Electromagnetismo Maestría 2018 -I Capítulo I Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Ley de Gauss. Potencial electrostático. Energía electrostática.
BIBLIOGRAFÍA 1. J. R. Reitz and F. J. Milford, Fundamentos de la Teoría Electromagnética, Wesley, 1962. 2. Wangsness, R. K. Campos electromagnéticos, Editorial LIMUSA, S.A., 2001 3. Zahn, Markus. Electromagnetic Field Theory: A problem solving approach, 2d Ed. 4. Jackson, J.D., Classical Electrodynamics, 2nd Edition, John Wiley & Sons, New York, 1975
Ejercicios Carga Eléctrica 1. Encontrar la carga total en cada caso de las siguientes distribuciones de carga donde a es un parámetro constante: a) Una línea de carga infinitamente larga con densidad
= −||/ 4 = 1/
b) Un volumen esféricamente simétrico distribuido sobre todo el espacio
c) Una hoja de carga superficial infinita con densidad
−||/ ,, = 1 / / 2. Usando funciones delta de Dirac en las coordenadas apropiadas, exprese las siguientes distribuciones de carga como densidades de carga tridimensionales
⃗:
a) En coordenadas esféricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre una cáscara esférica de radio R. b) En coordenadas cilíndricas, una carga por unidad de longitud uniformemente distribuida sobre una superficie cilíndrica de radio b.
c) En coordenadas cilíndricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre un disco circular plano de espesor despreciable y radio R. d) Lo mismo que la parte c, pero en coordenadas esféricas.
Campo Eléctrico 1. Se tiene una línea de carga infinitamente larga, con densidad de carga uniforme por unidad de longitud. Por integración directa, determinar el campo eléctrico a una distancia r de la línea. 2. a) Un disco circular de radio R, tiene una densidad carga superficial uniforme . Calcule el campo eléctrico en un punto sobre el eje del disco a una distancia z del plano de dicho disco. b) Un cilindro circular de radio R y altura L, está orientado a lo largo del eje z. Posee una densidad volumétrica de carga no uniforme dada por (z) = 0 + βz en relación a un origen en el centro del cilindro. Determinar la fuerza sobre una carga puntual q situada en el centro del cilindro. 3. Dado un cilindro circular recto, de radio R y longitud L, conteniendo una carga uniforme. Calcular el potencial electrostático en un punto sobre el eje del cilindro externo a la distribución 4. Una distribución esférica de carga tiene una densidad de carga volumétrica que es función de r, la distancia desde el centro de la distribución. En otras palabras, = (r). Si (r) fuera así, determinar el campo eléctrico como función de r. Integrar el resultado para obtener una expresión para el potencial electrostático (r), sujeto a la restricción () = 0. a) = A/r, siendo A una constante para 0 ≤ r ≤ R; = 0 para r > R. b) = 0 (esto es, constante) para 0 ≤ r ≤ R; = 0 para r > R. 5. Una barra circular infinitamente larga, de radio R, contiene una densidad de carga uniforme
. Usar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico para r > R y r < R. 6. Tres esferas de radio a, una conductora, otra que posee una densidad de carga uniforme en su volumen y otra provista de una densidad de carga con simetría esférica que varía n
radialmente con r (n > -3), poseen una carga total Q. Hágase uso del teorema de Gauss para obtener los campos eléctricos tanto en el interior como en el exterior de cada esfera. Represéntese el comportamiento de los campos en función del radio para las dos primeras esferas, y para la tercera con n = -2, +2. 7. Suponer que el exponente del campo de Coulomb no sea exactamente 3, por ello a = 3 - , donde << 1. Calcular la integral de carga q.
∇.
sobre un volumen esférico de radio R centrado en la
8. Dos planos infinitos con iguales densidades de carga superficial σ, son paralelos al plano xy y están situados como se muestra en la figura. Encontrar
para todos los valores de z.
9. Dos planos infinitos iguales pero opuestas densidades de carga superficial σ = constante, son paralelos al plano xy y están situados como se indica en la figura. Encontrar los valores de z.
Problema 9
para todos
Problema 10
10. El arco circular de radio a que se muestra en la figura descansa sobre el plano xy y posee densidad de carga lineal constante, estando su centro de curvatura en el origen. Encontrar
en un punto arbitrario sobre el eje z. Demostrar que cuando la curva es una circunferencia completa la respuesta es
Problema 10
= +/
Problema 11
11. Existe carga distribuida con una densidad de carga lineal constante, sobre la recta de longitud finita que se muestra en la figura. Encontrar R1, expresar
en P. Con ayuda de las distancias R2 y
en función de los ángulos α2 y α1 que se muestran. Encontrar
especial en el que L 2 = L1 = L y P se encuentra sobre el plano xy.
para el caso
12. Existe carga distribuida con densidad superficial de carga constante, sobre un círculo de radio a. El círculo descansa sobre el plano xy con su centro en el origen. Demostrar que el campo eléctrico en un punto sobre el eje z está dado por
= 2 || 1 ||/ ⟶
¿Cómo queda esta expresión a medida que
?
13. Un cilindro infinitamente largo tiene su eje coincidente con el eje z. Tiene una sección circular de radio a y posee una densidad volumétrica de carga ch constante. Encontrar
para
todos los puntos dentro y fuera del cilindro. Sugerencia: utilizar coordenadas cilíndricas para la integración; por conveniencia, escoger el punto de campo sobre el eje x (¿Será
esto
suficientemente general?); posiblemente se requiera la siguiente integral definida:
> 2 = 0 < 14. El paralelepípedo rectangular de la figura con a > b > c se rellena con carga de densidad constante, . Se construye una esfera de radio igual a 2 a con centro en el origen. Encontrar el flujo
∮ .⃗
a través de la
superficie de esta esfera. ¿Cuál será el flujo si el centro de la esfera se coloca en el vértice (a, b, c)? Problema 15
15. Una esfera de radio a con centro en el origen posee una densidad de carga dada por = 2
Ar , donde A = const. Otra esfera de radio 2 a es concéntrica con la primera. Encontrar el flujo
∮ .⃗
a través de la superficie de la esfera mayor.
16. Una carga de densidad volumétrica constante tiene la forma de una plancha de grueso a. Las caras de la plancha son planos infinitos paralelos al plano xy. Tómese como origen el punto medio entre las caras y encuéntrese
para todos los puntos.
17. Una esfera de radio a posee una densidad de carga que varía con la distancia, r, al centro
1/2
de acuerdo con = Ar , donde A = const. Encontrar para todos los puntos. 18. Dos esferas concéntricas tienen radios a y b tales que b > a La región entre ellas, es decir, .
a ≤ r ≤ b se rellena con carga de densidad constante. La densidad de carga es igual a cero en cualquier otro punto. Encontrar
para todos los puntos y expresarlo en función de la carga
total Q. ¿Se reducen sus resultados a los valores correctos cuando
⟶0
?
19. Un cilindro infinitamente largo tiene una sección circular de radio a. Se rellena con carga de
= ̂
densidad volumétrica constante, ch. Encontrar cilindro. ¿Son sus resultados consistentes con
para todos los puntos dentro y fuera del ?
20. Dos cilindros coaxiales infinitamente largos tienen radios a y b tales que b > a como se ,
muestra en la figura. La región entre ellos se rellena con carga de densidad volumétrica dada n
por ch = A , en coordenadas cilíndricas, siendo A y n constantes. La densidad de carga es igual a cero en cualquier otra parte. Encontrar
para todos los puntos ¿Para qué valores de n
y a se deberían reducir sus resultados a los obtenidos en el ejercicio anterior?¿Lo hacen?
Problema 20
21. La región entre los cilindros coaxiales infinitamente largos de la figura se rellenan con carga -α
cuya densidad volumétrica es, en coordenadas cilíndricas, ch = Ae
. Encontrar
para todos
los puntos. ¿Bajo qué circunstancias simples se deberían reducir sus resultados de éste y del ejercicio anterior a los mismos valores de
?¿Lo hacen?
22. El campo electrostático promedio en la atmósfera terrestre en clima agradable se ha logrado evaluar experimentalmente y es aproximadamente igual a
−)
=( −
. Todas las constantes empíricas son positivas y z es la altura sobre la superficie
(localmente plana). Encontrar la densidad de carga promedio en la atmósfera, en función de la altura. ¿Cuál es su signo? 23. Cierto campo eléctrico está dado por
=/3 =0 =2cos/ 3 =sen/3 para 0 < < a, y
en cualquier
otro caso. Encontrar la densidad volumétrica de carga
24. Un campo eléctrico en la región r > a está dado por
=0
,
,
, donde A = const. Encontrar la densidad volumétrica de carga en esta región.
25. Un semicilindro hueco infinitamente largo de radio R lleva una distribución de carga superficial 0. a) ¿Cuál es el campo eléctrico a lo largo del eje del cilindro? b) Usar los resultados de a) para encontrar el campo eléctrico a lo largo del eje debido a un semicilindro con densidad de carga volumétrica 0. c) Repetir (a) y (b) para encontrar el campo eléctrico en el centro de un hemisferio cargado cn densidad superficial uniforme o densidad de carga volumétrica
Problema 25
Problema 26
26. a) Encontrar el campo eléctrico a lo largo del eje Z de un lazo circular centrado en el plano XY de radio a llevando una densidad de carga lineal uniforme 0 para y > 0 y –0 para < 0 b) Usar los resultados de (a) para encontrar el campo eléctrico a lo largo del eje Z de un disco circular de radio a llevando una densidad de carga superfici al uniforme 0 para y > 0 y –0 para y < 0. 27 a) Encontrar el campo eléctrico a lo largo del eje Z debido a un lazo cuadrado con lados de longitud a centrado alrededor del eje Z en el plano XY llevando una densidad de carga lineal uniforme . ¿Qué resultados se obtendría para z >> a? b) Usa los resultados de (a) para encontrar el campo eléctrico a lo largo del eje Z debido a un cuadrado de densidad de carga superficial uniforme 0. ¿Qué resultados se obtendría cuando
→∞
?
Problema 28
Problema 29
28. Un lazo circular de radio a en el plano tiene una distribución de carga lineal uniforme 0 para y > 0 y –0 para < 0 a) ¿Cuál es el campo eléctrico a lo largo del eje Z? b) Usa los resultados de (a) para encontrar el campo eléctrico a lo largo del eje Z debido a un disco cargado con densidad de carga superficial uniforme 0 para y > 0 y -0 para y < 0 c) Repetir (a) si l carga lineal tiene una distribución = 0 sen d) Repetir (b) si l carga lineal tiene una distribución = 0 sen
29. Una carga lineal infinitamente larga con densidad 0 es doblada por la mitad con ambas mitades unidas por un semi-círculo de radio a. ¿Cuál es el campo eléctrico a lo largo del eje Z que pasa a través del centro del círculo? Problema 29
30. Encontrar la carga total encerrada dentro de cada una de los siguientes volúmenes para los campos eléctricos dados: a) b) c)
=̂ = ̂ =̂
, para una esfera de radio R; , para un cilindro de radio a y longitud L; para un cubo con lados de longitud a teniendo una esquina en el origen.
31. Encontrar el campo eléctrico en cualquier lugar para las siguientes distribuciones de carga volumétricas a) b) c)
=−||/ ∞ ≤ ≤∞ ={,, ≤≤ ≤ ≤ = , ≤ ≤ ,
Problema 31 b , c
d)
1/, ≤ ≤0 = 1 , 0 ≤ ≤ Problema 31 d
32. Una carga lineal a lo largo del eje Z se extiende sobre el intervalo –L z L a) Encontrar el campo eléctrico en el plano Z = 0 b) Usando los resultados de a) encontrar el campo eléctrico en el plano Z = 0 debido a
∞≤≤∞ = 2 1 − √ √ =
una cinta infinita Ayuda: Hacer
de altura 2L con densidad de carga superficial
.
Problema 32 a y b 33. Calcular el campo eléctrico en cualquier parte para las siguientes distribuciones de carga volumétricas con simetría esférica: a) b) c)
=−/ 0≤<∞ ={,, 0≤< << = , 0<< ,
Ayuda:
∫ −/ = −/ 2 1
34. Calcular el campo eléctrico en cualquier parte para las siguientes distribuciones de carga volumétricas con simetría cilíndrica: a) b) c)
=−/ 0<<∞ ={,, 0≤< << = , 0<< ,
Ayuda:
∫ −/ = −/ 1
35. un cilindro infinitamente largo de radio R con densidad de carga volumétrica uniforme
tiene un agujero fuera del eje de radio b con centro a una distancia d del centro del cilindro. ¿Cuál es el campo eléctrico dentro del agujero? (Ayuda: reemplaza el agujero por la superposición de distribuciones de carga de volumen
y
. Convierte las coordenadas
cilíndricas a coordenadas cartesianas para facilitar la adición vectorial).
Problema 35
Potencial Eléctrico 1. Calcular el rotacional y la divergencia de campo
= 4 ⃗
⃗/
. ¿Qué densidad de carga (r) produciría un
?¿Cuál es el potencial de este campo?
2. Considérese un cubo de lado a con la localización y orientación del cuerpo mostrado en la figura del problema 14 del campo eléctrico. Hay una carga puntual, q, en cada uno de los vértices. Encontrar en el centro de la cara para la cual x = a. 3. Una esfera de radio a posee una densidad de carga que varía con la distancia r al centro, de acuerdo con
=
, donde A es una constante y n 0. Encontrar el potencial para todos
los puntos dentro y fuera de la esfera, por medio de resultados en función de la carga total Q de la esfera.
= 4 ∫´ |⃗⃗− ´⃗´´|
, y expresar lo
4. Encontrar el potencial para todos los puntos dentro y fuera de la esfera de carga del ejercicio 17 del campo eléctrico por medio de en función de r.
∆= ⃗⃗= ∫ .⃗
. Graficar
5. Encontrar en todos los puntos para la distribución de carga del ejercicio 18 del campo eléctrico. Expresar la respuesta en función de la densidad de carga constante, , y graficar en función de r. 6. Una esfera de radio a posee una densidad de carga superficial, σ pero no tiene densidad volumétrica de carga. Encontrar para todos los puntos dentro y fuera de la esfera, por medio de
= 4 ∫´ |⃗⃗− ´⃗´´|
.
3. Una cáscara esférica fina, conductora de radio R, está uniformemente cargada con una carga total Q. Por integración directa, encontrar el potencial en un punto arbitrario a) en el interior de la cascara, b) fuera de la cáscara. 7. Un plano infinito cargado con densidad superficial σ constante coincide con el plano xy. Utilizar la expresión de cual se pueda calcular
dada por
= ||
para encontrar un potencial a partir del
. ¿Cuáles son las superficies equipotenciales en este caso?
8. Existe carga distribuida con densidad superficial σ constante sobre un círculo de radio a en el plano xy con centro en el origen. Demostrar que el potencial de un punto sobre el eje z está dado por
= [ / ||] = 2 || 1 ||/ . Verificar que esto da
¿Qué ocurre con a medida que a se vuelve muy grande?¿Cuál es el menor valor de z para el que el potencial producido por este círculo puede calcularse como si se debiera a una carga puntual, sin incurrir en un error mayor del 1 por ciento?
9. Considérese la carga lineal de la figura del problema 11 del campo eléctrico, con
=0
. La
carga por unidad de longitud es proporcional al cubo de la distancia al origen. Encontrar el potencial de un punto P sobre el eje x, para el que
=
. A partir de este resultado, encontrar
EZ en P; si no lo puede hacer, explicar la razón. ¿Cuánto trabajo debe realizar un agente externo para mover una carga puntual, q, muy lentamente a lo largo del eje x desde P hasta el infinito? 10. El potencial de Coulomb atenuado por la presencia de los demás electrones es
=
/ ocurre comúnmente en un medio conductor. Calcular el campo eléctrico y la
4
densidad de carga correspondientes. 11. El potencial medio temporal de un átomo de hidrógeno neutro viene dado por
− = 1 2 -1
en donde q es la carga electrónica, y = 0/2. Hállese la distribución de carga (continua y discreta) que dará lugar a este potencial e interprétese el resultado físicamente. 12. Considere que se tiene un hilo rectilíneo de longitud L sobre el eje X de un sistema de coordenadas donde uno de cuyos extremos está en el origen. El hilo tiene densidad lineal de carga
=
, siendo a una constante y x la distancia de un punto cualquiera del hilo. Calcular
el campo eléctrico y el potencial en un punto x cualquiera (x > L). 13. Un hemisferio de radio R tiene una carga superficial distribuida uniformemente con carga total Q. a) Romper la superficie esférica en aros de carga lineal de espesor Rd . ¿Cuál es el radio del aro, su altura z´, y su carga incremental total dq? b) ¿Cuál es el potencial a lo largo del eje z debido a este aro incremental cargado? Elimine la dependencia en y exprese todas las variables en términos de z´, la altura del aro diferencial de carga lineal. c) ¿Cuál es el potencial en cualquier posición a lo largo del eje z
debido al hemisferio entero de carga
superficial? Ayuda:
∫ +´´/ = √ +´
Problema 13
d) ¿Cuál es el campo eléctrico a lo largo del eje z? e) Si el hemisferio está uniformemente cargado a través de su volumen con carga total Q, calcular el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje z. Ayuda:
∫ √ = 3 3/
Energía electrostática 1. Un condensador simple es un dispositivo constituido por dos conductores aislados colocados uno junto al otro. Si colocamos sobre ellos cargas iguales y opuestas, habrá una cierta diferencia de potencial entre los conductores. La razón entre la carga de un conductor y la diferencia de potencial recibe el nombre de capacidad (en unidades electrostáticas se mide en centímetros). Haciendo uso de la ley de Gauss, calcúlese la capacidad de a) Dos láminas planas conductoras de gran área A separadas por una pequeña distancia d; b) Dos esferas concéntricas conductoras de radios a, b (b > a) c) Dos cilindros concéntricos conductores de longitud L, grande frente a ambos radios a, b(b > d) Calcúlese la energía electrostática total para cada uno de los tres tipos de condensadores y exprésese en función de las cargas Q y –Q iguales y opuestas colocadas sobre los conductores y la diferencia de potencial entre ellos. e) Represéntense la densidad de energía del campo electrostático en cada caso en función de la coordenadas lineal adecuada. 2. Calcúlese la fuerza atractiva entre las placas de un condensador de cilindros paralelos como en el problema anterior para los siguientes casos: a) cargas fijas en cada conductor; b) diferencia de potencial fija entre los conductores 3. Considérese un cuadrado de lado a. Empezando en uno de los vértices y siguiendo según el sentido según las manecillas del reloj, se coloca una carga puntual q en el primer vértice, 2 q en el siguiente, después 3 q y finalmente 4 q. Calcular la energía para esta distribución de cargas. 4. Una carga puntual q se coloca en cada uno de los vértices de un cubo de lado a. Encontrar la energía en este sistema de cargas. 5. Una esfera de radio a posee una densidad de carga que varía con la distancia r al centro de n
acuerdo con, = Ar , donde A es una constante y n > 0. Calcular la energía de la distribución de carga por medio de
= 12 ⃗⃗ ¿A qué se debería reducir el resultado cuando n = 0? ¿Ocurre esto? 6. Existe carga distribuida con densidad superficial constante sobre un círculo de radio a en el plano xy con centro en el origen. Encontrar la energía de esta distribución de carga por medio de
⃗⃗ = 12
