Prova-Modelo de Matemática 7 Páginas
PROVA 5
3.º Ciclo do Ensino Básico
DURAÇÃO DA PROVA: 90 minutos | TOLERÂNCIA: 30 minutos
Cotações
1
A Laura precisou de recolher alguns dados para a disciplina de Matemática. Para isso, registou o número de calçado de cada um dos seus colegas de turma e elaborou o seguinte gráfico:
(12)
1.1
Qual a média do número de calçado dos alunos da turma da Laura? Mostra como chegaste à resposta.
4
_______________________________________________ ________________________________________________ ________________________ Resposta: _______________________ 1.2
Qual das seguintes opções corresponde à moda do número de calçado dos alunos da turma da Laura? 12
1.3
39
36 e 40
2
Escolheu-se, ao acaso, um aluno da turma da d a Laura. Sabendo que esse aluno calça mais do que 37, qual a probabilidade de calçar 40? Apresenta o resultado na forma decimal, arredondada às décimas.
Resposta: _______________________ _______________________________________________ ________________________________________________ ________________________
34
3
5
Cotações
2
Na escola da Laura estão a construir um muro com blocos de cimento, com a forma de prismas quadrangulares, cujo comprimento é o triplo da largura. Esses blocos estão a ser colocados como mostra a figura. Sabe-se, ainda, que cada bloco de cimento tem 81 dm 3 de volume.
2.1
(9)
Se o muro a construir tiver 10,8 m de comprimento e 1,5 m de altura, quantos blocos de cimento serão necessários e quantas filas como as da figura serão construídas?
5
Resposta: _______________________________________________________________________ 2.2
Os blocos foram feitos à base de uma massa que leva água, areia e cimento. Por cada porção de água e por cada porção de cimento juntam-se três porções de areia. Qual das seguintes expressões ilustra a relação entre a quantidade de cimento (c ) e a quantidade de areia utilizada ( a ), ambas em kg? 3 3a + c = 1 c = 3a a = c × a = 6
4
c
3
Considera o sistema de equações:
•
– x + x
3
y
+ y
5
5
2
–2
Qual o par ordenado ( x, y) que é solução deste sistema? Mostra como obtiveste a tua resposta.
Resposta: _______________________________________________________________________
35
(7)
Cotações
4
5 – 3 1 + 5 – < 4. 2 3 Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais. Resolve a inequação
x
x
(7)
Resposta: _______________________________________________________________________
5
Qual das opções seguintes apresenta dois números irracionais? 3 1 π " 8 ; π0 " –64 ; π ; 16 π
(4)
Ä
6
Escreve o número
3
" 3;
2 π
1 na forma de uma potência de base 2. 8
(3)
Resposta: _______________________________________________________________________
7
Na figura está representada uma circunferência de centro O , em que: • A, B , C e D são pontos da circunferência; • [AC ] é um diâmetro; • a amplitude do arco CD é metade da amplitude do arco BC ; • BA = 117°.
(6)
Determina a amplitude do arco BAD , justificando convenientemente a resposta.
Resposta: _______________________________________________________________________
36
Cotações
8
Diz a lenda que a construção geométrica da estrela de nove pontas, ou eneagrama, foi conseguida pela primeira vez por Pitágoras, que, segundo reza a tradição, fundou por volta do ano 525 a. C. uma misteriosa Irmandade fundamentada em alguns princípios. O eneagrama é um antigo sistema de sabedoria, que descreve a queda e a ascensão possível da consciência humana, segundo nove padrões. Assim, cada pessoa pode possuir traços dos nove pontos do eneagrama, mas possui apenas um tipo, que não muda, no entanto, há evolução dentro de cada tipo, nos seus diferentes níveis de desenvolvimento e consciência. A figura é uma representação de um eneagrama desenhado pela Laura.
(13)
J
8.1
Qual a amplitude do arco AI ?
2
Resposta: _______________________________________________________________________ 8.2
Determina a amplitude do ângulo BJI .
3
Resposta: _______________________________________________________________________ 8.3
Indica para que ponto se desloca o ponto C após uma rotação de centro O e amplitude +200°.
2
Resposta: _______________________________________________________________________ 8.4
Calcula a área do eneágono [ ABCDEFGHI ], supondo que o raio da circunferência é 6 cm e o lado do polígono regular mede 4 cm. Indica o resultado arredondado às unidades, conservando três casas decimais nos cálculos intermédios.
Resposta: _______________________________________________________________________
37
6
Cotações
9
Resolve a equação seguinte:
(7)
a b
( – 3) = 4 1 –
x x
Apresenta os cálculos que efetuares.
1 3
x
Resposta: _______________________________________________________________________
10
Nas férias da Páscoa a Laura foi passar uma semana à Turquia. O Templo de Ártemis foi construído no século VI a. C. para a deusa grega Ártemis, da caça e dos animais selvagens. Hoje apenas restam destroços desse templo. A
C B
D
Supondo que no triângulo isósceles [ ACD ] [AB ] mede 8,5 m e [CD ] mede 30 m, determina a amplitude do ângulo ADB . Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Resposta: _______________________________________________________________________
38
(6)
Cotações 11
A figura é constituída por um quadrado cujo lado mede , um círculo inscrito nesse quadrado e um círculo de diâmetro , interior ao círculo maior e tangente a este e ao qua2 drado no ponto O . x
(13)
x
P
O
Q
11.1
Determina uma expressão simplificada que permita determinar a área da zona não pintada.
4
Resposta: _______________________________________________________________________ 11.2
Considerando a redução, qual a razão de semelhança entre as áreas dos dois círculos?
5
Resposta: _______________________________________________________________________ 11.3
Pode afirmar-se que PÔQ é aproximadamente igual a: 90º
126º
60º 39
4
54º
Cotações 12
O pai da Laura é eletricista. A expressão seguinte relaciona o preço cobrado pelo pai da Laura, C , em euros, e as horas de trabalho, t : C (t ) = 5 + 7,50 t 12.1
Quanto pagou um cliente por uma hora e meia de trabalho?
(9)
4
Resposta: _______________________________________________________________________ 12.2
Um outro cliente pagou 27,50 € pelos serviços do eletricista. Quantas horas trabalhou ele?
5
Resposta: _______________________________________________________________________
13
A figura abaixo representa um dos mosaicos que a mãe da Laura tem na sua cozinha. Um dia de manhã, a Laura, enquanto tomava o pequeno-almoço, reparou num dos mosaicos e começou a associá-lo à matéria das isometrias que tinha estudado nas aulas de Matemática.
Colocando letras na figura, qual a isometria que corresponde à transformação do triângulo [ABC ] no triângulo [DEF ]? Rotação. Rotação seguida de simetria.
Simetria seguida de translação. Translação. 40
(4)
# Propostas de Resolução 13.
3.
13.1 Como os triângulos são semelhantes: — — AC CB — = — DF FE
+ y = –2 3 ——————
§
8 = 6 + x § 8 x = 4(6 + x) § 8 x – 4 x = 24 x 4 § 4 x = 24 § x = 6 m
—
D §
y = 2 + x § x
3 + 2 + x = –2 ——————
§
x
+ 6 + 3 x = –6
x
=
—————— § –12
R.: FE = 6 m. 13.2
– x + y = 2 x
4 y = –1
4 x = –6 – 6
—————— § x
= –3
y = 2 – 3 §
——————
x
= –3
R.: ( x, y) = (–3, –1).
4m
4. 5 x – 3 – 1 + 5 x 2 3
<
4 § 15 x – 9 – 2 – 10 x < 24
15 x – 10 x < 24 + 9 + 2 § 5 x < 35 § x < 35 5 § x < 7 §
F
cos(DFG ) = 3 4 ˆ
§
E
3m §
R.: x å ]– ∞; 7[.
( )
DFG = cos –1 3 4 ˆ
5. R.: 3 3; 2 . p
DFG ≈ 41o ˆ
6. R.: 1 = 13 = 2 –3. 8 2
Então, DFC = 180o – 41o = 139o. R.: DFC = 139o. ˆ
ˆ
7. CD = x; BC = 2 x
—
117o + 2 x = 180o § 2 x = 180o – 117o § x = 31,5o
PROVA 5 | (págs. 34-40) 1. 36 ¥ 2 + 37 ¥ 3 + 38 ¥ 5 + 39 ¥ 12 + 40 ¥ 2 + 41 ¥ 1 x = 1.1 — 4
AD = 180o – 31,5o = 148,5o Então, BAD = 148,5o + 117o = 265,5o.
— = 962 § — x = 38,48 25
§ x
R.: A amplitude do arco BAD é 265,5o. 8.
R.: A média do número de calçado é 38,48.
8.1 AI = 360o : 9 § AI = 40o
1.2 R.: 39.
R.: AI = 40o.
1.3 R.: P = 2 = 0,1. 20
200° + 80° CH + IB § BJ I = 2 2 280° § BJ I = 2 § BJ I = 140° ‹
8.2 BJ I =
2.
‹
= 27
§ x
= 3 27
§ x
=3
‹
‹
2.1 x ¥ x ¥ 3 x = 81 § 3 x3 = 81 § x3
—
‹
R.: BJ I = 140°. 8.3 200o : 40o = 5 R.: Desloca-se para o ponto H .
A largura do bloco é 3 dm = 0,3 m e o comprimento é 9 dm = 0,9 m.
8.4 Calculando o apótema, vem que:
62 = 22 + x2 § x2 = 62 – 22 § x = ± 32
10,8 : 0,9 = 12 1,5 : 0,3 = 5 12 ¥ 5 = 60 R.: São necessários 60 blocos de cimento, 5 filas de 12 blocos.
± x
≈ 5,657 cm
A = 36 ¥ 5,657 § A ≈ 102 cm2 2 R.: A área do enxágono é de, aproximadamente, 102 cm2.
2.2 R.: c = 3a. 88
(
( – 3) = 4 1 – 1 x 3
9.
x x
§ x2 – 3 x
Então:
)
2
p x
§ 3 x2 – 9 x –
3 x2 – 5 x – 12 = 0
§
3 x2 – 5 x – 12 = 0
(
x
2 ˆ ≈ 180o – 2 ¥ 63o § P OQ ˆ ≈ 54o P OQ
)
R.: PÔQ ≈ 54o. 12. x
12.1 C (1, 5) = 5 + 7,50 ¥ 1,5 = 16,25 €
=3
R.: O cliente pagou 16,25 €.
}
R.: C.S. = – 4 ; 3 . 3 10.
= 4 =1 16 4
R.: A razão de semelhança é 1 . 4 11.3 tg y = x § y = tg –1(2) § y ≈ 63
–(–5)± ( – 5)2 – 4 ¥ 3 ¥ ( – 12) § x = 2¥3 5± 169 § x = 6 5 ± 13 § x = 6 8 › x = 3 § x = – 4 › § x = – 6 3
{
2 p x
4
12 + 4 x = 0
§
16
r =
= 4 – 4 x 3
12.2 5 + 7,50t = 27,50 § 7,50t = 27,50 – 5 22,50 § t = 3 § 7,50t = 22,50 § t = 7,50
A
R.: O eletricista trabalhou 3 horas.
8,5 m
13. R.: Simetria seguida de translação. B
D
15 m
PROVA 6 | (págs. 41-48)
( )
tg(ADB ) = 8,5 § ADB = tg –1 8,5 15 15 § ADB ≈29,5o ˆ
ˆ
1. R.: 15 rifas
ˆ
2
(4 ) x
=
3.
2
p x
16
Então:
(453 = 10,5 (4 8 = 16 x
¥
Aregião não pintada = x2 –
2
p x
16
(
= x2 1 –
p
16
)
p
y ¥
) = 2)
= 3 ¥ 10,5 § x = 0,7 45
§ y
= 4¥8 16
§ y
4. 4.1 (d (0) = –80 ¥ 0 + 960 = 0 + 960 = 960)
).
R.: A Clara mora a 960 m da escola.
11.2 Acírculo menor = p ¥
2
(4 ) x
=
(
2
4.2 d (t ) = 0 § –80t + 960 = 0 § –80t = –960
p x
16
§
Acírculo maior = p ¥
§ x
R.: x = 0,7 e y = 2.
R.: A área da região não pintada é dada pela expres-
16
6 anos
R.: A Clara poderá ter 14 ou 15 anos.
11.1 Aquadrado = x2
(
)
300 = 15 .
6 anos
11.
são x2 1 –
¥
2. Ordenando os dados tem-se: 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 (14 ou 15) 15
R.: A amplitude do ângulo ADB é de, aproximadamente, 29,5o.
Acírculo menor = p ¥
(201
2
(2 ) = x
p x
2
4
t = –960 –80
§
)
t = 12
R.: A Clara demorou 12 minutos a chegar à escola. 89
