Problemas propuestos.
1. Carmen Carmen y Mario lanzan lanzan 3 y 4 monedas, monedas, respectiv respectivament amente. e. ¿Cuál es la probab probabilida ilidadd de que Mario Mario obtenga exactamente el doble de sellos que Carmen !. "n comerc comercia iant ntee qu quie iere re comp comprar rar un lote lote de !# pi$a pi$as, s, y deci decide de comp compra rarl rloo solam solamen ente te si al seleccionar 3 aleatoriamente, ninguna está malograda. %up&ngase que realmente 'ay 4 pi$as malogradas (el comerciante no lo sabe), ¿cuál es la probabilidad de que no compre el lote *espuesta+ ,4!13. os/, os/, 0runo y M&nica M&nica lanzan lanzan sucesiv sucesivament amentee una moneda. moneda. %i el primero primero en en obtener obtener cara gana gana el uego+ a) ¿Cuále ¿Cuáless son las respect respectiva ivass probab probabili ilidad dades es de gan ganar ar el uego uego si cada cada uno lanza lanza s&lo una vez *espuesta+ P (gane (gane os/) 2 1! (gane 0runo) 2 14 14 P (gane (gane M&nica) 2 1 P (gane b) ¿Cuáles son sus respectivas probabilidades de triun5o si, en caso sea necesario, el uego contin6a 'asta un máximo de dos lanzamientos para cada uno *espuesta+ P (gane (gane os/) 2 718 (gane 0runo) 2 73! 73! P (gane (gane M&nica) 2 784 P (gane 4. %up&ngase %up&ngase que, que, en 9iura, la probabi probabilidad lidad de que que un d:a sea nublado nublado es 11 11 en verano verano y ##4 en cualquier otra estaci&n. ¿;u/ porcentae de d:as del a$o se espera que sean nublados #. %e ext extra raen en ale aleat ator oria iame ment ntee k boletos boletos premiados de una urna que contiene n boletos enumerados 1, !, ..., n.
?"<>+ 9rimero resuelva ambos apartados para n 2 1@ k 2 2 #@ r 2 2 @ s 2 !. 8. %upong %upongaa que 'ay tres semá5o semá5oros ros entre entre la casa de ;uique ;uique y la "<=9. "<=9. >l >l llegar llegar a cada cada uno de ellos, /stos pueden estar en roo (*) o verde (A). Consid/rese que el ámbar dura un tiempo despreciable. ;uique 'a veri5icado que, en el primer semá5oro, el roo dura tanto como el verde@ pero en el segundo, el roo dura el doble que el verde@ y en el tercero, el verde dura el doble que el roo. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente viae a la "<=9+ a) Benga Benga que parar parar por exactament exactamentee una una luz luz roa roa *espuesta+ -1 b) Benga Benga que parar al menos por una luz roa *espuesta+ 7 -. Cuat Cuatro ro canic canicas as >, >, 0, C, <, se pu pued eden en coloc colocar ar en cinc cincoo vasi vasia ass nume numera rada dass del del 1 al #. 9or 9or eemplo, >1,0!,C3,<1 >1,0!,C3,<1 signi5ica que > está en la vasia 1, 0 en la vasia !, C en la 3 y < en la 1. ¿
. %e eligen # cartas de una baraa completa de #!. a baraa está con5ormada por cuatro DpalosE (corazones, espadas, tr/boles y cocos) y por trece denominaciones (1, !, ..., 13). ¿Cuál es la probabilidad de que+ a) b) c) d)
Bodas las cartas sean del mismo palo Faya dos D1E y tres D13E Faya dos cartas de una denominaci&n y tres de otra Bodas las cartas sean de distintas denominaciones
7. =n el curso de =stad:stica 'ay # alumnos del GA ciclo, 34 del A, !1 del AG, # del AGG y ! del AGGG. %i se eligiera un comit/ de # personas, ¿cuál es la probabilidad de que+ a) todos los ciclos est/n representados en el comit/ *espuesta+ ,387 b) s&lo el AG ciclo tenga miembros en el comit/ *espuesta+ ,!1 1. "na 5amilia tiene # 'ios. %uponiendo que la probabilidad de que un 'io sea var&n o muer es la misma, determine la probabilidad de que+ a) os # sean del mismo sexo. *espuesta+ 118 b) Cuatro sean varones. *espuesta+ ,1#8!# 11. %e extraen tres cartas de una baraa. l menos dos n6meros sean iguales. *espuesta+ ,1-1-84 1!. "na urna contiene canicas numeradas 1, !, ..., n. %i se escogen dos canicas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos n6meros sean consecutivos Hota+ 9uede resolver este problema de dos 5ormas+ dividiendo eventos /xito entre eventos totales o aplicando alg6n teorema. 13. %e lanzan tres monedas, y, si se obtienen ! caras y un sello, se extraen dos canicas, aleatoriamente, de una urna que contiene canicas numeradas del 1 al 1. %i las tres monedas muestran el mismo resultado (tres caras o tres sellos), se extraen dos canicas, de otra urna que contiene canicas numeradas del 1 al #. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan dos canicas que muestren dos n6meros consecutivos *espuesta+ -4 14. "na persona elige 1 n6meros de una lista de n6meros del 1 al . uego, de una urna donde 'ay canicas enumeradas del 1 al , se extraen ! canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la segunda extracci&n no se extraiga ninguno de los 1 n6meros elegidos al principio 1#. "na caa contiene nueve etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 7. %i se extraen dos de estas etiquetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 18.
*espuesta+ ,833 c) %e sienten untos (uno al lado del otro o uno detrás del otro). *espuesta+ ,8! 1-. Fay amigos solteros y la probabilidad de que cualquiera de ellos se case en los pr&ximos 1# a$os es 14. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno se case *espuesta+ ,777 1. ¿
=l tama$o del espacio muestra. a probabilidad de que gane en una semana particular. a probabilidad de que gane en cada una de las pr&ximas tres semanas. a probabilidad de que gane por lo menos una vez durante las pr&ximas #! semanas.
!. a empresa C*>J %.>. es demandada por supuesta violaci&n de patente sobre el proceso de manu5actura de un producto. =l asesor de la empresa, que es un ingeniero industrial que sabe de m/todos cuantitativos para la toma de decisiones, 'a 'ec'o el diagn&stico de este problema empleando un árbol de decisiones. J %.>. gana el uicio, los demandantes pueden apelar o no, con probabilidades ,7 y ,1 respectivamente. %i pierde el uicio, estima que C*>J %.>. puede apelar o no, con probabilidades de ,! y , respectivamente. >demás, estima que quien gana el uicio tiene ,-# de probabilidad de ganar la apelaci&n correspondiente. a) %i la probabilidad de ganar el uicio ( X ) es ,4, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el litigio *espuesta+ ,34 b) %i la probabilidad de ganar el litigio 5uese ,1, ¿Cuál ser:a entonces la probabilidad de ganar el uicio ( X ) *espuesta+ ,87 c) ¿Cuál es la máxima probabilidad de ganar el litigio *espuesta+ ,--# !1. "n estudiante de Gngenier:a 'a estimado que en 4 'oras puede estudiar un tema para el examen del d:a siguiente. Comienza a estudiar a las p.m. con el riesgo de que 'aya un Lapag&nL en cualquier momento. ¿Cuál es la probabilidad de que, como consecuencia de un Lapag&nL, lo que le 5alte estudiar sea menos de la quinta parte de lo que 'aya estudiado >suma que el apag&n puede ocurrir en cualquier instante debido a problemas con el generador. *espuesta+ 18 !!. os compradores de grandes vol6menes de mercanc:as utilizan el muestreo de aceptaci&n para cali5icar las mercanc:as que compran. os lotes de mercanc:as son rec'azados o aceptados con base en los resultados obtenidos al inspeccionar una muestra del lote. %uponga que un inspector de una planta procesadora de alimentos 'a aceptado el 7- de los lotes que son de calidad DbuenaE, y 'a rec'azado, incorrectamente, 3 de lotes que eran de calidad DbuenaE. >demás se sabe que el inspector acepta el 7# de todos los lotes y que s&lo el 3 de los lotes son de Dcalidad malaE. =ncuentre la probabilidad de que+
a) un lote sea de calidad DbuenaE y que además sea aceptado. *espuesta+ ,747 b) un lote sea de calidad DmalaE y que sea aceptado. *espuesta+ ,71 c) un lote de calidad DmalaE sea aceptado. *espuesta+ ,333 !3. "na persona lanza un dado cuyas seis caras muestran+ un L1L, dos L!L y tres L3L. %i obtiene L1L en el primer lanzamiento, gana el uego. %i no obtiene L1L puede seguir lanzando el dado y gana si repite el resultado del primer lanzamiento. %i obtiene L1L antes de repetir el resultado del primer lanzamiento, pierde el uego. ¿Cuál es la probabilidad de ganar Hota+ 9uede ser 6til la siguiente 5&rmula+ 1 N x N x! N x3 N ... 2 1(1 K x), si O x O 1. *espuesta+ ,-83. !4. "na caa contiene 7 etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 7. %i se extraen dos de estas etiquetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean consecutivas o sumen oc'o *espuesta+ 1138 !#. =n un conocido uego con dados (timba) el ugador participante lanza dos dados. %i obtiene suma siete, gana. %i no, debe seguir lanzando 'asta obtener el mismo resultado del primer lanzamiento, antes de que salga siete. %i sale siete antes de conseguir el mismo resultado del primer lanzamiento, pierde. a) %i el ugador obtiene suma cuatro en el primer lanzamiento. ¿;u/ probabilidad tiene de ganar *espuesta+ 13 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ugador obtenga suma tres en el primer lanzamiento, y luego pierda el uego *espuesta+ 1!4 !8. "na urna contiene cuatro canicas enumeradas del 1 al 4. %i se extraen sucesivamente las canicas, una por una, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los n6meros extra:dos coincida con el orden de extracci&n de la canica (9or eemplo, que la tercera canica tenga el n6mero 3) *espuesta+ 1#!4 !-. =n un examen de =stad:stica s&lo 'ay que contestar verdadero (A) o 5also (P), para cada una de las cinco preguntas a) ¿ priori.
!7. =n una urna 'ay siete es5eras, que tienen marcadas las siguientes letras+ C, >, , C, ", , I. %i se extraen, una por una, las siete es5eras, y se van colocando de izquierda a derec'a, ¿cuál es la probabilidad de que se 5orme la palabra C>C"I *espuesta+ -,74 × 1 K4 3. "n vendedor estima que la probabilidad de venderle a un cliente en su primera visita es ,4, pero que aumenta a ,## en la segunda visita, si en la primera no e5ectu& la venta. Calcule la probabilidad de que+ a) =l vendedor venda a un cliente b) =l cliente no compre 31. =n una urna se colocan n es5eras blancas numeradas 1, !, ..., n@ y n es5eras roas numeradas 1, !, ..., n. %i se extraen luego dos es5eras aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que+ a) %ean blancas y consecutivas b) %ean blancas o consecutivas c) %ean consecutivas de distinto color 3!. =n una urna 'ay seis canicas blancas y seis negras. %e escogen nueve de /stas aleatoriamente y se colocan en tres 5ilas. y los 4 restantes están en blanco. "n ugador debe escoger, desconociendo lo que 'ay en cada casillero, casillero por casillero, 'asta que con5orme la palabra =%B>, sin importar el orden. 9or cada casillero en blanco que se escoa, al ugador se le quita Q! de los Q8 que le dan inicialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que el ugador+ a) Jane Q8 *espuesta+ 1138# b) Jane Q4 *espuesta+ 11138# c) Jane Q! *espuesta+ 88138# d) Ho gane *espuesta+ !8138# e) 9ierda Q! *espuesta+ 11138# 34. ¿
3-. %uponga que en una regi&n se 'a determinado que en un a$o lluvioso llueve aproximadamente el # de los d:as del a$o y en un a$o no lluvioso llueve aproximadamente el !# de los d:as del a$o. "n agricultor quiere tomar las previsiones del caso y, transcurrida la primera semana del a$o, se percata de que 'a llovido ! d:as. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de un a$o no lluvioso %up&ngase que el 4 de los a$os son considerados lluviosos. *espuesta+ ,-4! 3. %e lanzan cinco monedas. na s&lo participará en el comit/ si uana tambi/n participa e) el comit/ debe tener un presidente y un secretario y estos dos o5iciales deben ser del mismo sexo 4#. ¿
4-. "na compa$:a procesadora de alimentos está considerando implantar una nueva l:nea de almuerzos instantáneos. as estimaciones actuales indican una probabilidad de gran /xito de ,1, una probabilidad de /xito moderado de ,4 y una probabilidad de no tener /xito de ,#. a compa$:a 'ace una prueba a nivel regional, antes de implantarla a nivel nacional y obtiene resultados signi5icativos, aunque no concluyentes. a con5iabilidad de tal prueba está dada por las probabilidades condicionales de la siguiente tabla+
Jran /xito ,8 ,! ,1
a prueba indic& Rxito moderado ,4 ,8 ,3
%in /xito ,! ,8
Construya una diagrama de árbol y calcule las probabilidades condicionales+ a) P (muy aceptado S prueba indica gran /xito) b) P (muy aceptado S prueba indica /xito moderado) c) P (muy aceptado S prueba indica sin /xito) d) P (medianamente aceptado S prueba indica gran /xito)@ etc. 4. =n una prueba de aptitud con5ormada por !# preguntas, 4 son de cultura general. %i a cada alumno se le asignan ! preguntas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que+ a) no se le asigne ninguna pregunta de cultura general *espuesta+ 3,7# × 1 K4 b) le asignen al menos ! preguntas de cultura general *espuesta+ ,73-7 47. Bres amigos comienzan un uego de dados llamado DdudoE. Cada uno debe lanzar # dados sin que los demás vean su resultado (se cubre los dados con el vaso o Dcac'oE). %i a uno de ellos le toca el siguiente resultado+ #, 1, #, #, 3@ ¿cuál es la probabilidad de que+ a) =n total 'aya 3 cincos b) =n total 'aya un m:nimo de 4 cincos #. %e tiene una baraa de #! cartas. %i se seleccionan # cartas al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener el ! de espadas, el ! de corazones y las otras tres cartas de diamantes *espuesta+ 1,1 × 1T4 #1. "n grupo de amigos están ugando LmillonarioL y uno de ellos desea obtener suma L4L al arroar los dados. "n dado tiene las opciones+ , , 1, !, 3, 4 y el otro dado+ , , 1, !, !, 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma deseada *espuesta+ -3#!. "n ugador tiene un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que+ a) necesite 'acer & más lanzamientos para obtener un seis *espuesta+ ,!-7 b) en lanzamientos s&lo obtenga un seis *espuesta+ ,3-!1 c) reci/n obtenga un seis en el octavo lanzamiento *espuesta+ ,48# #3. "na persona tiene dos dados, uno de los cuales es normal y el otro tiene dos L!L,dos L4L y dos L8L. %i se lanzan los dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que+ a) ambos resultados sean pares
b) un resultado sea par y el otro impar c) ambos resultados sean iguales #4. =n la "<=9 aproximadamente el #! del alumnado estudia Gngenier:a, el !1 >dministraci&n de =mpresas, el 1 estudia Gn5ormaci&n y el 7 restante estudia =ducaci&n. =n Gngenier:a, el ! son varones, en >dministraci&n el 4, en Gn5ormaci&n el 1# y en =ducaci&n el #. %i se escoge una persona al azar y resulta que es var&n. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie Gngenier:a b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie >dministraci&n o Gn5ormaci&n ##. =n la ciudad de 9iura se publican los diarios >, 0 y C. "na encuesta indica que el 38 lee >, el !8 lee 0 y el !- lee C@ 11 leen > y 0, 1 leen > y C, 8 leen 0 y C y 3 leen >, 0 y C. %e escoge a una persona adulta al azar. Calcule la probabilidad de que+ a) lea al menos un diario. b) lea s&lo un diario. c) lea al menos > y C, si se sabe que lee al menos uno de los diarios. #8. "n peque$o club 5ormado por diez pareas de casados va a elegir a dos representantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que+ a) no sea elegido un matrimonio. b) sean de sexo opuesto c) sean mueres #-.
8!. %uponga que usted y dos amigos participan en un uego. Cada uno lanza cinco dados y s&lo pueden ver su propio uego. %i usted tiene dos L1L, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 'ayan cuatro L1L en total *espuesta+ ,#1## 83. "n alumno de =stad:stica quiere medir la capacidad de un meteor&logo. os datos recolectados en el pasado indican lo siguiente+ T a probabilidad de que el meteor&logo prediga sol en d:as asoleados es . T a probabilidad de que el meteor&logo prediga sol en d:as nublados es .4 T a probabilidad de un d:a asoleado es .7 na 7 a$os, uc:a 8 a$os y na y uc:a sean elegidas *espuesta+ 3!
c) la suma de las edades de los tres elegidos sea menor que !. *espuesta+ 1d) el menor de los tres sea *a6l. *espuesta+ 3#8 e) el mayor de los tres sea *a6l. *espuesta+ 3! 5) el mayor de los tres sea *a6l, dado que este s: 5ue elegido. *espuesta+ !g) el mayor de los tres sea *a6l, si proximadamente !# de las personas en el 9er6 pertenecen al grupo sangu:neo >. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de cinco personas, al menos tres pertenezcan al grupo > -8. =n una escuela el !# de los alumnos son 'ombres. =l !# de los 'ombres y el ! de las mueres tuvieron muy buen rendimiento el a$o anterior. %i se escoge un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 'aya tenido muy bien rendimiento el a$o anterior
--. "n 5abricante de computadoras 'a indicado que la demanda mensual es de uno a siete equipos. %i se supone que cualquier nivel de demanda (dentro del rango de 1 a -) es igualmente probable, determine las siguientes probabilidades+ a) b) c) d)
;ue se vendan dos computadoras en un mes determinado. ;ue se vendan menos de cuatro computadoras en un mes determinado. ;ue se vendan no más de cinco computadoras en un mes determinado. ;ue se vendan por lo menos tres computadoras en un mes determinado.
-. "n inversionista cuenta con la opci&n de invertir en dos de cuatro tipos de acci&n. =l inversionista ignora que, de estos cuatro tipos, s&lo dos aumentarán sustancialmente de valor dentro de los pr&ximos cinco a$os. %i el inversionista elige los dos tipos de acci&n al azar, determine el espacio muestra correspondiente. , 0, C y <), indicando el orden de su pre5erencia, marcando con el 1 la que más pre5iere, con el ! la que le sigue, etc. %uponga que la se$ora en realidad no tiene ninguna pre5erencia por ninguna marca, y decide dar los n6meros del 1 al 4 al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que+ a) la marca > quede como la 1 *espuesta+ 14 b) C quede en primer lugar y < en segundo *espuesta+ 11! c) > quede en alguno de los dos primeros lugares *espuesta+ 1! . "na compa$:a produce un 5oco a'orrador en tres l:neas de producci&n. =stos 5ocos se env:an en grandes lotes y, debido a que la inspecci&n de la calidad es destructiva, la mayor:a de los compradores muestrean un n6mero peque$o de 5ocos de cada lote. =n general las tres l:neas de producci&n trabaan al mismo ritmo y, el porcentae de de5ectuosos, que es el mismo para las tres, es de s&lo !. demás, el 8 de los otros programas son mueres. %i se selecciona un alumno al azar y resulta que es 'ombre. ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie Gngenier:a *espuesta+ ,388# !. %e va a elegir por sorteo el Comit/ de
el cuero. =l 1 de los balones producidos tienen de5ectos de cuero. ¿;u/ porcentae de balones+ a) serán rec'azados por de5ecto en el rebote *espuesta+ 1! b) serán rec'azados por de5ecto en el cuero *espuesta+ 1 c) serán rec'azados por ambos tipos de de5ecto *espuesta+ 8 d) serán rec'azados *espuesta+ 18 4. "na 5ábrica de 'arina de pescado clasi5ica su producci&n seg6n la calidad+ >, 0 y C. =n promedio, el ! es de calidad >, el 3 de calidad 0 y el # de calidad C. %up&ngase que procesa dos tipos de pescado+ 8 de la producci&n de 'arina proviene del pescado 91 y 4 del pescado 9!, con la caracter:stica de que no los mezcla durante el proceso. %up&ngase además que el 4 de la 'arina de calidad > proviene del pescado 91 y el 4 de la 'arina de calidad 0 proviene del pescado 9!. demás, la probabilidad de que uno de estos autos sea robado es ,1@ en cambio esta probabilidad es ,# en los autos con alarma. %i se 'an robado un auto, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga alarma . %e dispone de una urna con 8 canicas blancas y cuatro canicas negras. %e lanza un dado y, a continuaci&n, se extraen de la urna tantas canicas como lo indica el resultado del dado. %uponiendo que obtuvieron exactamente 3 canicas blancas, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del dado 'aya sido # 7. "na 'amburgueser:a o5rece a sus clientes cinco tipos de ingredientes+ lec'uga, tomate, papitas, salsa de tomate y mayonesa. ¿Cuántos tipos de 'amburguesas se pueden preparar Considere que es posible un tipo de 'amburguesa sin ingredientes, o con uno o más ingredientes.