PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

UNIDAD 5

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta unidad resolverás ejercicios en los que apliques los resultados de los productos y cocientes notables.

Objetivo 1.

Recordarás a qué se llama productos y cocientes notables.

Ejercicios resueltos: Calcula los productos notables que se indican:

1.)

 ax

2

 by 2 

 ax

2

2

2

2

 by 2    ax 2   2  ax 2  by 2    by 2 

2

 a 2 x 4  2abx 2 y 2  b 2 y 4 2.)

1 5 3 3  t  w  4  2

2

2

2

1 5 3 3 1 5  1 5  3 3   3 3   t  w    t   2 t  w    w  4  2  2  2  4   4  1 3 9  t 10  t 5 w3  w 6 4 4 16

3.)

 4a 5  a   b 

2

2

2

2

 4a  4a   4a  5 5 5 2   a      2  a   a   b   b   b 

16a 2 8a 6   a10 2 b b



4.)

5 4 3  w z  2  5

2

2

2

5 4 3  3  3  5 4   5 4   w  z    w  2  w  z    z  2  5  5  5  2   2  9 2 25 w  3wz 4  z 8 25 4



5.)



2x  3 y





2

2

2x  3 y

  2





2



 

2x  2 2x 3 y  3 y



2

 2 x  6 2 xy  9 y

6.)

2

3x  2 x

2



2

3x  2 x

2

   2 3x 

2





 

 2 2 3x 2 x  2 x



2

 12 x  8 3x  4 x  16 x  8 3 x

7.)

 sen x  cos x 

2

 sen x  cos x 

2

2

  sen x   2  sen x  cos x    cos x 

 sen 2 x  2sen x cos x  cos2 x  1  2sen x cos x

8.)

a  b  c  d 

2

a  b  c  d 

2

  a  b    c  d  

2

2

2

  a  b   2  a  b  c  d    c  d 

2

  a 2  2ab  b 2   2  ac  ad  bc  bd    c 2  2cd  d 2 

 a 2  2ab  b 2  2ac  2ad  2bc  2bd  c 2  2cd  d 2

Objetivo 3.

Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el producto de la

suma por la diferencia de dos cantidades. Ejercicios resueltos: Calcula los productos notables que se indican:

1.)

a

3

 7b 2  7b 2  a 3 

a

3

2

 7b2  7b 2  a3    a3    7b 2 

2

 a 6  49b 4

2.)

1  1   x   x   x  x  1  1 2  1  x   x     x     x  x  x  x2 

3.)

3

1 x2



7x  2 y 3 7x  2 y

3

2





 

7 x  2 y 3 7 x  2 y  3 7x

2

  2 y 

 63x  4 y

4.)

 a  b  1 a  b  1

 a  b  1 a  b  1   a  b   1  a  b   1 2

  a  b   12  a 2  2ab  b 2  1

2

 2 x  y  z  2 x  y  z 

5.)

 2 x  y  z  2 x  y  z    2 x   y  z  2 x   y  z  2

2

  2x    y  z   4 x 2   y 2  2 xy  z 2   4 x 2  y 2  2 xy  z 2

Objetivo 4.

Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el cubo de un

binomio. Ejercicios resueltos: Calcula los productos notables indicados:

1.)

 ht

2

 2t  3   ht 2  3 3  ht 2  2 2t   3  ht 2   2t  2   2t  3

 h 3t 6  6h 2t 5  12ht 4  8t 3

2.)

a

x

 b y  3   a x  3 3  a x  2 b y   3  a x  b y  2  b y  3

 a 3 x  3a 2 x b y  3a x b 2 y  b 3 y

3.)

x

2a

3

3

2

2

 5 y a    x 2 a   3  x 2 a   5 y a   3  x 2 a  5 y a    5 y a 

3

 x 6 a  15 x 4 a y  75 x 2 a y 2 a  125 y 3 a

4.)

2 3

 2x  y    2 x 

3

 3 2x

2

2 2

2 3

 y   3 2x  y    y  2

 8 x3  12 x 2 y 2  6 xy 4  y 6

3

5.)

3

3

 5 x 2  6 y   5x 3 y   5x   5x            3  x   2   2  2x   2



2

2

 3 y   5 x  3 y   3 y     3       x   2  x   x 

125 x 3 225 x 2 y 135 xy 2 27 y 3    3 8 2x 2x x

3

125 x 3 225 xy 135 y 2 27 y 3    3 8 2 2 x



6.)



x  2 xy

   x   3  x   2 xy   3  x   2 xy  3

3

3 2

2

2

  2 xy  3

5 2

2

 x  6 x y  12 x y 2  8 x 3 y 3  x 3  6 x 2 y  12 x 5 y 2  8 x 3 y 3

7.)

a  2 b 

3







 

  a  3 3  a  2 2 b  3  a  2 b 2  2 b



3

 a 3  6a 2 b  12ab  8 b 3

3

8.)

1  3  a  b  2  

 a   3 a  3

a

9.)

3

 x 1 y 

3

3

2

1   b  3 2 

2

1  1  a  b   b 2  2 

33 2 3 1 a b  3 ab 2  b 3 2 4 8

3

3

  x  1  y    x  1  3  x  1



3

  3

2

2

2

2

 y   3  x  1 y    y 

3



 x 3  3  x  1  3  x 1  13  3  x 2  2 x  1  y   3  x  1 y 2  y 3

 x 3  3x 2  3x  1  3 x 2 y  6 xy  3 y  3xy 2  3 y 2  y 3

10.)

Eleva a la tercera potencia la diferencia de b  1 menos c  1 .

 b  1   c  1  3   b  c  2  3   b  c   2 3 3

2

2

3

 b  c   3b  c  2   3b  c 2   2





 b 3  3b 2c  3bc 2  c 3  6 b 2  2bc  c 2  12b  12c  8

 b 3  3b 2c  3bc 2  c 3  6b 2  12bc  6c 2  12b  12c  8

Objetivo 5.

Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el producto de dos

binomios con un término común.

Ejercicios resueltos: Calcula los productos notables indicados:

1.)

1  3    y   y  4  4  3 2 1  3  1 3  1  3  2   y   y     y      y      y  y  16 4 4  4  4  4  4 

2.)

2

  2 x  x  5 

x  x 5  4x





 

4x  2 x  x

 2 x



2



 5  2 x 



  x  5  2 x   x  5 

 4 x  2 x x  10 x  5 x  9 x  2 x x  10 x

3.)

 ab  ac  ab  bc   ab  ac  ab  bc    ab 

2

  ac   bc    ab    ac  bc 

 a 2b 2  a 2bc  ab 2c  abc 2

4.)

 4 x  y  1 4 x  3 y  1

4 x  y  14 x  3 y  1   4 x  1  y  4 x  1  3 y    4 x  1  y   4 x  1  y   4 x  1  3 y  2

  4 x  1   y   3 y    4 x  1   y  3 y   16 x 2  8 x  1  8 xy  2 y  3 y 2

5.)

x

2

 y 2  z 2  x 2  y 2 

x

2





 y 2  z 2 x 2  y 2   x 2  y 2   z 2   x 2  y 2   0  2

  x 2  y 2    z 2  0  x 2  y 2    z 2   0 

x

Objetivo 6.

4

 2x2 y 2  y4  x2 z2  y 2 z2 

Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la

diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

Ejercicios resueltos: Calcula los cocientes notables indicados:

1.)

4 x 2  121 2 x  11 2

2

4 x 2  121  2 x   11   2 x  11 2 x  11 2 x  11

2.)

9a 4b 2  16a 2b 6 3a 2b  4ab3 2

2

2 3 9a 4 b 2  16a 2 b 6  3a b    4ab    3a 2b  4ab3 2 3 2 3 3 a b  4 ab 3a b  4ab

3.)

a 2 x 2  4b 2 x a x 1  2b x 2

2

x 1 x a 2 x  2  4b 2 x  a    2b    a x 1  2b x a x 1  2b x a x 1  2b x

4.)

3a 4 x  9b 2 y 3b y  3a 2 x 3a 4 x  9b 2 y 3a 4 x  9b2 y  3b y  3a 2 x 3a 2 x  3b y

 

Objetivo 7.

3a 2 x

2

y 2

  3b  2x

3a  3b

 3a 2 x  3b y

y

Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la suma

o la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

Ejercicios resueltos: Determina el resultado de los siguientes cocientes notables:

1.)

a 3  27b 3 3a  9b a 3  27b 3 a 3  27b 3  3a  9b 3a  3b  3 3 1  a   3b      3  a  3b 

2.)



1 2 2 a  a 3b   3b  3



a2  ab  3b 2 3





64m 3  125n 3 4m  5n 64m 3  125n 3 4m 3  5n 3  4m  5n 4m  5n 2

2

 4m   4m 5n   5n 

 16m 2  20mn  25n 2

3.)

x6  343 y 27 x2  73 y 3 3

 x2  x6 3  343 y    7 y 3 27   2 2 x x  73 y  73 y 3 3





3

2

 x2   x2        73 y  73 y  3  3





4.)

 



2

 x    x  y 

3

x4 7 x2 3 y   49 3 y 2 9 3

x 6  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3 x2  x  y 3

x 6  x 3  3 x 2 y  3xy 2  y 3 x 6   x  y   2 x  x  y  x2  x  y 2

3

x2   x  y 

    2

2

 x 2  x 2 x  y   x  y 

 x 4  x3  x 2 y  x 2  2 xy  y 2

5.)

xy  8 xy 26 xy  3 xy xy  8 xy 26 xy  3 xy

  



3

xy

  2 3

6

xy



3

2 6 xy  3 xy 3

xy

  2

3



 

xy 2 6 xy  2 6 xy

 3 x 2 y 2  2 xy  43 xy



2