DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN EDUC ACIÓN ABIERTA ABIERTA Y A DISTANCIA DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
PROGRAMACIÓN LINEAL MÓDULO EN REVISIÓN
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR DIVISIÓN DE EDUCACIÓN EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA
MÓDULO
PROGRAMACION PROGRAMACION LINEAL
SANTIAGO VERGARA VERGARA NA VARRO
INGENIERO INDUSTRIAL
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS A DISTANCIA 2005
3
CONTENIDO Pág. INTRODUCCION
7
PRIMERA UNIDAD
10
PRESENTACIÓN
11
OBJETIVOS
12
ATRÉVETE A OPINAR
13
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
14
1. MATRICES Y DETERMINANTES
15
1.1 ALGEBRA LINEAL
15
1.2 MATRIZ
15
1.3 CALCULO MATRICIAL
17
1.3.1 Suma y Resta
17
1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz
19
1.3.3 Producto de Matrices
21
1.4 MATRICES ESPECIALES
26
1.4.1 Matriz Identidad (I)
26
14.2 Matriz Nula
27
1.4.3 Matriz Traspuesta
27
1.4.4 Matriz Fila
28
1.4.5 Matriz Columna
28
1.4.6 Matriz Inversa
29
1.5 DETERMINANTES
34
1.5.1 Determinantes de Segundo Orden
35
4 1.5.2 Determinantes de Tercer Orden
36
1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes
38
RESUMEN
43
AUTO EVALUACIÓN Nº 1
44
SEGUNDA UNIDAD
46
PRESENTACIÓN
47
OBJETIVOS
48
ATRÉVETE A OPINAR
49
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
50
2. PROGRAMACION
51
2.1 PROGRAMACIÓN LINEAL (P. L)
51
2.2 USOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
51
2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L
52
2.3.1 Modelo de Maximización
52
2.3.2 Modelo de Minimización
53
2.4 PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS
53
2.4.1 Entendimiento del Problema
54
2.4.2 Definición de Variables
54
2.4.3 Establecer la Función objetivo
54
2.4.4 Establecer las Restricciones
54
2.4.5 Establecer la no negatividad
54
EJEMPLOS
55
RESUMEN
66
AUTO EVALUACIÓN N0 2
67
GLOSARIO DE TERMINOS
72
5 TERCERA UNIDAD
73
PRESENTACIÓN
74
OBJETIVOS
75
ATRÉVETE A OPINAR
76
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
77
3. METODOS DE SOLUCIÓN DE LA P. L
78
3.1 MÉTODO GRÁFICO
78
3.1.1 Procedimiento Gráfico
78
3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades
79
3.1.1.2 Hallar intersectos
79
3.1.1.3 Graficar cada Ecuación Lineal
79
3.1.1.4 Determinar el Area Común
79
3.1.1.5 Calcular el valor de la Función Objetivo
79
EJEMPLOS
80
3.2 MÉTODO SIMPLEX
90
3.2.1 PROCEDIMIENTO SIMPLEX
90
3.2.1.1 Estandarizar el Modelo de P.L
91
3.2.1.2 Construir la Tabla Característica
91
3.2.1.3 Identificar la Variable que entra y la que sale
93
EJEMPLOS
94
RESUMEN
112
AUTO EVALUACIÓN Nº 3
113
GLOSARIO DE TERMINOS
115
CUARTA UNIDAD
117
PRESENTACIÓN
118
6 OBJETIVOS
119
ATRÉVETE A OPINAR
120
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
121
4. EL PROBLEMA DUAL (P.D)
122
4.1 DUALIDAD
122
4.2 IMPORTANCIA TEÓRICA DE LA DUALIDAD
122
4.2.1 Relaciones entre el modelo Primal y el Dual
123
4.2.2 Relaciones entre la solución Dual y Primal
123
4.3 IMPORTANCIA COMPUTACIONAL DE LA DUALIDAD
124
EJEMPLOS
124
4.4 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
135
EJEMPLOS
136
RESUMEN
142
AUTO EVALUACIÓN Nº 4
143
GLOSARIO DE TERMINOS
145
BIBLIOGRAFÍA
146
EL AUTOR
147
7
INTRODUCCION El presente módulo recoge lo básico y necesario del Algebra y Programación Lineal, ya que ésta se constituye, hoy día, en elemento esencial para la formación matemática en los campos de la Ingeniería, Economía, Ciencias, Administración y otras carreras afines; de allí, que con la motivación de la experiencia adquirida como profesor universitario y la inquietud de entregar una información inteligible para el lector con escasos conocimientos de la asignatura, haya recurrido a un lenguaje simple y elemental, sin descuidar el aspecto teórico requerido por el lenguaje algebraico y la profundidad necesaria para que los estudiantes adquieran los conocimientos y habilidades básicos para la solución de problemas en los que estén involucrados los elementos matemáticos de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y modelos de programación lineal. Por todo lo anterior, inicialmente se induce al alumno en el estudio de los elementos básicos del Algebra Lineal, con el propósito de suministrarle la herramienta y técnica necesaria para la solución de modelos de Programación Lineal, en los que intervienen racionalización de recursos y la consecución de soluciones optimas (la mejor entre todas), que le permitan el desarrollo, la concepción y el análisis respectivo de dichos problemas. Desde esta concepción metodológica, se desarrolló el modulo del modo más práctico posible para que sirva al mismo tiempo como elemento de consulta a estudiantes de educación presencial; por lo que, en el desarrollo de los
8 diferentes temas se aplica el método inductivo, es decir, se plantea el problema particular y se ilustra su solución con los cálculos que por lo general realiza un estudiante con escasos conocimientos algebraicos. Este modulo está orientado de manea especial hacia el estudiante de educación a distancia, quien no dispone de un profesor o de una buena biblioteca permanente; por lo tanto, se recomienda su estudio en el mismo orden establecido para cada unidad. Solo así podrá adquirirse un buen manejo de los temas vistos en los capítulos anteriores y obtenerse una mejor comprensión de los temas siguientes: De allí que, al iniciar el estudio de cada unidad tenga en cuenta lo siguiente: • Leer bien los objetivos de la unidad. • Estudie con cuidado la información teórica de cada unidad, analícela y
discútala con sus compañeros de clases. • Desarrolle la evaluación presentada a final de cada unidad y en caso de
dudas verifique los resultados con sus compañeros y posteriormente con su tutor.
9
A CHAGUY ALBERTO, mi hijo y nueva razón de ser. Que nuestra madre Naturaleza nos de vida y salud para hacerte un hombre de bien.
10
MATRICES Y DETERMINANTES
Unidad 1
11
PRESENTACION
Para poder solucionar modelos de programación lineal, se hace evidente apropiarse de una herramienta algebraica necesaria para ser aplicada en las técnicas de solución de dichos problemas o modelos, la cual es el estudio de las matrices y determinantes el que proporciona esa herramienta, que necesita ser mecanizada ya que, es cíclica o repetitiva en su accionar.
Es por todo esto, que estudiaremos las matrices y ciertas operaciones definidas sobre ellas, así como el valor numérico correspondiente a cada una de ellas (determinante), para su posterior aplicación en la programación lineal.
12
OBJETIVOS
1. Presentar en forma condensada los datos empresariales a través de matrices. 2. Proveer la herramienta algebraica de las matrices y determinantes, para su utilización en la solución de problemas de programación lineal. 3. Verificar la utilidad de las matrices en la organización de carácter estadístico, útil para la toma de decisiones empresariales.
13
ATREVETE A OPINAR ¿Qué piensas que es el Algebra Lineal? Por favor defínela. .
_______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________
¿Qué entiendes por matriz? .
_______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________
¿Qué conoces acerca de los determinantes? .
_______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________
14
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una X la que usted considere correcta. 1. El valor de la expresión -3 – (-5) – 6, es: a) -14
b) 2
c) 4
d) -4
e) 14
2. El valor de X en la ecuación 1 – 7 = 3 – X, es: a) - 3
b) 3
c) 4
d) 6
e) - 9
3. La fracción generatriz de 0.25, es: a)
2 3
b)
3 4
c)
1
d)
3
2
e)
5
1 4
4. El valor de la expresión − 1 + 2 + (− 3 ) , es: 5
a)
15 2
b) − 31 30
c)
5. El valor del cociente − a)
5 6
b)
1 5
3
30
d) − 12
31
1 3 / , 2 5
c) − 6 5
2
15
e) −
1 10
es: d) −
3 10
e) − 5 6
15
1. MATRICES Y DETERMINANTES 1.1 ALGEBRA LINEAL: Es una herramienta o técnica algebraica utilizada por la programación lineal (P.L) para darle solución a sus modelos.
1.2 MATRIZ: Se llama matriz a un conjunto de números, funciones o ecuaciones ordenados en forma de filas horizontales y columnas verticales, encerrados entre corchetes. Las matrices se denotan por medio de letras mayúsculas, como A, B, C, Z. Forma general de una matriz: a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
.... a1n .... a3n
a31 . . .
a32 . . .
a33 . . .
.... a3n . . .
am2
am3
amn
am1
mxn
Donde: m: representa el número de filas. n: representa el número de columnas. Ejemplos de matrices:
16 1 0 − 5 2 7 4 − 5 3 9
A=
C=
sen θ
cos β
c tgθ
, B= tang β
( x − y = 0) (− x + 2 y = 1) x + y = 7)
(2 x + y = 3) (3 x − 2 y = −1) (5 x + y = 4)
El orden de una matriz viene dado por el número de filas y columnas y se le anota en la parte inferior derecha, así: 1 A = 2 − 5
0 7 3
− 5 4 9
3x3
Fila 1 Fila 2 Fila 3
;
sen θ
cos β
c tgθ
B= tang β
2x2
Col 1 Col 2 Col 3 7 − 1 0 3 5 − 4
2
8 2 x 4
A los miembros de una matriz se les denomina elementos de la matriz y ocupan un lugar específico e inamovible dentro de la matriz, especificado por un subíndice en su parte inferior (ver forma general), así: a 11 : Elemento ubicado en la intersección de la fila 1 con la columna 1. a 12: Elemento ubicado en la intersección de la fila 1 con la columna 2. a 23: Elemento ubicado en la intersección de la fila 2 con la columna 3.
17 a mn : Elemento ubicado en la intersección de la fila m con la columna n. Las matrices en éste módulo son esencialmente matrices reales. Es decir, sus elementos son números reales y máximo poseerán orden 3 x 3.
1.3 CÁLCULO MATRICIAL (Operaciones con Matrices) 1.3.1 Suma y Resta Sean las matrices A y B, se denota la suma y resta de ellas A + B y se define así: A=
a11 a12 a 21 a 22
y
B=
b11 b12 b21 b22
a11 a12 + a 22
Entonces. A + B = a 21
b11 b12 b21 b22 =
a11 ± b11 a12 ± b12 a 21 ± b21 a 22 ± b22
Es decir, sumar o restar dos o más matrices, basta con sumar o restar sus elementos de posiciones similares. La suma o resta de dos o más matrices de órdenes diferentes no está definida, lo cual significa que la suma o resta de matrices está definida solamente para matrices cuadradas (de igual orden). Ejemplos:
1) Sean A =
− 1 2 2 1 y
Se pide: A + B = ?
1
B= − 1
3
2
18 Solución: A+B=
− 1 2 1 3 − 1 + 1 2 + 3 0 5 0 1 + − 1 2 = 0 − 1 1 + 2 = − 1 3
1 − 1 2) Si A = − 3 y B = 3 , calcule A – B = ? − 2 2
Entonces: A – B =
1 − 1 1 − (−1) 2 − 3 − 3 = − 3 − 3 = − 6 − 2 2 − 2 − 2 − 4
2 1 0 0 3) Sean A = 4 0 − 1 y B = − 1 3 − 2 − 2 2
1 3 ; A + B = ? 4
A + B: No está definida, ya que son matrices de órdenes diferentes. 3 4) Sean A = 4 6
Calcular: a. A + B b. A – B c. B – A + C Solución:
2
2 1 ; B = 4 6 2
1
1 3 y C = 2 1 2
2
4
0
19
a. A + B =
3 4 6
2 1 + 2
2 4 6
1 5 3 = 8 2 12
3 4 4
b. A – B =
3 4 6
2 1 2
2 4 6
1 1 3 = 0 2 0
1 − 2 0
c. B – A + C =
B–A+C=
0 2 1
2 4 6
1 3 3 − 4 2 6
2 1 1 + 2 2 1
2 2 − 3 + 1 0 = 4 − 4 + 2 4 6 − 6 + 1
1− 2 + 2 3 − 1 + 0 2 − 2 + 4
1 2 4
1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz Al trabajar con matrices, los números suelen denominarse escalares. A menos que se especifique lo contrario, los escalares serán números reales. Se multiplica una matriz A por un escalar K al multiplicar por K cada elemento de A. El producto de K por A se denota K.A y se define como otra matriz cuyos elementos son los mismos de A multiplicados por K. Ejemplos: 1. Sea : A =
6 1 2 2 4 4 y 1 3 − 5
K=
1 3
20 Hallar K . A = ? K.A=
2. Sean X =
1 1 1 6 1 4 ( 3 ).(6) ( 3 ).(1) ( 3 ).(4) 2 1 . 2 4 2 = ( 13 ).(2) ( 13 ).(4) ( 13 ).(2) = 2 3 3 1 3 − 5 ( 1 ).(1) ( 1 ).(3) ( 1 ).(−5) 1 3 3 3 3 1 2 6
4 3 ; Y = 2
2 3 1
6 4 y Z = 2
1 2 0
4 1 2
Calcular: a. 3 . Z -
1 2
.Y
b. –2.Y + 4.X - 1 .Z 3
Solución: 1 1 a. 3.Z - .Y = 3. 2 2 0
3.Z -
1 2
.Y =
b. –2.Y + 4.X -
3 6 0
4 2 1 1 − .3 2 1 2 1 3 − 3 12 6 2
12
2 .Z = -2. 3 3 1
1
6 4 2 2 2 = 9 12 1 − 2 3
6 1 4 + 4.2 6 2
9
1 5
4 1 1 3 − .2 3 0 2
4 1 2
4 3 4 2 3 3 5 1 − 3 1
3
21
–2.Y + 4.X - 1 .Z = 3
–2.Y + 4.X - 1 .Z = 3
− 4 − 6 − 2
− 12 4 − 8 + 8 − 4 24
0 2 22
4 13 4 − 2 3 4 0
16 13 12 − 2 3 8 0
4 − 1 3 3 1 = 4 3 3 2 22 3
4 3 1 3 2 3 8 3 11 3 10 3
1.3.3 Producto de Matrices Por ser esta la operación más complicada con matrices, la explicaremos directamente por medio de ejemplos, teniendo en cuenta que, para que el producto de matrices sea posible, se tiene ti ene que cumplir la siguiente condición: El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz y el resultado poseerá las filas de la primera matriz y las columnas de a segunda matriz. Simbólicamente: A mxn . B nxp = C mxp Si es posible
Si: A 2 x 3 . B 3 x 4 = C 2 x 4 Si es posible
P 3 x 4 . Q 4 x 2 = R 3 x 2 Si es posible
Ejemplos:
22 1 0
1. Sean A = 4
2
y B = 3 2 ; A . B = ? 1
A2
x 2
= C2
x 2
. B2
3
x 2 → A
. B =
2 3 1 0 a11 a12 4 1.3 2 = a 21 a 22
compromiso ahora es calcular los valores de a 11 , a 12 , a 21 , a 22. Cálculo de a 11 (1era fila de A por 1era columna de B): 1 2 por por 3 9 ⇒ a = 11 2 3 11 Calculamos ahora a 12 (1era fila de A por 2da columna de B): 0 0 por por 2 6 ⇒ a =6 2 3 6 Cálculo de a 21 (2da fila de A por 1 ra columna de B): 1 4 por por 3 3 ⇒ a =7 4 1 7 Cálculo de a 22 (2da fila de A por 2 da columna de B): 0 0 por por 2 2 ⇒ a =2 4 1 2 Entonces A.B =
11 6 7 2
Calculamos ahora B 2 x 2 . A 2 x 2 = D 2 x 2 Si es posible
; nuestro
23 B.A =
1 0 2 3 a11 a12 3 2 • 4 1 = a 21 a 22
Cálculo de a 11 : 2 2 por por 4 0 ⇒ a =2 1 0 2 Cálculo de a 12 : 3 3 por por 1 0 ⇒ a =3 1 0 3 Cálculo de a 21 : 2 6 por por 4 8 ⇒ a = 14 3 2 14 Cálculo de a 22 : 3 9 por por 1 2 ⇒ a22 = 11 3 2 11 Entonces: B.A =
2 3 14 11
Con el ejemplo anterior hemos demostrado que: A.B ≠ B. A
24 − 1 2. Sean A = 4 5
− 3 2 − 2 y B = ; calcular A.B. − 4 1 0 3
Solución: a11 a 21 a31
A 3 x 2 . B 2 x 2 = C 3 x 2 =
a12
a32
a 22
Si es posible
− 14 A.B = 4 5
=
3 − 12 − 12 + 8 − 15 + 0
(−1).2 + 3.1
2
1 0 3 • 3. 2 − 1 − 2 2 x 3
3
− 2 1 − 1
5.2 + 0.1
1
10 6
4 0 1
1 ; B = 1 3
0 − 1 2
− 5 = − 3
3 y C = 2 0 0
Demostrar que: (A + B).C = A.C + B.C
7 6
1 4
4.2 + (−2).1
− 2 + 3 8−2 10 + 0
−9 Entonces A.B = − 4 − 15
2 3. Sean A = 4
(−1)(−3) + 3(−4) = 4.(−3) + (−2)(−4) 1 5(3) + 0(−4)
− 3 − 2 • − 4 0 3
− 1 6 2
3
25
(A + B).C =
3 1 2 2 3 1 0 + • 4 1 3 2 0 4 3
3
1
2
9
15 15
3 3 = (A + B).C = • 7 3 0 4 3 21 19 23 3 1 2 6 14 13 2 3 = A.C = • 4 1 0 4 3 12 8 11 3 1 2 3 1 2 1 0 = B.C = • 3 2 0 4 3 9 11 12
A.C + B.C =
Lo cual queda demostrado.
6 14 13 3 1 2 9 15 15 = + 12 8 11 9 11 12 21 19 23
4. Encuentre los valores de a, b, c, en la siguiente ecuación matricial: a
4•
c
b
b
= 2 • − 1 − a
4
c
+ 2 •
a
5 − a
1
Solución: 2a 4a 4b 2b 2c 8 = + 4c − 4 − 2a 2 10 − 2a 2c + a 4a 4b 2b + 8 = 4c − 4 − 2a + 10 2 − 2a
De donde: = 2b + 8
(1)
4b = 2 c + a
(2)
4a
4c = −2a + 10 (3)
− 4 = 2 − 2a (4) ⇒ − 4 − 2 = −2a
26 − 6 = −2a
−6 =a⇒ a=3 −2
Reemplazo (5) en (1):
5
4(3) = 2b + 8
12 = 2b + 8
12 − 8 = 2b 4 = b ⇒ b = 2 2
Reemplazo (5) en (3): 4c = −2(3) + 10 4c = −6 + 10 4c = 4 ⇒ c =
4 4
⇒ c =1
1.4 MATRICES ESPECIALES El estudio de las matrices especiales se limita a las más comúnmente usadas, para conocimiento del lector y para sus posibles aplicaciones futuras. fu turas.
1.4.1 Matriz Identidad (I) Es una matriz cuadrada (tiene el mismo número de filas y columnas) que tiene su diagonal principal formada de unos (1) y ceros (0) en las demás posiciones. Son ejemplos de matriz identidad las siguientes: sigui entes:
27
1 0 0 1 2 x 2
1 ; 0 0
0
0
; 0 1 3 x 3
1 0
Diagonal principal
1 0 0 0
0
0
1
0
0 0
0 1 0 0 0 1 4 x 4
; …
La matriz identidad cumple con: Sea A una matriz cuadrada, entonces A=A.
1.4.2 Matriz Nula Es una matriz cuyos elementos son ceros. [0] ;
0 0 0 0
;
0 0 0 0 0 0 0 0 0
;
0 0 0
0 0 ; … 0
1.4.3 Matriz Traspuesta Sea A una matriz cualquiera (cuadrada o no), se llama traspuesta de A y se denota At, a la matriz cuyas filas de A son las columnas de A t o cuyas columnas de A son las filas de At. Ejemplos: 1. Sea A =
3 − 2 At = 0 1 2 x⇒ 2
2. Sea B =
1 5 7
3 − 2
− 3 t 2 ⇒ B = 6 3 x 2
0
1 2 x 2
1 5 7 − 3 2 6 2 x 3
28
3. Sea C =
0 3 − 1 ⇒ 5 2 8 2 x 3
4. Sea D =
4 2 1 7 10 − 6 ⇒ 0 5 − 3 3 x 3
t
C =
0 3 − 1
Dt =
Es la matriz que posee una sola fila. Ejemplos: − 2 0]
2. B = [0
5
−1
4]
3. C = [7]1 x 1
1.4.5 Matriz Columna Es la matriz que posee una sola columna. Ejemplos: 1. A =
3 7
2. B =
− 1 0 5 4
3. C = [7]1 x 1
8 3 x 2 2
0 4 7 2 10 5 1 − 6 − 3 3 x 3
1.4.4 Matriz Fila
1. A = [6
5
29
1.4.6 Matriz Inversa Es una matriz que tiene propiedades similares a las del inverso de un número. Es decir, el inverso de 2 es
1 2
o 2-1.
La inversa de una matriz A se denota A -1 y cumple con la propiedad: A -1.A = A. A-1 = I. Para obtener la inversa de una matriz A, pueden efectuarse operaciones con sus filas (horizontales o verticales), teniendo en cuenta que: A = A.I. Estas operaciones con las filas de A, son seleccionadas en forma arbitraria (pero con lógica) para convertir la matriz A en una matriz identidad. Todas las matrices no tienen inversa. Solamente para una matriz cuadrada puede definirse la inversa. Una matriz que no tiene inversa se denomina matriz singular, una matriz A es singular si al efectuar operaciones con sus filas llegamos a una fila nula (todos sus elementos son ceros). Si para una matriz existe una inversa, ésta es única. Ejemplos: Halle, si es posible, la inversa de las siguientes matrices: 2
a. A = 4
4
, entonces para encontrar la inversa de A (A -1), se intenta 6
resolver la ecuación matricial A = A . I, para convertir la matriz A en una matriz identidad. Pero en la ecuación A = A . I, vemos que A aparece a
30 ambos lados de la igualdad, por tal motivo se omitirá el miembro izquierdo de la misma para evitar operaciones dobles, por lo que nos limitaremos solamente al miembro derecho: A.I. Es de anotar que la matriz I que multiplica a A debe ser del mismo orden de A. 2
Entonces: A.I = 4
4
1
Fila 1 Fila 2
0
• 0 1 6
Ahora, aplicando operaciones elementales con las filas, se intenta cambiar el producto A.I en la forma I.A-1, como sigue: 1 2 1 0 4 6 • 2 0 1
1 2 1 0 2 • 0 − 2 − 2 1
0 1 2 12 0 1 • 1 1 − 2
1 1 0 − 3 2 0 1 • 1 − 1 2
y se obtiene
F 1
2
la nueva fila 1
-4f 1 + f 2 y se obtiene la nueva fila 2 F 2
−2
y se obtiene
la nueva fila 2 -2f 2 + f 1 y se obtiene la nueva fila 1
31 Como ya se convirtió a A en una matriz identidad, la matriz A es invertible y su inversa es:
-1
A =
− 3 1 2 , es decir, se cambió A.I por I.A -1. − 12 1
b. Sea B =
Entonces:
1 4 6 2 2 4 ; 2 1 1
B-1 = ?
1 4 6 1 0 0 2 2 4 • 0 1 0 2 1 1 0 0 1
6 1 0 0 1 4 0 − 6 − 8 • − 2 1 0 0 − 7 − 11 − 2 0 1
F 2
Porque ya se tiene la unidad
F1 = F1 -2F1 + F2
Para obtener la nueva fila 2
-2F1 + F3
Para obtener la nueva fila 3
Para obtener la nueva fila 2
−6 -4F*2N + F1 7F*2N + F3
2 1 0 2 − 1 0 3 3 3 − 4 1 1 0 1 3 • 3 6 0 0 0 − 5 3 13 − 7 6 1
Para obtener la nueva fila 1 Para obtener la nueva fila 3
* F*2N F 3
−5
3
Para obtener la nueva fila 2
=
−3
5
F 3
Para obtener la nueva fila 3
32 −1 1 2 1 0 0 5 5 5 0 1 0 • 3 − 11 4 5 10 5 0 0 1 − 1 −3 7 10 5 5
−4 3
−2
3
F*3N + F2
Para obtener la fila 2
F*3N + F1
Para obtener la nueva fila 1
1 2 − 1 5 5 5 -1 3 − 11 4 Entonces B = 5 10 5 − 1 5 710 − 35
c. Demuestre que la siguiente matriz no tiene inversa. 1 2 A = 3 − 1 − 2 3
0
2 2
Solución: 1 2 0 1 A.I = 3 − 1 2 • 0 − 2 3 − 2 0
0
0
1
0
0
1
0 1 0 0 1 2 0 − 7 2 • − 3 1 0 0 7 − 2 2 0 1
-3F1 + F2 para obtener la nueva fila 2 2F1 + F3 para obtener la nueva fila 3 F 2
−7
Para obtener la nueva fila 2
F2 + F1 para obtener la nueva fila 3
-2F*2N + F1 para obtener la nueva fila 1
2 1 0 4 1 0 7 7 7 0 1 − 2 7 • 3 7 − 17 0 0 0 −1 1 0 1
33 Observe que al sumar el segundo y tercer renglón, se obtiene un renglón de ceros en el lado izquierdo del producto A.I. Debido a esto, se concluye que no es posible reescribir A.I en la forma I.A-1. Esto significa que A no tiene inversa, es decir, es una matriz SINGULAR. Las inversas anteriormente calculadas, se pueden comprobar por medio de la propiedad: A.A-1 = I.
d. Hallar si es posible, la inversa de la traspuesta de A =
1 1 − 6 − 1 0 2 0 − 1 3
1 −1 0 Solución: At = 1 0 − 1 − 6 2 3 t
Entonces: A .I =
1 − 1 0 1 0 0 1 0 − 1 • 0 1 0 − 6 2 3 0 0 1
1 − 1 − 0 1 0 1 − 1 • − 1 0 − 4 3 6
1 0 0
0 1 0
− 1 0 − 1 • − 1 − 1 2
1 1 4
0
0
1
0
0
0
1 0
1
-F1 + F2 para obtener la fila nueva F2 6F1 + F3 para obtener la nueva fila F3
F2 + F1 para obtener la nueva F1 4F2 + F3 para obtener la nueva F3
-1F3 para obtener la nueva F3 -F3 + F2 para obtener la nueva F2 -F3 + F1 para obtener la nueva F1
34 1 0 0 − 2 − 3 − 1 0 1 0 • − 3 − 3 − 1 0 0 1 − 2 − 4 − 1
t -1
; entonces: (A ) =
− 2 − 3 − 1 − 3 − 3 − 1 − 2 − 4 − 1
1.5 DETERMINANTES A toda matriz cuadrada le corresponde un valor numérico como resultado de unas operaciones realizadas con sus diagonales, así: Sumatoria de los productos de las diagonales principales menos sumatoria de los productos de las diagonales secundarias, igual a un valor numérico. A este valor numérico es lo que se conoce como determinante de una matriz. El determinante de una matriz A es la misma matriz A, pero encerrada entre barras verticales en vez de corchetes y se denota así: det. A; ∆ A o En este módulo se utilizará
A
A
.
.
Entonces: Si A =
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 ⇒ A = a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33
= Valor Numérico.
En el presente módulo se estudiarán los determinantes de segundo y tercer orden, a saber:
35
1.5.1 Determinantes de Segundo Orden Son aquellos que poseen dos productos de dos elementos cada uno,
uno
positivo (el de su diagonal principal) y el otro negativo (el de su diagonal secundaria), así: Sea A =
a11 a12 a 21 a 22 ⇒ A
=
a11
a12
a 21 a 22
Diagonal secundaria
= a 11 .a 22 – a 12.a 21 Diagonal Primaria
Ejemplos: calcular el determinante de las siguientes matrices: 2 2 ; b) B = 1 4 −
a) A =
0 3 2 4 ; c) C =
2 4 1 − 3
Solución: a. A =
2 2 2 2 − 1 4 ⇒ A = − 1 4 = 2 x 4 − (2).(−1) = 8 + 2 = 10
0 3 0 3 B ⇒ = = 0 x 4 − (3 x 2) = 0 − 6 = −6 4 2 4
b. B = 2
2
4
c. C = ⇒ 1 − 3
C =
2
4
1
−3
= 2(−3) − (4 x1) = −6 − 4 = −10
36
1.5.2 Determinantes de Tercer Orden Son aquellos que poseen seis productos de tres elementos cada uno, tres positivos (el de sus diagonales principales) y tres negativos (el de sus diagonales secundarias). Para calcular el determinante de una matriz A 3 x 3 , se agregan la primera y la segunda columna o filas de A para formar las columnas o filas cuarta y quinta. Luego, el determinante de A se obtiene al sumar (o restar) los productos de sus seis diagonales, como se muestra: a11 Sea A = a21 a31
a12 a 22 a32
a13
; agregamos la 1ra y 2da filas a33
a 23
a11 a12 a13 ⇒ A = a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
a11 a 21 = a31 a11 a 21
Diagonales secundarias
A
a12
a13
a 22 a 23 a32 a33 a12 a13 a 22
a 23
Diagonales Primarias
=a 11.a 22 .a 33 + a 21 .a 32 .a 13 + a 31 .a 12.a 23 – (a 13.a 22 .a 31 + a 23 .a 32.a 11 +
a 33.a 12 .a 21 ) Sumatoria de los productos de las diagonales principales Sumatoria de los productos de las diagonales secundarias
37 Lo anterior también es posible agregando la 1era y 2da columnas, como se muestra a continuación: a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 A = a 21 a 22 a 23 ⇒ A = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a31 a32 a33 a31 a32 a31 a32 a33 Diagonales secundarias A = a 13 .a 21 .a 32
Diagonales primarias
+ a 12 .a 23 .a 31 + a 11 .a 22.a 33 – (a 13.a 22 .a 31 + a 11 .a 23 .a 32 +
a 12.a 21 .a 33 ) Como puede observarse, se llega al mismo resultado; por lo que es indiferente el método que se utilice, de allí que el lector escogerá el que mejor le parezca. Ejemplos: calcular los determinantes de:
a. A =
A
0 2 3 − 1 0 2 1 3 − 1 2 ⇒ A = 4 − 4 0 2 4 − 4 1 3 − 1
1 2 1 = 0 − 12 + 16 − (−4 + 0 + 6) 1 2
= 4 − (2) = 4 − 2 = 2
b. B =
0 − 2 5 1 0 − 2 5 3 7 1 ⇒ B = − 6 4 2 = 0 + 20 + 84 − (−90 + 0 − 4) 3 7 0 − 2 5 − 6 4 2 1 3 7
38 B = 104 − (94) = 104 + 94 = 198
1 1 3 c. C = 1 − 1 1 −1 4 C =
1 6
− (3) =
1 6
1 1 − 2 3 −1 0 − 2 1 1 1 0 ⇒ C = 1 − 1 1 = − + + 0 − (2 + 0 + 1) 4 3 2 1 1 1 2 − 13 − 1 0
−3 = −
17 6
Es de anotar que, si el determinante de una matriz A es cero, quiere esto decir que A es una matriz singular, o sea que no posee inversa.
1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes Históricamente, el uso de los determinantes surgió de la identificación de patrones especiales que ocurren en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver un sistema de dos o tres ecuaciones con dos o tres incógnitas por determinantes, se aplica la regla de KRAMER, que dice: “El valor de cada incógnita es una fracción, cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema:
S )
y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incógnita que
39 se halla, por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas”. Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas, aplicando determinantes:
1. 2 x + 4Y = 6 ⇒
S =
X − 2Y = 2 S
2 4 = 2(−2) − 4 x1 = −4 − 4 = −8 1 −2
= −8
6 4 2 − 2 − 12 − 8 − 20 5 X = = = = ⇒ −8 −8 −8 2 2 6 1 2 4−6 −2 1 = = = ⇒ Y = −8 −8 −8 4
2.
Y = 1
X =
5
2
4
2 X + 6Y = 20
2 2 6 0 0 Y + Z = 5 ⇒ S = 0 1 1 = 1 1 0 − 1 2 X − − Z =-1 0 S
20 5 − 1 20 5 X =
6
0
1 0 6
1 1 0
1 4
6 0 1 1 0 − 1 = −2 + 0 + 6 − (0 + 0 + 0) 6 0 1 1
=4
1
= − 20 + 0 − 6 − (0 + 0 − 30) = − 26 + 30 = 4
4
4 4
40 X = 1
2 20 0 0 5 1 1 1 1 − − 2 20 0 0 5 1 − 10 + 0 + 20 − (0 − 2 + 0) 10 + 2 12 = = = = Y 4
4
4
4
Y = 3
2 0 1 2 0
6
20
1 0 6
5 − 1 20
1
5
4
Z =
2
3.
1 3
− 2 + 0 + 30 − (20 + 0 + 0) = = 4
28 − 20 4
8
= = Z 4
X + Y = 2 Z + 3
X − Y = 1 X + Y =
1 4
.Y + 11
Como el sistema no está preparado, hay que prepararlo, así: 1 3
X + Y − 2Z = 3
41 1 1 − 2 3 −1 0 1 = − 1 + 1 + 0 − (2 + 0 + 1) =1 −1 1 4 3 2 1 1 − 2 3 −1 0 1
1 1 − 2 3 X − Y = 1 ⇒ S = 1 −1 0 1 1 X − Y + Z = 11 1 − 4 1 4 S =
17 1 − 3 ⇒ S = − 6 6
1 − 2 3 1 −1 0 1 11 1 − 4 3 1 2 − − 3 + 1 + 0 − (22 + 0 + 1) − 5 − 23 − 51 1 − 1 0 2 = = 2 = 2 X = − 17 − 17 − 17 − 17 6
6
6
6
X = 9
1 3 1 1 1 3 1 Y =
− 2 0 1 − 2 0 =
3 1 11 3 1
− 17
6
1 3
− 65
− 22 + 0 − (−2 + 0 + 3) =
− 17 6
3
− 68
−1
− 17
=
6
Y = 8
; en la ecuación: X + Z = 1 Y + 11 , remplazo
9 + Z =
1
Z = 4
4
4
(8) + 11 ⇒ Z = 2 + 11 − 9
3
− 17 6
Y = 8 y X = 9 ,
entonces:
42
4. Cuales serán los valores de x, para que: ( X − 1) −4 =0 −2 ( X + 1)
Solución: ( X − 1)
−2
−4 = ( X − 1).( X + 1) − (−4).(−2) = 0 ( X + ) 2 x − 1 − 8 = 0 2
x − 9 = 0 x x
2
=9 =± 9
TALLE x = ±.3
43
RESUMEN
Una matriz de m x n es un arreglo rectangular de mn números arreglados en m filas y n comunas.
Sea A una matriz de m x n y B una matriz de n x p, entonces A x b es una matriz de m x p.
Si A es una matriz de n x m, B es de m x p y C es de p x q, entonces A x (B x C) = (A x B) x C y tanto B x C como A x B son matrices de n x q.
Si todos los productos están definidos, entonces: A x (B + C) = A x B + A x C y (A + B) x C = A x C + B x C
El determinante de una matriz A 2x2 = A
a11 a12 a está dado por: a 21 22
= a 11 a 22 – a 12a 21
El determinante de una matriz A 3x3 =
a11 a12 a 21 a22 a31 a32
a13
está dado por. a33
a23
44 a 11
a22
a23
a32
a33
− a12
a21
a23
a31
a33
+ a13
a21
a22
a31
a32
AUTOEVALUACION No 1 1) Demuestre que B es la inversa de A: − 2 2 a. A = 0 − 1 0 1
b. A =
1 − 1 2 3 ;
2) Sean A =
3
; B = 4 0
B=
d a b c
−5 − 4 1 3 3 −8 − 4 1 3 3 1 2 0 3 3
3 5 − 2 5
y B =
1 5 1 5
1 1 − 1 1
; cuales son los valores de a, b, c y d,
para que A.B = B.A.
3) Resolver el siguiente sistema aplicando determinantes: X
3 X
6 X
2
−
Y
+
Y
−
Y
4 2
8
+
Z
4
=1
− Z = 1 −
Z
2
=0
45
4) Sea:
A=
3 3 6 6 0 3 9 − 3 3
; demuestre que [ A] = At
5) Calcular la matriz A en la siguiente ecuación matricial:
-4
2 3 4 3 4 0 1 A + 0 1 0 = − A1 5 2 2 3 7 1 1 0 2 −
6) Calcular, si es posible, la inversa de: 2 1 3 2 0 4 4 1 7
46
PROGRAMACION
47
Unidad 2 PRESENTACION
Los conocimientos contenidos en el presente capitulo hacen posible la formulación de unos modelos a través de los cuales, el administrador puede lograr una mayor eficiencia y un mejor sistema productivo en el mundo empresarial moderno; sobre todo, cuando deba tomar decisiones que involucren racionalización de recursos para determinar así, el mejor curso de acción de un problema empresarial. Para la buena comprensión de este tema se hace necesario que el alumno diferencie lenguaje coloquial de lenguaje algebraico y sepa expresar oraciones en forma de lenguaje coloquial a expresiones en forma de lenguaje algebraico.
48
OBJETIVOS
Analizar situaciones reales en las que, relaciones entre actividades, requerimientos de recursos y la contribución al objetivo revistan carácter lineal.
Diseñar un modelo simbólico de un problema cuyo enunciado se suministre.
Diferenciar entre disponibilidad y requerimiento, para la asignación y distribución de recursos limitados.
49
ATREVETE A OPINAR
¿Qué entiendes por Programación Lineal? .
______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________
¿En qué campos crees que se ha utilizado la P. L.? .
______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________
¿Qué entiendes por Maximizar y por Minimizar? .
______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________
50
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
A continuación encontrarás 5 expresiones en forma de lenguaje coloquial (palabras), por favor exprésalas en forma de lenguaje algebraico (ecuaciones o inecuaciones): EXPRESIONES MATEMATICAS EN FORMA DE LENGUAJE
EN FORMA DE LENGUAJE
COLOQUIAL
ALGEBRAICO
El doble de un número es catorce. La mitad de un número más su triplo no debe exceder a cinco. El quíntuplo de un número es dieciséis menos el mismo número. El triplo de un número más el doble de otro, al menos es ocho. La mitad de un número menos la quinta parte de otro, no debe ser mayor que dos.
51
2. PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN 2.1 PROGRAMACIÓN LINEAL (P. L.) La palabra programación es un sinónimo de planeación y el adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas que se van a trabajar, son funciones lineales, es decir, que las variables tendrán como exponente la unidad. La Programación Lineal trata la planeación de las actividades de un organismo social para obtener un resultado optimo, esto es, el mejor entre muchos; así, la programación lineal es una técnica matemática cuyo objetivo es la determinación de soluciones optimas a los problemas económicos en los que intervienen recursos limitados.
2.2 USOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL La Programación Lineal ha sido empleada con mucho éxito en variados campos, a saber: • En la industria de alimentos, para la obtención de mezclas optimas de
productos con requerimiento de un mínimo de elementos nutritivos. nutri tivos.
52 • En la industria química para efectos de control de la producción. • En la industria metalúrgica, para la planificación de la producción y
transporte. • En finanzas para la toma de decisiones.
2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS PROBLEMAS DE P. L. Plantear un problema de Programación Lineal, implica llevar expresiones matemáticas en forma de lenguaje coloquial a expresiones matemáticas en forma de lenguaje algebraico. Los problemas que se pueden presentar dentro de la Programación Lineal son de maximización de utilidades o de minimización de costos. La forma general de los modelos de problemas de Programación Lineal son:
2.3.1 Modelo de Maximización Objetivo a lograr { Max. Z =C 1. X 1+C 2 . X 2+...C n . X n a11 x1 + a12 x 2 +...a1n x n ≤b1 a x + a x +...a x ≤b 2n n 2 Sujeciones o limitantes del objetivo 21 1 22 2 a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n ≤b n
Condición de no negatividad { X 1= X 2= ... X n≥ 0 Donde: Z: Función objetivo que se pretende maximizar. C 1,C 2 ...C n : Coeficientes
de utilidades o ganancias o ventas
53 X 1, X 2... X n: Variables
básicas de trabajo.
a 11 ,a 12 ...a mn : Coeficientes
de usos de recursos.
b1 ,b 2 ...b n : Disponibilidad
de recursos limitados (términos independientes).
2.3.2 Modelo de Minimización Mín. Z =
C 1. X 1+C 2 . X 2+...C n . X n
Sujeto a:
a 11 . x1 + a12 . x 2 +.... + a1n . x n ≥b1 a 12 . x1 + a 22 x 2 +.... + a 2 n . x n ≥b 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a m1 . x1 + a m 2 . x 2 +... + a mn ≥b n
X 1= X 2= ... X n≥ 0
Donde: Z: Función que se pretende minimizar. C 1,C 2 ...C n : Coeficientes
X 1, X 2... X n: Variables
de costos o gastos.
básicas de trabajo.
a 11 ,a 12 ...a mn : Coeficientes
de usos de recursos.
b1 ,b 2 ...b n : Disponibilidad
de recursos limitados (términos independientes).
2.4
PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS
54
Para plantear modelos de problemas de programación lineal, se sugieren los siguientes pasos:
2.4.1 Entendimiento del problema Significa hacerse a una idea clara de lo que se quiere, es decir, identificar con exactitud si se trata de un problema de maximización o minimización; lo cual se logra leyendo bien el enunciado (releerlo sí es necesario).
2.4.2 Definición de variables Significa que, hay que definir en forma clara y precisa las variables de trabajo o variables físicas (tantas como sean necesarias o el problema amerite).
2.4.3 Establecer la función objetivo Significa plantear en forma de ecuación, el objetivo que se desea alcanzar (con las variables definidas y los coeficientes de costos o ganancias dados).
2.4.4 Establecer las restricciones Significa formular las limitantes a que va ha estar sujeta la función objetivo, teniendo en cuenta el uso y la disponibilidad de recursos (pueden ser desigualdades o igualdades).
55
2.4.5 Establecer la no negatividad Significa darle el sentido de positividad a todas las variables que se tengan que trabajar, es decir, que todas sean mayores o iguales que cero ( ≥ 0 ). Si el lector sigue la anterior metodología para formular modelos de programación lineal, lo más probable es que se le dificulte menos el planteamiento de los mismos, ya que, no existe una formula matemática mate mática para establecer tales problemas; de allí que no sea tarea fácil el plantear dichos modelos, porque ningún caso se parece a otro.
Ejemplos 1. Un camión puede transportar dos clases de artículos, A y B. Por cada unidad de A que transporte recibe $1500 y por cada unidad de B, $2000. El camión tiene una capacidad de 12m 3 y puede transportar carga que no exceda las 16 toneladas. Los volúmenes de A y B son respectivamente 2 y 3m 3 . Los pesos unitarios de A y B son 4 y 3 toneladas respectivamente. Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
Solución: Paso a: Entendimiento: El propietario del camión desea maximizar sus ganancias. Lo cual está implícito en el hecho de que el enunciado da los ingresos por cada tipo de artículo que se transporte.
Paso b:
Definición de variables
56 Como son dos los tipos de artículos a transportar, serán dos las variables a definir, así: Sean:
X 1: Número de X 2: Número
Paso c:
artículos del tipo A a transportar.
de artículos del tipo B a transportar.
Establecer la función objetivo
Máx. Z = 1500 X 1 + 2000 X 2
Paso d:
Establecer las restricciones • De capacidad : 2 X 1+3 X 2≤ 12 • De pesos:
Paso e:
4 X 1+3 X 2≤ 16
Establecer la no negatividad X 1= X 2≥ 0
2. El hospital Regional de Sincelejo está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. Las comidas de pescado cuestan $200 cada una y las de res $250 cada una. Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res un 9. El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en le mes deben ser por lo menos 300 unidades, de las cuales la comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades.
57
Plantee como un modelo de programación lineal.
Solución Entendimiento:
Lo que pretende el hospital es minimizar los costos, ya que, el problema otorga coeficientes de los gastos de cada comida.
Definición de variables: Al ser dos tipos de comida, serán dos las variables a utilizar, así: Sean:
X 1: Número
de comidas de pescado a servir durante el
mes venidero. X 2: Número
de comidas de res a servir durante el mes
venidero. Función objetivo: objetivo: Mín. Z = Restricciones:
200 X 1+250 X 2
s.a.: 5 X 1+9 X 2≥ 200 (sabor) 8 X 1+12 X 2≥ 300 (Vitaminas) X 1
No negatividad:
+ X 2 = 30 (total de comidas servidas al mes)
X 1= X 2 ≥ 0
3. La asociación de estudiantes de CECAR dispone de $100.000 y ha pensado invertir en dos negocios. El primero la reporta una utilidad de $25 mensuales y el segundo $40 mensuales, por cada $ 100 invertidos. Debido aciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios, se debe
58 invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no más del 50% en el segundo. Además, la cantidad invertida en este último no debe ser mayor a 3/2 veces la cantidad invertida en el primer negocio. Plantear el problema como un modelo de programación lineal.
Solución Sean:
X 1: Cantidad
de dinero a invertir en el primer negocio. X 2: Cantidad de dinero a invertir en el segundo negocio.
Máx. Z = Ó Máx. Z: Ó Máx. Z: S.a.:
25
40 X 1+ X 2 100 100
1
2 X 1+ X 2 4 5
0.25 X 1+0.40 X 2
X 1 + X 2
≤ 100.000
X 1
≥ 25.000 X 2
≤ 50.000
X 2
≤
−3 2
3 2
X 1 + X 2
≤ 0
X 1 = X 2
≥ 0
X 1 ó
4. Se tienen dos centros de sacrificios de reces, uno en Valledupar y otro en Montería. Existen tres centros de consumo: Bucaramanga, Medellín y Barranquilla.
59 La siguiente tabla muestra los costos de transportar una tonelada de carne desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar cuanta carne debe enviarse desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo. C. Consumo C. Sacrificio
Valledupar (1)
1
2
3
Disp
B /Manga
M/dellín
B/quilla
(Ton)
$1.500
$950
1.300
$750
$1.300
3.000
700
600
$800
Montería (2)
$1.900
Req. (Ton)
1.000
Solución X 11 :
Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Bucaramanga. X 12 : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Medellín. X 13 : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Barranquilla. X 21 : Toneladas de carne a enviar desde Montería a Bucaramanga. X 22 : Toneladas de carne a enviar desde Montería a Medellín. X 23 : Toneladas de carne a enviar desde Montería a Barranquilla. O bien: X i , j :
Toneladas de carne a enviar desde el centro de sacrificio i al centro de
consumo j . Donde: i : 1,2 j :
1,2,3
Mín. Z = 800 X 11+1500 X 12+950 X 13+1900 X 21+750 X 22+300 X 23
60 s.a:
≤ 1.300
X 11+ X 12+ X 13
X 21+ X 22+ X 23 ≤ 3.000 X 11 +
≤ 1.000
X 21
X 12+ X 13+
X 22
≤
700
X 23 ≤
600
X 11= X 12= X 13= X 21= X 22= X 23≥ 0
O bien:
X i , j≥ 0
Donde: i : 1,2 j :
1,2,3
5. Una empresa produce dos artículos, A y B. La elaboración de una unidad de A requiere $20 de mano de obra y cada unidad de B requiere $10. La materia prima requerida es de $100 y $300 respectivamente para A y B. La depreciación del equipo es proporcional al volumen de producción y se ha estimado en $5 por cada unidad de A y $1 por cada unidad de B. Se cuenta con una disponibilidad de $ 1.000.000 para salarios del periodo, $1.800.000 para materia prima y no se permite que el desgaste del equipo supere los $100.000. Respecto a las utilidades no hay certeza, se espera que estos sean: Utilidad de A $8 $5 $7
Utilidad de B $5 $6 $7
Probabilidad 0.50 0.25 0.25
Formule el anterior problema como un modelo de programación lineal
Solución
61
X 1 :
Cantidad de artículos de tipo A a producir durante el periodo. X 2 : Cantidad de artículos de tipo B a producir durante el periodo. Máx. Z = (0.5 x8 + 0.25 x5 + 0.25x7) . X 1 + (0.5 x5 + 0.25 x6 + 0.25x7) . X 2 Máx. Z = 7 X 1 + 5,75 x 2 s.a:
20 X 1+
10 X 2 ≤ 1.000.000
100 X 1+ 300 X 2 ≤ 1.800.000
5 X 1+
X 2 ≤
100.000
X 1= X 2≥ 0
6. Una compañía tiene tres tipos de maquinas procesadoras, cada una de diferente velocidad y exactitud. La maquina tipo I puede procesar 20piezas/hora, con una precisión de 99%; la tipo II, 15piezas/hora, con una precisión de 95%, y la tipo III, 10piezas/hora, con una precisión del 100%. El funcionamiento de la tipo I cuesta $2/hora; el de la tipo II, $1.75/hora y el de la tipo III, $1.50/hora. Cada día (8horas) deben procesarse por lo menos 3500 piezas buenas y hay disponibles 8 maquinas tipo I; 10 tipo II y 20 tipo III. Cada error le cuesta $1 a la compañía. Formular como un modelo de programación lineal.
Solución Cálculos: •
Costo por hora, a partir del funcionamiento de cada maquina, incluyendo costos por errores: Tipo I: $2 + 20 (0.01) ($1)
= $2.2
62 Tipo II: $1.75 + 15 (0.05) ($1) = $2.5 Tipo III: $1.50 + 10 (0) ($1) •
= $1.5
Cantidad de piezas buenas que produce cada maquina por hora: Tipo I: 20 (0.99) = 19.8 piezas buenas/hora Tipo II: 15 (0.95) = 14.25 piezas buenas/hora Tipo III: 10 (1) = 10 piezas buenas/hora
•
Total de piezas buenas que deben producirse por hora: 3500 piezas / día 8horas / día
= 437.5 piezas / hora.
Entonces, sea: X i :
Cantidad de maquinas tipo
i
que deben utilizarse
i = 1,2,3
Mín. Z = 2.21 +2.5 X 2+1.5 X 3 s.a:
19.8 X 1+14.25 X 2+10 X 3
≤ 437.5 ≤
X 1
8
≤ 10
X 2
≤ 20 X 1= X 2= X 3≥ 0 X 3
7. Un fabricante produce tres modelos (I, II, III) de cierto producto. Él utiliza dos tipos de materia prima (Ay B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por unidad de los tres modelos son: Materia prima
Modelo I
Modelo II
Modelo III
63 A
2
3
5
B
4
2
7
El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fabrica puede producir el equivalente a 1500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos se 200, 200, 150 unidades respectivamente. Supóngase que la ganancia por unidad de los modelos I, II, III es $30, $20 y $50 respectivamente. Formular como un modelo de programación lineal.
Solución X 1 : Numero
de unidades a producir del modelo I
X 2 :
Numero de unidades a producir del modelo II
X 3 :
Numero de unidades a producir del modelo III
Máx. Z = 30 X 1+20 X 2+50 X 3 s.a:
2 X 1+3 X 2+5 X 3≤ 4000 4 X 1+2 X 2+7 X 3≤ 6000
1 2 X 1= X 2→ X 1= X 2 2 → X + 1 X + 1 X ≤ 1500 1 2 3 1 2 3 3 X 1= X 3→ X 1= X 3 3 X 1≥ 200 X 2≥ 200
64 X 3≥ 150 X 1= X 2= X 3≥ 0
8. Una empresa elabora dos productos, X y Y, para lo cual utiliza los materiales A y B. El producto X requiere una unidad del material A y una unidad del material B. El producto Y requiere tres unidades de A y una unidad de B. Las informaciones de los proveedores indican que deben comprarse como mínimo 300 unidades del material A y 200 del B. El departamento de maquinado puede elaborar 500 unidades del producto X o 600 del producto Y, o cualquier relación de estos. El departamento de acabado dispone de un total de 2800 minutos de los cuales cada unidad de X consume cuatro y cada unidad de Y siete. El departamento de ventas informa que puede venderse a lo sumo 300 unidades del producto y. Formular como un modelo de programación lineal, sabiendo que los costos de producción ascienden a $12 y $8 para los productos X y Y respectivamente y los precios de venta son de $16 para el producto X y $12 para el producto Y.
Solución X 1 :
Cantidad de productos X a elaborar.
X 2 :
Cantidad de productos Y a elaborar.
65 Utilidades = ventas – costos Entonces: Máx. Z = 16 X 1+12 X 2−(12 X 1+8 X 2 ) Máx. Z = 16 X 1+12 X 2−12 X 1−8 X 2 Máx. Z = 4 X 1+4 X 2 s.a:
X 1+3 X 2≥ 300 X 1+ X 2≥ 200
La relación:
X 1 X 2
=
500 600
Entonces, X 1= 5 . X 2 ó X 2= 6 . X 1 ; Luego: 6 X 1+ X 2≤ 600 ó X 1+ 5 X 2≤ 500 6
5
4 X 1+7 X 2≤ 2800 X 2≤ 300
X 1= X 2≥ 0
5
6
66
RESUMEN
Para plantear un problema de P. L. se sugiere seguir los siguientes pasos:
- Leer el enunciado hasta lograr su entendimiento. - Tabular la información suministrada. - Definir variables de trabajo. - Formular la función objetivo. - Establecer las restricciones. - Establecer la no negatividad.
Todo problema de P. L. debe contener la condición de no negatividad, omitirla sería dejar abierta la posibilidad de que una solución óptima puede contener valores negativos.
Los problemas que se pueden presentar en el estudio de la P. L. son de dos tipos, a saber: de maximización y de minimización.
Del correcto entendimiento del enunciado de un problema de P. L., dependerá su correcta formulación o no.
67
68
AUTOEVALUACION AUTOEVALUACION No 2 1. La compañía PINTU-COSTA posee una pequeña fábrica de pinturas que produce colorantes para exteriores e interiores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad d isponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias, la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos diarios de materias primas por toneladas de pinturas para exteriores e interiores se resumen en la siguiente tabla: Exterior
Interior
Disp. Máx.
Materia prima “A” 1
2
6
Materia prima “B” 2
1
8
Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de la pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio señala así mismo, que la demanda máxima para pintura de interiores esta limitada a dos toneladas diarias. Si el precio al mayoreo por tonelada es de $3000 para pintura de exteriores y $2000 para pintura de interiores, plantea el problema como un modelo de programación lineal.
2. Una fábrica de fertilizantes ha recibido un pedido de 1000 toneladas de un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones:
69 •
Cuando menos 20% de Nitrógeno.
•
Cuando menos 30% de Potasio.
•
Cuando menos 8% de Fósforo.
La compañía ha adquirido cuatro fertilizantes básicos a partir de los cuales puede fabricar sus pedidos especiales. Los porcentajes de Nitrógeno, Potasio y fosfato que contienen los fertilizantes básicos son: Fertilizante Básico
porcentaje de Nitrógeno Potasio fosfato
1
40
20
10
2
30
10
5
3
20
40
5
4
5
5
20
Los costos de los fertilizantes básicos respectivos son: $16.000, $12.000, $15.000y $8.000 por tonelada. Plantee como un modelo de programación lineal
3. Usted es un alumno de Administración de Empresas y se ha planteado la necesidad de maximizar la satisfacción diaria que le produce la realización de una serie de actividades. Ha establecido la siguiente lista de actividades con sus diferentes grados de satisfacción asociados, así:
70 ACTIVIDAD 1. 2. 3. 4. 5. 6.
UNIDADES DE SATISFACCION
Tomar una cerveza Fumar un cigarrillo Jugar un partido de softbol Dar un paseo por la playa Leer un libro importante Dormir
4 2 7 3 2 4
Aunque usted quisiera realizar todas las actividades, cuenta con algunas limitaciones. Como es lógico solo dispone de 24 horas al día y las actividades consumen tiempo, así: Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5 Actividad 6
15 minutos 10 minutos 2 horas 1 hora 5 horas 60 minutos
Además, por la estrechez económica en que sirve no le es posible tomar más de 5 cervezas diarias; no puede fumar más de cinco cigarrillos al día, por cuestiones de salud; no puede jugar más de dos partidos de softbol diarios, por cansancio; no puede dar más de dos paseos por la playa, por aburrimiento; no puede leer más de dos libros al día por cansancio visual. En cuanto al sueño, usted sabe que no puede dormir más de diez horas al día, ni menos de siete. Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
71
4. Una compañía transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 40000 libras y 5 con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un costo de operación de $30 por Km., y los más pequeños de $25 por Km. En la próxima semana la compañía debe transportar 400000 libras de malta, para un recorrido de 800 Km. La posibilidad de otros compromisos, significa que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva, debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Formula un modelo de programación lineal que le permita a la compañía saber, cual es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta.
5. Una institución financiera, se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $ 12.000.000. Siendo una institución de servicios integrales, está obligada a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables: Tipo de préstamo Personal Automóvil Casa-habitación Agrícola Comercial
Tasa de interés 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100
Probabilidad de incobrables 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02
72 La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región, los préstamos para casa - habitación debe ser igual cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa - habitación. El banco tiene así as í mismo una política establecida que específica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.04. Plantee el problema como un modelo de programación lineal.
73
GLOSARIO DE TERMINOS 1) FUNCION OBJETIVO: Es una expresión cuantitativa de los valores que deben optimizarse. Puede ser deseable minimizar o maximizar esta función.
2) LENGUAJE ALGEBRAICO: Es el planteamiento de un problema en forma de ecuaciones de igualdad o inecuaciones de desigualdad, como resultado de un lenguaje coloquial.
3) LENGUAJE COLOQUIAL: Es el enunciado de un problema en forma de palabras que debe ser llevado a lenguaje algebraico.
4) ORGANISMO SOCIAL: Es toda empresa (pública o privada) conformada por personas que buscan un bien común.
74
METODOS DE SOLUCION DE LA P. L.
Unidad 3
75
PRESENTACION
El presente capitulo nos proporciona las técnicas de solución para los modelos de programación lineal, iniciando con la gráfica de los mismos, que generalmente se emplea para resolver casos de dos variables, ya que resulta bastante difícil graficar en planos de tres variables e imposible hacerlo para cuatro o más variables. Seguidamente se trata la técnica algebraica Simplex, que a diferencia del método gráfico sirve para solucionar problemas de programación lineal sin tener en cuenta el número de incógnitas. Ambos métodos son herramientas muy eficientes, sencillas y exactas en la solución de modelos de programación lineal; por lo que, sus vigencias datan de muchos años atrás.
76
OBJETIVOS
Explicar el empleo de la solución gráfica para resolver problemas de Programación Lineal de dos variables.
Definir los conceptos básicos empleados para desarrollar la técnica Simplex.
Solucionar problemas de P. L. con dos o más variables por el Método Simplex.
77
ATREVETE A OPINAR
¿Qué entiendes por Método Gráfico? .
.
__________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________
¿Por qué piensas que no se pueden solucionar problemas de P. L. de dos o más variables por el Método Gráfico? __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________
¿Qué entiendes por el término simplex? .
__________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________
78
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: a) (3 , 5) b) (5 , 3) c) (-1 , 2) d) (3 , 4) e) (2 , -1)
Obtener la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2 Y = 12 b) 3 X + 2 Y = 18 c) – 3 X + 5 Y = 60
Soluciona las siguientes operaciones algebraicas: a) 3 + 1
4 3
b)
5 6
−
3 8
c) − 1 + 2 2
d) 1 + 3
1 30
−
1 5
79
3. METODOS DE SOLUCION SOLUCION DE LA PROGRAMACION LINEAL LINEAL 3.1 MÉTODO GRÁFICO Si el modelo se restringe únicamente a dos variables, es posible representarlo y resolverlo gráficamente; de allí que, de lo que se trata es de obtener una gráfica de todo el modelo dado (solución factible), ya que cada restricción define un área que contiene un número infinito de puntos, la cual no excede la desigualdad y el conjunto de gráficas (todas las restricciones) definen un área común a todo el modelo (intersección de sentidos), la cual nos proporcionará la solución optima del mismo. Cabe anotar que, todas las soluciones gráficas de modelos de programación lineal, se dan en el primer cuadrante del plano cartesiano (x, y o
X 1, X 2 ),
tal
como lo especifica la restricción de no negatividad ( X 1= X 2≥ 0 ).
3.1.1 Procedimiento Gráfico Para darle solución a un problema de programación lineal por el método gráfico, se requiere seguir los siguientes pasos:
80
3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades, reemplazando los signos
≤ y ≥ por el signo =. Este cambio genera ecuaciones de línea recta, que
permiten graficar en el plano (x, y).
3.1.1.2 Hallar los intersectos (puntos de corte) con los ejes, partiendo del axioma que reza: “dos puntos definen una recta”, la cual lograremos igualando a cero cada variable por separado y obtendremos automáticamente el valor de la otra.
3.1.1.3 Graficar cada una de las ecuaciones lineales, dándoles el sentido que posean las desigualdades, utilizando flechas sobre las líneas rectas para representar la región que debe considerarse como parte del espacio solución.
3.1.1.4 Determinar el área común, mediante la ayuda de las flechas sobre las líneas rectas y así poder ubicar la intersección de los sentidos de las desigualdades.
3.1.1.5 Calcular el valor de la función objetivo (solución óptima), por medio de la sustitución de cada uno de los vértices de la zona común en el objetivo a lograr: el más grande, si se trata de un caso de maximización ó el más pequeño, si se trata de un caso de minimización. Además de la anterior metodología, se le recomienda al lector utilizar hojas de papel milimetrado en la solución gráfica de los problemas de programación lineal propuestos en el presente modulo y en los conseguidos en cualquier texto de programación lineal e investigación de operaciones.
81
EJEMPLOS Solucionar por el método gráfico los siguientes modelos de programación lineal:
1.
Max. Z = s.a:
3 X 1+5 X 2
4
≤
X 1
2 X 2 ≤
12
3 X 1+
2 X 2 ≤ 18
X 1 =
X 2
≥ 0
Solución Paso a:
Convertir desigualdades en igualdades X 1= 4
(1)
2 X 2= 12
(2)
3 X 1+2 X 2= 18
Paso b:
(3)
Hallar los intersectos con los ejes
En la ecuación (1): X 1= 4 → Línea recta paralela al eje X 2 o Y En la ecuación (2): 2 X 2= 12 ; X 2= 12 2
Línea X 2= 6 → Línea
recta paralela al eje X 1 o X.
En la ecuación (3): Sí
3 X 1+2 X 2= 18
X 1= 0 → 3(0) + 2 X 2= 18
0 + 2 X 2= 18
82 2 X 2= 18 X 2=
18 2
X 2= 9 → Tenemos
el intersecto (0, 9).
Sí X 2= 0 → 3 X 1+2(0) = 18 3 X 1+0 = 18
3 X 1= 18 X 1=
18 3
X 1= 6 → tenemos
Paso c:
el intersecto (6, 0).
Graficar las ecuaciones lineales.
X2 9 8 7 6
X1 ≤ 4
.
.
P3
P4
5
2X2 ≤ 12
4
.
3
P2
2
P5
(0,0) 1
.
.
P1
1
2
3
4
5 6
3X1 + 2X2 ≤ 18 X1
83
Paso d:
Determinar el área común La región conformada por los vértices p 1 , p 2 , p 3 , p 4 y p 5 , es la intersección de todos los sentidos de las desigualdades, es decir, es el área común donde estará la solución del modelo.
Paso e:
Calcular el valor de la función objetivo El polígono de la gráfica, está compuesto de 5 vértices, así: P1 (4,0) P 2 (4,3) P 3 (2,6) P 4 (0,6) P 5 (0,0) → se
descarta porque no maximiza nada.
Cada uno de estos vértices genera una solución, reemplazándolos en la función objetivo, así: P1 (4,0) → Z 1= 3(4) + 5(0) = 12 P 2 (4,3) → Z 2= 3(4) + 5(3) = 27 P 3 (2,6) → Z 3= 3(2) + 5(6) = 36 P 4 (0,6) → Z 4 = 3(0) + 5(6) = 30
Como puede observarse, el valor más grande que asume la función objetivo Z es de 36 y proviene del vértice (2, 6), el cual se constituye en el punto óptimo de la siguiente solución óptima: X 1* = 2 X 2* = 6 Z * = 36
84
2. Mín. Z = s.a :
4 X 1+5 X 2
=20 (1)
1+4 X 2 ≥ 20 4 X +
;
1+ 4 X 2 4 X +
1+ 3 X 2 ≥ 24 6 X +
;
1+ 3 X 2 = 6 X +
24 (2)
8 X + 1+5 X 2 ≤ 40
;
8 X + 1+5 X 2 =
40 (3)
En la ecuación (1): Sí X 1= 0 → 4(0) + 4 X 2= 20 0 + 4 X 2= 20 4 X 2= 20 X 2=
20 4
X 2= 5 → (0,5)
Sí X 2= 0 → 4 X 1+4(0) = 20 4 X 1+0 = 20 4 X 1= 20 → X 1=
20 4
X 1= 5 → (5,0)
En la ecuación (2): Sí X 1= 0 → 6(0) + 3 X 2= 24 0 + 3 X 2= 24 X 2=
24 3
X 2= 8 → (0,8)
Sí X 2= 0 → 6 X 1+3(0) = 24 6 X 1+0 = 24
6 X 1= 24 → X 1= X 1= 4 → (4,0)
24 6
85 En la ecuación (3): Sí X 1= 0 → 8(0) + 5 X 2= 40 0 + 5 X 2= 40 5 X 2= 40 X 2= X 2
40 5
= 8 → (0,8)
Sí X 2= 0 → 8 X 1+5(0) = 40 8 X 1+0 = 40
8 X 1= 40 X 1=
40 8
X 1= 5 → (5,0)
X2 9 8
.
P3
4X1 + 4X2 ≥ 20
7 6 5
.
4 3
.
2
P2
. .
1 1
2
6X1 + 3X2
3
4
≥ 24
5
P1
8X1 + 5X2 ≤ 40 6
7
8
X1
86 P 1 (5,0) → Z 1= 4(5) + 5(0) = 20 P 2 (3,2) → Z 2= 4(3) + 5(2) = 22 P 3 (0,8) → Z 3=
4(0) + 5(8) = 40
Como puede observarse el valor mínimo de Z es 20, entonces: La solución óptima es: X 1 = 5 *
X 2 = 0 *
*
Z
3.
= 20
Máx. Z = X 1+ 3 X 2 2
s.a:
2 X + 1+2 X 2 ≤ 16 X + 1+ 2 X 2
≤ 12
4 X + 1+ 2 X 2
≤ 28
1= X 2 X =
≥ 0
Solución 2 X 1+2 X 2= 16
(1)
X 1+2 X 2= 12
(2)
4 X 1+2 X 2= 28
(3)
En la ecuación (1) Sí X 1= 0 → 2(0) + 2 X 2= 16 0 + 2 X 2= 16 2 X 2= 16 → X 2=
16 2
→ X 2= 8 → (0,8)
87 Sí X 2= 0 → 2 X 1+2(0) = 16 2 X 1+0 = 16 2 X 1= 16 → X 1=
16 2
→ X 1= 8 → (8,0)
En la ecuación (2) Sí X 1= 0 → 0 + 2 X 2= 12 2 X 2= 12 → X 2=
12 2
→ X 2= 6 → (0,6)
Sí X 2= 0 → X 1+2(0) = 12 X 1+0 = 12 → X 1= 12 → (12,0)
En la ecuación (3) Sí X 1= 0 → 4(0) + 2 X 2= 28 0 + 2 X 2= 28
2 X 2= 28 → X 2=
Sí X 2= 0 → 4 X 1+2(0) = 28 4 X 1+0 = 28 4 X 1= 28 X 1 =
28 4
X 1 = 7 → (7,0)
28 2
→ X 2= 14 → (0,14)
88 X2
14 13 12 11 10 9 8 7 6
.
4X1 + 2X2 ≤ 28 P4
5
.
P3
4
.
3 2 1
P2
X1 + 2X2 ≤ 12
. 7
1
2
3
4
5
6
P1
8
9
10
2X1 + 2X2 ≤ 16 P 1 (7,0) → Z 1= 7 +
3
P 2 (6,2 ) → Z 2= 6 +
3
P 3 (4,4) → Z 3= 6 +
3
P 4 (0,6) → Z 4= 0 +
3
2
(0) = 7
2
2
2
(2) = 9 (4) = 12 (6) = 9
11
.
12
X1
89 Solución óptima, el valor más grande de Z por tratarse de un problema de maximización: X 1* = 4 X 2* = 4 Z * = 12
4. Máx. Z = 3 X 1+2 X 2 s.a:
X + 1+ X 2
≥ 20
X 1
≤ 15
1+ 3 X 2 ≤ 45 X +
− 3 X + 1+5 X 2 ≤ 60 X = 1= X 2
≥ 0
Solución X 1+ X 2= 20
(1)
X 1= 15 → Recta
paralela al eje X 2
X 1+3 X 2= 45 (3)
− 3 X 1+5 X 2= 60 (4)
En la ecuación (1): Sí X 1= 0 → 0 + X 2= 20 → X 2= 20 → (0,20) Sí X 2= 0 → X 1+0 = 20 → X 1= 20 → (20,0) En la ecuación (3) Sí
X 1= 0 → 0 + 3 X 2= 45 → 3 X 2= 45 → X 2=
Sí
X 2= 0 → X 1+3(0) = 45 → X 1= 45 → (45,0)
45 3
→ X 2= 15 → (0,15)
90 En la ecuación (4) Sí
X 1= 0 → −3(0) + 5 X 2= 60 → 5 X 2= 60 → X 2=
Sí
X 2= 0 → −3 X 1+5(0) = 60 → −3 X 1= 60 → X 1=
60 5
→ X 2= 12 → (0,12)
60
−3
X2
→ X 1= −20 → (− 20,0)
- 3 X 1 + 5 X 2 ≤ 60
20 12 15 P3
10 5 - 20
X 1 ≤ 15 P2 P1
5
10
15 20
X 1 + 3 X 2 ≤ 45
45
X1
X 1 + X 2 ≥ 20 P 1 (15,5) → Z 1= 3(15) + 2(5) = 55 P 2 (15,10 ) → Z 2= 3(15) + 2(10) = 65 P
15 , 25 → Z = 3 15 + 2 25 = 95 3 2 2 2 2 2 3
El mayor valor de Z es 65, luego la solución óptima es: * X 1 = 15
X 2* = 10
Z * = 65
91
3.2 MÉTODO SIMPLEX El método Simplex cuyo autor es GEORGE DANTZING, quien lo desarrolló en 1947, es un algoritmo que, a diferencia del método gráfico, sirve para solucionar problemas de programación lineal sin tener en cuenta el número de ecuaciones ni el de incógnitas. El algoritmo es un proceso en el que se repite un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento sistemático, se realiza una iteración. En consecuencia, el algoritmo Simplex sustituye un problema difícil por una serie de problemas fáciles, mediante un procedimiento para iniciar (preparación) y un criterio para determinar cuando detenerse (solución óptima o resultado deseado). La idea general de este método se puede describir como el procedimiento iterativo que parte del origen y en el que cada iteración (paso) contiene la solución de un sistema de ecuaciones y así seleccionar las variables que optimicen el valor de la función objetivo, obteniendo una nueva solución a la que se aplica una prueba de optimalidad.
3.2.1 Procedimiento Simplex Solucionar un modelo de programación lineal por el método simplex, implica seguir los siguientes pasos:
92
3.2.1.1 Estandarizar el modelo de P. L. (procedimiento inicial) Significa convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalente, lo cual se logra adicionando variables de holgura (Si), una por cada restricción, para que represente el superávit. La estandarización del modelo de programación lineal también tiene que ver con la función objetivo, por lo que debe agregarse a esta función todas las variables que aparecen como extras en las restricciones. Los coeficientes o contribuciones de las variables extras que deben aparecer en la función objetivo, tendrán valor de 0, para que no modifiquen o alteren el valor óptimo de la misma.
3.2.1.2 Construir la tabla característica Consiste en disponer todos los elementos del modelo ya estandarizado en forma tabular, así: Sea el siguiente modelo general de programación lineal: Máx =
C 1 X 1+C 2 X 2+... +C n X n
s.a:
A11 X 1+ A12 X 2+.... + A1n X n≤b1 A 21 X x+ A 22 X 2+... + A 2n X n≤b 2
.
.
.
.
.
.
.
.
A m1 X 2+ A m 2 X 2+... + A mn X n≤b n X i≥ 0 i = 1,2,..n
93
TABLA CARACTERISTICA SIMPLEX C j
C 1
C 2
...
C n
C i
VB
bi
X 1
X 2
. . . X n
θ i
C 1
X 1
b1
a 11
a 12
...
a 1n
θ 1
C 2
X 2
b2
a 21
a 22
...
a 2n
θ 2
C n
X n
bn
a m1
a m2
...
a mn
θ n
Z j
b0
Z 1
Z 2
. . . Z n
C j − Z j
C 1− Z 1
C 2 − Z 2
C n − Z n
Definición de la simbología C j :
Contribución de todas las variables básicas y no básicas (coeficientes de las variables en la función objetivo).
VB: Variables básicas (siempre en la primera tabla serán las variables de holgura). C i :
Contribución de las variables básicas.
bi :
Disponibilidad de recursos al comienzo y valor de las variables básicas al final o sobrante de recurso.
b0 :
Valor optimo de Z.
Z j = b 0 = n
n
∑ C i b i
i =1
Z j = ∑ c i a ij i =1
94 j = 1,2...n C j − Z j :
θ i :
Parámetro de optimización
Parámetro de factibilidad (pauta para la variable que sale)
θ i=
bi a ij
3.2.1.3 Variable que entra y la que sale (Criterios del Simplex) 1)
Multiplique por –1 a ambos lados la restricción que tenga el signo ≥, esto hace que la restricción cambie a ≤.
2)
Determinar la columna y la fila pivote.
Columna (variable entrante) • Si no hay negativos en
b1 ,
se selecciona el mayor de los positivos de
( C j − Z j ). • Si hay negativos en
bi ,
se divide la fila ( C j − Z j ) por la fila pivote,
seleccionando el mayor valor absoluto de los negativos de :
θ 2=
(C j − Z j ) , F .P.
si todos son negativos; si todos son positivos, se escoge el mayor de ellos y si hay negativos y positivos, se selecciona el mayor positivo
Fila (variable saliente) • Si hay negativos en
negativos.
bi ,
seleccione el mayor valor absoluto de esos
95 • Si no hay negativos en
b1 ,
seleccione el menor de los positivos de: θ 1=
bi C .P.
En la intersección de la variable que entra y la que sale se encuentra la celda pivote y en ella, el elemento pivote, en cual se necesita la unidad. 3)
Una vez se haga el intercambio (entrante – saliente), se aplica el método de eliminación de GAUSS – JORDAN para hacer iteración Simplex.
4)
Revisar la columna b i , si hay negativos, pase al ítem 2), sino, siga haciendo iteraciones.
5)
La solución es óptima cuando todos los (c j - z j ) ≤ 0. (Prueba de optimalidad o criterio para detenerse).
EJEMPLOS Resolver los siguientes modelos de programación lineal por el método simplex:
1.
Máx. Z = X 1+2 X 2 s.a.:
Solución
X + 1+ 3 X 2
≤ 8
X + 1+ X 2
≤ 4
1= X 2 X =
≥ 0
96 a)
Estandarización: Máx. Z = X 1+2 X 2+0S 1+0S 2 s.a.:
X 1+3 X 2+ S 1
=8
S 2 =
X 1+ X 2+
4
X 1= X 2= S 1= S 2 ≥ 0
b)
Tabla característica 0 C i
VB
C j
1
2
0
0
bi
X 1
X 2
S 1
S 2
θ 1
0
S 1
8
1
3
1
0
8
0
S 2
4
1
1
0
1
4
Z j
0
0
0
0
0
1
2
0
0
C j − Z j
3
Saliente (F.P)
Entrante (C.P) c)
Variable que entra y variable que sale:
En la tabla se puede apreciar: -
La solución no es optima, porque todos los
-
Al no haber negativos en positivo de los
-
bi ,
C j − Z j no
son ≤ 0.
se selecciona para entrar el mayor
C j − Z j . ( X 2 )
Se determinó θ i=
bi C .P.
y se seleccionará el menor positivo de ellos (S 1 ) .
97 -
En la intersección de la C.P con la F.P. se encuentra el numero 3 o elemento PIVOTE. En él hay que hallar la unidad y un cero en la celda inferior (GAUSS-JORDAN). 1 C i
VB
2
X 2
0
S 2
Z j
C j
1
2
0
0
bi
X 1
X 2
S 1
S 2
θ 1
8
1 3
1
1 3
0
8
0
- 13
1
2
3
2
2
3
0
1 3
0
- 23
0
4
3 3
16
3
C j − Z j
2 2
3
F 1
3 para obtener la nueva F1 − F 1 N + F 2V para obtener
la nueva F2
En esta nueva iteración se observa: -
La solución no es óptima, porque todos los
-
No hay negativos en positivos de
bi ,
C j − Z j no
son ≤ 0 .
se seleccionó para entrar el mayor de los
C j − Z j . ( X 1 )
b1
-
Se calculó θ 1=
-
En la intersección de la C.P. con la F.P está el elemento pivote
C .P
y se escogió el menor positivo de ellos ( S 2 ) .
él hay que hallar la unidad y un cero en la celda superior.
2 3
. En
98 2
C j
1
2
0
X 2
S 1
1
1
0
VB
bi
X 1
2
X 2
2
0
1
X 1
2
1
0
- 12
3
Z j
6
1
2
1
1
C j − Z j
0
0
C i
S 2
2
- 12
2
− 1 F 2 N + F 1V para obtener la nueva F1
3
3 F 2 para obtener la nueva F2 2
2 2
- 12 - 12
En este paso podemos ver que: -
Todos los
C j − Z j son
≤ 0 , luego la solución es optima (el algoritmo se
detiene) -
La solución óptima es: X 1* = 2
2.
;
X 2 =
2
;
S 1* = 0
Máx. Z = 3 X 1+2 X 2 s.a
≤
X 1
4
X 1+ 3 X 2 ≤ 15
2 X 1+ X 2 ≤ 10 X 1= X 2≥ 0
a)
Estandarización Max. Z = s.a:
X 1+
3 X 1+2 X 2+0S 1+0S 2+0S 3 S 1
X 1+ 3 X 2 +
2 X + 1+ X 2 +
S 2 S 3
=4 = 15 = 10
X 1= X 2= S 1= S 2 = S 3≥ 0
;
S 2* = 0
;
*
Z
=6
99 b)
Tabla característica 0
C j
3
2
0
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
S 1
S 2
S 3
θ 1
0
S 1
4
1
0
1
0
0
4
0
S 2
15
1
3
0
1
0
15
-F1 + F2 para obtener la nueva F2
0
S 3
10
2
1
0
1
5
-2F1 + F3 para obtener la nueva F3
Z j
0
0
0
0
0
0
C j − Z j
3
2
0
0
0
0
c)
Variable entrante y variable saliente
-
No hay solución optima porque todos los
-
No hay negativos en
bi ,
C j − Z j no
son ≤ 0 .
entonces entra el mayor positivo de los
C j − Z j ( X 1 ) .
-
θ 1=
b1 C .P
1
y se selecciona para salir el menor positivo θ 1 (S 1 ) .
C j
3
2
0
0
0
S 2
S 3
θ 1
∝
C i
VB
bi
X 1
X 2
3
X 1
4
1
0
1
0
0
0
S 2
11
0
3
-1
1
0 11/3
0
S 3
2
0
1
-2
0
1
Z j
12
3
0
3
0
0
0
2
-3
0
0
C j − Z j
S 1
2
-3F3 + F2 para obtener la nueva F2
100 En la tabla 1 se aprecia: -
No hay solución óptima, porque todos los
-
Entra el mayor positivo de los
C j − Z j ,
-
Sale el menor positivo de θ 1=
bi
2
C j
3
2
son ≤ 0.
porque no hay negativos en
bi .
C .P
0 0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
S 1
S 2
S 3
θ 1
3
X 1
4
1
0
1
0
0
4
0
S 2
5
0
0
5
1
-3
1
2
X 2
2
0
1
-2
0
1
-1
Z j
16
3
2
-1
0
2
0
0
1
0
-2
C j − Z j
C j − Z j no
-F2N + F1V para obtener la nueva F1 -
F 2
2F2N + F3V
para obtener la nueva F2 5 para obtener la nueva F3
En la tabla 2 observamos que: -
No hay solución óptima ya que todos los
-
No hay negativos en
bi ,
C j − Z j no
son ≤ 0.
entonces entra el mayor positivo de los
C j − Z j (S 1 ) .
-
Sale el menor positivo de θ 1=
b1 C .P
(S 2 )
Luego realizamos el intercambio de la variable entrante por la saliente, así:
101 3
C j
3
2
0
0
0 S 3
C i
VB
bi
X 1
X 2
S 1
S 2
3
X 1
3
1
0
1
- 15
3
0
S 1
1
0
0
0
1 5
- 35
2
X 2
4
0
1
0
2
5
- 15
Z j
17
3
2
0
1 5
7
0
0
0
- 15
- 75
C j − Z j
5
5
C j − Z j ≤ 0.
En esta interación se llega a la solución óptima, porque, todos los Entonces la solución óptima es: X 1* = 3
Las variables
3.
;
X 2* = 4
S 2 y S 3 son
;
S 1* = 1
;
S 2* = 0
;
S 3* = 0
;
*
Z
= 17
ceros porque no aparecen en la columna VB.
Máx. Z = 10 X 1+2 X 2 s.a :
3 X 1+2 X 2≥ 30 X 1+5 X 2≤ 50
2 X 1+7 X 2≤ 25 X 1= X 2≥ 0
Nótese que la primera restricción posee signo ≥ , entonces se multiplica por –1 a ambos lados de ella para que cambie a ≤ , así ( 3 X 1+2 X 2≥ 30 ) (-1) = − 3 X 1−2 X 2≤ −30 .
102 Entonces: Máx. =
10 X 1+2 X 2+0 S 1+0S 2 +0 S 3
s.a:
= -30
− 3 X 1−2 X 2+ S 1 X 1+ 5 X 2 +
= 50
S 2
2 X 1 + 7 X 2 +
S 3
=25
X 1= X 2= S 1= S 2 = S 3 ≥ 0
0
C j
10
2
0
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
S 1
S 2
S 3
0
S 1
-30
-3
-2
1
0
0
0
S 2
50
1
5
0
1
0
0
S 3
25
2
7
0
0
1
Z j
0
0
0
0
0
0
10
2
0
0
0
- 10 3
-1
0
∞
∞
C j − Z j
θ 2
Entra el mayor valor absoluto de los negativos de θ 2 = Al haber un valor negativo en
bi :
C j − Z j F .P.
Sale automáticamente. De haber más de
uno, saldría el mayor valor absoluto de ellos.
103
1
C j
10
2
0
0
0
S 2
S 3
VB
bi
X 1
X 2
S 1
10
X 1
10
1
2
- 13
0 0
-30
0
S 2
40
0
13
1/3
1 0
120
0
S 3
5
0
17
2/3
0 1
Z j
100
10
20
10 3 - 3
0 0
- 14 3 10 3
0 0
C i
0
C j − Z j
2
C j
3 3 3
10
2
0
X 2
15
0
0
S 2
S 3
0
0
1
0
1 -1 2
1
0
3
5
VB
bi
X 1
10
X 1
25
1
7
0
S 2
75
0
3
0
S 1
15
0
17
Z j
125
10
35
0
0
0
-33
0
0 -5
C i
2 2 2
C j − Z j
S 1
2 2 2
θ 1
2
1 F + F para obtener la nueva F 1 1V 3 3 N
- 13 F 3 N + F 2V para obtener la nueva F2 3 F para obtener la nueva F 3 2 3
2
2
Todos los ( C j −Z j ) ≤ 0 , entonces la solución es óptima: *
X 1
= 25 / 2 ;
X 2* = 0
;
*
S 1
= 15 / 2 ;
*
S 2
= 75 / 2 ;
S 3* = 0
;
Z * = 125
104
4.
Máx. Z = 4 X 1+6 X 2+5 X 3 s.a
10 X 1+4 X 2+2 X 3 ≤ 95
≤ 41
1+ 2 X 2 2 X + X 1+
≤ 61
2 X 3
X 1= X 2= X 3≥ 0
Solución Máx. Z =
4 X 1+6 X 2+5 X 3+0 S 1+0 S 2 +0 S 3 10 X 1+4 X 2+2 X 3+ S 1 2 X 1+2 X 2+
=95 = 41
S 2
S 3 =
X 1+2 X 3+
61
X 1= X 2= X 3= S 1= S 2 = S 3≥ 0
0
C j
4
6
5
0
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
S 1
S 2
S 3
θ 1
0
S 1
95
10
4
2
1
0
0
95/4
0
S 2
41
2
2
0
0
1
0
41/2
0
S 3
61
1
0
2
0
0
1
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j − Z j
4
6
5
0
0
0
∞
-2F2 + F1 F 2
2
105 1
C j
4
6
5
0
0
0
X 3
S 1
S 2
S 3
VB
bi
X 1
X 2
0
S 1
13
6
0
2
1
-2
0 13
6
X 2
41 2
1
1
0
0
1
0
0
S 3
61
1
0
2
Z j
123
6
6
0
0
3
0
-2
0
5
0
-3
0
C i
C j − Z j
2 C i
C j
VB
bi
4
6
X 1
X 2
3
0
5
1
0
X 3
S 1
S 2
S 3
0
1
1
13
6
X 2
41 2
1
1
0
0
S 3
48
-5
0
Z j
311 2
21 -17
2
61
0
X 3
C j − Z j
0
F 1
-F1 + F3
2
θ 1
-1
0 - 13 2
0
1
0 41
0
-1
2
6
5
5
0
0
- 52
2
2
2
2
∞
0
5
2
2
θ 1
1
-2
0
2
0
24
F3N + F1 - 1 F3N + F2
2
F 3
2
106 3
C j
4
6
5
0
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
S 1
S 2
S 3
5
X 3
61 2
1
0
1
0
0
1
6
X 2
17
9
1
0
1
0
- 14
0
S 2
24
- 52
0
0
- 12
1
1
Z j
407
16
6
5
3
0
1
-12
0
0
- 32
0
-1
S 2* = 24
;
2
C j − Z j
2
2 4
4
2
2
2
Todos los ( C j - Z j ) ≤ 0, entonces la solución es óptima: X 1* = 0
;
X 2* = 17 / 2
;
X 3* = 61 / 2
;
S 1* = S 3* = 0
;
Z * = 407 / 2
Hasta aquí hemos solucionado casos de maximización, ahora miraremos problemas de minimización, los cuales solucionaremos por el método de maximizando el negativo de la función objetivo, el cual consiste en multiplicar todo el problema por –1 al inicio (excepto la condición de no negatividad) y al final también se multiplica por –1para volver al caso de minimización original, así: Solucionar los siguientes modelos de P. L. por el método Simplex:
1. Minimizar Z = 4 X 1+12 X 2+18 X 3 s.a. :
X 1+3 X 3≥ 3
2 X 2+2 X 3≥ 5 X 1= X 2= X 3≥ 0
107 Se multiplica el modelo por –1, entonces: Maximizar (-Z)= − 4 X 1−12 X 2−18 X 3 s.a : − X 1−
3 X 3
≤ -3
− 2 X 2−2 X 3
≤ -5
X 1= X 2= X 3≥ 0
Ahora estandarizamos: Maximizar (-Z) = − 4 X 1−12 X 2−18 X 3+0S 1+0S 2 s.a: − X 1 −
3 X 3 + S 1
− 2 X 2−2 X 3+
= -3 S 2 =
-5
X 1= X 2= X 3= S 1= S 2 ≥ 0
0
C j
-4
-12 -18
0
0
VB
bi
X 1
X 2
X 3
S 1
S 2
0
S 1
-3
-1
0
-3
1
0
0
S 2
-5
0
-2
-2
0
1
Z j
0
0
0
0
0
0
C j − Z j
-4
0
0
∞
0
C i
θ 2
∞
-12 -18 6
9
3F2N + F1V F 2
−2
108 1
C j
-4
-12
-18
0
0
bi
X 1
X 2
X 3
S 1
S 2
θ 1
-1
3
0
1
- 32
3
0
1
1
0
- 12
5
0
18
-18
0
9
-4
6
0
0
-9
C i
VB
0
S 1
9
-18
X 3
5
Z j
-45
2 2
C j − Z j
2
C j
X 1* = 0 Z * = 36
-12
-18
3
-F1N + F2V
2
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
-12
X 2
3
2
- 13
1
0
1 3
- 12
-18
X 3
1
1 3
0
1
- 13
0
Z j
-36
-2
-12
-18
2
6
-2
0
0
-2
-6
C j − Z j
Como todos los
-4
F 1
2
C j − Z j son
X 2* = 3 / 2
X 3
S 1
S 2
≤ 0, entonces la solución óptima es: *
X 3
=1
S 1* = S 2* = 0
Se le cambia de signo para que no se altere el modelo original de Minimización.
109
2. Mín. = 20 X 1+15 X 2+45 X 3+60 X 4 s.a:
X 1+ X 2+ X 3 - 3 X 4 ≥ 3
X 1+
3 X 3 + 5 X 4 ≥ 2
X 1= X 2= X 3= X 4≥ 0
Entonces: Max. (-Z) = − 20 X 1−15 X 2−45 X 3−60 X 4 s.a. : − X 1− X 2− X 3 + − X 1−
3 X 4 ≤ -3
3 X 3 - 5 X 4 ≤ -2
X 1= X 2= X 3= X 4
≥ 0
Estandarizando: Max. (-Z) = − 20 X 1−15 X 2−45 X 3−60 X 4+0S 1+0S 2 s.a. :
= -3
− X 1− X 2− X 3+ 3 X 4 + S 1
S 2 =
− X 1− − 3 X 3 − 5 X 4 + X 1= X 2= X 3= X 4= S 1= S 2
-2
≥ 0
Tabulando: 0
C j
-20
-15
-45 -60
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
X 4
S 1
S 2
0
S 1
-3
-1
-1
-1
3
1
0
F 1
0
S 2
-2
-1
0
-3
-5
0
1
-3F1 + F2
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j − Z j
-20
-15
-45 -60
0
0
θ 2
20
15
45
0
∞
-20
−1
110
1
-20 -15 -45 -60
C j
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
X 4
S 1
S 2
θ 1
-45
X 3
3
1
1
1
-3
-1
0
3
0
S 2
7
2
3
0
-14
-3
1
-135 -45 -45 -45 135 45
0
Z j
25
C j − Z j
2
30
0
-195 -45
-20 -15 -45 -60
C j
7
-F2N + F1V
3
0
0
VB
bi
X 1
X 2
X 3
X 4
S 1
S 2
θ 1
-45
X 3
2
1 3
0
1
5
0
- 13
2
-15
X 2
7
2
1
0 - 14 3
-1
1 3
Z j
-65 -25 -15 -45
15
10
3
3
5
C j − Z j
3
3
-5
0
0
C j
-20 -15 -45 -60
7
3F1 -2F1 + F2
2
-55 -15 -10
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
X 4
S 1
S 2
-20
X 3
2
1
0
3
5
0
-1
-15
X 2
1
0
1
-2
-8
-1
1
-55 -20 -15 -30
20
15
5
-15 -80 -15
-5
Z j
C j − Z j
0
0
3
0
C i
3
F 2
111 Todos los
C j − Z j son ≤ 0,
entonces la solución óptima es: ; X 2* = 1 ; X 3* = 0 ; X 4* = 0 ; S 1* = S 2* = 0
X 1* = 2
3. Min. Z = 4 X 1+15 X 2+10 X 3 s.a. : X 1+ X 2+ 2 X 3 ≥ 3 3 X + X 3 ≥ 2 X 1= X 2= X 3 ≥ 0 2
Al multiplicar por -1, obtenemos: Máx. (-Z) = − 4 X 1−15 X 2−10 X 3 s.a. : − X 1− X 2−2 X 3 ≤ -3 − 3 X 2− X 3 ≤ -2 X 1= X 2= X 3 ≥ 0 Ahora estandarizamos el modelo: Máx. (-Z) = − 4 X 1−15 X 2−10 X 3+0S 1+0S 2 s.a. : − X 1− X 2−2 X 3+ S 1 = -3 -2 X 1= X 2= X 3= S 1= S 2 ≥ 0 − 3 X 2− X 3+
Entonces: 0
C j
S 2 =
-4
-15
-10
0
VB
bi
X 1
X 2
0
S 1
-3
-1
-1 -2
1
0
0
S 2
-2
0
-3
-1
0
1
Z j
0
0
0
0
0
0
C j − Z j
-4
-15
-10
0
0
θ 2
4
15
5
0
∞
C i
X 3
S 1
S 2
F 1
−1 -3F1 + F2
;
Z * = 55
112 1
C j
-4
-15 -10
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
S 1
S 2
θ 1
-15
X 2
3
1
1
2
-1
0
3
0
S 2
7
3
0
5
-3
1
7
-45 -15 -15 -30 15
0
Z j
C j − Z j
11
0
2
20 -15
C j
X 1* = 0 *
X 2
= 1/ 5
X 3* = 7 / 5
S 1 = S 2 = 0 *
*
*
= 17
Z
2
F 2
5
5
0
-4
-15 -10
0
0
C i
VB
bi
X 1
X 2
X 3
-15
X 2
1 5
- 15
1
0
1 5
- 25
-10
X 3
7
3
0
1
- 35
1 5
Z j
-17
5
C j − Z j
Como todos los
-2F2N + F1V
C j − Z j ≤ 0,
5
S 1
S 2
-3
-15 -10
3
4
-1
0
-3
-4
0
entonces la solución óptima es:
113
RESUMEN
Para poder darle solución a un modelo de P. L. por el Método Simplex, primero que todo hay que estandarizar el modelo (prepararlo), adicionando variables de holgura (S i ), una por cada restricción y en forma ascendente.
Cuando no hay valores negativos en la columna b i, se selecciona para entrar el mayor de los positivos de la fila (C j – Z j), luego se procede a sacar el menor positivo de la columna θ 1 =
bi CP
.
Cuando hay valores negativos e la columna b i, se selecciona para salir el mayor valor absoluto de estos, luego se procede a entrar el mayor valor absoluto de
θ 2 =
(C j − Z j ) FP
, si todos son negativos; si todos son
positivos se selecciona el mayor de ellos ell os y si hay negativos y positivos, se selecciona el mayor positivo.
En una solución óptima no pueden aparecer valores negativos en la columna b i , ya que esto contradice la condición de no negatividad.
Una solución es óptima cuando todos los valores de la fila (C j – Z j ) son ≤ 0
114
AUTOEVALUACION N0 3 1) Aplique el método Simplex para darles solución a los siguientes modelos de P. L.
a) Mín. Z = 3 X 1+2 X 2 s.a. :
5 X 1+2 X 2≥ 250 X 1+3 X 2≥ 100
3 X 1≥ 60 X 1= X 2≥ 0
b) Máx. Z = 10 X 1+13 X 2+10 X 3+11X 4 s.a.: 4 X 1+4 X 2+3 X 3+8 X 4≤ 36 4 X 1+5 X 2+4 X 3+5 X 4≤ 46 2 X 1+ X 2+3 X 3+2 X 4≤ 21 X 1= X 2= X 3= X 4≥ 0
c) Máx. Z. = 3 X 1+2 X 2 s.a. :
X 1+3 X 2≤ 45 X 1≤ 12
2 X 1+ X 2≤ 30 X 1= X 2≥ 0
115
d) Máx. Z = 2 X 1+ 3 2 X 2 s.a. : X 1+ X 2≤ 40 X 1≤ 20
X 2≤ 35
2 X 1+ X 2≤ 50 X 1= X 2≥ 0
2) Solucionar por el método gráfico los siguientes modelos de programación lineal.
a)
Máx. Z = 4 X 1+4 X 2 s.a. :
X 1+3 X 2≥ 3 X 1+ X 2≥ 2
5 X 1+ X 2≤ 6 6 4 X 1+7 X 2≤ 28 X 2≤ 3
X 1= X 2≥ 0
b)
Máx. Z = 3 X 1+2 X 2 s.a. :
X 1+ X 2≥ 20 X 1≤ 15
X 1+3 X 2≥ 45
− 3 X 1+5 X 2≤ 60 X 1= X 2≥ 0
116
GLOSARIO DE TERMINOS 1) ALGORITMO: Proceso de cálculo que proporciona la solución de un determinado tipo de problema mediante un número finito de pasos. Por ejemplo: Indicar todos los pasos para sacar la raíz cuadrada de un número. Un algoritmo suele consistir en una serie de instrucciones detalladas que indican paso a paso qué debe hacerse para conseguir cons eguir la respuesta r espuesta a cada problema probl ema de un tipo determinado; no es necesaria ninguna iniciativa, sino que se trata de un proceso puramente mecánico.
2) INTERSECTO: Punto donde una recta corta a cualquiera con los ejes del plano cartesiano (X,Y).
3) ITERACION: Se refiere al conjunto de pasos necesarios para poder pasar de una tabla simplex a la otra (Iteración Simplex).
4) PIVOTE: Hace referencia al elemento organizador o armador para poder pasar de una tabla Simplex a la otra.
5) RESTRICCION: Es una sujeción o limitante con respecto a la racionalización de recursos empresariales, esbozada en formula de desigualdad.
6) SOLUCION FACTIBLE: Es una solución intermedia en la solución de modelos de P. L, pero no la mejor de todas.
7) SOLUCION OPTIMA: Es la mejor solución (final) de los modelos de P. L entre todas las posibles (Factibles) y es la mayor si el modelo es maximización o la menor si se trata de minimización.
117
8) VARIABLES BASICAS: Son las representadas por las columnas que conforman la matriz identidad en cualquier iteración Simplex y pueden ser físicas o de holgura.
9) VARIABLES FISICAS: Son las que conforman inicialmente a un modelo de P. L.
10) VARIABLES DE HOLGURA: Representan el valor no negativo requerido para hacer que exista la igualdad en las restricciones de un modelo de P. L. Se simboliza por el término S i , el subíndice se refiere a la i - ésima restricción, ya que para cada restricción se utiliza una variable de holgura diferente.
11) VARIABLES NO BASICAS: Son aquellas que no aparecen en ninguna solución (Factible u optima), o sea, que son iguales a cero.
118
LA DUALIDAD
Unidad 4
119
PRESENTACION
Este estudio de la dualidad nos permitirá establecer que detrás de todo problema de P. L existe otro, igualmente importante: El Problema Dual, el cual encierra valiosa información a tener en cuenta al momento de tomar una decisión utilizando esta herramienta. El análisis de la información Dual permite conocer los precios implícitos de los recursos involucrados en el problema Primal, lo cual se logra por medio del análisis de sensibilidad, que es una herramienta que dinamiza a los problemas de Programación Lineal al sacarlos del estado estático en que ellos se presentan, toda vez que son el resultado de situaciones en un momento determinado de las empresas.
120
OBJETIVOS
Construir el Problema Dual de un modelo original (Primal) de Programación Lineal.
Interpretar el significado de las variables duales en relación con las Primales.
Realizar el análisis de sensibilidad al obtener la solución óptima de un problema de Programación Lineal.
121
ATREVETE A OPINAR
¿Qué entiendes por Dualidad? .
______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________
¿Cómo interpretas el término Sensibilidad? . .
.
______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________
¿Qué entiendes por Precio Sombra y Costo de Oportunidad? ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________
122
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
En cada una de las siguientes matrices, obtener la traspuesta equivalente: a) A =
b) B =
(3 X + 2Y ) (− X − 4Y ) (5 X − Y ) 2 X + 7Y )
(− X + Y − Z ) (2 X + Z ) ( X − Y + 3 Z ) (3 X + 5Y − Z ) Y − 3 Z ) X + 2Y − Z ) ( ( 5 (−4 X − 2Y + 3 Z ) Z − 4Y
Determina el tamaño de la matriz involucrada en cada una de las siguientes operaciones: a) A 2X3 . B 3X4 = C b) A 3X2 . B = C 3X4
¿Para qué valores de la variable X se satisfacen cada una de las siguientes igualdades? a) X3 – 1 = 7 b) 3 – X2 = - 6
123
4. EL PROBLEMA PROBLEMA DUAL (P. D.) 4.1 DUALIDAD Dado un conjunto de datos correspondientes a un módulo de P. L, existe otro modelo elaborado a partir de los mismos datos, con una estructura diferente que viene a ser como la imagen del primero, conocido como el Problema Dual (al original se le denomina Problema Primal P. P). La dualidad es uno de los descubrimientos de gran importancia para el desarrollo de la P. L, ya que con el conjunto de datos originales (P. P) se puede encontrar al mismo tiempo la solución Primal y la Dual. La dualidad se caracteriza porque para todo problema de maximización de P. L existe un problema equivalente de minimización y viceversa.
4.2 IMPORTANCIA TEORICA DE LA DUALIDAD La importancia teórica radica en la conceptualización que se da en las relaciones matemáticas entre el Primal y el Dual, lo que permite que al encontrar la solución de uno de los problemas, se obtenga al mismo tiempo la solución de su problema equivalente. A continuación se describen las diferentes relaciones entre los dos modelos y sus componentes:
124
4.2.1 Relaciones Entre el Modelo Primal y el Dual a. Si el problema original (Primal) es un modelo de maximización, el Dual es un modelo de minimización y viceversa. b. Los términos independientes de las restricciones del Primal, corresponden a los coeficientes de la función objetivo del Dual y viceversa. c. Si en el modelo Primal las restricciones son del tipo ≤ , en el Dual son del tipo ≥ y viceversa. d. Los coeficientes de las restricciones (a ij ) del Primal son los mismos del Dual, pero transpuestos (lo que es fila en uno, es columna en otro y viceversa). e. El número de variables del Primal es igual al número de restricciones del Dual y viceversa.
4.2.2 Relaciones entre la Solución del Modelo Dual y el Primal a. La fila de los C j - Z j del Dual corresponden a los b i del Primal (con signos contrarios) y viceversa. b. Las variables de holgura del Dual corresponden a las variables físicas Primal y Viceversa.
125 c. Los a ij del Dual corresponden a los a ij del Primal, traspuestos y con signos contrarios. d. El Z óptimo del Dual corresponde al Z óptimo del Primal y viceversa. Las anteriores relaciones (9 en total) son suficientes para: 1. Construir el modelo Dual, dado el modelo Primal y viceversa. 2. Pasar del Tablero Óptimo Dual (T.O.D) al Tablero Óptimo Primal (T.O.P) y viceversa.
4.3 IMPORTANCIA COMPUTACIONAL DE LA DUALIDAD Dentro del análisis Dual hay un aspecto computacional que se debe resaltar, ya que se presenta un ahorro de cálculos al determinar la solución del problema Primal a partir de la solución del problema Dual y viceversa, teniendo en cuenta las relaciones descritas en la sección 4.2.2.
Ejemplos 1. Sea el siguiente modelo de P. L: Max . Z = X 1 + 2X 2 s.a = X 1 + 3X 2
Este es el Primal, ya que en la P. L a todo ≤
8
X 1 + X 2 ≤ 4 X 1 = X 2 ≥ 0
modelo original, se le denomina Problema Primal.
126 Se pide: a. Construcción del Dual respectivo. b. Solución del Dual por el método Simplex. c. Del T. O. D, obtener el T. O. P.
Solución a) Para construir el Problema Dual, se aplican las relaciones descritas en la sección 4.2.1, así: Min. Z = 8Y 1 + 4Y 2 s.a = Y 1 + Y 2
Este es el Dual, construido a partir de los 1
≥
3Y 1 + Y 2
≥
datos originales (Primal), pero con una 2
estructura diferente.
Y 1 = Y 2 ≥ 0
b) Máx. (-Z) = -8Y 1 - 4Y 2
Max (-Z) = -8Y 1 - 4Y 2 + OS 1 + OS 2
s.a = -Y 1 - Y 2 ≤ -1
s.a = -Y 1 - Y 2 + S 1
-Y 1 - Y 2 ≤ -2
-Y 1 - Y 2 +
Y 1 = Y 2 ≥ 0
= -1 S 2 = -2
Y 1 = Y 2 = S 1 = S 2 ≥ 0
C J -8 -4 0 0 C i UB b i Y 1 Y 2 S 1
S2
0
S1
-1
-1
-1
1
0
F2N + FiV: para obtener la nueva F1
0
S2
-2
-3
-1
0
1
F 2
Z j
0
0
0
0
0
-8
-4
0
0
8
4
α
0
C j - Z j θ 2
3
0
−1
: para obtener la nueva F2
127 C J -8 -4 0 1 C i UB b i Y 1 Y 2 S 1
0 S2
S1
1
2
0
1
-1
-4 Y 2
2
3
1
0
-1
Z j -8 -12 -4
0
4
C j - Z j
0
-4
0
4
0
2
CJ
C i UB b i 1
-8
Y1
-4
Y2
1
Z j
-6
C j - Z j
2 2
θ 1
1 2
F 1
2
2
-3F1N + F2V: para obtener la nueva F2
3
-8
: para obtener la nueva F1
-4
0
0
Y1 Y2 S1
S2
1
1
2
1
- 12
0
−3
0
1
2
2
-8
-4
2
2
0
0
-2
-2
Como todos los (C j – Z j ) ≤ 0, la solución es óptima; es decir, hemos llegado al T. O. D., entonces:
c) El T. O. P es:
128 CJ
1
2
0
0
C i UB b i
X1 X2
S1
S2
1
X1
2
1
−1
3
2
X2
2
0
Z j
6
1
2
1
0
0
- 12
C j - Z j
0 1
1
2
2
2
2
- 12 1
2
- 12
Nota: El estudiante debe ampliar los conceptos de las relaciones Dual y Primal para verificar el modelo y solución obtenida.
2. Dado el siguiente método de P. L.: Máx. . Z = 3X 1 + 2X 2 s.a: X 1
≤ 4
X 1 + 3X 2 ≤ 15 2X 1 + X 2 ≤ 10 X 1 = X 2 ≥ 0 Obtener: a. El modelo Dual correspondiente. b. Solución del Dual por el método Simplex. c. La T. O. D.
129
Solución a. Min. Z = 4Y 1 + 15Y 2 + 10Y 3 s.a = Y 1 + Y 2 + 2Y 3 ≥ 3 3Y 2 + Y 3 ≥ 2 Y 1 = Y 2 = Y 3
≥ 0
b. Máx. (-Z) = -4Y 1 - 15Y 2 - 10Y 3 s.a = -Y 1 - Y 2 - 2Y 3 ≤ -3 -3Y 2 - Y 3 ≤ -2 Y 1 = Y 2 = Y 3 = S 1 = S 2 ≥ 0 Máx. (-Z) = -4Y 1 -15Y 2 -10Y 3 +OS 1 + OS 2 s.a = -Y 1 - Y 2 - 2Y 3 + S 1 -3Y 2 - Y 3 +
= -3
S 2 = -2
Y 1 = Y 2 = Y 3 ≥ 0 C J -4 -15 -10
0
0
C i UB b i Y 1 Y 2 Y 3 S 1
S2
0 0
S1
-3
-1
-1
-2
1
0
0
S2
-2
0
-3
-1
0
1
Z j
0
0
0
0
0
0
-4 -15 -10
0
0
4
0
α
C j - Z j θ 2
15
5
F 1
−1
: para obtener la nueva F1
3F1N + F2N: para obtener la nueva F2
130 C J -4 -15 -10 0 1 C i UB b i Y 1 Y 2 Y 3 S 1
S2
θ 1
-15 Y 2 0
S2
0
3
1
1
2
-1
0
3
7
3
0
5
-3
1
7
Z j -45 -15 -15 -30 15
0
C j - Z j
0
11
0
2
20 -15
-2F2N + F1V: para obtener la nueva F1
2
F 2
5
5
: para obtener la nueva F2
CJ
-4
-15
-10
0
0
C i UB b i
Y1
Y2
Y3
S1
S2
-15 Y 2
−1
1
0
1 5
- 25
0
1
−3
1 5
1 5
-10 Y 3 7
5
5
3
5
5
Z j -17
-3
-15
-10
3
4
C j - Z j
-1
0
0
-3
-4
Todos los (C j -Z j ) ≤ 0, entonces la solución es óptima, lo cual quiere decir que, hemos llegado a la T. O. D, de la cual obtenemos la T. O. P, así:
131 c. T. O. P. CJ
3
2
0
0
0
C i UB b i
X1
X2
S1
S2
S3
0
S1
1
0
0
1
1 5
- 35
3
X1
3
1
0
0
- 15
3
2
X2
4
0
1
0
2
5
- 15
Z j
17
3
2
0
1 5
7
C j - Z j
0
0
0
- 15
- 75
3. Considere el siguiente modelo de P. L.: Max . Z = 2X 1 + 3X 2 +
4X 3
s.a = 3X 1 + 4X 2 + 2X 3 ≤ 6 2X 1 + X 2 + 2X 3 ≤ 4 X 1 + 3X 2 + 2X 3 ≤ 8 X 1 = X 2 = X 3
≥ 0
Se pide: a. Construcción del Dual equivalente. b. Solución del Dual por el método Simplex. c. De la T. O. D, obtenga la T. O. P. Solución
5
5
132 a. Min. Z = 6Y 1 + 4Y 2 + 8Y 3 s.a = 3Y 1 + 2Y 2 + Y 3 ≥ 2 4Y 1 + Y 2 + 3Y 3
≥ 3
2Y 1 + 2Y 2 + 2Y 3 ≥ 4 Y 1 = Y 2 = Y 3
≥ 0
b. Máx. (-Z) = -6Y 1 - 4Y 2 - 8Y 3
Máx. (-Z) = -6Y 1 -4Y 2 -8Y 3 + OS 1 +
OS 2
s.a = -3Y 1 - 2Y 2 - Y 3 ≤ -2
s.a = -3Y 1 - 2Y 2 - Y 3 + S 1
-4Y 1 - Y 2 - 3Y 3 ≤ -3
-4Y 1 - Y 2 - 3Y 3 +
-2Y 1 - 2Y 2 - 2Y 3 ≤ -4
-2Y1 - 2Y 2 - 2Y 3 +
= -3 S 2 = -2 S 3 = -
4 Y 1 = Y 2 = Y 3 ≥ 0 C J -6
Y 1 =Y 2 =Y 3 =S 1 =S 2 = S 3
≥
0
-4
-8
0
0
0
C i UB b i Y 1 Y 2
Y3
S1
S2
S3
0
S1
-2
-3
-2
-1
1
0
0
F3N + F1V: para obtener la nueva F 1
0
S2
-3
-4
-1
-3
0
1
0
3F3N + F2V: para obtener la nueva F 2
0
S3
-4
-2
-2
-2
0
0
1
Z j
0
0
0
0
0
0
0
C j - Z j
-6
-4
-8
0
0
0
θ 2
3
2
4
α
α
0
0
F 3
−2
: para obtener la nueva F 3
133
C J -6 -4 -8 0 1 C i UB b i Y 1 Y 2 Y 3 S 1
0
0
S2
S3
θ 1
0
S 1
0
-2
-1
0
1
0
- 12
0
F2N + F1V: para obtener la nueva F 1
0
S 2
3
-1
2
0
0
1
- 32
3
F 2
2
-8 Y 3
2
1
1
1
0
0
- 12
Z j -16 -8
-8
-8
0
0
4
C j - Z j
4
0
0
0
-4
2
CJ 2 C i UB b i
-6
-4
0
0
0
Y1
Y2 Y3 S1
S2
S3
0
−5
1
5
S1
3
-4 Y 2 3
2
2
0
-8 0
-3 1 3
0
1
0
- 12
1
Z j -10 -10
-4
-8
0
2
1
C j - Z j
0
0
0
-2
-1
2
2
4
2
θ 1
- 34
3
1
1
4
: para obtener la nueva F 2
-2F2N + F3V: para obtener la nueva F 3
4
1
-8 Y 3
0
2
2
- 35
- 12
2
0
1
2
5 F3N + F1V: para obtener la 2
nueva F 1
1 F3N + f 2V 2V: para obtener la 2 nueva F 2
F 3 : para obtener la nueva F 3 3 2
134
3
CJ
-6
-4
-8
0
0
0
C i UB
bi
Y1
Y2
Y3
S1
S2
S3
0
S1
7
0
0
5
1
- 13
- 56
-4
Y2
5
0
1
1 3
0
1 3
- 23
-6
Y1
1 3
1
0
2
0
- 13
1
Z j - 26 3
-6
-4
- 16 3
0
2
5
C j - Z j
0
0
- 23
0
- 23
3 3
3
3
3
6
3
- 53
Como todos los (C j - Z j ) ≤ 0, hemos legado a la T. O. D. Entonces la T. O. P es como sigue: CJ
2
3
4
0
0
0
C i UB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
S3
0
S3
2
3
- 53
0
0
- 23
- 13
1
3
X2
2
3
1 3
1
0
1 3
- 13
0
4
X3
5
5
0
1
- 16
2
0
Z j
26
3
4
1 3
5
0
0
- 13
- 53
C j - Z j
3 3
6
13
3
- 73
3 3
0 0
135
4. Sea el siguiente modelo de P. L: Min. Z = 20X 1 + 15X 2 + 45X 3 + 60X 4 s.a = X 1 + X 2 + X 3 - 3X 4 X1
≥ 3
+ 3X 3 + 5X 4 ≥ 2
X 1 = X 2 = X 3 = X 4
≥ 0
Y su tablero Óptimo: CJ
-20
-15
-45
-60
0
0
C i VB b i
X1
X2
X3
X4
S1
S2
-20 X 1
2
1
0
3
5
0
-1
-15 X 2
1
0
1
-2
-8
-1
1
-15
-30
20
15
5
0
-15
-80
-15
-5
Z j -55 -20 C j - Z j
0
Se pide: a. Construcción del Dual Correspondiente. b. De la T. O. P, obtener la T. O. D.
136
Solución.
a) Máx. Z = 3Y 1 + 2Y 2 s.a :
Y 1 + Y 2
Máx. Z = 3Y 1 +2Y 2 + OS 1 + OS 2 + OS 3 + OS 4
≤ 20
Y1
s.a :Y 1 + Y 2 + S 1
≤ 15
Y1
≤ 45
Y 1 + 3Y 2
-3Y 1 + 5Y 2 ≤ 60
-3Y 1 + 5Y 2
Y 1 + 3Y 2 Y 1 = Y 2
≥
0
= 20
+ S2
= 20 + S3
= 45
+ S 4 = 60
Y 1 =Y 2 = S 1 =S 2 = S 3 = S 4 ≥ 0
b) Entonces el T. O. D., nos queda así: CJ
3
2
0
0
0
0
C i VB
bi
X1
X2
S1
S2
S3
S4
0
S3
15
0
0
-3
2
1
0
0
S4
80
0
0
-5
8
0
1
3
X1
15
1
0
0
1
0
0
2
X2
5
0
1
1
-1
0
0
Z j
55
3
2
2
1
0
0
0
0
-2
-1
0
0
C j - Z j
4.4 ANALISIS DE SENSIBILIDAD En las soluciones óptimas de modelos de P. L, algunos de los datos de un problema no son conocidos con la exactitud que se desearía, por lo tanto
137 deben ser estimados lo mejor posible. El análisis de sensibilidad hace posible lo anterior, al convertir un problema estático de P. L en uno dinámico; lo que lo hace tener un gran valor para la administración, puesto que permite una interpretación de los resultados obtenidos. Para el estudio de las diversas situaciones que se pueden presentar, analizaremos los siguientes ejemplos:
1) La compañía “ABC” desea planear su producción para el próximo periodo. Se pueden elaborar 4 productos distintos (1, 2, 3 y 4) los cuales presentan los siguientes requerimientos:
Producto
Material 1
Material 2
Material 3
1
1
5
4
2
1
3
8
3
1
2
12
4
1
2
4
10
20
28
Disponibilidad (Unidades)
Los productos aportan utilidades unitarias de $2, $3, $4 y $5 para 1, 2, 3 y 4 respectivamente (en miles). El problema consiste en determinar la cantidad que debe elaborarse, por cada periodo, de los productos 1, 2, 3 y 4 para maximizar la utilidad.
138
El modelo correspondiente es: Máx. Z = 2X 1 + 3X 2 + 4X 3 + 5X 4 s.a : X 1 + X 2 + X 3 + X 4
≤ 10
5X 1 + 3X 2 + 2X 3 + 2X 4
≤ 20
4X 1 + 8X 2 + 12X 3 + 4X 4 ≤ 28 X 1 = X 2 = X 3 = X 4 ≥ 0 El tablero inicial Simplex es: CJ
2
3
4
5
0
0
0
C i UB
bi
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
0
S1
10
1
1
1
1
1
0
0
0
S2
20
5
3
2
2
0
1
0
0
S3
28
4
8
12
4
0
0
1
Z j
0
0
0
0
0
2
3
4
5
0
0
0
C j – Z j
El tablero óptimo (final) Simplex es: CJ
2
3
4
5
0
0
0
C i UB B i
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
0
S1
3
0
-1
-2
0
1
0
- 14
0
S2
6
3
-1
-4
0
0
1
- 12
5
X4
7
1
2
3
1
0
0
1
4
139 Z j
35
C j – Z j
5
10
15
5
0
0
5
-3
-7
-11
0
0
0
- 54
4
La solución que puede leerse del tablero final es: a. Z=
35
Observaciones
X1 = 0
No es rentable su producción
X2 = 0
No es rentable su producción
X3 = 0
No es rentable su producción
X4 = 7
Producto rentable
S1 = 3
Material 1no utilizado
S2 = 6
Material 2 no utilizado
S3 = 0
Todo el material 3 se utilizó
b. COSTOS DE OPORTUNIDAD (Valores bajo la variable de decisión en la fila (C j – Z j ) Producto 1 ($3/Unidad).
En estos valores cambiaría (se reduciría) la utilidad
Producto 2 ($7/Unidad)
Por cada unidad que se elaborara de estos productos no
Producto 3 ($11/Unidad)
No rentables.
C.
PRECIOS SOMBRA
Material 1: $0 por cada unidad adicional del material. Material 2: $0 por cada unidad adicional del material.
140 Material 3: $ 5 4 por cada unidad adicional del material. Estos valores muestran cuánto se estaría dispuesto a pagar por cada unidad adicional de cada uno de los recursos (se toman de la fila Z del tablero óptimo, debajo de las variables de holgura). Nótese que para aquellos recursos que resultaron “No escasos” (sobró algo), su precio sombra, también llamados precios implícitos, es igual a cero.
2. Suponga que una empresa produce tres artículos (1, 2 y 3), para lo cual necesita de tres materiales básicos (1, 2 y 3) de los cuales dispone de 12, 8 y 10 unidades respectivamente para los materiales 1,2 y 3. Cada artículo aporta a la utilidad $2, $4 y $6 cada uno. Los requerimientos de materiales por cada producto son: Producto
Material 1
Material 2
Material 3
1
2
2
4
2
1
4
2
3
4
2
4
Si el modelo correspondiente es: Max . Z = 2X 1 + 4X 2 + 6X 3 s.a = 2X 1 + 2X 2 + 4X 3 ≤ 12 X 1 + 4X 2 + 2X 3 ≤ 8 4X 1 + 2X 2 + 4X 3 ≤ 10
141 X 1 = X 2 = X 3
0
≥
Y su solución óptima es: CJ
2
4
6
0
0
0
C i VB
bi
X1
X2
X3
S1
S2
S3
0
S1
2
-2
0
0
1
0
-1
4
X2
1
- 13
1
0
0
1 3
- 16
6
X3
2
7
0
1
0
- 16
1 3
Z j
16
17
4
6
0
1 3
4
0
0
0
- 13
- 43
C j - Z j
6 3
- 113
Se pide hacer: Hacer un análisis de sensibilidad. Solución. Del tablero óptimo puede decirse:
a)
OBSERVACIONES Z = 16 X 1 = 0 no es rentable su producción. X 2 = 1 producto rentable. X 3 = 2 producto rentable. S 1 = 2 material 1 no utilizado.
3
142 S 2 = 0 todo el material 2 se utilizó. S 3 = 0 todo el material 3 se utilizó.
b) COSTOS DE OPORTUNIDAD X 1 = ($ 113 /unidad). En este valor se reduciría la utilidad por cada unidad que se elaborara de este producto no rentable.
c) PRECIOS SOMBRA. Material 1: $0 Por cada unidad del material. Material 2: $ 13 Por cada unidad del material. Material 3: $ 4 3 Por cada unidad del material.
143
RESUMEN
A todo modelo de P. L. original (Primal), le corresponde otro modelo equivalente, denominado modelo Dual.
Si el modelo original de P. L. es de Maximización, el modelo Dual será de Minimización y viceversa.
A través de la solución óptima Dual (T. O. D.), se pude deducir la solución óptima Primal (T. O. P.) sin necesidad de resolver el modelo original y viceversa.
Los costos de oportunidad en la solución de un problema de P. L. se pueden leer debajo de las l as variables de decisión decis ión (variables de trabajo) tr abajo) en la fila (C j – Z j ).
Los precios sombra en la solución de un modelo de P. L. se pueden leer debajo de las variables de Holgura en la fila (C j – Z j ).
Toda solución óptima de modelos de P. L. se puede hacer dinámica a través de un análisis de sensibilidad.
144
AUTOEVALUACION N0 4 1. Una empresa produce dos tipos de pintura (X 1 y X 2) y utiliza dos materias primas (A y B). Si la contribución a las utilidades de cada tipo de pintura es $3 y $2 respectivamente y si el modelo correspondiente es: Máx. Z = 3X 1 + 2X 2 s.a = 2X 1 + X 2 ≤ 6 2X 1 + X 2 ≤ 8 -X 1 + X 2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X 1 = X 2
≥ 0
Y su tabla óptima es: CJ
3
2
0
0
0
0
C i VB
Bi
X1
X2
S1
S2
S3
S4
2
X2
4
0
1
2
- 13
0
0
3
X1
10
1
0
- 13
2
0
0
0
S3
3
0
0
-1
1
1
0
0
S4
2
0
0
- 23
1 3
0
1
3 3
3
3
3
145 Z j
38
3
C j - Z j
3
2
1 3
4
0
0
- 13
- 43
3
0
0
0
0
Se pide: Elaborar la tabla óptima Dual y hacer un análisis de la sensibilidad a las dos tablas óptimas.
2. Sea el siguiente modelo de P. L: Max . Z = 3X 1 + 2X 2 s.a = X 1
≤ 12
X 1 + 3X 2
≤ 45
2X 1 + X 2 ≤ 30 X 1 = X 2
≥ 0
Y sea el siguiente su tablero óptimo: CJ
3
2
0
0
0
C i UB B i
X1
X2
S1
S2
S3
3
X1
9
1
0
0
- 15
3
0
S1
3
0
0
1
1 5
- 35
2
X2
12
0
1
0
2
5
- 15
Z j
51
3
2
0
1 5
7
0
0
0
- 15
- 75
C j - Z j
5
5
146 Se pide: Elaborar la tabla óptima Dual y hacer un análisis de sensibilidad de las dos tablas óptimas.
3. El estudiante puede hacerle el análisis de sensibilidad a los ejercicios resueltos en las unidades anteriores.
GLOSARIO DE TERMINOS 1) COSTO DE OPORTUNIDAD: Retornos que se pierden o dejar de percibir como resultado de seleccionar una alternativa en lugar de otra. La cuantía de los costos de oportunidad se determina comparando los beneficios o las ventajas de una escogencia con aquellos que se obtendrían de la mejor alternativa.
2) PRECIO SOMBRA: Valor dispuesto a pagar por cada unidad adicional usada en la elaboración de bienes o prestación de servicios.
147
BIBLIOGRAFIA • QUESADA, Victor. Programación Lineal. U. De Cartagena. • MOSKOWITZ, Herbert. Investigación de Operaciones. Preutice Hall
Internacional. • EPPEN, G.D, GOULD, F.J. investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa. Preutice Hall Hispanoamericana. S. A, 1.984. • VARELA, Jaime. Introducción a la I de O. Editorial Fondo Educativo
Interamericano S. A. Colombia, 1.982. • HILLIER, Frederick; LIBERMAN, Gerald. Introducción a la I de O.
Editorial McGraw - Hill. México, 1.991. • GONZALEZ, Ángel León.
Manual Práctico de Investigación de
Operaciones I. Ediciones Uninorte, Barranquilla, 1.998. • SHAMBLIN, James y G. T., Stevens. Investigación de Operaciones, un
enfoque fundamental. Editorial Mcgraw-Hill. México, 1.990.
148
EL A UTOR UTOR
SANTIAGO VERGARA NAVARRO, Ingeniero Industrial, Especialista en Diseño y Evaluación de Proyectos (CECAR – UNINORTE) y Especialista en Administración Financiera (CECAR). Se ha desempeñado como Gerente de LIPAVENCA en San Cristóbal – Venezuela; Jefe de Operaciones de MOTICONCA en Valencia – Venezuela; Gerente de Salud Asesores Ltda. en Sincelejo y como Secretario de Gobierno, Recurso Humano y de Planeación del Municipio de Corozal (Sucre). Ha sido profesor de pre-grado en CECAR de Matemáticas Financieras (Ingeniería Económica), Álgebra y Programación Lineal, Diseño y Evaluación de Proyectos, Evaluación Social de Proyectos, Análisis Financiero e Investigación de Operaciones, en los programas de Contaduría Pública, Admón. de Empresas, Economía e Ingeniería Industrial; docente catedrático en UNISUCRE de Matemáticas Financieras III y Plan de Empresas II; docente en IAFIC – Sincelejo de Matemáticas Financieras, Programación Lineal y asesor metodológico de la práctica empresarial; monitor del Módulo Diagnóstico Financiero de la Especialización en Administración Financiera de CECAR – Sincelejo y docente de postgrados en CECAR de Matemáticas Financieras en Excel.. Conferencista de diversos seminarios en el área de finanzas y espíritu empresarial, asesor y evaluador de varios trabajos de grado en CECAR y UNISUCRE y asesor del programa Jóvenes Emprendedores Exportadores del Ministerio de Comercio Exterior.
149 Tiene escritos en Álgebra y Programación Lineal (E. A. D. CECAR); Matemáticas Financieras Básicas (Documento guía de IAFIC – Sincelejo) y Matemáticas Financieras en Excel (Documento guía en postgrados CECAR).
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN EDUC ACIÓN ABIERTA ABIERTA Y A DISTANCIA DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
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PROGRAMACIÓN LINEAL
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