UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
PROYECTO FINAL
TRABAJO PRESENTADO POR:
DIEXER DEIMER CARO PRADO JONNATAN FERNANDO GOMEZ HENAO JERMAIN FERNANDO PAEZ PABLO TORRES ANDREY PUENTES
TUTOR: DIEGO SENDOYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS DICIEMBRE 2013
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
INTRODUCCIÓN El estudio de todos los sistemas de control digital tienen como objetivo principal lograr un control preciso de sistemas físicos aplicados a sectores industriales, es por esto que este estudio se enfoca en diferentes aspectos, de los cuales se destacan, el modelado, descripción matemática, análisis y diseño. Para el desarrollo de un control digital que represente de forma acertada un sistema físico, es indispensable profundizar en aquellas áreas de las ciencias que brindan las herramientas necesarias para su construcción. Luego de tener el modelo, se realizan tanto análisis cuantitativos y cualitativos para validar el modelo propuesto. Y por último poder identificar falencias que puedan ser mejoradas u optimizadas desde el modelo matemática y así finalmente poder implementarlos físicamente. Para este caso en particular son empleados modelos que representan el sistema físico es función de transferencia. Con estos modelos se estudian diferentes casos donde, al hacer uso de las herramientas ofrecidas por la teoría de control se busca mejor el desempeño de dos sistemas físicos. Para lograr dichas mejoras se utilizan compensadores y controladores PID, para los dos casos propuestos respectivamente. Los compensadores, son una técnica utilizada para modificar la respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto, brindando así una mejor estabilidad estabilidad y una disminución en el error de estado estacionario cuando se cierra el lazo de control. El controlador PID, es uno de los controladores más usados en la industria ya que puede ser implementado en una gran variedad de procesos, por tanto se encuentra una amplia gama de literatura sobre este tipo de controladores. Como todo controlador es indispensable realizar una buena sintonía de cada uno de los parámetros para así mantener en un rango óptimo tanto la operación del sistema físico como las características del producto final. En este documento se representan cálculos a determinadas funciones de transferencia para estabilizar su respuesta por los métodos anteriormente expuestos, todo esto con el fin de optimizar la respuesta al sistema.
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
1. Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de control:
Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:
(a) Calcule la constante de error de posición k p, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado. (b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es T s = 0.1 segundos. a. Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado. G(z)
{ {} } { } {
Ts=0.1 s
Función de transferencia con realimentación en lazo cerrado
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Error de posición
Error en estado estacionario
Se halla el tiempo de establecimiento y se encuentran los demás parámetros.
Hallando:
Establecimiento del 5%
b. Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de 2 segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.1 segundos.
Método de cancelación de polos y ceros.
Error en estado estacionario
por lo cual:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
[ ] * +
Límite con T= 0.1 s:
El cero del controlador cancela el polo z=1.6732
Reemplazando
[ ] * + Segunda opción de solución. Si se sabe que la planta Gp(z) está representado por:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Figura 1. Planta discreta Gp(z).
Como se aprecia en la Figura 2, a la hora de discretizar la planta se coloca un Retenedor de Orden Cero (ZOH) en cascada con la planta, es por esto que la expresión para la planta discreta estará representada por: G s G P z Z GZOH s .GP s 1 z 1 .Z P s
(2)
Realizando la expansión en fracciones parciales de (1), luego remitiéndose a una tabla de Transformada Z [1](página 29)[2] y tomando como Tiempo de muestreo el sugerido en este literal Ts=0.1s el sistema queda expresado como: 5
10
5
G P z 1 z 1 .Z s s 1 s 2 10 z 5 z 1 5 z G P z . 0.1 2 0.1 ze z z 1 z e
(3)
Así operando op erando la expresión e xpresión resultante, se obtiene la siguiente expresión expres ión en tiempo discreto para la planta. G P z
0.04 0.0455 55 z 0.04 0.041 1
z 1.72 1.7235 35z 0.74 0.7408 08 2
(4)
Con la ecuación presentada en (4), pasamos a calcular en primer lugar la constante de error de posición estática Kp, la cual se rige por la siguiente ecuación:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
K P lim G p z lim z 1
z 1
0.045 0455 z 0.041 041
z 1.72 1.7235 35z 0.74 0.7408 08 2
0.041 1 0.04 K P 5 1 1.7235 1 0.7408 0.04 0.0455 55 1
(5)
2
Debido a que el sistema discreto, representa de forma adecuada el sistema continuo se puede comprobar que para ambos domios, la constante tiene el mismo valor, así tomando la ecuación (1), se tiene que la constante de error de posición estática Kp, tiene un valor de:
K P lim G p s lim s 0
K P
s0
10 2
3 0 2 0
10
s 2 3s 2
10 2
(6)
5
Por tanto los valores hallados en tiempo continuo, serán los mismos valores hallados en tiempo discreto.
En segundo lugar, pasamos a calcular el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario, para este cálculo se hace uso de la siguiente expresión.
e ss
1 1 K P
1 1 5
1 6
(7)
Donde la expresión (7), es válida tanto para tiempo discreto como continuo. En tercer lugar, se calcula el tiempo de establecimiento para el sistema a lazo cerrado sin controlador, en este caso se hará uso de la siguiente expresión tomando el criterio del 2%:
T s
4
wn
(8)
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Si se considera que el polinomio característico en lazo cerrado y el polinomio de segundo orden está dado por: s 2 3s 12 0 2
s 2 wn s wn 0 2
(9)
Se pasa a igualar los términos que corresponden a (s), donde se obtiene: 2 wn
3 wn 3 2
(10)
Reemplazando en (8), se tiene que el tiempo de establecimiento tendrá un valor de: T s
4
wn
4 3 2
2.666s
(11)
El cual es válido para el sistema a lazo cerrado discreto.
Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts= 0.1s.
Para la sintonización del controlador PID se trabaja con el método analítico de ubicación de polos. Y teniendo en cuenta que una de las formas de diseño es realizar el proceso en “s” y luego pasar al dominio de “z”, se realizará el diseño del
controlador PID en tiempo continuo y luego se pasara a tiempo discreto.
Rescribiendo la planta tenemos que:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
G P s
10
s 2 3s 2
K a p s 2 b p s c p
(12)
Considerando el sistema a lazo cerrado, se obtiene la siguiente función de transferencia que describe el sistema: K P * K S i 1 S 2 d i
K P * K
S i a p S bp S c p 2
FT 1
K P * K S i 1 S 2 d i S i a p S 2 bp S c p
a p * i
S
bp K P * K * d a p
3 2 S S
i
1 S 2 d i
c p K P * K K P * K S a p a p * i
Por lo tanto, la ecuación característica que se obtiene es:
b p K P * K * d a p
S3 S 2
c p K P * K K P * K 0 S * a a p p i
(13)
En la ecuación (14) se presenta la forma estándar de una ecuación característica de tercer orden:
S wn S 2 wn S wn 0 2
2
S 3 S 2 2 wn wn S wn2 2 wn2 wn3
0
(14)
Donde alfa se toma cinco o hasta 10 veces mayor que la parte real de los polos dominantes de la planta, de tal manera que los polos predominantes sean los polos de segundo orden. Para la planta presentada en (12), sus polos son: -2 y -1, así el polo dominante del sistema está representado por -1. En (14), se desconocen los valores de , para lo cual se considera un Sobre-nivel porcentual MP%=5%, un tiempo de establecimiento Ts=1s, así se
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
hallan los valores mencionados anteriormente utilizando las siguientes expresiones:
MP%
100 * e
* 1 2
M % ln 100
2
P
2
M % 2 ln 100 P
(15)
0.6901
Ahora, para hallar , se tiene que el siguiente ecuación (para criterio del 2%)
T S
está definido teóricamente por la 4
* wn
(16)
Considerando los valores que se tienen, se despeja wn
Luego de conocer los valores de obtienen los siguientes valores:
1*0.6901
y
K P
d
4
:
5.7962
rad s
, se igualan las Ecuaciones 13-14 y se
a P wn2 2 wn2 a P c P K
49.5288
aP wn bP 0.1271 s 2 2 a P wn 2 wn aP cP 2a P wn
i
K p * K 3
wn aP
0.2543 s
(17) (18) (19)
La información obtenida en tiempo continuo, se pasa a la representación digital del controlador PID, así la función de transferencia en tiempo discreto para el controlador PID, está dada según la referencia [1](página 116) por:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
G PID K PD
K ID 1
1 Z
K DD * 1 Z 1
(20)
Tomando un tiempo de muestreo T=0.1s, se calculan las constantes del controlador discreto:
K PD K P
K ID
K ID
49.5288
2
2
K P * T
K DD
19.4729
i
K P * d
49.5288 * 0. 0.1
0.2543
39.7923
19.4729
49.5288*0.1271
T
0.1
62.9620
(21) (22) (23)
Luego, se reemplazan los valores hallados en las Ecuaciones 21, 22 y 23 en la Ecuación 20 y se obtiene: G PID 39.7923
19.4729 1
1 Z
62.9620 * 1 Z 1
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Ejercicio 2: Suponga que la función de transferencia de la planta es:
(a) Calcule la constante de error de velocidad k v, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto. (b) Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 80º y la constante de error de velocidad sea kv= 2. Suponga que el tiempo de muestreo es T s= 0.2 segundos. a. Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo abierto.
{ }
Error de posición y función de transferencia en lazo cerrado.
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
b. Diseñe un compensador en adelanto digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 50º y la constante de error de velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2 segundos. Función de transferencia discretizada
} { {
Uso de transformación bilineal.
Donde
el controlador digital digital queda.
Entonces:
Para revisar la respuesta en frecuencia se usa matlab reemplazando el valor de k hallado.
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
num=[-0.000665306 -0.192664 1.99317] den=[1 0.996805 0] sys=tf(num,den) margin(sys) grid
Bode Diagram Gm = 14.3 dB (at 3.22 rad/s ) , Pm = 31.6 deg (at 1.25 rad/s ) 100
50
) B d ( e d u t i n g a M
0
-50
-100 270
) g e d ( e s a h P
225 180 135 90 -2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/s)
Se diseña un controlador que adiciona un ángulo de 50º, de la siguiente manera, 50 -31.6 = 18.4, el margen de fase tiene que estar entre 8º – 12º para la ganancia en la frecuencia de cruce y un ángulo de 28º en adelanto de fase. Factor de atenuación.
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Como en este punto no está compensada la magnitud, reemplazamos “w” por “jv”
en la función de transferencia G(w):
√ √
La frecuencia ficticia = 1.7 La frecuencia de cruce:
√
Compensador:
Procedemos a tomar la función de transferencia completa y analizarla en el diagrama de bode:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital Bode Diagram Gm = 14.4 dB (at 5.41 rad/s) , Pm = 48.9 deg (at 1.71 rad/s) 40 20 ) B d ( 0 e d u t i n g -20 a M
-40 -60 270 225
) g e d ( e 180 s a h P
135 90 -1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/s)
Convertimos el compensador a discreto por la transformada bilineal, con T=0.2:
Ejercicio 3: Suponga que la función de transferencia de la planta es:
Diseñe un regulador digital por el método de ubicación de polos para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 10%, el tiempo de establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario sea cero. Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se obtengan 20 muestras por cada ciclo. Factor de amortiguamiento con un establecimiento del 2% y tiempo de establecimiento 0.5s.
(() ) ( )
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Frecuencia natural.
Se aproxima a 2, con un tiempo de muestreo T=0.1 Matriz de ganancia k mediante ubicación de polos.
|| {}
Polo en
Ecuación característica
Función de transferencia con entrada escalón
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Transformación a espacio de estados
* + *+ [ ] [ ][ ]] * + [ ] * + [ ] * + * + [ ] || * + *+ * + * + * +
Ackerman:
Diseño de observador, para mejorar la velocidad del sistema.
Los polos están en
Ecuación Característica
Ackerman:
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
* + * + *+ *+ [ ]] * + *+ [] [ ] * +
El observador es
El controlador es
Función de transferencia en lazo cerrado
Factor de corrección k0 para un error estacionario 0.
Teorema del valor final
Error cero se cumple
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Actividad Práctica:
La segunda actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando la herramienta de software LabVIEW®. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al proyecto final. Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizará el mismo esquema de control de la primera actividad. Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice LabVIEW® para: (a) Dibujar la respuesta de la planta
en lazo cerrado sin controlador ante una
entrada escalón unitario ¿Los valores de corresponden a los encontrados en el inciso (a)? (b) Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)? SOLUCION A continuación continuación se muestran las imágenes de la simulación realizada en labview de la función de transferencia con el controlador PID calculado
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
Para este caso y debido a que en la simulación se usó un controlador PID discreto y luego se usó un bloque para pasar dicha salida a discreta lo cual provoca que sea un poco diferente del resultado obtenido en los cálculos hecho en Matlab, a continuación se muestra la tabla de valores usados para este controlador los cuales si variaron.
Parámetro
Controlador PID
Kp
0.7
Ki
0
Kd
0
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
CONCLUSIONES
-
Convertir un modelo continuo continuo a discreto utilizando utilizando ZOH, permite un un análisis sencillo del mismo, lo que nos da herramientas para la construcción de sistemas digitales que den solución a modelos físicos, para dar control a dichos
modelos
se
puede
utilizar
varias
herramientas,
como
compensadores en atraso y controladores PID. -
Los sistemas en tiempo discreto, permite la implementación de dispositivos digitales tales como procesadores, computadores entre otros, que permitan ejercer la manipulación de una variable física con el fin de llevarla a un punto de referencia establecido.
-
El lugar geométrico geométrico de las raíces, muestra de manera gráfica la ubicación de los polos y ceros en el plano „S‟ para sistemas continuos y el plano „Z‟ para sistema discretos. Gracias a esta representación, se puede realizar un compensador en adelanto o atraso.
-
Se logra un análisis y conceptualización de la inclusión de sistemas de compensación para mejorar la respuesta de un sistema discreto.
-
La herramienta Labview es muy versátil y permite el desarrollo de los conocimientos aprehendidos durante el curso, lo que ha fortalecido la capacidad de aplicar los conceptos de control digital. Se consolida un
resultado
construido a partir de los cálculos y
simulaciones respectivas. -
Cada una una de de estas prácticas son base base para futuros ejercicios ejercicios o aplicaciones más complejas, de ahí la enorme importancia del entendimiento de ellas no sólo para la materia actual sino para la carrera de ingeniería en telecomunicaciones.
-
Al familiarizarse con los dispositivos electrónicos usados en en éstas prácticas es más fácil encontrar lo que nos ocasiona una medición fuera de lo calculado. El constante uso de estos y más dispositivos nos generará mayor habilidad en proyectos futuros.
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Control Digital
BIBLIOGRAFÍA [1] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Segunda edición, México: Prentice Hall Hispanoamericana. Página 116. 1996. [2] García, Luis. Control Digital Teoría y Práctica. Segunda Edición, MedellínColombia: Politécnico Colombiano JIC. 2009.
