones es nula.

100


PROBLEMA IV-13

La figura muestra cinco barras metálicas, del mismo material y la misma sección recta, que se encuentran articuladas entre sí en sus extremos A, B, C y D. Como se indica, las articulaciones C y D están fijadas a unas paredes inamovibles. Y de su articulación A cuelga una carga conocida P. Se debe calcular lo siguiente: 1. Las fuerzas de tensión a que se verán sometidas cada barra (X, Y y Z); indicando las que se vean sometidas atracción y las que estén en compresión. 2. El desplazamiento que sufre el nudo A (supuesto conocidos el módulo de elasticidad del material E, la sección de las barras S, y la longitud de la barra

AB  a ). 3. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones en C y D. 4. La sección mínima que deberían tener las barras para que el esfuerzo de trabajo no superara un valor predefinido ζt.

B Z

60º 60º

Z

C

D Y

X

60º 60º

X

A

P

101


SOLUCIÓN: a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan simetría vertical, de forma que las reacciones en las articulaciones fijas C y D serán asimismo simétricas, con una componente vertical P/2 (para equilibrar la carga exterior) y otra desconocida horizontal H. En todo caso, estas fuerzas horizontales no podrán determinarse hasta no haber calculado las tensiones de las barra inclinadas X y Z. b) Los ángulos que forman las barras, demuestran que los triángulos que forman son equiláteros.

c) La deformación de la estructura, bajo las condiciones establecidas para las articulaciones C y D fijas, junto con la simetría del problema, conlleva que los puntos A y B deberán desplazarse verticalmente hasta las posiciones A’ y B’, produciéndose un alargamiento de las barras en función de las tensiones, X (las de AC y AD) e Y (la de AB), a que estarán sometidas. A su vez las barras BC y BD sufrirán una compresión Z que tendrá como efecto final el desplazamiento vertical del nudo B hasta B’, al que llamaremos dB. En la siguiente figura se detalla en esquema de desplazamientos (dA y dB). Todo ello provocará la extensión de la barra AB hasta A’B’, con un alargamiento:

Y  d A  dB

B dB B’

Z

Z

C

D Y

X

A

dA A’

P

102

X


d) El equilibrio de los nudos A y B, nos permitirá expresar las tensiones desconocidas X e Y en función de P. Y X

60º

60º

X

2 X cos 60º Y  P

A



B

X Y  P

Z

Z

P

2 Z cos 60º  Y



60º

Z Y

60º Y

(ecuaciones isostáticas) e) La caída dA del nudo A, estará directamente relacionada con la deformación δX de las barras AC y AD, simétricas; como también el descenso dB del nudo B lo estará con la deformación de las barras BC y BD.

C

D 60º

 X  d A cos 60º  d A A

δX

δZ

1 ; 2

dA

d A  2 X

A’

B dB B’

C

D 60º

 Z  d B cos 60º  d B

1 ; 2

d B  2 Z

103


f) De acuerdo a lo expresado en el apartado c):

 Y  d A  d B  2(  X   Z )

g)

Y, conforme a la Ley de Hooke,

X

X  ;     a  X a X E SE  X SE   Y  Y Y  a   Y  2( X  Z ) Y   ; Y  Y  a  SE  E SE   Z     a  Y a  Z  Z  ; Y Y SE  E SE 

X 



h) Lo que, junto a las ecuaciones isostáticas expresadas en el apartado d) da el resultado: X

3 2 P; Y  P; 5 5

Z

2 P; 5

X e Y en tracción; Z en compresión

i)

Así pués, el desplazamiento sufrido por el nudo A será:

d A  2 X  2

X 6 Pa a SE 5 SE

j) El Estudio del nudo articulado D, nos muestra la figura siguiente: Z

2 P 5

30º 30º

RV

D X

3 P 5

RV  X  sen 30º  Z  sen 30º 

3 2 1 P P  P; 10 10 2

R H  X  cos 30º  Z  cos 30º 

3 3 2 3 3 P P P; 10 10 10

RH

con lo que la reacción resultante sería:

R

104

10 P 10


k) Como la tensión más alta se presenta en las barras AC y AD, con una fuerza de tracción de



3 P , el máximo esfuerzo que aparecería en la estructura sería de 5

3P ; por lo que si no se desea sobrepasar un esfuerzo de trabajo dado  t la 5 S

sección mínima que admiten estas barras sería de: S min 

3 P 5 t

PROBLEMA IV-14 Un tablón rígido e indeformable A-A, de peso “P”, cuyo centro de gravedad está situado en su punto medio G, se encuentra colgado de dos puntos B y C del techo, por dos parejas de cables de acero AB y AC de igual sección, en la disposición geométrica que se indica en la figura.

Determinar el desplazamiento vertical de la barra y las tensiones de los cables. Se suponen conocidos el módulo de elasticidad del acero (E), la sección de los cables (S) y la longitud del cable AB (LX ), además del peso P.

Calcular, también la sección SM que deberá tener el tablón de madera si el esfuerzo de trabajo al que se desea someter la madera es un valor predeterminado conocido ζM. (Suponer que este tablón sólo trabajara en tracción y no en flexión, que sería la aproximación más real al caso en que la longitud A-A del tablón no fuera muy grande).

C

B

B

30º A

C 30º

G

A

P 105


SOLUCIÓN: a) La simetría y la indeformabilidad de la barra AA conllevan que, después del alargamiento de los cables AB y AC, la distancia entre los puntos A no habrá variado, por lo que sus desplazamientos serán verticales, manteniéndose la simetría de la figura una vez deformada, con idénticas tensiones en las barras correspondientes.

b) La figura siguiente muestra la deformación producida por los cables en su posición final: C

B

B

30º

A

C 30º

G

A

P El ángulo que forman ahora los cables sería ligeramente inferior a los 30º pero, ante las pequeñas deformaciones que se producen, en primera aproximación conservaremos el valor de 30º.

c) Una observación detallada de las tensiones y alargamientos de una y otra barra, se nos presentará bajo el aspecto siguiente (donde T sería la tensión horizontal originada en el bloque indeformable A-A): X

Y

La componente horizontal de Y se equilibrará con T. La componente vertical de Y lo hará con X y

30º δy

P/2. δx

A

106

T

P/2


De otra parte, los alargamientos son cateto e hipotenusa de un triángulo rectángulo:

Por lo tanto, procede utilizar la Ley de Hooke para establecer las relaciones entre tensiones y deformaciones (denominamos “S” a la sección de los cables y al módulo de elasticidad del acero “E”):

;

Y como quiera que las longitudes de los cables también están en la relación trigonométrica: ; resultará: ; o sea: ; por lo que al sustituir en la ecuación de equilibrio: ;

Por su parte, el desplazamiento vertical será:

;

; para el que será

conocido S, E y LX . En cuanto a la sección del tablón de madera, si está sometida a una tracción T, el esfuerzo a que se someterá será:

Por lo que la sección solicitada, para un esfuerzo de trabajo ζM, será:

107


PROBLEMA IV-15 Cuatro cables de acero están enganchados al techo y unidos en su extremo inferior del que cuelga una carga W constituyendo el esquema simétrico que muestra la figura.

1º.- Determinar el desplazamiento vertical del punto P y las tensiones de los cables. Se suponen conocidos el módulo de elasticidad del acero (E), la sección de los cables (S) y la longitud del cable AP (L), además de la carga W.

2º.- Si quisiéramos dimensionar la sección de los cables para no sobrepasar un cierto esfuerzo de trabajo ζT, hacer el cálculo para determinar dicha sección.

B

A 60º 60º 30º

A

B

30º P W

SOLUCIÓN: a)

La simetría del problema conlleva que las tensiones de los cables simétricos sean iguales y que su deformación concluya con un desplazamiento vertical del punto P.

b)

Un corte de los cables por secciones infinitamente próximas a P, nos aislarían este nudo con las tensiones de los cables y la carga:

108


El equilibrio vertical de fuerzas nos da: X

X Y

30º 30º

30º 30º

Y o sea:

P

W

c)

Que significará la ecuación isostática entre las tensiones de los cables.

De otra parte, el alargamiento de los cables tiene que confluir en un punto único P’ que deberá estar situado bajo la vertical de P. El ángulo que forman ahora los cables sería ligeramente inferior a los primitivos pero, A B ante las pequeñas deformaciones que se producen, en primera aproximación conservaremos el valor de 30º y 60º, respectivamente, para P’A y P’B con la 30º 30º vertical: P δ

δA δB

P’

Ecuación hiperestática que, ahora, debemos expresarla en función de las tensiones X e Y.

d)

Las longitudes originales de los cables, partiendo del conocimiento del AP igual a L y de relaciones geométricas simples, resulta:

Con lo que la aplicación de la Ley de Hooke para determinar los alargamientos nos relacionarán las tensiones X e Y:

y

109


e)

De esta forma, tras haber deducido la ecuación hiperestática podemos ya dar los valores de las tensiones de los cables:

f)

Resultando el desplazamiento vertical del nudo P:

g)

En cuanto al cálculo de la sección de los cables, habremos de elegir aquella que resulte mayor de los dos, correspondiendo, por tanto, a la que haya de soportar mayor tensión; en este caso el cable AP, cuya tensión X es tres veces la otra.

Resultando así:

110


PROBLEMA IV-16 La figura representa el conjunto de tres barras de acero de igual sección articuladas cada una a puntos fijos de paredes y techo (A, B y C), y entre sí en una articulación única (P). Sus longitudes quedan indicadas en el dibujo. Del punto P se cuelga una carga W produciendo las correspondientes tensiones en las barras. Se trata de calcular dichas tensiones en función de W, a las que llamaremos X, Y y Z. B

(Y)

A

(X)

a

P

30º (Z)

C

W 2a

SOLUCIÓN: El equilibrio del nudo P conlleva el planteamiento de las dos ecuaciones de la Estática del Punto: Y

P

X 30º

Lo que requiere la utilización de la ecuación hiperestática que

Z

exprese que las tres barras, tras su deformación longitudinal, W

deberán confluir en un mismo punto que corresponda a la nueva situación de P, la que vamos a denominar P’.

Para ello, analizamos cada una de las posiciones que adquiriría P si tan solo dependiera de una sola barra con la tensión que esta le proporciona: en el caso de AP, la posición PX; en el caso de la BP, la posición sería PY; y en la de la barra CP, la PZ.

111


B Resulta evidente que las perpendiculares (Y)

P PX

(X)

A

30º

a

PZ

(arcos desde el otro extremo) trazadas por PX, PY y PZ a sus respectivas barras, coincidirán en P’.

(Z)

C

P PX PZ PY

P’

H

2a 30º

PY

P’

Puesto que vamos a establecer una relación geométrica los alargamientos y acortamientos de las barras estarán considerados en valores absolutos:

Así, podemos establecer la siguiente identidad geométrica:

Es decir:

Ecuación que, unida a las isostáticas inicialmente obtenidas permitirán el cálculo de las tensiones X, Y y Z (en las que el valor obtenido de Z sabemos que será de compresión, mientras que las X e Y serán tracciones).

112


Capítulo Quinto

Sistemas tridimensionales hiperestáticos

113


114


PROBLEMA V-1 En el esquema de la figura, aparece (como cuerpo sólido elástico principal) un cubo de hormigón que está encajado en una canaleta rígida NN, indeformable, fija y no desplazable de su posición, quedando las caras anterior y posterior del sólido elástico libres y sin contacto alguno con otro cuerpo. Sobre su parte superior se apoya una placa indeformable y pesada “JJ” (de peso “W”) sobre la que actúa una fuerza de magnitud “9W”. El bloque de hormigón tiene un módulo de elasticidad “E” y módulo de Poisson “µ”. La arista del cubo de hormigón tiene una longitud conocida “a”. Determinar: 1.

El esfuerzo normal y cortante que se ejerce sobre el hormigón en un plano que forme 30º con el plano horizontal y 90º con la cara frontal del bloque (plano π-π).

2.

El volumen total del bloque tras la deformación que sufrirá.

9W N

N

Z J

J

W

Y

π π

30º

a

X

E; µ

N

N

115


SOLUCIÓN:

10W

J

J

ζy = -q

ζy = -q ζZ = -p

Ecuación isostática: p . a2 = 10W;

p = 10W/a2

Estado de esfuerzos en el bloque de hormigón: ζx = 0 ζy = - q ζz = - p = - 10W/a2

εx =? εx = μ . q/E + μ . p/E εy = 0 εy = - q/E + μ . p/E = 0; q = μ . p = 10μ . W/a2 εz =? εz = - p/E + μ . q/E = - (1 - μ2) p/E = - 10(1 - μ2) . W/Ea2 2 εx = μ . p/E + μ . p/E = (μ+ μ2) . p/E = 10(μ+ μ2) . W/Ea2 Esfuerzos Principales del hormigón: ζx = 0 ζy = - q = - 10μ x W/a2 1.- Círculos de Mohr y cálculo solicitado:

ζz = - p = - 10W/a2

τ Radio del círculo:

30º

R = (p - μp)/2 = (1 - μ) p/2 Esfuerzo cortante:

τπ R -p

- μp

σ

ηπ = R.sen 60º = (1 - μ) p.√3/4 = =(1 - μ) 10√3W/4a2 Esfuerzo normal: ζπ = - [(1+ μ)p/2 + R.cos 60º] =

σπ

= - [1/2 + μ /2 + 1/4 - μ /4]p; ζπ = - [3 + μ]p/4 = - [3 + μ] 10W/4a2

2.- Volumen final: e = εx + εy + εz = [10(μ+ μ2) . W/Ea2] + [- 10(1 - μ2) . W/Ea2]; e = 10 . W/Ea2 [ - 1 + μ + 2μ2] = -10(1 - μ - 2μ2) . W/Ea2; V’ = V (1 + e) = {1 - 10(1 - μ - 2μ2).W/Ea2} a3

116


PROBLEMA V-2 Una columna de hormigón de altura “10a”, con módulos de Elasticidad EH y de Poisson μ, tiene una sección recta cuadrada de lado “3a”. Dicha columna resulta encajada por un encofrado indeformable, a modo de zuncho, que se le adapta casi perfectamente, resultando una ranura de ajuste cuyo ancho es “e” (muy pequeño frente a “a”). A lo largo de la pestaña del encofrado (ver figura) quedan distribuidos un total de diez bulones roscados de acero, de módulo de elasticidad EA y secciones S. Los bulones llevan sendas tuercas en sus extremos que son apretadas a tope hasta unir ambos encofrados y cerrar completamente este zuncho, quedando la longitud de los bulones igual a “a”. Bajo estas condiciones, la columna es sometida a una compresión de valor “p” en la dirección del eje Z. Tómense como direcciones de referencia los indicados. Se desea saber: 1º.- Si el esfuerzo de rotura del acero de los bulones es “ζr”, ¿con qué presión “p” se llegaría al límite de rotura de ellos? 2º.- En estas condiciones, ¿qué esfuerzo cortante máximo se habrá producido en la columna de hormigón?

Y a

p Encofrados indeformables Z

X

EH ; μ Y X

Bulones de acero resistentes: EA=10EH

Tuercas de apriete

e

p e Ranura de ajuste y apriete

117


SOLUCIÓN 1. Al proceder al ajuste total del encofrado venciendo la pequeña distancia “e” mediante el apriete de las tuercas de los bulones, se habrá producido una cierta tracción en ellos acompañado de la compresión correspondiente en la dirección Y de la sección de hormigón, la que, a su vez, provocará otra transversal, en dirección X, como efecto de Poisson. En esta última, la deformación será nula. Pero en la dirección Y el acercamiento “e” se verá aliviado por la extensión que se produzca en los bulones. Es decir, que según el eje Y, el acortamiento de la arista “3a” del hormigón, más el alargamiento de los bulones será igual a “e”. e  YH   A  e ;   YH  3a   A  a  e ;  3 YH   A  (1) a 2. El hecho de actuar la compresión “p” según el eje Z de la columna, solamente hace incrementar las compresiones transversales del hormigón (por el efecto de Poisson) y, por añadidura, elevar las tensiones de los bulones. Pero la relación (1) entre las deformaciones antes indicada, seguirá siendo la misma. 3. Por otra parte, deberemos analizar que condiciones de equilibrio deberán existir entre las acciones que sigan la dirección del eje Y, ya que según el cual actuarán esfuerzos sobre los bulones y sobre la columna. Para ello haremos una sección imaginaria según el plano vertical paralelo al XZ que pasa por la ranura de ajuste del encofrado:

A

 YH

10 A  S   YH  30a 2 (2)

3ax10 a A

4. Ante todo lo anterior, analicemos separadamente el comportamiento elástico de los bulones de acero y el de la columna de hormigón: a. Bulones de acero

A 

A EA

(3)

b. Columna de hormigón

H H  p  XH  ?  XH  0  XH  X   Y  0   XH  YH  p E E H H  YH  ?  YH  ?  H H H    p  YH  p  p 1   2 H 1    p  YH  Y   X  Y   Y    ZH   p  ZH  ? EH

EH

(4)

118

EH

EH

EH

EH


5. Los resultados obtenidos de  A y  YH en las ecuaciones (3) y (4), habrán de ser reemplazados en la ecuación hiperestática (1), y así resultarán dos ecuaciones con dos incógnitas al tratarla conjuntamente con la isostática (2):

 YH  

A

 e ;  3 YH   A 

 YH   A 

S 3a

2



A

que , con E A  10 E H



a2 30 a 

2

e a





A 30

1   2 H 1    p   A e 3 Y     EH  EA a  EH

;  

2    2

A

A

 30 YH ;

 30  1    p 

e 10 E H a

6. Es decir, que: e 10 E H  30  1    p a A ; o bien:   2  2 e 10 E H  2   2  A a p ; (5) 30  1   









7. De modo que si lo deseado es conocer la presión “p” que produce un  A   r , solo habrá que sustituir este valor en la ecuación (5) que determina “p”.

8. Para calcular el esfuerzo cortante en el hormigón, será preciso comparar los tres esfuerzos principales  XH ;  YH ;  ZH para saber cual es el máximo y cual el mínimo, cuya semidiferencia dará el ηmax.

119


PROBLEMA V-3 Un cubo de arista “a”, construido de un material de módulo de elasticidad “E” y módulo de Poisson “μ”, está sometido a una presión uniforme P/a2 según el eje “Z” vertical. En la dirección del eje “X” está bloqueado por paredes verticales que le impiden deformación alguna en este sentido. a. ¿Que fuerza “F” habría de aplicarse en la dirección “Y” para que en esa dirección se deforme longitudinalmente con un acortamiento dado “δ”? b. ¿Qué presión “q” aparecería en el sentido “X” producida por las paredes mencionadas?

Z

P/a2

F

F

Y

a X

P/a2

SOLUCIÓN: a) El estado de esfuerzos y deformaciones queda expresado con los siguientes datos e incógnitas:    x   q  ?  x  0     y   F  ?   y     a  a2   P  z  ?   z   2 a  

b) Resolviendo la ecuación  x  0 podemos despejar q en función de F y los datos del problema: F

x  

120

2



P

q a2  0   a E E

q

FP a2


c) Sustituyendo en  y  

 a

se podrá despejar F y luego determinar q: P

y 

F 2

a E

2  a

q E

aE  P F q 1 



F  P   2 F  P  2

a E



 a

;

aE  P P aE  P  1  q  1    a 2 a2

121


PROBLEMA V-4 El esquema de la figura está compuesto por dos barras verticales de acero de longitudes “a”, iguales, y de secciones S = a2/10, sometidas a unas fuerzas de compresión W, que conectan a un bloque de hormigón de forma cúbica y arista 2a, mediante unas placas rígidas e indeformables, que transmiten la compresión W al hormigón. Este bloque de hormigón está limitado por sus caras laterales izquierda y derecha por sendas superficies rígidas e indeformables, mientras que frontal y posteriormente se encuentran totalmente libres. Los coeficientes de deformación elástica del hormigón y acero son respectivamente: EH; y EA = 10.EH; mientras que el coeficiente de Poisson del hormigón es:   0,5 ;

Calcular: 1. Acercamiento total “δT” entre los puntos “A” de los extremos de las barras metálicas. 2. Deformación unitaria “εx” en el hormigón en la dirección normal a la cara frontal. 3. Esfuerzo “ζy” producido por las paredes laterales.

W

A

a 2a 2 a A

W

122


PROBLEMA V-5 El pilar de hormigón de sección rectangular 2a  a , está zunchado por una chapa de acero de espesor e  a 10 . Siendo Ea  10 EH ; y   0 ,25 ; determinar el esfuerzo cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p”.

“p ”

2a

a

“p ”

PROBLEMA V-6 El soporte de sección variable de la figura está cargado con la fuerza vertical “P” en la sección que se indica. Conocido el módulo de elasticidad “E” y el de Poisson “μ” del material, determinar las reacciones en la base y cabeza del soporte. axa

4a

P

2a

2a x 2a 123


PROBLEMA V-7 La sección recta de una pieza prismática es un triángulo equilátero. Estando sus extremos superior e inferior impedidos de todo tipo de desplazamiento, se le aplica una presión uniforme “p” en sus caras laterales. Determinar el esfuerzo cortante máximo si “μ” es el coeficiente de Poisson

“p”

“p”

“p”

SOLUCIÓN: a) Las acciones de compresión simple “p” en cada cara, por no tener componente “η”, son acciones principales. b) Al tener tres direcciones principales en el mismo plano transversal, indica que el elipsoide de esfuerzos es de revolución de eje vertical. c) Tomados dos ejes X e Y horizontales y el vertical Z, el tensor de esfuerzos será para estas direcciones principales: 0   p 0    0 p 0   0 0    

donde “ζ” es el esfuerzo de compresión vertical debido a la imposibilidad de deformación en esta dirección. d) La deformación según el eje vertical será:  z  

 E



2p  0    2  p E

e) Así, razonado a través de los círculos de Mohr:  max 

124

p  2

  max  0 ,5     p


PROBLEMA V-8 Un bloque elástico de Módulo de Young “E” y Módulo de Poisson “μ”, está apoyado sobre una superficie horizontal inamovible y, lateralmente, está ajustado por unas barras metálicas de Módulo de Elasticidad doble del anterior (2E). Las caras anterior y posterior de este bloque están totalmente libres y las dimensiones del bloque son las de un cubo de arista “2a”. Las barras tienen longitud “a” y sección recta

S

a2 3

Cuando se le somete a una compresión vertical conocida “p”, se desea saber el esfuerzo cortante máximo de dicho bloque y el esfuerzo de compresión de las barras metálicas. a

2a p

a

Z

E;μ

Y 2a.2a.2a

X SOLUCIÓN: Realizando dos cortes verticales que seccionen el bloque y la barra, resultará aislado en perfecto equilibrio el conjunto representado en la figura donde actúa el esfuerzo horizontal del hormigón  HY y el de la barra metálica  a , que deben (a través de las superficies sobre las que actúan) mantener el equilibrio del conjunto aislado:

 a  S   HY  4a 2 (ecuación isostática)

 HZ   p

 HY  F a   S

 HY  

 HZ   p

F 4a 2

a 12

De otra parte, el estado de esfuerzos en el hormigón será:   HX  0  a  HY  12    HZ   p 125


Siendo por tanto posible expresar las deformaciones longitudinales (según X) en función de la incógnita hiperestática única  a :  p  a    2a  HY   HY  2 a   E   12 E  a      a  a a a  2E

y como la longitud horizontal total de las dos barras más el bloque no puede variar:

 HY  2 a  0 

a 6E

 2

p a 12 1   0  a   p   HY   p E E 7 7

Así hemos determinado la compresión en las barras, mientras que el estado de esfuerzos en el hormigón será:   HX  0  1  HY    . p 7    p HZ 

lo que permite calcular, a través de los círculos de Mohr, el esfuerzo cortante máximo en el hormigón:

126

 max H  

p 2


PROBLEMA V-9 El pilar de hormigón de sección recta cuadrada axa que se muestra en la figura, se encuentra encajonado entre dos paredes fijas e indeformables que contactan con las caras anterior y posterior del pilar (X), y además está encajado lateralmente entre dos placas (también rígidas e indeformables, aunque no fijas) que están unidas por ocho barras de acero elástico (Y) cuyo Módulo de Young es diez veces superior que el del hormigón E a  10 E H

“p”

Z

4a

Y X “p”

a

a

También se sabe que la sección de cada barra de acero es de 0,025a2. Tomando un valor hipotético del Coeficiente de Poisson   0 ,25 , determinar el esfuerzo cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p” (Z). Determínese también el esfuerzo de tracción en las barras de acero.

127


PROBLEMA V-10 El pilar de hormigón de sección recta cuadrada axa que se muestra en la figura, se encuentra libre en sus caras anterior y posterior del pilar (X). Por otra parte, está encajado lateralmente entre dos placas rígidas e indeformables (no fijas) que están unidas por ocho barras de acero elástico (Y) cuyo Módulo de Young es diez veces superior que el del hormigón E a  10 E H

“p”

. F

Z

F F

F

3a F

F

F

Y X

F “p”

a

a

También se sabe que la sección de cada barra de acero es de 0,025a2. Tomando un valor hipotético del Coeficiente de Poisson   0 ,25 , determinar el esfuerzo cortante máximo del hormigón cuando este está sometido a la compresión “p” (Z) y, a su vez, de las placas laterales están tirando cuatro fuerzas “ F  pa 2 ”. Determínese también el esfuerzo de tracción en las barras de acero.

128


PROBLEMA V-11 Un bloque prismático de hormigón como el que se muestra en la figura, se encuentra encajonado por dos paredes fijas e indeformables entre las caras verticales laterales (Y), mientras que sufre una tracción “2p” en la dirección perpendicular al dibujo (X). Siendo el coeficiente de Poisson “μ”, y estando sometido a la compresión vertical “p” (Z), determinar: 1. El esfuerzo cortante máximo absoluto del hormigón. 2. El máximo esfuerzo cortante y los máximos normales en tracción y compresión sobre los planos cuyas normales forman 30º con el eje Y citado. “p”

Z

Y

“2p”

X “p”

129


PROBLEMA V-12 Llamemos X ,Y y Z a los ejes correspondientes a las aristas que constituyen el dibujo de la figura. Ésta representa un hueco indeformable de superficie horizontal 2a.a (plano X-Y). En su interior se vierten dos materiales elásticos (de módulos de elasticidad y de Poisson deferentes: E1, E2, μ1 y μ2), de manera que uno ocupa el doble que el otro en la forma que indica la figura. En estas condiciones y con la ayuda de un émbolo que transmite uniformemente a ambos materiales la presión p (aunque cada uno asuma parte de esa presión), y obligue a los dos a contraerse en igual medida, plantear el proceso que se debe seguir para determinar los esfuerzos cortantes máximos en cada material.

p Z

E1 ; μ1

E2 ; μ2

Y X 2a

a

SOLUCIÓN:

Habrá que tratar por separado los dos bloques elásticos para finalmente, a través de las relaciones isostáticas e hiperestáticas, determinar los estados de esfuerzos en cada cual y calcular, a través de los círculos de Mohr de cada uno, los esfuerzos cortantes máximos solicitados.

Cuerpo 1

Cuerpo 2

 X1   q1 ;

 X1  0 ;

 X2   q 2 ;

 X2  0 ;

 Y1   r1 ;

 Y1   1 ;

 Y2   r2 ;

 Y2   2 ;

 Z1   p1 ;

 Z1   Z ;

 Z2   p 2 ;

 Z2   Z ;

En el cuadro anterior, solo los valores nulos son conocidos, y todos los alargamientos unitarios ε se expresarán en función de de los esfuerzos ζ, por lo que nos encontramos con un total de seis incógnitas a desvelar.

130


 1  X1 1 1  1 Y  1 Z  X  E1 E1 E1  1 1  1 Y X  Z1        Y 1 1 E1 E1 E1  1 1  1 Z  1  1 Y  1 X  Z  E1 E1 E1 

 2  X2 2 2  2 Y  2 Z  X  E2 E2 E2  2 2  2 Y X  Z2        Y 2 2 E2 E2 E2  2 2  2 Z  2  2 Y  2 X  Z  E2 E2 E2 

Si comenzamos por ecuaciones isostáticas de equilibrio, según el eje Z deberá verificarse que:

p  3a 2  p1  2a 2  p 2  a 2 ;(1) según el eje Y deberá ser: r1  r2 ;(2). En cuanto a las ecuaciones hiperestáticas, tenemos en primer lugar las que corresponden a las deformaciones longitudinales unitarias en ambos cuerpos: según el eje X,  X1  0 ; (3) y  X2  0 ; (4). Según el eje Z,  Z1   Z2 ; (5). Y según el eje Y, el alargamiento total de ambos bloques deberá ser nulo:  Y1  2a   Y2  a  0 ;(6).

Con ello hemos planteado un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, cuya resolución nos permitirá conocer los esfuerzos principales en ambos cuerpos en función de los datos p, a, E1, E2, μ1 y μ2. Usando los Círculos de Mohr tendremos los máximos η como la media entre el mayor y el menor valor propio de cada bloque.

131


PROBLEMA V-13 Un bloque paralelepipédico de un material de módulo elástico E2 y módulo de Poisson μ, tiene dimensiones exteriores de 4a x 6a en planta, y dispone de un hueco en su parte central de 2a x 4a, como se muestra en la figura, atravesándole de arriba a abajo. Sus caras verticales exteriores están limitadas por paredes rígidas e indeformables. En el hueco central se introduce a modo de cuña otro material de módulo de elasticidad E1 y el mismo módulo de deformación transversal μ. Las dimensiones de esta cuña exceden originalmente de las del hueco abierto en la cantidad 2Δ,en cada uno de sus lados, con lo que al ser introducido en él, se verá fuertemente comprimido. Se desea determinarlas compresiones mutuas entre los dos materiales (qx y qy) y el esfuerzo cortante máximo correspondiente al bloque principal (η2), al igual que el esfuerzo máximo cortante del bloque central (η1)

a

E1 ; μ

2a

E2 ; μ

a a Perspectiva tridimensional

4a Planta

SOLUCIÓN:

Al introducir el bloque 1 en el alojamiento del 2 (de menores dimensiones) se producirán unas tensiones entre las paredes de ambos en forma de presión mutua de valor desconocido. En principio, esta presión sobre las caras horizontal y vertical de la figura, no tendrán por qué ser iguales, así que designaremos a ambas incógnitas hiperestáticas por qx y qy. Así que el aislamiento de una parte de

132

a


ambos bloques como el designado por la línea de puntos indicada en la figura, nos mostrarán las indicadas presiones, aclarándonos la situación de los esfuerzos que se manifiestan en los dos bloques:

qy a E2 ; μ (A)

E1 ; μ

2a

qx

(B)

E1 ; μ

qx

E2 ; μ

a a

4a

qy

a

 x   q x ;  Es decir, el bloque 1 estará sometido a los esfuerzos normales:  y   q y ;   z  0 ; Mientras que el bloque 2 parece tener diferente comportamiento para la zona que denominamos (A) y la que denominamos (B):

  ( A )  

 xA  0 ;  yA   q y ;  zA  0 ;

  ( B )  

 xB   q x ;  yB  0 ;  zB  0 ;

Así pues que tendremos dos incógnitas hiperestáticas qx y qy para cuya resolución se precisará plantear otras tantas ecuaciones que pongan de manifiesto las deformaciones correspondientes a las direcciones x e y. En ambos casos la longitud total será inalterable por ser las paredes rígidas e indeformables (6a y 4a); lo que quiere decir que el exceso 2Δ que presentan las aristas del bloque 1 respecto a las dimensiones del hueco del bloque 2, deberán ser absorbidas entre ambos por sus propias deformaciones.

Calculemos las deformaciones correspondientes: BLOQUE 1:

 1  qx  qy  qx   qy     x1   x1  4 a  .4 a   x  E1 E1 E1    q  q   q  1  qx  y y x    y1   1y  4 a  .4 a   y  E1 E1 E1    q    q y x  z1      ( no afecta )   E1 E1   133


BLOQUE 2 (zona A):

 A  qy    xA   xA  4 a  ( no afecta )  x    E2    q q  A  y y   yA   yA  ( a  a )    2a  y  E2 E2    q   y  zA     ( no afecta )   E1   BLOQUE 2 (zona B):

 B  qx  q   xB   xB  ( a  a )   x  2 a   x  E2 E2    q  B  x B B   y   y  2 a  ( no afecta )  y    E2    qx   B  z    ( no afecta )   E2   Con esta información calculada, podemos decir que la suma de las deformaciones según X y según Y (en valores absolutos, ya que ambos serán negativos) deberán ser iguales a 2Δ:

    1 x 1 y

B x A y

 2     2  

qx   qy

 qx .2a  2   E1 E2   qy   qx qy .4 a   2a  2    E1 E2 .4 a 

Sistema en qx y qy del que se calcularán

ambas incógnitas hiperestáticas para luego, a través de los Círculos de Mohr determinar los máximos esfuerzos cortantes en cada caso.

134


PROBLEMA V-14 Una columna prismática cuya sección recta es un pentágono regular de lado “a”, se encuentra comprimida por una carga axial que repartida por la sección recta da un esfuerzo de compresión de “p” Kg/cm2. El material con que está construida la columna tiene un Módulo de Elasticidad “E” y de Poisson “μ”, ambos conocidos. La columna está abrazada por un zuncho de un material [m] cuyo Módulo de Elasticidad es infinito E m   . Determinar el esfuerzo cortante máximo que se manifiesta en la columna y la deformación longitudinal unitaria de esta según su propio eje. [A efectos finales numéricos, tómese μ=0,32] “p”

Z

Y

X

a

“p”

SOLUCIÓN: a) El eje Z, vertical, será dirección principal del tensor de esfuerzos porque sobre el plano horizontal que representa (sección recta de la columna) tan solo se ejerce un esfuerzo de compresión (ζ=-p; η = 0). Así que las otras dos direcciones principales estarán en el plano horizontal. Además, cualquier plano vertical que pase por el eje de la columna y también sea perpendicular a una de sus caras laterales, será plano de simetría. Por lo que habrá cinco en las mismas condiciones y, por tanto, el estado de esfuerzos en ellos será idéntico. Esto conlleva una situación de simetría axial con el eje Z, o lo que es lo mismo, que todos los ejes

135


horizontales serán direcciones principales con un esfuerzo único normal ζ común y sin esfuerzo cortante.

b) Teniendo en cuenta que el Módulo de Elasticidad del material del zuncho es infinito, resultará que este material no tiene deformación alguna:

m 

m Em



m 

0

por lo que la columna no puede deformarse según ninguna dirección horizontal.

c) El estado de esfuerzos y deformaciones a que dar lugar la situación anterior, será la siguiente:  x  q  ?  x  0  y  q  ?  y 0  z   p dado    z  ? d) Resolviendo la ecuación  x  0 podemos despejar q en función de p y los datos del problema:

x  

q q p   0  q p  0 ,47 p E E 1 

z  

p q 1    2 2 p p  2    0 ,85 E E 1  E E

e) Siendo, entonces, los esfuerzos principales – p y – q = -0,47p, por los círculos de Mohr tenemos el esfuerzo cortante máximo, a 45º con el eje Z y de valor:

 max 

136

p  q p  0 ,47 p   0 ,265 p 2 2


PROBLEMA V-14 La figura muestra un simple dado de hormigón, de forma cúbica, armado mediante cuatro barras corrugadas de acero que lo atraviesan en la dirección Z, de tal forma que existe una adherencia total entre el acero y el hormigón, que imposibilita el desplazamiento de ninguna partícula de la masa de hormigón sobre la superficie perimetral de las barras de acero. La parte superior e inferior del cubo están protegidas por dos placas indeformables y total mente adheridas al acero y al hierro. Sobre ellas actúan cuatro fuerzas de tracción de valor P, que producirán los efectos elásticos consecuentes en el conjunto. El cubo de hormigón no se encuentra sometido sobre sus paredes laterales exteriores a ninguna carga, presión ni limitación alguna de contorno. Supuesta conocida la sección SA de cada barra, determinar la arista “a” del cubo de hormigón para que los esfuerzos cortantes que ha de soportar no superen en ningún caso el de un valor dado

. P

P

P P

Datos conocidos:  P  EA  EH

a

  SA

a

Incógnita:

 a

P P

P P

a SOLUCIÓN: a) La tracción general a que se ve sometido el conjunto con las cuatro fuerzas P, deberá ser repartida adecuadamente entre las barras de acero y el bloque de hormigón. Evidentemente, debido a la adherencia entre ambos materiales, el alargamiento o deformación que sufra el uno será igual al del otro.

137


b) Una sección transversal a las barras de armadura pondrá de manifiesto el equilibrio entre las fuerzas que absorberá el acero, la que absorberá el hormigón y la acción externa del total de 4P. El hormigón y el acero se encontrarán en tracción con esfuerzos normales, respectivamente, de ζz y ζA que actuarán sobre las áreas correspondientes a2 y SA, P

P

por lo que las fuerzas resultantes serán:

; cuya

suma deberá ser igual a 4P. Así:

Esta consideración general debe ser compatible con la igualdad entre los alargamientos unitarios de ambos ζz ζa

ζa

materiales en el sentido del eje Z definido en el enunciado. Y puesto que no existen sobre el hormigón esfuerzos

transversales a este eje, su deformación longitudinal unitaria será: su parte, las barras de acero:

; lo que

; y, por

permitirá escribir:

;

siendo, entonces

c)

Por lo tanto, el esfuerzo principal de tracción en el hormigón será

Siendo nulos los otros dos valores propios del tensor de esfuerzos. Por lo que el esfuerzo cortante máximo habrá de ser la mitad de aquel, como quedaría patente mediante el uso de los círculos de Mohr.

d) Así que si se desea que este esfuerzo cortante sea el valor dado que la arista a tenga un valor de

138

, será preciso


PROBLEMA V-15 Una columna de material de Módulo de Elasticidad “E” y Módulo de Poisson “μ”, tiene sección variable [según tres tramos iguales en longitud =“a”], cuyas secciones rectas son cuadradas y tienen por áreas “S”, “2S” y “3S” [tal como se indica en la figura], se encuentra encastrada entre el techo y el suelo, que son inamovibles. En su parte central (2) se ejerce una compresión lateral sobre dos de sus caras opuestas, de valor “p” (eje Y de la figura), mientras que según la cara frontal y trasera está libre (eje X, perpendicular al papel). Se debe calcular lo siguiente: 1. Las fuerzas de reacción que se ejercerán sobre el techo y el suelo. 2. Esfuerzo normal máximo en el tramo (1). 3. Esfuerzo normal máximo en el tramo (3). 4. Esfuerzo cortante máximo en el tramo (2). 5. Desplazamiento de las secciones de separación denominadas como C y D. A (1 )

a

S

C 2S a

p

p Z

(2 ) D a

(3 )

3S

Y X

B

139


SOLUCIÓN: a) La presión transversal al eje de la columna en la dirección Y producirá expansiones en los sentidos perpendiculares X y Z. Y así como en el sentido X no existe ninguna ligadura que impida este desplazamiento, en el sentido Z se verá minorada la extensión vertical por los encastres en A y B, en los que aparecerán sendas reacciones R para que las dilataciones y contracciones a lo largo del eje Z, en los tres tramos, se compensen sin modificar la distancia AB = 3a. Así que el problema habrá de plantearse con esa única incógnita hiperestática R.

b) La igualdad de las reacciones en A y en B es evidente, en razón al equilibrio de las fuerzas verticales, como también es obvio su sentido (compresión) para evitar la dilatación vertical. De esta forma, los tramos (1) y (3) estarán sometidos a compresión

con

la

correspondiente

contracción,

mientras

que

el

(2),

necesariamente, tendrá que ver alargada su longitud en la misma cantidad que corresponda a la suma de las contracciones de (1) y (3):

R

A (1) a-δ1

S

C 2S a+δ1+δ3

p

p Z

(2) D a-δ3

(3)

Y X

B

R

140

3S


c) Por tanto, habrá que determinar los esfuerzos normales según la dirección Z en los tres tramos en función de la incógnita hiperestática R. Para ello, analizando las situaciones en que se encuentran las secciones horizontales en cada uno: R

ζ3

A

R

A (1) S

2   R 1   S

C (2)

p

ζ1

R 2S

p

3S

3  

(3)

R 3S

B

2S

ζ2

R

d) Y así como las deformaciones en los tramos (1) y (3) solo obedecen a la Ley de Hooke, dado que están sometidos a carga axial únicamente, no se podrá decir lo mismo del tramo (2) en que existen cargas transversales que influyen en las deformaciones en los otros sentidos, por lo cual analizaremos en particular este tramo intermedio, calculando el alargamiento δ2 :

X 0 Y   p Z 2  

 X  ( no afectará )     a    R   p   a ; 2 Z E  2 SE  Y  ( no afectará )    pS Ra 2    R   R  p Z

2S

2 SE

2 SE

E

SE

e) En cuanto a los tramos (1) y (3), conforme a la Ley de Hooke, en el sentido del eje Z:

1

R  ;  1  1  a   R a  E SE  SE        3 R  R a   4 Ra   1 3 3 3 SE 3 SE R     a   R a  3   ; 3 3  3 SE  E 3 SE 

1 



f) La condición hiperestática de que la distancia AB quede invariable nos permite expresarla así:

 1   2   3  0;   R

4R R     pS  0 3 2

6   pS 11

141


g) El esfuerzo normal máximo en los tramos (1) y (3) son los ya mencionados ζ1 y ζ3 que, en función de p serán:

1  

6 p ; 11

y 3  

2 p ; 11

h) Como los esfuerzos principales (normales) en el tramo (2) son:

X 0 Y   p Z 

3 p 11

El esfuerzo cortante máximo (siguiendo los Círculos de Mohr) será:

 max 

p 2

ya que ζZ es bastante menor que p.

i)

Las secciones C y D se desplazarán de acuerdo a la Ley de Hooke, para los esfuerzos ζ1 y ζ3 ya calculados:

1  

142

p 6  a; 11 E

y 3  

p 2  a; 11 E


Capítulo Sexto

Elementos estructurales con carga transversal

143


144


PROBLEMA VI-1 Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga simplemente apoyada en sus extremos, sometida a una carga q uniformemente repartida y cuya luz es L. Tómense E e I como valores del módulo de elasticidad y momento de inercia de la viga. Calcular el ángulo que forma la tangente a la elástica en los apoyos . SOLUCIÓN: q A

B

La simetría que caracteriza al problema exige reacciones iguales en los dos apoyos, de forma que sumen la carga total que gravita sobre la

qL 2

qL 2

L

viga: qL. El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción en el apoyo A y linealmente disminuirá con la

qL/2

B

+

A

-

pendiente –q :

-qL/2

(d. f. c.)

V

qL  qx 2

con lo que la función del momento flector se deduce de : dM  V ;  dM  V  dx  M   Vdx  cte dx

B

A

cuya constante de integración deberá ser nula por cuanto en la posición x=0 (sección A), al ser una articulación, no existirá momento

(d. m. f.)

alguno. Así: M

q A

B θA (elástica)

qL q x  x2 2 2

siendo su valor máximo el que se manifiesta en el punto medio de la viga (x=L/2): M max 

qL2 8

Con la función del momento flector, puede exponerse la ecuación diferencial de la elástica:

145


q 2 qL x  x; 2 2 1 1 EI  y  qx 3  qLx 2  K 1 ; 6 4 L 1 ( para x  ; y  0  K 1  qL3 ); 2 24 1 1 1 EI  y  qx 3  qLx 2  qL3 ; 6 4 24 1 1 1 EI  y  qx 4  qLx 3  qL3 x  K 2 ; 24 12 24 ( para x  0 ; y  0  K 2  0 ); EI  y   M 

EI  y 

1 1 1 qx 4  qLx 3  qL3 x ; 24 12 24

5 qL4 L Así, la flecha máxima se producirá en el centro ( x  ) y valdrá: ymax  . 384 EI 2 qL3 Igualmente, el ángulo de la tangente en A será y’ en x  0 :  A  24 EI

PROBLEMA VI-2 Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga doblemente empotrada, sometida a una carga q uniformemente repartida y cuya luz es L. Tómese E e I como valores del módulo de elasticidad y momento de inercia de la viga. SOLUCIÓN: La simetría que caracteriza al problema exige reacciones iguales en los dos apoyos, de forma que sumen la carga total que gravita sobre la viga: qL (equilibrio isostático). De otra parte, las condiciones de contorno que supone la existencia de los empotramientos, exigen la aparición en ellos de momentos de reacción MA que obliguen a la elástica a salir con tangente horizontal en los extremos A y B de la viga. Estas reacciones son hiperestáticas, y solo podrán ser resueltas mediante el planteamiento analítico ó gráfico (Mohr) de la citada condición de contorno. El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción en el apoyo A y linealmente disminuirá con la pendiente –q : V

qL  qx 2

con lo que la función del momento flector se deduce de :

146


L q dM  V ;  dM  V  dx  M   Vdx  cte dx

B

A qL 2

cuya constante de integración deberá ser -MA

qL 2

MA

por cuanto en la posición x=0 (sección A), así debe ser. Así:

MA

M

qL/2

B

+

A

-qL/2

-

qL q x  x2  M A 2 2

correspondiendo su máximo, bien a los que aparecen en los empotramientos o al que se

(d. f. c.)

manifiesta en el punto medio de la viga (x=L/2). A

Evidentemente, nada puede ser conocido hasta

B

no determinar la incógnita hiperestática. Para ello, integrando la ecuación diferencial,

(d. m. f.)

lograremos deducir la función y’ que al anularse

q

en x  0 y también en calcular MA.

B

A

x=L/2, permitirá

(elástica) q 2 qL x  x  MA; 2 2 1 1 EI  y  qx 3  qLx 2  M A x  K 1 ; 6 4 EI  y   M 

( para x  0 ; y  0

EI  y 

1 1 qx 3  qLx 2  M A x ; 6 4

EI  y 

1 1 qL2 2 qx 4  qLx 3  x  K2 ; 24 12 24

EI  y 

1 1 qL2 2 qx 4  qLx 3  x ; 24 12 24

( para x 

L ; y  0 2

L ) y valdrá: 2

Por otra parte, la función del momento flector será M 

que:

M max 

K 1  0 );

MA 

( para x  0 ; y  0

Así, la flecha máxima se producirá en el centro ( x 

el punto medio de la viga M C 







qL2 12 K 2  0 );

ymax 

1 qL4 384 EI

qL q qL2 resultando en x  x2  2 2 12

qL2 ; (más pequeño que los del empotramiento), por lo 24

qL2 12

147


También interesa conocer la posición de los puntos de inflexión, donde cambia de curvatura la elástica y que se producirá en las secciones de momento flector nulo: 6 x 2  6 xL  L2  0 ; o sea:

1 3 L xinf     2 6  

PROBLEMA VI-3 Determinar el momento máximo y la flecha máxima en una viga simplemente apoyada en sus extremos, sometida a una carga P situada a las distancias a y b de los extremos de la viga, cuya luz total es L=a+b. Tómense E e I como valores de su módulo de elasticidad y momento de inercia. Calcular el ángulo que forma la tangente a la elástica en el apoyo A y la sección en la que se produce la flecha máxima.

SOLUCIÓN: Las ecuaciones de equilibrio isostático nos definen por un lado: RA  RB  P ; y por otro, b   RA  L P tomando momentos respecto a B: RA  L  P  b de donde:  a  RB  P  L

El desarrollo correspondiente del diagrama de fuerzas cortantes se iniciará con la reacción del apoyo A cuyo valor permanece constante hasta dar el salto brusco de discontinuidad que supone la carga P. Tras este salto pasa al valor de RB con el que llega hasta el final del diagrama. Así se presentan dos tramos AC y CB de funciones diferentes de la fuerza cortante V, en cuya sección común C deberán coincidir tanto la tangente a la elástica como la flecha en sí:

Tramo AC: V1 

a b P ; tramo CB: V2  P ; L L

De esta forma el diagrama de momentos flectores tendrá un primer tramo de variación lineal positiva y otro segundo de variación también lineal negativa: b ab  M max  P  M 1  V1 x  L Px ; L  a  M 2  M max  V2  x  a   P L  x   L

148


Ello repercutirá en dos ecuaciones matemáticas diferentes de la elástica: una para cada tramo, con plena coincidencia de flecha y tangente en la sección común C. P

a

b

 b  EI  y    b Px 2  K Px 1 1   2L L   a  1 2 a EI  y2   P  L  x  EI  y2   P  Lx  x   K 2   L  2  L  EI  y1  

A

B C

RB

RA

Las constantes de integración K1 y K2 deberán

L

cumplir dichas condiciones para x  a : b P L A

+

P

B a P L

-

C

y1C  y2 C  

(d. f. c.)

 K 2  K1 

C

A

b a  1  Pa 2  K1   P La  a 2   K 2 2L L  2 

B

Pa 2 2

En una segunda integración, aparecerán nuevas (d. m. f.)

constantes C1 y C2. La primera será nula por ser y1  0

P

en el apoyo A (perteneciente a este entorno),

es decir en x=0; y para la segunda habrá de tenerse A

B

C θA

en cuenta que también en B la flecha es nula (x=L):

(elástica)

 b  EI  y1   b Px 3  K 1 x Px 3  K 1 x  C 1   6 L   6L   a L 2 1 3 a  L 2 1 3   Pa 2  EI  y2   P  x  x   K 2 x  C 2  EI  y2   P  x  x   K 1  x  C2  L 2 6 L 2 6 2       EI  y1  

Pa 3 Pa 2  Pa 2   x  C 2 ; y para x  L : x  x   K 1  6L 2 2   PaL2 PaL2  Pa 2  Pa 2 L PaL2 L  C2  K1 L  EI  y 2     K 1    C 2  0; 6 2 2  2 3  PaL 2 L  3a  C2   K1 L 6 EI  y 2 

149


 b  3   EI  y1   6 L Px  K 1 x   es decir:  2   Pa 3 Pa 2  Pa  PaL 2 L  3a   EI  y2  x  x  K1  x  K1L   6L 2 2  6   

ambas expresiones deberán coincidir cuando x  a , en la sección C de aplicación de la carga: b  EI  y1x  a   Pa 3  K 1a  6L   Pa 4 Pa 3  Pa 3  PaL 2 L  3a  EI  y2 x  a    K 1a    K1L   6L 2 2  6  

simplificando:    2 L3  3aL2  a 3 EI  y2 x  a  Pa  K 1b   6L

b EI  y1x  a   Pa 3  K 1a 6L

y al igualar los segundos miembros tendremos el valor de: K 1 

aba  2 b  P 6L

ello permite ya la obtención de cualquiera de los valores requeridos: 1. Flecha en C:

a2b2 yx  a  P 3 EIL

2. Tangente en C: yx  a 

aba  b  P 3 EIL

3. Tangente en A: yx  0 

aba  2 b  P 6 EIL

4. Tangente en B: yx  L 

ab2a  b  P 6 EIL

5. Situación de la flecha máxima: La flecha máxima aparecerá en la sección correspondiente a la tangente horizontal a la elástica. Si (como sucede en este ejemplo) a
6. Flecha máxima:

150

ymax 

L2  a 2 3

L2  a 2 3 Pa 9 3 EIL


Así, si fuera el caso de tener la carga aplicada en el punto medio de la viga a=b=L/2, los PL3 ; 16 EI

valores anteriores serían:

yx  0 

y el momento máximo:

M max 

ymax 

PL3 ; 48 EI

PL 4

PROBLEMA VI-4

La viga de la figura está de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el tramo central, y 2I en los volados. Calcular: 3.

Reacciones en los apoyos B

4.

Momentos flectores a derecha e izquierda de los apoyos

5.

Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga

6.

Angulo que gira la viga en los apoyos B

7.

Forma y curvaturas de la elástica

8.

Posición de las secciones de inflexión

9.

Posición de la flecha máxima

10.

Cálculo de dicha flecha máxima

11.

Flecha de los extremos volados A a

2a

2a

Pa

2Pa

2P

B

A 2I

I

a Pa B

2Pa A 2I

151


PROBLEMA VI-5 La viga de la figura está de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I. Calcular: 1.

El momento MD que habría de aplicarse en el extremo de la parte volada para que, en esa sección D, la tangente a la elástica fuera horizontal.

2.

Reacciones en el apoyo C y el empotramiento A.

3.

Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga.

4.

Angulo que gira la viga en el apoyo C.

5.

Forma y curvaturas de la elástica.

6.

Posición de las secciones de inflexión.

7.

Posición de la flecha máxima.

8.

Cálculo de dicha flecha máxima. 2a

Pa

A

a

a D

C

B

MD

PROBLEMA VI-6 La viga de la figura tiene módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I. Determinar: 1.

Reacciones en los apoyos

2.

Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en la viga

3.

Valores máximos de los momentos flectores y secciones que los soportan

4.

Angulo que gira la viga en los apoyos A y B. Calcularlos.

5.

Forma y curvaturas de la elástica. Dar la estimación y explicar porqué.

6.

¿Existe algún punto entre A y C con flecha nula? Explicar porqué.

7.

Posición de las tangentes horizontales a la elástica. Calcularlas.

8.

Posición de las secciones de inflexión. Calcularlas. a

a

a

8/9.Pa

8/9.Pa A

C

A B

152

a

B


PROBLEMA VI-7 Aplicando los Teoremas de Mohr, determinar la flecha en el extremo volado D de la viga de la figura. Momento de Inercia I y módulo de elasticidad E. P A

C

D

B 2a

2a

a

PROBLEMA VI-8 Aplicando los Teoremas de Mohr, determinar la flecha en el centro de la viga de la figura. (Datos: Momento de Inercia I; módulo de elasticidad E; carga P; y luz de la viga 5a). P A

C B 2a

3a

PROBLEMA VI-9 La viga de la figura que tiene sección uniforme de momento de inercia I y cuyo módulo de elasticidad es E, está cargada uniformemente con una carga repartida “q” a lo largo de toda ella (incluida la parte volada). En su extremo C se encuentra aplicado un momento 3 exterior de fuerzas de magnitud “ qL2 ” en el sentido de giro de las agujas del reloj. El 2

otro extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo articulado simple. Calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde los haya y las flechas máximas en ambos tramos de la viga.

q A

B 2L

C

3 2 qL 2

L

153


SOLUCIÓN:

a) Las reacciones en las secciones de contorno de la viga, vienen dadas por las ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener un grado de hiperestaticidad, quedará una incógnita (tomaremos la reacción del empotramiento A) a determinar por la ecuación hiperestática.

q

R 2RL A

B

3 2 qL 2

C

2L

L R+3qL

b) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la incógnita hiperestática R) serán: qL

-R

-R-2qL

discontinuidad de la tangente del diagrama mm.ff. 

Sección de inflexión de la elástica

3 2 qL 2

+2RL

c) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan: TRAMO AB (0
154

1 M 1   qx 2  Rx  2 RL 2


TRAMO BC (2L
V2   qx  3qL 

d) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores podrán estar, o bien en los extremos del diagrama, o bien será el valor de la tangente horizontal, que tendrá lugar, en todo caso, en su primer tramo, ya que el punto de inflexión debe manifestarse en la sección B. e) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:   EI     EI

d 2 y1 2

dx d 2 y2 dx

2



1 2 qx  Rx  2 RL 2



EI

dy 1 1 3 1  qx  Rx 2  2 RLx  K 1 dx 6 2



1 2 qx  3qLx  6 qL2 2



EI

dy 2 1 3 3  qx  qLx 2  6 qL2 x  K 2 dx 6 2

La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser horizontal:

K1  0 La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el primero y segundo tramo (x=2L): 2 RL2  4 RL2  6 qL3  12qL3  K 2

 K 2  6 qL3  2 RL2

La integración final de las ecuaciones diferenciales dan: 1 1  4 3 2  EIy1  24 qx  6 Rx  RLx  C 1   EIy  1 qx 4  1 qLx 3  3qL2 x 2  6 qL3  2 RL2 x  C 2 2  24 2





Siendo igualmente nula la flecha en A (tramo 1): f)

C1  0

Y resultarán también iguales a cero las flechas en la sección B (x=2L) para los dos tramos: 2 4 4 3 qL  qL  RL  4 RL3  0  R   3 3 4 2 13 4  qL4  4 qL4  12qL4  12qL4  qL4  C 2  0  C 2  qL 3 3





f) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:

155


TRAMO 1 V1   qx  EIy1 

qL  4

1 qL qL2 M 1   qx 2  x 2 4 2

1 1 1 qx 4  qLx 3  qL2 x 2 24 24 4



EI

dy 1 1 3 1 1  qx  qLx 2  qL2 x dx 6 8 2

TRAMO 2 1 M 2   qx 2  3qLx  6 qL2 2 1 1 13 13 4 EIy2  qx 4  qLx 3  3qL2 x 2  qL3 x  qL  24 2 2 3 dy 1 3 13  EI 2  qx 3  qLx 2  6 qL2 x  qL3 dx 6 2 2

V2   qx  3qL 

g) Esquemáticamente: 1 qL 4

Sección de inflexión de la elástica

q

0,78L

1 2 qL 2

A

B

3 2 qL 2

C

2L

L 13 qL 4  qL

+ 

1 qL 4

-



9 qL 4

M max  2qL2



 156

1 2 qL 2

3 2 qL 2


Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los valores que le corresponden a x en la sección interesada. Corte con el eje de referencia del d. m. f. (momento flector nulo) 1 2 qL qL2 M 1  0  M 1   qx  x  0  2 x 2  Lx  2 L2  0  2 4 2 Situación del momento flector máximo

x  0 ,78 L

x  2 L  M max  2qL2

Situación de la flecha máxima en el TRAMO 1 dy 1 1 1 1  0  x 2  Lx  L2  0  4 x 2  3 Lx  12 L2  0  dx 6 8 2

qL4 x  1 ,4 L  y 1max  0 ,2 EI Y la flecha máxima en el volado:

x  3L 

y 2max  3 ,875

qL4 EI

PROBLEMA VI-10 La viga de la figura, cuyo módulo de elasticidad es E, tiene entre A y B sección uniforme de momento de inercia I, mientras que entre B y C su momento de inercia es 2I. Los momentos Pa están aplicados en las secciones D y C (extremo volado), tal como se indica en el dibujo. El extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo articulado simple. Mediante el uso de los Teoremas de Mohr, calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde los haya.

Pa I

2I

D

A

a

Pa

B

2a

C

a 157


SOLUCIÓN: a)

Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vienen dadas por las ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de hiperestaticidad, quedará una incógnita a determinar por la ecuación hiperestática (tomaremos la reacción R del apoyo B).

R I

3Ra

2I

D

2a b)

R

La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores: El equilibrio implícito a que se ve sometida la viga antes de ser condicionada por el empotramiento A y el apoyo B, permiten deducir su deformada en esta situación de total libertad (línea de puntos más fina) para hacerla pasar luego por los puntos A y B (línea de puntos más gruesa); resultando finalmente la reacción del momento de empotramiento en A que obligue a una tangente horizontal de la elástica (línea gruesa), como condición de contorno. Consecuentemente, se obtienen las direcciones de las fuerzas de reacción en A y B y la relación de equilibrio isostático entre esas reacciones R y el momento del empotramiento 3Ra.

c)

Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la incógnita hiperestática R) serán:

-

-R

+R -Pa -Pa

2Ra-Pa

2Ra +3Ra 158


d)

Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan: TRAMO AD (0
M 1   Rx  3 Ra 

M 1 D( xa )  2 Ra

TRAMO DB (a
M 2   Rx  3 Ra  Pa



M 2 B( x 3a )   Pa

TRAMO BC (3a
e)

M 3   Pa



M 3C ( x 4 a )   Pa

De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.

f)

Tal como se pide en el enunciado del problema, se exige su resolución mediante el uso de los Teoremas de Mohr.

g)

Así, habrá que expresar la ecuación hiperestática evidenciando que la distancia desde B a la tangente en A es nula. El uso del diagrama de momentos flectores permite su recomposición con el triángulo entre A y B y el rectángulo entre D y B, en la forma que se representa a continuación: 3a 2a -Pa -Pa 2Ra-Pa A +3Ra

B 2Ra

Por tanto, el momento estático de las áreas triangular y rectangular (con sus respectivos signos) respecto al eje que pasa por B, será:  Pa  2a  a 

1 3 Ra  3a  2a  0 2



R

2 P 9

159


h)

Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los valores que le corresponden a x en la sección interesada. 2 P 9

Pa

D

A

6 Pa 9

a

B

xfm

2 P 9

2a

-

2 P 9

C

Pa

a

2 P 9

Sección de inflexión

-Pa -Pa 5  Pa 9

4 Pa 9

6 Pa 9

SOLUCIÓN MÁS COMPLETA: a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vienen dadas por las ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de hiperestaticidad, quedará una incógnita a determinar por la ecuación hiperestática (tomaremos la reacción R del apoyo B).

Pa R I

3Ra D

A

a 160

2I B

2a

R

Pa C

a


b) La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores: El equilibrio implícito a que se ve sometida la viga antes de ser condicionada por el empotramiento A y el apoyo B, permiten deducir su deformada en esta situación de total libertad (línea de puntos más fina) para hacerla pasar luego por los puntos A y B (línea de puntos más gruesa); resultando finalmente la reacción del momento de empotramiento en A que obligue a una tangente horizontal de la elástica (línea gruesa), como condición de contorno. Consecuentemente, se obtienen las direcciones de las fuerzas de reacción en A y B y la relación de equilibrio isostático entre esas reacciones R y el momento del empotramiento 3Ra. c) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la incógnita hiperestática R) serán: +R

-

-R

-Pa -Pa

2Ra-Pa

2Ra +3Ra d) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan: TRAMO AD (0
M 1   Rx  3 Ra 

M 1 D( xa )  2 Ra

TRAMO DB (a
M 2   Rx  3 Ra  Pa



M 2 B( x 3a )   Pa

TRAMO BC (3a
M 3   Pa



M 3C ( x 4 a )   Pa

161


e) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.

f) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:  d 2 y1 dy 1  Rx  3 Ra  EI 1  Rx 2  3 Rax  C 1  EI 2 dx 2 dx  2  d y 2 dy 1  Rx  ( 3 R  P )a  EI 2  Rx 2  ( 3 R  P )ax  C 2  EI 2 dx 2 dx  2  d y3 dy dy 1 1  Pa  2 EI 3  Pax  C 3  EI 3  Pax  C 3 E 2I 2 dx dx 2 2  dx

Las constantes de integración que han sido introducidas, tendrán que verificar las condiciones de contorno que define el problema y, por tanto, las que implican la continuidad de la elástica al pasar de un tramo al siguiente. Así: 

La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser horizontal:

C1  0 

La tangente a la elástica en la sección D tendrá que ser única para el primero y segundo tramos (x=a): 1 1 Ra 2  3 Ra 2  Ra 2  ( 3 R  P )a 2  C 2 2 2



 C 2   Pa 2

La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el segundo y tercer tramos (x=3a): 9 1 1 Ra 2  ( 3 R  P )a 3a  Pa 2  Pa 3a  C 3 2 2 2

 C 3  ( P  9 R )a 2

Con lo que, sustituidas ya totalmente las constantes Ci , la primera integración de las ecuaciones diferenciales, resultan:  dy 1 1 2  EI dx  2 Rx  3 Rax   dy 2 1  Rx 2  ( 3 R  P )ax  Pa 2  EI dx 2   dy 3 1 1 2  EI dx  2 Pax  2 ( P  9 R )a 

162


La integración final de las ecuaciones diferenciales darán: 1 3  3 2 '  EIy1  6 Rx  2 Rax  C 1  1 1  3 2 2 '  EIy 2  Rx  3 R  P ax  Pa x  C 2 6 2  1 1  2 2 '  EIy 3  4 Pax  2 ( P  9 R )a x  C 3 

Deberá procederse en forma análoga para calcular las constantes de integración C’i y la reacción R: 

La flecha en A es nula (x=0) (tramo 1): C '1  0



Las flechas en la sección D (x=a) para los dos tramos uno y dos, deberán ser iguales: 1 3 1 1 Ra 3  Ra 3  Ra 3  3 R  P a 3  Pa 3  C '2 6 2 6 2



 C '2 

La flecha en la sección B (x=3a) para el tramo segundo será nula: 1 1 1 R 27 a 3  ( 3 R  P )9a 3  P 3a 3  Pa 3  0  6 2 2



1 3 Pa 2

R

2 P 9

La flecha en la sección B (x=3a) para el tramo tercero será también nula: 1 1 3 P 9a 3  ( P  2 P )3a 3  C '3  0  C '3   Pa 3 4 2 4

g) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo: TRAMO AD (0
EIy1 



2 6 M 1   Px  Pa 9 9

1 1 Px 3  Pax 2 27 3



EI



M 1 D( x a ) 

4 Pa 9

dy1 1 2 2  Px  Pax dx 9 3

TRAMO DB (a
163


2 2 3 5 V2   P  M 2   Px  Pa  M 2 D( x a )   Pa 9 9 9 9 dy 1 1 1 1 1 EIy 2  Px 3  Pax 2  Pa 2 x  Pa 3  EI 2  Px 2  Pax  Pa 2 27 6 2 dx 9 3

TRAMO BC (3a
1 1 3 Pax 2  Pa 2 x  Pa 3 4 2 4



EI

dy 3 1 1  Pax  Pa 2 dx 2 2

h) Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los valores que le corresponden a x en la sección interesada. 2 P 9

Pa

D

A

6 Pa 9

a

B

xfm

2 P 9

2a

-

2 P 9

C

Pa

a

2 P 9

Sección de inflexión

-Pa -Pa 5  Pa 9

6 Pa 9

164

4 Pa 9


Así, la sección de la viga que tiene tangente horizontal (además del empotramiento) será la que se encuentra en el segundo tramo con

dy 2  0 ; es decir, aquella que dx

verifica:

x 2  3ax  9a 2  0 

x fm 

 3  9  36 3 a  ( 5  1 )a  1 ,86  a 2 2

Siendo entonces la flecha que le corresponde, la que se deduce de sustituir este valor de xfm en y2. Por su parte, la flecha en el extremo volado será:

y 2 (max)

5 5  9 Pa 3 Pa 3   0 ,55 4 EI EI

Mientras que la flecha en el extremo volado será calculada sustituyendo x=4a en y3: y 3(max) 

i)

5 Pa 3 Pa 3  1 ,25 4 EI EI

Sin embargo, tal como se pide en el enunciado del problema, todo lo expuesto a partir del apartado f) no se corresponde con la respuesta pedida, ya que se exige su resolución mediante el uso de los Teoremas de Mohr.

j) Así, habrá que expresar la ecuación hiperestática evidenciando que la distancia desde B a la tangente en A es nula. El uso del diagrama de momentos flectores permite su recomposición con el triángulo y el rectángulo entre A y B, en la forma que se representa a continuación: 3a 2a -Pa -Pa 2Ra-Pa A +3Ra

B 2Ra

165


Por tanto, el momento estático de las áreas triangular y rectangular (con sus respectivos signos) respecto al eje que pasa por B, será:  Pa  2a  a 

1 3 Ra  3a  2a  0 2



R

2 P 9

Resolución evidentemente mucho más rápida y sencilla que la realizada anteriormente, llevándonos igualmente a las conclusiones sobre las reacciones, diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, como a la forma de la elástica, que ya fueron apuntadas antes, en el apartado h). Toda la exposición efectuada en esta resolución del problema entre los apartados f) a h) ha tenido como único objetivo resaltar la utilidad de los Teoremas de Mohr para determinados casos.

PROBLEMA VI-11 Una viga, apoyada en sus secciones A y B como se indica en la figura, está cargada con dos momentos exteriores de valor Pa en las secciones B y D y con sentidos de giro opuestos. A partir de su extremo izquierdo, continúa volada hasta la sección C. El momento de inercia de la sección recta de la viga entre A y B es I, mientras que la parte volada tiene otra sección de momento de inercia doble (2I). El material es el mismo para ambos tramos y su Módulo de Elasticidad es E . Se pide calcular: 1.

Reacciones en los apoyos.

2.

Diagrama de momentos flectores.

3.


4.

Angulo de la tangente a la elástica en B.

5.

Posición de la sección de flecha máxima y valor de esta.

6.

Valor de la flecha en C.

a

a

2a

Pa C

2I

A

D

I

Pa 166

B




SOLUCIÓN: La viga se encuentra en perfecto equilibrio, por lo que la vinculación de los apoyos es meramente representativa, sin que pueda aparecer reacción alguna.



El diagrama de fuerza cortante tendrá pues una representación plana de fuerza cortante nula.



Por su parte, el diagrama de momentos flectores será uniforme y constante entre D y B y de valor Pa, mientras que desde C hasta D habrá de ser nulo.



Tras el diagrama de momentos flectores, resulta fácil dibujar el esquema de la elástica, que presentará entre D y B un arco de flexión pura positiva y entre D y C un tramo recto sin curvatura.

a

a

2a

Pa 2I C

I

D

B

A

Pa (d.f.c.)

Pa

(d.m.f.)

(+)

Pa 2I C



D A

I B

Pa

Sin embargo, la determinación analítica de las características de esta elástica deberá contemplar la diferente función del momento flector en el tramo DB, de la que corresponde al tramo CAD. Y, para este último tramo, que en el cálculo analítico de la elástica, el volado CA se verá afectado por un momento de inercia doble que en la otra parte AD.



Con ello, es también de destacar que la elástica del volado se limitará a tener una continuidad del tramo recto AD, por lo que cualquier cálculo de flecha en él se limitará a multiplicar el ángulo de la tangente en A por la distancia a la que se pretende conocer esa flecha.

167




Así pues, el cálculo analítico se limitará a los tramos “1” (AD) y “2” (DB).

TRAMO AD (“1”): EI  y 1  0 ; EI  y 1  K ; EI  y 1  Kx  K  ;  ( x  0  y 1  0  K   0 ) 

EI  y 1  Kx ;

TRAMO DB (“2”):

EI  y 2   Pa ; EI  y 2   Pax  C ; 1 9 Pax 2  Cx  C  ;  ( x  3a  y 2  0  C   Pa 3  3Ca );  2 2 1 9 EI  y 2   Pax 2  Cx  Pa 3  3Ca ; 2 2 EI  y 2  

DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES K y C:  para x  a  y 1  y 2  K   Pa 2  C ;   1 9 3 3 3  para x  a  y 1  y 2  Ka   Pa  Ca  Pa  3Ca  4 Pa  2Ca ; 2 2  5 2  Pa 3  Ca  4 Pa 3  2Ca ;  3Ca  5 Pa 3 ;  C  Pa 2 ;  K  Pa 2 ; 3 3 ECUACIONES DE LA ELÁSTICA EN AMBOS TRAMOS: 2 5 EI  y 1  Pa 2 ; EI  y 2   Pax  Pa 2 ; 3 3 Tramo AD: Tramo DB: 2 1 5 1 EI  y 1  Pa 2 x ; EI  y 2   Pax 2  Pa 2 x  Pa 3 ; 3 2 3 2 Angulo de la tangente a la elástica en B:

 B  y 2 x  3a  

4 Pa 2 3 EI

Posición de la sección de flecha máxima y valor de esta: y 2  0



x

5 a 3

y 2max 

8 Pa 3 9 EI

Valor de la flecha en C:

2 Pa 2  A  y 1  ;  3 EI

168

yC   A  a



2 Pa 3 yC  3 EI


Capítulo Séptimo

Sistemas estructurales compuestos. Pórticos

169


170


PROBLEMA VII-1

En el pórtico articulado de la figura actúa una presión de viento sobre los pilares en la forma indicada con una carga uniformemente repartida q. En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Calcular: 1.

Reacciones en las bases de los pilares.

2.

Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel.

3.

El momento flector máximo en el dintel y los pilares.

4.

Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel.

5.

Forma y curvaturas de la elástica (indicando las curvaturas en las inmediaciones de las articulaciones de la cimentación y en las crujías pilar-dintel).

6.


7.

Posición de la flecha máxima en el dintel.

8.

Cálculo de dicha flecha máxima.

9.

Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B)

6a B

2a

B

q

q

A

A

171


SOLUCIÓN:

6a B

B

q

q 2qa

2a

2qa

A

A

H=2qa

H=2qa Cálculo de reacciones verticales:

V

V

V . 6a = 2 . 2qa . a V = 2/3 . qa

Estudio del pilar: Cálculo del momento de la cabeza del pilar:

2/3 · qa Mp B

q

2a

2qa

A

Mp = 2qa · a = 2qa2

Cálculo de la elástica del pilar: MxP = + 2qax – ½ · qx2 EI·y`` = – MxP = ½ qx2 – 2qax EI·y` = 1/6 ·qx3 – qax2 + K1 EI·y = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax3 + K1x + K2 (x = 0; y = 0; K2 = 0) [K1 se calculará por la condición de ortogonalidad entre pilar y dintel en la crujía] EI·y = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax3 + K1x Flecha máxima del pilar en B (x = 2a): EI·yB = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa4 + 2aK1 Tangente a la elástica en B (x = 2a): EI·y`B = 4/3 ·qa3 – 4qa3 + K1 = – 8/3 · qa3 + K1; θP = [– 8/3 · qa3 + K1]/EI

Análisis de la crujía:

2/3 · qa

1. 2.

172

Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del dintel. Transmitirá la reacción vertical V de la cimentación al extremo del dintel


Estudio del dintel:

Mp= 2qa2

Mp= 2qa2 2/3 · qa

2/3 · qa

6a

Cálculo de la elástica del dintel: MxD = – 2/3 · qax + Mp = – 2/3 · qax + 2qa2 EI·y`` = – MxD = + 2/3 · qax – 2qa2 EI·y` = + 1/3 · qax2 – 2qa2x + C1 EI·y = + 1/9 · qax3 – qa2x2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); (x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + 2qa3) EI·y = + 1/9 · qax3 – qa2x2 + 2qa3x Tangente a la elástica en B (x = 0): EI·y`B = C1 = + 2qa3; θD = + 2 · qa3/EI

Ecuación hiperestática: θD = θP ; + 2qa3 = – 8/3 · qa3 + K1; K1 = + 14/3 · qa3

Ecuaciones de la elástica del pilar: EI·y`P = 1/6 ·qx3 – qax2 + 14/3 · qa3 EI·yP = 1/24 · qx4 – 1/3 · qax3 + 14/3 · qa3x

RESPUESTA A CUESTIONES PLANTEADAS: 1.

2.

Reacción horizontal:

H = 2qa

Reacción vertical:

V = 2/3 ·qa

Diagramas de momentos flectores: + 2qa

2

- 2qa2

173


3.

Momento Flector máximo del dintel y los pilares se produce en las crujías: Mmax = 2qa2

4.

El ángulo que gira la crujía: θB = + 2 · qa3/EI

5.

Elástica:

yB

yB

ymax xm

6.

Secciones de inflexión solo hay una en el centro del dintel

7.

Posición flecha máxima dintel: EI·y` = + 1/3 · qax2 – 2qa2x + C1 = + 1/3 · qax2 – 2qa2x + 2qa3 = 0 x2m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a  √9a2 – 6a2 = [3  √3] · a xm = [3 +/- √3] · a

8.

Valor de la flecha máxima: EI·y = + 1/9 · qax3 – qa2x2 + 2qa3x;

Xm = [3 – √3 ] · a; √3]

EI.ymax = [+ 1/9 · (9 – 6√3+ 3) – 2(3 – √3) + 2] . qa3 . a[3 –

EI.ymax = (12 –20√3/3) . qa3; ymax = (12 -20√3/3) · qa4/EI = + 0,45 · qa4/EI 9.

Desplazamiento de las crujías: EI·yB = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa4 + 2aK1 = 2/3 · qa4 – 8/3 · qa4 + 2a · 14/3 · qa3 = 22/3 · qa4 yB = + 22/3 · qa4/EI

174


PROBLEMA VII-2

En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en las crujías. En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.

Forma y curvaturas de la elástica (indicando las curvaturas en las inmediaciones de las articulaciones de la cimentación y en las crujías pilar-dintel).

6.


7.


8.


9.


6a

P

B

P

B

2a

A

A

175


SOLUCIÓN:

6a P

B

B

A

A

P

2a

H=P

H=P MA V

MA

Equilibrio isostático del pórtico: V . 6a + 2MA = 2 . 2Pa MA = 2 Pa – 3 Va

V

Estudio del pilar: θP

V

Cálculo del momento de la cabeza del pilar: Mp = 2Pa - MA = 3Va; (en función de la incógnita hiperestática V)

Mp

3Va B

P

2Pa

2a

+

A

P

P

MA V

dfc

-(2Pa - 3Va) dmf

Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (a través del 1er Teorema de Mohr) EI θP = – [– (2Pa–3Va).2a + ½ 2Pa.2a] = (2P – 6V).a2; θP = (2P – 6V) a2/EI Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar: (a través del 2º Teorema de Mohr) EI·yB = – [– (2Pa–3Va).2a.a + ½ 2Pa.2a.2a/3] = (4P – 4P/3 – 6V).a3 yB = (8P/3 – 6V).a3/EI

176


Estudio de la crujía: MD

P

1

V

2

MP P

3

Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del dintel: MD = MP = 3Va. Transmitirá la reacción vertical V de la cimentación al extremo del dintel. Transmitirá la carga P hacia la cabeza del pilar.

V

Estudio del dintel:

V

MD= 3Va V

θD

MD= 3Va

6a

(– )

V

- 3Va

+3Va Cálculo de la elástica del dintel: MxD = 3Va – Vx EI·y`` = – MxD = Vx – 3Va EI·y` = + 1/2 · Vx2 – 3Vax + C1 EI·y = + 1/6 · Vx3 – ½.3Vx2 + C1x + C2 3Va2) EI·y = + 1/6 · Vx3 – ½.3Vx2 + 3Va2x Tangente a la elástica en B (x = 0): EI·y`B = C1 = + 3Va2; θD = + 3Va2/EI

(x = 0; y = 0; C2 = 0); (x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = +

Ecuación hiperestática: θD = θP ; + 3Va2 = (2P – 6V) a2; V = 2P/9

177


RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS: 1.

2.


H=P

Reacción vertical:

V = 2P/9

Diagramas de momentos flectores: - 2Pa/3

+ 2Pa/3

- 4Pa/3

3.

- 4Pa/3

Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax = 2Pa/3 Momento Flector máximo de los pilares se produce en la base: MPmax = 4Pa/3

4.

El ángulo que gira la crujía:

5.

Elástica: yB

yB

ymax xm

178

θB = + 2Pa2/3EI


6.

Secciones de inflexión: una en el centro del dintel; la otra en los pilares a 1/3 de su altura, es decir a “2a/3” de la crujía.

7.

Posición flecha máxima dintel: EI·y` = + 1/9 · Px2 – 2/3 · Pax + 2/3 · Pa2 = 0 ; 1/3 · Px2 – 2Pax + 2Pa2 = 0 x2m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a  √9a2 – 6a2 = [3  √3] · a xm = [3 +/- √3] · a

8.

Valor de la flecha máxima: EI·y = + 1/27 · Px3 – 1/3 · Pax2 + 2/3 · Pa2x;

para: xm = [3 – √3 ] · a;

EI.ymax = [+ 1/27 · (9 – 6√3+ 3) – 1/3 · (3 – √3) + 2/3] . Pa2 · a[3 – √3] EI.ymax = (1/9 + √3/9) · [3 – √3] Pa3 = 2√3Pa3/9; ymax = 2√3/9 · Pa3/EI = + 0,38 · Pa3/EI

9.

Desplazamiento de las crujías: yB = (8P/3 – 6V) ·a3/EI = (8P/3 – 12P/9) ·a3/EI = 4/3 · P a3/EI; yB = + 4/3 · Pa3/EI

179


PROBLEMA VII-3 En el pórtico de la figura se producen sendos giros de las zapatas de cimentación de los pilares, iguales y simétricos, girando hacia el exterior del pórtico un ángulo conocido θ. En el pórtico no se considera la existencia de carga exterior alguna, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Se desea conocer el estado de tensión a que el pórtico se verá sometido ante los giros mencionados, determinando lo siguiente: 1.


2.

Reacciones en las bases de los pilares: fuerzas horizontales y verticales y momentos de empotramiento.

3.


4.


5.

Forma y curvaturas de la elástica (indicando claramente las curvaturas en las inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).

6.


7.

Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el signo o sentido de la misma.

8.

Cálculo de dicha flecha máxima. 3a

3a

B

B

3a

θ

θ

A θ

180

A θ


SOLUCIÓN:

3a

3a

B

3a

B

3aθ

NOTAS:  Por simetría, las crujía B no se desplazarán y la distancia de B a la tangente en A será el producto del ángulo θ por la altura del pilar = 3a·θ  Obsérvese que el ángulo θ tiene sentido negativo.

θ A

θ

θ

A

H

θ

H

MA

MA

V

V

Equilibrio isostático del pórtico: V = 0 (nos quedan dos incógnitas hiperestáticas: H y MA)

Estudio del Pilar: θP

3Ha

Mp

H

3Ha-MA

B

+

3a

θ

H

A H

MA

-MA (dfc)

(dmf)

Cálculo del momento de la cabeza del pilar (ecuación isostática): M P  3 Ha  M A (1) 181


Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: “θP” (a través del 1er Teorema de Mohr y en función de θ y las incógnitas MA y H) 1 3   (  P   )EI     M A  3a  3 Ha  3a  ( M A  Ha )3a 2 2  

P 

2 M A  3 Ha  3a   (2) 2 EI

Cálculo de la distancia desde B a la tangente en A en la cabeza del pilar: (a través del 2º Teorema de Mohr en función de los mismos términos)  3a 9 Ha 2  9a 2 3a  EI     3 M A a    a  ( M A  Ha ) 2 2 2  

  ( M A  Ha )

3a ; 2 EI

M A  Ha 



2 EI  3a

(3)

Análisis de la crujía: 1

Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del dintel: MD = MP = 3Ha-MA.

2

Transmitirá la reacción horizontal H de la cimentación al extremo del dintel. H MD

θD

MP

H

θP Estudio del dintel: Por simetría, la tangente en el punto medio será horizontal. MD = MP

B

B

θD

fD

6a V= 0

(d. f. c.)

MD = MP

(d. m. f.) 182

M D = MP

fD


Cálculo de la tangente a la elástica en el extremo del dintel: (a través del 1er Teorema de Mohr) ( 0   D )EI   M D  3a   M P  3a

D 

MP  3a (4) EI

Cálculo de la distancia desde B a la tangente en el centro del dintel: (a través del 2º Teorema de Mohr) 3a  9  f D  EI    M D 3a     M P  a 2 2 2 

(5)

Ecuación hiperestática: ecuaciones (2) y (4) D  P



MP 2 M A  3 Ha  3a   3a   EI 2 EI

 2 M P  2 M A  3 Ha 

2 EI  3a

y, sustituyendo MP y MA por (1) y (3): 2( 3 Ha  M A )  2 M A  3 Ha  9 Ha  4 ( Ha 

H

2 EI  3a

2 EI 2 EI  )  3a 3a

6 EI 15 a

2

 9 Ha  4 M A 

2 EI  3a

 15 Ha 2  6 EI

 (6) M A 

16 EI 2 EI   (7) M P    (8) 15 a 15 a

RESPUESTA A LAS CUESTIONES PLANTEADAS:

1.

2.

Momento máximo del dintel:

MD 

2 EI   (en todo el dintel) 15 a

Momento máximo de pilares:

MA 

16 EI   (en la base de pilares) 15 a

H

6 EI 15 a

2

 ; V  0 ; MA 

16 EI   15 a

183


3.

Diagramas de momentos flectores: 

2 EI  15 a

1 a 3

8 a 3

8

2 EI  15 a

2 5

4.

El ángulo que gira la crujía:  D  

5.

6. y 7. Elástica, sección de inflexión y flecha en el dintel: 3a

Flecha máxima: fD

1 a 3 Sección de inflexión

8 a 3

8.

184

3 Valor de la flecha máxima en el dintel: [ecuación (5)] f D  5 a


PROBLEMA VII-4 En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los extremos de los volados. En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Calcular: 1.


2.


3.

El momento flector máximo en el dintel, los pilares y el voladizo.

4.


5.


6.


7.


8.


9.

Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B).

10.

Flecha en el extremo del volado.

P

a

a

6a B

B

P 3a

A

A

185


SOLUCIÓN:

P

a

a

6a B

B

P Equilibrio isostático del pórtico (momentos): V . 6a + 2MA = 8Pa MA = 4Pa - 3Va

3a

A

A

MA

MA

V

V

Estudio del pilar: Cálculo del momento de la cabeza del pilar: θP

v

Mp = MA = 4Pa - 3Va; (en función de la incógnita hiperestática V)

Mp B

3a

A V

(dfc) MA

186

- (4Pa – 3Va) (dmf)

Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (a través del 1er Teorema de Mohr) EI θP = – [– (4Pa – 3Va).3a] = (12P – 9V).a2; θP = (12P – 9V) a2/EI Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar: (a través del 2º Teorema de Mohr) EI yB = – [– (4P–3Va).3a. ½3a] = (36P – 27V). ½a3 yB = (36P – 27V). a3/2EI


Análisis del volado y la crujía: P

1 a MD

Mp

2 3 4

VD

5 V

El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía El volado transmitirá a la crujía el momento Pa La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 4Pa - 3Va. El pilar transmitirá la reacción vertical V de la cimentación a la crujía. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las anteriores con una fuerza cortante VD y un momento flector MD, cuyo cálculo dá: M D  Pa  M P  3(V  P)  a

VD  V  P

Estudio del dintel:

MD

MD= 3(V-P) a VD

θD

VD

6a V-P

(– ) - 3(V-P) a

+3(V-P) a Cálculo de la elástica del dintel: MxD = 3(V-P)a – (V-P)x EI·y`` = – MxD = (V-P)x – 3(V-P)a EI·y` = + 1/2 ·(V-P)x2 – 3(V-P)ax + C1 EI·y = + 1/6 · (V-P)x3 – ½.3(V-P)x2 + C1x + C2 (x = 0; y = 0; C2 = 0); [x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + 3(V-P)a2] EI·y = + 1/6 · (V-P)x3 – ½.3(V-P)x2 + 3(V-P)a2x Tangente a la elástica en B (x = 0): EI·y`B = C1 = + 3(V-P)a2; θD = + 3(V-P)a2/EI 187


Ecuación hiperestática: θD = θP ; + 3(V-P)a2 = (12P – 9V) a2;

V = 5P/4


2.


H=0

Reacción vertical:

V = 5P/4

Diagramas de momentos flectores: -Pa - 3Pa/4

+ 3Pa/4 Pa

- Pa/4

- Pa/4

3.

Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax = 3Pa/4 Momento Flector máximo de los pilares se produce en toda su altura: MPmax = Pa/4 Momento Flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa

4.

188

El ángulo que gira la crujía: θB = + 3Pa2/4EI


5.

Elástica:

6.

Secciones de inflexión: una, en el centro del dintel.

7.

Posición flecha máxima dintel:

EI·y` = + 1/8 · Px2 – 3/4 · Pax + 3/4 · Pa2 = 0 ; Px2 – 6Pax + 6Pa2 = 0 x2m – 6ax m + 6a2 = 0; x = 3a  √9a2 – 6a2 = [3  √3] · a xm = [3 +/- √3] · a 8.

Valor de la flecha máxima del dintel:

EI·y = + 1/24 · Px3 – 3/8· Pax2 + 3/4 · Pa2x; Para xm = [3 – √3 ] · a; EI.ymax = [+ 1/24 · (9 – 6√3+ 3) – 3/8 · (3 – √3) + 3/4] . Pa2 · a[3 – √3] EI.ymax = (1/8 + √3/8) · [3 – √3] Pa3 = 2√3Pa3/8; ymax  9.

3 Pa 3 Pa 3  0 ,43 4 EI EI

Desplazamiento de las crujías: yB = (36P – 27V). a3/2EI = (36P – 27.5P/4) ·a3/EI = 9/8 · P a3/EI;

yB  

9 Pa 3 Pa 3  1,12 8 EI EI

10. Flecha en el extremo volado:

La función del momento flector es: MV  Px por lo que la ecuación diferencial de la elástica será: EI  y   Px ; 

EI  y  

1 2 Px  K 1 ;  2

EI  y  

1 3 Px  K 1 x  K 2 ; 6

189


bajo las condiciones de que para x  a deberá cumplirse que y  0 y que

y   B ; lo que permitirá calcular K1 y K2. EI   B  EI  y x  a

3 Pa 2 1 5   Pa 2  K 1 ;  K 1  Pa 2 ; 4 2 4 1 5 13 3   Pa 3  Pa 2  a  K 2  0 ;  K 2   Pa 6 4 12

yx  0  

13 Pa 3 Pa 3  1,08 12 EI EI

PROBLEMA VII-5 En el pórtico de la figura articulado en la base de sus pilares y cargado anti simétricamente con la carga uniformemente distribuida q, determinar lo siguiente: 1.

Momento flector máximo que deben soportar dintel y pilares.

2.


3.

Diagramas de momentos flectores en pilares y dintel.

4.


5.

Elástica del pórtico (indicando claramente las curvaturas en las inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel).

6.


7.

Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el sentido de la misma.

8.


9.

Desplazamiento de las crujías. 2a

2a

q B

B

q

2a

A

190

A


SOLUCIÓN:

2a

2a q

B

B

q

2a A

Equilibrio global del pórtico:

A

4 aV  2qa  2a  V  qa

V

V

Estudio del Pilar: 

La antisimetría no permite la existencia de reacciones horizontales en las cimentaciones por falta de cargas externas que las equilibren.



V

La articulación en las bases de los pilares descartan la existencia de momentos de reacción en la cimentación.

B

2a

A

V

(dfc )

(dmf)

191


Estudio de la Crujía: 1

Al ser nulo el momento flector en la cabeza del pilar (MP=0) también lo será

MD=0 MP

en el extremo del dintel (MD=0)

V=qa

2

La fuerza axial de compresión del pilar será transmitida al dintel como fuerza

V=qa

cortante: V=qa

Estudio del dintel: Por antisimetría, en su punto medio, la flecha será nula.

q C

B

θB

qa

qa

+

q

4a

qa

qa

+

C qa

B

B

-

B

(d. f. c.)

B

C (d. m. f.)

192

B


NOTA: El estado de carga y reacciones en la mitad BC del dintel responde exactamente a una viga simplemente apoyada con carga uniforme, por lo que todas sus características de comportamiento serán las mismas que las de dicho estado de carga en viga articulada.

Fuerza cortante: Fx  qa  qx

Momento flector:

M x  qax 

1 2  1  qx ;  x  a ; M x  M max  qa 2  2 2  

Ecuación diferencial de la elástica:

1 2 qx  qax ; 2 1 1 1   EIy  qx 3  qax 2  K 1 ;  x  a ; y  0  K 1  qa 3  6 2 3   1 1 1 1   EIy  qx 3  qax 2  qa 3 ;  x  0 ;  EI B  qa 3  6 2 3 3   EIy 

1 1 1 qx 4  qax 3  qa 3 x  K 2 ;  x  0 ; y  0  K 2  0  24 6 3 1 1 1 5   EIy  qx 4  qax 3  qa 3 x ;  x  a ; y  ymax  qa 4  24 6 3 24   EIy 


1.

2.

1  qa 2 (en x=a) 2

Momento máximo del dintel:

MD 

Momento máximo de pilares:

M A  0 (en todo el pilar)

Reacciones en las bases de los pilares: H  0 ; V  qa ; M A  0

193


3.

Diagramas de momentos flectores:

2a

2a q

B

B

q

2a A

A

qa 3  3 EI

4.

El ángulo que gira la crujía:  B

5.

6. 7. y 8. Elástica, sección de inflexión y flecha en el dintel:

2a

2a q

B   B

B

q

qa 3 3EI

2a A

A

 

Sección de inflexión: centro del dintel Sección de flecha máxima: a la distancia “a” de B



Valor de la flecha máxima:

f max 

9. Desplazamiento de las crujías: f B  2 a   B 

194

5 qa 4 24 EI

2 qa 4 3 EI


PROBLEMA VII-6

En el pórtico articulado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los extremos de los volados. En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo momento de inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.

Desplazamiento de las crujías (flecha del pilar en B).

10.


P

a

6a

a

B

B

P 3a

A

A

195


SOLUCIÓN:

P

a

a

6a B

B

P

3a Equilibrio isostático del pórtico: V . 6a = 8Pa

A

A

V = 4/3 P

V = 4/3 P

V = 4/3 P

Estudio del pilar:

4/3 P B

3a

A

4/3 P

196

(dfc)

(dmf)


Estudio del voladizo y crujía:

P

1

El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía

2

El volado transmitirá a la crujía el momento de P por la

a

luz del volado Pa MD 3

El pilar transmitirá la reacción vertical V=4/3 P desde la cimentación a la crujía.

VD

4

El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las anteriores con una fuerza cortante VD y un momento

4/3 P

flector MD, cuyo cálculo da: MD  P  a VD 

4 P PP 3 3

Estudio del dintel:

MD= Pa

MD= Pa θD

P/3

P/3

6a P/3

(– )

-Pa +Pa

Cálculo de la elástica del dintel: MxD = Pa – 1/3 Px EI·y`` = – MxD = 1/3 Px –Pa EI·y` = + 1/6 ·Px2 – Pax + C1 EI·y = + 1/18 · Px3 – 1/2.Pax2 + C1x + C2

[x = 0; y = 0; C2 = 0]; [x = 6a ó 3a; y = 0; C1 = + Pa2]

EI·y = + 1/18 · Px3 – 1/2.Pax2 + Pa2x Tangente a la elástica en B (x = 0): EI·y`B = C1 = + Pa2; θD = + Pa2/EI 197



2.


H=0

Reacción vertical:

V = 4P/3

Diagramas de momentos flectores: -Pa

+Pa

3.

Momento Flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax = Pa Momento Flector máximo de los pilares es nulo en toda su altura Momento Flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa

4.

El ángulo que gira la crujía: θB = + Pa2/EI

5.

Elástica:

θB

198


6.

Secciones de inflexión: una en el centro del dintel.

7.

Posición flecha máxima dintel: EI . y  

1 2 Px  Pax  Pa 2  0 ; 6

x 2  6 ax  6 a 2  0 ; 

Px 2  6 Pax  6 Pa 2  0





x  3a  9 a 2  6 a 2  3  3  a





xm  3  3  a 8.

Valor de la flecha máxima del dintel:





1 1 Px 3  Pax 2  Pa 2 x ; xm  3  3  a ; 18 2 1 1  EI  ymax   9  6 3  3  3  3  1 Pa 2  3  3  a ; 2  18  EI  y 



EI  ymax 

 









1 3 3 Pa 2  3  3  a  Pa 2 ; 6 3

ymax  9.



3 Pa 3 Pa 3  0 ,58 3 EI EI

Desplazamiento de las crujías: yB  3a   B 

3 Pa 3 ; EI

yB  

3 Pa 3 EI

10. Flecha en el extremo volado:

La función del momento flector es: MV  Px por lo que la ecuación diferencial de la elástica será: 1 2 1 Px  K 1 ;  EI  y   Px 3  K 1 x  K 2 ; 2 6 bajo las condiciones de que para x  a deberá cumplirse que y  0 y que EI  y   Px ; 

EI  y  

y   B ; lo que permitirá calcular K1 y K2. 1 2 3 Pa  K 1 ;  K 1  Pa 2 ; 2 2 1 3 4   Pa 3  Pa 2  a  K 2  0 ;  K 2   Pa 3 6 2 3

EI   B  Pa 2   EI  y x a

y x 0  

4 Pa 3 Pa 3  1,67 3 EI EI

199


PROBLEMA VII-7

En el pórtico empotrado de la figura no se considera la actuación de cargas exteriores. Sobre él se produce un asentamiento de una de las zapatas en las que están empotrados los pilares. El valor de este asentamiento es 2  . Las secciones de pilares y dintel tienen distinto Momento de Inercia: 3 I para los pilares, frente a I para el dintel, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E . Se pide calcular: 1.


2.

Diagrama de momentos flectores en los pilares y el dintel.

3.

El momento flector máximo y la fuerza cortante máxima.

4.


5.


6.


7.

Desplazamiento horizontal de la cabeza de los pilares  HB .

8.

Comparar los efectos de este asentamiento del pórtico descrito, si estuviera articulado en vez de empotrado (reacciones, momentos flectores, fuerzas cortantes, ángulo de giro de la crujía y desplazamiento de las cabezas de los pilares).

6a B

B I

3a

3I

3I

A

A A’

200

2Δ


SOLUCIÓN: La estructura reúne características antisimétricas, por tanto: θP

6a B

I

B

3a

θP

3I

3I

A

A

V

2Δ

A’

MA

MA V

Equilibrio isostático del pórtico (momentos): V . 6a = 2MA MA = 3Va Estudio del pilar: θP

Mp

v B

3a

A

MA

v

dfc

– 3Va dmf

201


Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (a través del 1er Teorema de Mohr) E .3I . θP = – (– 3Va).3a = + 9Va2; θP = 3V a2/EI Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar: (a través del 2º Teorema de Mohr) E .3I .yB = 9Va2. ½3a= 27/2 . Va3 δHP = 9/2 . V. a3/EI

Estudio de la crujía: MD

VD

Mp

1. La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 3Va. 2. El pilar transmitirá la reacción vertical V de la cimentación a la crujía. 3. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las anteriores con una fuerza cortante VD y un momento flector MD: ¡Error! Marcador no definido.

V

Estudio del dintel:

MD= 3V.a

MD= 3V.a Δ

θD

2Δ

V

V

6a V

-3V.a

(+)

-+

202

+3V.a


Cálculo de la elástica del dintel: MxD = – 3Va + Vx EI·y`` = – MxD = –Vx + 3Va EI·y` = – 1/2 Vx2 + 3Vax + K1 EI·y = – 1/6 · Vx3 +3/2 . Vax2 + K1x + K2

(x = 0; y = 0; K2 = 0)

(x = 3a; y = Δ; EI . Δ= – 9/2 Va3 + 27/2 Va3 +3a K1; EI·y  -

K1 

EI   9Va 3 3a

1 3 EI  9Va 3 Vx 3  Vax 2  x 6 2 3a

Tangente a la elástica en B (x = 0): EI   9Va 3 EI  y'B  K 1  3a



 D 

3a

3Va 2 EI



;

Cálculo de la incógnita hiperestática V: 3Va 2  3Va 2 P  D ;    ;  EI 3a EI Aplicación a las funciones del problema:

EI

M xD 

18a

EIy'   EIy  

x

3

EI 36 a

EI 108a

3

Va 2 EI 6 ;  V  3a EI 18a 3



K 1  EI

EI 6a 2

x2 

3



EI

x3 

6a

2

x

EI 12a

2

EI 6a

x2 

EI 6a

x

Giro de la crujía:

D 

 6a

;

Desplazamiento de la crujía:

 HP 

9 Va 3 9 EIa 3    2 EI 2 18a 3 EI 4

203

 6a


Pórtico articulado:

6a B

I

θP

B θP

2Δ B’

3a

3I

3I

A

A

A’

2Δ

Ante las condiciones de contorno actuales, donde las articulaciones no permiten la existencia de momentos sobre las bases A de los pilares, tampoco podrán existir reacciones verticales, como antes, con lo que los diagramas de momentos flectores de los pilares serán nulos (y así la curvatura de su elástica) sin poder transmitir momento flector alguno al dintel (que también quedará exento de flexión alguna), siendo así el ángulo girado por los pilares el mismo que gire el dintel: 2Δ = 6a . θP :

P 

 3a

; y el desplazamiento horizontal:  HB  3a    


1. Reacción horizontal:

204

H=0

Reacción vertical:

V = ΔEI/18.a3

Momento de empotramiento:

MA = ΔEI/6.a2


2. Diagramas de momentos flectores:

- ΔEI/6a2 - ΔEI/6a2

- ΔEI/6a2

- ΔEI/6a2

3. Momento Flector máximo del dintel, en las crujías: MDmax = ΔEI/6a2 La fuerza cortante en el dintel es constante: VD = ΔEI/18.a3 El momento flector máximo de los pilares (todo él): MPmax = ΔEI/6a2 Fuerza cortante en los pilares: VP=0 4. El ángulo que gira la crujía: θB = + Δ/6a 5. Elástica:

205


6. Secciones de inflexión: una en el centro del dintel. 7. Desplazamiento horizontal de las cabezas de los pilares: δHP = Δ/4

8. En el pórtico articulado se observan evidentes mejoras respecto a las solicitaciones de esfuerzos normales y cortantes de la estructura por cuanto no existen momentos flectores ni fuerzas cortantes. Sin embargo, el desplazamiento del dintel del pórtico (Δ) se hace cuatro veces mayor, como el ángulo que gira la crujía se hace el doble del caso de empotramiento.

206


PROBLEMA VII-8 La viga de la figura, cuyo módulo de elasticidad es E, tiene entre A y B sección uniforme de momento de inercia I, mientras que entre B y C su momento de inercia es 2I. Las cargas P están aplicadas en las secciones F y G que se indican, entre A y B. Y en su extremo volado C se encuentra solicitada por un momento exterior de valor 3Pa, tal como se indica en el dibujo, en el sentido de giro de las agujas del reloj. El otro extremo A está empotrado, mientras que en B hay un apoyo articulado simple.

Calcular las reacciones en A y B, así como los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Determinar igualmente la forma de la elástica, con sus puntos de inflexión donde los haya y las flechas máximas en ambos tramos de la viga.

P F

G I

A

a

B

P a

a

Pa

2I

C

a

SOLUCIÓN: a) Las reacciones en las secciones de empotramiento y apoyo, vendrían determinadas por las ecuaciones isostáticas de equilibrio. Sin embargo, al tener grado uno de hiperestaticidad, quedará una incógnita (tomaremos la reacción R del apoyo B) a determinar por la ecuación hiperestática.

P R 3Ra

Pa A

F

a

a

G

B

P a

R

C

a

207


b) La estimación previa de la forma de la elástica ayuda claramente a presentir los sentidos de las reacciones y la forma de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.

c) Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores (en función de la incógnita hiperestática R) serán:

+R -R

-(R+P) -Pa -Pa -(P-R)a

+2Ra +3Ra

d) Las correspondientes funciones de fuerzas cortantes y momentos flectores resultan: TRAMO AF (0
TRAMO FG (a
M 2  ( R  P )( x  a )  2 Ra

M 3G ( x  2 a )  ( P  R )a

TRAMO GB (2a
M 3   R( x  2a )  ( P  R )a



M 3 B ( x  3 a )   Pa

TRAMO BC (3a
208

M 4   Pa



M 4 C ( x  4 a )   Pa




e) De esta forma, los valores máximos de momentos flectores tendrán que corresponder a alguno de los extremos del diagrama, o bien –Pa o bien +3Ra.

f) Siguiendo el proceso de estudio, las ecuaciones diferenciales de la elástica serán:  d 2 y1 dy 1  Rx  3Ra  EI 1  Rx 2  3Rax  C1  EI 2 dx dx 2  2  d y2 dy 1  ( R  P ) x  ( P  3R )a  EI 2  ( R  P ) x 2  ( P  3R )ax  C2  EI 2 dx dx 2  2  EI d y3  Rx  3Ra  Pa  EI dy3  1 Rx 2  ( P  3R )ax  C 3  dx 2 dx 2  2  E 2 I d y4  Pa  2 EI dy4  Pax  C  EI dy4  1 Pax  1 C 4 4 dx 2 dx dx 2 2  La tangente a la elástica en la sección del empotramiento A (x=0) tendrá que ser

C1  0

horizontal:

La tangente a la elástica en la sección F tendrá que ser única para el primero y segundo tramos (x=a): 1 1 Ra 2  3 Ra 2  ( R  P )a 2  ( P  3 R )a 2  C 2 2 2

 C2 

1 Pa 2 2

La tangente a la elástica en la sección G tendrá que ser única para el segundo y tercer tramos (x=2a): 1 3 Pa 2  2 Ra 2  ( P  3 R )a 2a  C 3  C 3   Pa 2 2 2 La tangente a la elástica en la sección B tendrá que ser única para el tercero y

2( R  P )a 2  ( P  3 R )a 2a 

cuarto tramos (x=3a): 9 3 1 1 Ra 2  ( P  3 R )a 3a  Pa 2  Pa 3a  C 4 2 2 2 2

 C 4  9 Ra 2

Con lo que, sustituidas ya totalmente las constantes Ci, la primera integración de las ecuaciones diferenciales, resultan:   EI    EI   EI    EI 

dy 1 dx dy 2 dx dy 3 dx dy 4 dx

1 Rx 2  3 Rax 2 1 1  ( R  P ) x 2  ( P  3 R )ax  Pa 2 2 2 1 3  Rx 2  ( P  3 R )ax  Pa 2 2 2 1 9  Pax  Ra 2 2 2



209


La integración final de las ecuaciones diferenciales nos dará para la elástica:   EIy 1   EIy 2    EIy 3    EIy 4 

1 3 Rx 3  Rax 2  C '1 6 2 1 1 1  ( R  P ) x 3   P  3 R ax 2  Pa 2 x  C '2 6 2 2 1 1 3  Rx 3  ( P  3 R )ax 2  Pa 2 x  C '3 6 2 2 1 9  Px 2  Ra 2 x  C '4 4 2



Donde las constantes de integración se determinarán también por las condiciones de contorno y continuidad: Así, la flecha en la sección A de empotramiento (x=0), será nula (tramo 1): C '1  0

La flecha en la sección F será la misma si se calcula mediante la ecuación de la elástica del tramo 1 que si se calcula con la ecuación del tramo 2: Y resultarán también iguales a cero las flechas en la sección B (x=2L) para los dos tramos: 2 4 4 3 qL  qL  RL  4 RL3  0  R   3 3 4 2 13 4  qL4  4 qL4  12qL4  12qL4  qL4  C 2  0  C 2  qL 3 3





g) Con las constantes de integración determinadas y la incógnita hiperestática calculada, procedemos a escribir las funciones de fuerzas cortantes, momentos flectores y correspondientes ecuaciones de la elástica y tangente para cada tramo:

TRAMO 1 V1   qx  EIy1 

210

qL  4

1 qL qL2 M 1   qx 2  x 2 4 2

1 1 1 qx 4  qLx 3  qL2 x 2 24 24 4



EI

dy 1 1 3 1 1  qx  qLx 2  qL2 x dx 6 8 2


TRAMO 2 1 M 2   qx 2  3qLx  6 qL2 2 1 1 13 13 EIy2  qx 4  qLx 3  3qL2 x 2  qL3 x  qL4  24 2 2 3 dy2 1 3 3 13  EI  qx  qLx 2  6 qL2 x  qL3 dx 6 2 2

V2   qx  3qL 

h) Con esta información ya pueden dibujarse el estado de cargas y reacciones de la viga, sus diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y la forma aproximada que toma la curva de la elástica. Además, podremos calcular las posiciones de flechas máximas, puntos de inflexión y cualquier otro valor que desee ser conocido, simplemente sustituyendo en las ecuaciones obtenidas los valores que le corresponden a x en la sección interesada. i)

El trabajo indicado en el párrafo anterior debe ser realizado minuciosamente por el alumno, para lo que ya se le debe suponer formación suficiente con las explicaciones y resoluciones de los problemas anteriores.

211


PROBLEMA VII-9 En el pórtico empotrado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en los extremos de los volados. En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Calcular, aplicando los Teoremas de Mohr siempre que sea posible: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.

Posición y deflexión máxima del pilar.

P

a

a

6a B

B

A

A

3a

212

P


SOLUCIÓN:

P

a

a

6a B

B

Equilibrio isostático del pórtico:

3a

Tomando las reacciones verticales iguales a P, el conjunto del pórtico queda equilibrado con las incógnitas hiperestáticas H y MA. A

A

H

H

MA

MA P

P

Estudio del pilar: Equilibrio isostático del pilar:

P

Mp + MA = 3Ha;

θP

Mp

MA

H

– MP

B

3a

A H

P

MA

H (dfc)

MA (dmf)

213

P


Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr) 0 = – MA.3a. ½3a + ½ (MA+MP)3a.a= ½a2[3MP – 6MA]

MP = 2MA

Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr) EI (θP-0) =– MA.3a + ½ (MA+MP)3a = 3/2 (MP – MA) a= 3/2 MA.a;

θP = 3MA a/2EI

Estudio de la crujía: El volado y la crujía:

P

1

El volado transmitirá la carga P de su extremo a la crujía

2

El volado transmitirá a la crujía el momento de P por la luz del volado Pa

a 3

La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento

MD

MP = 2MA 4. El pilar transmitirá la reacción vertical P desde la base

Mp

de cimentación a la crujía. 5. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar las P

anteriores con una fuerza cortante un momento flector MD, cuyo cálculo da:

M D  Pa  M P  Pa  2 M A

Estudio del dintel:

MD= Pa – 2MA B

+Pa – 2MA

214

C θD

6a

MD= Pa – 2MA B


Tangente a la elástica en B: (1er Teorema de Mohr)

C   B 0   D  

1 ( Pa  2 M A )  3a EI

θD = (Pa – 2MA).3a/ EI

Ecuación hiperestática: θD = θP ;

(Pa – 2MA).3a/ EI = 3MA a/2EI ;

2.(Pa – 2MA) = MA ;

MA= 2/5 Pa



1.

H = 2/5 P

Reacción vertical:

V=P

Momento de empotramiento;

MA = 2/5 Pa

Diagramas de momentos flectores:

2.

-4Pa/5 + Pa/5 +Pa

+2Pa/5 Momento flector máximo del dintel se produce en las crujías: MDmax

3.

= Pa/5 Momento flector máximo de pilares se produce en las crujías: MPmax = 4Pa/5 Momento flector máximo del volado se produce en las crujías: MVmax = Pa

4.

El ángulo que gira la crujía:

θB = + 3Pa2/5EI

215


Elástica:

5.

P

P B

B

A

A 6.

Secciones de inflexión: a un tercio de la altura del pilar.

7.

Posición flecha máxima dintel: por simetría, en el centro del dintel.

8.

Valor de la flecha máxima del dintel: (por el 2º Teorema de Mohr): fmax = 9Pa3/10EI = 0,9 Pa3/EI

9.

Flecha en el extremo volado: La función del momento flector es: MV  Px por lo que la ecuación diferencial de la elástica será: 1 2 1 Px  K 1 ;  EI  y   Px 3  K 1 x  K 2 ; 2 6 Bajo la condición de que para x  a , habrán de ser y  0 ; e y   B ; podrán EI  y   Px ; 

EI  y  

calcularse K1 y K2: EI   B  EI  y x  a

3 1 11 Pa 2   Pa 2  K 1 ;  K 1  Pa 2 ; 5 2 10 1 11 14   Pa 3  Pa 2  a  K 2  0 ;  K 2   Pa 3 6 10 15

y x 0  

216

14 Pa 3 Pa 3  0 ,93 15 EI EI


10. Deflexión máxima de los pilares:

Estará situada a 2/3 de la base del pilar (1er Teorema de Mohr: Área nula desde el empotramiento) Por el 2º Teorema de Mohr, la distancia desde el punto de máxima flecha a la tangente en el empotramiento: 1   EI

2 2 M Aa 2 4 Pa 3  1    2 2 M A 2a  3 2a  M A 2a  a    3 EI   15 EI  

 

4 Pa 3 Pa 3  0 ,27 15 EI EI

PROBLEMA VII-10 El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares del mismo módulo de elasticidad E, e idéntica sección cuyo momento de inercia, con respecto a su línea neutra, es conocido: I. Calcular: 1

Reacciones en la cimentación

2

Momentos flectores en las cabezas de los pilares

3

Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en pilares y dintel

4

Angulo que giran las uniones de dintel con pilares

5


6


7

Posición de las deflexiones y flechas máximas de pilares y dintel

8

Cálculo de dichos valores máximos

6a B

B a

Pa Pa

3a

a Pa

Pa

a A

A

217


SOLUCIÓN:

6a B

B

a

Pa Pa

3a

a Pa

Pa

a A

A H

H

MA

MA

El estudio del pórtico liberado de todas sus ligaduras muestra el perfecto equilibrio ante las cargas externas simétricas, por lo que ante esta situación el pórtico se limitaría a la deformación de sus pilares hacia la parte interna, siguiendo las curvaturas definidas por los momentos flectores. Línea roja. La deformada de los pilares (dibujada en línea roja) cuando el pórtico es liberado de las ligaduras en A, exige la aparición de las fuerzas H que repongan las secciones A en su real ubicación. Ello conllevaría una deformación como la que se indica con la línea verde de puntos (caso de una articulación en A) con la correspondiente deformación del dintel. Pero al restituirse finalmente todos los aspectos de la ligadura (empotramiento) habrán de considerarse los momentos MA que restituyan las tangentes en las bases de los pilares a su orientación vertical en lo que sería la deformada elástica final (línea azul más gruesa).

Todo ello hará que el pilar (estudiado aisladamente) deba ser equilibrado en su cabeza por el momento que le transmita el dintel para compensar el momento aparecido MA y el provocado por la reacción horizontal H a la distancia 3a : 3H  a

218


Estudio del pilar: Equilibrio isostático del pilar: Mp = MA + 3Ha;

θP

Mp MP= MA+3Ha

H

B MA+2Ha-Pa

Pa 3a

MA+Ha MA+Ha-Pa

Pa A H

MA (dmf)

H (dfc)

MA

El diagrama de momentos flectores se puede descomponer en las áreas que en el siguiente esquema se indican: MP= MA+3Ha

MP= MA+3Ha

MA+2Ha-Pa

-Pa MA+2Ha

+

=

MA+Ha-Pa

-Pa

MA

MA+Ha

MA

MA+Ha

Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr) Distancia de B a la tangente en A = 0 = – MA.3a. ½3a – ½ 3Ha.3a.a + Pa.a. ½3a MA = 1/3.Pa -Ha

219


Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr) EI (θP-0) =– MA.3a – ½ 3Ha.3a + Pa.a = –3/2 H.a2;

θP = – 3H a2/2EI

Ante la evidencia de que el ángulo θP >0 , resultará que H<0; es decir, que el sentido elegido para H había sido erróneo. Este aparente contrasentido se justifica entendiendo que la magnitud del momento MA capaz de producir la tangencia vertical del pilar en su base, debe ser tan grande que abrirá los pilares y para que se mantengan en su posición A, se precisan fuerzas hacia el interior del pórtico en vez de hacia el exterior del mismo.

Así, ahora encontraremos que la figura anterior de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores deberá quedar rectificada como se expone en la próxima figura.

θP

Mp

MP= MA - 3Ha

H B MA - 2Ha - Pa

Pa 3a

MA - Ha MA – Ha - Pa

Pa A H

MA

H (dfc)

MA (dmf)

La descomposición del diagrama de momentos flectores quedaría ahora de la siguiente manera:

220


MP= MA - 3Ha

MP= MA - 3Ha

MA - 2Ha - Pa

-Pa

=

+

MA - Ha MA – Ha - Pa

-Pa

MA+Ha

MA

A= MP + 3Ha MAM +Ha

Y entonces, las ecuaciones de equilibrio y las conclusiones de los Teoremas de Mohr, resultarán:

Equilibrio isostático del pilar: Mp = MA - 3Ha;

Ecuación hiperestática de flecha nula en la cabeza del pilar: (2º Teorema de Mohr) Distancia de B a la tangente en A = 0 = – MP.3a. ½3a – ½ 3Ha.3a.2a + Pa.a. ½3a MP = 1/3.Pa - 2 Ha; y MA = 1/3.Pa + Ha Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: (1er Teorema de Mohr) EI (θP-0) =– MP.3a – ½ 3Ha.3a + Pa.a = 3/2 H.a2;

θP = 3H a2/2EI

Estos nuevos resultados deben ser asumidos bajo el nuevo planteamiento del sentido de la reacción H. Lo contrario conllevaría graves errores conceptuales con las consecuencias de unos resultados falsos.

221


Estudio del dintel:

MD= 1/3 Pa – 2Ha B

MD= 1/3 Pa – 2Ha

C θD

B

6a

+1/3 Pa – 2Ha

Tangente a la elástica en B: (1er Teorema de Mohr) 1 1 ( Pa  2 Ha )  3a 3 EI

C   B  0   D  

θD = (P – 6H) a2/ EI

Ecuación hiperestática: (P – 6H) a2/ EI = 3H a2/2EI;

θD = θP ;

2P – 12H = 3H ;

H = 2P/15

El resto del trabajo se deja para ejercitación del lector. MA = 7/15 Pa ;

θB = Pa2/5EI ;

MP = 1/15 Pa ;

δC = 3Pa3/10 EI ;

6a B

B

a

Pa Pa

3a

a Pa

Pa

a A

A 2P/15

7Pa/15 222

2P/15

7Pa/15


PROBLEMA VII-11 El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra son iguales entre sí (I). La sección central del dintel se encuentra, además, apoyada en una base fija C. Y las únicas cargas que actúan en el pórtico son los momentos Pa indicados en las secciones B de intersección de dintel con pilar. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


2a

2a

Pa

Pa C

B

B

A

A

3a

223


SOLUCIÓN:

a)

Liberando las ligaduras del pórtico, incluido el apoyo central C, la tendencia a la separación de las bases de los pilares A (dados los sentidos de las acciones externas Pa) obligará a la aparición de reacciones horizontales H simétricas y dirigidas hacia el interior del pórtico para restaurar las posiciones A. Al restablecer el apoyo C, anulando la flecha central del dintel, surgirán reacciones verticales V dirigidas hacia abajo para contrarrestar la acción del apoyo C, que empujará hacia arriba para rectificar la tendencia de la elástica del dintel. Ver figura.

2a

2a

Pa

Pa C

B

B

2V

3a

A

H

b)

V

A

V

H

La simetría existente en el pórtico, unida a la carencia de flecha en el punto medio del dintel, hace que esta sección C se comporte como si fuera un empotramiento, sin desplazamiento vertical y con tangente horizontal.

224


2a

Pa

MC C H

B

V

3a

Ecuación isostática de equilibrio:

H  3a  V  2a  M C  Pa (1) A

H V

c)

En razón a los vínculos correspondientes a la articulación A y al empotramiento C, las reacciones exteriores deberán ser, respectivamente, una fuerza RA (de componentes vertical V y horizontal H), y una fuerza RC (con las mismas componentes que RA) más un momento MC que proporcione la curvatura de la elástica en ese punto. Ver figura anterior.

d)

La ecuación isostática correspondiente, será la de equilibrio de momentos del conjunto (ya que el de cargas horizontales y verticales ya se ha tenido en cuenta). Las ecuaciones hiperestáticas serán la de tangencia horizontal en C y la de la ortogonalidad pilar-dintel en B después de la deformación. Con ello obtendremos tres ecuaciones para las tres incógnitas H, V y MC.

225


Estudio del dintel:

e)

* La tangente horizontal en C (supone que la distancia desde B hasta la tangente en C es nula) por el 2º teorema de Mohr:

2a MD

1 2 ( M D  M C )2a  a  M C 2a 2  0; 2 3 (2) M D  2M C ;

MC C

B

V

El ángulo del dintel en B:

C   B  

V

(d.f.c.)

(-)

V

B 

f)

;

M D  M C  V  2a (4)

(d.m.f.)

(+)

EI

1   2 ( M D  M C ) 2 a  M C 2 a ;  

El equilibrio del dintel:

(-) MC MD

MCa

1 EI

Estudio del pilar:

H MP=3Ha MP

B

(-)

(-)

3a

M x   Hx

x A

H H (d.f.c.)

226

(d.m.f.)

(3)


 1 1 M  Hx ;  x EI EI dx 2 x  0  y  0  K 2  0;   dy 1 1 1 1  Hx 2  K 1 ; y Hx 3  K 1 x ;  dx EI 2 EI 6  1 3 2 1 1  y Hx 3  K 1 x  K 2 ; x  3a  y  0  K 1   EI 2 Ha EI 6  d2y







dy H  x 2  3a 2 ; dx 2 EI (5) H 1 3 2  y x  3a x  ; 2 EI  3 

g)



B

3 Ha 2  dy     (6) EI  dx  x  3 a

Ecuación hiperestática de identidad del ángulo girado por B en el pilar y en el dintel [ecs. (3) y (6)]: MC a  ; EI    M C  3 Ha (7) 3 Ha 2  Pilar   B  ; EI  D int el   B 

h)

En consecuencia, ya se pueden calcular el resto de las incógnitas utilizando las ecuaciones (1) (2) (4) y (7):

1 1  M P  3 Pa ; H  P ; 2 9   M D  Pa ; 3 1 V  P ;  1 2  M C  Pa ; 3

227


PROBLEMA VII-12

Un pórtico, en estructura y cargas simétricas, se encuentra empotrado en sus cimientos, y sus pilares sobresalen sobre el dintel la tercera parte de su propia altura, como se indica en la figura. De igual manera el dintel sobresale de los pilares, como voladizos en la misma longitud. En los extremos de ambos salientes, simétricamente, actúan unas cargas puntuales P y 2P (ver figura). Todos los elementos estructurales son del mismo material y de igual sección. Se desea calcular lo siguiente: 1.

Las reacciones en las cimentaciones.

2.

Ángulo girado por las crujías.

3.

La flecha que se produce en el extremo volado vertical C.

4.

La flecha máxima en el tramo central del dintel.

5.

Forma de la elástica y posición de los puntos de inflexión en los pilares.

6.

Diagrama de momentos flectores.

C a

3a

D

P

P

B

B

D

2P

2P A

a

228

C

A

6a

a


SOLUCIÓN:

1. Los cimientos del pórtico deberán ejercer las reacciones pertinentes al caso que se nos presenta, con reacciones verticales 2P en sentido ascendente y, además, simétricamente, horizontales H y momentos MA desconocidos (tanto en magnitud como en sentido) e hiperestáticos.

2. Con objeto de analizar los posibles sentidos de los momentos MA y reacciones horizontales H, se debe tomar en consideración que el dintel, al no tener cargas transversales ni momentos exteriores aplicados en su vano, tendrá que verse sometido a flexión pura (bien positiva o bien negativa).

3. En una primera aproximación, se puede entender que las cargas verticales 2P de los volados le transmiten al dintel una flexión pura negativa (con un momento de 2Pa). Mientras que las horizontales P de los minaretes tienden a producir la flexión pura positiva en el mismo dintel (con un momento de solo Pa: justo la mitad).

4. Interpretando que la flexión pura con momento 2Pa es superior a la flexión pura Pa, podemos, a priori, asumir que, siendo la flexión negativa superior a la positiva, la elástica de nuestro dintel será flexión pura negativa. Cualquier error en esta apreciación sería finalmente contrastada con un valor negativo en el resultado del cálculo de las incógnitas hiperestáticas H y MA.

5. Ello provocará una elástica general del pórtico como la que se refleja, a continuación en la figura, con la correspondiente deducción de los sentidos de las reacciones H y MA.

229


Pa P MD C B P-H D B

2Pa a 2P

P

P

C B

D

H MP 2P

3a

2P A

2P

A H

H

MA

MA 2P

a

2P

6a

a

6. Y bajo estas condiciones comenzamos el análisis de los diferentes elementos compositivos del pórtico, comenzando por los salientes volados: horizontales y verticales.

2P D

C

B

a 2Pa

2P

a

P B

P Pa

7. Las cargas y momentos transmitidos por ambos salientes a la crujía, unidos a la hipótesis que hemos asumido en 5) respecto a la elástica, nos permite sacar conclusiones en relación al dintel y al pilar:

Equilibrio de la Crujía: M P  M D  Pa ;

230


Estudio del Pilar: M P  M A  3aH ; (1º teorema e Mohr):

1 EI 1  EI

P   P

1   3aM P  M A   3aM A  ; 2  1 3aM P  M A ; 2 (2º teorema de Mohr): 1 3a 3aM P  M A  a  3aM A   0; 2 2 M P  2 M A ;  M A  3aH ; M P  6 aH ;

2P MP B H

+MP

H

Por lo tanto,

+

M D  Pa  6 aH ;

Y así tenemos los 3a

momentos MA, MP y MD

+

en función de H. Para poner también θP en función de H, habrá que a

H

sustituir atrás:

A

-MA MA

(dfc)

P  

9 Ha 2 ; 2 EI

(dmf)

2P

8. La incógnita hiperestática pendiente de resolver será H, la que determinaremos por la ecuación que se deduzca de la igualdad de los ángulos girados en la crujía por el pilar y el dintel.

9. Para determinar el ángulo θD en el dintel es posible apoyarse en el 1º teorema de Mohr por cuanto la tangente a la elástica en su punto medio será horizontal.

231


P-H

B

θD

MD

B

MD

P-H

6a

(dfc)

-MD

0 D  

D P

H

-MD

(-)

(dmf)

1  3aM D ;   D   1 3aM D   1 3a Pa  6 Ha ; EI EI EI 2 1 9 Ha   3a  Pa  6 Ha    EI 2 EI

2 P; 15



M D  Pa  6

2 1 Pa  Pa ; 15 5

10. Las reacciones en los cimientos serán pues: H

2 P ; V  2P ; 15

MA 

2 Pa ; 5

11. El ángulo girado por las crujías será: B  

3 Pa 2 ; 5 EI

12. La flecha en C la obtenemos como suma del giro de la crujía que le desplazará en θB.a y la distancia desde D a su tangente en B: C a

P yC 

B P Pa

232

1 2

2 a 3 3 3  3 Pa   4 Pa EI 5 EI 15 EI

Pa 2 


13. La flecha en el punto medio del dintel la obtendremos como la distancia desde B a la tangente en ese punto medio, cambiada de signo (ver figura del apartado 9):

y max  

1 3 9 Pa 3 M D  3a  a   EI 2 10 EI

14. La forma de la elástica resulta la supuesta en el apartado 5. Y los puntos de inflexión en los pilares estarán a la distancia a de los cimientos A y en las crujías B.

15. Por último, el diagrama de momentos flectores se incluye a continuación (para simplificar, se indica solo una de las mitades simétricas: a la izquierda el d.m.f. de los elementos verticales=pilares; el de la derecha al dintel):

2Pa C a

C 1/5.Pa

D

B

4/5.Pa

D

Pa

B

3a A

A

2/5.Pa a

6a

a

233


PROBLEMA VII-13 La figura representa una estructura acodada formada por un pilar AC y una viga CB que están sólidamente unidas. A y B son articulaciones fijas. Sus secciones rectas son iguales y ambos están construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. En la crujía de unión actúa un momento exterior conocido “Pa” en el sentido de las agujas del reloj, y las dimensiones quedan indicadas. 1. Se desean las reacciones en A y B y el ángulo que gira la crujía. 2. A la vista de los diagramas de momentos flectores, dibujar la elástica.

Pa

2a

C

B

a

A

SOLUCIÓN: 1.

Al considerarse fijos los puntos A y B, no teniendo en cuenta deformaciones longitudinales ni en pilar ni en viga, el punto C de la crujía también será fijo. En consecuencia en pilar y viga las flechas en C serán nulas, igual que en las articulaciones A y B.

2.

Por otra parte, en ambas articulaciones aparecerán reacciones horizontales (H) y verticales (V) que deberán equilibrarse mutuamente y compensar el momento exterior Pa, por lo que:

Pa C

B Equilibrio de momentos:

a

2Va  Ha  Pa ; 2V  H  P ;

A H V 234

V

2a

H


Los sentidos de H y V son inequívocos al considerar la acción vertical que habría que ejercer en B, si se soltara esa articulación, para reponerlo a su correcta posición. Lo mismo que procedemos al soltar la articulación A y considerar la fuerza horizontal correspondiente, para llevar dicho punto a su sitio. 3.

En la descomposición de los tres elementos (pilar, crujía y viga) que se expone a continuación, es fácil deducir las reacciones de los otros extremos de cada elemento y los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores:

2a

MD

Pa

C

H

MP

H V

H

V

MD

Análisis de la crujía: M D  M P  Pa

-V

MP

H

H B

(-)

Análisis de la viga: M D  2Va

MP

(-)

a

C

MD (+)

V H C

V

(-) Análisis del pilar: M P  Ha

A H

2V  H  P

V

4.

En su virtud, las ecuaciones diferenciales de la elástica de cada tramo, se resolverán como sigue:

235

V


pilar M PX   Hx ; EI  y   Hx ;

viga M DX  2Va  Vx ; EI  y D  Vx  2Va ;

1 Hx 2  K ; 2 1 EI  y  Hx 3  Kx ; 6 1 y x  a  0 ;  K   Ha 2 ; 6

EI  y D 

1 2 Vx  2Vax  C ; 2 1 EI  y D  Vx 3  Vax 2  Cx ; 6 4 y x  2 a  0 ;  C  Va 2 ; 3

EI  y  

1 1 1 4 Hx 2  Ha 2 ; EI  y D  Vx 2  2Vax  Va 2 ; 2 6 2 3 1 1 1 4 EI  y P  Hx 3  Ha 2 x ; EI  y D  Vx 3  Vax 2  Va 2 x ; 6 6 6 3 (se ha tenido en cuenta que para x  0 , en ambos elementos, y  0 ; es decir, EI  y P 

en A para el pilar y en C para la viga)

5.

Al aplicar la ecuación hiperestática que iguala los ángulos de giro en C del pilar y la viga: para x  a para x  0

 

1  Ha 2 ;  3  4 2   EI  y D  Va ;  3 EI  y P 

y P  y D



H  4V

Lo que, unido a la ecuación isostática: V 6.

P ; 6

H

2 P 3

El ángulo girado por la crujía serán pues:

C  7.

y

2 Pa 2 9 EI

Resultando finalmente la elástica en la forma que se indica:

Pa C

A

236

B


PROBLEMA VII-14 El pórtico empotrado de la figura contempla dos minaretes como elementos sobresalientes de la parte superior de los pilares, en cuyos extremos superiores se considera la actuación simétrica de los momentos exteriores Pa. Las secciones de pilares, dintel y minaretes tienen el mismo Momento de Inercia I , y son del mismo material de Módulo de Elasticidad E . Se pide calcular: 1.


2.

Diagrama de momentos flectores en el pórtico completo.

3.

El momento flector máximo y la fuerza cortante máxima en el pórtico.

4.


5.


6.


7.

Desplazamiento horizontal de la cabeza de los minaretes  .

Pa C

a

C

6a

I

I B

3a

Pa

B

I

I

I

A

A

237


SOLUCIÓN: 

Si no existieran ligaduras de ningún tipo en las bases de los pilares, la estructura se encontraría en equilibrio y se deformaría simétricamente bajo la acción de los momentos exteriores “Pa”, tendiendo la base de los pilares a un desplazamiento hacia el exterior.



La corrección de estos desplazamientos exige la aparición en la cimentación de cargas horizontales “H” sobre las bases de los pilares con dirección “hacia dentro” que lleven los puntos “A” a su correcta posición, aunque la elástica del pilar (ahora considerado como articulado en “A”) daría lugar a una tangente en su origen distinta de cero (no vertical) y de signo negativo (hacia el exterior del pórtico).



Al ser la ligadura real un empotramiento, esta exigirá igualmente que el cimiento actúe con los momentos de empotramiento “MA” (simétricos) y con el sentido apropiado que lleve a dicha tangente a la posición vertical de empotramiento.



La condición de simetría exige igualmente que las crujías “B” no se desplacen, por lo que la elástica del pilar debe ser tal que recupere con su curvatura continua y uniforme dicha posición, que es inalterable.

Pa

Pa

C

a

3a

C

6a

I

I

B

B I Las reacciones H y MA serán hiperestáticas, por cuanto aparecen como consecuencia de deformaciones de la estructura

I

I

A

A

H MA

238

H MA




La conservación de la curvatura de la elástica del dintel, la ortogonalidad de las crujías y el efecto de los momentos exteriores en los extremos de los minaretes acaban por definir la forma general de la elástica del pórtico, como se expresa en la figura, y que permitirá determinar los sentidos de los momentos flectores en relación correcta con las curvaturas: Estudio del pilar: Ecuación de equilibrio de momentos:

MP H

-H

B

-MP

Mp+MA = 3Ha;

La distancia desde B a la tangente en A = 0 (2º Teorema de Mohr) 1 3 ( M A  M P )3a  a  M A 3a  a  0 ; 2 2 M A  M P  3M A  0;  M P  2M A ;

que, en combinación con la ecuación de A

+ +M

H

A (d.m.f.)

(d.f.c.)

equilibrio: M A  Ha ; M P  2 Ha ;

MA Cálculo de la tangente en la cabeza del pilar: 1 3 3 M A  3a  M A  a  M A  a ; 2 2 2 3 Ha P  ; 2 EI EI   P 

Estudio de la crujía: Pa

Equilibrio de la crujía:

MD

1. La cabeza del pilar transmitirá a la crujía el momento MP = 2Ha 2. El minarete transmitirá el momento Pa 3. El muñón del dintel en la crujía tendrá que equilibrar los anteriores con un momento flector MD, cuyo cálculo da: M D  Pa  M P  ( P  2 H )  a

Mp

239


Estudio del dintel: 3a

3a

B

MD

B

MD

θD

(d.f.c.)

MD

(+)

(d.m.f.)

Cálculo de la tangente en el extremo del dintel: 3( P  2 H )a 2  EI   D   M D  3a ;   D  ; EI Cálculo de la incógnita hiperestática H: 3 Ha 2 3( P  2 H )a 2 P D ;   ;  2 EI EI

H  2( P  2 H ); 

H

2 P; 5

Reacciones, momentos y giros: H

2 P; 5

MA 

2 Pa ; 5

MP 

4 Pa ; 5

MD 

1 Pa ; 5

P D 

3 Pa 2 5 EI

Con ello quedan respondidas las preguntas 1 y 4 del enunciado. El momento máximo es Pa en las cabezas de los minaretes; y la fuerza cortante máxima: H = 2/5P [que se manifestará en los pilares] (pregunta nº 3).

En cuanto a la elástica del pórtico, la primera figura de esta solución da cumplida cuenta de ella (pregunta nº 5)

La profundización en el estudio del pórtico expuesto requiere un análisis de los minaretes. Estos pueden considerarse como piezas empotradas en A, con un apoyo en B y el momento transmitido por el dintel, y con un momento exterior Pa aplicado en su extremo C.

240


3a

2 H P 5

a

Pa MA 

2 Pa 5

MD 

1 Pa 5

Tras dibujar los diagramas de f.c y m.f., queda de manifiesto el punto de inflexión de la elástica a la distancia a de la base del pilar (pregunta nº 6). Por su parte, la distancia de C a la tangente en A, mediante el 2º T. de Mohr, resulta:

2 H P 5

1 6 2 5 1   EI   Pa  3a  3a  Pa  3a  a  Pa 2  a 2 5 5 2 2

2/5P (d.f.c)



a 4/5Pa

(+) 2/5Pa

(-)

Pa

29 Pa 3 10 EI

Con ello se da respuesta a la 7ª pregunta del enunciado.

(d.m.f.)

En cuanto al diagrama de momentos flectores del pórtico completo (preg. 2ª):

Pa

Pa

Pa

4/5Pa

C

C

B

B

1/5Pa

(-)

(+) (-)

(+) A

A

2/5Pa

2/5Pa 241


PROBLEMA VI-15 En el pórtico articulado de la figura actúan las fuerzas P que se indican en las crujías. En el pórtico no se consideran otras cargas exteriores, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


6a P

B

B

3a

A

242

A

P


SOLUCIÓN:

P

6a B

P

B

3a A

A

Equilibrio isostático del pórtico:

H=P

V . 6a = 2 . 3Pa

H=P

V=P

V

V

Estudio del pilar:

Cálculo del momento de la cabeza del pilar: θP

P

P

Mx = Px; MP = 3Pa

Mp

3Pa

B

+ +

3a

A

P P

P dfc

dmf

Ecuación diferencial de la elástica: 1 1 EI  y    Px ;  EI  y    Px 2  K ;  EI  y   Px 3  Kx ; 2 6 Cálculo de la tangente a la elástica en la cabeza del pilar: 9 EI   P   Pa 2  K 2 Cálculo de la flecha en la cabeza del pilar: 9 EI  y B   Pa 3  3 Ka 2 243


Estudio de la crujía: P MD

P Mp

P

1. Transmitirá el momento de la cabeza del pilar al extremo del dintel: MD = MP = 3Pa 2. Transmitirá la reacción vertical P de la cimentación al extremo del dintel. 3. Transmitirá la carga P hacia la cabeza del pilar.

P

Estudio del dintel:

MD= 3Pa

MD= 3Pa

P

P

θD

6a (– )

P

- 3Pa +3Pa

Cálculo de la elástica del dintel: M x  3 Pa  Px ; 

EI  y  Px  3 Pa ; 

EI  y 

1 2 Px  3 Pax  C ; 2

1 3 3 Px  Pax 2  Cx ;  y x  3 a  0  C  3 Pa 2 6 2 1 1 3 EI  y  Px 2  3 Pax  3 Pa 2 ;  EI  y  Px 3  Pax 2  3 Pa 2 x ; 2 6 2 EI  y 

Tangente a la elástica en B (x = 0): EI   D  3 Pa 2 Ecuación hiperestática: (θP = θD) 9 15 3 Pa 2   Pa 2  K ;  K  Pa 2 2 2

244



2.


H=P

Reacción vertical:

V=P

Diagramas de momentos flectores: + 3Pa

- 3Pa

3.

Momentos Flectores máximos del dintel y pilares se producen en las crujías: MDmax = 3Pa

4.

El ángulo que gira la crujía: θB = + 3Pa2/EI

5.

Elástica: yB

yB

ymax

θB xm θA

245


6.

Secciones de inflexión: una solamente, en el centro del dintel.

7.

Posición flecha máxima dintel: EI  y  

1 Px 2  3 Pax  3 Pa 2  0 ;  2

x 2  6 ax  6 a 2  0 ; 

x  ( 3  3 )a ;

xm = (3 +/- √3) · a 8.

Valor de la flecha máxima: EI  y 

1 3 3 1  Px 3  Pax 2  3 Pa 2 x   ( 3  3 ) 3  ( 3  3 ) 2  3( 3  3 ) Pa 3 ; 6 2 2 6 

EI  y max  3 Pa 3 ;

Para el primer tramo del dintel: xm = [3 – √3 ] · a; ymax = √3 · Pa3/EI = + 1,73 · Pa3/EI 9.

Desplazamiento de las crujías: EI  y B  

9 9 15 Pa 3  3 Ka   Pa 3  3 Pa 3  18 Pa 3 ; 2 2 2

yB = + 18 · Pa3/EI

246


PROBLEMA VI-16 La figura representa una estructura en forma de cruceta con sus extremos articulados y carga “q” exterior uniformemente distribuida en la forma descrita. Las longitudes de los cuatro brazos son iguales de la misma sección y del mismo material.

1. Calcular las reacciones en los empotramientos y el giro del nudo central de la cruceta. 2. Dibujar los diagramas de momentos flectores y elásticas correspondientes, indicando la posición de los puntos de inflexión. 3. Calcular la flecha máxima.

C q q

A B 2a

B q

q C

SOLUCIÓN:

1. La estructura presenta una antisimetría total respecto al centro de la cruceta A, por lo que las reacciones en las articulaciones B y C serán iguales y antisimétricas. Además, las articulaciones no darán ninguna reacción axil (p.ej. en las barras verticales) ya que su condición doblemente antisimétrica no permitiría el equilibrio con reacciones horizontales en las otras articulaciones. Así que la determinación de las reacciones transversales se limitará al establecimiento del equuilibrio de momentos del conjunto. Al mismo tiempo se conservará inalterable la posición del punto A.

247


2. Cuanto queda dicho se traduce en el estado de acciones externas (resultantes de la carga “q” y reacciones “R”) y el esquema de la elástica general que se indica:

R C 2qa

2qa B

R

A

B 2a

2qa

R

2qa

C R

3. Calculada la reacción “R”, como el caso isostático que constituye el problema, se podrá estudiar solamente un brazo de la q

B

cruceta, dado que por simetría los otros tendrán

A 2a

qa qa

qa (d.f.c .)

Nótese que la antisimetría no permite la existencia de momentos flectores en la cruceta “A”, por lo que el tramo BA se comporta como una viga simplemente apoyada con

-qa

(d.m.f. )

idénticas características:

una carga distribuida “q”.

La determinación hecha de la función del momento flector M permite desarrollar la ecuación diferencial de la elástica y sus integraciones:

248


Existe un punto de inflexión único en “A”, tanto horizontalmente como verticalmente.

PROBLEMA VI-17 La figura representa una estructura en forma de cruceta con sus extremos empotrados y una sola carga exterior consistente en un momento aplicado exactamente en el punto de encuentro de los elementos horizontal y vertical. Las longitudes y secciones de los cuatro brazos son iguales y del mismo material.

Calcular las reacciones en los empotramientos y el giro del nudo central de la cruceta. Dibujar los diagramas de momentos flectores y elásticas correspondientes, indicando la posición de los puntos de inflexión y flecha máxima.

B

4Pa B A

B

a

B

249


SOLUCIÓN:

1. La estructura presenta una antisimetría total respecto al centro A, tanto en el eje horizontal como en el vertical, por lo que las reacciones en los empotramieentos B serán todas iguales y antisimétricas: a) oponiéndose, de una parte, al giro que propugna el momento exterior 4Pa, b) conservando inalterable la posición del punto A, de otra, y finalmente, c) respetando la condición de empotramiento de los extremos B.

2. Si planteáramos la abstracción de considerar los extremos B articulados, en vez de empotrados, surgirían fuerzas de reacción en B (todas iguales) equilibrando por pares al momento exterior 2Pa. Es decir fuerzas de valor P, como muestra la figura, con unas deformaciones elásticas del tipo de las que se indican. Con ello, las conclusiones a) y b) quedarían aplicadas (rojo):

P B

4Pa P

B A

B

P

a

B P

La conclusión c) implicaría la aparición de momentos de empotramiento para que rectifiquen la curvatura de la elástica en el sentido conveniente (azul)

250


3. Esos momento de reacción, como puede verse en la figura, tienen todos el mismo sentido de giro, por lo que desestabilizarían el equilibrio del conjunto, haciendo necesaria la aparición de nuevas fuerzas de reacción en B (ver figura siguiente) que se sumarían a las P ya descritas y que vamos a llamar R, como una incógnita hiperestática, cuya relación con los momentos de empotramiento debe deducirse de la ecuación de equilibrio:

MB=Ra P+R B

P+R

4Pa B

MB=Ra

A

B

MB=Ra

P+R a

B P+R MB=Ra 4. La resolución de la incógnita hiperestática R se deducirá de la condición de mantenerse el punto A sin desplazamiento alguno, por lo que la distancia desde A a la tangente en B será nula. Esto puede establecerse a partir del segundo Teorema de Mohr en el diagrama de momentos flectores.

Para ello aislamos un tramo cualquiera BA, con las reacciones ya descritas en B y las cargas transmitidas desde A para el correspondiente equilibrio.

251


B

Ra

A

P+R

Pa

P+R a

-(P+R)

Diagrama de Fuerzas Cortantes

-Pa

x +Ra

a-x

Ahora podemos considerar su diagrama de momentos flectores descompuesto como se indica a continuación para facilitar la aplicación de los teoremas de Mohr:

-Pa-Ra -Pa

=

+ +Ra

+Ra

a 2º Teorema de Mohr (distancia desde A a la tangente que pasa por B):

Mientras que el giro del nudo será (1er teorema de Mohr):

Así pues, las reacciones en los empotramientos serán:

Y la rotación del nudo central:

252


Respecto a los diagramas de momentos flectores y elástica, quedan reflejados a continuación:

B

Pa/2

A

1,5P

Pa

1,5P a

-Pa

a/3 +Pa/2 inflexió n

a/3 flecha máxima

SIGUIENDO OTRO PLANTEAMIENTO:

La situación de antisimetría total del problema, nos permitirá efectuar cuatro cortes en las proximidades del punto central A, estableciendo acciones antisimétricas en los muñones, que equilibren el momento 4Pa, como se indica en la figura: Pa a

A partir de aquí, ya podríamos continuar el problema

R 4Pa

R Pa

Pa a

A

a

R

R

en la línea que se indica a partir del punto 4.- de la solución anterior.

Pa a

253


PROBLEMA VI-18

Los dos elementos estructurales de la figura constituyen una crujía y actúan como pilar y viga, ambos empotrados respectivamente en su cimiento y en un muro de carga.

Se encuentran sometidos a sendas cargas puntuales P, localizadas y orientadas en la forma que indica la figura.

Se pide determinar las cargas que soportan el cimiento y el muro, fuerza cortante máxima y el momento flector máximo a que se ve sometida la estructura, la flecha máxima y la forma de la correspondiente elástica.

La viga y el pilar están constituidos del mismo material (de módulo de elasticidad E), tienen la misma sección (cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I) y sus longitudes son iguales. P a

P a

a

C B a P a P a A

254


SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan simetría respecto al eje que pasa por C a 45º con la horizontal, de forma que las reacciones en los empotramientos A y B serán por lo tanto iguales y simétricas, aportando las reacciones que equilibren horizontal y verticalmente el conjunto.

b) La misma disposición de simetría exigirá una elástica simétrica, en la que el ángulo recto de la crujía en C se conserve, por lo que dicha unión ni sufrirá desplazamiento alguno, ni efectuará ningún giro. Lo que significa que tanto el pilar como la viga atacarán a la crujía con tangentes a la elástica vertical y horizontal respectivamente. Es decir, que esa crujía se comportaría exactamente igual que hacen los empotramientos como condiciones de contorno. Tanto para el pilar como para la viga, estando ambos en idéntica situación de doble empotramiento. P a

P a

a

VB

C

HB

B MB

a P a P

eje de simetría a

VB=HA=Y HB=VA=X MA=MB=MO

A MA HA VA

c) Todo ello nos podría permitir trivializar el problema reduciéndolo a una simple viga doblemente empotrada, sin embargo vamos a desarrollar los razonamientos oportunos con la rigurosidad más estricta.

255


d) Un análisis completo de la estructura nos muestra a estas conclusiones de simetría con la evidente igualdad de las reacciones VB y HA, a las que llamaremos Y; como la igualdad de las HB y VA, que llamaremos X; y los momentos, MA y MB, dada la situación de simetría. e) El estudio final de cualquiera de esas ramas (la CB por ejemplo) como doblemente empotradas nos dará por fin la solución buscada: X

P

MO C

P

M BO

Y

X

Y Y = P ; al igual que será, si se estudiara el pilar, que X = P;

P

P

MO P

M P

O

P

f) Tan solo resta la determinación de la incógnita

P

hiperestática

que

podrá determinarse por el primer Teorema de Mohr al igualar la

P P a

a/ 2 M

O

MO Pa a

tangente en el punto medio del vano con la de cualquiera de sus extremos:

M

O

El área negativa del d.m.f. es: MO (a + a/2) = 3/2 MOa

El área positiva: ½ Pa.a + Pa.a/2 = Pa2

a/ 2

Al igualar ambas áreas:

M

M

O

O

P a

MO = 2/3 Pa (negativo)

El momento en el centro del vano: Pa – MO = 1/3 Pa

Las respuestas a las cuestiones planteadas son ya inmediatas.

256

MO,


ROBLEMA VI-19

Los dos elementos estructurales de la figura constituyen una crujía y actúan como pilar y viga, ambos empotrados respectivamente en su cimiento y en un muro de carga.

Se encuentran sometidos a sendas cargas puntuales P, localizadas a mitad de cada vano y orientadas en la forma que indica la figura.

Se pide determinar las cargas que soportan el cimiento y el muro, fuerza cortante máxima y el momento flector máximo a que se ve sometida la estructura, la flecha máxima y la forma de la correspondiente elástica.

La viga y el pilar están constituidos del mismo material (de módulo de elasticidad E), tienen la misma sección (cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I) y sus longitudes son iguales. P a

a

C B a

P

a

A

257


SOLUCIÓN:

a) La disposición geométrica de las barras y su carga, presentan antisimetría respecto al eje que pasa por C a 45º con la horizontal, de forma que las reacciones en los empotramientos A y B serán por lo tanto iguales y antisimétricas, aportando las reacciones que equilibren horizontal y verticalmente el conjunto. b) De otra parte, el extremo C de la viga no puede acercarse ni alejarse de B, ya que la longitud “2a” deberá permanecer inalterable. La misma circunstancia deberá acaecer analizando el pilar AC, por lo que C tampoco podrá desplazarse verticalmente. Así que el punto C deberá ser considerado como posición fija.

c) También, la misma disposición de antisimetría exigirá elásticas antisimétricas, en las que el ángulo recto de la crujía en C se conserve, aunque sí podrá efectuar un cierto giro. Lo que significa que tanto el pilar como la viga atacarán a la crujía con tangentes a la elástica de una misma inclinación a un punto fijo que es C. Es decir, que cada elemento de esa crujía se comportaría exactamente igual que hacen las vigas empotradas en un extremo y apoyadas en el otro, sin absorber momento de reacción en C; cosa que de otro modo, resulta evidente al tener que compatibilizar las elásticas giradas en C con el equilibrio de momentos en la crujía. P a

a

VB

C B

HB MB

a

Por antisimetría:

P

eje de antisimetría

a

A MA HA VA

258

VB=HA=Y HB=VA=X MA=MB=MO


d) Sin embargo, aunque así sea, no se puede simplificar absolutamente el problema reduciéndolo a una simple viga empotrada y apoyada, pues las reacciones axiales van a jugar el importante papel de soportar una parte de las cargas “P” del otro elemento de la estructura. Lo que hará que se transmitan ciertas cargas de compresión a los cimientos.

e) Un análisis global de la estructura nos expone estas conclusiones de antisimetría con la evidente igualdad de las reacciones VB y HA, a las que llamaremos Y; como ocurre igual con las HB y VA, que llamaremos X; y los momentos, MA y MB.

f) El estudio final de cualquiera de esas ramas (la CB por ejemplo) como empotradaapoyada nos llevará por fin a la solución buscada:

g) Tan solo resta la determinación de la incógnita hiperestática MO, que podrá determinarse por el 2º Teorema de Mohr al anular la distancia desde C a la tangente en B: El área negativa del d.m.f. es:

P

M

X P

X

O

θc

X X a

a

(P-2X).a2; La distancia desde su c.d.g. al

Y

eje que pasa por C: (a+1/2 a)=3/2 a

P Y=PX

El área positiva 1: ½ (P-X).a2 La distancia desde su c.d.g. al eje que pasa por C:

Xa

(a+1/3 a)=4/3 a El área positiva 2: ½ X.a2

La distancia desde su c.d.g. al eje que pasa por C: 2/3 a Igualando los momentos estáticos correspondientes: (P-2X)a2.3/2.a = ½ (P-X).a2. 4/3 a + ½ X.a2. 2/3 a

259


Lo que simplificado nos da como soluciones de X e Y: X = ¼ P;

Y = ¾ P;

Resultando el momento del empotramiento: M0 =1/2 Pa Las respuestas a las cuestiones planteadas resultan ya muy fáciles de determinar aplicando convenientemente los Teoremas de Mohr con el esquema del diagrama de momentos flectores.

PROBLEMA VI-20

En el pórtico de la figura calcular la flecha máxima del dintel, y el momento máximo en los pilares. Utilícense los teoremas de Mohr donde sean aplicables. Dibujar la forma de la elástica de forma que queden indicados claramente los puntos de inflexión de la misma. Los Módulos de Elasticidad y Momentos de Inercia de pilares y dinteles son conocidos e iguales entre sí (E e I).

4a B

B

P

a

a

2a

2a A

260

A

P


SOLUCIÓN:

a) Como el pórtico es simétrico y no tiene cargas verticales, las reacciones en las articulaciones solo se presentarán en sentido horizontal. b) La elástica del dintel será simétrica y, por tanto con tangente horizontal en su punto medio. Ello permitirá utilizar los Teoremas de Mohr tanto para determinar el ángulo de giro de sus extremos B, como para determinar la flecha en el centro.

4a B

B

P

a

a

2a

2a A H

A H

c) El análisis del pilar nos facilita los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores en función de la incógnita hiperestática H. Así como el dintel, que estará sometido a flexión pura por los momentos transmitidos por las cabezas de los pilares, deberá acoplarse a la cabeza de estos conservando la ortogonalidad con ellos. La flexión pura conllevará una elástica continua, sin inflexiones, en arco de circunferencia. Todo ello nos permitirá intuir la elástica en consonancia con los diagramas de momentos flectores.

261

P


M p

P-H

a

P-H

-Mp

B

inflexión de la elástica

P

cambio de pendiente del m.f.

2Ha

2a

θp

H

A

x

H (d.f.c.)

Para valores de x comprendidos entre: pilar será:

Mx

(d.m.f. ) el momento flector en el

; siendo entonces la ecuación diferencial de su elástica, en ese

primer tramo, y sus respectivas integraciones:

Entre:

el momento flector será: ;

Así que la ecuación diferencial de este tramo de elástica, con sus respectivas integraciones serán:

262


En el punto de aplicación de la carga [común a los dos tramos:

] el valor de

la flecha y la tangente a la elástica serán iguales para las ecuaciones de ambos tramos:

Lo que simplificado quedaría:

O sea:

Quedando determinadas las otras constantes (k1 y k2) al aplicar la condición de que para:

será:

lo que, con el valor calculado para k, resulta:

y, de otra parte:

Todo en función de la incógnita hiperestática H, que determinaremos igualando los ángulos girados por las cabezas de pilares y extremos de dintel.

d) El ángulo de la cabeza del pilar será el valor de

cuando

.

Es decir:

263


e) Por su parte, el dintel sometido a flexión pura, como se ha dicho antes, permitirá el uso de los Teoremas de Mohr, facilitando así el cálculo del ángulo girado por sus extremos. 4a θp

Mp

B

Mp

B

C

(d.f.c.) -Mp

-Mp (d.m.f.)

La aplicación del 1er Teorema de Mohr permitirá directamente calcular el ángulo girado por el extremo B:

Que igualado al del pilar:

f) El momento máximo en los pilares habrá de ser el mayor de entre Mp y 2Ha :

De donde se deduce que Mp es el valor máximo del momento en todo el pórtico

Para la determinación de la flecha en el centro nos apoyaremos en el 2º Teorema de Mohr:

264


PROBLEMA VI-21

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares del mismo módulo de elasticidad E y sección cuyos momentos de inercia, con respecto a la línea neutra, son I y 2I, respectivamente. Calcular: 1.


2.


3.


4.

Angulo que gira las uniones de dintel con pilares

5.


6.


7.

Posición de las flexiones y flechas máximas de pilares y dintel

8.


4a B

B I

2a

p

2I

A

p

2I

A

265


PROBLEMA VI-22

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, 2I en los pilares y, también, 2I en los volados. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.

Posición de la flecha máxima de pilares y la flecha máxima del dintel

8.

Cálculo de dichos flechas máximas

9.

Flecha de los extremos volados

a Pa

2a Pa B

a Pa

Pa B

2P I

2I 3a

2I A

266

2a

2I

2I A


PROBLEMA VI-23

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, en los pilares y, también, en los volados. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


a

2a

2a

Pa B

Pa

2P

a Pa

I

I 3a

I

A

Pa

B I I

A

267


PROBLEMA VI-24



2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


a

2a 2P

B

3Pa

a B

3Pa

I

I 3a

I

A

268

2a

I I

A


PROBLEMA VI-25 En el pórtico de la figura se produce un desplazamiento horizontal 2Δ << a de una de las zapatas de sus pilares. En el pórtico no se considera la existencia de carga exterior alguna, y las secciones de pilares y dintel tienen el mismo Momento de Inercia I, estando construidos del mismo material de Módulo de Elasticidad E. Se desea conocer el estado de tensión a que el pórtico se verá sometido ante dicho desplazamiento, determinando lo siguiente: 1. El momento flector máximo en el dintel y los pilares. 2. Reacciones en las bases de los pilares: fuerzas horizontales y verticales y momentos de empotramiento. 3. Diagramas de momentos flectores en los pilares y el dintel. 4. Angulo que gira la crujía de unión entre pilares y dintel. 5. Forma y curvaturas de la elástica (indicando claramente las curvaturas en las inmediaciones de las cimentaciones y en las crujías pilar-dintel). 6. Posición de las secciones de inflexión. 7. Posición de la flecha máxima en el dintel, así como el signo o sentido de la misma. 8. Cálculo de dicha flecha máxima.

2a

2a

B

B

3a 2Δ A

A A’

269


PROBLEMA VI-26

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel y 2I en los pilares. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.

Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de la sección recta de cada elemento del pórtico

6a Pa

B

B Pa

I 3a

2I

A

270

2I

A


PROBLEMA VI-27

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.

Desplazamiento de las cabezas de los pilares

10.

Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de la sección recta definida para el pórtico

3a

3a Pa

B

B 2Pa

I

3a

A

Pa

I I

A

271


PROBLEMA VI-28



2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


a

2a

2a

Pa B

2P

a Pa B

I

2I

2I

Pa

Pa 2I

3a

A

272

2I

A


PROBLEMA VI-29

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección. Las bases de los pilares están empotradas en sendos cimientos perfectamente estabilizados en A. El pórtico está cargado con los momentos “P.a” en las uniones B de pilares y dintel, como se indica en la figura, además de la carga “P” en la sección central del dintel, C. Calcular: 1.


2.


3.

Momentos flectores en los extremos del dintel

4.


5.

Angulo que giran las uniones B de dintel con pilares

6.


7.


8.

Posición de la flecha máxima del dintel

9.


10.


3a

3a

Pa

Pa 2P

B I 3a

I A

B

C

I A

273


PROBLEMA VI-30

El pórtico de la figura está compuesto por dintel y pilares de módulo de elasticidad E y sección cuyo momento de inercia respecto a la línea neutra es I en el dintel, 2I en los pilares y, también 2I en los volados. Calcular: 1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.

Posición de la deflexión máxima de pilares y la flecha máxima del dintel

8.


9.


10.

Indicar cuál debe ser el momento flector que debe tomarse para el diseño de la sección recta de cada elemento del pórtico

a

6a

a B

B I

2I

2I

Pa

Pa

3a

2I

A

274

2I

A


PROBLEMA VI-31

El pórtico de la figura está compuesto por dintel de módulo de elasticidad E, y sección S cuyo momento de inercia, con respecto a su línea neutra, es 3I, mientras que los pilares (del mismo material que el dintel) tienen un momento de inercia I.Las bases de los pilares está empotradas en sendos cimientos perfectamente estabilizados en A.- Calcular: 1.


2.


3.


4.

Angulo de giro de las uniones de dintel con pilares

5.


6.


7.

Posición de las deflexiones y flechas máximas de pilares y dintel

8.


9.


4a 2a

a

a

B

B C Pa

3a

3I

C Pa

I

I

A

A

275


PROBLEMA VI-32

En el pórtico doble de la figura calcular el desplazamiento del dintel y el momento máximo que ha de soportar toda la estructura, así como la posición de la sección donde se manifiesta. Dibujar la forma de la elástica de manera que queden indicados los puntos de inflexión de la misma. Los Módulos de Elasticidad y Momentos de Inercia de pilares y dinteles son conocidos e iguales entre sí (E e I).

2a

2a

B

P

B D

2a

A

C

A

SOLUCIÓN: a) Estando los pilares articulados en su base, no existen reacciones en forma de momentos en A ni en C, pero sí habrán fuerzas horizontales que equilibren las cargas exteriores P y verticales que compensen el momento de vuelco que producen estas fuerzas. b) La antisimetría, exige que las reacciones verticales en A sean iguales y de sentido contrario, anulándose la del pilar central. Mientras que las horizontales, siendo iguales en los pilares exteriores, será diferente a ellas en C.

276

P


c) En cuanto a la elástica, por supuesto antisimétrica, se producirá un desplazamiento de los nudos B y D iguales y hacia la derecha, obligando a su vez al dintel a mantener la ortogonalidad con los pilares en su encastre.

2a

2a P

B

P

B D

2a

A

A

C X

Y

X

V

V

d) De manera que el equilibrio isostático nos permitirá calcular directamente las fuerzas verticales V y nos dará una ecuación entre X e Y, quedando el problema pendiente de la obtención de una ecuación hiperestática para la determinación de las incógnitas presentadas.

e) El estudio de los pilares nos podrá determinar los momentos flectores en sus cabezas que serán los que se transmitan al dintel. M

M B

X

Y D

X

B

D

Y

2a

2a

A X

C (d.f.c.)

(d.m.f.)

Y

(d.f.c.)

(d.m.f.) 277


f) Asumiendo ya que el momento en las cabezas de los pilares exteriores se transmitirán a los extremos externos del dintel, queda visualizar la crujía que, en forma de T, remata el pilar central en el punto D. Esta se encontrará sometida al momento flector procedente del pilar y a los momentos anti simétricos Me (además de las fuerzas horizontales, no indicadas):

Me

D

Me

MD

g) Así, ya se puede analizar el dintel (solo presentaremos una mitad) con sus solicitaciones en función de una única incógnita hiperestática (X ó Y):

P

P Me=Ya

MB=2Xa 2a

(dfc)

(dmf)

De manera que la relación entre MB y Me vendrá dada por la pendiente P de la fuerza cortante:

278


h) Esta conclusión, no viene más que a confirmar la expresión ya obtenida en el apartado d). De otra parte, totalmente obvio, por cuanto no se ha aplicado aún ninguna condición hiperestática. Esta condición deberá dejar constancia de que la ortogonalidad entre dintel y pilares permanece inalterable. En el presente estudio no resulta cómodamente aplicable ninguno de los teoremas de Mohr, por lo que se realizarán los cálculos por integración sucesiva de la ecuación diferencial de la elástica.

i)

En el pilar AB la función del momento flector es

[denominando z a la altura

variable de la sección del pilar, entre 0 y 2a], por lo que el cálculo correspondiente deberá ser: para:

luego:

para:

k2=0

;

luego: el desplazamiento de B:

j) En el pilar CD la función del momento flector es

[denominando también z a

la altura variable de la sección del pilar, entre 0 y 2a], y el cálculo correspondiente deberá ser: para: para:

luego:

c2=0

;

luego: el desplazamiento de D:

279


k) En el dintel BD la función del momento flector es

[denominando

otra vez z a la distancia variable de la sección del dintel, entre 0 y 2a], y ahora el cálculo correspondiente deberá ser: para:

luego:

b2=0 para:

luego:

así que:

así que para:

l)

La identidad entre los ángulos girados en las uniones B y D por dintel y pilares respectivos (θB y θD) nos puede permitir la determinación de las constantes k1 y c1:

m) Las constantes anteriores sustituidas en i) y j),

nos permiten igualar los

desplazamientos de B y D, que serán idénticos, y que constituyen la ecuación hiperestática necesaria para el cálculo de X e Y.

o sea,

n) Resuelta la hiperestaticidad, la contestación a las preguntas formuladas resulta ya sencillo. 280


281


282


283

Problemas Isostaticos e Hiperestaticos

Recommend Documents