Prof. Ze Moreira - Apostila Matematica BB 2013

JOSÉ DOS SANTO SANTOSS MORE MOREIRA IRA

1. MATEMÁTICA BÁSICA NÚMEROSS PRIMOS NÚMERO São aqueles que possuem exatamente 2 divisores distintos Exemplo:

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

NÚMEROSS PRIMOS ENTRE SI NÚMERO São aqueles que compõem uma FRAÇÃO IRREDUTÍVEL Exemplo:

25 e 4 →

não dá pra simplificar

MULTÍPLO Um número A é múltiplo de um número B se o quociente for um número inteiro e o resto é ZERO. Exemplo:

12 é múltiplo de 4?

Contra-exemplo:

9 é múl últi tipl ploo de 4?

MÍNIMO MÍNIM O MÚLTIPLO MÚLTIPLO COMUM 4, 6, 7, 9

A C I T Á M E T A M

Exem Ex empl plo: o: Joãozi Joã ozinh nhoo visit visitaa Maria Maria de 8 em em 8 dias dias.. Pedri Pedrinh nhoo visit visitaa Maria Maria de 9 em em 9 dias dias.. Carli Carlinho nhoss visita Maria de 12 em 12 dias. No dia 18 de julho fizeram uma FESTINHA, TODOS na casa de Maria. Quando será a próxima data em que TODOS visitarão juntos Maria?

CETEC

1

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA

MAXÍMO DIVISOR COMUM Para reconhecermos um problema de MDC devemos observar que o mesmo fará referencia à: TAMANHOS IGUAIS PADRONIZAÇÃO PACOTES IGUAIS, etc. MAIOR TAMANHO POSSÍVEL OU MENOR NÚMERO DE “PEDAÇOS”

Não há sobras

Exemplo: Dispomos de ROLOS DE ARAME de 180m, 252m e 324m. Desejamos fabricar rolinhos de mesmo tamanho, e do MAIOR tamanho possível a partir dos três rolos citados. Se não há sobras, qual o tamanho de cada rolinho e quantos rolinhos obtemos?

A C I T Á 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS M E NATURAIS = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} T INTEIROS RELATIVOS = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} A São Aqueles que podem ser colocados na forma de M RACIONAIS N

Q

fração Q

com a ∈ e b ∈

= {..., -3, ..., - , ..., 0,

e b ≠ 0.

, ..., 4, ..., 5,333, ....}

ATENÇÃO: Os seguintes números são RACIONAIS 0,333...

0,555...

0,777...

0,212121...

0,363636...

0,234234234...

0,32222...

0,4818181...

0,7242424...

0,34555...

0,7833333...

0,54636363...

0,9562222...

0,2345555...

0,234565656...

DICA:

2

CETEC

“DA DUPLA PERU E PERI, SAIU O PERU”.


IRRACIONAIS

II ={-

, ..., -

, ..., e , ..., π, ...}

2,7182... NÚMERO DE EULER π ≅ 3,1415... PI e≅

REAIS R= {Conjunto dos RACIONAIS E IRRACIONAIS} COMPLEXOS

C

São Números da forma

a

+

b i , com a e b REAIS e i =

Parte Real

Imaginária

EIXO IMAGINARIO

Eixo Imaginário

EIXO IMAGINARIO

EIXO IMAGINARIO

4 2 i 3 EIXO REAL

N

4 EIXO REAL

EIXO REAL

Q


R

COMPLEXOS

RECORDAÇÃO DAS 4 OPERAÇÕES A) 4872 1600

B) 241 4

C) 3,68 x 2,7

D) 1,25 2,5

E) 2,71 + 305,4 + 1009,25 + 200,375 + 1234,098 =

F) 1 - 0,30103 =

G) 5,00600 - 2,30357

CETEC

3


3. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS MEDIDAS DE TEMPO ANOTAÇÕES

8,30h = 6,40h = 7,20h = 8,90h = 9,50h = 3,2 meses = 2,7 meses = 2,6 anos =

AUNIDADES DE COMPRIMENTO C I km hm dam m T Á DICA: M E TUNIDADES DE SUPERFÍCIE A M km2 hm2 dam2 m2

dm

cm

mm

dm2 cm 2 mm2

DICA:

UNIDADES DE VOLUME hl

hl

dal

l

km3 hm3 dam3 m3 DICA:

4

CETEC

dl

cl

ml

dm3 cm 3 mm3


UNIDADES DE MASSA kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

DICA:

LEMBRETES 1 - Não confundir 1Kg com 1 Litro. Ex.: 1 Litro de Mercúrio(Hg) = 13,6 Kg 1 Litro de água destilada a 4°C, sob pressão de 1 ATM = 1Kg 2 - 1L = 1000 cm3

1L 1dm3

1mL = 1cm3


1m3 = 1000L

3 - MEDIDAS AGRÁRIAS 10m 1 ARE

1 CENTIARE

→

100m2

1 HECTARE

É a centésima parte do ARE 1m 1 Ca

10m

Corresponde a 100 ARES 100m

1m

→

1m 2

1 Ha 100m

→

10.000m2

CETEC

5


4. FUNDAMENTOS GERAIS ORDEM DAS OPERAÇÕES POTENCIAÇÃO MULTIPLICAÇÃO SOMA

RADICIAÇÃO DIVISÃO SUBTRAÇÃO

Efetue: A) 2 + 3 x 15 =

B) 12 ÷ 2 x 3 =

C) 2 + 3 x 5 +

REGRA DOS SINAIS

1) SOMA ALBÉBRICA

A A) - 2 - 3 = C I B) + 4 - 7 = T Á M2) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO E T A) (-2) x (-3) = A M C) 63 9

C) - 8 + 15 = D) + 9 + 7 =

B)

D) (-9) x (8) =

3. SIMPLIFICAÇÃO A) 2 x + 4 y + 6 z = 2

B)

C)

D)

E)

6

CETEC

=

=


ATENÇÃO: SINAL DE MENOS ANTES DO PARÊNTESES -(-5) =

DICIONÁRIO DE MATEMATIQUÊS UM NUMERO

→


X

O DOBRO DE UM N° A METADE UM N°

→

→

O QUADRADO DE UM N°

→

A METADE DO QUADRADO DE UM N°

→

O QUADRADO DA METADE DE UM N°

→

A TERÇA PARTE DE UM N° O CUBO DE UM N°

→

→

O TRIPLO DA METADE DE UM N°

→

METADE DO TRIPLO DA DE UM N° A QUINTA PARTE DE UM N°

→

A RAIZ QUADRADA DE UM N° O OPOSTO DE UM N°

→

→

→

O INVERSO DE UM N°

→

CETEC

7


UM NÚMERO SOMADO COM SEU INVERSO É 12 A RAZÃO ENTRE A E B

→

A RAZÃO ENTRE B E A

→

A DIFERENÇA ENTRE A E B

→

A DIFERENÇA ENTRE B E A

→

→

A RAZÃO ENTRE O CUBO DE UM NÚMERO S SEU QUADRADO → TRÊS NÚMEROS INTEIROS CONSECUTIVOS

→

A TRÊS NÚMEROS PARES CONSECUTIVOS C I T TRÊS NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS Á MATENÇÃO: Sendo X um inteiro qualquer, então um número: E T PAR IMPAR A M →

→

A SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS CONSECUTIVOS

→

O PRODUTO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS CONSECUTIVOS

de

de

=

A excede B em 24 unidades

8

CETEC

→


1 inteiro =

=

=

=

=

=

= ...

1= DICA: PARTE TODO

A diferença entre o preço de venda e o preço de custo


→

A diferença entre 2 quadrados → O quadrado da diferença → A soma dos inversos de dois números

→

A diferença entre dois cubos → O cubo da diferença entre dois números A metade do inverso do N°

→

O inverso da metade do N°

→

→

CETEC

9


5. RECORDANDO EQUAÇÕES 2 x = 10 x + 5 = 18


10

CETEC


6.FRAÇÕES NUMERADOR DENOMINADOR

MULTIPLICAÇÃO SIMPLIFICAÇÃO

A - MESMO DENOMINADOR


DIVISÃO

= =

= =

= B - DENOMINADORES DIFERENTES

=

C - DENOMINADORES COM INCÓGNITA

=

CETEC

11


OPERAÇÕES E PROBLEMAS 01) O resultado de

1+1 1+ 1 a b

A) a + b

02)

C)

a+b ab

E)

a+b 2

x + y é igual a 1 1 x+ y A) 1 B) 2

é

15) Quando saí de casa já havia transcorrido 3/8 do dia. Quando retornei, havia passado 5/6 do dia. Quanto tempo estive fora?

1 a+b D) ab a+b B)

C) x2 + y 2

16) Saí de casa quando 2/5 do dia já havia passado. Ao retornar, observei que restava apenas 1/4 do dia. Quanto tempo estive fora?

D) x y x + y

E) xy

A03)Qualoresultadodaexpressão? C I 1 + 3/42 + 4 T 2/3 3 2/5 Á04) Quantos nonos há na unidade? M05) Que fração do dia já transcorreu quando o relógio bate E 8horas? T06)UmapessoadeviaR$12,epagou3/5dadívida.Quanto A ainda deve? M07)Quantodevoadicionara8/15para obteraunidade? 08) Quanto é 2/5 de 3/4? 09) Uma agricultor podou 1/5 das suas árvores no 1º dia. No 2º dia podou 3/4 das árvores que restaram sem podar. E no 3º dia podou a metade das que sobravam. Se o número total de árvores é 80, quantas ficaram sem podar? 10) Um fazendeiro vendeu 3/7 das ovelhas que possuía. Depois vendeu a 4º parte das ovelhas que sobraram. E finalmente 5/6 das ovelhas que restavam, morreram no inverno. Se ao final ficaram 6 ovelhas quantas ovelhas tinhainicialmenteo fazendeiro?

17) Os2/3de5/3dopreçode umamotoeqüivalema3/2de 2/5dopreçodeumautomóvel avaliadoemR$9.600,00. O preço da moto é A)R$16.000,00 B)R$5.184,00 C)R$5.760,00 D)R$8.640,00 E)R$6.400,00 18) Um certo número de alunos á aprovado em um concurso. No exame psicotécnico 3/8 são reprovados. Do restante, 2/5 rodam no teste físico. Se a metade dos classificados é 45, determine o número inicial de aprovados. 19) Um certos números de árvores frutíferas deveria ser colhida. No primeiro dia 5/12 das árvores foram colhidas. No segundo dia 4/7 das restantes foram colhidas e no terceiro dia 2/5 das que ainda não haviam sido tocadas, foram colhidas. Se sobraram 90 árvores sem colher, qual o total inicial? 20) Joãogasta2/5dosalárionoaluguel. Doquesobra,gasta 3/7 no mercado. Se sobraram, no final, R$ 120, qual o salário do João? 21) João gasta 2/5 do salário no aluguel e 3/7 do salário no mercado. Se sobrou R$ 120, quanto ganha o João? 22) Um negociante recebeu 108 ovos que colocou em 2 cestas. A um freguês vendeu 1/3 dos ovos da 1º cesta e a outro 1/6 dos ovos da 2º cesta. As duas cestas agora tem o mesmo número de ovos. quantos ovos havia em cadacesta?

GABARITO

11) Em um clube 2/3 dos sócios são mulheres. Se 3/5 das mulheres são casadas e 80% das casadas tem filhos. Qual o número de associados do clube, sabendo-se queasmãescasadassão360?

01. D

02. E

03. 8/47

04. 9

05. 1/3

06. $4,80

07. 7/15

08. 3/10

09. 8

10. 84

11. 1125

12. 7h e 30min

12) Que horas são quando o tempo já transcorrido do dia é igual a 5/11 do que resta do dia?

13. E

14. B

15. 11h

16. 8h e 24min

17. B

18. 240

19. 600

20. $350

21. $700

22. 1ª cesta - 60

13) Que hora são quando o tempo já transcorrido é igual a 4/11 do que resta do dia? A) 6h e 40min B) 6h C) 6h e 4min D) 8h e 8min E) 6h e 24min 12

14) Que horas são quando o tempo que já transcorreu é 1/3 do que resta do dia? A) 8 h B) 6 h C) 4 h D) 3 h E) 2 h

CETEC

2ª cesta - 48


EQUAÇÃO DE 1º GRAU 1º GRUPO 10 2 x B) 2 = 4 48 C) 16 = x x D) 5 = 3 x E) = 7 2 3 F) 6 = y 36 G) = 12 t x H) 10 = 8 10 I) =2 m

5 -2x + 1 5 1 H) = -3x + 4 4 G) 2 =

A) x =

2º GRUPO A) x + 2 = 7 B) x - 2 = 7 C) 2x + 3 = 9 D) 2x - 3 = 9 x E) + 5 =10 2 x F) - 5 = 10 2 3x G) + 2=14 2 5x H) -3=12 2 3t I) 6 = 2

3º GRUPO A) -x + 2 = 6 B) -4x - 2 = 10 -3x C) - 2 = -17 4 -x + 2 D) = -6 4 3 E) =3 -x-5 2 - x F) =2 3

4º GRUPO A) 2 = a.10.20 B) 4 = 5.c.16 C) 6 = 10.12.t c.4.15 D) 12 = 100 500.i.12 E) 20 = 100

5º GRUPO x + 2 A) = 10 2 3x - 3 B) =6 4 10 C) 2 = 2+x 3x - 30 D) = 15 2 2 + t E) 8 = 2 4x + 5 F) =2 4


6º GRUPO A) 5x - 3 = 2x + 7 B) 2x + 3 = 3x - 4 C) -6x - 2= -2x - 2 x + 2 D) = 2x 2 E) -3x + 1 = 2x - 4 x - 3 F) =3+x 2 2x + 1 G) =2-x 2 2x 3x H) = -12 3 4 x x - 1 1 I) = 4 3 12 3x 3 J) -5=x7 7 3 5 K) = x+2 x-1 L) 5 = 4 x x+2

CETEC

1 3 13

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA x x x M) 2 (5 - ) -6 ( - 1) = - 7 5 2 6 2x + 2 N) = 2x + 2 2 1 1 1 O) + = x+1 x+1 x

Testes 01) O valor de x em ax + b = a + bx é A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 4 x x A -2 C I A) B) -1 T C) 0 Á D) 1 M E) 2 E03) Se x - 2 = A + B , o valor de A - B é T x + x x + 1 x A A) 5 M B)C) 3-1 2

D) -3 E) 5

é

Problemas de 1º grau resolvidos 01) Um número somado ao seu triplo é igual a 36.

14 14

CETEC

4x - x = 48 2 3x = 2 . 48 3x = 96 96 x= 3 x = 32

cortada em 2 partes de tal forma que a parte que sobrou é 2/3 da que foi aproveitada. Quanto sobrou? x 5-x 5m sobrou = x (5 - x) = aproveitada sobrou = 2/3 (aproveitada) 2 x = (5 - x) 3 3x = 2.5 - 2x 3x + 2x = 10 5x = 10 x = 10/5 x =2

04) Em um concurso de tiro, o atirador ganha 6

04) O valor de x em:

Determine o número. x + 3x = 36 4x = 36 x = 36/4 x=9

metade é igual a 48. Qual é o número? 2x x - = 48 1 2 Tiramos o MMC do lado esquerdo

03) Uma ripa de madeira de 5m de comprimento foi

02) O valor de x na expressão x - 1 = x + 1 é

1 4 1 = 2 x+1 x -1 x-1 A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) -2

02) O dobro de um número diminuído de sua

pontos por tiro acertado e perde 2 pontos por tiro errado. Se em um total de 30 tiros ele marca 132 pontos, quantos tiros ele acertou? Acertos + Erros = 30 Acertou x tiros Errou (30 - x) tiros 6 . (nº acertos) - 2 (nº erros) = Pontos (6 . x) - 2 (30 - x) = 132 6x - (60 - 2x) = 132 6x - 60 + 2x = 132 8x = 132 + 60 8x = 192 192 x= 8 x = 24 acertos


05) Uma pessoa gasta 1/3 do seu salário no supermercado, 2/5 do seu salário na farmácia e ainda lhe sobram R$ 240. Qual o seu salário?

Problemas de primeiro grau 01. Determine o número que aumentado de 20 unidades totaliza 44.

Gastou + Sobrou = Total salário = x 1 supermercado = x 3 2 farmácia = x 5 1x 2x + + 240 = x 3 5 Tiramos o MMC do lado esquerdo

02. A diferença entre um número e 8 é igual a 12.

5x + 6x + 3600 =x 15 11x + 3600 = 15x 3600 = 4x x = 900

06. Um número somado com o seu dobro é igual a 27.

Prova 1/3 de 900 → R$ 300 2/5 de 900 → R$ 360 Gastou (660) + (240) = Total (900)

06) João gasta 2/3 do seu salário no mercado e 3/4 do que sobrou no aluguel. Se ainda restou R$ 100, qual o seu salário de João?

Determine o número.

03. A razão entre um número x e 4 é igual a 9. Determine o valor de x.

04. A diferença entre 50 e um número desconhecido é 11. Qual é o número desconhecido?

05. A razão entre 80 e um determinado número é 5. Qual é o número? Qual é o número?

07. O triplo de um número diminuído de seu dobro é igual a 15. Qual é o número?

08. O dobro de um número adicionado com o seu triplo é igual a 85. Qual é o número?

09. Um número mais a sua metade é igual a 18. Qual é o número?

10. Um número adicionado de sua terça parte totaliza 32. Determine o número.

11. O dobro de um número diminuído de 10 é igual ao próprio número somado com 26.

Salário

x Após pagar o Mercado 2x 2x Mercado→ sobrou (x ) 3 3 3 2x Aluguel . (x - ) 4 3 Gastos + Sobras = Total 2x 3 2x + (x ) + 100 = x 3 4 3 2x 3x 6x + + 100 = x 3 4 12 8x + 9x - 6x + 1200 =x 12 11x + 1200 = 12x x = 1200 →


12. O dobro de um número diminuído de 2 unidades é igual ao triplo de sua metade adicionado com 6 unidades.

13. Gabriel tinha 8 anos quando Cristiano nasceu. Atualmente a soma de suas idades é 62 anos. Calcule a idade de cada um. a) 30 e 32 anos. c) 36 e 26 anos. e) 30 e 38 anos.

b) 28 e 34 anos. d) 35 e 27 anos.

14. Quando Paulinho tinha 5 anos, Sandra tinha 14 anos. Se hoje, a soma das suas idades é 57 anos, a idade de Sandra é A) 40 anos D) 37 anos

B) 35 anos

C) 33 anos E) 39 anos

15. Determine a área de um retângulo sabendo-se que seu perímetro é 40cm e que a altura é o triplo da base.

16. Quais as dimensões de um retângulo sabendo-se que o perímetro mede 24cm e que a altura é a metade da base?

CETEC

1 5 15

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA 17. Sabendo-se que a área de um retângulo á base multiplicada por altura, qual é a altura quando a base é 4m e a área é 2m2? A) 8m

B) 6m

C) 4m

D) 0,5m

E) 2m

18. A idade de um pai e um filho está na razão de 5/ 2. Qual a idade de cada um sabendo-se que a diferença entre eles é 18?

19. A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre soma 180º. Determine cada ângulo de um triângulo cujos ângulos são x ; x + 20º e x + 40º.

20. Determine dois números ímpares consecutivos 21. Em uma classe existem 40 alunos. O número de rapazes excede o de moças em 12 unidades. Qual o número de rapazes?

A C I22. A idade de João é o dobro da idade de Pedro e a de Ana Maria é o triplo da idade de João. T idade Á Seum?juntos somam 36 anos, qual a idade de cada M23. Um pai tem 65 anos e o filho 35 anos. Há quantos E anos atrás, a idade do pai era o quádruplo da T idade do filho? A24. Carlota tem 40 anos e Berlamino tem 24 anos. Há M quantos anos atrás, a idade de Carlota era o triplo B) 2 0

31. Uma viga de ferro de 12m de comprimento é cortada em duas partes de tal forma que a parte menor é 3/5 da parte maior. Quanto mede a parte maior? A) 7,2m

C) 26

D) 28

E) 23

25. O salário de Luís e João somam juntos R$ 80. Se o salário de Luís é a quarta parte do salário de João, qual o salário de cada um?

26. A soma de três números pares consecutivos é 60. determine os números.

27. O perímetro de um triângulo soma 48cm. Se os lados são 3 números pares consecutivos, determine cada lado.

28. Os lados de um triângulo são n vezes maior que os números 5, 12 e 13. Se o perímetro mede 120, qual o valor de cada lado?

29. Um operário ganha R$ 50 por dia de trabalho e paga multa de R$ 20 por dia de falta (além de não ganhar o dia). Depois de 22 dias úteis, ele recebeu R$ 610. quantos dias trabalhou?

30. Cada questão acertada por um estudante vale 10 pontos e cada questão errada faz com que lhe seja retirado 4 pontos. Se, em uma prova de 50

CETEC

D) 8m

E) 6m

32. A soma da terça parte de um número com 4 é igual a 10. Determine o número.

33. A diferença entre a quarta parte de um número e 2 é igual a 7. determine o número. metade é 15. determine o número.

35. A diferença entre as idades de dois irmãos é 10 anos. Quantos anos tem cada um, sabendo que a idade do mais velho é o triplo da idade do mais jovem? jove m?

Gabarito EQUAÇÃO DE 1º GRAU 1º GRUPO B) 8 C) 3 F) 1/2 I) 5 2º GRUPO F) 30 H) 6 I) 4 3º GRUPO E) -6 F) -4 G) -3/4 H) -16/3 B) 1/20 4º GRUPO A) a = 1/100 C) 1/20 D D)) 20 E) 1/3 F) 3/4 5º GRUPO C) 3 6º GRUPO K) -13/2 L) -10 M) 690/107 O) 1

da idade de Berlamino?

16 16

B) 4,8m C) 7,5m

34. A diferença entre o triplo de um número e a sua

cuja soma é 56.

A) 14

questões, o aluno soma 332 pontos, quantas questões errou?

01. B

TESTES 02. E 03. E

04. C

PROBLEMAS DE 1º GRAU 20. 27 e 29 21. C 22.. Pedro = 4 anos 22

01. 24 02. 20 03. 36 04. 39 05. 16 06. 9 07. 15 08. 17 09. 12 10. 24 11.. 36 11 12. 16 13. D 14. C 15. 75cm2 16. h = 4cm b = 8cm 17. D 18. 30 e 12 anos 19. 40º, 60º, 80º

João = 8 anos Ana = 24 anos 23. 25 anos atrás 24. 16 anos atrás 25.. Luiz $ 16 25 João $ 64

26. 18, 20, 22 27. 14, 16, 18 28. 20, 48, 52 29. 15 dias 30. 12 questões 31. C 32. 18 33. 36 34. 6 35. 5 anos e 15 anos

JOSÉ DOS SANT SANTOS OS MORE MOREIRA IRA

7. SISTEMAS LINEARES

1º Caminho

2x – 3y = 11 x + 2y = 2

Podem ser resolvidos por substituição ou adição. Método da substituição 2x + y = 8 Considere a equação x–y=1

Isolamos uma das incógnitas em uma das equações e substituimos o valor isolado na outra.

Multiplicamos a de baixo por (–2). Então: 2x – 3y = 11 –2x – 4y = –4 / – 7y = 7

y = –1

Em seguida substituimos y por (–1) em qualquer uma e achamos x.

Assim, isolando o x na segunda equação, fica: x=1+y 2º Caminho Substituimos x por (1 + y) na primeira equação: 2x – 3y = 11 2 . (1 + y) + y = 8 x + 2y = 2 2 + 2y + y = 8 Multiplicamos a de cima por 2 3y = 8 – 2 Multiplicamos a de baixo por 3 y = 6/3 Então: y=2 4x – 6y = 22 E, como x=1+y 3x + 6y = 6 x=1+2 7x / = 28 x = 28/7 x=4 x=3 Método da adição

Elimina-se uma das incógnitas somando algebricamente a equação de cima com a equação de baixo. Exemplo Exempl o1

2x + y = 8 x –y =1 3x / = 9 x=3 Em seguida substituimos o valor de x em qualquer uma das equações para achar o valor de y. Exemplo Exempl o2

2x – 3y = 11 x + 2y = 2 É necessário ajustar as equações para que uma das incógnitas se anule. Isto é possível porque uma igualdade não se altera quando multiplica mos todos os seus termos termos pelo mesmo mesmo número. número.

Assim, temos 2 caminhos: (1º) Multiplicar a de baixo por (–2) para que 2x se anule com (–2x). (2º) Multiplicar a de cima por (2) e a de baixo por

(3) para que (–6y) se anule com (6y). Depois de anular uma das incógnitas, segue o processo comum.

A C I T Substituindo x por 4 em qualquer uma, acha- Á mos o valor de y. M Por exemplo, na segunda: E 3 (4) + 6y = 6 6y = 6 – 12 T 6y = –6 y=–1 A Você mesmo pode tirar a prova real substitu- M indo em cada equação oa valores de x e y e constando se a igualdade se confirma.

RESO RE SOLVA LVA 2x +3y = 14 3x +2y = 11 12x+7y = 3 4x-7y =29 - x+4y = 3 6x -2y = 26 2k - m=10 k +3m= -2 x+ y = 1 3/x + 2/y =12 x + 2y= 1 x/2 + 4/3=5/6

CETEC

17

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS 01. Pedro é 4 anos mais velho que Luís. Adicionando

9 anos à idade de Pedro, ela se torna o dobro da idade de Luís. Determine essas idades. 02. Uma fração é equivalente a 7/6. descubra essa

fração, sabendo que o numerador excede o denominador em 3 unidades. 03. A idade de um pai está para a de seu filho como

8 está para 3. Determine essas idades se a soma das duas é igual a 44. 04. Dois barris A e B contém vinho. O volume, em

litros, de vinho do barril A, aumentado de 5, é igual ao volume em litros, de vinho do barril B, diminuido de 3. sabendo que o triplo do volume, em litros, do barril A excede em 24 o dobro do volume, em litros, do barril B, descubra quantos litros de vinho contém cada barril.

A C I T05. Em uma chácara há galinhas e porcos em um total Á de 120 cabeças e 396 pés. Qual o número de M porcos e de galinhas? E06. A idade de um pai é hoje o quádruplo da idade de T um filho. Quatro anos atrás, a idade do pai era o A sextuplo da idade do filho. Para que a idade do pai igual ao dobro da idade do filho, o tempo de M seja corrido deverá ser a) 30 anos. d) 15 anos.

b) 25 anos.

c) 20 anos e) 10 anos.

07. em uma garagem com automóveis e bicicletas, o

número de pneus é 480 e o número de veículos é 192. O número de bicicletas existentes na garagem é a) ímpar. b) maior que c) menor que 100. d) divisor de 300. e) múltiplo de 12. 08. Os preços de duas peças de tecidos estão entre

si como 7 está para 8. Sabendo-se que o triplo do preço de uma menos o dobro do preço da outra vale $50, os preços dessas peças são a) $60 e $70 b) $70 e $80 c) $50 e $60 d) $80 e $90 e) $7 e $8

Gabarito 01. 13 e 17 anos 05. 42 galinhas ; 78 porcos 10. $252 14. D

18

CETEC

02. 21/18 06. C 11. galhos = 3 15. E

09. Em um compartimento existem bicicletas e triciclos,

num total de 38 rodas e 14 assentos. O número de bicicletas e triciclos é rspectivamente a) 4 e 10 b) 5 e 9 c) 3 e 11 d) 10 e 6 e) 24 e 52 10. Com o que tenho no bolso, faltam $24 para pagar

5/7 da minha dívida. Se me dessem $200, pagaria toda a dívida e sobrariam $104. Quanto devo? 11. Em uma árvore existem galhos e pássaros. Se

pousar um pássaro em cada galho, fica um pássaro sem galho. Se pousarem 2 pássaros em cada galho, sobra um galho. Qual o número de pássaros e galhos? 12. Certa quantidade de sacos precisam ser transpor-

tados e para isso dispõe-se de jumentos. Se colocarmos 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos, se colocarmos 3 sacos, em cada jumento, sobram 3 jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados? 13. Comprou-se vinho a $4,85 o litro e chope a $2,50

o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de $19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de litros de vinho comprada foi de a) 60 b) 40 c) 65 d) 35 e) 25 14. Uma pessoa ao fazer um cheque inverteu o

algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de $270. Sabese que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2. O algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é o a) 6 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4 15. Um número real N é formado por 2 algarismos.

A soma desses algarismos é 9. Se a ordem for invertida, o número obtido é 81 unidades menor do que N. Então: a) 1 < N < 40 b) 40 < N < 60 c) 60 < N < 70 d) 70 < N < 60 e) 90 < N < 99 16. Determinar quantos passageiros viajam em certo

ônibus, sabendo que, se dois passageiros ocupassem cada banco, 26 ficariam de pé, e que se três passageiros se sentassem em cada banco, dois bancos ficariam vazios. 03. 32 e 12 07. E

pássaros = 4 16. 90

04. A = 40 l 08. B 12. 57 sacos

B = 48 l 09. A 13. D


Discussão de Sistemas Lineares

06. (PUC) - Para que o sistema

2x - ny = 0 x + 5y = 0 tenha soluções diferentes da solução trivial, n deve ser igual a a) -10 b) -5 c) -2 d) 5 e) 2

ax + by = c dx + ey = f DETERMINADO INDETERMINADO

a d

≠

b e

a d

SOLUÇÃO ÚNICA

=

b e

=

c f

IMPOSSÍVEL

a d

INFINITAS SOLUÇÕES

=

b e

≠

c f

07. (UFRGS) - Se o sistema

não tem solução, então, a) a = 2 e b ≠ 8 c) a ≠ 2 e b = 8 e) a = 1 e b ≠ 4

NENHUMA SOLUÇÃO

6x + ay = 18 4x + 6y = b é indeterminado se os valores de a e b forem, respectivamente: a) 4 e 10 b) 4 e 12 c) 4 e 18 d) 9 e 10 e) 9 e 12

01. - O sistema

02. - A condição necessária e suficiente para que o sistema linear sobre R

3x - y = 16 ax - 3y = 24 não tenha solução é que seja: a) a ≥ 9 b) a ≤ 9 d) a ≠ 9

b) a = 2 e b = 8 d) a ≠ 2 e b ≠ 8

x + ky = 1 , 4x + 5y = 2 seja impossível o valor de k deve ser (A) 1/5. (B) 1/4. (C) 1/3. (D) 4/5. (E) 5/4.

08. (PUC/RS) - Para que o sistema

A C x-y=2 09. (UFSM) - O sistema terá uma I 2x + my = 4 única solução T (A) Somente para m -2. Á (B) Somente para m = 4. M (C) Para qualquer número real. (D) Somente para m = 0. E (E) Para qualquer m 2. T 10. (UFSM) - Considere o sistema de variáveis x e y A 2x + y = m . Pode-se afirmar que M m x + 2y = 4 ≠

c) a > 9 e) a = 9

≠

03 . O valor de k para que o sistema:

x + y = 3 2x + 2y = k possua infinitas soluções é a) 3 b) 6 c) -3 e) não existe nenhum valor.

x + ay = 4 2x + 4y = b

2

(A) se m ≠ 2, o sistema é possível e indeterminado. (B) se m = 2, o sistema é impossível. (C) se m ≠ 2 e m ≠ -2, o sistema é possível e determinado. (D)se m ≠ -2, o sistema é impossível. (E) se m = -2, o sistema é possível e indeterminado.

d) 8

04. (PUC) - O sistema

ax - 2y = 1 bx - 4y = 2 é indeterminado se os valores de a e b forem, tais que a) a = b d) a = b + 2 b) a = 2b e) a = kb, k e N c) a = b/2 x + y = 7 x + ay = b os valores de a e b, respectivamente, para os quais o sistema é possível e indeterminado, são a) 0 e 1 b) 0 e 7 c) 0 e 0 d) 1 e 7 e) 1 e 0

x - y=1 4x + my = 2 é possível e determinado se e somente se (A) m = 2. (B) m = 4. (C) m ≠ -4. (D) m ≠ 1. (E) 4m = 1.

11. (UFRGS 97) - O sistema linear

05. (UFRGS) - Dado o sistema

12. (UFRGS) - O conjunto das soluções (x, y, z) do

2x + 4 - z = 0 é x -y+z =0 (A) ∅. (B) {(0; 0; 0)}. (C) {(0; 2; 2)}. (D) {(0; t; t) / t ∈ R}. (E) {(t; 0; t) / t ∈ R}. sistema

Gabarito

01.E 09.A

02.E 10. C

03.B 11. C

04.C 12. D

05.D

06.A

07.A

08.E

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19


8. RAZÃO E PROPORÇÃO

Proporção é a igualdade entre 2 razões

Calcule P, Q e R Grandezas x y

ou A : B :: C : D

240 48

P 16

25 Q

R 2

Lemos A está para B assim como C está para D.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES O PRODUTO DOS EXTREMOS É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS

PROBLEMA PROPOSTO: Uma engrenagem da 950 voltas em 15 minutos. Quantas voltas dará em 1h e 24 min?

( EXTREMOS ) A . D = B . C ( MEIOS )

DIRETA A PROPORÇÃO GRANDEZAS C DIRETAMENTE I PROPORCIONAIS T Á 5 Laranjas custam R$ 35 M 9 laranjas custarão X E DICA: A regra de três reta T Multiplica em agonal A M DI

DI

PROPORÇÃO INVERSA GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 12 operários constroem uma casa em 6 semanas. 8 operários, nas mesmas condições, fariam a mesma casa em:

GRAFICAMENTE

DICA:

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS TÊM RAZÃO CONSTANTE

....

k

COMPLETE: N° de operários 2

N° semanas 36 18

6 8 6

EXEMPLO: As grandezas X e Y são diretamente proporcionais.

20

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72

Produto 72


GRANZEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS TÊM O SEU PRODUTO CONSTANTE


x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ... ... ... xn yn = k

EXEMPLO: As grandezas X e Y são INVERSAMENTE proporcionais. Calcule A e B: GRANDEZA GRANDEZA

x y

24 5

15 A

B 60

PROBLEMAS PROPOSTOS: 1. Um grupo de operários faz uma obra em 9 dias, trabalhando 4 horas dia. Em quanto tempo, o mesmo grupo faria a mesma obra, trabalhando 5h/dia? A) 7 dias e meio B) 7 dias e 2h C) 7 dias 4h e 48min D) 7 dias e 1h E) 7 dias e 12 min 2. Antonio e Gino têm os pesos inversamente proporcionais às idades. Antonio tem 6 anos e 36 kg. Se Gino tem 9 anos, então seu peso é 54 kg. ( ) certo ( ) errado ( ) Não sei

CETEC

21


REGRA DE TRÊS COMPOSTA 20 operários constroem 80 metros de muro em 12 dias, trabalhando 10h/dia. Em quanto tempo 30 operários constroem 90 metros de muro trabalhando 6h/dia? SOLUÇÃO:

PROBLEMAS 1.

Um carro com tanque cheio pode rodar 8h. Certo dia, o dono do carro encheu o tanque e partiu em viagem sem perceber que havia um furo na base do tanque. Em razão disso, rodou apenas 5h. Estando o carro parado com o tanque cheio e supondo que a vazão seja constante, em quanto tempo o tanque esvazia?

A C I T Á M 12 pessoas dispõe de viveres para 40 dias. Para E quantos dias dariam os suprimentos se recebes T sem 4 novos companheiros? A M

5.Uma expedição científica, acampada em um lugar

isolado e composta de um determinado número de pessoas tinha viveres para 70 dias,que era o tempo de duração da expedição. Após 38 dias, a expedição recolheu 20 homens que se encontravam perdidos e, por conseguinte, em virtude dos alimentos, a expedição foi obrigada a retornar 8 dias de antecedência. De quantos homens se compunha a expedição primitiva?

2.

viagem de navio foi organizada para que 50 pessoas permanecessem 36 dias no mar. No entanto, nodia do embarque X novas pessoas se apresentaram de tal forma que a viagem teve de ser feita em apenas 20 dias. Qual o número X de companheiros? a) 90 b) 72 c) 22 d) 40 e) 122

6.32

homens constroem 50m de calçada em 28 dias, trabalhando 7h/dia. Em quanto tempo 48 homens construirão 90m de calçada trabalhando 8h/dia? a) 29 dias, 3h e 12 min. b) 29 dias, e 4h. c) 29 dias, 9h e 36 min. d) 29 dias.

3 Uma

em um acampamento 400 soldados, com alimentação prevista para 8 meses. Ao partirem desse acampamento 100 soldados, para quantos meses a mais durará a alimentação, se cada soldado restante passar a consumir 2/3 de sua ração inicial? a) 16 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2

7.

4.Havia

8.

20 operários constroem 12m de muro em 8 dias trabalhando 6h/dia. Em quanto tempo 18 operários construirão 60m de muro trabalhando 10h/ dia sabendo que a capacidade destes operários é o dobro da capacidade dos anteriores, mas o grau de dificuldade deste serviço é 20% a mais que o anterior.

e 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operarios, trabalhando 6h/dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operarios, trabalhando 10h/dia. Em A) 7 dias B) 6 dias C) 2 dias D) 4 dias E) 3 dias

Gabarito 1. 13h e 20min

22

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2. 30

dias

3.

D

4.

D

5. 60 6.

A

7.

16

8.

C


DIVISÃO PROPORCIONAL Vamos imaginar que temos 120 bombons para distribuir em partes diretamente proporcionais a 3, 4, e 5, entre 3 pessoas A, B e C, respectivamente.

Portanto: 1a Pessoa - Recebe proporcional a 3

A = 3 K

→


2a Pessoa - Recebe proporcional a 4 → B = 4 K 3 Pessoa - Recebe proporcional a 5 a

Logo:

C = 5 K

→

A + B + C = 120

3 K + 4K + 5K = 120

Achar a constante de proporcionalidade K= Logo:

IDÉIA CENTRAL

K=10 A = 30. B = 40. C = 50.

PROBLEMAS PROPOSTOS

1. Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

2. Dividir o número 810 em parte inversamente proporcionais a

,

e

3. Dividir o número 48 em partes inversamente proporcionais a

,

e

.

DICA:

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23


4. Dividir o número 305 em partes inversamente proporcionais a , 5 e

.

DICA:

5. Dividir o número 118 em partes simultaneamente proporcionais a 2, 5, 9 e 6, 4, 3. DICA:


6. Dividir o número 148 em partes diretamente proporcionais a 2 6 8 e inversamente proporcionais a

,

e 0,4.

DICA:

7. Dividir o número 670 em partes inversamente proporcionais simultaneamente a DICA:

24

CETEC

, 4, 0,3 e 6,

,

.


8. Uma herança foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais às suas idades que são 32,38 e 45. Se o mais novo recebeu R$ 96000, quanto recebeu o mais velho? DICA:

9. Uma empresa dividiu os lucros entre seus sócios, proporcionalmente a 7 e 11. Se o 2° sócio recebeu R$ 20.000,00 a mais que o 1° sócio, quanto recebeu cada um? DICA:

A C I T 10. Três sócios formam uma empresa. O sócio A entrou com R$ 2000 e trabalha 8h/dia. O sócio B entrou Á com R$ 3000 e trabalha 6h/dia. O sócio C entrou com R$ 5000 e trabalha 4h/dia. M Se, na divisão dos lucros o sócio B recebe R$ 90.000, quanto recebem os demais sócios? E DICA: T A M

PROBLEMAS DE CONCURSOS

1. (Carlos Chagas) Certo mês o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma gratificação no valor de R$ 500. Essa quantia foi dividida entre eles em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que cumpriam no mês e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais à suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantões e, outro, de 45 anos cumpriu 18 horas, coube ao mais foram receber. a) R$ 302,50 b) R$ 310,00 c) R$ 312,50 d) 325,00 e) 342,50

2. (Carlos Chagas) Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos elétricos a serem reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois técnicos dividirem o total de aparelhos entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos o total reparados foi: a) 21 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12

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PORCENTAGEM É a razão entre um determinado número e 100.

EXEMPLO 4 Qual o percentual do bolo que corresponde a x ? Bolo 1

EXEMPLO 1 1/3 25% significa 25 em cada 100. Na forma fracionária : 25/100 que simplificando dá 1/4 e 1/4 na forma decimal é 0,25. Assim, saiba que:

1/8

1/4 x 1/6

Bolo 2 21%

35%

20% x

Problemas a serem resolvidos mentalmente

São aqueles que envolvem 10%, 25%, 50%, PERCENTAGEM FRACIONARIA DECIMAL etc... 50% 50/100 = 1/2 0,5 25% 25/100 = 1/4 0,25 Determine: A) Os 10% de 850 47 12,5 (tira um zero ou 75% 75/100 = 3/4 0,75 corre a virgula e casa para a esquerda). 20% 20/100 = 1/5 0,2 B) Os 50% de 500 2 (metade). 10% 10/100 = 1/10 0,1 C) Os 25% de 200 (quarta parte) D) Os 5% de 540 (calculamos os 10% e dividimos por 2) EXEMPLO 2 E) Os 75% de 240 (calculamos a 1/4 parte e multiplicamos por 3) A) Passe para a forma decimal e fracionária:


1) 30% 2) 80%

3) 45% 4) 5%

B) Passe para a forma percentual e fracionária: 1) 0,4 2) 0,65 3) 0,125

4) 0,02 5) 0,015 6) 0,75

EXEMPLO 3 Em uma mistura, colocamos 4 partes de areia e 1 parte de cimento. Podemos dizer que a proporção de cimento da mistura á de: Uma parte sobre um total de cinco partes da mistura ou seja, 1/5. E na forma PERCENTUAL, a percentagem de cimento na mistura é 1/5 = 20/100 ou 20%. Podemos também afirmar que a porcentagem da areia é ......................................... .

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PORCENTAGEM QUALQUER Fazemos uma regra de três direta ou passamos da forma fracionária para a forma decimal e daí para a porcentagem e vice-versa.

EXEMPLO 1 De 70 tiros dados por um caçador , 42 atingiram o alvo. Qual a porcentagem do acerto? SOLUÇÃO: 42 = 0,6 = 60% 70 ou 70 ______ 100% 42 ______ x


EXEMPLO 2 Exemplo 1 Determinar 7% de 250. Um círculo A tem área 1,25 vezes maior que 250 ______100% 7 x 250 = 17,5 um círculo B. Podemos dizer que o círculo Aé 25% x = x ______ 7% 100 maior que o círculo B.

REGRA DO BALCONISTA (Todo o bom vendedor SABE!) É aquela que com uma única conta chega diretamente ao novo número.

ACRÉSCIMO (Direto) 100 + it 100

it = percentagem de acréscimo ou desconto

20% sobre X 100% sobre P 5% sobre X 100 + 20 = 1,2 100 + 100 = 2 100 + 5 = 1,05 100 100 100 1,2 X

2P

1,05 X

Número que multiplica X é maior que 1 = Acréscimo sobre X

DESCONTO (Direto) 100 - it 10% sobre X 100

100 - 10 = 0,9 100

Multiplicar por 0,9 equivale a um desconto de 10% 40% sobre N

92% sobre K

100 - 40 = 0,6 100

100 - 92 = 0,08 100

0,6 N

0,08 K

Número que multiplica X é menor que 1 = Desconto sobre X

CUIDADO: o círculo B não é 25% menor que o círculo A ! Veja: A proporção é CÍRCULO A = 125 = 1,25 CÍRCULO B 100 Círculo A é 1,25 vezes B, o acréscimo é de 25% sobre B ou 25% maior que B. Mas CÍRCULO B = 100 = 0,8 CÍRCULO A 125

A C I T Á Exemplo 2 Um preço P sofre um desconto de 22%. Pode- M mos dizer que o novo preço é: E a) 78P T b) 122P A c) P - 22 d) 0,22P M e) 0,78P O círculo B é 0,8 vezes o círculo A. Portanto o tamanho do círculo B é o tamanho do círculo A descontado de 20%. B é 20% menor do que A.

Exemplo 3 Se um número x é multiplicado por 1,3 e um número y é multiplicado por 0,6 podemos afirmar que:

x sofreu um acréscimo de 30% y sofreu um desconto de 40% Confira pela Regra do Balconista.

Atenção Acréscimo de 100% Þ o valor fica 2 vezes maior. Acréscimo de 200% Þ o valor fica 3 vezes maior. Acréscimo de 300% Þ o valor fica 4 vezes maior.

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PORCENTAGEM 01. Identifique a porcentagem de acréscimo ou desconto sobre x: a) 1,12.x = b) 0,74.x = c) 1,08.x = d) 0,08.x = e) 1,005.x = f) 0,85.x = g) 1,4.x = h) 0,6.x =

02. 20% elevado ao quadrado é igual a: a) 40% c) 4%

b) 400% d) 0,4%

03. Um quadrado de lado l , tem área A. Se aumentarmos de 20% o comprimento do lado l, sua área passará a ser: a) 20A b) 1,2A c) 400A d) 4A e) 1,44A

A04. Um quadrado de lado l tem área A. Se aumen C 10% o comprimento de cada lado, a nova I tarmos T a)área40%aumentará:b) 20% c) 21% Á d) 10% e) 100% M05.Qual o número que diminuído de seus 40% vale E 720? T A06. Qual a quantia que aumentada de 20% produz M 480? 07. Aproveitando uma promoção que concedia 27% de desconto para o pagamento à vista de um produto, paguei $ 5986. Qual o preço original? 08.Sobre uma fatura de $ 5800, se concede o abatimento de $ 145. Qual a porcentagem do abatimento? 09.Uma fatura sofreu um abatimento de 5% e produziu o líquido de $ 25.555. De quanto era a fatura? 10. Em uma firma 25% são contratados e os 180 funcionários restantes são efetivos. Qual o total de funcionários da firma? 11. Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. Qual a porcentagem de gasolina na mistura? 12. De um total de 60 questões, Carlos acertou 42. Qual a porcentagem de erro?

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13. Um operário A reboca 12m2 e seu serviçoé 1/4 maior do que seu colega B. Quanto reboca B? a) 16 m2 b) 15 m2 c) 8 m2 d) 9 m2 e) 9,6 m2 14. Um operário A constrói 12 m 2 de muro e seu colega B constrói 1/4 a menos do que A. Quanto constrói B? a) 3/4 m2 b) 9 m2 c) 8 m2 d) 9,6 m2 15. Se o salário de Pedro é 3/4 do salário de João, podemos afirmar que: a) O salário de João é 25% maior que o de Pedro. b) O salário de João é 75% maior que o de Pedro. c) O salário de Pedro é 75% maior que o de João. d) O salário de João é 33 13 % maior que o de Pedro. e) O salário de João é 1/4 maior que o de Pedro. 16. Se a razão entre o valor bruto e líquido de certo salário é de 6/5. O valor descontado representa que fração do salário líquido? a) 1/5 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/6 e) 5/6 17. A razão entre o salário líquido e bruto do Dr. Carlos é 5/8. O valor descontado representa que fração do salário líquido? a) 3/8 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 1/3 18. Três operários tem seus salários relacionados da seguinte forma: A ganha 20% a mais que B e C ganha 30% a mais do que A. Se juntos ganham $ 13.912, o salário de A, B e C é respectivamente: a) $3760 , $4512 , $5865,60 b) $4512 , $3760 , $5865,60 c) $3700 , $4440 , $5772 d) $4440 , $3700 , $5772 e) $3600 , $3000 , $4680 19. Quatro operários tem seus salários relacionados da seguinte forma: Carlos ganha 12% a mais que João. Antônio ganha 20% a mais que Carlos e Paulo ganha 10% a menos que Carlos. Se juntos ganham $ 22.360, qual o salário de cada um? 20. Ao afirmarmos que um produto A é 25% mais caro que um produto B, podemos afirmar: a) B é 25% mais barato que A. b) B é 1/4 mais barato que A. c) A é 1/5 mais caro que B. d) B é 20% mais barato que A. e) A é 20% mais caro que B.

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA 21. Uma mercadoria é majorada em 40%. Um cliente, alegando ter vindo no dia anterior, é beneficiado com um desconto de 30% sobre o novo preço. Então, em relação ao preço do dia anterior, o comerciante ainda obteve: a) lucro de 10% b) prejuízo de 30% c) lucro de 40% d) lucro de 8% e) prejuízo de 2% 22. A razão entre o valor previsto e o valor arrecadado em um evento é 1,25. Podemos afirmar que: a) A arrecadação ultrapassou a previsão e 25%. b) A arrecadação ultrapassou a previsão e 2,5%. c) A arrecadação foi 25% inferior a previsão. d) A arrecadação foi 20% a menos que o previsto. e) A arrecadação foi 0,25% menor que a previsão. 23. A razão entre despesa e receita de um evento é 0,8. Podemos afirmar que: a) Houve lucro de 25% em relação à despesa. b) Houve prejuízo de 20% em relação à receita. c) Houve lucro de 20% em relação a despesa. d) Houve prejuízo de 25% em relação a receita. e) Houve lucro de 80%. 24. O salário de João é 40% do salário de Margarida. Podemos afirmar que: a) O salário de Margarida é 60% maior que o de João. b) O salário de Margarida é 2/3 maior que o de João. c) O salário de Margarida é 150% maior que o de João. d) O salário do João é 2/3 do salário de Margarida. e) O salário de Margarida é 3/2 do salário de João. 25. A quanto correspondem 2 acréscimos sucessivos de 10% e 20%? 26. A quanto correspondem 2 descontos sucessivos de 20% e 30%? 27. Cristina comprou um produto e obteve desconto de 30%, pagando $ 588. Qual era o preço original? 28. Teresa compra um produto ganhando um desconto de 20% e mais 5% sobre o preço já descontado. Se pagou $ 1216, qual o preço original?

29. Em abril, um produto custa X. Em maio sofre um acréscimo de 25%. No entanto, no “Dia das Mães”, sofre uma promoção especial com desconto de 10%. Se uma pessoa paga no “Dia das Mães”, $ 23.625, podemos afirmar que o preço em abril era de : a) $ 19.490 d) $ 20.000 b) $ 20.790 e) $ 21.000 c) $ 17.180 30. Um preço é majorado de $ 1200 para $ 1416. Qual a porcentagem de acréscimo? 31. Uma mercadoria tem seu preço P, aumentado em 60%. Para que a mercadoria volte a custar P, deve-se descontar do novo preço: a) 30% b) 37,5% c) 40% d) 60% e) 62,5%

A C I T Á 2 6 M 3 4 E 1 T Em relação à área total do disco, as áreas do A maior e do menor setor circular correspon-dem, M respectivamente a:

32. O disco abaixo está dividido em cinco setores circulares. Os números no interior dos setores indicam a medida da área em cm2 de cada um deles.

a) 60% e 10% c) 62,5% e 3,75% e) 66% e 10%

b) 37,5% e 6,25% d) 60% e 6%

GABARITO 01.

A) Acréscimo de 12% B) Desconto de 26% C) Acréscimo de 8% D) Desconto de 92% E) Acréscimo de 0,5%

02. C 06. 400 10. 240 14. B 18. D

03. E 04. C 05. 1200 07. $ 8200 08. 2,5% 09. $ 26900 11. 40% 12. 30% 13. E 15. D 16. A 17. D Carlos = $ 5600 19. João = $ 5000 Antonio = $ 6720 Paulo = $ 5040 20. D 21. E 22. D 23. A 24. C 25. 32% 26. 44% 27. $ 840 28. $ 1600 29. E ( $ 21000) 30. 18% 31. B 32. B

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LUCRO E PREJUÍZO PV > PC Lucro (Exemplo 20%) 1. LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO PC = 100% PV = 120% 2. LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA PV = 100% PC = 80% PV < PC

A Prejuízo (Exemplo 15%) C I T1. PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Á PC = 100% PV = 85% M E2. PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA T PV = 100% A PC = 115% M EXEMPLOS BÁSICOS 1A. Uma mercadoria foi vendida por $ 52, com lucro de 30%, sobre o PC. Qual o preço do custo? 1B. Uma mercadoria foi vendida com lucro de 20% sobre o PV. Se foi comprada por $ 40, qual o PV? 2A. Uma mercadoria foi vendida por $ 54, com prejuízo de 10% sobre o PC. Qual o PC? 2B. Uma mercadoria foi vendida com prejuízo de 20% sobre o PV. Se o PC é $ 60, qual o PV?

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Problemas de Lucro, Prejuízo e Impostos 01. Uma mercadoria foi vendida por $432 com lucro de 20% sobre o preço de custo. Qual o preço de custo? 02. Uma mercadoria foi vendida com lucro de 30% sobre o preço de venda. Se foi comprada por $56, qual o PV? 03. Uma mercadoria foi vendido por $480 com o prejuízo de 25% sobre o PC. Qual o preço de custo? 04. Um produto foi vendo com prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Se o PC é $1344, qual é o PV? 05. Um comerciante compra uma mercadoria por X. Se ele a vende com um lucro de 25% sobre o PC, podemos afirmar que o preço de venda é: a) 25X d) 1,25X b) 125X e) 2,5X c) 0,25X 06. O preço de venda de uma mercadoria é PV. Porém na promoção, há um desconto de 15%. O comprador pagará: a) 15PV d) 85PV b) 1,15PV e) 0,85PV c) 0,15PV 07. Uma mercadoria foi vendida por $ 83.776 com um lucro de 12% sobre o preço de custo. Qual o PC? 08. Uma mercadoria foi vendida com o prejuízo de 9% sobre o PV. Se o preço de custo é $4905, qual o PV? 09. Um produto foi vendido com lucro de 40% sobre o PV. Se foi comprado por $840, qual o preço de venda? 10. Um produto foi vendido por $ 68.875 com prejuízo de 5% sobre o PC. Qual o PC?

GABARITO 01. $ 360

02. $ 80

03. $ 640

04. $ 1200 07. $ 74800 10. $ 72500

05. D 08. $ 4500

06. E 09. $ 1400


MATEMÁTICA FINACEIRA

CONCEITOS BÁSICOS Existe uma relação entre a forma PERCENTUAL e as formas DECIMAL ou FRACIONÁRIA. Veja:

Quando dizemos Também, podemos dizer Ou ainda

3/5 0,6 60%

do CAPITAL. do CAPITAL. do CAPITAL.

Observe ainda que “do” em português é “vezes” (multiplicação) em “matematiquês”.

ou

A R I E C N A N I F A C I T Á M E T A M

Veja que 0,6 = 0,60

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Com base nessas informações, complete o quadro abaixo:

A R I E C N A N I F A C I T Á M E T A “Regra do Balconista” MVamos imaginar que um produto custa P. Se eu pagar 100% do preço P estou pagando o preço pleno. Se pagar 80% do preço P, estou pagando 20% MENOS que o preço normal P. Se pagar 130% do preço PM estou pagando com acréscimo ou com ÁGIO de 30%.

Como fazemos um acréscimo de 23%? Pagando 100% do P e MAIS 23% do P.

Portanto pagarei

Traduzindo para “matematiquês”



123% 1,23 32

CETEC

DO

PREÇO

.

P

123 % do PREÇO .


Assim, quando temos 1, 36 . P a TRADUÇÃO é 136% do PREÇO e concluímos que há um ACRÉSCIMO de 36% (porque o ACRÉSCIMO É O QUE PASSA DE 100%)

Tradução

108% do Preço

Tradução 1,08 P

104,5% do Preço

1,045 P

Conclusão

Conclusão 8% de Acréscimo

Tradução

4,5% de Acréscimo

Tradução

110% do Preço

120% do Preço

1,2 P

1,1 P

Conclusão

Conclusão

20% de Acréscimo

10% de Acréscimo

Tradução 3P

Tradução

300% do Preço

458% do Preço

4,58 P

ATENÇÃO!!!

Conclusão

Conclusão

358% de Acréscimo

200% de Acréscimo

Tradução

Tradução

1500% do Preço

200% do Preço


2 P

15 P

Conclusão

Conclusão

100% de Acréscimo

1400% de Acréscimo

Se um produto custa P e ganhei um desconto de 15%, pagarei apenas 85% do PREÇO. Assim, 0,85.P significa que estou pagando 85% do PREÇO e DEIXANDO DE PAGAR os 15% que FALTAM PARA COMPLETAR 100%.

Tradução

pago 94% do Preço

Tradução

pago 70% do Preço

0,7 P

0,94 P

Conclusão

Conclusão 6% de Desconto (não pago)

não pago 30% = Desconto 30%

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Tradução

pago 80% do Preço Tradução

0,8 P

pago 90% do Preço

0,9 P



Tradução

pago 87,5% do Preço

0,875 P A R Conclusão I 12,5% de Desconto (não pago) E C N A Uma fatura é paga com 8% de acréscimo devido ao atraso. Se o valor pago foi R$ 3.510, qual o preço N I normal? F 108% do PREÇO = 3510 A Paguei 108% de Preço ou seja R$ 3.510. Assim 1,08 . P = 3510 C P = 3510 I 1,08 T Á M E T A M

Um produto custa P. A vista, há um desconto de 27%. Um cliente que compra a vista, paga R$ 5.986. Qual o preço P? Se há um desconto de 27% o cliente paga 73% do PREÇO. Assim, 73% do PREÇO É R$ 5.986

0,73 .

P

=

P = 5986/0,73

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5.986


Em janeiro, um produto custa X. Em fevereiro, há um acréscimo de 30%. Em março há novo aumento, desta vez de 40% sobre o preço vigente. Podemos afirmar que esses dois ACRÉSCIMOS correspondem a um ACRÉSCIMO acumulado de____

JANEIRO FEVEREIRO MARÇO

X 1,3 . X 1,4 . (1,3X) = 1,82 .X

A R I E C Um produto custa P. Concede-se um desconto de 20% sobre o preço P e em seguida novo desconto. Se o N novo desconto é de 10% sobre o preço já descontado, qual o DESCONTO TOTAL em relação ao preço P? A N I PREÇO NORMAL P F PREÇO APÓS DESCONTO DE 20% 0,8 . P A C PREÇO APÓS NOVO DESCONTO 0,9 . (0,8 . P) = 0,72 P I T Á Tradução: 72% de P M Conclusão: 28% de Desconto. E T A Se um produto custa R$ 2.536 e passa a custar R$ 3.170, qual o ACRÉSCIMO ocorrido? M Tradução: 182% de X Conclusão: 82% de Acréscimo.

Basta dividir o NOVO PREÇO pelo PREÇO ANTIGO e INTERPRETAR o resultado. Tradução: 125% NOVO PREÇO (Grande) = 3170 = 1,25 Conclusão: 25% de Acréscimo. ANTIGO PREÇO (Pequeno) 2536 (Lembre que o Acréscimo é o que passa de 100%)

Um produto custa R$ 1.200 e é vendido por R$ 900. Qual o percentual de DESCONTO ocorrido? Basta fazer PREÇO COM DESCONTO (Pequeno) e interpretar o resultado.

PREÇO NORMAL (Grande) PEQUENO = 900 = 0,75 GRANDE 1200

Tradução: pagou 75% do PREÇO Conclusão: 25% de Desconto.

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JUROS SIMPLES Um capital aplicado a 10% ao mês rende em 3 meses: 10% a m x 3 meses = 30% Os juros produzidos corresponderão a 30% do capital. Assim: x 30 J = C 100

J = Juros C = Capital ($) i = taxa (% ao ano, ao mês, ao dia) t = tempo ( anos, meses, dias)

. i . t J = C100

ou

A R I EXEMPLO: A) i = 4% a.a. e t = 2 anos B) i = 5% a.m. e t = 3 meses E C) 1,2% a.d. e t = 45 dias C N A N I MONTANTE = CAPITAL + JUROS ou seja, M = C + J F A idéia central é achar o it, colocando ambos em unidades de tempo iguais. A C I EXEMPLO: T Determine os juros e o montante no final de 60 dias de um capital de $ 2000 que foi aplicada uma Átaxa de 36% a.a. MSOLUÇÃO: é colocar i e t em unidades de tempo iguais: E A primeira preocupação 60 dias = 2 meses (dividindo pelo número de dias de um mês) T A 36% a.a. = 3% a.m. (dividindo por 12 meses) M i . t = 2 meses x 3% a.m. = 6% ACHAMOS o it Isto significa que os juros corresponderão a 6% do total e pode ser resolvido por regra de três ou direto pela fórmula. CAPITAL ———→ 100% JUROS ————→ 6%

ou

. i . t . 6% J = C100 = 2000 100

e o MONTANTE: M = 2000 + 120 = $ 2120

JUROS: j = $120 O montante também pode ser alcançado diretamente dando um acréscimo de it% sobre o capital. Assim:

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CETEC

+ it) C . (100 100 = M

“a expressão no parênteses é a regra do balconista”


Mas, se há dificuldade em deixar o i e t na mesma unidade de tempo, podemos usar as seguintes fórmulas: → A UNIDADE DE TEMPO → A UNIDADE DE TEMPO NA TAXA É MAIOR NA TAXA É MENOR

. i . t J = C1200

i = % a.a. t = meses

. i . t . 12 J = C 100

. i . t J = C 36000

i = % a.a. t = dias

. . t . 360 i = % a.d. J = C i100 t = anos

. i . t J = C3000

i = a.m. t = dias

. . t . 30 J = C i100

i = % a.m. t = anos

i = % a.d. t = meses

A R OBSERVE QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA: I E 1 MÊS = 30 DIAS 1 ANO = 360 DIAS C N EXEMPLOS: A 1. Quais os juros produzidos por um capital de $ 5000 aplicado a uma taxa de 6% ao ano durante 3,6 N meses? I . i . t . 6 . 3,6 Solução: C 5000 F J = 1200 J = 1200 = $ 90 A 2. Quais os juros produzidos por um capital de % 1800 aplicado à taxa de 9% a.a. durante 50 dias? C I . i . t . 9 . 50 Solução: C 1800 J = 36000 J = 36000 = $ 22,50 T Á 3. Determine o capital aplicado à taxa de 7% a.m., que em doze dias rende $ 252 de juros. M . i . t , e colocando cada informação no seu devido lugar: E Solução: Usando a fórmula J = C3000 T J = $ 252 . 7 . 12 A t = 12 dias assim:252 = C 3000 i = 7% ao ano M 252 . 3000 = C . 7 . 12

. 3000 C = 252 7 . 12 = $ 9000 4. Determine os juros produzidos por um capital de $ 10000 aplicado a 5% ao mês durante 2,4 ano, sobre juros simples. . . t . 12 Solução por FÓRMULA: J = C i100 . 5 . 2,4 . 12 J = 10000 100 = $ 14400 Solução RACIOCINADA: Vamos tentar padronizar o it: 5% ao mês = 60% ao ano (5 × 12meses) it = 60% a.a. × 2,4 anos = 144% (utilizando unidades de tempo iguais) . 144 J = 10000 100 = $ 14400

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5. Determine o capital que aplicado a 2% ao dia, produz $ 72000 em 0,2 anos. Solução:

. i . t . 360 J = C 100 . . 0,2 . 360 ; 72000 = C 2100

. 100 C = 27200 . 0,2 . 360 = $ 50000

6. Quais os juros produzidos por um capital de $ 4000 aplicado durante 6,2 meses a uma taxa de 0,5% ao dia? Solução: J = C . i . t . 30 4000 . 6,2 . 0,5 . 30 = $ 3720 J = 100 100

A R I E DETERMINAÇÃO DA TAXA OU DO TEMPO C N . i . t e a unidade de tempo da taxa surgirá na mesma unidade de A Usando a Fórmula: J = C 100 tempo e vice-versa. N 1: I EXEMPLO F Determine a taxa de aplicação de um capital de $ 6000 que rendeu $ 3000 em 6,25 anos. . i . 6,25 3000 . 100 3000 = 6000100 i = 6000 i = 8% ao ano A . 6,25 C I 2: TEXEMPLO Determine tempo da aplicação de uma capital de $21000 que rende $2520 a uma taxa de 3% ao Ámês sob forma deojuros simples. M . 3 . t 2520 . 100 2520 = 21000 t = t = 4 ao mês E 100 21000 . 3 T A M MONTANTE EXEMPLO 1: Determine o montante após 6 meses de aplicação de um capital de $4000, aplicado a 3% ao mês, sob forma de juros simples. Achamos it: 6 meses × 3% ao mês = 18%, logo:

BASTA DAR UM ACRÉSCIMO DE 18% SOBRE O CAPITAL M = 4000 . 1,18

→

M = $4720

EXEMPLO 2: Qual o capital que aplicado a 5% ao ano, sob juros simples, atinge o montante de $65000 em 6 anos? Basta armar uma equação de 1º grau, com acréscimo de it = 30% (5% a.a. em 6 anos sobre o capital) MONTANTE = 1,3 × CAPITAL

1,3 . C = 65000 C = 65000 1,3 = $50000

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EXEMPLO 3: Determine o capital que aplicado a 5% ao ano, durante 10 meses, produz o montante de $5000. Quando o “it” for fracionário, é preferível substituir na fórmula geral. VEJA: . + it) Pela regra do balconista, M = C (100 100 ficaria complicado, assim é mais fácil usar a fórmula dos juros, substituindo juros por (M – C).

DADOS:

M = $5000 t = 10 meses i = 5% a.a.

. i . t . i . t J = C1200 = M - C = C 1200 , então: . 5 . 10 5000 - C = C 1200 6000000 - 1200C = 50C 6000000 = 1250C C = $4800

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES 1. UNIDADES DE TEMPO

1.1 - Passe para meses: a) 120 dias: e) 100 dias: i) 63 dias:

b) 2 anos: f) 2,4 anos: j) 0,2 anos:

c) 135 dias: g) 72 dias: k) 80 dias:

d) 2,5 anos: h) 1,8 anos: l) 1,6 anos:

1.2 - Passe para anos: a) 180 dias: e) 36 dias: i) 72 dias:

b) 3 meses: f) 4 meses: j) 3,6 meses:

c) 900 dias: g) 200 dias: k) 60 dias:

d) 18 meses: h) 5 meses: l) 1,5 meses:

1.3 - Passe para dias: a) 6 meses: e) 3,6 meses:

b) 1,2 anos: f) 3,6 anos:

c) 4,8 meses: g) 1,4 meses:

d) 2,4 anos: h) 1,5 anos:

2.1 - Passe para % ao ano: a) 2% ao dia: b) 20% ao mês: e) 5/6 % ao mês: f) 1/24% ao dia:

c) 1/4% ao dia: g) 0,666... % ao mês:

d) 0,5% ao mês:

2.2 - Passe para % ao mês: a) 24% a.. a.: b) 3% ao dia: e) 0,333... % ao dia: f) 2/3% ao dia:

c) 4,8% a.a.: g) 6% a.. a.:

d) 1,5% ao dia: h) 1,2% a.a.:

2.3 - Passe para % ao dia: a) 36% ao mês: b) 6% ao mês:

c) 8% ao mês:

d) 60% a.a.:


2. UNIDADES DE TAXA

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PROBLEMAS DE JUROS 01. Determine os juros e o montante de um capital de $8000 aplicado sob forma de juros simples a um taxa de 6% ao mês, durante 4 meses: 02. Determine o capital que aplicado a 4,5% a.a. rende em 6 meses $5400 de juros. 03. Qual a taxa de aplicação a juros simples de um capital de $12000 que em 5 meses rendeu $2100 de juros?

A R I 04. Achar o tempo que permaneceu aplicado um capital de $15000, sabendo que rendeu $3000 de E juros uma taxa de 6% ao mês. C (A) 3ameses e 10 dias (B) 3 meses e 3 dias (D) 2 meses N (C) 20 meses A (E) 3,2 meses N Qual o capital que aplicado a 5% a.a. durante 6 I 05. meses, produz o montante de $6970? F Qual o capital que aplicado a taxa de 7% ao mês A06.produz o montante de $5070 em 8 meses de juros C I simples? T07. Determine o capital que aplicado a taxa de 7% Á a.a. produz o montante de $3070 após 4 meses: M08. Determine o montante produzido por um capital E de $5000 aplicado a 8% a.a. durante 3 meses. T09. Qual o capital que aplicado a 10% a.a. durante 2 A anos produz o montante de $3096? M10. Qual a taxa de aplicação de um de um capital de $36000 que rende $1620, em 18 meses?

11. O capital que investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a $1296 no fim de 8 meses, é de: (A) $ 1100 (B) $1000 (C) $1392 (D) $1200 (E) $1399,68 12. Quanto se deve aplicar a 12% ao mês para que obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por $400 000 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período? (A) $420 000 (B) $450 000 (C) $480 000 (D) $520 000 (E) $500 000 13. Um capital C foi aplicado a 5% a.a. durante 4 anos. Qual a taxa que deve ter um capital de 2C para render os mesmos juros simples em 6 anos e 3 meses? 40

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14. Dispomos de um capital de %500000 aplicados a uma taxa de 20% ao mês sob a forma de juros simples. Imaginemos 3 situações independentes: (A) Após n meses o titular da conta retirou a quantia de (n x $120000) e observou que o saldo que ficou atingiu a 80% do capital inicial. Podemos afirmar que o valor de n é: (B) Após k meses o titular retirou (k x $80000) e verificou que o saldo deixado atingiu a 120% do capital inicial. Qual o valor de k? (C) Após m meses o titular retirou (m x $40000) e verificou que o saldo que ficou atingiu 220% do capital inicial. Calcule m? 15. Em quanto tempo um capital aplicado a taxa de 1,25% ao mês rende 3/8 de si mesmo? 16. Há 4 anos atrás, um capital de $200000 foi aplicado a taxa de 20%a.a. Se aplicarmos hoje um capital de $240000 à taxa de 25% a.a. após quantos anos, a contar de agora, os dois capitais terão produzido juros iguais? E após quantos anos os dois montantes serão iguais? 17. Um capital com juros correspondentes a 3 meses eleva-se ao montante de $24780. O mesmo capital com juros correspondentes a 7 meses eleva-se a $29820. Determine o capital e a taxa anual. 18. Um capital de $50000 é aplicado a uma taxa de 10% ao mês durante 3 meses. Então, retira-se tudo e reaplica-se o montante em outro banco a uma taxa de 12% ao mês durante 4 meses. Qual o montante no final da operação? De quanto deveria ser a taxa para que o capital atingisse o mesmo montante rendendo juros simples durante os 7 meses no mesmo banco? 19. Um certo capital foi aplicado a juros simples. Depois de 10 meses, o extrato de conta revela um montante X. 6 meses depois de observar o extrato pela primeira vez, tira-se novo extrato e verifica-se que o montante aumentou 10% em relação ao primeiro extrato. Se o segundo extrato, após 16 meses do depósito inicial, revela um montante de $66000, determine: (A) o montante X: (B) o capital inicial: (C) a taxa de aplicação:


20. Um certo capital é aplicado a uma taxa de 5% ao mês durante 6 meses, rendendo juros simples. Então, retira-se tudo e aplica-se todo o montante em outro banco a uma taxa de 6% ao mês durante 6 meses. Se, no final desses 12 meses o montante obtido foi de $76908, determine o capital inicial. 21. Um certo capital é aplicado a uma taxa de juros simples de 8% a.a. durante 3 anos. Depois disso pega-se o capital e os juros e aplica-se tudo em outro banco durante 2 anos a uma taxa simples de 12,5% a.a. Se no final dos 5 anos o montante ascende a $31000, determine: (A) o capital inicial: (B) qual teria sido a taxa de juros simples para que esse mesmo capital rendesse a mesma coisa nesses 5 anos estando sempre no mesmo banco? 22. Um capital é aplicado durante 6 meses a uma taxa de 10% a.m. e a partir daí recebe 20% ao mês durante 2 meses, sobre o mesmo capital inicial. A taxa média mensal de aplicação durante os 8 meses é de: (A) 15% (B) 12,5% (C) 10% (D) 8% (E) 16% 23. (TTN/85) Um capital de Cr$ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu CR$ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? (A) 3 meses e 3 dias (B) 3 meses e 8 dias (C) 2 meses e 28 dias (D) 3 meses e 10 dias (E) 27 dias 24. (TTN/92) Quanto de deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período? (A) Cr$ 420.000,00 (B) Cr$ 450.000,00 (C) Cr$ 480.000,00 (D) Cr$ 520.000,00 (E) Cr$ 500.000,00

26. (TTN/94) Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20% ao ano, sob mesmo regime de capitalização. Admitindose que os juros das 3 aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de R$? (A) 11.200,00 (B) 13.200,00 (C) 13.500,00 (D) 12.700,00 (E) 12.400,00

A R I E C N A N I F A C I T Á Gabarito 01. J = 1.920 M = 9.920 02. $240.000 M E 03.3,5% ao mês 04. A 05. $6.800 T 06. $3.250 07. $ 3.000 08. $5.100 A 09. $2.580 10. 0,25% ao mês M 27. (AFTN/85) João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicações, os montantes eram de Cr$ 147.000 e Cr$ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de: (A) Cr$ 50.000 (B) Cr$ 60.000 (C) Cr$ 70.000 (D) Cr$ 80.000 (E) Cr$ 200.000

11. D

12. E

13. 1,6% a.a.

14. A) n=5 meses B) k=5 meses C) m=10 meses 15. 30 meses 16.Juros iguais em 8 anos; Montantes= em 6 anos 17. C = 21.000 i = 6% a.mês

25. (TTN/92) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25%a.a., durante 4 anos; o segundo a 24%a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20%a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de Cr$ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de: (A) Cr$ 30.210,00 (B) Cr$ 10.070,00 (C) Cr$ 15.105,00 (D) Cr$ 20.140,00 (E) Cr$ 5.035,00

18. M = 96.200 i = 13,2% a.m. 19. A) M X = 60.000 C) i = 2% a.mês

B) C = 50.000

20. $43.500 21. A) C = 20.000

B) i = 11%a.a.

22. B

23. D

24. E

25. A

26. E

27. D

CETEC

41


Testes – Capitalização Composta 01.

05. (ESAF) - Se um capital cresce sucessiva e cu-

mulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final e:

(CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 b) R$ 10.368,00 c) R$ 10.378,00 d) R$ 10.388,00

A R I (Metro-Técnico em Contabilidade -2°G E -IDR-94) - Um investidor aplicou a quantia de C R$ 20.000,00 taxa de juros compostos de N 10% a.m. Que amontante este capital ire gerar A após 3 meses? N I a) R$ 26.420,00 F b) R$ 26.520,00 26.620,00 A c)d) R$ R$ 26.720,00 C I T (Metro-Assistente Administrativo- 2°G- IDR94) Á - Um capital de US$ 2.000,00, aplicado a taxa M racional composta de 5% a.m., em 1 ano proum montante de quantos dólares? Dado: E duz T (1,05) = 1,79586. A a) US$ 3.291,72 M b) US$ 3.391,72 02.

a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital ini-cial; d) aproximadamente 133% do capital inicial.

(TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) - Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 a taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital ire gerar após 4 meses?

06.

a) CR$ 140.410,00 b) CR$ 142.410,00 c) CR$ 144.410,00 d) CR$ 146.410,00

07. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) - A cader-

neta de poupança remunera seus aplicadores a taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual e o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses?

03.

a) R$ 801,00 b) R$ 802,00 c) R$ 803,00 d) R$ 804,00

12

c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 08.

04.

(ESAF) - A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado: a) de Cz$ 3.000,00; b) de Cz$ 13.000,00; c) inferior a Cz$ 13.000,00; d) superior a Cz$ 13.000,00; e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.

42

CETEC

(TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) - No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, alem da correção monetária, juros compostos a taxa nominal de 6% a.a., com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral e então de: a) 1,00025% a.b. b) 1,0025 % a.b. c) 1,025% a.b. d) 1,25 % a.b.

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA 09. (Banco Central/94-Superior) - A taxa de 30%

12. (AFTN/91) - Uma aplicação e realizada no dia

ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:

primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1 % ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:

a) 20% b) 21 % c) 22% d) 23% e) 24%

10. (ESAF) - Se, para um mesmo capital, aplicado

durante qualquer período de tempo major do que zero e a uma certa taxa, chamarmos: M 1 -Montante calculado no regime de juros simples; M2 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial; M3 -Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear. Teremos: a) M3 > M1 pare qualquer t > 0; b) M3 = M1 pare qualquer 0 < t < 1; c) M3 < M2 pare qualquer t > 0, desde que não seja inteiro; d) M3 < M2 quando t e inteiro; e)M2 > M1 para qualquer t > 0.

11. (AFTN/85) - Uma pessoa aplicou Cr$ 10.000

a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de: a) Cr$ 16.590 d) Cr$ 16.705 b) Cr$ 16.602 e) Cr$ .16.730 c) Cr$ 16.698 Obs.: (1,15)3 = 1,5209

13.

a) 20,324% b) 19,6147% c) 19,196%

d) 18,174% e) 18%

a) Cr$ 123.065 b) Cr$ 153.065 c) Cr$ 202.045

d) Cr$ 212.045 e) Cr$ 222.045

A (AFC-ESAF/93) - Um título de valor inicial CR$ R I 1.000,00 vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, E devera ser resgatado um mês antes do seu ven- C cimento. Qual o desconto comercial simples a N mesma taxa de 10% ao mês? A N a) CR$ 313,84 I b) CR$ 285,31 F c) CR$ 281,26 A d) CR$ 259,37 e) CR$ 251,81 C I T (AFTN/85) - Um capital de Cr$ 100.000 foi Á depositado por um prazo de 4 trimestres a taxa M de juros de 10% ao trimestre, com correção monetária trimestral igual a inflação. Admitamos E que as taxes de inflação trimestrais observadas T foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectiva- A mente. Adisponibilidade do depositante ao final M do terceiro trimestre e de, aproximadamente:

14.

15.

(AFC-TCU/92) - Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio; b) 6 meses; c) 3 meses e meio;

d) 5 meses; e) 3 meses.

CETEC

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JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA 16. (AFTN/96) - A taxa de 40% ao bimestre, com

20. (CESPE/UnB-TCDF/FCE/95) - A renda naci-

capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:

onal de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de:

a) 60,0% b) 66,6% c) 68,9%

d) 72,8% e) 84,4%

17. (AFTN/96) - Uma empresa aplica $ 300 a taxa

compostos de 4% ao mês por 10 me A deses.juros A taxa que mais se aproxima da taxa pro R I porcional mensal dessa operação é: E a) 4,60% d) 5,20% C b) 4,40% e) 4,80% N c) 5,00% A N I (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Para que F se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a. a., capitalizados A trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quan C I tia de: T a) R$ 171,43 d) R$ 200,00 Á b) R$ 172,86 e) R$ 220,00 M c) R$ 190,00 E T (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) - Determi A nada quantia e investida a taxa de juros comde 20% a.a., capitalizados trimestralmen M postos te. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se 18.

19.

a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110%

21. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) - Acerca das

taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a seguir. (1) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior. (2) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes, quando produzem o mesmo montante no final de determinado período de tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. (3) Quanto maior o numero de capitalizações, maior e a taxa efetiva. (4) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada. (5) A taxa efetiva de 21 % ao ano corresponde a taxa nominal anual de 20%, capitalizadas semestralmente.

esperar: a)

log5 trimestres; log 1,05

b)

log2 trimestres; log 1,05

c)

log 5 trimestres; log 1,2

log d) trimestres; log 1,2 e) log20 trimestres. log 1,2 44

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22. (TCU-AFCE/92) - Deseja-se comprar um bem

que custa X cruzeiros, mas dispõe-se apenas de 1/3 desse valor. A quantia disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras, a taxa mensal de 26 % , enquanto que o bem sofre mensalmente um reajuste de 20%. Considere as aproximações: log 3 = 0,48; log 105 = 2,021 ; log 0,54 = -0,27. Assinale a opção correta. a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bem poderá ser adquirido com o montante obtido.

JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA b) O numero n de meses necessários pare o investimento alcançar o valor do bem é dado pela formula: X/3 + n 0,26 X/3 = X + n 0,2X. c) O número mínimo de meses de aplicação necessários a aquisição do bem será 23. d) Decorridos 10 meses, o montante da aplicação será 40% do valor do bem naquele momento. e) O bem jamais poderá ser adquirido com o montante obtido.


23. (CESPE/UnB - Senado

Federal/96) - Acerca de uma aplicação realizada na mesma data e referente a dois capitais (C1 e C 2) de valores iguais, pelo prazo de um ano, capitalizados semestralmente, a taxa nominal de 42% ao ano, para o capital C1, e à taxa efetiva de 21% ao ano, para o capital C2, julgue os itens abaixo. (1) A taxa nominal, pare a aplicação do capital C2, é igual a 20% ao ano. (2) A taxa de capitalização semestral do capital C1 e igual a 20%. (3) A taxa de capitalização semestral do capital C1 e exatamente o dobro da taxa de capitalização semestral do capital C2. (4) O montante do capital C1 é 21% maior que o montante do capital C 2, no prazo estabelecido para a aplicação. (5) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, a mesma taxa estabelecida, o montante de C2 (ao final do 2º ano de aplicação) será igual ao montante de C1 (ao final do 1º ano de aplicação).

Gabarito 01. b

02. c

03. d

04. d

05. d

06. d

07. b

08. b

09. b

10. b

11. e

12. b

13. a

14. c

15. b

16. d

17. e

18. d

19. b

20. a

21. cceec

22. c

23. ceecc

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JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA JUROS COMPOSTOS

Os juros compostos se caracterizam pelo fato destes renderem sobre o MONTANTE e não apenas sobre o CAPITAL INICIAL. A CAPITALIZAÇÃO , isto é, a anexação dos juros para formar o MONTANTE, pode ser diária, semanal, mensal, trimestral, etc. No quadro abaixo, comparamos a evolução de um capital de $100.000 aplicado a mesma taxa de 10% a.m. porém de três maneiras: Juros Simples, Juros Compostos com capitalização mensal e Juros Compostos com capitalização bimestral.

A R I MONTANTE MONTANTE MONTANTE MONTANTE CAPITAL E 1º Mês 2º Mês 3º Mês 4º Mês C A 100.000 110.000 120.000 130.000 140.000 N B 100.000 110.000 121.000 133.100 146.410 A N C 100.000 120.000 144.000 I F n M = C ( ) M = Montante A n = Número de Períodos C + it) I ( ) = Acréscimo em cada Período = (100 100 T C = Capital tt = Tempo Total Á t = Tempo duração do Período M EEXEMPLO T A Período de M tt n i it MONTANTE Capitalização

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Mensal

1 ano

12

5%am

5.1

M = C (1,05) 12

Bimestral

1 ano

6

20%am

20.2

M = C ( 1,40) 6

Trimestral

1 ano

4

8%am

8.3

M = C (1,24) 4

Semestral

1 ano

2

15%am

15.6

M = C (1,9)2


PROBLEMAS DE JUROS COMPOSTOS 01. Um capital de $200.000 é aplicado a uma taxa de 2% ao mês da seguinte forma: (A) capitalização mensal durante 3 meses (B) capitalização bimestral durante 8 meses (C) capitalização quadrimestral durante 1 ano (D) capitalização semestral durante 3 anos Determine o MONTANTE no final de cada aplicação e os respectivos JUROS:

02. Um capital de $60.000 é aplicado a uma taxa de 20% a. m. das seguintes formas:

05. Qual a taxa de aplicação de um capital de $50.000 que foi aplicado durante 8 meses com capitalização quadrimestral e atingiu o montante de $72.000?

06. Qual o tempo que esteve aplicado um capital de $12.000 aplicado a 50% a. m., com capitalização bimestral sabendo-se que atinge o montante de $96.000?

07. Qual o número de anos necessários para que um capital colocado a juros compostos à taxa de 50% a.a. atinja 225% de seu valor inicial?

(A) capitalização mensal durante 2 meses (B) capitalização trimestral durante 1 semestre Determine o montante no final de cada aplicação:

03. Qual o capital que aplicado a uma taxa de 40% a.a. durante 18 meses, com capitalização semestral, atinge o montante de $51.840?

04. Quanto tempo permaneceu aplicado um capital de $25.000 a taxa de 2% a.m. com capitalização quadri-mestral para ter atingido o montante de $29.160? Obs.: Como não há tabela financeira, faça teste das opções.

08. Qual o tempo necessário para que um capital colocado a juros compostos de 100% a.a. sofra um acréscimo de 700%? (Capitalização anual)

09. Um capital de $2.000 é aplicado a uma taxa de 50% a. m. durante certo tempo e atinge o montante de $162.000. Sabendo-se que a capitalização é quadrimestral, determine o tempo da aplicação.


10. Qual a taxa de aplicação de um capital de $3.000 que aplicado durante 18 meses com capitalização semestral, atinge o montante de $81.000?

Gabarito 01. MONTANTE A) $212.241,60 B) $233.971,71 C) $251.942,40 D) $394.764,54

02. A) $86.400 B) 153.600 03. C = $30.000 04. 8 meses 05. 5% ao mês

06. 6 meses 07. 2 anos 08. 3 anos 09. 16 meses 10. 400% a.a. (nominal) 800% a.a. (efetiva)

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JOSÉ DOS SANTOS MOREIRA Prova Banco do Brasil Jan/2013


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RESOLUÇÃO DE QUESTÕES FCC 2013 1) Somando-se um mesmo número ao numerador e ao denominador da fração 3/5, obtém-se uma nova fração, cujo valor é 50% maior do que o valor da fração original. Esse número está entre A) 1 e 4 B) 5 e 8 C) 9 e 12 D) 13 e 16 E) 17 e 20 2) Em uma escola privada, 22% dos alunos têm bolsa de estudo, sendo os demais pagantes. Se 2 em cada 13 alunos pagantes ganharem bolsa de estudo, a escola passará a contar com 2.210 alunos bolsistas. Dessa forma, o número atual de alunos bolsistas é igual a A) 1430 B) 340 C) 910 D) 1.210 E) 315

4) Um professor dá aulas para 3 turmas do período da manhã, cada uma com X alunos, e 2 turmas do período da tarde, cada uma com 2X/3 alunos. Até o momento, ele corrigiu apenas as provas finais de todos os alunos de uma turma da manhã e de uma turma da tarde. Uma vez que todos os seus alunos fizeram a prova final, a quantidade de provas que ainda falta ser corrigida por esse professor, representa, em relação ao total, A) 8/13 B) 10/13 C) 3/5 D) 5/8 E) 7/8 5) Um site da internet que auxilia usuários a calcularem a quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco considera que quatro homens consomem a mesma quantidade de carne que cinco mulheres. Se esse site aconselha que, para 11 homens, devem ser comprados 4.400 gramas de carnes, a quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um churrasco realizado apenas para 7 mulheres é igual a A) 2.100 B) 2.240 C) 2.800 D) 2.520

3) Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido transcorridos no planeta X, exatamente A)1 ano, 6 meses e 4 dias. B) 2 anos e 4 dias C) 2 anos e 14 dias D)2 anos, 5 meses e 14 dias E) 2 anos, 5 meses e 4 dias


E) 2.450

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6) No mês de dezembro de certo ano, cada funcionário de uma certa empresa recebeu um prêmio de R$ 320,00 para cada mês do ano em que tivesse acumulado mais de uma função, além de um abono de Natal no valor de R$ 1.250,00. Sobre o valor do prêmio e do abono, foram descontados 15% referentes a impostos. Paula, funcionária da empresa, acumulou durante 4 meses daquele ano, as funções de secretária e telefonista. Nos demais meses, ela não acumulou funções. Dessa forma, uma expressão numérica que representa corretamente o valor, em reais, que Paula recebeu naquele mês de dezembro, referente ao prêmios e ao abono ,é

A R I E CA) 0,85 x [ ( 1250 + 4 ) x 320] N AB) ( 0,85 x 1250 ) + ( 4 x 320 ) N I C) ( 4 x 320 + 1250 ) – 0,15 FD) ( 0,15 x 1250 ) + ( 4 x 320 ) A C I E) 0,85 x ( 1250 + 4 x 320 ) T Á um tribunal trabalham 17 juízes, divididos M7)emEm níveis, de acordo com sua experiência: dois Esão três do nível I, cinco do nível II e os demais do nível TIII . Trabalhando individualmente, os juízes dosníveis AI, II e III conseguem analisar integralmente um em 1 hora, 2 horas e 4 horas, Mprocesso respectivamente. Se os 17 juízes desse tribunal

trabalharem individualmente por 8 horas, então o total de processos que será analisado integralmente pelo grupo é igual a

A) 48% B) 44% C) 40% D) 50% E) 56%

9) Certa manhã de um domingo ensolarado, Cléo combinou encontrar-se com seu namorado às 11 horas, no Parque do Ibirapuera. Ela calculou que, se percorresse de bicicleta o trajeto de sua casa ao Parque, rodando à velocidade media de 10 Km/h, chegaria ao local do encontro exatamente 30 minutos após o horário combinado; entretanto , se a velocidade média da bicicleta fosse de 15 Km/ h, ela chegaria ao local do encontro exatamente 30 minutos antes das 11 horas. Diante do exposto, a que velocidade média Cléo deverá rodar em sua bicicleta para que possa encontrar com seu namorado às 11 horas? A) 12Km/h

A) 28

B) 12,25 Km/h

B) 34

C) 12,5 Km/h

C) 51

D) 13 Km/h

D) 56

E) 13,25 Km/h

E) 68

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8) Em uma repartição pública em que 64% dos funcionários têm salário superior a R$ 7.000,00, 60% dos funcionários têm curso superior e 40% possuem apenas formação de ensino médio. Dentre os servidores com nível superior, 80% ganham mais do que R$ 7.000,00. Dessa forma, dentre os funcionários que têm somente formação de Ensino Médio, aqueles que recebem salário maior do que R$ 7.000,00, correspondem a

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10) Quatro funcionários do Banco do Brasil – Amália, Bia, Hamilton e Zenon- foram incumbidos de digitar 192 laudas de um relatório. Para a execução dessa tarefa, os quatro dividiram todas as laudas entre si, de acordo com o seguinte critério: - 3/8 do total de laudas a serem digitadas devem ser divididas entre Amália e Zenon, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no BB que são 4 e 2 anos;

E) A diferença entre o tempo de serviço de Xisto e o de Yule é de 5 anos 12) Alguns funcionários do BB participaram de um seminário sobre INFLAÇÃO, pelo qual pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era o valor unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre 40 e 60, quantos funcionários do BB participaram de tal seminário?

- Bia e Hamilton devem digitar as laudas restantes, que deverão ser divididas entre eles na razão direta de suas respectivas idades: 32 e 28 anos.

A) 11

Se a execução da tarefa for cumprida de acordo com o critério estabelecido, as digitações da maior e da menor quantidade de laudas terão sido feitas, respectivamente, pelos funcionários

C) 37

A) Amália e Hamilton B) Amália e Zenon C) Bia e Amália D) Bia e Zenon E) Hamilton e Zenon 11) Dois funcionários do Banco do Brasil, Xisto e Yule têm seus tempos de serviço no banco relacionados da seguinte forma: - há 1 ano, o tempo de serviço de Xisto era o quíntuplo de Yule;

B) 13

D) 55 E) 59

13) Quatro números inteiros e positivos são tais que: adicionando-se 3 ao primeiro, subtraindo-se 3 do segundo, multiplicando-se o terceiro por 3 e dividindo-se o quarto por 3 obteremos, para as quatro operações efetuadas, sempre o mesmo resultado. Se a soma dos quatro números originais é igual a 64, é correto afirmar que, relativamente à ordem considerada, o A) segundo é um número par


B) terceiro número é divisivel por 3

- daqui a 2 anos, o tempo de serviço de Xisto será o dobro do de Yule.

C) quarto número é menor do que 30.

Com base nessas afirmações, é correto afirmar que, atualmente,

D) segundo e o primeiro números diferem de 8 unidades

A) o tempo de serviço de Xisto é igual ao triplo de Yule. B) O tempo de serviço de Xisto exceed o de yule em 3 anos C) Os tempos de serviço de Xisto e de Yule somam 9 anos D) Os tempos de serviço de Xisto e Yule somam 11 anos

E) quarto número é um múltiplo do primeiro

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14) Certo dia, Alfeu e Janaína foram incumbidos de arquivar 113 processos de um lote. Sabendo que, ao dividirem o total de processos entre si, tanto a quantidade A, de processos que coube a Alfeu, como a quantidade J, de processos que coube a Janaína, eram números quadrados perfeitos; então, se Alfeu arquivou mais processos que Janaína, então a diferença A – J é igual a

16) O número de novas cadernetas de poupança abertas em 2010, no BB, foi 20% menor que o número de novas cadernetas abertas em 2011 . Mas o número de cadernetas de poupança abertas em 2012 foi 10% maior que o número de cadernetas abertas em 2011. Em quando por cento, o número de novas cadernetas de poupança abertas em 2012 supera o número de 2010?

A) 12

A) 30%

AB) 15 R I C) 16 E CD) 18 N AE) 19 N I F15) Suponha que , ao fazer o levantamento da Aquantidade de processos protocolados no jurídico ao longo de 3 meses, um funcionário constatou que C I o número de processos protocolados em dezembro Tde 2012 diminuíra de 75% , em relação à Áquantidade daqueles que haviam sido protocolados mês anterior. Se em janeiro de 2013 a Mno de processos protocolados voltou a ser Equantidade a mesma observada em novembro de 2012, então, Trelativamente ao mês de dezembro de 2012, o Anúmero de processos protocolados em janeiro de M2013 sofreu um aumento de

B) 32% C) 28% D) 37,5% E) 15%

17) Em uma montadora, são pintados, a partir do início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20 seguintes são pintados de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2 últimos de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequêcia se repete. Dessa forma, o 493* carro pintado em um turno de produção terá cor A) prata B) preta

A) 75% C) branca B) 150% D) azul C) 200% E) vermelha D) 300% E) 360%

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18) Após quanto tempo do início do turno de produção será pintado o carro do problema anterior? A) 7h25min B) 7h15min C) 7h30min D) 7h45 min E) 7 h 17min 19)Para produzir 60% de uma encomenda, os oito funcionários de uma empresa gastaram um total de 63 horas. Como dois ficaram doentes, os outros seis funcionários terão de produzir sozinhos os 40% restantes da encomenda. Considerando que todos eles trabalham no mesmo rítmo e executam as mesmas tarefas, pode-se estimar que o restante da encomenda será produzido em

21) Na primeira fase de um campeonato, o percentual médio de acerto de um jogador de basquete nos lances livres foi de 80%. Até o final do terceiro quarto da primeira partida da segunda fase, esse jogador acertou 10 dos 14 lances livres que executou, resultando em aproximadamente 71% de acerto. No ultimo quarto, porém, o jogador se recuperou de modo que, ao final da partida, seu percentual de acerto de lances livres foi igual ao da primeira fase. Sabendo-se que ele não errou lances livres no ultimo quarto, pode-se concluir que, nesse período do jogo, ele executou e acertou exatamente A) 6 lances livres B) 7 lances livres C) 5 lances livres D) 9 lances livres E) 8 lances livres

A) 42 h B) 60 h C) 56 h D) 70 h E) 84 h

20) Para produzir 60% de uma encomenda , Apolo e Mercúrio , juntos, demoram 6 dias, trabalhando 6 horas/dia, cada um. Se Apolo, sozinho, faz 20% da encomenda em 5 dias, Mercúrio faria todo o serviço sozinho em

22) Atendendo o pedido de um cliente , um perfumista preparou 200mL da fragância X. Para isso ele misturou 20% da essência A, 25% da essência B e 55% de veículo. Ao conferir a formula da fragância X que fora encomendada, porém, o perfumista verificou que havia se enganado, pois ela deveria conter 36% da essência A, 20% da essência B e 44% de veículo. A quantidade de essência A, em mL, que o perfumista deve acrescentar aos 200mL já preparados, para que o perfume fique conforme a especificação da fórmula é igual a


A) 32 B) 36

A) 10 dias

C) 40

B) 16 dias e 16h

D) 45

C) 7 dias e 3h

E) 50

D) 7 dias e 12h E) 16 dias e 4h

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23) Em uma disciplina de nível superior, 7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais. Todos os demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação, o total de aprovados na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos matriculados nessa disciplina é igual a

25) Artur pretende investir R$ 10.000 por um período de um ano. Por isso, está avaliando dois investimentos oferecidos pelo gerente de seu banco INVESTIMENTO 1: Regime de juros simples, com taxa de 1% ao mês. INVESTIMENTO 2: Regime de juros compostos, com taxa de 6% ao semestre

A) 136

AB) 127 R I C) 130 E CD) 135 N AE) 126 N I F24) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são Ahomens e 3/5 dos funcionários falam inglês. Sabendo que 1/12 dos funcionários são mulheres que não C I falam inglês, pode-se concluir que os homens que Tfalam inglês representam, em relação ao total de Áfuncionários, uma fração equivalente a MA) 3/10 E TB) 7/20 A MC) 2/5 D) 9/20 E) ½

Ao comparar os dois investimentos, Artur concluiu que A) O investimento 1 é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 36,00 a mais do que o investimento 2 após um ano B) O investimento 1 é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 18,00 a mais do que o 2 após um ano. C) Eles são indiferentes, pois ambos terão rendido R$ 1.200,00 após um ano. D) O investimento 2 é mais vantajoso pois terá rendido R$ 18,00 a mais após um ano. E) O investimento 2 é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 36,00 a mais do que o investimento 1 após um ano.

26) Zaqueu dispõe de R$ 10.000,00 para investir e o faz da seguinte forma: Parte do dinheiro investe em um FUNDO que rende 6% sobre o capital investido após um ano de aplicação. O restante ele investe em AÇÕES e ganha 8% sobre o capital investido após um ano de aplicação. Determine o valor que Zaqueu aplicou respectivamente em FUNDOS e AÇÕES, sabendo que os rendimentos das duas aplicações somam juntos R$ 672,00. A) R$ 6000 e R$ 4000 B) R$ 7000 e R$ 3000 C) R$ 4800 e R$ 5200 D) R$ 3600 e R$ 6400 E) R$ 6400 e R$ 3600

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27) Um comerciante comprou um produto por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir um lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a A) R$ 620,00 B) R$ 580,00

29) Para que um capital aplicado a juros compostos de 20% a.ano e capitalização trimestral, duplique de valor, devemos esperar A) log 20/log 5 trimestres B) log 5/log20 trimestres C) log 1,05 / log 2 trimestres D) log 2/ log (1,05) trimestres) E) log 20/ log ( 1,05) trimestres

C) R$ 600,00 D) R$ 590,00 E) R$ 610,00

28) Altemar aplica R$ 29.000,00 a juros compostos e deseja comprar um carro cujo preço à vista é R$ 30.000,00. Se nos próximos meses essa aplicação render 1% ao mês e o preco do carro se mantiver, o número mínimo de meses necessário para que Altemar tenha em sua aplicação uma quantia suficiente para comprar o carro é A) 7 B) 4

30) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% a.ano, sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo de 4 meses e o segundo por 5 meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizaram R$ 39.540,00 e que os juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em R$ 12.660,00, a soma dos dois capitais iniciais era de: A) R$ 140.000,00 B) R$ 143.000,00 C) R$ 145.000,00 D) R$ 147.000,00 E) R$ 115.000,00

C) 5 D) 6 E) 3


GABARITO 1) D

2) A

3) E

4) A

5) B

6) E

7) D

8) C

9) A

10) C

11) A

12) B

13) E

14) B

15) D

16) D

17) A

18) B

19) C

20) E

21) A

22) E

23) D

24) B

25) E

26) E

27) C

28) B

29) D

30) B

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Prof. Ze Moreira - Apostila Matematica BB 2013

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