Proyecto cónicas en El Puente San Francisco

FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE MINAS GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA: Aplicación de ecuaciones ecuaciones cónicas en el puente puente San Francisco California

INTEGRANTES:

DOCENTE:

TRUJILLO-PERU

INTRODUCCION Aplicación de ecuaciones cónicas El presente trabajo de investigación, titulado “ Aplicación en el puente San Francisco ”, es dar a conocer las vivencias diarias relacionadas a los temas tratados en el curso de GeometríaAnalítica y Algebra, tales como la utilización de Coordenadas Polares. Teniendo en cuenta que las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.

CONTENIDO

CAPITULO I : PLAN DE INVESTIGACIÓN ............................................................................ 1 1.1 SITUACION PROBLEMÁTICA ..................................................................................... 1 1.2 PROBLEMA .................................................................................................................... 1 1.3 OBJETIVOS ..................................................................................................................... 1

1.3.1

OBJETIVO GENERAL: ...................................................................................... 1

1.3.2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ........................................................................... 1

1.4 JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. 2 1.5 IMPORTANCIA DE LOS CABLES ................................................................................ 2

CAPITULO II: MARCO TEÓRICO ........................................................................................... 3 2.1 BASES TEORICAS ......................................................................................................... 3 2.1.1

PUENTES COLGANTES .................................................................................. 3

2.1.2

PUENTE SAN FRANCISCO ............................................................................. 6

2.1.3

COORDENAS POLARES ................................................................................. 6

2.1.4

CONVERSIÓN DE COORDENADAS ............................................................. 8

CAPITULO III : DESARROLLO DEL PROYECTO ............................................................. 10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ..................................................................................... 18 ANEXOS .................................................................................................................................... 19

GEOMETRIA ANALITICA Y ALGEBRA

CAPITULO I : PLAN DE INVESTIGACIÓN 1.1 S ITUAC ION PR OBLE MÁTICA

El puente colgante de San Francisco California es un puente sostenido por columnas y una parábola cóncava hacia arriba formado por numerosos cables de acero, del que se suspende el tablero del puente mediante tirantes verticales. Para su diseño se necesita realizar una serie de cálculos matemáticos de los cuales se ha procedido a la formulación de un problema.

1.2 PROBLEMA 

¿Cómo determinar la distribución, longitud y las dimensiones de los cables, columnas y vigas de acero a lo largo del puente California?

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 OBJETIVO GENERAL: 

Conocer las aplicaciones de una parábola a un proyecto de Ingeniería Civil en este caso un puente de geometría parabólico.

1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Identificar la posición y longitud de los soportes de acero que sostienen el peso del puente en cualquier punto.



Utilizar adecuadamente la información básica recabada como datos para proceder finalmente al cálculo matemático.



Definir los diferentes elementos estructurales que componen un puente colgante.

1


1.4 JUSTIFICACIÓN 

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas.



Es por esto que el motivo de la realización de este proyecto de investigación es de obtener las dimensiones de los tirantes, el puente y la parábola, logrando así explicar los saberes de la Geometría Analítica como por ejemplo el tema de las ecuaciones cónicas.

1.5 IMPORTANCIA DE LOS CA BLE S 

Los cables se colocan para poder sostener y equilibrar el puente, por eso se colocan en formas paralelas las cuales ayudan en el sostenimiento, esto también se usa para prevenir los futuros incidentes como atentados, tsunami o terremotos con la finalidad de que no pierda el equilibrio, así los cables los podrán contener en ese momento que los móviles no correrán el riesgo de caer.

2


CAPITULO II: MARCO TEÓRICO 2.1B AS E S TE OR IC AS 2.1.1

PUE NTE COL G A NTE

De aspecto armonioso y extensa aplicación, salvan los más amplios tramos de todo el mundo; el de California, entrada a la bahía de San Francisco (California), tiene 1281 m de longitud. Los principales elementos de estos puentes son sus cables, suspendidos de torres y anclados por sus extremos a los pilares de sujeción. Tales cables, compuestos generalmente por miles de alambres paralelos de acero galvanizado, de 5 mm de diámetro (generalmente), agrupados para formar una sección circular, llevan un arrollamiento en espiral de alambre que mantiene su forma cilíndrica al tiempo que los impermeabiliza. Cada uno de los cuatro cables que sustentan el puente de George Washintong (con un tramo de 1000 m sobre el río Hudson) tiene 76 cm de diámetro y 26000 hilos. Los puentes de tramos relativamente cortos emplean cables de alambre retorcido corriente; también se utilizan cadenas de barra de ojal. En los puentes colgantes, la estructura resistente básica está formada por los cables principales, que se fijan en los extremos del vano a salvar, y tienen la flecha necesaria para soportar mediante un mecanismo de tracción pura, las cargas que actúan sobre él. El puente colgante más elemental es el puente catenaria, donde los propios cables principales sirven de plataforma de paso. Paradójicamente, la gran virtud y el gran defecto de los puentes colgantes se deben a una misma cualidad: su ligereza. La ligereza de los puentes colgantes, los hace más sensibles que ningún otro tipo al aumento de las cargas de tráfico que circulan por él, porque su relación peso propio / carga de tráfico es mínima; es el polo opuesto del puente de piedra. Actualmente los puentes colgantes se utilizan casi exclusivamente para grandes luces; por ello, salvo raras excepciones, todos tienen tablero metálico.

3


El puente colgante es, igual que el arco, una estructura que resiste gracias a su forma; en este caso salva una determinada luz mediante un mecanismo resistente que funciona exclusivamente a tracción, evitando gracias a su flexibilidad, que aparezcan flexiones en él.



E l cable, es un elemento flexible, lo que quiere decir que no tiene rigidez

y por tanto no resiste flexiones. Si se le aplica un sistema de fuerzas, tomará la forma necesaria para que en él sólo se produzcan esfuerzos axiales de tracción; si esto dejara de ser posible no resistiría. Por tanto, la forma del cable coincidirá forzosamente con la línea generada por la trayectoria de una de las posibles composiciones del sistema de fuerzas que actúan sobre él. Esta línea es el funicular del sistema de cargas, que se define precisamente como la forma que toma un hilo flexible cuando se aplica sobre él un sistema de fuerzas. La curva del cable de un puente colgante es una combinación de la catenaria, porque el cable principal pesa, y de la parábola, porque también pesa el tablero; sin embargo la diferencia entre ambas curvas es mínima, y por ello en los cálculos generalmente se ha utilizado la parábola de segundo grado. 

El cable principal es el elemento básico de la estructura resistente del puente colgante. Su montaje debe salvar el vano entre las dos torres y para ello hay que tenderlo en el vacío. Esta fase es la más complicada de la construcción de los puentes colgantes.



Inicialmente se montan unos cables auxiliares, que son los primeros que deben salvar la luz del puente y llegar de contrapeso a contrapeso. La mayoría de los grandes puentes colgantes están situados sobre zonas navegables, y por ello permite pasar los cables iniciales con un remolcador; pero esto no es siempre posible. Como el sistema de cargas de los puentes es variable porque lo son las cargas de tráfico, los 4


puentes colgantes en su esquema elemental son muy deformables. Este esquema elemental consiste en el cable principal, las péndolas, y un tablero sin rigidez, o lo que es lo mismo, con articulaciones en los puntos de unión con las péndolas. En la mayoría de los puentes colgantes, las péndolas que soportan el tablero son verticales. 

El esquema clásico de los puentes colgantes admite pocas variaciones; los grandes se han hecho siempre con un cable principal en cada borde del tablero.



Las torres, han sido siempre los elementos más difíciles de proyectar

de los puentes colgantes, porque son los que permiten mayor libertad. Por eso en ellas se han dado toda clase de variantes. En los años 20 fueron adquiriendo ya una forma propia, no heredada, adecuada a su función y a su material; la mayoría tienen dos pilares con sección cajón de alma llena, unidos por riostras horizontales, o cruces de San Andrés. En los últimos puentes colgantes europeos construidos con torres metálicas, se ha utilizado un nuevo sistema de empalme de las chapas que forman los pilares verticales. En vez de utilizar uniones roblonadas o atornilladas mediante solape de chapas, como se hizo en los puentes americanos, las uniones se hacen a tope, rectificando mediante fresado el contacto de los distintos módulos que se van superponiendo, de forma que las compresiones se transmiten directamente de chapa a chapa; la unión entre ellas se hace mediante soldadura parcial de la junta. Así se han hecho las torres del puente Severn en Inglaterra y de los puentes del Bósforo en Estambul. 

Las torres no plantean problemas especiales de construcción, salvo la dificultad que supone elevar piezas o materiales a grandes alturas; las metálicas del puente VerrazanoNarrows tienen una altura desde el nivel del mar de 210 m, y las de hormigón del puenteHumber de 155 m.



Las torres de los puentes metálicos se montan generalmente mediante grúas trepadoras ancladas a ellas, que se van elevando a la vez que van subiendo las torres. Las de los puentes de hormigón se construyen mediante encofrados trepadores, como en el puente de Tancarville, o mediante encofrados deslizantes, como en el puente Humber.

5


2.1.2

PUE NTE S AN FR A NC IS CO

El Golden

Gate (en

español, Puerta

Dorada)

es

un puente

colgante situado en California, Estados Unidos, que une la península de San Francisco por el norte con el sur de Marin. "Golden Gate" es también el nombre del estrecho en el cual el puente está construido, y recibe su nombre del estrecho en Constantinopla, llamado también la Puerta Dorada, ya que comunicaba Europacon Asia. El Golden Gate es el puente más famoso de San Francisco a pesar de no ser el mayor en esta ciudad, ya que el Bay Bridge es la vía principal. En la década posterior a la Primera Guerra Mundial el tráfico rodado en la región de la bahía de San Francisco se multiplicó por siete, de modo que el sistema de ferris fue incapaz de absorber ese crecimiento. Catalogado como puente colgante, construido entre 1933 y 1937, con una longitud aproximada de 1.280 metros, está suspendido de dos torres de 227 m de altura. Tiene unacalzada de seis carriles (tres en cada dirección) y dispone de carriles protegidos accesibles para peatones y bicicletas. El

puente

se

utiliza

para

el

cruce

de tendidos

eléctricos y conducciones de combustible. Bajo su estructura, deja 67 m de altura para el paso de los barcos a través de la bahía. El Golden Gate constituyó la mayor obra de ingeniería de su época. Fue pintado con urgencia para evitar la rápida oxidación producida en el acero de su estructura por el océano Pacífico.

2.1.3

COOR DE NA DA S POL A R E S 

DEFINICION

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadasbidimensional en el cual cada punto del plano se determina por

una distancia y

unángulo,

ampliamente

utilizados

en física y trigonometría. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen opolo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que 6


pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo

formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece ensentido antihorario y decrece en sentido horario. La

distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).



REPRESENTACIÓN

DE

PUNTOS

CON

COORDENADAS

POLARES

En la figura (ANEXO 2) se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL. 

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.



El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

7


Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( , θ) se puede representar como(r,θ ± n × 360°)o (r, θ ± (2n + 1)180°), donde es un número entero cualquiera. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con

radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar

a números no negativos

≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o

(−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas(especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

2.1.4

CONVE R S IÓN D E COOR DE NA DAS

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa Las coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, x e y. Por tanto, la ecuación de cualquier lugar geométrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano, contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuación de esta clase la ecuación rectangular del lugar geométrico. Las coordenadas polares (r,) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, r y , de manera que la ecuación de cualquier 8


lugar geométrico en el plano coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no otras. Tal ecuación se llama, de acuerdo con esto, la 

ecuación polar del lugar geométrico. Así, la ecuación  =   y  =

cos son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos planos. Para un lugar geométrico determinado, conviene, frecuentemente, saber transformar la ecuación polar en la ecuación rectangular, y recíprocamente. Para efectuar tal Y transformación debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto ,  del lugar geométrico. Se obtienen  relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje  del sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (,) y por coordenadas polares (r,). Entonces se deducen inmediatamente las relaciones.

 =  cos   =  sin    +  =     =    = √   +   En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distanciar al centro de coordenadas, y el ángulodel vector de posición sobre el eje x.

9


CAPITULO III : DESARROLLO DEL PROYECTO DEFINICION

DEFINICION

CONCEPTUAL

OPERACIONAL

OPERACIONALIDAD

Se tomó la ecuación Se procedió a elaborar Se procedió a realizar los parabólica por la forma los geométrica del puente.

cálculos

para cálculos con los datos

determinar lo planteado que se cuenta en el en el problema.



problema.

Nuestro proyecto trata de encontrar un marco general con la aplicación de un modelo matemático a partir de una ecuación parabólica para determinar las dimensiones de los tirantes de un puente colgante y dar solución al problema planteado.



En el extenso mundo de la construcción muchos ingenieros en el mundo tienen problemas en obtener las dimensiones de los tirantes de un puente, pero también existen aquellos que conociendo la geometría parabólica que el puente tiene obtienen las dimensiones requeridas.



Para llevar a cabo este procedimiento es necesario conocer la altura de las dos torres y de uno de los tirantes que se encuentran entre las dos torres.



Debido a que el cable superior tiene forma parabólica obtenemos la relación que existe entre la distancia horizontal y la altura, con la ecuación obtenida que relaciona la distancia horizontal con la altura de la primeratorre podemos aplicar para cada distancia y así obtener la altura de cada tirante.



El diseño del puente tendrá estas características según la figura que se muestra.

10


Nº de tirantes =80 

Distancia entre tirantes =  = 16 



Si sabemos que el cable principal tiene la forma de una parábola, conocemos la altura de las 2 torres y de uno de los tirantes, y conocemos la luz libre desde la torre A y B es de 1280 m, con distancias entre tirantes iguales.



Se requiere conocer la altura de cada uno de los tirantes que se ubican entre la torre A y B.



Procedimiento Datos obtenidos: 

Altura de las torres.



Espaciamientos iguales entre cables de soporte.



Longitud del Puente.



Longitud de Torre A y B.

Datos del puente San Francisco de California 

230 metros de altura



Longitud de la torre A hasta B: 1 280 metros.

11

GEOMETRIA ANALITICA Y ALGEBRA 

El puente está suspendido de dos enormes cables y éste se encuentra aproximadamente a 60 metros del nivel del agua.



Llevamos la situación recién descrita a un plano cartesiano:

Empezamos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente.

TENEMOS LOS SIGUIENTES PUNTOS:

Los puntos 

(-640, 170)



(640, 170)

Pertenecen a la parábola que tiene vértice en el origen (0,

0)

y

es

cóncava,

de

la

forma

  = 4

Se remplaza cualquier punto obteniendo el valor de “p”.

640 = 4(170)

12


409600 = 680  = 602.35 Luego:   = 4(602.35) y; convertimos de coordenadas rectangulares a polares

  cos  = 2409.4 ×  sin    cos   2409.4 ×  sin  = 0 (cos   2409.4sin) = 0 =

2409.4sin cos 

Con la ayuda de un programa obtenemos este gráfico:

13


- Luego remplazamos la formula en cada punto en coordenadas rectangulares.

PUNTOS

X

Y

VERTICE

0

0

CABLE 1

16.00

0.11

CABLE 2

32.00

0.43

CABLE 3

48.00

0.96

CABLE 4

64.00

1.70

CABLE 5

80.00

2.66

CABLE 6

96.00

3.83

CABLE 7

112.00

5.21

CABLE 8

128.00

6.80

CABLE 9

144.00

8.61

CABLE 10

160.00

10.63

CABLE 11

176.00

12.86

CABLE 12

192.00

15.30

CABLE 13

208.00

17.96

CABLE 14

224.00

20.83

CABLE 15

240.00

23.91

CABLE 16

256.00

27.20

CABLE 17

272.00

30.71

CABLE 18

288.00

34.43

CABLE 19

304.00

38.36

CABLE 20

320.00

42.50

CABLE 21

336.00

46.86

CABLE 22

352.00

51.43

CABLE 23

368.00

56.21

CABLE 24

384.00

61.20

CABLE 25

400.00

66.41

CABLE 26

416.00

71.83

CABLE 27

432.00

77.46

CABLE 28

448.00

83.30

CABLE 29

464.00

89.36 14


CABLE 30

480.00

95.63

CABLE 31

496.00

102.11

CABLE 32

512.00

108.80

CABLE 33

528.00

115.71

CABLE 34

544.00

122.83

CABLE 35

560.00

130.16

CABLE 36

576.00

137.70

CABLE 37

592.00

145.46

CABLE 38

608.00

153.43

CABLE 39

624.00

161.61

CABLE 40

640.00

170.0

TRANSFORMACIONES A CORDENADAS POLARES: Sirve para comprender y entender mejor la forma de cada objeto o en este caso el puente San Francisco de California. x



r cos ,

y



rsen 

Redefiniendo el Angulo en función de x,y con su respectivo radio obtenemos

 = tan−

 

 =   +  Desarrollo: CABLES

R

1

15.80

0.01

2

31.80

0.01

3

47.81

0.02

4

63.82

0.03

5

79.84

0.03

15


6

95.88

0.04

7

111.92

0.05

8

127.98

0.05

9

144.06

0.06

10

160.15

0.07

11

176.27

0.07

12

192.41

0.08

13

208.57

0.09

14

224.76

0.09

15

240.98

0.10

16

257.24

0.11

17

273.52

0.11

18

289.85

0.12

19

306.21

0.13

20

322.60

0.13

21

339.05

0.14

22

355.53

0.14

23

372.06

0.15

24

388.64

0.16

25

405.27

0.16

26

421.95

0.17

27

438.68

0.18

28

455.47

0.18

29

472.31

0.19

30

489.22

0.20

31

506.19

0.20

32

523.22

0.21

33

540.32

0.22

34

557.48

0.22

35

574.71

0.23

36

592.01

0.23

37

609.39

0.24 16


38

626.84

0.25

39

644.37

0.25

40

661.97

0.26

17


RE FERE NCIAS BIBLIOGR ÁFICAS.

-

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

-

http://es.wikipedia.org/wiki/Puente_Golden_Gate

-

http://puentes.galeon.com/tipos/pontscolgantes.htm

18


A NE XOS

ANEXO 1:

Diagrama ilustrativo de la relación entre las

coordenadas polares ylas coordenadas cartesianas.

ANEXO 2: Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares

19


ANEXO

3 : Puente colgante y sus respectivas partes que lo conforman

ANEXO 4 Puente Gold Gate situado en California

20

Proyecto cónicas en El Puente San Francisco

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