problemas resueltos de fuerzas conservativas y no conservativas

1-INTRODUCCION El presente trabajo de investigación fue elaborado con el fin de conocer las propiedades y aplicaciones de las fuerzas conservativas y no conservativas asi como sus propiedades y factores que intervienen en ellas Para esto se muestran tres ejercicios aplicativos a estos temas para saber los modos de aplicación de las fuerzas conservativas y no conservativas.

2-FUERZAS CONSERVATIVAS Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo depende únicamente de las posiciones inicial y final de la partícula y no de la trayectoria que ésta ha descrito para ir desde la posición inicial a la final. Una consecuencia de este hecho es que el trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero:

Si el trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido por la partícula y el punto final coincide con el inicial, el trabajo de dicha fuerza es cero.

Utilizando la descomposición de Helmholtz una fuerza conservativa puede ser escrita como el gradiente de una función escalar cambiado de signo:

Dicha función escalar se denomina energía potencial, y sólo depende de las coordenadas. Las fuerzas conservativas son muy importantes en Física, ya que fuerzas como la gravitatoria o la elástica son conservativas. Como veremos a continuación, cada una de estas fuerzas lleva asociada su propia energía potencial. Puede demostrarse (con ayuda del teorema fundamental de las integrales de línea) que el trabajo de una fuerza conservativa viene dado por:

Las unidades de energía potencial en el Sistema Internacional son los julios (J).

ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA A ALGUNAS FUERZAS CONSERVATIVAS

Fuerza constante (peso) Cualquier fuerza constante es una fuerza conservativa. Como ejemplo de fuerza constante trataremos el peso, es decir, la fuerza gravitatoria cerca de la superficie de la Tierra.

Como vimos en el apartado Ejemplos de fuerzas, el peso es una fuerza constante que apunta hacia el centro de la Tierra. Vectorialmente, el peso es:

La energía potencial asociada a dicha fuerza (energía potencial gravitatoria) es:

Ya que:

El trabajo del peso es menos la variación de su energía potencial:

Ambas formas de calcular el trabajo dan obviamente el mismo resultado. Fuerza de un muelle La fuerza de un muelle viene dada por la ley de Hooke:

Y su energía potencial (energía potencial elástica) tiene que ser tal que:

Integrando esta ecuación entre cero y x se obtiene la expresión para la energía potencial:

Se ha tomado nivel cero de energía potencial a la posición de equilibrio. Por tanto la energía potencial elástica asociada a la deformación x es:

3-FUERZAS NO CONSERVATIVAS En contraposición, las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo a lo largo de un camino cerrado es distinto de cero. Estas fuerzas realizan más trabajo cuando el camino es más largo, por lo tanto el trabajo no es independiente del camino.

4-PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s: a) Calcular la energía cinética del proyectil a la salida del cañón) Si la fuerza que actúa sobre el proyectil mientras está en el cañón es F = 360 - 720 determinar la longitud del cañón. a) 1 1 2 −1 2 EC= m. v = 0.002 kg . ( 300 ms ) =90 J 2 2 b) Aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética, es decir: Wtotal=W F =∆ Ec=Ec F −Ec0 =90 J −0 J =90 J

Para calcular el trabajo que realiza la fuerza F,al ser esta variable, tendremos que utilizar la expresión, siendo L la longitud del cañón: L

L

[ ]

l

x2 W F=∫ F dx=∫ ( 360−720 X ) dx =360 [ X ] 0 −720 =360. l−360. l2 2 0 0 0 Por lo tanto tenemos 90=360.l−360. l 2=L=0.5 m

PROBLEMA 2

L

16. Se empuja un bloque de 2 kg contra un muelle, cuya constante elástica es 500 N/ comprimiéndolo 20 cm. ¿Cuánto vale la energía potencial elástica del bloque en ese instante? 1 1 2 −1 2 Epe= k . x = 500 N m . ( 0.2 m ) =10 J 2 2

PROBLEMA 3 15. Una muchacha de 55 kg se encuentra en el tercer piso de un edificio, que se encuentra 8 m por encima de la planta baja. ¿Cuál es la energía potencial del sistema muchacha-Tierra si: a) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en la planta baja.b) Si se elige como nivel de referencia igual a cero en el segundo piso, que está 4 m por encima de la planta baja.

a) En el primer caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 8 m, luego: Epg=m . g . h=55 kg .9 .8m s 2 .8 m=4.31 j

b) En el segundo caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 4 m, luego:

Epg=m . g . h=55 kg .9 .8m s 2 .4 m=2.15 j

CONCLUSIONES Se concluye que Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iniciales y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido Las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por las mismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es dependiente del camino tomado. A mayor recorrido, mayor trabajo realizado.