Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES I Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios, en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Reduciendo términos semejantes: -1 + 4 = 3

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

(a + b)2  a2 + 2ab + b 2 (a - b)2  a2 - 2ab + b 2 

(x + a)(x + b)



COROLARIO: IDENTIDADES DE LEGENDRE

  

(a + b)2 + (a - b) 2 = 2(a2 + b2) (a + b2)  – (a - b)2 = 4ab

Ejm.:   



(x + 3) (x + 4) (x - 4) (x  – 5) (x + 2) (x - 4) (x2 + 5) (x 2 - 3)

Si: x2 + x  – 3 = 0. Calcule: (x2 - 1) (x + 2) (x - 3) (x 2 + 4x)

(x + 3)2 + (x - 3) 2 = (x + 2)2  – (x - 2) 2 = (2x + y)2 + (2x - y) 2 = ( 3 2 )2 ( 3 2 )2

Sol.: De: x2 + x  – 3 = 0

(x2 - 1) (x +2) (x - 3) (x 2 + 4x) (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) x

2

(x - y) (y - x) Desarrollando: x2  – 2xy + y2 y2  – 2yx + x2

MULTIPLICANDO EN FORMA CONVENIENTE

Reducir:

N

(p q r)2 (p q r)2 (p q) r

(x2 + x)(x2 + x - 2)(x 2 + x - 12) Reemplazando: (3) (3 - 2) (3 - 12) = -27

Sol.

DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

Por Legendre: (p + q + r) 2  – (p + q - r) 2 = 4 (p + q)r

N

4(p q)r (p q)r

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

4 

N=2

DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b) (a - b) = a 2  – b2    

 x2 + x = 3

Entonces :

Importante: 2



x2 + (a + b)x + ab

(x + 3) (x - 3) = (x + 4) (4 - x) = (x2 + 5) (x 2 - 5) = (m + n + p) (m + n - p) =



(x + y + 3)2  __________________________  ____________________________________  ______________________ ______________ (a + b - 2)2  __________________________  ____________________________________  ______________________ ______________

PROBLEMAS 1.

Efectuar: E = (x + 2y) 2  – (x  – 2y)2  – 4xy a) xy d) 6xy

b) 3xy e) 9xy

c) 4xy

Observación: (x + y)2 x2 + y2 Siendo x, y no nulos.

Calcular: Sol.

446 . 444  – 447 . 443

2.

Reducir: R = (a + b) 2  – (b - a)2 + (a  – 2b)2  – a2  – 4b2 a) 0 b) a c) b d) 2ab e) ab

3.

El valor de:

N

Haciendo: x = 445 La operación se convierte en: (x + 1)(x - 1)  – (x + 2)(x - 2)  Aplicando productos notables: x2  – 1  – (x2 - 4)

4.

a) 6 d) 12 Efectuar:

( 5

24 b) 8 e) 14

5

24 )2 c) 10

( 5

P

1)( 5 ( 2

a) 3 d) 6 5.

1)

( 3

1)( 2

1)( 3

1)

1)

13.

b) 4 e) 7

c) 5

3

P

Efectuar:

6.

Si:

1 x

1  y

b) n16

c) x16

14.

4 x  y

Calcular: E

15. a)

x

8

b)

2

x 3 y d) 2 7.

c)

2

x  y 2

A

c)

3

A

1 A

1

7

3

3

2

b) m2 - 2n e) m - n

17.

c) m2 - n

Efectuar: R = (3x2  – 2y3)2 + (3y3 + 2x2)2  – 13(x4  – y6) b) -12x2y3 e) 1

c) 0

Efectuar: E = (x + y - 2) 2 + (x + y + 3) 2  – 2(x + y)2 - 13 a) -4(x + y) d) -4

b) 6(x + y) e) x2

c) 2(x + y)

Efectuar:

3

a)2 2

(m b)2 a

2

2

b

(m c)2

c

c) a2 + b2 + c2

b) 1 e) -1

(x

19.

3

4)(x

2)

1

b) 2002 e) 2005

c) 2003

Si: (x + y)2 = 4xy Calcular el valor de:

  x2000

 y2000

b) x e) 5 + x/2

xy x  y c) 2x

Reducir: (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x  [(x2 + 4x)2 – 9x(x + 4)] b) -36 e) -48

c) 30

20.

b) 16 e) 12x2y3 + 8

Si: x + y = 5; 5; xy = 2; x > y Hallar: 2 2

a) 17 d) 21

2 )2

2 )2 24x5 y3

T  x

Para: x = 2 000 a) 2001 d) 2004

3

a) 24x5y3 d) 16  – 24x5y3

2

Hallar el valor numérico de:

a) 36 d) -30

3

10x+y + 10x-y = m 102x = n

(2 4

(m

E

12.

Si:

3

c)

3

a) a + b + c d) abc

a) x/2 d) x/3

c) m2

S (2x5 3 y3 )2 (3 y3 2x5 )2 (2 4

m

N

n

27c d

e)

a) 12x3y3 d) 26y6

18.

m

11.

6

m

e) A es impar

Si: m = 2a + 2b + 2c Calcular: 2

E

16.

d) A2 + 1 = 5

3

3

m m

Calcular: T = 100 x+y + 100x-y

c) 13

Luego de efectuar:  A = (x2 + x + 4)(x2 + x + 5) – (x  (x2 + x + 3)(x2 + x + 6) Indicar lo correcto:

3

.

b) 2

a) m2 + 2n d) m2 + n

b) 14 e) 11

b) 0

10.

4

Luego de efectuar: E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4)  – 2x(x + 5) Se obtiene:

a)

9.

x

e) 1

a) 15 d) 12 8.

3(a b)

d) 3

x2

6

n

Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

a) 1

(x  y)2

xy x  y

m

b) n e) 1

Calcular: S

x2  y2 xy

3

m m

a) m d) n2

R = (x + n)(x - n)(x2 + n2)(x4 + n4)(x8 + n8) + n16 a) x12 d) x16 + n16 e) 1

Efectuar:

 y

x  y

b) 3 e) -21

c) 24x 24x5y3 + 16

17 17

c)

Si: x + y = 2; x2 + y2 = 3; x > y Hallar: P = x  – y + x4 + y4 - 8 a) 8 d) -4

b) 2 2 e) N.A.

c)

2