Programación lineal entera

PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Mapa Conceptual Pre-procesamiento y examinación de Técnicas para la programación de Problemas Enteros Mixtos Técnicas para la programación de problemas enteros mixtos

1). Técnicas básicas para los problemas de programación entera mixta

Extensiones de las 2). técnicas básicas para los problemas de programación de entera mixta

1). Técnicas básicas En la parte de técnicas básicas se contempla el método de ramificación y acotación. Se presentan varias técnicas que modifican una representación dada de un problema entero mixto. mixto. Cuando el conjunto de soluciones factibles del problema lineal relajado es reducido, pero el conjunto de soluciones factibles de un problema entero mixto no son afectadas. Esto puede reducir la integralidad, es decir, la diferencia entre los valores de la función objetivo del problema lineal relajado y el problema entero. En el trabajo se dan las condiciones para que un problema no tenga solución, es decir, el conjunto solución sea infactible, para identificar las redundancias y como mejorar los límites de las acotaciones. Posteriormente, en el artículo se examinan las técnicas básicas para fijar variables, mejorar acotaciones y mejorar coeficientes. 2). Extensiones de las Técnicas básicas En la segunda parte del artículo se trabaja sobre los mismos puntos que en las técnicas básicas: Identificación de infactibilidad, identificación de redundancias, mejoramiento de las cotas, fijación de variables y mejoramiento de coeficientes, pero bajo condiciones particulares p articulares con lo cual se pueden aplicar nuevas técnicas que qu e mejoran el método de solución. 

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1

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González EJERCICIOS

películas durante los próximos 3 años. Defina las 1).- Un estudio de cine planea producir 5 películas variables xit , donde el subíndice i se refiere a la película en particular ( i  1, 2, 3, 4, 5 ) y el subíndice t se refiere al año ( t  1, 2, 3 ). Las variables xit son enteras binarias que valen 1 si la i-ésima película se produce en el año t , y cero si no se produce. Modele las restricciones de cada inciso, considerando que son independientes. a).- No puede producir más que una película en el primer año. b).- La película 2 no puede producirse antes que la película 3; sin embargo, pueden producirse en el mismo año c).- Debe producirse al menos una película cada año. d).- La película 4 debe producirse a más tardar el año 2. e).- La película 1 y 5 no pueden producirse en el mismo año.

2).- Problema 12.3-5 Una línea aérea piensa comprar Jets de pasajeros grandes, medianos y chicos. El precio de compra será de $67 millones por cada avión grande, $50 millones por cada avión mediano y $35 millones por cada avión chico. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de $1,500 millones para estas compras. Sin importar qué aviones se compren, se espera que las distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de restar los costos de recuperación de capital) será $4.2 millones para un avión grande, $3 millones para uno mediano y $2.3 millones para un avión chico. Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados para operar 30 aviones nuevos. Si sólo se compraran aviones chicos, las instalaciones de mantenimiento podrían manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 1 13 aviones chicos y cada avión grande equivale a 1 23 aviones chicos, en términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento. La gerencia desea saber cuántos aviones comprar a fin de maximizar la ganancia.

3).- Una compañía distribuidora desea minimizar el costo de transportar los bienes desde sus almacenes A, B, C hasta los centros de venta al menudeo 1,2,3, . Los costos del transporte de una unidad desde el almacén hasta el minorista aparecen en la siguiente tabla. ALMACEN A B C DEMANDA

M1

M2

M3

COSTOS FIJOS

15 9 11 200

32 7 18 150

21 6 5 175

5000 750 600

Los costos fijos de operación de cada almacén son 5000 para A 750 para B y 600 para C y por lo menos 2 de ellos deben de estar abiertos a la vez. Podemos suponer que los almacenes tienen una capacidad de almacenamiento ilimitada, formule y resuelva una PLE para decidir que almacenes deberán abrirse y la cantidad de bienes que conviene enviar desde cada almacén a cada minorista

4).- El gerente de una empresa está tratando de decidir cuáles proyectos financiar para el próximo año. Recibió 8 propuestas ( A A, B, C , D, E , F , G y H ) que se muestran en la tabla de abajo. 2

Investigación de Operaciones

Después de un estudio minucioso, hizo un cálculo estimado del valor de cada proyecto en una escala de 0 a 100. El gerente desea encontrar una combinación de proyectos que tenga el valor total más alto. Sin embargo, existen varias limitaciones. Cuenta con un presupuesto de 320,000 um; debe aceptar o descartar un proyecto (no hay inversión parcial); a lo más debe invertir en uno de los proyectos G o H ; finalmente si el proyecto A no recibe recursos, entonces el proyecto D tampoco debe recibir recursos. Obtenga la mejor combinación de proyectos.

Proyecto A B C D E F G H

Costo en miles de um 80 15 120 65 20 10 60 100

Valor 40 10 80 50 20 5 80 100

5).- Una ciudad considera la relocalización de sus subestaciones de policías para hacer frente al crimen organizado. Los lugares bajo consideración y las áreas que cubrirían se describen a continuación. Determine el número mínimo de subestaciones que cubren los servicios de vigilancia de toda la ciudad. Lugares potenciales para Áreas de la ciudad ubicación de subestaciones que cubren A 1, 5, 7 B 1, 2, 7 1, 3 C D 2, 4, 5 E 3, 4 F 4, 5, 6 G 1, 6, 7 6).- Problema de asignación Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes: Tipo de Nado Dorso Pecho Mariposa Libre

Carlos 37.7 43.4 33.3 29.2

Cristina 32.9 33.1 28.5 26.4

David 33.8 42.2 38.9 29.6

Antonio 37.0 34.7 30.4 28.5

José 35.4 41.8 33.6 31.1

El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro tipos de nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.

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Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

7).- Problema de asignación de personal El administrador de un centro comercial, que debe atender las 24 horas, tiene el problema de minimizar recursos en la nomina de los trabajadores. En la tabla de abajo a la izquierda se muestra los periodos de 4 horas y la cantidad de personal necesario para atender. El problema conociste en que los empleados son sindicalizados y por cuestiones de contrato con el sindicato sus periodos de trabajo son de 8 horas, según el escalonamiento mostrado en la tabla de abajo a la derecha. Periodo 9 pm a 1 am 1 am a 5 am 5 am a 9 am 9 am a 1 pm 1 pm a 5 pm 5 pm a 9 pm Total

Personal necesario 13 1 7 6 6 17 50

Turno 1 2 3 4 5 6

Inicio de turno 9 pm 1 am 5 am 9 am 1 pm 5 pm

Fin de turno 5 am 9 am 1 pm 5 pm 9 pm 1 am

8).- A una compañía se le presentan 5 posibilidades de inversión, cuyos gastos y rendimientos en miles de u.m. son: Inversión 1 2 3 4 5 Gastos 8 4 6 3 9 Rendimientos 32 21 24 15 16 El capital total disponible para invertir es de $25,000 u.m. Además se debe cumplir que si la cartera de inversiones de la compañía incluye la inversión 2, deberá seleccionar también la inversión 4. Por otro lado, las inversiones 2 y 3 son mutuamente excluyentes. Plantee un modelo que maximice los rendimientos.

9).- En una delegación del D.F. dividida en 5 colonias se quieren construir dos estaciones de bomberos, para esto se han estudiado los lugares posibles en cada colonia en donde es factible realizar la construcción de las estaciones. Una de las condiciones es que se puede construir una sola estación de bomberos por colonia. Otra condición se refiere a que cada estación de bomberos pueda responder a todos los llamados que reciba de cualquiera de las 5 colonias. El objetivo es minimizar el promedio global de los tiempos de respuesta a los incendios por las dos estaciones. La siguiente tabla da el tiempo promedio de respuesta (en minutos) a un incendio desde cada lugar factible de la colonia en donde es posible construir la estación. El último renglón proporciona el pronóstico del número promedio de incendios diarios que ocurrirán en cada uno de los sectores. Estación asignada localizada en la colonia 1 2 3 4

1 5 20 15 25

Tiempos de respuesta incendios en la colonia 2 3 4 12 30 20 4 15 10 20 6 15 15 25 4

5 15 25 12 10 4


5 Frecuencia de emergencias (por día)

10

25

15

12

5

2

1

3

1

3

Formule un modelo completo de PEB para el problema.

10).- Problema de distribución Una empresa debe repartir las cantidades de materiales entre seis clientes ( A, B, …, F ), ver tabla de abajo. Por otro lado, existen cinco camiones que pueden utilizarse para hacer estas entregas. Con el uso de divisiones, un camión puede entregar una mezcla de cargas hasta llenar su capacidad. Sin embargo, la orden de un cliente no puede distribuirse en distintos camiones. Los camiones disponibles y sus capacidades se muestran en la tabla de la derecha. Cliente A B C D E F

Cantidad en toneladas 0.25 0.50 1.50 0.50 0.75 1.00

Cantidad en toneladas 1 2 1 2 1.5

Camión 1 2 3 4 5

Los costos asociados con cada camión que hagan la entrega al cliente se muestran en la siguiente tabla

Camión 1 2 3 4 5

Cliente A

B

C

D

E

F

17 15 18 15 16

19 18 19 16 15

21 20 22 19 20

20 18 22 18 22

20 19 21 18 19

21 23 22 20 20

Además de estos costos, existe un cargo fijo de 10 um en los camiones 1, 3 y 5 y, de 15um en los camiones 2 y 4. Se incurre en estos costos si el camión se usa. Finalmente, existe la restricción de que en el mismo camión no pueden entregarse los pedidos a los clientes A y B. Minimice los costos de transportación para la distribución de los materiales.

11).- Problema de distribución Una empresa opera dos cadenas de restaurantes (I y II) mediante franquicias en una ciudad determinada. De acuerdo con los términos del contrato, con cualquier franquicia del tipo I, los demás restaurantes tienen derechos exclusivos en un radio de 2 kilómetros a la redonda. Esto significa que cualquier sitio seleccionado para las franquicias I debe quedar, por lo menos, a 4 kilómetros de distancia. Existe un acuerdo similar en los contratos para las franquicias II, pero los derechos exclusivos están garantizados dentro de 2.5 kilómetros; es decir que los restaurantes de 5


la franquicia II deben quedar por lo menos a 5 kilómetros de distancia. Con respecto a las dos cadenas no existen restricciones. La tabla siguiente muestra las distancia entre los sitios potenciales para los restaurantes en kilómetros.

Distancias entre los sitios potenciales para los restaurantes en km a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 de 1 0 3.7 2.2 3.2 6.4 7.3 8.6 8.8 13 10.2 2 3.7 0 2.6 5.7 3.3 6.6 9.6 10.3 13.1 7.5 3 2.2 2.6 0 3.2 4.5 5.3 7.4 7.7 11.4 8.2 4 3.2 5.7 3.2 0 7.5 5.7 5.6 5.7 10.4 10.3 5 6.4 3.3 4.5 7.5 0 5.2 9.4 10.1 11.5 4.4 6 7.3 6.6 5.3 5.7 5.2 0 4.8 5.6 6.6 5.5 7 8.6 9.6 7.4 5.6 9.4 4.8 0 1.2 5.2 10.2 8 8.8 10.3 7.7 5.7 10.1 5.6 1.2 0 5.9 11.4 9 13 13.1 11.4 10.4 11.5 6.6 5.2 5.9 0 10.2 10 10.2 7.5 8.2 10.3 4.4 5.5 10.2 11.4 10.2 0 Cada uno de los 10 sitios potenciales puede constituirse como tipo I o II, pero no ambos. Se desea maximizar el rendimiento neto de la empresa. Las utilidades netas por franquicia son 1500, 1400, 2000, 3500, 2200, 2700, 2100, 2300, 2600, 2000, 2100, 2300, 2400, 2500, 2600, 2300, 3000, 3100, 3000 y 2500 respectivamente.

12).- Problema de planeación de la producción En una línea de producción se fabrican dos productos, A y B, cuyos datos se muestran en la tabla de abajo a la izquierda. El tiempo total disponible (para la producción y la puesta en marcha) cada semana es de 80 horas. La empresa no tiene inventario de producto alguno al principio de la semana 1, y no se permite que lo tenga al final de la semana 4. El costo de almacenar una unidad de una semana a la siguiente es de 4um por producto. Una unidad de demanda no satisfecha cuesta 10um para el producto A y 15um para el producto B. Los datos sobre la demanda aparecen en la tabla de abajo a la derecha Datos sobre los productos Producto Concepto A

Tiempo de arranque Tiempo de producción por unidad Costo de arranque Costo de producción por unidad Precio de venta

B

5 horas 10 horas 0.5 horas 0.75horas 200um 400um 10um 15um 20um 30um

Datos de la demanda Producto Semana 1 2 3 4

A

B

80 100 75 80

15 20 50 30

La línea se cierra cada fin de semana para realizar operaciones de limpieza. Por lo tanto, si un producto es fabricado en una semana, tendrá que pagarse el costo y tiempo de arranque del

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equipo. Sólo un tipo de producto puede fabricarse durante la semana. No puede haber producción durante el tiempo en que se pone en marcha la línea. El objetivo consiste en maximizar las utilidades obtenidas durante estas cuatro semanas, considerando que no se pueden fabricar en la misma semana (al mismo tiempo) los dos productos en la línea (programación entera mixta).

13).- Los gobernantes de una ciudad pusieron en licitación la construcción de su nuevo salón de actos, que constan de cinco partes. F-cimientos, S-estructura, P-plomería, E-eléctrica e Iinterior. El contratante del gobierno especificó que las licitaciones pueden hacerse por partes o combinaciones de partes del trabajo y que se permitirían múltiples licitaciones. Hay cinco contratistas del área, considerados confiables, en dicha ciudad 1, 2, 3, 4 y 5, y cuyos datos aparecen en la tabla de abajo. Contratista

1 2

3

4

5

Número de licitación 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 5

Partes del trabajo en licitación Sólo F F+S F+S+P P+E P+E+I Todo el trabajo Sólo P Sólo E Sólo I P+E S+P S+P+E F+S+P+E Sólo F Sólo S Sólo P Sólo E Sólo I

Monto de la licitación en miles de um 700 3,800 4,500 1,100 1,900 5,800 700 600 1,000 1,200 3,600 4,100 4,600 900 3,200 800 500 1,200

Además el contratista 5 especificó que daría un descuento de 10% de la parte de su propuesta, si recibía el contrato para realizar cuatro o más de las partes del trabajo. Los gobernantes de la ciudad tiene la tarea de asignar los contratos de manera que los costos se minimicen. Pero quieren que la formulación sea lo suficientemente general como para que se mantenga con diferentes precios de la propuesta. Por otro lado, los contratistas 1 y 2 han puesto otra restricción adicional de que ambos no pueden aceptar estar juntos.

14).- Problema de expansión de capacidad Una compañía de servicio eléctrico está planeando ampliar su capacidad de generación durante los próximos cinco años. La capacidad actual es de 800 megawatts (mw), pero de acuerdo con sus propios pronósticos de demanda, va a requerir la capacidad adicional que se muestra en la tabla de abajo a la izquierda. La compañía de servicio eléctrico podrá aumentar su capacidad de generación con la instalación de unidades generadoras de 10, 50 o 100mw. El costo de 7


instalación de un generador depende de su tamaño y del año en que entre en servicio. Los datos se muestran en la tabla de abajo a la derecha.

Año 1 2 3 4 5

Capacidad mínima mw 880 960 1050 1160 1280

Capacidad del generador mw 10 50 100

Año 1 300 670 950

2 250 558 791

3 208 465 659

4 173 387 549

5 145 322 458

Una vez que el generador entra en servicio, su capacidad está disponible para satisfacer la demanda en los años subsiguientes. Minimice el costo de poner en servicio generadores, satisfaciendo al mismo tiempo los requisitos de capacidad mínima. Sugerencia: defina variables para las cantidades respectivas de generadores de 10, 50 y 100 mw puestos en servicio para cada año y otras variables para las capacidades iniciales totales por año (note que al inicio la variable introducida vale 800mw), cuando los generadores definidos previamente hayan entrado en servicio. 15).- 12.3.1 La división de investigación y desarrollo de una compañía ha venido desarrollando cuatro líneas posibles de nuevos productos. La administración debe ahora tomar una decisión sobre cuáles de estos cuatro productos producir y a que niveles. Ha pedido al departamento de IO que formule un modelo de programación matemática para encontrar la mezcla de productos más redituable. La puesta en marcha de la producción de cualquier producto se asocia a un costo sustancial, proporcionado en el primer renglón de la tabla. El objetivo de l administración es encontrar la mezcla de productos que maximice la ganancia total (ingreso neto total menos costos fijos).

COSTO FIJO INGRESO MARGINAL

PRODUCTO 1 2 3 4 $ 50,000 $ 40,000 $ 70,000 $ 60,000 $ 70 $ 60 $ 90 $ 80

Defina las variables de decisión continuas x1, x2, x3 y x4 como los niveles de producción de los productos 1, 2, 3 y 4. Por políticas de la empresa, la gerencia ha impuesto las siguientes restricciones sobre estas variables:

1. A lo mas dos de estos productos deben producirse 2. Cualquiera de los productos 3 o 4 se puede producir solo si se produce el producto 1 o el 2 3. O bien 5x1+3x2+6x3+4x4 <=6000 o 4x1+6x2+3x3+5x4 <=6000 a) Introduzca variables binarias auxiliares para formular un modelo de PEM para este problema b) Use la computadora para resolver este modelo

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16).- 12.1.3 Una empresa de bienes raíces, Peterson & Johnson, analiza cinco proyectos de desarrollo posibles. La siguiente tabla muestra las ganancias a largo plazo estimadas (valor presente neto) que generaría cada proyecto y la inversión requerida para emprenderlo, en millones de dólares

GANANCIA ESTIMADA CAPITAL REQUERIDO

1 1 6

PROYECTO DE DESARROLLO 2 3 4 1.8 1.6 0.08 12 10 4

5 1.4 8

Los propietarios de la empresa, Dave Peterson y Ron Johnson, reunieron $20 millones de capital de inversión para estos proyectos. Ellos quieren elegir la combinación de proyectos que maximice la ganancia total estimada a largo plazo (valor presente neto) sin invertir más de $20 millones. a. Formule un modelo de PEB para este problema b. Muestre el modelo en una hoja de cálculo de Excel c. Use la computadora para resolver este modelo

17).- Se encuentra en desarrollo una nueva comunidad planeada y una de las decisiones que se deben tomar es el sitio en donde conviene localizar las dos estaciones de bomberos que se le asignaron. Para propósitos de planeación, se dividió esta comunidad en cinco sectores, con una sola estación de bomberos en un sector dado. Cada estación debe responder a todos los llamados que reciba de los sectores en la que se localiza y a la de otros que se le asignen. Entonces, las decisiones son: 1) los sectores que deben tener una estación de bomberos y 2) la asignación de cada uno de los otros sectores a una de las estaciones. El objetivo es minimizar el promedio global de los tiempos de respuesta a los incendios. La siguiente tabla da el tiempo de respuesta promedio (en minutos) a un incendio en cada sector (las columnas) si el servicio se presta desde una estación en un sector dado (los renglones). El último renglón proporciona el pronóstico de número promedio de incendios diarios que ocurrirá en cada uno de los sectores. Estación asignada localizada en el sector 1 2 3 4 5 Frecuencia de emergencias

Tiempo de respuesta Incendios en el sector 1 2 3 5 12 30 20 4 15 15 20 6 25 15 25 10 25 15 2 1 3

4 20 10 15 4 12 1

5 15 25 12 10 5 3

Formule un modelo completo de PEB para este problema. Identifique cualquier restricción que corresponda alternativas mutuamente excluyentes o a decisiones contingentes.

18).- Reconsidere el problema anterior y suponga que ahora el costo (en miles de dólares) de asignar una estación de bomberos en un sector es 200 para el sector 1, 250 para el sector, 400 9


para el sector 3, 300 para el sector 4, y 500 para el sector 5. Suponga además que sea cambiado el objetivo a: Determine qué sector debe tener una estación con el fin de minimizar el costo total de las estaciones al mismo tiempo que asegurar que cada sector tenga al menos una estación lo suficientemente cerca para o responder a un incendio en no más de 15 minutos (en promedio). Observe que al contrario del problema original, el número total de estaciones de bomberos no es fijo. Lo que es más, si un sector sin estación tiene más de una estación a 15 minutos o menos, ya no es necesario asignar este sector a solo una de las estaciones. Formule un modelo de PEB pura con 5 variables binarias, para este problema y resuelva.

19).- Suponga que un estado manda R personas a la cámara de diputados. Existen D municipios en el estado ( D  R ) y la legislatura estatal quiere agrupar estos municipios en R distritos electorales, cada uno de los cuales elegirá un diputado. La población total del estado es P y la legislatura desea formar distritos cuya población se aproxime a p  P / R . Suponga que el comité legislativo correspondiente que estudia el problema a generado una larga lista de N candidatos a ser distritos ( N  R ). Cada uno de estos candidatos contiene municipios contiguos y una población total p j ( j  1,2,..., N ) que es aceptable cercana a p. Defina c j  p j  p . Cada municipio i(i  1,2,..., D) está incluido al menos con un candidato a ser

distrito y casi en todos los casos está incluido con un gran número de candidatos (con el fin de proporcionar muchas maneras factibles de seleccionar un conjunto de R candidatos que incluyan a cada municipio exactamente una vez). Defina 1 si el municipio i se incluye con el candidato j aij    0 si no

Dados los valores de las c j y las aij , el objetivo es seleccionar R de estos N posibles distritos. tales que cada municipio esté contenido en un solo distrito y que la más grande de las c j asociadas sea lo más pequeña posible. Formule un modelo de PEB para este problema

20).- Una profesora estadounidense pasará un periodo sabático corto en la University of leeland. Ella quiere llevar en su viaje en avión todos los artículos necesarios. Después de reunir su material profesional se dio cuenta de que las reglas de línea aérea sobre el espacio y el peso de las maletas registradas limitarán severamente la cantidad de ropa que puede empacar (piensa llevar un abrigo caliente y. al llegar Islandia, comprará un suéter grueso). La ropa que quiere empacar incluye 3 faldas, 3 pantalones, 4 blusas y 3 vestidos. La profesora quiere maximizar el número de combinaciones que podrá usar en Islandia (incluyendo el vestido especial que se pondrá para el viaje). Cada vestido constituye una combinación. Otras combinaciones consisten en una blusa y una falda o un pantalón. Sin embargo, algunos de ellos juntos no se ven bien y no califican como combinación. En la siguiente tabla se marcaron con una x aquellos que forman una combinación. Blusa Suéter de Islandia 1 2 3 4 1 x x x Falda 2 x x 3 x x x x 10


Pantalón

1 x x 2 x x x x 3 x x x En la siguiente tabla se muestra el peso (en gramos) y el volumen (en centímetros cúbicos) de cada pieza de ropa. Peso Volumen 1 600 5000 Falda 2 450 3500 3 700 3000 1 600 3500 Pantalón 2 550 6000 3 500 4000 1 350 4000 Blusa 2 300 3500 3 300 3000 4 450 5000 1 600 6000 Vestido 2 700 5000 3 800 4000 Total permitido 4000 32000 Formule un modelo de PEB para elegir las piezas de ropa que debe llevar. (Sugerencia: después de usar variables de decisión binarias para representar las piezas individuales debe introducir variables binarias auxiliares para representar las combinaciones del caso. Después utilice las restricciones y la función objetivo para asegurar que estas variables auxiliares tienen los valores correctos, dados los valores de las variables de decisión.)

21).- Una línea aérea piensa comprar jets de pasajeros de tamaño grande, mediano y chico. El precio de compra será de $33.5 millones por cada avión grande, $ 25 millones por uno mediano, $ 17.5 millones por cada uno chico. El consejo directivo a autorizado un compromiso máximo de $ 750 millones para estas compras. Sin importar que aviones se compren, se espera que las distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de restaurar los costos ó de recuperación de capital) será de $ 2.1 millones para un avión grande, $ 1.5 millones si se trata de un avión mediano, $ 1.15 millones por cada avión chico. Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados como para operar 30 aviones nuevos. Si sólo se compran aviones chicos, las instalaciones de mantenimiento podrán manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 1 13 aviones chicos y cada avión grande equivale a 1 23 aviones chicos, en términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento. Esta información se obtuvo mediante un análisis preliminar del problema. Más adelante se llevará a cabo un estudio más detallado. No obstante, si se toman estos datos como una primera aproximación, la gerencia desea saber cuántos aviones de cada tipo se debe comprar con el fin de maximizar la ganancia. a) Formule un modelo de PE para este problema. 11


b) Utilice la representación binaria de las variables para reformular el modelo de PE del inicio a) como un modelo de PEB.

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22).-

Caso 12.2 ASIGNACIÓN DE ARTE

Se había vuelto un sueño convertido en realidad para Ash Briggs, un artista tenaz que vivía en el área de la bahía de San Francisco. Había hecho un recorrido a la miscelánea de la esquina un viernes para comprar algo de leche y, por un impulso, también había comprado un billete de lotería de California. Una semana después, era multimillonario. Ash no quiso despilfarrar sus ganancias en artículos materialistas triviales. En su lugar, quiso usar su dinero para apoyar su verdadera pasión: el arte. Ash conocía demasiado bien las dificultades de reconocimiento como artista en esta sociedad tecnológica postindustrial donde es rara la apreciación artística y el apoyo financiero todavía más raro. Por ello decidió usar el dinero para financiar una exhibición de artistas modernos incipientes en el museo de arte moderno de San Francisco. Ash se acercó a los directores del museo con su idea y éstos se entusiasmaron de inmediato después que les informó que financiaría la exhibición completa aparte de donar $1 millón al museo. Celeste McKenzie, una directora del museo, fue asignada para trabajar con Ash en la planeación de la exhibición. La exhibición estaba planeada para abrirse en un año a partir del día en que Ash se reunió con los directores y las piezas de exhibición permanecerían por dos meses de exhibición. Ash comenzó el proyecto peinando la comunidad de arte moderno en busca de artistas y obras potenciales. Presentó a Celeste una lista (ver página siguiente) de artistas, sus obras y el precio de exhibir cada una (el precio de exposición incluye el costo de pagarle a los artistas por prestar la obra al museo, transportarla a San Francisco, construir el exhibidor para la pieza, asegurarla mientras está en exhibición y transportarla de regreso a su origen). Ash tiene ciertos requisitos para la exhibición. Cree que la mayoría de los estadounidenses carecen de conocimientos adecuados de arte y estilos artísticos y quiere exhibir para educarlos. Ash quiere que los visitantes se percaten del collage como una forma artística, pero cree que requieren de poco talento. Por ello decide incluir uno sólo. Adicionalmente, Ash quiere que los espectadores comparen las líneas delicadas en una escultura tridimensional de malla de alambre con líneas delicadas en un dibujo bidimensional generado en una computadora. Por ello, quiere desplegada al menos una escultura de malla de alambre, si se exhibe un dibujo generado en computadora. De manera alternativa, quiere al menos un dibujo generado en computadora si se despliega una escultura de malla de alambre. Más aún, Ash quiere exponer a los espectadores a todos los estilos de pintura, pero quiere limitar el número de pinturas desplegadas para lograr un equilibrio en la exhibición entre pinturas y otras formas de arte. Por ello decide incluir al menos una pintura fotorrealista, al menos una pintura cubista y al menos una pintura expresionista, al menos una acuarela y al menos un óleo. Al mismo tiempo, quiere que el número de pinturas no sea mayor al doble de otras formas artísticas. Ash quiere todas sus pinturas particulares sean incluidas en la exhibición puesto que la está patrocinando y porque celebran el área de la bahía de San Francisco, sede de la exhibición. Ash tiene sesgos a favor y en contra de algunos artistas. Mantiene actualmente un tórrido romance con Candy Tate y quiere que se exhiban sus dos pinturas. Ash cuenta a David Lyman y

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a Rick Rawls como sus mejores amigos y no quiere hacer favoritismo entre estos dos artistas. Por ello decide exhibir el mayor número de piezas de David Lyman y de Rick Rawls y exhibir al menos una pieza de cada uno de ellos. Aunque Ziggy Lite es muy popular en círculos artísticos, Ash cree que Ziggy hace una burla del arte. Ash por consiguiente aceptará sólo una obra de Ziggy, para la exposición, si se tiene y ninguna más. Celeste también tiene su propia agenda para la exposición. Como directora del museo está interesada en representar a una población de artistas diversa, atractiva para un auditorio amplio y crear una exhibición políticamente correcta. Para promover el feminismo decide incluir al menos una pieza de una artista mujer por cada dos piezas incluidas de artistas hombres. Para promover el ambientalismo, decide incluir ya sea una o las dos obras “Tierra envejecida” y ‘Recursos desperdiciados”. Para fomentar los derechos de los americanos indígenas, decide incluir al menos una pieza de Bear Canton. Para fomentar la ciencia decide incluir al menos una de las siguientes piezas: “Reina el caos”, “Quién tiene el control”, “Más allá” y “Pioneros”. Celeste también comprende que el espacio del museo es limitado. Este sólo cuenta con suficiente espacio de piso para cuatro esculturas y suficiente espacio de pared para 20 pinturas, collages y dibujos. Por último, Celeste decide que si se incluye “Narcisismo”, también debe exhibirse “Reflexión”, puesto que la reflexión también sugiere narcisismo. Por favor explore en forma independiente las siguientes preguntas, salvo cuando se indique lo contrario

a) Ash decide asignar $4 millones para financiar la exposición. Dadas las piezas disponibles y los requisitos específicos de Ash y Celeste, formule y resuelva un problema de programación entera binaria para maximizar el número de piezas desplegadas en la exhibición sin exceder del presupuesto. ¿Cuántas piezas se exhiben? ¿Qué piezas se exhiben? b) Para asegurar que la exhibición atraiga la atención del público, Celeste decide que debe incluir al menos 20 piezas. Formule resuelva un problema de programación entera binaria para minimizar el costo de la exhibición y al mismo tiempo exponer al menos 20 piezas y cumplir los requisitos impuestos por Ash y Celeste. ¿Cuánto cuesta la exhibición? ¿Qué piezas se exhiben? c) Un patrono influyente del trabajo de Rita Losky, quien encabeza el consejo de administración del museo, se entera de Celeste requiere al menos 20 piezas para la exhibición. Ofrece pagar la cantidad mínima requerida además de los $4 millones de Ash para asegurar que se exhiban exactamente 20 piezas la exposición y que se muestren todas las piezas de Rita. ¿Cuánto tiene que pagar el patrono? ¿Qué piezas se exhiben?

14


Artista Colin Zweibell CZ Rita Losky RL Norm Marson NM Candy Tate CT Robert Bayer RB David Lyman DL Angie Oldman AO Rick Rawls RR Bill Reynolds BR Bear Canton BC

Pieza (1) “Perfección” (2) “Carga” (3) “El gran igualador” (1)“Reina el caos” (2) “Quién tiene el control” (3) “Domesticación (4) “Inocencia” (1) “Tierra envejecida” (2) “Recursos desperdiciados” (1) “Serenidad” (2) “Calma antes de la tormenta” (1) “Vacío” (2) “Sol” (1) “Ventana de la tienda” (2) “Harley” (1)“Consumismo” (2) “Reflexión” (3) “Victoria troyana (1) “Rick” (2) “Rick II” (3) “Rick III” (1) “Más allá” (2) “Pioneros” (1) “Sabiduría”

(2) “Poderes superiores” (3) “Tierra viviente” (1) “Estudio de un

Helen Row HR Ziggy Lite ZL Ash Briggs AB

violín” (2) “Estudio de un frutero” (1) “Mi tocayo” (2) “Narcisismo” (1) “Todo cuanto brilla” (2) “La roca” (3) “Camino curvo” (4) “Sueños vueltos realidad”

Descripción de la pieza Escultura de malla de alambre de un cuerpo humano Escultura de malla de alambre de una mula Escultura de malla de alambre de un rifle Una serie de dibujos generados por computadora Un dibujo generado por computadora entremezclado con líneas de código de computadora Dibujo de pluma y tinta de una casa Dibujo de pluma y tinta de un niño Escultura de basura que cubre un gran globo

Precio $300 000

250 000 125 000 400 000 500 000 400 000 550 000 700 000

Collage de varios materiales de empaque

575 000

Pintura de acuarela toda en azul Pintura con un fondo de acuarela en azul y un cetro de acuarela negra Óleo todo en negro Óleo todo en amarillo

200 000

Pintura fotorrealista de una ventana de exhibición de una joyería

850 000

Pintura fotorrealista de una motocicleta Harley-Davidson Collage de anuncios de revistas Un espejo (considerado una escultura) Escultura de madera de un condón Autorretrato fotorrealista (pintura) Autorretrato cubista (pintura) Autorretrato expresionista (pintura) Óleo de ciencia ficción que describe la colonización de Marte Óleo de tres astronautas a bordo del trasbordador espacial Dibujo a pluma y tinta de un cacique indio Dibujo a pluma y tinta de una danza de ha lluvia tradicional indígena americana Óleo del Gran Cañón

750 000 400 000 175 000 450 000 500 000 500 000 500 000 650 000 650 000 250 000

Pintura cubista de un violín

400 000

Pintura cubista de un frutero

400 000

Collage de caricaturas de Ziggy Collage de fotografías de Ziggy Lite Pintura en acuarela del Golden Gate Bridge Pintura en acuarela de Alcatraz Pintura en acuarela de Lombard Street

300 000 300 000 50 000* 50 000 50 000

Pintura en acuarela del museo de arte moderno de San Francisco

225 000 150 000 150 000

350 000 450 000

50 000

* Ash no requiere compensación personal y el costo de transportar sus piezas al museo desde su casa en San Francisco es mínimo. Por ello, el costo de exhibir sus piezas incluye el costo de construir el exhibidor y asegurar las piezas.

15


Optimización de la planeación de admisión de pacientes en un hospital Objetivos En el trabajo se buscará la forma de optimizar la carga de pacientes y utilización de los recursos de un hospital para el caso concreto de la especialidad en ortopedia.

I. Introducción

En el presente trabajo se muestra la solución de un problema de programación entera en donde se quiere optimizar la planeación de la admisión de pacientes a un hospital, para tal efecto se tiene que los pacientes pueden ingresar en un hospital de tres maneras:

como un enfermo ambulatorio como un paciente de urgencia y como un derecho habiente. Por otro lado, pueden distinguirse las admisiones de un derecho-habiente en dos tipos: programado y no programado. 





En general la planeación de las admisiones de los pacientes a un hospital es demasiado complicada, simplemente en el caso de los derecho-habientes se da una lista de espera o se da una cita para una fecha de admisión, pero aún con ellos pueden ocurrir, admisiones de urgencias con pacientes de gravedad que se admiten inmediatamente, como consecuencia de una decisión médica dada por un especialista. Condiciones que complican considerablemente la programación en la admisión de los pacientes, razón por la cual en este trabajo nosotros nos concentraremos sólo en las admisiones programadas del derecho habiente. La planeación de admisiones decide el número de pacientes aceptados para una especialidad cada día. Dentro de una especialidad pueden distinguirse diferentes categorías de pacientes dependiendo de los recursos. Los tipos de recursos requerido para una admisión puede involucrar, entre otras: 

camas, la capacidad de la sala de operación (en caso de una especialidad quirúrgica),



la capacidad de enfermeras y



las camas de cuidado intensivo (IC).



Otros recursos involucrados podrían considerar secciones de diagnóstico (por ejemplo, el laboratorio de radiología), pero éstos no serán considerados en el trabajo. Por consiguiente, la mezcla de admisiones es una decisión importante para el hospital con la cual se puede manejar la carga de trabajo de la llegada de los derecho-habientes.

16


La manera actual de tratar este problema está basada en la experiencia preferida del proyectista que en un procedimiento formal. A menudo el único enfoque es la capacidad de la sala de operaciones, porque es importante que este recurso este usado a su máxima capacidad. La planeación de admisión está sujeta a la planeación de la sala de operaciones, cuando los otros recursos involucrados no son considerados. No hay ninguna herramienta actualmente, disponible para evaluar el perfil de admisión del paciente en sus consecuencias para los recursos combinados involucrados. En este trabajo nosotros consideramos el problema de la planificación siguiente: ¿Cómo puede generar un hospital un perfil de admisión de un paciente para una especialidad ? La próxima sección describe el modelo de la programación lineal entera que se ha desarrollado para este problema de la planificación. La sección penúltima discutirá la aplicación de este modelo para la ortopedia en un hospital piloto. La sección final refleja en nuestra contribución a este problema de la planificación, formulando conclusiones y recomendaciones para la investigación futura.

II. Factores relevantes del modelo

Nosotros en esta sección traducimos el problema de la planificación en un modelo matemático en la forma de un programa lineal entero (ILP). Enseguida nosotros describiremos varios factores que son pertinentes al problema de la planificación y el modelo matemático que formularemos. Los siguientes factores son fundamentales en el problema de la planificación programada de admisión de pacientes a un hospital: 1. Periodo de plan eación . Éste es el periodo de tiempo completo (típicamente varios meses

o un año) encima de que la admisión de pacientes tiene que ser planeada.

2. Cat egor ías de los paci entes . Hay normalmente una variedad amplia de pacientes

semejante que necesitan ser categorizados - aparte de una agrupación médica - para propósitos de planeación para hacer el problema de la planificación más manejable. Los pacientes están en este trabajo categorizados según su carga de trabajo para los recursos. Los pacientes en la misma categoría tienen una longitud similar de estancia y requieren en promedio la misma cantidad de enfermería y el tiempo en la sala de operaciones. . Los recursos considerados son camas, camas de IC, salas de operación y 3. Recursos personal de enfermeras. Éstos son los recursos más importantes que son influenciados directamente por la llegada de los derecho-habientes. 4. Capacidad disponi ble de los recur sos . La cama y IC la capacidad de cama están en el

número total de camas disponible a la especialidad en las alas y unidad de IC, respectivamente. La capacidad de la salas de operaciones es el tiempo operación total disponible por día. La carga de trabajo de las enfermeras es moderado en términos de un sistema del punto que permite diferenciar los requisitos de enfermeras por paciente en la fase de la admisión; puede traducirse la capacidad de la enfermera en términos de jornadas equivalentes completas en el número de puntos que están disponible por día. Típicamente, la disponibilidad de recursos varía encima del periodo de la planificación, y las capacidades se asignarán en un cíclico (por ejemplo, semanalmente).

17


5. Planeación del cicl o . Puesto que las capacidades se asignan cíclicamente, es natural

también considerar modelos de admisión cíclicos. En una mano, la longitud del ciclo no debe ser demasiado corta, porque entonces los pacientes con una ocurrencia de admisión baja no pueden ser incluidos por el ciclo de admisión. Por otro lado, a lo largo de longitud del ciclo produce un problema de la planificación que es computacionalmente demasiado grande. En la práctica, la longitud del ciclo (es decir la frecuencia en la que las sesiones son organizadas) típicamente varía de una semana a cuatro semanas.

6. Perf il de admisión . El perfil de admisión describe el flujo de pacientes, es decir el

número y mezcla de pacientes que se admitieron en cada día dentro del ciclo de la planificación.

. El número designado de pacientes que deben 7. El paciente designado a hospital izarse admitirse dentro del ciclo de la planificación. Por supuesto, este número puede deducirse fácilmente del número designado de los pacientes para el periodo de la planificación.

8. Designación de los recursos util izados . Ésta es la utilización deseada (o proporción de

ocupación) de los recursos en cada día de la planeación cíclica.

9. Restr icciones en perfiles de admisión . Un perfil de admisión que comprende que la

hospitalización designada y utilización del recurso todavía pueden ser inaceptables para la especialidad por varios razones. Estas razones incluyen:





la especialidad puede querer arreglar el número de pacientes de una categoría específica admitiendo en un día específico por el ciclo de admisión. el número de pacientes de una cierta combinación de categorías que pueden ser alimentadas en un sólo día está limitado.

Estas opciones se tratarán como restricciones adicionales para los perfiles de admisión. Esto completa la descripción de los factores pertinentes. Claramente, la variable de decisión importante es el perfil de admisión.

III. Modelo matemático

En esta subsección nosotros traducimos el problema de la planificación en un modelo matemático. Sea T denota la longitud (en días) de la planeación cíclica, y M denota el número de categorías de pacientes. Los pacientes se categorizan según su carga de trabajo para los recursos. Para describir la carga de trabajos de pacientes de la categoría i, i  1,, M , nosotros introducimos las variables siguientes: bi  el número de días que un paciente de la categoría i se queda en el hospital y hay

necesidades de cama; pi 

el número de días del pre-operatorio para un paciente de categoría i;

ci  el número de días que un paciente de la categoría i necesita una cama de IC; oi  el tiempo del funcionamiento (en minutos) para un paciente de la categoría i;

18

Investigación de Operaciones nit 

la carga de trabajo de la enfermera (en puntos) para un paciente de la categoría i en el día t de su estancia en el hospital, donde t corre de 1 a bi .

En cada día de su estancia en el hospital las necesidades de un paciente es una enfermera de cama en el ala. Aquí nosotros asumimos que una enfermera de cama también es reservada mientras el paciente está en la unidad de IC. Típicamente, la carga de trabajo de la enfermera es alta en el día de funcionamiento, después disminuye gradualmente. Las variables de la carga de trabajo se ilustran en la Tabla 1. Finalmente, la hospitalización designado de categoría del paciente i durante la planificación cíclica es denotado a través de THR i.

Tabla 1 Número de admisiones por categoría en sem 12 y promedio semanal Categorías de pacientes Mix de pacientes sem 12 Mix de pacientes promedio 1 14 13 2 2 1 3 0 1 4 1 2 5 0 1 6 0 1 7 1 2 8 3 1 9 2 2 10 1 1 11 2 1 Totales

26

26

Es conveniente numerar los recursos y las salas de operación, enfermeras, camas y camas de IC, de 1 a 4. Para el recurso r , r = 1,... 4, nosotros introducimos las cantidades siguientes: C rt 

U rt 

la capacidad disponible de recurso r en día t de la planeación cíclica; la utilización designado de recurso r en día t de la planeación cíclica.

Las variables de decisión importantes en el problema de la planificación son el número y mezcla de pacientes admitidas en cada día de la planeación cíclica. Si X it denota el número de pacientes de categoría i admitido en el día t de la planeación cíclica. Claramente, X it es un entero no-negativo. Así, X it  0, 1, 2, , i  1,, M , t  1,, T ,

y ellos deben satisfacer la hospitalización del paciente designado, es decir:

19

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González T

 X

it

 THRi , i  1,, M .

t 1

Nosotros queremos ahora encontrar los valores para X it , con los cuales la desviación absoluta de la realización designada de los recursos sea minimizada. Para este problema nosotros introducimos las variables auxiliares V rtk las cuales satisfacen: V rtk  0 , r  1, 2, 3, 4 , t  1,, T , k  1, 2

Formulando las restricciones lineales, forzando éstas a ser iguales a la desviación absoluta de las realizaciones y objetivos utilizados. Debajo de nosotros primero explicamos esto para el recurso 1, es decir la sala de operación. Desde los pacientes de categoría i son operados después de ser pi días en el hospital, la utilización de la sala de operación en día t es igual a: M

 o X  i

i 1

it pi

.

Aquí nosotros adoptamos la convención de que el subíndice t en X it debe leerse módulo T (para que, ej. X iT 1  X i1 ). Entonces, si nosotros requerimos que: M

 o X  i

it pi

 U 1t  V 1t 1 , t  1,, T

(1)

 U 1t  V 1t 2 , t  1,, T

(2)

i 1

M

 o X  i

it pi

i 1

y minimizamos la suma: T

 (V

1t 1

 V 1t 2 ) ,

t 1

entonces se verifica que el mínimo se realiza para:  M  V 1t 1  max   oi X it  pi  U 1t ,0   i 1  M   V 1t 2  max U 1t   oi X it  pi ,0  i 1  

De hecho, para que V 1t 1  V 1t 2 sean iguales a la desviación absoluta de la realización utilización de la sala designada de operación en el día t de la planeación cíclica. Para los otros recursos nosotros formulamos las restricciones similares a las ecuaciones (1) y (2). Es decir, para la enfermera, enfermera de cama y de IC nosotros obtenemos lo siguiente:

20

Investigación de Operaciones M bi

 nid X it d 1  U 2t  V 2t 1 ,

t  1, , T ,

i 1 d 1 M bi

 nid X it d 1  U 2t  V 2t 2 ,

t  1, , T ,

i 1 d 1 M bi

 X it d 1  U 3t  V 3t 1 ,

t  1, , T ,

i 1 d 1 M bi

 X it d 1  U 3t  V 3t 2 ,

t  1, , T ,

i 1 d 1 M ci

 X it  p d 1  U 4t  V 4t 1 , i 1 d 1

i

t  1, , T ,

M ci

 X it  p d 1  U 4t  V 4t 2 , i 1 d 1

i

t  1, , T ,

La utilización comprendida de los recursos puede, por supuesto, no exceder la capacidad disponible. Así, U rt  V rt 1  C rt , r  1, 2, 3, 4 , t  1,, T .

Entonces, minimizando la desviación absoluta de la realización y objetivos utilizados de los recursos sobre la minimización de la suma: 4

T

  (V wr

r 1

1t 1

 V 1t 2 ) .

t 1

En esta suma, la desviación absoluta de la utilización de los recursos r es el peso con coeficiente wr definida como: wr 

a r T

.

U rt t 1

en donde ar es el mismo número no-negativo. Los coeficientes wr son introducidos (i) para hacer la suma menos dimensional (es decir, independiente de las unidades usadas) y (ii) para controlar la importancia relativa de los recursos (por medio de ar ).

Finalmente, nosotros tenemos que tener en cuenta las restricciones en perfiles de admisión mencionadas en la sección anterior. La primera restricción es justamente el medio que nosotros arreglamos con las variables X it a los valores prescritos. Para la segunda restricción nosotros introducimos B que indica el número del máximo de pacientes de las categorías i  S eso puede una enfermera o un sólo día, donde S es un subconjunto de {1,..., M }. Entonces, la segunda restricción se transforma a:

21

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González bi

X     

it d 1

 B , t  1,, T .

i S d 1

Resumiendo, nuestro problema de planeación puede formularse como el siguiente ILP: 4

min

T

  (V wr

r 1

1t 1

 V 1t 2 ) .

t 1

Sujeta a: T

 X it  THRi ,

i  1,, M

t 1 M

U 1t  V 1t 2   oi X it  pi  U 1t  V 1t 1 , t  1,, T , i 1

M bi

U 2t  V 2t 2   nid X it d 1  U 2t  V 2t 1 , t  1,, T , i 1 d 1 M bi

U 3t  V 3t 2   X it d 1  U 3t  V 3t 1 , t  1,, T , i 1 d 1 M ci

U 4t  V 4t 2   X it  pi d 1  U 4t  V 4t 2 , t  1,, T ,

(4)

i 1 d 1

bi

 X it d 1  B,

t  1,, T ,

iS d 1

U rt  V rt 1  C rt ,

r  1,,4 t  1,, T ,

V rt 1 , V rt 2  0, r  1,,4 t  1,, T , X it  0, 1, 2,, i  1,, M t  1,, T ,

IV. Aplicación

El modelo anterior se aplica en forma reducida a la especialidad de ortopedia en un conjunto de hospitales generales. En un trabajo separado se ilustra el proceso de aplicar al modelo para este problema de la planificación y el contexto directivo. Aquí, se ilustrará el funcionamiento correcto del modelo, y finalmente se discuten los resultados de la aplicación del modelo a la ortopedia. En esta sección la entrada del modelo se discutirá y se usarán datos de ortopedia en un hospital general mediano con 450 camas y cuatro cirujanos ortopédicos. L a ll egada del paci ente y hospit ali zación . Para el estudio se usan los datos de 1998 en

donde se admitieron aproximadamente 760 derecho-habientes y 700 día-casos. De los cuales aproximadamente se admitieron 20 por ciento de los derecho-habientes como emergencias. Los días-casos siempre son admisiones electivas. La longitud media de estancia de los derecho habientes (día-casos exclusivos) fue 12.4 días. En total 11 categorías de pacientes son distinguidas en el flujo de la ortopedia; estas categorías eran significantes para las admisiones que planean en la sección y los cirujanos ortopédicos, pero también tienen requisitos de los diferentes recursos.

22


Basados en las admisiones reales por semana, se usara el flujo de la semana 12 en 1998 como un modelo del flujo representativo, pero también usa un flujo promedio, basado en el rendimiento anual. La Tabla II proporciona información sobre el número de admisiones por la categoría de pacientes en la semana de la muestra y el promedio semanal. Categorías de pacientes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total

Mix de pacientes sem 12 14 2 0 1 0 0 1 3 2 1 2 26

Mix de Pacientes promedio 13 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 26

Tabla II. Número de admisiones por categoría de pacientes pacientes en la muestra semana y promedio por semana

. Las categorías de pacientes pueden caracterizarse en varios rasgos, Demanda requeri da

como longitud de estancia, la carga de trabajo de las enfermeras, día y duración de la operación, y uso de IC-camas. Estos rasgos se dan en Tabla III. El perfil de carga de trabajo de las enfermeras se expresa en el número de días con carga de trabajo de Z hospitalizaciones (cinco puntos), número de días con carga de trabajo de M hospitalizaciones (dos puntos) y número de días con carga de trabajo de L (1 punto). Por ejemplo, se expresarían las cargas de trabajo en la Tabla III como L2 Z 2 M 2 L3. Los puntos de la carga de trabajo se refieren a la cantidad de trabajo de la enfermera hecho para una categoría de paciente, basado por ejemplo en el Sistema de San Joaquín. Día de funcionamiento = 1 implica que el paciente se opera en el día de admisión. Se cuentan días de IC del día de funcionamiento como punto de la referencia. Tabla III. Características de pacientes por categoría Categorías de pacientes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo de estancia (días) 1 1 2 3 4 5 9 14 18 24 29

Carga de trabajo en enfermería L1 M1 M1L1 M2L1 M2L2 M3L2 Z4M4L1 Z6M6L2 Z6M8L4 Z24 Z29

Día de operación 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

Duración de la operación (minutos) 20 30 38 40 50 46 77 70 80 120 92

Días de cuidados intensivos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Recur sos disponibl es . La ortopedia tiene 28 camas asignadas en su área, incluso las camas

para la corta-estancia y día-cirugía. Los cuatro cirujanos ortopédicos tienen cada día sesiones en

23


la sala de operaciones, en total seis horas al día. Hay aproximadamente 12 enfermeras con equivalentes jornadas completa disponible para el ala, pero alimentando capacidad se expresa en términos de puntos de la lactancia. El miércoles una IC-cama es reservada para las admisiones electivas de categoría 10. Tabla IV resumen los recursos disponibles para la ortopedia. Como uno puede ver, la disponibilidad de recursos es menos durante el fin de semana. En dicho tiempo no hay capacidad de la sala de operaciones disponible y ninguna IC-cama. Tabla IV. Disponibilidad de productos para ortopedia Día de la Quirófano Enfermería Camas de cuidados semana (minutos) (ptos) Camas intensivos LUNES

360

80

28

0

MARTES

360

80

28

0

MIERCOLES

360

80

28

1

JUEVES

360

80

28

0

VIERNES

360

80

28

0

SABADO

0

70

20

0

DOMINGO

0

70

20

0

F actores de carga de capacidad e impor tanci a del r ecur so . Los recursos diferentes cada

uno tienen un nivel de ocupación designado que define el nivel de ocupación que refleja un carga de trabajo realista. Esto puede ser diferente durante el fin de semana. La Tabla V contiene información sobre el nivel de ocupación designado para cada tipo de recurso. Tabla V. Niveles de ocupación objetivo por tipo de recurso Número de Quirofano Enfermeria Camas Camas de cuidados día (%) (%) (%) intensivos (%) 1

85

95

90

0

2

85

95

90

0

3

85

95

90

100

4

85

95

90

0

5

85

95

90

0

6

0

95

80

0

7

0

95

80

0

Los datos antedichos exigen describir el sistema de la producción de la especialidad. La entrada extra requerida para el modelo matemático es la función de peso para la optimización, e información sobre restricciones impuestas en la planificación del problema.

24


La Tabla VI da los pesos ar que reflejaban la importancia relativa de los diferentes recursos involucrados, según los participantes en el hospital. El rango de peso usado es lo siguiente: 0 = ignore, 1 = no importante, 2 = escasamente importante, 3 = la importancia elemento, 4 = importante, 5 = muy importante. Tabla VI. Pesos (importancia) relativos por tipo de recurso

Tipo de recurso

Importancia

Quirófano

5

Enfermería

3

Camas

4

Camas CI

5

Como uno puede ver y puede usar la sala de operaciones de la IC-cama es considerado aquí como muy importante, etc. Una alternativa, el acercamiento más objetivo habría sido hacer los pesos dependientes en datos históricos, por ejemplo en la frecuencia de recursos para actuar como cuello de botella. Restricciones. En realidad muchas restricciones pueden jugar un papel que lo hará difícil de

comprender un perfil de admisión factible. Nosotros ilustraremos este rasgo del modelo con dos ejemplos de restricciones en el caso de ortopedia. La mezcla Paciente primero restricción que juega un papel en el problema de la planificación es esa optimización de la categoría 6 pacientes que tienen una longitud de estancia de cinco días y necesitan ser admitido el lunes para tenerlos descargó antes del fin de semana. Además, el número de categorías se limitan a un paciente a seis pacientes un día de lunes a viernes para evitar una concentración de pacientes de la cirugía en un día.

V. Análisis de sensibilidad Aquí se contienen los resultados producidos por el modelo, en donde se ilustra la conducta del modelo al usar la función de pesos para la importancia relativa de los diferentes recursos. Los resultados proporcionan evidencia que el modelo hace lo que de hecho debe hacer. Nosotros empezaremos con la escena actual para la función de pesos proporcionada en Tabla VI, y usamos el medio semanal de pacientes en Tabla II. Los otros parámetros son fijos según las escenas en la situación actual descrita antes. Claramente, estamos buscando un perfil de admisión semanal. El rendimiento del modelo para la escena actual se muestra en Tabla VII y Tabla VIII (perfil de admisión). Los números entre el paréntesis indican los pesos relativos usados.

25

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González Tabla VII. Resultados QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3)

CAMAS (4)

CAMAS DE CUIDADOS INTENSIVOS (5)

Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO

REAL

1

306

293

76

76

25

25

0

0

2

306

272

76

77

25

25

0

0

3

306

200

76

76

25

22

1

1

4

306

90

76

76

25

23

0

0

5

306

245

76

75

25

25

0

0

6

0

0

66

64

16

16

0

0

7

0

0

66

65

16

16

0

0

Tabla VIII. Resultados de perfil de admisión Día número

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1

3 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

5 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Como puede verse de la Tabla VII y puede utilizar la sala de operaciones muestra la menor 22,4 actuación debido a una encima de-capacidad que se hace disponible a la ortopedia. El uso de camas sigue bastante bien la línea designada y la carga de trabajo de la lactancia y el IC-uso están según las líneas designado. La cuenta de la solución 1 en la función objetiva dada por (3), es 1.561. Esta cuenta cuantifica la calidad de la solución, y por consiguiente, puede usarse para comparar soluciones diferentes. El perfil de admisión semanal sugerido por el modelo se muestra en Tabla VIII. Como puede verse de la Tabla VIII, las restricciones con respecto a las categorías pacientes 1 y 6 se ha repartido propiamente. También, la categoría que 10 pacientes se admite el martes para estar en necesidad de una IC-cama el miércoles. Suponga que se reducen los recursos de la sala de operaciones para encontrar un mejor encaje entre la demanda para y suministro de recursos. La Tabla IX muestras los resultados en

26


caso de que se reduzcan los recursos de la sala de operaciones disponible a la ortopedia a 260 minutos un día. Teniendo en cuenta el nivel de ocupación designado de 85%, la capacidad designada se vuelve 221 minutos entonces. La Tabla IX muestras que la capacidad de la sala de operaciones es suficiente para manejar la demanda, y las líneas de ocupación siguen bastante bien a las líneas designadas. La cuenta de la función objetiva de esta solución es 0.530. Esto muestra que las desviaciones de las líneas designadas en Tabla IX son menores que las desviaciones en Tabla VII.

Tabla IX. Resultados con cambio en quirófano QUIROFANO (5)

ENFERMERIA(3)


CAMAS (4)


REAL

1

221

243

76

76

25

25

0

0

2

221

220

76

77

25

25

0

0

3

221

200

76

76

25

22

1

1

4

221

227

76

76

25

23

0

0

5

221

210

76

75

25

25

0

0

6

0

0

66

64

16

16

0

0

7

0

0

66

65

16

16

0

0

Suponga que ahora se cambia la función de peso dando a la capacidad de la sala de operaciones un peso del máximo de 5 y los otros recursos un peso mínimo de 1. La Tabla X muestra los resultados de este cambio en el parámetro que pone la función de peso. Como puede verse de la Tabla X, la capacidad de la sala de operaciones ha mejorado (suma más pequeña de diferencias) y el uso de camas y carga de trabajo han empeorado ligeramente; el uso de las ICcamas está inalterado. Aunque los cambios son pequeños comparé los resultados en la Tabla IX, la dirección de los cambios sigue la escena de los pesos. Tabla X. Resultados con importancia máxima en quirófano QUIROFANO (5) ENFERMERIA(1)

CAMAS (1)



REAL

1

221

206

76

69

25

21

0

0

2

221

222

76

76

25

25

0

0

3

221

220

76

79

25

24

1

1

4

221

232

76

80

25

24

0

0

5

221

220

76

78

25

25

0

0

6

0

0

66

65

16

16

0

0

7

0

0

66

62

16

17

0

0

27


VI. Resultados

Enfocando en la contribución del modelo matemático al problema de la planificación de ortopedia, se ilustra esto con rendimiento del modelo para las situaciones siguientes: 



¿Qué si nosotros usamos el programa de semana 12, la semana de la muestra, en combinación de la mezcla Paciente con las escenas originales? ¿Cuál es una disponibilidad adecuada de recursos por el medio programa de la semana?

Primeramente se ha evaluado la viabilidad del programa de la semana 12 (vea Tabla II). El número total de pacientes es igual que para el medio programa de la semana pero hay una substitución hacia categorías de pacientes que requieren más recursos (categorías 8 y 11). Usando al modelo para este flujo de resultados de los pacientes en ningún perfil de admisión factible se encontraron dentro de las restricciones definidas para el problema de la planificación. Observando la Tabla VII, uno puede concluir que el programa de semana 12, aunque el número de pacientes es adecuado, tiene una mezcla de pacientes que no encajan dentro de las restricciones de capacidad para la ortopedia. Probablemente, los cirujanos ortopédicos han considerado sólo la capacidad de la sala de operación, al decidir el programa de la semana, y no la cama. ¿Suponga ahora que usamos el medio programa de la semana como en la Tabla II, entonces cuántos recursos se necesitarán para encajar la demanda de recursos adecuadamente?. Reduciendo la capacidad de la cama durante la semana a 27 camas, nosotros llegamos a los resultados mostrados en Tabla XI.

Tabla XI. Resultados con reubicación de recursos QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3)

CAMAS (4)


Dia OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO

REAL

1

221

216

76

77

24

24

0

0

2

221

227

76

75

24

23

0

0

3

221

220

76

77

24

24

1

1

4

221

217

76

79

24

24

0

0

5

221

220

76

74

24

24

0

0

6

0

0

66

66

16

17

0

0

7

0

0

66

61

16

16

0

0

Hay respuestas diferentes claramente, posible a la pregunta puesta adelante acerca de la cantidad de recursos que encajarían adecuadamente a la demanda requerida para el medio programa de la semana, pero la solución presentó muestra resultados buenos. La función objetiva produce una cuenta de 0.206. Éste es mejor resultado comparado con la Tabla IX con una función objetivo de 0.530.

28


Ahora considerando un cambio de nivel durante el fin de semana. Suponga que aumentamos la capacidad de la sala de operación al principio de la semana, disminuimos la capacidad de la sala de operación al final de la semana, y también hacemos algunos cambios a los recursos de la cama disponible al final de la semana. Como se muestra en la Tabla XII. Tabla XII. Resultados con variación en reubicación de capacidad por día QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3)

CAMAS (4)


Dia OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO

REAL

1

238

238

76

73

24

23

0

0

2

238

235

76

77

24

25

0

0

3

222

217

76

76

24

23

1

1

4

204

200

76

77

22

22

0

0

5

204

210

76

73

22

22

0

0

6

0

0

66

66

18

19

0

0

7

0

0

66

67

18

18

0

0

Como puede verse de la Tabla XII, asignando recursos de la sala de operaciones y recursos de la cama al principio de la semana pero aumentando el número de camas disponible durante el fin de semana, parece que se consigue un mejor encaje entre la demanda y suministro. La cuenta de la función objetiva es 0.235 y muestra, sin embargo, que esta solución es ligeramente más pequeña que la obtenida en la Tabla XI. Cuando ambas cuentas son iguale que casi uno podría decir que ambas soluciones están produciendo una actuación similar. La cantidad de recursos usados en Tabla que XII son similares a los de la Tabla XI. La cantidad capacidad de la sala de operaciones es casi el mismo, la capacidad de la enfermería es mejor y el número de camas en uso muestra un ligero aumento.

VII. Conclusiones Basado en los resultados descritos en la sección anterior, nosotros podemos concluir que el modelo puede generar un perfil de admisión bueno por la categoría. Con un perfil de admisión bueno nosotros queremos decir un perfil que produce una desviación pequeña entre los comprendidos y la utilización del recurso designado, mientras la capacidad disponible total de los recursos diferentes no se excede, la llegada de pacientes designados y las restricciones dadas no se violan. Nosotros también demostramos que el modelo puede ser acostumbrado a poner a punto el nivel de disponibilidad de recursos a la demanda. Una limitación sería del trabajo es que excluye el flujo de emergencia. Modelo con esta limitación es, por consiguiente, más a favor para una especialidad con un porcentaje bajo de emergencias (ortopedia) que para una especialidad con un porcentaje alto de emergencia (cirugía general).

29

Programación lineal entera

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