PROGRAMACION ENTERA La programación entera es programación lineal con la restricción adicional de que los valores de las variables de decisión sean enteros. Esta se divide en tres rangos:
Programación Entera pura: Donde todas las variables de decisión tienen valores enteros. Programación Entera Mixta: Donde algunas de las variables de decisión tienen valores enteros. Las demás cumplen con la suposición de divisibilidad. Programación Entera Binaria: Donde se utiliza variables binaria
Casos de la Programación Entera En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solución del programa lineal truncado esta lejos de ser el óptimo entero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta solución de forma exacta. El más famoso es el e l método de 'Ramificar y Acotar' o Branch and Bound por su nombre en inglés. El método de Ramificar y Acotar parte de la adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero. Aplicaciones La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las
matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc. Otros son:
Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia. Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas; Solución de problemas de transporte.
Ejemplo Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo.
Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es: La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día; La mina "b" otras 40 t/día; y, La Mina "c" produce 20 t/día. En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen: La central "d" consume 40 t/día de carbón; y, La central "e" consume 60 t/día Los costos de mercado, de transporte por tonelada son: De "a" a "d" = 2 monedas De "a" a "e" = 11 monedas De "b" a "d" = 12 monedas De "b" a "e" = 24 monedas De "c" a "d" = 13 monedas De "c" a "e" = 18 monedas
Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio.
En este caso, el costo total del transporte es: Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas Total 1.400 monedas.
Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones:
Restricciones de la producción:
Restricciones del consumo:
La función objetivo será: La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser:
Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas Total 1.280 monedas. 120 monedas menos que antes.
PROGRAMACION PARAMETRICA El análisis de sensibilidad requiere el cambio de un parámetro a la vez en el modelo original para examinar su efecto sobre la solución óptima. Por el contrario, la programación lineal paramétrica (o programación paramétrica en forma más corta) se refiere al estudio sistemático de los cambios en la solución óptima cuando cambia el valor de muchos parámetros al mismo tiempo, dentro de un intervalo. Éste estudio proporciona una extensión muy útil al análisis de sensibilidad; por ejemplo, se puede verificar el efecto de cambios simultáneos en parámetros "correlacionados", causados por factores exógenos tales como el estado de la economía. Sin embargo, una aplicación más importante es la investigación de los trueques entre los valores de los parámetros.
La técnica algorítmica para programación lineal paramétrica es una extensión natural del análisis de sensibilidad, por lo que también está basada en el método simplex.
Casos En algunos casos, el propósito del estudio es determinar el trueque más apropiado entre dos factores básicos como costos y beneficios . la forma usual de hacerlo es expresar uno de estos factores en función objetivo (como minimizar el costo total) e incorporar el otro a las restricciones (por ejemplo, beneficio >= nivel mínimo aceptable). Ejemplo Si los valores de CJ representan la ganancia unitaria de las actividades respectivas, es posible aumentar el valor de alguna CJ a costa de disminuir el de otras mediante un intercambio apropiado de personal y equipo entre las actividades. De manera parecida, si los valores de BI representan las cantidades disponibles de los respectivos recursos, es imposible aumentar alguna BI si se está de acuerdo en disminuir algunas otras.
PROGRAMACION DINAMICA Muchos problemas de programación matemática determinan soluciones que repercuten en la formulación de los problemas a resolver en el próximo periodo o etapa. Una alternativa es construir un único modelo completo que tenga un gran conjunto de variables indexadas por etapas e internalizar las relaciones entre etapas como una restricción del problema. Sin embargo esto pude agrandar mucho el tamaño del problema. Surge así Programación Dinámica (PD) como una alternativa de descomposición en que resolvemos subproblemas más pequeños y luego los ligamos. Así, programación dinámica consiste en solucionar el presente
suponiendo que en cada etapa futura siempre se tomaran las decisiones correctas. Para que un problema pueda ser resuelto con la técnica de programación dinámica, debe cumplir con ciertas características:
Naturaleza secuencial de las decisiones: El problema puede ser dividido en etapas. Cada etapa tiene un número de estados asociados a ella. La decisión óptima de cada etapa depende solo del estado actual y no de las decisiones anteriores. La decisión tomada en una etapa determina cual será el estado de la etapa siguiente.
Ejemplo Consideremos el problema de la mochila (Knapsack Problem), el cual consiste encontrar un subconjunto de productos que echar en una mochila de modo de maximizar el beneficio y respetar la capacidad de la mochila.
Modele dicho problema con la técnica de programación dinámica, describiendo las etapas del problema, las variables de estado y las ecuaciones recursivas que definen la formulación. Solución
Decisiones:
Etapas:
donde cada
viene dado por:
En la etapa i se decide el valor de .
Estado de la etapa : Espacio disponible en la mochila. Si esta decidido el valor de el lado derecho de la restricción de capacidad viene dado por
. Como en la etapa
no
conocemos el valor (Supondremos que los
vamos a tomar como son enteros).
Con esto, debemos tratar de construir las ecuaciones de recurrencia. Para ello definimos:
Y también:
Notamos que en cada etapa tendremos distintos problemas dependiendo del espacio disponible con que lleguemos a la etapa. Estos problemas son muy fáciles de resolver pues en cada problema puede haber 2 casos posibles: a) Si la capacidad disponible al llegar a la etapa es menor que el espacio que ocupa el producto que estamos decidiendo si echar o no, no tendremos mas remedio que no echar el producto
y el espacio disponible
para la siguiente etapa será la misma con la que llegamos a esta etapa
.
b) Si la capacidad disponible al llegar a la etapa es mayor que el espacio que ocupa el producto que estamos decidiendo si echar o no, deberemos comparar las siguientes 2 alternativas: 1. Echar el producto perdiendo capacidad para la próxima etapa. 2. No echar el producto manteniendo la misma capacidad actual para la próxima etapa. Finalmente, la ecuación de recurrencia viene dada por:
PROGRAMACION GRAFOS – REDES En teoría de grafos, mucha de la investigación realizada en sus inicios fue motivada por intentos para probar el teorema de los cuatro colores, el cual fue probado más de cien años después de su inicial descripción. No obstante, el nacimiento del concepto GRAFOS se puede situar, por el año 1730, cuando Euler (matemático) se convirtió en el padre de la Teoría de Grafos al modelar un famoso problema no resuelto, llamado el "problema de los puentes de Königsberg". Casos de la Programación Entera Un río con dos islas atraviesa la ciudad. Las islas están unidas, entre si con las orillas, a través de siete puentes. El problema consistía en establecer un recorrido que pasara una y solo una vez por cada uno de los siete puentes, partiendo de cualquier punto y regresando al mismo lugar.
Para probar que no era posible, Euler sustituyó cada zona de partida por un punto y cada puente por un arco, creando así un grafo, el primer grafo, diseñado para resolver un problema.
Mostrar que el problema no tiene solución equivale a mostrar que el grafo no puede ser recorrido según criterios determinados.
Problema genérico: dado un grafo (con múltiples líneas entre pares de puntos) encontrar un camino que recorra el grafo pasando por cada arista exactamente una vez. Solución: El grafo debe se conexo, y en cada punto deben incidir un número par de líneas. Esta condición es suficiente para definir lo que se llama un ciclo euleriano. A partir de Euler el modelado mediante grafos fue desarrollando esta metodología hasta convertirse en la actualidad, en una herramienta de trabajo para ciencias tan diferentes como la Física, la Química, la Sicosociología, la Economía, la Lingüística, etc. La teoría de grafos está íntimamente relacionada con varias ramas de la Matemáticas como por ejemplo la Teoría de Conjuntos, el Análisis Numérico, Probabilidad, Topología, etc. y es la base conceptual en el tratamiento de problemas combinatorios. La eficacia de los grafos se basa en su gran poderío de abstracción y la muy clara representación de cualquier relación (de orden, precedencia, etc) lo que facilita enormemente tanto la fase de modelado como de resolución del problema. Gracias ala Teoría de Grafos se han desarrollado una gran variedad de algoritmos y métodos de resolución eficaces que nos permiten tomar una mejor decisión. No se debe confundir el grafo con el sistema real al que está asociado. El grafo es una estructura que admitimos adecuada en lo concerniente a las propiedades que nos interesan, donde luego aplicamos las deducciones y reglas matemáticas para obtener datos y poder decidir.
Aplicaciones Una aplicación frecuente de la teoría de grafos es la del método de camino hamiltoniano óptimo para decidir el camino a seguir por un cobrador, de tal modo de economizar sus energías, las suelas de sus zapatos y su bolsillo.
Ejemplo El objetivo es hallar un camino que pase por todos las casas una y solo una vez y que nos de el costo menor en distancia. Dicho de otro modo, se deben buscar las permutaciones de las casas de forma tal que la distancia recorrida total sea mínima. Se conoce la distancia entre cada par de casas, según si las calles son flechadas o no se orientarán o no las conexiones entre pares de casas. Obsérvese que si se hicieran todas las permutaciones, suponiendo un caso muy reducido de diez casas, se tendrían más de 3 millones de permutaciones (10!).Si cada casa es representada por un vértice y cada camino entre par de casas por una arista ponderada por la distancia mínima entre pares de casas, tendremos un grafo completo y simétrico (cuando no hay calles flechadas).El problema se reduce entonces, a obtener un camino hamiltoniano óptimo. Todo algoritmo conocido para encontrar ciclos hamiltonianos requiere al menos un tiempo exponencial de cálculo, o factorial en el peor de los casos. Otro ejemplo para el que grafos provee un natural modelo matemático: Supongamos que el siguiente grafo representa una red de líneas de teléfonos (o de comunicaciones). Estamos interesados en la vulnerabilidad respecto a interrupciones accidentales. Problema 1: identificar esas líneas y centros de conexiones que deben permanecer en servicio para evitar la desconexión de la red. No existe ninguna línea que eliminada desconecte el grafo (red), pero hay un vértice, el vértice d, cuya desaparición (ruptura) desconecta el grafo.
Problema 2: encontrar un conjunto minimal de aristas necesarias para conectar los 6 vértices. Hay varios conjuntos mínimos posibles. Uno de ellos es el conjunto minimal: {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (d, f)}. Podemos enunciar el siguiente resultado general: dado un grafo G de n vértices, el conjunto mínimo de conexión de G (si existe) siempre tiene n –1 aristas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase17.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal#Programaci.C3.B3n_e ntera http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal_param%C3%A9trica http://www.andrew.cmu.edu/user/mgoic/files/documents/optimization/pdinamica. pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_discretas
http://es.scribd.com/doc/2107225/investigacion-operaciones-todo
INTRODUCCION
Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones. La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. En la Investigación de Operaciones se utilizan distintas herramientas que permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de las programaciones, las cuales se emplean según sea la necesidad.
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN C.O.L. CABIMAS
PROGRAMACIONES
Autores:Colina Eunices CI: 20.621.688 Marcano Yeraldin CI: 21.043.870 Morles William CI: 20.744.861 Profesor: José León
Cabimas Enero 2012.
