Problema 47
O firm ă fabrică 4 produse folosind 3 materii prime. Se cunosc disponibilurile (cantit ăţile de care se poate face rost pe perioada analizat ă) din fiecare materie prim ă {Di, i=1,2,3}, coeficienţii tehnologici {a i,j, i=1,2,3, j=1,2,3,4} (a i,j reprezint ă cantitatea din materia prim ă i necesară fabricării unui produs de tipul j), cantit ăţile maxime {b j, j=1,2,3,4} şi minime {a j, j=1,2,3,4} ce pot fi produse din fiecare sortiment în perioada analizat ă şi profiturile unitare {p j, j=1,2,3,4} ale fiec ărui tip de produs, toate fiind date în tabelul de mai jos: Produsul Materia primă M1 M2 M3 a j b j p j
P1
P2
P3
P4
Di
3 5 3 2 20 3
2 6 4 2 10 6
3 2 7 3 25 6
4 7 3 1 30 5
60 80 90
Se cere găsirea acelor cantit ăţi x j care trebuie fabricate din fiecare tip de produs astfel încât s ă se obţină profitul maxim în condi ţiile nedepăşirii disponibilurilor din fiecare surs ă. Rezolvare: Functia obiectiv este: Max f(x)=3x1+6x2+5x4 f(x)=3x1+6x2+5x4 Restrictii: 1. 3*P1+2*P2+3*P3+4*P4 <=60 2. 5*P1+6*P2+2*P3+7*P4 <=80 3. 3*P1+4*P2+7*P3+3*P4 <=90 4. X1>= 2 5. X1<= 20 6. X2>= 2 7. X2<= 10 8. X3>= 3 9. X3<= 25 10. X4>= 1 11. X4<= 30 12. X1,……….., X4>= 0
Trebuie sa fabricam 2 bucati din din P1, 8 bucati din P2, 7 bucati bucati din P3, 1 bucata din P4 pentru a obtine un profit maxim de 101 u.m.
Problema 35
În cadrul unui proiect mai general de extindere şi dezvoltare, conducerea unei firme studiaz ă oportunitatea construirii unei noi fabrici fie în ora şul A, fie în ora şul B, poate chiar în amândouă şi a cel mult un depozit într-unul din cele dou ă oraşe, alegerea amplasamentului fiind însă condiţionată de construirea unei fabrici în localitatea respectiv ă. În tabelul de mai jos sunt indicate: valoarea prezent ă netă a diferitelor alternative, capitalul necesar acestor investiţii şi capitalul disponibil pentru întregul proiect de dezvoltare. Nr. crt. 1 2 3 4
Alternativa decizional ă
Construirea unei fabrici în A Construirea unei fabrici în B Construirea unui depozit în A Construirea unui depozit în B Capital disponibil
Determinaţi soluţia optimă. Rezolvare. Functia obiectiv este : Max(f) = 9*X1+5*X2+6*X3+4*X4 Restrictiile sunt : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Variabila de decizie
6*X1+3*X2+5*X3+2*X4<= 10 X1+X2<= 2 X3+X4<= 1 X1, X3 = 1 X2, X4 = 1 X1,……, X4 > 0
x1 x2 x3 x4
Valoarea prezentă netă 9 5 6 4
Capitalul necesar (mil. u.m.) 6 3 5 2 10
Solutia optima este construirea unei fabrici atat in A cat si in B fara aconstrui si vreun deposit in unul din cele doua orase., valoare investitiei fiind de 14 u.m .
Problema 11
Un meniu trebuie s ă asigure necesarul în substan țe S1, S 2, S3, cu ajutorul alimentelor A 1, A2, A3. Cantitățile de substan țe S1, S2, S3, ce se găsesc într-o unitate de aliment de fiecare fel, cantitățile minime necesare organismului în cele 3 substan țe, precum și prețurile celor 3 alimente sunt trecute în tabelul urm ător: Aliment Substanță S1
S2 S3 Pret
A1
A2
4 5 1 8
3 7 5 7
A3 Necesar 2 2 4 5
24 35 40
Să se determine cantit ățile ce trebuie incluse în meniu din cele 3 alimente, astfel încât costul total al meniului s ă fie minim. Rezolvare:
Notam : -
x1= cantitatea din A1
-
x2= cantitatea din A2
-
x3= cantitatea din A3
Functia obiectiv este:
Min(f)= 8x1+7x2+5x3 Restrictiile sunt :
1. 4x1+3x2+2x3>= 24 2. 5x1+7x2+2x3>= 35 3. x1+5x2+4x3>= 40 4. x1,x2,x3 > 0
Solutia este sa introducem 8 unitati din A2 pentru ca sa obtinem un cost total minim de 56 u.m. Din celelalte 2 substante nu se introduce nici o cantitate in meniu.
Problema 13
Se dispune de bare de fier de 14 m lungime din care trebuie t ăiate 50 buc ăți de 8 m, 80 buc ăți de 5 m și 45 buc ăți de 2,5 m. Se cere să se stabilească modul de t ăiere care asigur ă cantitatea minim ă de de șeuri. Rezolvare : Realizam tabelul modelelor de taiere astfel :
8m 5m 2,5 m Rest
X1 1 1 0 1
X2 1 0 2 1
Functia obiectiv este : Min(f) = X1+X2+1,5*X3+1,5*X4+1,5*X5 Restricttile sunt : 1. 2. 3. 4.
X1+X2= 50 X1+2*X3+X4= 80 2*X2+X3+3*X4+5*X5= 45 X1, …………., X5 > 0
X3 0 2 1 1,5
X4 0 1 3 1,5
X5 0 0 5 1,5
Trebuie taiate 50 de bare in varianta 1, 15 bare in varianta 3 si 6 bare in varianta 5 pentru a obtine un minim de deseuri si anume 81,5 cm. Problema 7 pagina
31 din cartea Modelarea proceselor economice, autor Dorin Lix ăndroiu.
O linie aeriana desfasoara activitati zilnice in ambele sensuri intre doua orase A si B. Daca echipajul are baza in a si soseste in B cu un anumit zbor, atunci el trebuie sa se reintoarca I A cu unul di zborurlie urmataoare( eventual a doua zi ). Compania areriana doreste sa determine ce perechi de zboruri( dus - intors) trebuie formate astfel inchat timpul total de sedere pe aeroportul strain sa fie minim. Apare si problema: fiind date perechile de zboruri, unde trebuie sa-si aiba baza fiecare echipaj? Activitatile zilnice se sesfasoara conform orarului: Numar zbor Plecare A A-B1 7.00 A-B2 8.00 A-B3 13.30 A-B4 18.30 A-B5 20.00 A-B6 23.30 Numar zbor B-A1 B-A2 B-A3 B-A4 B-A5 B-A6
Sosire B 8.00 9.00 14.30 19.30 21.00 00.30
Plecare B 08.00 08.30 12.00 17.30 19.00 22.00
Sosire A 09.15 09.45 13.15 18.45 20.15 23.15
Echipajul trebuie sa se odihneasca intre zboruri cel putin o ora. Stabiliti perechile de zboruri pentru care timpul intreg de stationare pe un aeroport strain sa fie redus la minim. Determinati solutia optima.
Rezolvare Calculam timpul de stationare pe aeroportul strain in ipoteza ca baza este in A. Zbor A-B1 A-B2 A-B3 A-B4 A-B5 A-B6
B-A 1 24 23 17.5 12.5 11 7.5
Plecare B- Sosire A
B-A 2 24.5 23.5 18 13 11.5 8
B-A 3 4 3 21.5 16.5 15 11.5
B- A 4 9.5 8.5 3 22 20.5 17
B-A 5 11 10 4.5 23.5 22 18.5
B-A 6 14 13 7.5 2.5 1 21.5
Zbor A-B1 A-B2 A-B3 A-B4 A-B5 A-B6
B-A 1 21.75 22.75 4.25 9.25 10.75 14.25
B-A 2 21.25 22.25 3.75 8.75 10.25 13.75
B-A 3 17.75 18.75 24.25 5.25 6.75 10.25
B- A 4 12.25 13.25 18.75 23.75 1.25 4.75
B-A 5 10.75 11.75 17.25 22.25 23.75 3.25
B-A 6 7.75 8.75 14.25 19.25 20.75 24.25
Combinam cele doua tabele alegand varianta care ofera timpul de stationare cel mai scazut pentru fiecare pereche. Zbor A-B1 A-B2 A-B3 A-B4 A-B5 A-B6
B-A 1 21.75 22.75 4.25 9.25 10.75 7.5 7.5
B-A 2 21.25 22.25 3.75 8.75 10.25 8
B-A 3 4 3 21.5 5.25 6.75 10.25
B- A 4 9.5 8.5 3 22 1.25 4.75
B-A 5 10.75 10 4.5 22.25 22 3.25
B-A 6 7.75 8.75 7.5 2.5 1 21.5
Rezulta ca in A are baza doar o pereche de zbor : A-B2/ B-A3, iar in B isi au baza 5 perechi de zboruri si anume : -B-A1/ A-B4 -B-A2/ A-B3 -B-A4/ A-B5 -B-A5/ A-B6 -B-A6/ A-B1 Durata totala de asteptare pentru cele 6 perechi de zboruri pe aeroporturi straine este de 28.25 ore (28h si 15 min ).
Problema 31
se cunosc: matricea costurilor unitare de Să se determine costul minim de transport dac ă transport, cantit ăţile disponibile la fiecare furnizor F i şi cele necesare fiec ărui beneficiar B j ca în tabelul: B1 B2 B3 Disponibil F1 1 2 8 37 F2 1 11 1 45 F3 14 7 3 18 Necesar 26 63 11 Rezolvare : Functia obiectiv este : Min(f)= X11+2*X12+8*X13+X21+11*X22+X23+14*X31+7*X32+3*X33 Restrictiile sunt : 1. X11+2*X12+8*X13>= 37 2. X21+11*X22+X23>= 45 3. 14*X31+7*X32+3*X33>= 18 4. X11+X21+14*X31>= 26 5. 2*X12+11*X22+7*X32>= 63 6. 8*X13+X23+3*X33>= 11 7. X11, ……………., X33> 0
Costul minim de transport este 101 u.m. daca se transporta 25 de u.f de la F1 la B1, 6 u.f. de la F1 la B2, 1 u.f. de la F2 la B1, 4 u.f. de la F2 la B2, 1 u.f. de la F3 la B2 si 4 u.f. de la F3 la B3.
Problema 50
În figura de mai jos sunt date 7 localit ăţi numerotate de la 1 la 7 şi timpul (în ore) necesar parcurgerii distan ţei pe arterele care le leag ă. S ă se determine ruta pe care se realizeaz ă timpul minim între localităţile 1 şi 7.
Rezolvare: Arc1(1,2)=1 arc2(1,4)=4 arc3(2,3)=4 Arc7(3,6)=3 arc8(4,5)=2 arc9(4,6)=9
arc4(2,4)=2 arc5(3,4)=5 arc6(3,5)=2 arc10(5,6)=6 arc11(5,7)=7 arc12(6,7)=1
Drumul cel mai scurt de la 1 la 7 este : arc(1,2)-arc(2,3)-arc(3,6)-arc(6,7) ; si are distanta 9 Problema 52
Un director de marketing are sediul în localitatea A. Pentru a r ăspunde solicitărilor clienţilor el este obligat s ă se deplaseze cu ma şina în fiecare localitate în care fir ma are filiale. Drumurile care leag ă cele 6 filiale de sediu, precum şi distanţele în kilometri aferente sunt prezentate în figura de mai jos. În vederea economisirii de timp şi de carburant directorul de marketing dore şte să determine traseele cele mai scurte pe care trebuie s ă le urmeze pentru a
ajunge la fiecare dintre filialele firmei.
Se cere să se rezolve problema și să se traseze arborele drumului minim. Rezolvare
A
10
C
7
B
9
14
D
16
E
15
G
F
Traseul pe care trebuie sa-l urmeze este A-C-B-D-E-G-F ,iar costul total este de 71 u.m.
Problema 60
Construirea unei sec ții a unei uzine presupune efectuarea activit ăților prevăzute în tabelul de mai jos: Operații elementare
Durate
Opera ții imediat anterioare
Întocmirea proiectului de execu ție (PE)
60
-
Comanda, execu ția și livrarea utilajului tehnologic(UT)
160
-
Exproprieri (E)
20
-
Comanda, execu ția și livrarea utilajului energetic(UE)
140
-
Organizarea general ă a șantierului (O)
30
E
Studierea proiectului de execu ție (S)
10
PE
Executarea construc țiilor și a instalațiilor – etapa 1(CO1)
10
O,S
Executarea construc țiilor și a instalațiilor – etapa 2(CO2)
70
CO1
Completarea rețelelor electrice exterioare (R)
55
UE,O
Montajul utilajului tehnologic (M)
28
UT, CO2
Probe tehnologice (PT)
12
R,M
Restul lucrărilor de construc ții, instalații și finisaj (F)
28
UT, CO2
Să se determine: a. graful asociat, folosind metoda reprezent ării activităților prin arce; b. durata minimă de execuție a lucrării; c. drumul și activitățiile critice; d. graficul Gantt asociat. Rezolvare: Notam: A-operatia PE
G-operatia CO1
B-operatia UT
H- operatia CO2
C-operatia E
I-operatia R
D- operatia UE
J- operatia M
E- operatia O
K- operatia PT
F-operatia S
L- operatia F
a.
b. Durata minima de executie a lucrarii este de 207.
c. Activitatile critice sunt D( UE), I( R) si K( PT).
d.Graficul Gantt
Problema 63 Firma Grand Slalom Ski Company din Ogden, Utah, analizeaz ă posibilitatea de a lansa în fabricaţie trei noi modele de ski-uri. Costurile de produc ţie pentru aceste trei noi modele sunt date în tabelul urm ător: Modelul Costuri fixe ($) Costuri variabile unitare ($/pereche) A
50.000
75
B
75.000
60
C
90.000
30
Firma a estimat ca probabile trei niveluri ale vânzarilor: 2.000 de perechi, 4.000 de perechi și 6.000 de perechi. Pre ţul de vânzare va fi de 400$ perechea. a)Construiţi matricea decizional ă corespunzătoare profiturilor a șteptate de firm ă; b)Alegeţi varianta optim ă ce va fi lansat ă în fabrica ţie în cazul în care firma a putut estima obiectiv urm ătoarele probabilita ţi pentru cele trei niveluri ale a le vânzarilor: 0,30, 0,45 şi, respectiv, 0,25 aplicând cele șapte criterii (optimist, Wald, Savage, Hurwicz, Laplace, Bernouli, Pascal). În cazul criteriului Hurwicz coeficientul de optimism α=0,7. c)Analizați rezultatele ob ținute cu ajutorul unui tabel de clasificare. Rezolvare: a) Construim matricea deciziilor. Modelul
Costuri fixe(mii u.m.)
Costuri variabile unitare ($/pereche)
A
50
75
B
75
60
C
90
30
Pr=V-CT CT=CF+CV CV=cv*nr. buc. CT (V1,S1)=50+75*2=200 (V1,S1)=50+75*2=200
CT(V2,S1)=75+60*2=195 CT(V2,S1)=75+60*2=195
CT(V3,S1)=90+30*2=150 CT(V3,S1)=90+30*2=150
CT(V1,S2)= 50+75*4=350
CT(V2,S2)=75+60*4=315 CT(V2,S2)=75+60*4=315
CT(V3,S2)=90+30*4=210 CT(V3,S2)=90+30*4=210
CT(V1,S3)= 50+75*6=500
CT(V2,S3)=75+60*6=435 CT(V2,S3)=75+60*6=435
CT(V3,S3)=90+30*6=270 CT(V3,S3)=90+30*6=270
Pr(V1,S1)=400*2-200=600 Pr(V1,S1)=400*2-200=600
Pr(V2,S1)=400*2-195=605 Pr(V2,S1)=400*2-195=605
Pr(V3,S1)=400*2-150=650 Pr(V3,S1)=400*2-150=650
Pr(V1,S2)=400*4-350=1250 Pr(V1,S2)=400*4-350=1250
Pr(V2,S2)=400*4-315=1285 Pr(V2,S2)=400*4-315=1285
Pr(V3,S2)=400*4-210=1390 Pr(V3,S2)=400*4-210=1390
Pr(V1,S3)=400*6-500=1900 Pr(V1,S3)=400*6-500=1900
Pr(V2,S3)=400*6-435=1965 Pr(V2,S3)=400*6-435=1965
Pr(V3,S3)=400*6-270=2130 Pr(V3,S3)=400*6-270=2130
Model
S1
S2
S3
V1
600
605
650
V2
1250
1285
1390
V3
1900
1965
2130
b) 1.Criteriul optimist: Max(650,1390,2130)=2130, Max(650,1390,2130)=2130, se alege V3 cu S3. 2.Criteriul Wald: Max( 600,1250,1900)=1900, 600,1250,1900)=1900, se alege V3 cu S1. 3.Criteriul Laplace: Max1/3(1855, 3925, 5995)=max(618,33; 5995)=max(618,33; 1308,33; 1308,33; 1998,33)=1998,33, 1998,33)=1998,33, se alege V3 4.Criteriul Bernoullit: Max1/3( 19,27; 19,27; 21,52; 21,52; 22,79)=22,79, se alege V3 5.Criteriul Pascal: Max(614,75; 1300,75; 1986,75)=2081,75
se alege V3
6.Criteriul Savage: Matricea regretelor S1
S2
S3
V1
1300
1360
1480
V2
650
680
740
V3
0
0
0
Min (1480; 740; 0)=0
se alege V3
7.Criteriul Hurwicz: Max hi, hi= α*maxjpij+(1-α)minjpij H1=0,7*650+0,3*600=635 H2=0,7*1390+0,3*1250=1348 H3=0,7*2130+0,3*1900=2061
Max (635, 1348, 2061)=2061
se alege V3
c) Analizarea rezultatelor obtinute: C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
Total puncte
V1
3
3
3
3
3
3
3
21
V2
2
2
2
2
2
2
2
14
V3
1
1
1
1
1
1
1
7
Conform acestui tabel firma trebuie sa lanseze in fabricatie cate 6000 de perechi din fiecare din cele trei modele de schi-uri.
Problema 70 La o tipografie sosesc zilnic clien ţi cu diferite comenzi. Tipografia lucreaz ă în mod normal cu 4 maşini de tipărit identice. Date statistice din anii preceden ţi au dus la următoarele rezultate: sosirile clienţilor urmează o distribu ţie de tip Poisson, cu media de 25 clien ţi/zi, timpul de execuţie al unei lucr ări are o reparti ţie exponen ţială cu o medie de 18 lucr ări/zi. Să se determine probabilitatea ca un client s ă nu aştepte în sistem.
Problema 90
Se consideră trei tipuri de şampon, şi anume: Selegel, Ducray şi Nizoral. Studiile de piaţă efectuate au stabilit următorii coeficienţi de loialitate constanţi de la o săptămână la alta conform tabelului următor. Selegel 0,85
Ducray 0,75
Nizoral 0,8
Probabilităţiile de tranziţie (cumpărători care î şi vor schimba şamponul în luna următoare) sunt date în tabelul de mai jos: Produsul părăsit Selegel Ducray Selegel X Ducray 0,15 Nizoral 0,10
Reorientări Nizoral 0,10 0,05 0 ,05 X 0,10 0,10 X
Stabiliţi ponderea fiecărei mărci pe piaţă.
Problema 88
Firma X comercializeaz ă materiale consumabile și de birou. Compartimentul de marketing a înregistrat pentru perioada trecută volumul vânzărilor pentru produsele asimilate rechizitelor de birou. Valorile înregistrate sunt prezentate în tabelul de mai jos. Luna calanderistică Ianuarie Februarie Martie Aprilie Mai Iunie Iulie August Septembrie Octombrie
Vânzări înregistrate (mil. lei) 205 198 225 174 184 208 185 178 214 186
Lunar se efectuează prognoze asupra vânzărilor lunii viitoare pentru dimensionarea stocurilor și orientarea cheltuielilor pentru reclamă și publicitate. Conducerea firmei este interesat i nteresată de estimarea volumului vânzărilor pentru luna noiembrie. Se cunoaște că previziunea pentru luna ianuarie a fost de 205 mil. lei. Din analiza datelor statistice rezultă un coeficient de nivelare α=0,132.
Problema 82
Necesarul de aprovizionat cu profile laminate la o întreprindere specializată în construcţii metalice este de 1000 tone pe an a n (300 zile); cheltuielile de stocare sunt de 25 u.m. pe tonă, iar cheltuielile de lansare a unei comenzi de aprovizionare de 180 u.m. Pre ţul de achiziţie al resursei materiale este de 500 u.m. pentru o tonă. Pe baza acestor elemente se cere s ă se calculeze cantitatea economic ă de comandă-aprovizionare şi elemente asociate.
