TPE : N° 1 RESOLUTION NUMERIQUE D’UNE EQUATION DIFFERENCE PAR LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES EXERCICE EXERCIC E DE MATHEMATIQUES MATHEMATIQUES : TP N° 01
Soit à résoudre le problème suivant :
,
1) Résolu Résoluon on analyque analyque de (p) (soluon (soluon exacte) exacte)
!1"
#$o%
,
et
&a soluon exacte est :
') Résolu Résoluon on numérique numérique de () par par la métode métode des des di*ére di*érences nces +nies +nies n a
i
1---.,
u$$(
/ car 0n caque point
, l$équaon di*érenelle s$écrit :
i!1-------.-1
!2 !2i !
!2 !2i
i!1-------.-1
i!1-------.-1
A
U
B
Programme Matlab permea!t "e #al#$ler U%&' par la m(t)o"e "e* "+,(re!#e* -!+e* NB : il su3t de remplacer et . pour avoir les di*érents resultats
remier cas : !41 et .!1 / clear all clc .!1/ !41/ 5or i!1:.-1 x(i)!i6/ end 7! 8eros(.-1,.-1)/ 9 ;7.<0=0.> #0 &7 =7>R?0 >R?<.7&0 7 7(1,1)!-'/ 7(1,')!-1/ 7(.-1,.-')!1/ 7(.-1,.-1)!-'/ 5or i!':.-' 7(i,i)!-'/ 7(i,i-1)!1/ 7(i,i"1)!1/ end 7 9 7@@?;7<0 #0 &7 =7>R?0 7 9 ;7R<0=0.> #A S0.# =0=0BR0 #A SCS>0=0 =7>R??0&
5or i!1:.-1 B(i)!26i6(DE)/ end 9 R0S&A>?. #A SCS>0=0 =7>R??0& A!B6inv(7)/ 9 >R70R #0 &7 ARB0 R0R0S0.>7.> &7 S&A>?. 7.7&C>?FA0 0> #0 &7 ARB0 9 R0R0S.>7.> &7 S&A>?. .A=0R?FA0 SAR A. =0=0 ?. 7.7&C>?FA0 0S> H)/ disp(HA(x)!xDE-xH)/ 5or i!1:.-1 y(i)!(x(i))DE-x(i)/ end x1(1)!/A1(1)!/A1(.)!/x1(.)!1/y1(.)!/ 5or i!':.-1 x1(i)!x(i)/ A1(i)!A(i)/ y1(i)!y(i)/ end xlabel(HxH)/ ylabel(HAH)/ old on/ plot(x1,y1,HIH)/ plot(x1,A1,HrH)/ 9 7&A& #0 &H0RR0AR 5or i!1:.-1 0(i)!abs(y(i)-A(i))/ end 0rreur ! max(0) leIend(Hcourbe de soluon réelleH,Hcourbe de soluon approcéeH)/ re*$ltat "e l.e&e#$/o! po$r N10 et )01
7! -'
-1
1
-'
1
1 -'
1
1
-'
1
1
-'
1
1
-'
1
1 -'
1
1
-'
1
1
-'
&7 S&A>?. 7.7&C>?FA0 0S> : A(x)!xDE-x &$erreur est : 0rreur ! 41'1J &es courbes représentant la soluon réelle et la soluon approcée sont données sur la +Iure suivante
@iIure1 : courbes obtenues pour .!1 et !414
REMARQUE : 0n deors des points d$abscisses x! et x!1 o% les deux courbes se rencontrent, elles
sont asse8 éloiInées4 e qui prouve une 5ois de plus que l$erreur est Irand, ceci est due au 5ait que le pas (!41) est Irand4 #euxieme cas : !41 et .!1/ clear all clc .!1/ !41/ 5or i!1:.-1 x(i)!i6/ end 7! 8eros(.-1,.-1)/ 9 ;7.<0=0.> #0 &7 =7>R?0 >R?<.7&0 7 7(1,1)!-'/ 7(1,')!-1/ 7(.-1,.-')!1/ 7(.-1,.-1)!-'/ 5or i!':.-' 7(i,i)!-'/ 7(i,i-1)!1/ 7(i,i"1)!1/ end 7 9 7@@?;7<0 #0 &7 =7>R?0 7 9 ;7R<0=0.> #A S0.# =0=0BR0 #A SCS>0=0 =7>R??0& 5or i!1:.-1 B(i)!26i6(DE)/ end 9 R0S&A>?. #A SCS>0=0 =7>R??0& A!B6inv(7)/ 9 >R70R #0 &7 ARB0 R0R0S0.>7.> &7 S&A>?. 7.7&C>?FA0 0> #0 &7 ARB0 9 R0R0S.>7.> &7 S&A>?. .A=0R?FA0 SAR A. =0=0 ?. 7.7&C>?FA0 0S> H)/
disp(HA(x)!xDE-xH)/ 5or i!1:.-1 y(i)!(x(i))DE-x(i)/ end x1(1)!/A1(1)!/A1(.)!/x1(.)!1/y1(.)!/ 5or i!':.-1 x1(i)!x(i)/ A1(i)!A(i)/ y1(i)!y(i)/ end xlabel(HxH)/ ylabel(HAH)/ old on/ plot(x1,y1,HIH)/ plot(x1,A1,HrH)/ 9 7&A& #0 &H0RR0AR 5or i!1:.-1 0(i)!abs(y(i)-A(i))/ end 0rreur ! max(0) leIend(Hcourbe de soluon réelleH,Hcourbe de soluon approcéeH)/ r(*$ltat "e l.e&(#$/o! po$r N100 et )001
nous avons une matrice de 5ormat 1x1 ne pouvant pas entrer dans ceKe paIe4 l$erreur est : 0rreur ! 41E'
&es courbes représentant la soluon réelle et la soluon approcée sont données sur la +Iure suivante
2+g$re3 : courbes obtenues pour .!1 et !41 REMARQUE : les deux courbes sont plus rapprocées qu$à la +Iure1, en plus des points d$abscisses
x! et x!1 o% les deux courbes se rencontrent, elles se con5ondent dans l$intervalle L4J , 1M4 eci est due au 5ait que le pas (!41) est asse8 5aible4 Co!#l$*+o! : #$après les résultats obtenus on peut conclure que avec la métode des di*érences
+nies on se rapproce plus de la soluon lorsque le pas est asse8 5aible (le nombre de point . est asse8 élevé)4
