Proyecto Final UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PANAMÁ PANAMÁ ! "# $e a%ril $e "#&'
MATEMÁTICA APLICADA
CARLOS FIGUEROA Y VICTOR TEJADA
Intro$(cci)n Un sistema multicuerpo es la modelización de un conjunto de sólidos rígidos o flexibles y las uniones entre los mismos. Dichas condiciones forman un sistema físico cuya dinámica se puede estudiar en base a las condiciones de contorno. Se espera que con la realización de este proyecto se puedan solidificar los conceptos aprendidos en el salón de clase. !as simulaciones se realizarán por medio del paquete computacional "atlab# y Simulin$#. %stos dos programas en conjunto le brindan al usuario gran flexibilidad a la hora de simular sistemas físicos de cualquier tipo. !as herramientas otorgadas por estos paquetes serán de gran importancia para la realización de este proyecto.
Plantea*iento $el +ro%le*a Desarrollar una simulación de la respuesta del mecanismo de corredera&mani'ela mostrado anteriormente durante un período de ( segundos. !os datos para el problema son los siguientes) !ongitud de la mani'ela *cran$+, -.(m masa de la mani'ela , $g. • !ongitud de la biela *rod+ , -./m masa de la biela , 0$g. • "asa de la corredera *slider+, ($g. • 1onstante del resorte , ---- 23m longitud sin estirar , -./m. • 1oeficiente de amortiguamiento 'iscoso , --- 2s3m • %l cig4e5al y la biela puede ser tratado como 'arillas delgadas. •
Ilustración 1: Sistema biela-manivela
La simulación se ha de hacer para dos casos: Caso 1: Un par constante de 500 Nm (en sentido anti horario se aplica a la manivela! partiendo del reposo" Caso #: La manivela est$ siendo accionada a una velocidad an%ular constante de &0 rpm en sentido horario" 'n ambos casos! el $n%ulo de la manivela de partida es de 0 %rados sobre la hori)ontal"
De,arrollo Re,triccione, %l primer paso para la resolución de este problema sería el de plantear los 'ectores d e restricciones para cada caso. 6ara este proyecto ambos 'ectores son dados como datos adicionales.
[ ]
Φ=
Lc ∙ cos q 3 + Lr ∙ cos q 6 −q 7 q 1 − Lc ∙ cos q 3 / 2 q 2− Lc ∙ sin q 3 / 2 cos q 6 Lc ∙ cos q 3 + Lr ∙ −q 4 2
Lc ∙ sin q 3 + Lr ∙
sin q 6 2
−q 5
Lc ∙ sin q 3 + Lr ∙ sin q 6− q 8 q8
'cuación 1: *estricciones Caso 1
[ ] Lc ∙ cos q 3 + Lr ∙ cos q 6 −q 7 q 1 − Lc ∙ cos q 3 / 2 q 2− Lc ∙ sin q 3 / 2 cos q 6 Lc ∙ cos q 3 + Lr ∙ −q 4 2
Φ=
Lc ∙ sin q 3 + Lr ∙
sin q 6 2
−q 5
Lc ∙ sin q 3 + Lr ∙ sin q 6− q 8 q8 q 3 −θ0 −w ∙ t
'cuación #: *estricciones Caso #
!a matriz de inercia para ambos casos 'endría siendo dada por una matriz diagonal de la siguiente forma)
J =
[
mc
0
0
0
0
0
0
0
0
mc
0
0
0
0
0
0
0
0
Ic
0
0
0
0
0
0
0
0
mr
0
0
0
0
0
0
0
0
mr
0
0
0
0
0
0
0
0
Ir
0
0
0
0
0
0
0
0
ms
0
0
0
0
0
0
0
0
ms
]
'cuación : +atri) de inercia
!a matriz 7acobiana para el primer caso sería dada por)
[
Φq =
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
− Lc ∙ sin q 3
0
0
− Lr ∙ sin q 6
Lc ∙ sin q 3 / 2 0 0 0 0 0 0 − Lc ∙ cos q 3 / 2 − Lc ∙ sin q 3 −1 − Lr ∙ sin q 6 / 2 0 Lc ∙ cos q 3 0 −1 Lr ∙ cos q 6 / 2 Lc ∙ cos q 3 Lr ∙ cos q 6 0 0 0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
1
]
'cuación ,: acobiana Caso 1
6ara terminar con un 'ector de restricciones de la siguiente forma para el caso
[ Φq ∙ q´ ]q q´ =
[
q´3 ∙Lc∙ cos q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ cos q 6 2
2
2 −q´3 ∙ Lc ∙ cos q 3 / 2 2 −´q 3 ∙ Lc ∙ sin q 3 / 2
q´3 ∙ Lc ∙ cos q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ cos q 6 / 2 2
2
q´3 ∙Lc∙ sin q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ sin q 6 / 2 2
2
q´3 ∙ Lc ∙ sin q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ sin q 6 2
2
0
]
'cuación 5: Caso 1
%stas 8ltimas dos matrices para el caso ( serían
[
Φq =
− Lc ∙ sin q 3
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
− Lr ∙ sin q 6
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
1
0
0
0
Lc ∙ sin q 3 / 2 0 0 0 0 0 0 − Lc ∙ cos q 3 / 2 − Lc ∙ sin q 3 −1 − Lr ∙ sin q 6 / 2 0 Lc ∙ cos q 3 −1 Lr ∙ cos q 6 / 2 0 Lc ∙ cos q 3 Lr ∙ cos q 6 0 0
'cuación &: acobiano Caso #
[ Φq ∙ q´ ]q q´ =
[
q´3 ∙Lc∙ cos q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ cos q 6 2
2
2 −q´3 ∙ Lc ∙ cos q 3 / 2 2 −´q 3 ∙ Lc ∙ sin q 3 / 2
q´3 ∙ Lc ∙ cos q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ cos q 6 / 2 2
2
q´3 ∙Lc∙ sin q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ sin q 6 / 2 2
2
q´3 ∙ Lc ∙ sin q 3 + q´6 ∙ Lr ∙ sin q 6 2
2
0 0
'cuación .: Caso #
Scri+t Ca,o &function zdot=proyecto(u) %Longitudes Lc=0.2; Lr=0.5; %Masas mc=1; mr=3; ms=2; ic=(112)!(mc!(Lc)"2); ir=(112)!(mr!(Lr)"2); %#onstantes $=10000; %esorte c=1000; %&mortiguador %'citacin eterna M0=500; %Momento en & %#oordenadas genera*izadas +1=u(1); +2=u(2);
]
]
+3=u(3); +,=u(,); +5=u(5); +-=u(-); +=u(); +/=u(/); +dot1=u(); +dot2=u(10); +dot3=u(11); +dot,=u(12); +dot5=u(13); +dot-=u(1,); +dot=u(15); +dot/=u(1-); %nercia =diag(mc4mc4ic4mr4mr4ir4ms4ms); %6osicin y 7e*ocidad pistn =+80.5; 9=8$!8c!+dot; %9uerzas genera*izadas :=0 8mc!./1 M0 0 8mr!./1 0 9 0; %acoiano 6=46=:?;s; %@o*ucin so*=in7(M>)!9>; zdot=+dot1;+dot2;+dot3;+dot,;+dot5;+dot-;+dot;+/;so*(1);so*(2);so*(3);s o*(,);so*(5);so*(-);so*();so*(/);
Scri+t Ca,o "function zdot=proyectoAcaso2(u) %Longitudes Lc=0.2; Lr=0.5; %LB=0.5; %Masas mc=1; mr=3;
ms=2; ic=(112)!(mc!(Lc)"2); ir=(112)!(mr!(Lr)"2); %#onstantes $=10000; %esorte c=1000; %&mortiguador %#oordenadas genera*izadas +1=u(1); +2=u(2); +3=u(3); +,=u(,); +5=u(5); +-=u(-); +=u(); +/=u(/); +dot1=u(); +dot2=u(10); u(11)=82!pi; +dot,=u(12); +dot5=u(13); +dot-=u(1,); +dot=u(15); +dot/=u(1-); %nercia =diag(mc4mc4ic4mr4mr4ir4ms4ms); %6osicin y 7e*ocidad s*ider =+80.5; 9=8$!8c!+dot; %9uerzas genera*izadas tau=1,!Lc!(2!mr!Lr"2!sin(+-)!cos(+-)!Lc!u(11)"28 ,!cos(+3)!Lr"2!ms!Lc!sin(+3)!u(11)"28 cos(+3)!mr!Lr"2!Lc!sin(+3)!u(11)"2,!Lr"2!sin(+-)!ms!cos(+-)!Lc!u(11)"28 cos(+3)!mr!Lr"3!sin(+-)!+dot-"2,!sin(+3)!Lr"3!ms!cos(+-)!+dot-"22!sin(+ 3)!mr!Lr"3!cos(+-)!+dot-"28 ,!cos(+3)!Lr"3!sin(+-)!ms!+dot-"2,!cos(+3)!mr!Lr"2!cos(+-)"2!Lc!sin(+3)! u(11)"28,!cos(+3)!ir!Lc!sin(+3)!u(11)"28 ,!cos(+3)!ir!Lr!sin(+-)!+dot-"22!Lr"2!cos(+-)"2!sin(+3)!$8 2!Lr"2!cos(+-)!sin(+-)!cos(+3)!$/!Lc!ms!cos(+-)"2!Lr"2!sin(+3)!cos(+3)!u (11)"28 /!Lc!ms!cos(+-)!Lr"2!sin(+-)!cos(+3)"2!u(11)"22!Lr"2!cos(+-)"2!cos(+3)!m c!./18,!Lr"2!cos(+-)"2!sin(+3)!c!+dot8 ,!Lr"2!cos(+-)"2!sin(+3)!$!+,!Lr"2!cos(+-)!sin(+-)!cos(+3)!c!+dot,!Lr "2!cos(+-)!sin(+-)!cos(+3)!$!+8 ,!mr!Lr"2!cos(+-)!Lc!sin(+-)!cos(+3)"2!u(11)"22!Lr"2!cos(+-)"2!cos(+3)!m r!./1)Lr"2cos(+-)"2; :=0 8mc!./1 tau 0 8mr!./1 0 9 8ms!./1; %acoiano 6
8u(11)"2!Lc!cos(+3)2; 8u(11)"2!Lc!sin(+3)2; u(11)"2!Lc!cos(+3)+dot-"2!Lr!cos(+-)2; u(11)"2!Lc!sin(+3)+dot-"2!Lr!sin(+-)2; u(11)"2!Lc!sin(+3)+dot-"2!Lr!sin(+-); 0; 0; %Matriz genera* M>=46=:?;s; %@o*ucin so*=in7(M>)!9>; C=so*7e(so*(3)4tau); C=simp*ify(C); zdot=+dot1;+dot2;u(11);+dot,;+dot5;+dot-;+dot;+/;so*(1);so*(2);C;so*(,) ;so*(5);so*(-);so*();so*(/);
Dia.ra*a $e %lo/(e, $e Si*(lin0 +ara a*%o, ca,o,-
Ilustración #:/ia%rama de Simulin
Re,(lta$o, Ca,o & Po,icione, *ani1ela
Ilustración : osición en 2 de manivela
Ilustración ,: osición en 3 de manivela
Ilustración 5: osición an%ular de manivela
Veloci$a$e, *ani1ela
Ilustración &: 4elocidad en 2 de manivela
Ilustración .: 4elocidad en 3 de manivela
Ilustración : 4elocidad an%ular de manivela
Po,icione, $e %iela
Ilustración 6: osición en 2 de biela
Ilustración 10: osición en 3 de biela
Ilustración 11: osición an%ular de biela
Veloci$a$e, $e %iela
Ilustración 1#: 4elocidad en 2 de biela
Ilustración 1: 4elocidad en 3 de biela
Ilustración 1,: 4elocidad an%ular de biela
Po,ici)n y 1eloci$a$ $e +i,t)n
Ilustración 15: osición en 2 de pistón
Ilustración 1&: 4elocidades en 2 de pistón
Co*entario, ,o%re el Ca,o & 1omo se puede obser'ar en el script del caso el programa comienza por declarar los 'alores constantes o propiedades del problema. Despu9s se declara el 'ector de entrada u*i+ que será de : elementos ; < de posición y < de 'elocidad. !uego se establecen la fuerza ejercida por el resorte y amortiguador y se define el 'ector de fuerzas generalizadas =. %ntonces se definen las matrices que compondrán la matriz general ; inercia y jacobiana. De la matriz jacobiana se obtiene el 'ector de fuerzas de restricciones que completará el 'ector de fuerzas generalizadas en la ecuación de mo'imiento. Se termina por declarar la ecuación de mo'imiento despejada para las aceleraciones. %l programa al final define un 'ector de salida de < 'elocidades y < aceleraciones que luego serán integradas ya sea por medio de una función ode>/ o por un diagrama de bloques de Simulin$ que es la manera en que se hizo para este proyecto. 6ara este caso se hizo difícil identificar las ad'ertencias hechas por el paquete Simulin$ al tratar de correr el programa ya que eran un tanto ambiguas. ?ásicamente el programa contaba con un error en la cantidad de argumentos de salida. %ste problema fue solucionado reemplazando en el 'ector de salida la 8ltima 'elocidad qdot< *'elocidad en la dirección 'ertical del pistón+ por el elemento correspondiente de posición q<. Se presume que la razón de que el programa no trabajara correctamente con el qdot< como elemento de salida es que el mismo debía ser la deri'ada de q< que a su 'ez es igual a cero. 6ara e'itar cualquier confusión a los paquetes Simulin$ y "atlab se prefirió por usar solo el elemento q< que por la matriz jacobiana se conoce es cero y que el programa entendiera que cualquier deri'ada o integral de este elemento daría el mismo resultado cero. @ pesar de todo esto siempre se declaró el elemento qdot< para que en los cálculos todas las dimensiones de 'ectores y matrices coincidieran.
Co*entario, ,o%re el Ca,o " %l caso ( de este proyecto resultó tener 'arios obstáculos más que los del primero. Siendo que para este caso el eslabón se mue'e a una 'elocidad constante que es la dada por el problema no se cuenta con el par que pro'oca el mo'imiento de este eslabón. %s necesario ahora plantear un par que satisfaga con la condición de mo'imiento angular constante para el primer eslabón. %ste par debiera ser la diferencia entre un par función de q0 y q: y el par ejercido al eslabón por la fuerza transmitida del resorte y amortiguador. Despu9s de 'arios intentos de plantear dichas funciones sin obtener resultados se optó por usar la función AtauB pro'eída por la profesora sin embargo con esta 8ltima tampoco se obtu'ieron resultados.
Re2erencia, • • •
"aterial de apoyo usado por la profesora en clase. "eriam 7.!. ADinámicaB %ditorial Ce'ert9 Segunda edición Shigley Aeoría de máquinas y mecanismosB "cEraF&Gill