ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL CURSO DE NIVELACION DE CARRERA –SENESCYT
EXPERIMENTO SOBRE TEOREMA DE PITÁGORAS APLICADO EN UN ROMPECABEZAS
AUTORES: STIVEN ARISTEGA ELIZABETH CASTRO MACAS ALEX BAZURTO ERIK ITURRALDE KEVIN
TUTOR: ING. LUIS VARGAS GUAYAQUIL – ECUADOR
INDICE OBJETIVO -------------------------------------------------------------
1
OBJETIVOS ESPECIFICOS --------------------------------------
1
MARCO TEORICO ---------------------------------------------------
1
PITAGORAS ------------------------------------------------------------
1
MATEMATICAS SEGÚN PITAGORAS ------------------------- 1 TEOREMA DE PITAGORAS
--------------------------------------- 3
DEMOSTRACION ANALITICA DEL TEOREMA DE PITAGORAS ------------------------------------------------------------ 3 INFORMACION DEL PROYECTO -------------------------------
4
DEMOSTRACION DEL PROYECTO ----------------------------
5
CONCLUSIONES ---------------------------------------------------------
7
RECOMENDACIONES --------------------------------------------------
7
BIBLIOGRAFIA ------------------------------------------------------------- 7 ANEXOS ---------------------------------------------------------------------- 8
OBJETIVO El siguiente proyecto de aula tiene como objetivo demostrar, a través de un experimento, que no importe la figura que se encuentre en cada uno de los lados de un triángulo rectángulo siempre se va a cumplir el teorema de Pitágoras.
Objetivo Específicos
Explicar cómo funciona el teorema de Pitágoras.
Diseñar un modelo a escala sobre el teorema de Pitágoras que sea fácil y sencillo de explicar.
Comprobar que el principio del teorema de Pitágoras funciona con cualquier figura geométrica que se encuentre ubicada en cada uno de los lados de un triángulo rectángulo.
Marco Teórico Pitágoras de Samos Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.
Matemáticas según Pitágoras La «ciencia matemática» practicada por Pitágoras y los matematikoi difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos «problemas abiertos» en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Como señala Brumbaugh, "Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica." Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos». El número diez era especialmente valorado, por ser la suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se pueden disponer en
forma de triángulo perfecto: la «tetraktys». Para los pitagóricos, «las cosas son números», y observaban esta relación en el cosmos, la astronomía o la música.
Entre los descubrimientos matemáticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras se encuentran:
Sólidos perfectos Solidos Perfectos Los pitagóricos demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares. Se cree que Pitágoras sabía cómo construir los tres (o cuatro) primeros, pero fue Hipaso de Metaponto (470 a.C.) quien descubrió el dodecaedro. Se debe a Teeteto la demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.
Ángulos interiores de un triángulo Encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, así como la generalización de este resultado a polígonos de ( n - lados.)
Un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de origen pitagórico (según Diógenes). Construcción de figuras dada un área determinada. Por ejemplo la resolución de ecuaciones como a•(a-x)=x² por métodos geométricos.
El descubrimiento de los Números poligonales. Un número es «poligonal» (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de puntos se pueden acomodar formando el polígono correspondiente.
Tetraktys. Se atribuye a Pitágoras el haber ideado la «Tetraktys», la figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas. Fue un símbolo de especial importancia para los pitagóricos, que solían juramentar en su nombre.
Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras de Samos
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes establece que:
(a y b), y la medida de la hipotenusa es (c) se
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
√
√
√
Demostraciones supuestas de Pitágoras Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema. Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales. Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC: Y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes:
De la semejanza entre ABC y BHC
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
Pero si factorizamos un poco tendríamos
pero (a´ + b´) = C por lo que finalmente resulta:
Información sobre el proyecto de Pitágoras Para nuestro proyecto sobre el teorema de Pitágoras según las especificaciones que nos dieron a conocer nuestro triangulo rectángulo tendría dimensiones de (6,8,10) siendo 8cm de longitud el cateto adyacente , 6 cm de altura el cateto opuesto y 10 cm la hipotenusa correspondientemente. Nuestro proyecto se emplea en un tipo de rompecabezas que tiene como objetivo comprobar que el teorema de Pitágoras cumple su enunciado con cualquier figura que se encuentre en los lados de un triangulo rectángulo. Por lo que hemos elegido un triángulo equilátero de de 2cm como piezas de nuestro rompecabezas ya que este tipo de figura geométrica se acopla mejor a la forma que tiene hexágono.
Demostración de nuestro proyecto
m c 6
8 cm
Para comprobar que le teorema de Pitágoras funciona vamos a comprobar sacando todas las áreas de cada una de la figuras que están a los lados del triángulo rectángulo. Comenzaremos primero a sacar el área de la figura que se encuentra en el cateto adyacente.
√ √ √
h 4 cm
.
. √
8 cm
= √ cm2
8 cm
Pero como estamos buscando el área de un hexágono tendríamos que multiplicar el área del triángulo equilátero que encontramos por 6 ya que en un hexágono se forman 6 triángulos equiláteros, entonces tendríamos que el área del hexágono seria:
6√ = √ cm2 siendo esta el área que estábamos buscando
Después repetimos el mismo proceso para hallar el área de la siguiente figura que se encuentra en el cateto opuesto del triángulo rectángulo.
√ √ √
h 3 cm .
. √
6 cm
= √ cm2
6 cm Repetimos el mismo concepto que planteamos anteriormente entonces el área de este hexágono seria:
6√ = √ cm2 Por ultimo encontraremos el área de la figura que se encentra en la hipotenusa.
h
5 cm
√ √ √
.
. √
10 cm 10 cm Entonces el área de la figura que se forma en la hipotenusa seria:
6√ = √ cm2
= √ cm2
Ahora realizares la comprobación para ver si el teorema de Pitágoras cumple con su enunciado entonces tendríamos:
2 cm
√
Área de la figura sobre del cateto opuesto
+
2
cm
√
Área de la figura sobre del cateto adyacente
=
√
2
cm
Área de la figura sobre la hipotenusa
Como podemos observar el teorema de Pitágoras cumple con lo establecido en su enunciado, con esto podemos determinar que no importa la figura que se encuentre en cada uno de los lados de un triángulo rectángulo siempre se va a cumplir el teo rema de Pitágoras.
Conclusiones:
El teorema de Pitágoras se cumple para cualquier figura que se encuentre en cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. Mediante la aplicación del teorema de Pitágoras logramos armar un diseño a escala que pueda cumplir con lo establecido en dicho tema. Administramos nuestro proyecto de una manera eficaz y eficiente como nos lo habíamos propuesto
Recomendaciones
Realizar los cálculos correspondientes antes de comenzar a construir el proyecto. Para construir este proyecto se recomienda armarlo con materiales que sean bien rígidos de preferencia madera. Tener en cuenta elegir correctamente la forma geométrica que tendrá la ficha del rompecabezas que mejor se acople a la figura que se encuentre en el triángulo rectángulo.
Bibliografía Wikipedia, E. (10 de 02 de 2014). Wikipedia.org . Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Demostraciones_supuestas_de_Pit.C3.A1goras Xavier. (9 de 02 de 2014). Wikipedia.org . Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras
ANEXOS
