discretos Tema 3. Opt Optimiz imizaci aci´ ´ on de modelos on Print document In order to print this document from Scribd, you'll first need to it. programaci´ odownload on n entera son una extensi´ on on
Los modelos de de los modelos lineales en los que algunas variables toman valores enteros enteros.. Cancel
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Con frecuencia las variables enteras s´ olo toman valores en 0-1, ya que olo este tipo de variables permiten representar condiciones l´ ogicas. ogicas. Este tipo de modelos p permite ermite representar sistemas mucho m´ as compleas jos.. jos A cambio, la resoluci´ la resoluci´ on de los mismos se complica excesivamente. No se on puede utilizar la suavidad de las funciones para inferir el comportamiento de las mismas cerca del ´ optimo. optimo. Problemas con unas solas decenas de variables pueden ser casi imposibles de resolver.
discretos Tema 3. Opt Optimiz imizaci aci´ ´ on de modelos on Print document In order to print this document from Scribd, you'll first need to it. programaci´ odownload on n entera son una extensi´ on on
Los modelos de de los modelos lineales en los que algunas variables toman valores enteros enteros.. Cancel
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Con frecuencia las variables enteras s´ olo toman valores en 0-1, ya que olo este tipo de variables permiten representar condiciones l´ ogicas. ogicas. Este tipo de modelos p permite ermite representar sistemas mucho m´ as compleas jos.. jos A cambio, la resoluci´ la resoluci´ on de los mismos se complica excesivamente. No se on puede utilizar la suavidad de las funciones para inferir el comportamiento de las mismas cerca del ´ optimo. optimo. Problemas con unas solas decenas de variables pueden ser casi imposibles de resolver.
Programaci´ onPrint on Lineal Entera document m´ın
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Ax
≤b
Download And Print ≥ 0 Cancel xi entera para i ∈ I ⊆ { 1, . . . , n}
x
Si
I = {1, . . . , n} ⇒ Programaci´ on Lineal Entera Pura. on Pura .
Si
= {1, . . . , n} ⇒ Programaci´ on Lineal Entera Mixta. on Mixta . I
Si xi
∈ {0, 1}, ∀ i ∈ I ⇒ Programaci´ on Binaria o 0–1. on 0–1.
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3.2 Notas sobre la resoluci´ on on
on Ideas sobre las t´ e cnicas de resoluci´ Print document
Los m´ etodos m´ as
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del problema.
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La relajaci´ on de un problema de programaci´ on lineal entera permite obtener cotas para el valor de la funci´ on objetivo. Estas cotas juegan un papel fundamental dentro de algunos de los m´ etodos de resoluci´ on de problemas de programaci´ on entera. La idea es sustituir el problema entero original por un problema m´ as sencillo, que pueda ser resuelto m´ as f´ acilmente y, por tanto, que pueda ser utilizado para obtener cotas. La m´ as usada es la relajaci´ on lineal que consiste en eliminar la condici´ on de que las variables tomen valores enteros.
El redondeo: Print ejemplo document Consid´ eremos el
In order to print this document from Scribd, you'll first needproblema to download it. de programaci´ siguiente on
lineal entera
z = m´ ınx1 −Download 11x2 And Print Cancel
− 3x1 + 20x2 ≤ 70 10x1 + 10x2 ≤ 205 x1, x2 ≥ 0 y enteras
La regi´ on factible de la relajaci´ on lineal del modelo es: ( 340 ) , 263 23 46
Soluci´ on ´ optima sin considerar las condiciones de integralidad: x1 = 14,7826, x2 = 5,7174 y z = −48,19
El redondeo: Print ejemplo document
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( 340 ) , 263 23 46
Download And Print (14, 5)(15, 5)
Posibles redondeos: x1 = 14 y x2 = 6: no verifica la primera restricci´ on. x1 = 14 y x2 = 5: es factible y z = −41. x1 = 15 y x2 = 6: no verifica ninguna restricci´ on. x1 = 15 y x2 = 5: es factible y z = −40.
El redondeo: Print ejemplo document
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( 340 ) , 263 23 46
(14, 6)(15, 6) Cancel
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(14, 5)(15, 5)
La soluci´ on ´ optima es x1 = 10 y x2 = 5, con y z = −45
Resoluci´ on Los m´ etodos m´ as
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1. M´ etodos enumerativos: consisten en enumerar de forma impl´ıcita las soluciones y mediante test o cotas para la funci´ on objetivo, descartarlas antes de conocerlas expl´ıcitamente. Si la regi´ on es acotada, el n´ umero de soluciones es finito.
2. M´ etodos de Planos de Corte: se introducen nuevas restricciones al problema relajado, hasta lograr que la soluci´ on ´ optima del nuevo problema sea entera. Se eliminan algunas soluciones continuas sin eliminar ninguna soluci´ on entera.
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3.3 Modelos b´ asicos Problema de la mochila
Problema de Print la mochila document Se dispone de
In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. una mochila. n objetos para llenar Cancel
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El objeto j tiene un peso p j y tiene una utilidad (valor) c j . La mochila admite un peso m´ aximo de b. El problema consiste en decidir qu´ e objetos se introducen en la mochila de forma que se maximice la utilidad de los objetos seleccionados. Variables:
1 x j = 0
si el objeto j es seleccionado, en otro caso.
∀ j = 1, . . . , n
Problema de Print la mochila document Restricciones:
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L´ımite de peso de la mochila:
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n
p j x j ≤ b
j =1
Condici´ on de variables binarias: x j ∈ {0, 1}
Funci´ on objetivo: m´ ax
n
∀ j = 1, . . . , n
c j x j
j =1
Se pueden considerar variantes en las que se incluya tambi´ en el volumen, etc., o la posibilidad de que haya m´ as de una unidad de cada objeto. En este u ´ltimo caso, las variables ser´ıan x j igual al n´ umero de unidades del objeto j seleccionadas.
Problema de Print la mochila. Ejemplo document In order to print this document from Scribd, you'll first needcargar to download mercanc´ it. desean ıas de
En un cami´ on se 5 tipos diferentes en cuanto a su peso, valor y volumen, seg´ un se especifica en la siguiente Cancel Download And Print tabla: Mercanc´ıa Tipo 1 2 3 4 5
Peso 5 8 3 2 7
Volumen Valor 1 4 8 7 6 6 5 5 4 4
En el citado cami´ on s´ olo se admite un peso m´ aximo de 112 y un volumen m´ aximo de 109. ¿Cu´ antos productos de cada tipo debe llevar para maximizar el valor de la carga?
Problema de Print la mochila. Ejemplo document Variables
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x j , n´ umero de objetos del tipo j seleccionados, j = 1, . . . , 5.
Modelo m´ ax 4x1 + 7x2 + 6x3 + 5x4 + 4x5 5x1 + 8x2 + 3x3 + 2x4 + 7x5 ≤ 112 1x1 + 8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x5 ≤ 109 x1, x2, x3 , x4, x5 ∈
Z
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3.3 Modelos b´ asicos Problema de transporte
Problema de Print transporte document
In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. nace de situaciones del transporte
El problema cl´ asico en las que se debe determinar un esquema ´ optimo de transporte, desde unos or´ıgenes Cancel Download And Print a unos destinos, que debe satisfacer los siguientes requisitos:
a) En los or´ıgenes existen cantidades fijas de un determinado bien; ´ ste bien es enviado a los destinos, que demandan cantidades fijas b) E del mismo. c) La funci´ on objetivo es lineal, y el coste (beneficio) de cada env´ıo es proporcional a la cantidad transportada, siendo el coste (beneficio) total la suma de los costes (beneficios) individuales. d) La suma de las cantidades que se ofertan debe ser igual a la suma de las cantidades que se demandan.
Problema de Print transporte document Se disponen de
In order to print this document from Scribd, you'll first needy to download it. m fabricas n almacenes. Cancel
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La f´ abrica i produce un total de ai unidades de un cierto producto. El almac´ en j requiere un total de b j unidades. El coste de transportar una unidad de la f´ abrica i al almac´ en j es cij . El objetivo es determinar qu´ e cantidad de producto se transporta de cada f´ abrica a cada almac´ en de manera que los costes de transporte sean m´ınimos.
Problema de Print transporte: modelo document
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Variables: xij , n´ umero de unidades transportadas de la f´ abrica i al almac´ en j , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Cancel
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Restricciones: •
Cada f´ abrica sirve toda su oferta:
n
xij = ai ,
∀i = 1, . . . , m .
j =1
•
Cada almac´ en satisface su demanda:
m
xij = b j ,
∀ j = 1, . . . , n .
i=1 •
Condici´ on de no negatividad (variables enteras): xij ≥ 0 y enteras ∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n .
Objetivo: m´ın
m n
i=1 j =1
cij xij ,
Problema de Print transporte: ejemplo document In order to print this document from Scribd, you'll
Una gran empresa hafirst decidido cerrar sus centros de producci´ on m´ as need to download it. peque˜ nos, y reasignar a sus empleados a otros centros de producci´ on mas grandes, en ciudades vecinas. trabajador a un Cancel Cada Download And Print desplazado recibir´ complemento de sueldo por destino, proporcional a la distancia entre su puesto de trabajo original y su nuevo centro. Las distancias entre los centros que se van a cerrar (C1, C2 y C3) y los centros donde se pueden admitir nuevos empleados (A1, A2, A3, A4 y A5) vienen dadas en la siguiente tabla:
C1 C2 C3
A1 65 70 15
A2 A3 A4 A5 50 110 145 90 65 80 105 115 5 240 55 30
Algunos de los empleados han preferido cambiar de empleo o jubilarse y, finalmente, deber´ an ser reubicados 34 trabajadores de C1, 23 de C2 y 32 de C3. Para poder reubicarlos, la empresa ha habilitado 12 nuevos puestos en A1, 16 en A2, 20 en A3, 21 en A4 y 20 en A5.
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3.3 Modelos b´ asicos Problema de asignaci´ on
Problema de Print asignaci´ on document
In order to print this document from Scribd, you'll to download it. asignaci´ ofirst n need permite asignar eficientemente
El modelo de un conjunto de personas a un conjunto de trabajos, m´ aquinas a tareas, coches de polic´ıa Cancel Download And Print a sectores de una ciudad, vendedores a zonas, etc. El objetivo es minimizar los costes, tiempos de desplazamiento, o maximizar la efectividad. Es un modelo muy frecuente como submodelo en otros m´ as complejos.
Problema de Print asignaci´ on. Ejemplo document In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. bufete de j´ ovenes abogados
Juan es el jefe de un y est´ a interesado en la utilizaci´ on m´ as efectiva de sus recursos de personal buscando la forma Cancel Download And Print de hacer las mejores asignaciones de abogado-cliente. El 1 de Marzo le llegan 4 nuevos clientes. Revisando a su personal encuentra que 4 abogados: Ana, Bruno, Carmen y Domingo. Todos pueden ser asignados a los casos. Cada uno de ellos s´ olo se puede hacer cargo de un caso.
Problema de Print asignaci´ on. Ejemplo(cont.) document In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. asignaci´ on Juan tiene en cuenta
Para decidir la mejor una tasa de efectividad (de 1 a 9) construida sobre actuaciones anteriores de dichos Download And Print abogados, ya que no todosCancel son igual de buenos (especialistas) en todo tipo de procesos:
Abogado ana (1) bruno (2) carmen (3) domingo (4)
tasa de efectividad seg´ un caso de cliente divorcio (1) fusi´ on desfalco (3) herencias (4) empresarial (2) 6 2 8 5 9 3 5 8 4 8 3 4 6 7 6 4
Problema de Print asignaci´ on. Ejemplo(cont.) document In order to print this document from Scribd, you'll first need to download asignaci´ on m´ asit. efectiva Juan
Para determinar la iente problema de asignaci´ on
Cancel
debe resolver el sigu-
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m´ ax 6x11 + 2x12 + 8x13 + 5x14 + 9x21 + 3x22 + 5x33 + 8x44+ 4x31 + 8x32 + 3x33 + 4x34 + 6x41 + 7x42 + 6x43 + 4x44 s.a. 4
xij = 1,
∀ j = 1, . . . , 4,
4
xij = 1,
∀ i = 1, . . . , 4,
i=1
j =1
xij ∈ {0, 1},
∀ i = 1, . . . , 4, ∀ j = 1, . . . , 4.
donde las variables xij , i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . , 4, se definen como
1, xij = 0,
si el abogado i lleva el caso del cliente j , en otro caso.
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3.3 Modelos b´ asicos Problema de Asignaci´ on Generalizada
Problema de Print Asignaci´ Ejemplo documenton Generalizada. In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. del modelo anterior. Cada abogado
Es una generalizaci´ on puede hacerse cargo de m´ as de un cliente simult´ aneamente, siempre y cuando no supere Cancel Download And Print su capacidad Un sistema de procesamiento compartido tiene 3 ordenadores diferentes (O j , j = 1, 2, 3) y tiene que procesar 6 tareas ( T i i = 1, . . . , 6) Todas las tareas se pueden realizar en cualquier ordenador, pero no pueden fraccionarse (se deben completar en el ordenador en que se inician) Los tiempos de procesamiento de cada tarea i en cada ordenador j , tij , var´ıa seg´ un el ordenador El tiempo disponible de cada ordenador para ejecutar las tareas est´ a limitado
Problema de Print Asignaci´ Ejemplo documenton Generalizada. In order to print this document from Scribd, you'll Ordenador first need to download it.
Tarea T 1 Cancel
O1
O2
O3
18 And 16 Download Print12
T 2 T 3 T 4 T 5 T 6
T. disp. (C j )
14 23 16 17 25 47
21 27 24 24 28 41
19 33 23 24 30 46
¿A qu´ e ordenador debemos mandar cada tarea si queremos minimizar el tiempo total de procesamiento? Variables
1, xij = 0,
si la tarea i se asigna al ordenador j , , en otro caso.
i = 1, . . . , 6, j = 1, 2, 3.
Problema de Print Asignaci´ Ejemplo documenton Generalizada.
Funci´ on objetivo
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T = 18x11 + 16x12 + 12x13 + 14x21 + 21x22 + 19x23+ Cancel Download And Print + 23x31 + 27x32 + 33x33 + 16x41 + 24x42 + 23x43+
+ 17x51 + 24x52 + 24x53 + 25x61 + 28x62 + 30x63 Restricciones Cada tarea se procesa en un s´ olo ordenador: 3
xij = 1,
i = 1, . . . , 6.
j =1
Limitaci´ on de tiempo disponible en cada ordenador:
18x11 + 14x21 + 23x31 + 16x41 + 17x51 + 25x61 ≤ 47 16x12 + 21x22 + 27x32 + 24x42 + 24x52 + 28x62 ≤ 41 12x13 + 19x23 + 33x33 + 23x43 + 24x53 + 30x63 ≤ 46
Problema de Print Asignaci´ Ejemplo documenton Generalizada. In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it.
T = m´ ın
6 3 Cancel
Download And Print tij xij
i=1 j =1
3
xij = 1,
6
tij xij ≤ C j ,
i = 1, . . . , 6
j =1
j = 1, 2, 3
i=1
xij ∈ {0, 1}
¿C´ omo cambiar´ıas el modelo para que el tiempo de procesamiento total fuese el tiempo que tardan en completarse todas las tareas que se procesan en paralelo en los 3 ordenadores?
Problema de Print Asignaci´ Ejemplo documenton Generalizada.
Funci´ on objetivo
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T = m´ ax 18x11 + 14Cancel x21 + 23 x31 +And 16Print x41 + 17x51 + 25x61, Download 16x12 + 21x22 + 27x32 + 24x42 + 24x52 + 28x62,
12x13 + 19x23 + 33x33 + 23x43 + 24x53 + 30x63
6 6 6 T = m´ın m´ ax i=1 ti1xi1, i=1 ti2xi2, i=1 ti3xi3 , 3 xij = 1,
i = 1, . . . , 6
j =1
6
tij xij ≤ C j ,
i=1
xij ∈ {0, 1}
j = 1, 2, 3
Problema de Print Asignaci´ Ejemplo documenton Generalizada. In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it.
T = m´ ın z Cancel
6
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ti1xi1 ≤ z
6
ti2xi2 ≤ z
6
ti3xi3 ≤ z
3
xij = 1,
6
tij xij ≤ C j ,
i=1
i=1
i=1
i = 1, . . . , 6
j =1
i=1
xij ∈ {0, 1}
j = 1, 2, 3
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3.3 Modelos b´ asicos Problema de Cubrimiento y Partici´ on
on Problema de Print Cubrimiento y Partici´ document In order to print this document from Scribd, you'll first needincluye to download it. Washington 6 poblaciones
El condado de de ambulancias para urgencias. Cancel
que necesitan servicios
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Las estaciones de ambulancias pueden estar ubicadas en cualquiera de las 6 poblaciones (o en todas). Debido a la proximidad de algunas de las poblaciones, una ´ unica estaci´ on puede dar servicio a m´ as de una comunidad. La estaci´ on debe estar a 15 minutos de distancia de las poblaciones a las que sirve.
on. Ejemplo Problema de Print Cubrimiento y Partici´ document
Las distancias entre a otra) son:
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1 2 3 4 5 6
1 0 23 14 18 10 32
empleado en ir de una
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2 3 4 5 6 Coste 23 14 18 10 32 100 0 24 13 22 11 120 24 0 60 19 20 90 13 60 0 55 17 60 22 19 55 0 12 80 11 20 17 12 0 95
Determinar la ubicaci´ on de las estaciones que minimiza el n´ umero de estaciones de ambulancias.
on. Ejemplo Problema de Print Cubrimiento y Partici´ document
Variables
1 xi = 0
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si ubicamos una estaci´ on de ambulancia en la poblaci´ on i, Download And Print en otro caso. Cancel
Restricciones La poblaci´ on 1 debe ser atendida por una estaci´ o n a menos de 15 minutos ⇒ en alguna de las poblaciones a menos de 15 minutos de la 1 debe haber una estaci´ on: x1 + x3 + x5 ≥ 1
El resto de poblaciones debe ser tambi´ en atendida en menos de 15 minutos: x2 + x4 + x6 1 x1 + x3 1 x2 + x4 1 x1 + x5 + x6 1 x2 + x5 + x6 1 Condici´ on de variables binarias: xij ∈ {0, 1}, ∀i = 1, . . . , n .
Problema de Print Cubrimiento. Ejemplo (cont.) document
Funci´ on objetivo:
In order to print this document from Scribd, you'll need tode download it. N´ ufirst mero estaciones de ambulancias.
x1 + Cancel x2 + x3Download + x4 + x5 + x6 And Print
Soluci´ on ´ optima: Ubicar estaciones de ambulancias en las poblaciones 1 y 2, con un coste de 220
on. Ejemplo Problema de Print Cubrimiento y Partici´ document
¿C´ omo definimos las
In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. restricciones en la hoja de c´ alculo? Cancel
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Definimos una matriz de 0’s y 1’s, con 6 filas (1 para cada restricci´on) y 6 columnas (1 para cada variable de decisi´ on)
1 aij = 0
si la poblaci´ on i puede ser atendida desde una estaci´ on de ambulancias ubicada en j , en otro caso.
Restricciones de cubrimiento: Ax
≥1
∀i, j = 1, . . . , 6.
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3.4. Modelizaci´ on con variables binarias Modelizaci´ on de condiciones l´ ogicas
Modelizaci´ on Print de document condiciones l´ ogicas In order to print this document from Scribd, you'll first need to permite download it. modelizar condiciones binarias
El uso de variables permiten obtener modelos muy complejos: Cancel
l´ ogicas que
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Implicaciones: si se hace una actividad, se deben hacer otras o se deben impedir otras. Costes fijos: la realizaci´ on de una actividad conlleva un gasto fijo, independientemente del nivel de actividad. Variables semicontinuas: si se realiza una actividad, se hace a un nivel m´ınimo. Funciones no lineales: aproximaci´ on por funciones lineales a trozos. Etc.
ImplicacionesPrint entre variables binarias document In order to print this document from Scribd, you'll first need tode download it. la mochila un Problema referente
Pr´ actica sobre proyectos de la NASA.
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a la planificaci´ on de
Coste fijo Pr´ actica sobre
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In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it. de Localizaci´ on de plantas el Problema
y Capacidades Cancel
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con Costes Fijos
Variables semicontinuas Print document
In order to print this document from Scribd, you'll first it. una actividad decisi´ onneed deto download realizar
En ocasiones, la hacer un m´ınimo.
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est´ a condicionada a
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Diferencias dependiendo de la naturaleza de la actividad: continua o discreta.
Empleo en implicaciones entre variables no binarias Print document In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it.implicaciones queremos modelizar
En ocasiones, entre variables que no son binarias. En esos casos, debemos introducir variables binarias que Cancel Download And Print nos indiquen si estamos llevando a cabo o no una cierta actividad j . Para ello necesitaremos tratar a la variable x j correspondiente como semicontinua. Pr´ actica sobre un Problema de Mezclas de elaboraci´ on de aceite.
