PROBLEMAS RESUELTOS
1-Dos condensadores están cargados a una diferencia de potencial potencial . Se desconectan de la fuente y se unen entre si con polaridad opuesta, es decir, el lado positivo de un condensador con el lado negativo n egativo del otro, y viceversa. (a) Halle la carga iníciales de los condensadores. (b) Halle la nueva diferencia de potencial. (c) Determine las cargas finales de los condensadores.
Solución a.-Las
cargas iníciales en los condensadores:
b.- Cuando se conectan con polaridad opuestas, habrá una compensación parcial de cargas entre los condensadores, por lo tanto la carga neta será:
Fig.6.14 Problema 1
Como podemos observar la carga se distribuye hasta que la l a diferencia de potencial es la misma:
Fig.6.14 Problema 1
Fig.6.15 Problema 1
Y nos queda:
c.- Las
nuevas cargas son:
2.-Un condensador esta constituido por dos piezas metálicas, una placa es completamente plana de área A y la otra tiene dos secciones planas en forma de escalón, como se muestra en la figura. Halle la capacidad del condensador.
Solución Si se aplica un voltaje , los campos eléctricos en las regiones izquierdas y derechas son:
La cargas en cada placa son: Fig.6.16 Problema 2
Donde , asi la carga total en el condensador será:
Así por definición:
Este resultado se puede obtener suponiendo el sistema como dos condensadores en paralelo. Hágalo usted.
3.- Las láminas de un condensador plano están separadas 5 cm y tienen 2 m2 de superficie. Inicialmente el condensador se encuentra en el vacío. Se le aplica una diferencia de potencial de 10000 voltios.(I) Calcular la capacidad del condensador, la densidad superficial de carga, la intensidad del campo eléctrico entre las placas, la carga de cada lámina. (II) Se introduce un dieléctrico de constante dieléctrica igual a 5 y se desconecta el condensador de la fuente de tensión. Calcular en estas nuevas condiciones la capacidad, la intensidad del campo eléctrico entre las placas y la diferencia de potencial entre las láminas del condensador. (III) Se elimina la capa del dieléctrico y se sustituye por dos dieléctricos de espesores 2 mm y 3 mm y cuyas constantes dieléctricas relativas son 5 y 2. Calcular la capacidad del condensador y la diferencia de potencial entre las láminas del condensador.(IV) Si el dieléctrico del segundo caso ocupara solo la mitad de la superficie de las placas, calcular la capacidad del condensador, y el trabajo que hay que realizar para extraer el dieléctrico.
Solución
Fig.6.17 Problema 3
Parte I
a.- La
capacidad de un condensador de placas paralelas que se encuentra en el vacio está dada por:
b.- la
carga en una de la placa
es:
C.- La
densidad superficial
es: d-El
campo eléctrico es:
Parte II a-al
introducir el dieléctrico la capacidad aumenta en el factor k
Fig.6.18 Problema 3
b.- el
voltaje disminuye:
c.- el
campo disminuye:
Parte III
La nueva capacidad es en la figura es :
Fig 6.19 Problema 3
Parte IV
a.- La nueva capacidad en la figura es:
Fig.6.20 Problema 3
4.- Calcular la capacidad de un condensador esférico formado por dos cortezas metálicas conductoras de radios a (interior) y b (exterior), cargadas con cargas de igual valor Q y -Q. Suponga que a = 0.1 mm, b = 0.2 y Q = 1x10-6Col.
Solución
Fig.6.21 Problema 4
Se calcula el campo entre las dos esfera por la ley de Gauss : Obtenemos: Luego calculamos la diferencia de potencial entre las placas:
Finalmente:
5.- Calcular la capacidad por unidad de longitud de un condensador cilíndrico formado por dos cortezas metálicas conductoras de radios a (interior) y b (exterior), cargadas con cargas de igual valor Q y -Q. Suponga que a = 0.1 mm, b = 0.2mm y Q = 1x10 -6
Solución
Fig.6.22 Problema 5
Calculamos el campo eléctrico entre a y b por Gauss:
Ahora calculamos la diferencia de potencial entre las placas:
Finalmente obtenemos:
6.- Determine la fuerza de atracción entre las dos placas de un capacitor de placas paralelas. Considere los dos casos:
El condensador tiene carga fija. El condensador está conectado a una batería y la diferencia de potencial es constante. ¿Por qué las dos expresiones son distintas?
Solución a.- Sabemos
que la energía almacenada en el condensador cuya separación es x y
área A es :
La fuerza de atracción entre las placas es: b.-Si
el voltaje es constante, la energía almacenada es:
Fuerza de atracción entre las placas es:
7.- Un condensador tiene placas cuadradas de lado a, que no son paralelas sino que forman un ángulo con entre si, siendo la separación mínima. Demuestre que para pequeño, la capacidad es aproximadamente:
Solución
Fig.6.23 Problema 7
Para ángulos de inclinación pequeño. Podemos suponer que el campo eléctrico es vertical y por lo tanto podemos considerar a la placa compuesta por tiras infinitesimales de espesor dx a una distancia x del origen y separadas por una distancia vertical y.
La capacidad de este capacitor infinitesimal es:
Si el ángulo es pequeño tenemos:
Fig.6.24. Problema 7
Así
Por lo tanto
Introduciendo en dC tenemos:
Si
Integrando:
y aplicando la ecuación:
Tomemos los dos primeros términos, y obtenemos:
8.- Dos alambres rectos y largos de radio a están paralelamente con una separación d >> a , determine la capacidad por unidad de longitud.
Solución
Fig. 6.25 Problema 8
El campo eléctrico entre los dos alambres es:
Fig.6.26 Problema 8
La introducimos en: Si L es la longitud del alambre, la capacidad es:
Y obtenemos Y para d >> a es:
9.- Un bloque de material de constante dieléctrica k y de espesor b es insertado entre las placas de un condensador de placas paralelas de área A y separación d. Determine la nueva capacitancia.
Solución
Fig.6.27 Problema 9
Si consideramos que el condensador está constituido por tres condensadores en serie de igual área, entonces: Donde: Desarrollando:
10.- Un condensador de placas paralelas planas, de área LxL y separación entre las placas d << L. Está lleno de un dieléctrico no uniforme, cuya constante varía linealmente de una placa a la otra. En la placa inferior el valor de la constante dieléctrica es K0 , mientras que en la superior es k1. Determine la capacidad.
Solución
Fig.6.28 Problema 10
La constante dieléctrica es una función lineal de la coordenada y:
Dividimos el dieléctrico en tiras de espesor dy, y área LxL, así la capacitancia de esta tira es:
Estas tiras se pueden considerar como condensadores conectados en series, por lo tanto la capacidad total es el inverso, es decir:
Introduzca el valor de k(y) e integre para obtener:
Fig.6.29 Problema 10
Prof. Beltrán Velásquez
