PROGRAMACIÓN ENTERA BINARIA INTRODUCCIÓN Existen numerosas aplicaciones de programación entera en la que el problema incluye cierto número de decisiones sí o no interrelacionadas. En situaciones de este tipo, las 'únicas dos elecciones posibles son sí c no. Por ejemplo, ¿Debe emprenderse un determinado proyecto?, ¿Debe hacerse cierta inversión de capital? ¿Debe ubicarse la planta de producción en un determinado lugar? Debido a que estos problemas involucran sólo dos posibilidades, este tipo de decisiones se pueden representar mediante variables de decisión restringida a sólo dos valores. 0 y 1. De esta forma la i-ésima decisión sí o no se puede representar por , , tal que
Las variables de este tipo se llaman binaria (o variables 0-1). En consecuencia, algunas veces se hace referencia a los problemas de programación entera que contienen sólo variables binarias como problemas de programación entera binaria (PEB o PB) o problemas 0-1 de programación entera. ALGUNAS APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN ENTERA BINARIA Análisis de la inversión ¿Debe preferirse cierto proveedor? o ¿Debe agregarse una nueva línea de producción? o Elección del sitio ¿Debe elegirse cierto lugar para la ubicación de cierta instalación nueva? o Diseño de una red de producción y distribución ¿Debe cierta planta permanecer abierta? o ¿Debe abrirse una nueva sucursal de distribución? o Asignaciones ¿Debe ubicarse a cierto operario en determinado puesto de trabajo? o ¿Debe asignarse cierto tipo de avión a una ruta en particular? o Programación de actividades interrelacionadas ¿Cuándo se debe iniciar la producción pro ducción de las nuevas órdenes? o ¿Cuándo deben comercializarse los nuevos productos? o ¿Debe cierta actividad comenzar en un momento dado? o
CASOS ESPECIALES: USOS INNOVADORES DE VARIABLES BINARIAS RESTRICCIONES UNA U OTRA Situación en la que se debe elegir entre dos restricciones, de manera que solamente una de ellas debe cumplirse.
Por ejemplo, sean las restricciones siguientes de las que solamente una debe tomarse en cuenta en el modelo:
( ) () Reformular las restricciones considerando un número positivo muy grande (M), al lado derecho de estas y se obtendrá el efecto de eliminar una de ellas, de la siguiente manera:
()()
() () Note que si la variable y toma el valor de cero, la primera -restricción queda con <= 6000 en su lado derecho, pero en la segunda se tendría <= 6000 + M, al sumarse un numero tan grande al 6000, el lado derecho es como si quedara: <= INFINITO dejando así de ser una restricción. La restricción que prevalecería sería la primera. La situación es totalmente contraria si es que la variable y hubiera tomado el valor de 1; en tal caso, la restricción que se mantendría, sería la segunda. DEBEN CUMPLIRSE K DE N RESTRICCIONES En este tipo de problema que consta de N restricciones, solamente deben cumplirse K de ellas. Lo que sucede realmente es que las N — K restricciones que no se eligen son eliminadas del problema. Observe que esta situación es una generalización del caso anterior que tenía. K=1 y N=2.
Sean las siguientes restricciones:
Aplicando la misma lógica que en caso anterior v considerando que al menos dos de las restricciones se cumplan; se tendría lo siguiente:
) ( RESTRICCIONES CON N VALORES POSIBLES Situación en la que se requiere que una restricción tome cualquiera de N valores dados. Siendo por ejemplo para la siguiente restricción que se pueda adoptar en su- lado derecho el valor de 15, 18 ó 20:
La restricción se transformaría en:
() CONSIDERACIÓN DE COSTO FIJO Al iniciar una actividad o proceso normalmente se incurren en costos inherentes al inicio de dicha actividad que no se relacionan directamente con la cantidad a producir. Este costo no es proporcional al nivel de producción como normalmente lo suele ser el costo variable.
En el siguiente modelo matemático se puede apreciar la consideración del costo fijo.
( ( ) ) ( ( ))
{ ( ) ) (( ))
Sujeto a:
EJEMPLOS EJEMPLO 1 La división de investigación y desarrollo de una fábrica de productos plásticos ha venido desarrollando cuatro líneas posibles de nuevos productos. La administración debe ahora tomar una decisión sobre cuáles de estos cuatro productos se van a producir y a qué niveles. Se ha pedido que formule un modelo de programación matemática para encontrarla mezcla de productos más redituable. La respuesta en marcha de la producción de cualquier producto trae consigo un costo sustancial, que se proporciona en la siguiente tabla. Se da también el ingreso marginal neto de cada unidad producida. Artículo 1 Articulo 2 Artículo 3 Artículo 4 Costo 55 40 76 68 Utilidad 70 60 90 80 Por políticas de la empresa, la gerencia ha impuesto las siguientes restricciones sobre estas variables: No se pueden producir más de dos de estos productos. El producto 3 se puede producir sólo si se produce cualquiera de los productos 1 ó 2. Se dispone de $200 de capital total para invertir en estos proyectos. Las oportunidades de inversión 3 y 4 son mutuamente excluyentes. Maximizar utilidad total decidiendo que artículos deben llevarse a producción.
Modelo matemático:
Solución:
( )
EJEMPLO 2 Un entrenador pretende elegir la alineación inicial para su equipo de basquetbol. Su selección consta de 7 jugadores que están calificados (con una escala de 1: malo y 3: excelente) de acuerdo con su
manejo del balón, disparos, rebotes y habilidades defensivas. Las posiciones en la que a cada jugador se le permite fugar y las capacidades del jugador son las siguientes: Jugador
Posición
Manejo de balón 1 D 3 2 C 2 3 D-O 2 4 O-C 1 5 D-O 3 6 O-C 3 D-O 3 7 D: Defensiva, C: Centro, O: Ofensiva
Disparos
Rebote
Defensa
3 1 3 3 3 1 2
1 3 2 3 3 2 2
3 2 2 1 3 3 1
El equipo inicial de cinco jugadores tiene que satisfacer las condiciones condici ones siguientes: Por lo menos, 3 miembros deben ser capaces de jugar en la defensiva, por lo menos 2 elementos deben ir a la ofensiva y uno estará en el centro. El nivel promedio de manejo de balón, disparos y rebotes de los jugadores en la alineación inicial tiene que ser por lo menos de 2. Debe empezar el jugador 2 o el jugador 3, pero no ambos. Si es que el jugador 3 empezara a jugar, entonces el jugador 6 no puede jugar (podrían no entraambos o entrar solamente el jugador 6) Si el jugador 1 inicia, entonces los miembros 4 y 5 también deben jugar, si no, alguno de estos o ambos podrían entrar. Dadas estas restricciones, el entrenador desea maximizar la capacidad de defensa total del equipo inicial. Formule un PEB que ayude al entrenador a escoger a su equipo inicial.
Modelo matemático:
( ) ( ) ) () ( ) ) () ( ()) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) ( ) EJEMPLO 3 Un distribuidor decide alquilar locales para establecer almacenes en algunas regiones. En la tabla adjunta se muestran los tres almacenes candidatos que puede rentar, sus costos mensuales de alquiler, el número máximo de camiones que pueden cargar y despachar en un mes, la demanda mensual de cargas de camión para cada uno de los cuatro distritos que desea atender y el costo promedio de enviar un camión de cada almacén a cada distrito.
Costo por camión distrito de ventas (S/.) Almacén Almac én 1 2 3 4 A 170 40 70 160 B 150 195 100 10 C 100 240 140 60 Demanda 100 90 110 60
Capacidad mensual (camiones)
Costo de alquiler (S/.)
200 250 300
7750 4000 5500
Determinar que almacenes alquilar y el plan de distribución para minimizar los costos totales. Modelo matemático:
( ( ) ) ( ( )
Demandas:
No exceder la capacidad y alquilar el almacén i si se atiende por lo menos un pedido desde allí
Solución:
EJEMPLO 4 Graña tiene seis proyectos a realizar en el próximo semestre, así que ya debe estar preparando al personal para el inicio de las obras, los datos económicos de cada proyecto es: Proyectos Camino Supermercado Casas Departamentos Parques Puentes Beneficio 50 60 70 80 90 50 (miles de $) Según las condiciones de la empresa se tiene que cumplir las siguientes condiciones: El Camino se hace para que se pueda hacer el Supermercado. Si el supermercado no se nace el camino podría hacerse para beneficiar alas casas aledañas. De los proyectos Camino y Departamentos se debe elegir uno a lo más. El proyecto Casas podría hacerse si es que se hace el proyecto Departamentos y/o el proyecto Parques. De los seis proyectos se debe elegir cuatro c uatro proyectos. El proyecto Departamentos se puede hacer sí es que se hace el proyecto Casa y no el proyecto Puentes.
Elabore un modelo PLB para ayudar a Grafía a elegir sus provectos. Solución LINGO:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ()) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () )
PROGRAMACIÓN BINARIA MODELACIÓN Y SOLUCIÓN POR SOFTWARE PROBLEMA 1 Una joven pareja Carlos y Sara quieren dividir las principales tareas del hogar (ir de compras, cocinar, lavar platos y lavar ropa) entre los dos, de manera que cada uno tenga dos obligaciones y que el tiempo total para hacer estas tareas sea el mínimo. La eficiencia en cada mía de las tareas difiere entre ellos; la siguiente tabla proporciona el tiempo que cada uno necesita pata cada tarea: Horas necesarias por semana Compras (A) Cocinar (B) Lavar platos (C) Lavar ropa (D) Carlos (1) 4.5 7.8 3.6 2.9 Sara (2) 4.9 7.2 4.3 3.1 Formule un modelo de programación entera ^binaria y resolver por software. PROBLEMA 2 Graña tiene seis proyectos a. realizar en el próximo semestre, así que ya debe estar preparando al personal para el inicio de las obras, los datos económicos de cada proyecto es: Proyectos Camino Supermercado Supermercado Casas Departamentos Parques Puentes Beneficio 50 60 70 80 90 50 (miles de $) Según las condiciones de la empresa se tiene que cumplir las siguientes condiciones: El Camino se hace para que se pueda hacer el Supermercado. Si el supermercado no se hace el camino podría hacerse para beneficiar a las casas aledañas. De los provectos Camino y Departamentos se debe elegir uno a lo más. El proyecto Casas podría hacerse si es que se hace el proyecto Departamentos y/o el proyecto Parques. De los seis proyectos se debe elegir cuatro c uatro proyectos. El proyecto Departamentos se puede hacer si es que se hace el proyecto Casa y no el proyecto Puentes. Elabore un modelo PLB para ayudar a Graña a elegir sus proyectos.
PROBLEMA 3 Un centro comercial tiene 10000 m 2 de espacio pací alquilar y se quiere determinar la cantidad de tiendas porque de negocio que tendrían que instalarse, En la tabla se dan los números mínimo y máximo de tiendas por cada tipo de negocio (junto con la superficie en m 2 que éstas ocupan).
Tipo de Tienda
Superficie (m2)
Min
Máx.
Joyería Zapatería Electrodomésticos Librería Telefonía
500 600 1500 700 900
1 1 1 0 1
3
3 3 3 3
La ganancia anual de cada c ada tipo de negocio dependerá del número de tiendas por tipo instaladas en el centro comercial. Esta dependencia se da en la tabla siguiente: Ganancia por número de tiendas (millares de $) Tipo Joyería Zapatería Electrodomésticos Librería Telefonía
1 9 10 27 16 17
2 8 9 21 9 13
3 7 5 20 7 10
Por lo tanto, si hay 2 tiendas de Electrodomésticos en el centro comercial cada una genera ganancias por $21000 al año. Cada negocio paga 5% de su ganancia como alquiler. Formule un problema de programación entera cuya solución indicará cómo maximizar el ingreso por alquileres en el centro comercial
Lectura sugerida INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES OP ERACIONES Hillier— Hillier— Lieberman. McGraw —Hill (Octava edición) 2006 "Usos innovadores de variables binarias en la formulación de modelos" Capítulo 11 Programación Entera Pág. 487
