UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE MEDICINA Unidad de Biomatemática
EJERCICIOS DE PROGRESIONES
I)
Calcular los términos omitidos en las siguientes progresiones aritméticas: 1) ____ , ____ , ____ , 17
, ____ , 17
2)
, ____ , ____ , ____
-2
, ____ , ____ , 13
3) ____ ,
II)
8
, ____
, ____ , ____ , ____ , -12 , ____
Completar los términos que faltan en las progresiones progresiones geométricas: 1)
4
, ____ , ____ , ____ , 324 , ____ , ____
2) ____ , 27
, ____ , ____ ,
3) ____ , ____ ,
1
1
, ____ , ____
, ____ , ____ , -1
, ____
III) Determinar cuáles de las siguientes sucesiones corresponden a progresiones aritméticas o geométricas, señalando la diferencia d o la razón r
IV)
1)
4,
3)
1 2
5)
9,
,
-1, 1 3
,
2 9
,
2)
,……
4)
4 27
9 4
,
6, 7 4
12 , 24,……
,
5 4
,
3 4
,……
7) 1600, 1200, 900, ……
8)
4,
9)
10) 2h ,
-9,
……
3,
7, 9+3p , 11+6p,……
3,
16,
-11,……
6)
-1,
12,
-6 ,
27,……
-4, 1 h
-12, …. ,
Obtener: 1) El 16º término de la progresión 4, 7, 10 , …… 2) El séptimo término en
3 2,
2,
2 , ……
1 2h
3
,……
3) El vigésimo sexto término en
a-4b, a-2b, a, ……
4) El tercer término de una P.A. si a1 = 5 y a17 = 53 5) El 9º término de la progresión 2, 6, 18, …… 6) El décimo tercer término de la progresión
4, 8, 16,……
7) El séptimo término en 18, 9, 3,…… V)
En una progresión aritmética, determinar: 1) La diferencia d y la suma si
a1 = 8; n = 9; an = -8
2) El primer término y la suma si d = -2; n = 8; an = 2 3) El primer término y la diferencia si n = 12; an = 47; Sn=300 4) La cantidad de términos y el último si a1 = -6; d = 4; Sn=24 VI)
En una progresión geométrica, encontrar: 1) El último término y la razón si a1 = 2; n = 3; Sn = 86 2) La cantidad de términos y el primero si r=2; an=480; Sn=945 3) El último término y la suma si
a1 = 1; r = 2; n = 7
4) La cantidad de términos y la suma si a1 = -2; r= 2; an= -64 VII) Hallar la suma en las siguientes progresiones aritméticas: 1) 2)
4,
7, 10, ……
hasta 18 términos
20, 16, 12, …… hasta 12 términos
3)
3 4
,
2 3
,
4)
a
b
7 12
, ……
; 5a 3
b
hasta 19 términos
; 9a 5
b
; …… hasta 10 términos
VIII) Calcular la suma en las siguientes progresiones geométricas: 1)
1, 4,
16, …… hasta a8
2)
27, 9,
3, …… hasta a9
3) 4) 5)
1 125
,
1 25
,
1 5
, …… hasta a7
1, 2, 22,……, 212 1 3
,
1 3
,
1 3
,…… hasta a300
6) IX)
1,
1 2
,
1 4
,
1 8
,
infinitos términos
Plantear y resolver: 1) Encontrar la suma de los 50 primeros enteros positivos que terminan en 5 2) ¿Qué posición ocupa el término la progresión 5, 14, 23, cuyo valor es 239? 3) Usando progresiones calcule la suma de los múltiplos positivos de 7 que sean menores que 500 4) ¿Qué ubicación tiene -28 en la progresión 8, 5, 2, ……? ……? 5) Encontrar el valor de la suma de todos los enteros comprendidos entre 100 y 800 que sean múltiplos de 3. 6) Si el sexto término de PA es 27 y el duodécimo es 48, determine el primer término 7) ¿Cuántos términos de la progresión – 5, – 1, 3,….. deben ser sumados para que la suma sea 660? 8) Determine la progresión aritmética de 6 términos si el primero es 23 y el último 7 13 9) Encontrar el valor de K de modo que 8K+4., 6K–2 y 2K–7 forman en ese orden una progresión aritmética. 10) ¿Cuántos términos de la progresión 9, 12, 15,….. deben ser considerados para la suma sea 306? 11) Intercalar dos términos entre 1+ 2 y 1– 2 de modo que se forme una progresión aritmética
X)
Plantear y encontrar la solución en: 1) 2) 3)
4)
5) 6)
En la progresión 27, – 18, 12,…… ¿Qué ubicación tiene el término de valor 512 ? 729 Encontrara 3 números en progresión geométrica. Cuya suma sea 26 y el producto 216. Si el primer término de una PG es 375 3 75 y el cuarto 192 a) Obtenga el valor de la razón b) Determine el valor de la suma de los 10 primeros términos En una PG de razón 32 cuyo primer término es 160, encuentre el número de términos consecutivos, a partir del primero, que deben ser sumados para 2.110 Buscar 4 números positivos en PG tales la diferencia entre la dos últimos sea 144 y entre los dos primeros sea 16 Intercalar 3 términos entre 278 y 23 de modo que se forme una progresión geométrica
7)
¿Cuáles son los 3 primeros términos de la PG. cuyo tercer término es 254 y su séptimo término es 254 ? 8) Bajo condiciones favorables al crecimiento de una población de cierta bacteria, un organismo se divide en 2 cada media hora, ¿Cuántas veces el número original de organismos habrá al final de un período de 6 horas? 9) El segundo término de una PG es 54 y el cuarto es 15 . Obtener el valor del término que se encuentra entre ellos 10) Obtener el valor valor de K para que los los términos términos k–4, K–1 y 2K–2 formen en ese orden una progresión geométrica. XI)
Calcule la suma de infinitos términos de: 1) 3)
1 3
1 9
1 27
1 81
......
0,1+ 0,01+0,001+……
3 3 2) 53 253 125 625 ...... 4) 2,7+0,27+0,027+0,0027…
R E S U L T A D O S
I)
1) 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17 3) 13, 8, 3, -2, -7, -12, -17
II)
1) 4,12,36, 108,324, 972,2916 2) 3) 1, -1, 1, -1 ,1 ,-1 ,1
III) 1) 3) 5) 7)
IV)
V)
PA; PG; PG; PG;
d=–5 r = 23 r = 43 r = 34
2) -2, 3 , 8, 13 ,18, 23, 28
81,27,9,3,1, 13 , 19
2) 4) 6) 8)
PG; PA; PA; PA;
r=2 d = 12 d = 2 + 3p d=-8 1
9)
PG; r = -3
10)
PG; r =
1) 3) 5) 7)
49 a + 46b 512
2) 4) 6)
9
11 16.384
2 81
1) 3)
S9 = 0; d = – 2 a1 = 3; d = 4
2) 4)
a1 = 16; S8 = 72 n = 6; a6 = 24
2h
2
2
VI)
r = 6; a3 = 72 a7 = 64; S7 = 127
2) 4)
n = 6; a1 = 15 n = 6; S6 = -126
VII) 1) 3)
531 0
2) 4)
- 24 15(12a +7
VIII) 1) 3) 5)
65556 3
2) 4) 6)
9841 243
2) 4) 6) 8) 10)
27 13 19/2
IX)
1) 3)
1) 3) 5) 7) 9) 11)
X)
XI)
1) 3) 5)
13021 125
0 12.500 17.892 234 20
7 2
2 ; 1
1
2 3
; 1
2 3
1) 3)
1 2
1 2
1 9
2 5
; 625 ; 125 ; 25 16 8 4
)
8191 2
2 3
,2, 103 , 143 ,6, 22 3
12
; 1 2
n = 110 26.152.147 r 45 ; S 10 15.625 r = 3 8; 24; 72; 216 r =-3 -4; 12;-36;108
7) 9)
b
2) 4) 6)
2; 6; 18 n=5 r
2 3
r
2 3
8) 10)
4.096 N0 7
2) 4)
3 4
2,43 3
9 4
, 32 ,1
9 4
, 32 ,1