UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SINALOA FACULTAD DE INGENIERIA MOCHIS INGENIERIA CIVIL
MATERIA: LABORATORIO DE MECÁNICA DE MATERIALES II
CONTENIDO: PROYECTO
PROFESOR(A): ING. SELENE GUADALUPE OCHOA AYALA
ALUMNO: ANGEL HUMBERTO RUIZ OLAIS DIEGO ARMANDO SAMANIEGO RUELAS
GRUPO: 3-01
BRIGADA: No.2
Introducción. En este proyecto se desarrolla todo el estudio y trabajos que se realizaron durante el semestre, los cuales fueron aplicados a un ensayo en una viga, aquí se mostrará todo el procedimiento e información que se desea encontrar para poder desarrollar un problema que se nos presente en la vida cotidiana y requiera de estudios enfocados a la mecánica de materiales. Este trabajo nos habla sobre todos los esfuerzos, cargas y cálculos que requiere un proyecto de vigas en funciones para la construcción. Se obtendrán cálculos detallados hasta para cualquier grieta que se presente en la estructura y cualquier deformación que se le presente a dicha estructura estructur a en sí. Nos ayudara de manera basta y clara a entender el comportamiento comportami ento de la estructura en cuanto a sus resistencias y módulos de elasticidad y circulo de mohr.
Justificación. Se realizó este trabajo con la intención de que en el momento que un estudiante requiera y necesite información detallada de cómo llevar a cabo un proyecto de estudios en materiales, pueda recurrir a este ensayo teórico sin ningún problema y que resuelva todas sus dudas al momento de realizar un trabajo como este y pueda desarrollar todas las operaciones necesarias para obtener todo tipo de datos que requiere dicho trabajo. Este proyecto es de gran importancia ya que, si no se lleva a cabo, al momento de estar aplicando o ensayando especímenes de cualquier material en su forma más adecuada en la construcción puede fallar y ocasionar peligros en viviendas y hasta en personas cercanas a estas construcciones. construcciones.
Objetivos: General. -
Diseñar la sección transversal de la viga con apoyos simples como se muestra en la figura. Determinar también los esfuerzos principales y combinados, obtener el circulo de mohr a una distancia considerada.
Particulares. -
Encontrar las dimensiones de la sección con la cual se trabajará en laboratorio para sus pruebas por especificación. Buscar la deflexión que tendrá la estructura en diferentes puntos y a diferentes distancias. Saber interpretar los resultados obtenidos con cada calculo. Realizar los cálculos sin ninguna dificultad. Obtener distancias y medidas específicas en todo momento.
Antecedentes. Tipos de esfuerzos Las cargas que tienen que soportar las estructuras producen en sus elementos fuerzas que tratan de deformarlos denominadas esfuerzos. Hay 5 tipos de esfuerzos: compresión, tracción, flexión, torsión y cortante. Cuando las fuerzas tienden a aplastarlo.
Cuando las fuerzas tienden a estirarlo o alargarlo.
Cuando las fuerzas tienden a retorcerlo.
Cuando las fuerzas tienden a doblarlo.
Cuando las fuerzas tienden a cortarlo.
Momento de inercia. El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Esfuerzo máximo. El esfuerzo máximo, debe ser la aplicación de ciertas fuerzas, la mayor ante del punto de romperse o reformarse, alterarse el material. Se mide por varios vectores, (por ej. tonelada(s), por pulgada cuadrada), en alguna prensa. Debe poder repetirse bajo todas las mismas condiciones y material, etc., igual. Ahora, el mínimo soportado, debe ser lo menor que haya, pero para que se pueda observar que está sirviendo el material. Viga. Es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es mucho mayor a que las otras dos, y a través de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales, las cargas aplicadas transversalmente a su eje, en algunos casos cargas aplicada en la dirección de su eje.
FÓRMULA FUNDAMENTAL PARA EL CÁLCULO DE LAS TENSIONES CORTANTES. Consideremos una pieza prismática de sección uniforme cualquiera, y sometida a un momento flector variable contenido en uno de los planos principales de inercia de la sección. El momento flector variable motiva un esfuerzo cortante ya que. Como vimos en 4.7, esta solicitación, se denomina “flexión simple”. Aislemos de esta viga
un elemento prismático por medio de dos secciones rectas S y S´, distantes dx, y por una superficie cilíndrica de forma cualquiera, pero de generatrices paralelas al eje de la viga. Resistencia de Materiales 8 En la sección S actúa el momento flector M y el esfuerzo cortante (+T). En la sección S´ actúan el momento M+dM y el esfuerzo cortante + (T+dT). Estudiemos el equilibrio del elemento prismático anteriormente definido y dibujado. Sobre su cara dorsal (situada sobre S) actúan unas tensiones normales, motivadas por M, cuya suma vale (en valor absoluto). De igual forma la suma de las compresiones que actúan sobre la base frontal (situada sobre S´) es; Este esfuerzo es más grande que el anterior, y por tanto la resultante de los dos es una fuerza dN dirigida hacia la derecha que vale: (6.5) Donde es el “momento estático” del área con relación al eje neutro sección. Como el elemento prismático considerado está en equilibrio, deberá existir necesariamente unas tensiones cortantes, que el trozo (2) ejerce sobre el (1), a través de su superficie cilíndrica de contacto, cuya resultante dR equilibran a dN. Como; es (6.6) En dónde es la tensión cortante media a lo largo de AB y l la longitud de esta curva. Resistencia de Materiales 9 Observemos que por lo dicho al final del apartado 6.1.1. junto a las tensiones que aparecen en la superficie cilíndrica ABA´´B´´, parábolas al eje de la pieza, aparecerán otras, contenidas en el plano S, y cuya componente normal a la curva AB, será en cada punto, igual, en valor absoluto, a la correspondiente contenida en la superficie cilíndrica, y que ambas estarán dirigidas hacia la curva AB, o se separarán de ella, (ver figura 6.7.c). En este caso las dos tensiones tangenciales normales a AB, tienen sentidos que se separan de dicha curva. Esta última observación, es muy importante, pues la fórmula fundamental (6.6), nos permite hallar, por ser ambas iguales, tanto la tensión tangencial media, que actúa sobre la superficie ABA´B´, según sus generatrices, como la tensión media que se ejerce en la sección normal S, a lo largo de AB, y normal a esta curva. La misma citada observación, nos permite determinar, sin ambigüedad, el sentido de esta tensión cortante. En los apartados siguientes veremos algunas explicaciones prácticas, de cuanto acabamos de exponer. Es fácil, poner de manifiesto, la existencia de estas tensiones cortantes. Para más sencillez supongamos una viga de sección rectangular, simplemente apoyada y cargada según indica la figura adjunta 6.7 a) Resistencia de Materiales 10 Consideremos una sección ideal AA´, horizontal, que divide a la viga en dos porciones (1) y (2). Si cargamos la viga con una serie de fuerzas P1, P2 y P3, está se fletará (figura 6.7b) y a lo largo del plano AA´, aparecerán una serie de tensiones cortantes, que impiden que el trozo (1) desliza sobre el (2) tal como aparece en la figura. Las tensiones cortantes que se ejercen, a lo largo de AA´ sobre cada uno de los trozos (1) y (2) se
indican en la figura c. En la figura d) se indican las tensiones normales y las tangenciales, que actúan sobre el elemento de viga a, b, a´, b´, que se indica en la figura 6.7.b) Es fácil ver, físicamente, es decir sin necesidad de reglas o convecciones de signos, el sentido de las tensiones. En efecto, siendo mayor el momento que actúa sobre la cara ab cortante que actúa sobre bb´ tendrá el sentido que se indica en la citada figura 6.7 Finalmente, por lo dicho en la figura 6.3, deducimos el sentido de las tensiones, cortantes sobre ab y a´b´. En cuanto al módulo de estas tensiones cortantes, por la fórmula 6.6 vemos; - Sobre la cara ab ó a´b´, las tensiones cortantes, crecen a manera que nos acercamos a la fibra neutra; ya que, para una sección determinada, todos los factores que entran en la citada fórmula, son constantes, excepto que aumenta parabólicamente con la profundidad z. - Sobre bb´, la tensión cortante se mantiene constante, ya que evidentemente los factores, I y l de la fórmula 6.6 se mantiene invariables; en cuanto a T, como , y M varía linealmente, será T=constante. Si la viga hubiese estado cargada con una carga uniformemente repartida (p.T/m.), la tensión cortante sobre bb´, aumentaría, linealmente, de derecha a Resistencia de Materiales 11 izquierda, ya que M aumenta parabólicamente, y por tanto aumenta linealmente. (*) También serán mayores las tensiones normales, de compresión, sobre ab que sobre a´b´. Cuando se unen dos vigas, para evitar el deslizamiento de una sobre otra, y aumentar, en consecuencia, su resistencia a flexión, se usan estas solidariamente por medio de “cuñas” o tornillos pasantes, señalados con los números 1 y 2
respectivamente en la figura 6.7 f. Examinemos, ahora, a continuación, varias aplicaciones de la fórmula fundamental 6.6, habida cuenta de las “nociones previas”
expuestas en 6.1.
Metodología(teórico). Diseñar la sección transversal de la viga con apoyos simples como se muestra en la figura. Determinar también los esfuerzos principales y combinados, obtener el círculo de mohr a una distancia de (L+L2) / 2. La fisura se encontrará por debajo del eje neutro a una distancia de 1/2t 30 Kg
30 Kg/m
0.45m
10 Kg
0.25m
0.2m
0.3m
0.1m
1) Diagrama de cuerpo libre y grado de indeterminación estática. 30 Kg
10 Kg
30 Kg/m
Rax
Ray
Rby
0.45m
Rcy
0.25m
0.2m
GI= NR - N. Ec. Eq GI= 5-3 GI= 2 2) Obtención de ecuaciones de equilibrio Σfx=0
Rax=0 ---------------Ec. 1 Σfy=0
Ray + Rby + Rcy + Rdy – 30 – 10 – 39 = 0 Ray + Rby + Rcy + Rdy = 79 Kg --------------------Ec. 2
Rdy
0.3m
0.1m
ΣMa=0
Rby80.45)-39(0.65)-30(0.7)+Rcy(0.9)+Rdy(1.2)-10(1.3) = 0 0.45Rby+0.9Rcy+1.2Rdy = 59.35 kg*cm ----------------Ec. 3 3) Obtención de la ecuación de la elástica.
=
C1 30 Kg
10 Kg
30 Kg/m
V Mx
Rax
Ray
Rby
Rcy
(x-0.45)
(x-0.7)
Rdy
(x-0.9)
(x-1.2)
x
Ec general de Mx ΣMc=0
-Rdy -Rcy +30 +30(x)(x/2) -Rby -Ray(x) +Mx = 0 Mx = Ray(x) + Rby - 15x 2 - 30 + Rcy + Rdy 4) Sustitución de la ecuación general de Mx
= Rayx + Rby < x 0.45 > 15x2 30 < x0.7 > + Rcy < x 0.9 > + Rdy < x 1.2 > 5) Integrando por primera vez.
∫ = ∫ Rayx + Rby < x 0.45 > 15x2 30 < x0.7 > + Rcy < x 0.9 > + Rdy < x 1.2 >
Ecuación de la pendiente
Ray R by < x 0. 4 5 > 3 0 < x0. 7 > Rcy < x0. 9 > ¨ = [ 2 + 2 5 2 + 2 + Rdy < x21.2 > +]
6) Integrando por segunda vez.
2 Rby < x 0.45 >2 3 30 < x 0.7 > 2 Rcy < x 0.9 >2 Ray ∫ = ∫{ 2 + 22 5 2 + 2 + Rdy < x2 1.2 > + 1}
Ecuación de la elástica.
3 3 Rby < x 0.45 >3 5 4 R ay R cy < x 0. 9 > 3 = 6 + 6 3 4 5 < x 0.7 > + 6 + Rdy < x6 1.2 > + 1 +
7) Condiciones de frontera
30 Kg
30 Kg/m
0.45m
a) b) c) d) e) f) g) h)
0.25m
10 Kg
0.2m
0.3m
0.1m
X=0 ; Y=0 X=0 ; ɵ=0 X=0.45 ; Y=0 X=0.45 ; ɵ=0 X=0.9 ; Y=0 X=0.9 ; ɵ=0 X=1.2 ; Y=0 X=1.2 ; ɵ=0
8) Calcular C1 y C2 Sustituimos condición a en la ecuación de la elástica.
3 Rby < 0 0.45 >3 5 4 R ay 0 0 = 6 + 6 3 4 0 5 < 30 0.7 > 3 + Rcy < 06 0.9 > + Rdy < 06 1.2 > + 10+
= 0
Sustituimos condición c en ecuación de la elástica.
3 Rby < 0.45 0.45 >3 5 4 R ay 0. 4 5 0 = 6 + 6 3 4 0.45 5 <3 0.45 0.7 > 3 + Rcy < 0.465 0.9 > + Rdy < 0.465 1.2 > + 10.45 0.45 = Ray0.6 45 + 54 0.45 = 0.03375 + 0.11390625 Sustituimos C1 y C2 en Ecuación de la pendiente y de la elástica. Ecuación de la pendiente. ------- Ec. A’
R ay Rby < x0. 4 5 > 30 < x 0. 7 > Rcy < x 0. 9 > = 2 + 2 5 2 + 2 + Rdy < x21.2 > 0.03375 + 0.11390625 3 3 Rby < x 0.45 >3 5 4 R ay R cy < x 0. 9 > 3 = 6 + 6 3 4 5 < x 0.7 > + 6 + Rdy < x6 1.2 > 0.03375 + 0.11390625 Ecuación de la elástica. ----------- Ec. B’
Utilizar las condiciones e y g en las dos ecuaciones faltantes. Sustituir en ecuación B’ la condición e.
3 Rby < 0.9 0.45 >3 5 4 R ay 0. 9 0 = 6 + 6 3 4 0.9 5 <3 0.9 0.7 > 3 + Rcy < 0.96 0.9 > + Rdy < 0.96 1.2 > 0.033750.9 + 0.113906250.9 3 Rby < 0.9 0.45 >3 5 4 R ay 0. 9 0 = 6 + 6 4 0.9 5 < 0.9 0.7 > 3 0.033750.9 + 0.113906250.9 0.1215 +0.0151875 0.8201250.040.030375+0.102515625 = 0 0.091125 +0.0151875 = 0.757609375 -----------Ec. 4
Sustituir en ecuación B’ la condición g.
3 Rby < 1.2 0.45 >3 5 4 R ay 1. 2 0 = 6 + 6 3 4 1.2 5 <3 1.2 0.7 > 3 + Rcy < 1.26 0.9 > + Rdy < 1.26 1.2 > 0.033751.2 + 0.113906251.2 0 = 0.288 + 0.0703125 2.5−92 0.625 + 4.5103 0.0405 + 0.1366875 0.2475+0.0703125 +4.510 = 3.0803125 -----------Ec. 5
9) Reagrupar ecuaciones.
Ray + Rby + Rcy + Rdy = 79 Kg 0.45Rby+0.9Rcy+1.2Rdy = 59.35 kg*cm
0.091125 + 0.0151875 = 0.757609375 0.2475 + 0.0703125 + 4.510− = 3.0803125 10) Calcular reacciones.
1 0 0.091125 0.2475 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0.45 0.0151875 0.0703125
1 0.45 -0.0759375 -0.1771875 1 1 -0.0759375 -0.1771875
1 0.9 0 0.0045 1 0.9 -0.091125 -0.243
1 2 -0.091125 -0.243
1 79 1.2 59.35 0 0.757609375 R3-0.091125R1 0 3.0803125 R4-0.2475R1 1 1.2 -0.091125 -0.2475
1 2.666666667 -0.091125 -0.2475
79 59.35 -6.441265625 -16.4721875
R2(1/0.45)
79 R1-R2 131.8888889 -6.441265625 R3+0.0759375R2 -16.4721875 R4+0.1771875R2
1 0 0 0
0 1 0 0
-1 2 0.06075 0.111375
-1.666666667 2.666666667 0.111375 0.2250000001
-52.8888889 131.8888889 3.574046876 R3(1/0.06075) 6.896875002
1 0 0 0
0 1 0 0
-1 2 1 0.111375
-1.666666667 2.666666667 1.833333333 0.2250000001
-52.8888889 R1+R3 131.8888889 R2-2R3 58.83204734 6.896875002 R4-0.111375R3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0.166666666 -0.999999999 1.833333333 0.02081250014
5.94315844 14.22479422 58.83204734 0.3444557295 R4(1/0.02081250014)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0.166666666 -0.999999999 1.833333333 1
5.94315844 14.22479422 58.83204734 16.55042533
R1-0.166666666R4 R2+0.999999999R4 R3-1.833333333R4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3.184754229 30.77521953 28.48960091 16.55042533
R1-0.166666666R4 R2+0.999999999R4 R3-1.833333333R4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3.184754229 30.77521953 28.48960091 16.55042533
Ray = 3.184754229 Kg
=
31.24243899 N
Rby = 30.77521953 Kg
=
301.9049036 N
Rcy = 28.48960091 Kg
=
279.4829849 N
Rdy = 16.55042533 Kg
=
162.3596725 N
11) Diagramas de cortantes y esfuerzos
30 Kg
10 Kg
30 Kg/m
0
301.9049036 N
31.24243899 N
0.45m
Diagrama de cortantes(N)
Diagrama de esfuerzos(N/m)
0.25m
279.4829849 N
0.2m
162.3596725 N
0.3m
0.1m
12) Diseño de sección transversal. Base = 7 cm
σperm.= 40 kg/ σperm.= ∗ 1 2 5. 2 4 ∗ ℎ 2 3.92410 / = 121 0.07ℎ 4 28571 ℎ = 2163. 3. 9 2410 ℎ = 5.513332459610− ℎ = 0.02348046975 = .
Diseño para esfuerzo normal
= 2.5 cm
Dimensiones obtenidas.
2.5 cm
7 cm
13) Se tomaron estas medidas ya que la venta de estos materiales es por pulgadas y se complicaría hacer un corte de 0.1519 cm de altura en este material, lo cual nos hace referencia a que nuestros cálculos, con respecto a la deflexión, serán un 6.47% sobrado de la medida calculada anteriormente. Calculo de la deflexión a 30 cm del punto a de la viga. 30 Kg/m
30 Kg
10 Kg
Micrómetro 0.3m Ray
Rby
Rcy
Rdy
Se utiliza la ecuación de la elástica para calcular la deflexión a esa distancia.
3 3 Rby < x 0.45 >3 5 4 R ay R cy < x 0. 9 > 3 = 6 + 6 3 4 5 < x 0.7 > + 6 + Rdy < x6 1.2 > 0.03375 + 0.11390625 Donde:
E= Módulo de elasticidad de material. I = Momento de inercia de esa sección. X= Distancia a la que calcularemos la deflexión.
Los módulos de elasticidad a utilizar serán de 2.1x10 6 y de 1.9x10 6. Calculamos el momento de inercia de la sección.
2.5 cm
7 cm
∗ℎ = 12 7 ∗ 2. 5 = 12
= 9.114583333
Sustituimos valores.
Para un E de 2.1x10 6 obtenemos una deflexión de:
2.1109.114583333 3 30.77521953 < 30 45 >3 5 4 = 3.184754229 30 6 + 6 3 4 30 <6 30 90 > 5 < 30 70 > 3 + 28.48960091 + 16.55042533 6< 30 120 >3 0.033753.18475422930 + 0.1139062530
=
+ 30.77521953 < 3045 > 5 30 5 < 30 70 > + 3.18475422930 6 6 4 28.489600916< 3090 > + 16.550425336< 30120 > 0.033753.18475422930+ 0. 1 139062530 2.11069.114583333
4 133 = 998168. 19140625 = 0.0521492069 = . 1.9109.114583333 3 30.77521953 < 30 45 >3 5 4 = 3.184754229 30 6 + 6 3 4 30 Para un E de 1.9x10 6 obtenemos una deflexión de:
<6 30 90 > 5 < 30 70 > 3 + 28.48960091 + 16.55042533 6< 30 120 >3 0.033753.18475422930 + 0.1139062530
=
+ 30.77521953 < 3045 > 5 30 5 < 30 70 > + 3.18475422930 6 6 4 28.489600916< 3090 > + 16.550425336< 30120 > 0.033753.18475422930+ 0. 1 139062530 1.91069.114583333
998168.413333 = 17317708. = 0.0576385971 = .
Debido a estos cálculos podemos observar que las deflexiones calculadas son un tanto diferentes a las del problema experimentalmente debido a las dimensiones hechas en el laboratorio, ya que son sobradas. 14) Pasamos a calcular los esfuerzos máximos cortantes y normales en la sección a una distancia 0.775 m.
2.5 cm 7 cm a) Cortante máximo ( Ԏmáx.):
Ԏmáx.= ∗∗ Donde:
V = Esfuerzo cortante máximo. Q = Momento principal. Ix = Momento de inercia de la sección. t = Espesor de la sección.
σmax.= ∗
Donde: Mx = Momento máximo. C = Distancia del eje neutro a la capa más alejada de la figura.
Para una distancia de 0.775 m.
Ԏmáx.= ∗∗ = = Σ = 1.25 ∗8.75 = 10.9375 = 12∗ℎ = 7 ∗ 122.5 = 9.114583333 = 1.25 1 9. 2 8975535 ∗ 10. 9 375 Ԏmáx.= 9.114583333 ∗ 1.25 Ԏá.= . / σmax.= ∗ = = 1.25 = 9.114583333 . ∗1. 2 5 σmax.= 121.0755875 9.114583333 .= . / 189.2325 N o 19.28975535 Kg. =
11.87751513 N*m o 1.210755875 Kg*m.
En nuestro proyecto se nos informa que se ubicó una fisura a ½ t con un ángulo de inclinación de 30° anti horario.
30°
30 Kg/m
30 Kg
10 Kg
Micrómetro 0.3m Ray
Rby
Rcy
. ∗0. 6 25 σmax.= 121.0755875 9.114583333 σmax.= 8.302326 Nuestra
porción
de
área
quedaría
Rdy
de
la
siguiente
0
18.51816514 kg/cm2
8.302326kg/cm2
manera:
15) Calcularemos círculo de Mohr.
Vy
Vy'
Vmin
Vmax
Vx'
Vx
′ = 8.3023262 + 0 + 8.3023262 0 cos60 + 18.5181651460 ′ = 22.26394594 / ′ = 8.3023262 + 0 8.3023262 0 cos60 18.5181651460 ′ = 13.96161994 ′′ = 8.3023262 0 60 + 18.51816514cos60 ′′ = 5.679069957 8. 3 02326 0 = √ ( 2 ) + 18.51816514 = 18.97773944 = = 8.3023262 + 0 = 4.151163
8 . 3 02326 + 0 8. 3 02326 0 ..= 2 ± √ ( 2 ) +18.51816514 .= 23.12890244 / .= 14.82657644 / Metodología (experimental).
Para llevar a cabo este proyecto se requirió mandar hacer la viga con las dimensiones que calculamos en la metodología teórica de 7x2.4x130 cm. 1. Colocamos los apoyos en sus posiciones a las distancias establecidas en el proyecto y colocamos la viga respecto a sus apoyos.
2. Le colocamos la carga continua.
3. Colocamos cargas puntuales.
4. Dejamos que se asienten bien las cargas en la viga.
5. Retiramos las cargas y esperamos a que se restablezca la viga a su forma original y anotamos la deflexión que nos arrojó el micrómetro.
Bibliografía. o o o o o o
Mecánica de materiales – Beer, Ferdinand P., Jhonston. – 5ta edición. Mecánica de materiales – Beer y Jhonston P. – 6ta edición. Mecánica de materiales – Russell C. Hibbeler – 8va edición. Mecánica de materiales – FitzGerald – Edición revisada. Mecánica de materiales – James M. Gere – Edición Brief, SI versión. Resistencia de materiales (Schaum) – William A. Nash – 1ra edición.
Conclusión.
Gracias a este proyecto pudimos percatarnos de la importancia que tiene llevar a cabo un estudio completo de lo que es la mecánica de los materiales dentro y fuera del campo de la construcción, ya que gracias a estos estudios podemos estar seguros y confiados en que las herramientas necesarias las podemos llegar a tener en nuestras manos gracias al entendimiento de estos cálculos y formulas indispensables que conlleva este proyecto.
