PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA 1.- Hipótesis Estadística: Es una afirmación, suposición o conjetura acerca de uno o más parámetros. Esta suposición puede ser cierta o falsa. La aceptación de una hipótesis implica que los datos no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. No todas las hipótesis son estadísticas, para que lo sean se deben tomar con respecto a un parámetro. Las hipótesis estadísticas son de dos tipos: Hipótesis Nula: H0 Es aquella por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro que se va a constatar con el resultado muestral. Es la hipótesis que se debe probar. Esta hipótesis nula recibe tal nombre debido a que es el punto de partida de la investigación. A menudo se utiliza en su interpretación la frase "no existe diferencia". Hipótesis Alternativa: H1 Es toda aquella hipótesis que difiere de la hipótesis nula, es decir, ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa. Esta hipótesis sobre la cual se enfoca la atención, es una aseveración sobre el mismo parámetro poblacional que se utiliza en la hipótesis nula. Generalmente se especifica que el parámetro poblacional tiene un valor diferente, de alguna manera, al establecido en la hipótesis nula. En el procedimiento de prueba de hipótesis, se trabajará con el supuesto de que la hipótesis nula es una afirmación correcta. Por lo tanto, una hipótesis estadística se puede aceptar o rechazar. De este modo el rechazo de la hipótesis nula implicará la aceptación de la hipótesis alternativa. Ejemplo: Se tiene un juicio legal donde se supone que el acusado es inocente en tanto no se presente suficiente evidencia para demostrar lo contrario. H0 : Es inocente. H1 : No es inocente. Aceptar H0:
No se puede condenar (se absuelve)
Decisiones posibles Rechazar H0: No es inocente. (se condena) 2.- Tipos de Error: En la decisión de aceptar o rechazar una hipótesis se pueden cometer dos tipos de error: Error tipo I y Error Tipo II. -
Error Tipo I.- Si se rechaza una hipótesis verdadera. Error Tipo II.- Si se acepta una hipótesis falsa.
1
Por lo tanto, existen dos posibles decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis, la que a su vez puede ser verdadera o falsa. H0: Decisión Aceptar H0
H0 Verdadera
H0 Falsa
Decisión Correcta
Error Tipo II Decisión Correcta
Rechazar H0
Error Tipo I
La decisión es correcta cuando se acepta una hipótesis verdadera o cuando se rechaza una hipótesis falsa.
Ejemplo: El Decano de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Alas Peruanas tiene interés en contratar los servicios docentes del ingeniero Reyes. El Decano lo entrevista para conocer su competencia en la enseñanza. Si la hipótesis formulada es "El ingeniero Reyes es competente para la enseñanza", explicar en qué condiciones el Decano cometería errores de tipo I y de tipo II , razonar las consecuencias de cada error y explicar cuál de los dos es más grave en este caso. H0: El ingeniero Reyes es competente para la enseñanza Decisión
H0 Verdadera
H0 Falsa
Se acepta que es competente cuando en realidad lo es
Se acepta que es competente cuando en realidad no lo es
Se contrata a una persona competente
Aceptar H0
Se dice que no es competente cuando en realidad sí lo es Rechazar H0
3.-
Se deja de contratar a una persona competente
Se contrata a una persona incompetente Se dice que no es competente y en realidad no lo es Se deja de contratar a un incompetente
Prueba de Hipótesis Unilateral: Es aquella en la cual la Región de Rechazo o zona crítica está completamente comprendida en uno de los extremos de la distribución. Prueba Unilateral a la Derecha (de la curva): Cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "mayor". La región de rechazo está a la derecha. H1 : Los salarios que paga una empresa son mayores
2
Prueba Unilateral a la Izquierda (de la curva): Cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "menor". La región de rechazo está a la izquierda. H1 : El producto es de menor calidad. 4.-
Prueba de Hipótesis Bilateral: Es aquella en la cual la región de rechazo o zona crítica está en ambos extremos de la distribución. La hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "diferente". H1 : Los salarios de la empresa A son diferentes a los salarios de la empresa B.
5.-
Valor (es) Crítico (s): Son los números que definen las fronteras de la región de rechazo.
6.-
Nivel de significación: Es la máxima probabilidad que se especifique con el fin de hacer mínimo el error tipo I. Generalmente esta probabilidad se fija antes de escoger la muestra. En una "decisión administrativa", típicamente quien dirige una acción determina la probabilidad de riesgo que parece razonable en vista de la gravedad de cometer el error tipo I. Si el error tipo I es muy serio o costoso se debe asignar un valor muy pequeño a . Si el error tipo I no es tan grave, entonces puede asignarse un valor mayor. Generalmente se toma como 1% , 5% o 10%, pero se puede usar cualquier nivel, dependiendo del tipo de investigación. Existe la costumbre de trabajar con el nivel del 5% especialmente cuando el enunciado del problema no lo da.
Cuando se trabaja con nivel 5% el resultado es significativo. Si se emplea el 1% el resultado es altamente significativo. Si se usa el 10% se considera poco significativo.
El valor de corresponde a un área bajo la curva, denominada región de rechazo o zona crítica. La región de rechazo puede estar situada a la derecha, a la izquierda o a ambos lados de la curva, según que la prueba de hipótesis sea unilateral o bilateral.
unilateral
bilateral 3
La región no sombreada se denomina Región de Aceptación y corresponde a la probabilidad 1 - .
7.-
Estadística de Prueba: Es un número que se calcula con los datos de la muestra y que se usa para determinar si la hipótesis nula debe ser aceptada o rechazada.
8.-
Regla de Decisión: Si el valor calculado de la estadística de prueba cae dentro de la región de rechazo, se rechaza H0. En caso contrario se acepta.
9.-
Conclusión: Debe redactarse de acuerdo a los términos utilizados en la pregunta del problema. EL VALOR P
El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula. Sirve de ayuda en la toma de decisiones pues casi todos los Software Estadísticos muestran el valor de P junto a la estadística de prueba. Si P
aceptar H0
Si P
rechazar H0 y aceptar H1
Cálculo del valor P:
Si H1 :
Si H1 :
Si H1 :
P P ( Z ep )
P P ( Z ep )
P 2 P ( Z ep )
Ejemplo: Una muestra aleatoria de 100 personas presenta una vida promedio de 71,8 años. Si la desviación estándar de la población es 8,9años. ¿Esto parece indicar que la vida media es mayor que 70 años? Hipótesis: H0 :
H1 :
70 70
Estadística de Prueba: ep z
x 0 / n
71,8 70 8,9 /
100
Como el valor de P = 0,02169 es menor que
2,02
Valor P: P P ( Z 2,02 )
1 P ( Z 2,02) 1 0,97831 0,02169
0,05 ; se rechaza H0 y se acepta H1 4
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL La hipótesis en el caso de la media de una población µ, es importante porque presenta los métodos para decidir si se acepta o se rechaza una afirmación acerca de un valor específico de µ. Sea
x1 , x2 , ... , x n una muestra aleatoria tomada de una población normal con media
y varianza 2 , entonces:
H0 :
0
H0 :
0
H1 : 0
H1 : 0
z t , n 1
z1 t1 , n1
H0 :
0
H1 : 0
z /2 t / 2 , n 1
z /2 t / 2 , n 1
Estadística de Prueba:
σ 2 conocida : z
σ 2 desconocida:
x 0 /
n
Si n< 30 : t
x 0 S/ n
Si n 30: z
x 0 S/ n
Ejemplo 1: Un fabricante sostiene que sus autos consumen en promedio 5,50 galones de gasolina cada 100 kilómetros. Un vendedor de la compañía comprueba el consumo de gasolina de 35 autos y encuentra que el consumo medio de ese grupo es de 5,65 galones cada 100 kilómetros, con una desviación estándar de 0,35 galones. Con estos datos y con una confianza del 99%, ¿Puede dudarse de lo sustentado por la compañía? Solución: n = 35 Z x 5,65 S = 0,35 1.-
1 0,99
Hipótesis:
H0 : 5,5 H1 : 5,5
5
2.-
Valor Crítico: Z1 Z0,99 2,32
3.-
Estadística de Prueba: Z
4.5.-
Decisión: 2,54 RR
x 0 5,65 5,5 2,54 S/ n 0,35 / 35
Rechazar H0
Conclusión: Con una confianza del 99%, podemos afirmar que existen pruebas suficientes como para dudar de lo sustentado por la compañía.
Ejemplo 2: Una máquina para enlatar conservas de pescado ha sido regulada para que el contenido de cada lata sea de 16 onzas. Usando un nivel de significancia del 5% ¿Diría usted que la máquina ha sido adecuadamente regulada, si una muestra de 20 latas dio un peso medio de 16,05 onzas y una desviación típica de 1,5 onzas? Solución: 0,05
n = 20 t x 16,05 S = 1,5
1.-
/ 2 0,025
Hipótesis:
H0 : 16 H1 : 16
-2,093
+2,093
0,15 2.-
Valor Crítico:
t /2 , 3.-
n 1
t0,025 , 19 2,093
Estadística de Prueba: t
4.5.-
Decisión: 0,15 RA
x 0 16,05 16 0,15 S/ n 1,5 / 20
Aceptar H0
Conclusión: Con una confianza del 95%, podemos afirmar que la máquina sí ha sido adecuadamente regulada.
6
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL Sea
x1 , x2 , ... , x n una muestra aleatoria seleccionada de una población normal con
media y varianza 2 desconocidas, entonces:
H0 : 2 2 0
H0 : 2 2 0
H0 : 2 2 0
H1 : 2 20
H1 : 2 20
H1 : 2 20
12 , n1
2 , n 1
2 / 2 , n 1
12 /2 , n1
Estadística de prueba: 2
( n 1 ) S2
20
Ejemplo: En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen significativamente más o significativamente menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por ello, los enlatadores vigilan de cerca la cantidad de su producto entregada por las máquinas que llenan las latas. Considere una compañía que produce un cemento de hule de secado rápido en latas de aluminio de 32 onzas. A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza de la cantidad de cemento de hule entregada a las latas es mayor que 0,3. De ser así, habrá necesidad de ajustar la máquina que entrega el cemento. Puesto que la inspección del proceso de enlatado requiere apagar las máquinas de entrega, y las suspensiones durante periodos prolongados le cuestan a la compañía miles de dólares en ingresos perdidos, el inspector sólo puede obtener una muestra aleatoria de 10 latas para realizar la prueba, obteniendo una media de 31,55 onzas y desviación estándar de 0,48 onzas. ¿Estos resultados de muestra indican que las máquinas de entrega requieren un ajuste? Pruebe con un nivel de significancia de =0,05. Solución: n = 10
x 31,55
1 0,95
S = 0,48 1.-
Hipótesis:
H0 : 2 0,3 H1 : 2 0,3
7
2.-
Valor Crítico:
21 , n1 20,95, 9 16,9 3.-
Estadística de Prueba:
2 4.-
Decisión: 6,9 RA
5.-
( n 1 ) S2 20
9 0,48 2 0,3
6,9
Aceptar H0
Conclusión: Al 95% de confianza, podemos afirmar que las máquinas de entrega no requieren ajuste.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS POBLACIONALES Sean:
x1 , x 2 , ..., x n1 una muestra aleatoria extraída de una población normal N 1 , 12 y1 , y 2 , ..., y n2
otra muestra aleatoria extraída de una población N 2 , 2 2
y,
, ambas
poblaciones independientes.
H0 : 12 2 2
H0 : 12 2 2
H0 : 12 2 2
H1 : 12 2 2
H1 : 12 2 2
H1 : 12 2 2
F1 , v , v 1 2
F , v , v 1 2
F /2 , v , v 1 2
F1 /2 , v , v 1 2
Estadística de prueba: F
S12
S22
v2 n2 1 v1 n1 1
8
Ejemplo: Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por dos compañías cinematográficas: Compañía: 1 2
: :
102 81
Tiempo (minutos) 98 109 92 97 134 92
86 165
87
114
Usando un nivel de significancia del 10%, ¿Existe diferencia significativa entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías? Solución: Solución:
1.-
Compañía 1:
Compañía 2:
n1 5
n2 7
x1 97,4
x 2 110
S12 78,80
S2 2 913,33
0,10 / 2 0,05 1 / 2 0,95
Hipótesis:
H0 : 12 22 H1 : 12
2.-
22
Valores Críticos:
F / 2 ,
v1 , v 2
F0,05 ,
4, 6
0,16
F1 /2 , v1 , v2 F0,95 , 4 , 6 4,53 3.-
Estadística de Prueba:
F 4.-
S2 2
78,80 0,086 913,33
Decisión: 0,086 RR
5.-
S12
Rechazar H0
Conclusión: Al 90% de confianza, podemos afirmar que sí existe diferencia significativa entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías?
9
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES 1.-
Cuando las Varianzas son conocidas: Sean x1 , x 2 , ..., x n una muestra aleatoria seleccionada de una población normal 1
N
N 1 , 12
y1 , y 2 , ..., y n2 otra muestra aleatoria extraída de una población
y
donde 12 , 2 2 independientes. 2
H0 :
1
2
22
y
H0 :
H1 : 1 2
son conocidas y ambas poblaciones son
1
2
H0 :
H1 : 1 2
H1 : 1 2
z1
z
Estadística de prueba:
z
1 2
z /2
z /2
x1 x 2
12 n1
22 n2
Ejemplo: En la facultad de Ingeniería de Sistemas de una universidad, se seleccionó una muestra aleatoria de 20 estudiantes (grupo A) de una población de estudiantes pertenecientes a familias en que ambos padres trabajan. Se seleccionó también una muestra aleatoria de 16 estudiantes (grupo B) entre aquellos estudiantes que pertenecen a familias en que solamente el padre trabaja. El análisis de los puntajes de rendimiento académico de los dos grupos dio los siguientes resultados: Grupo A B
media 14 17
La experiencia muestra que las poblaciones de puntajes para ambos grupos están distribuidas en forma aproximadamente normal, con varianzas 36 y 20 respectivamente. ¿Se puede concluir con estos datos, que la media de la población de la que se seleccionó el grupo B es mayor a la media de la población de la que se seleccionó el grupo A?
0,05
Solución: 1.-
Hipótesis: H0 : A
B
H1 : A B
10
2.-
Valor Crítico:
Z
3.-
Z0,05 1,65
Estadística de Prueba:
Z
x1 x 2 12 n1
4.5.-
Decisión: -1,72 RR
22
n2
14 17 36 20 20 16
1,72
Rechazar H0
Conclusión: Con una confianza del 95%, se puede concluir que los puntajes promedio de los estudiantes que pertenecen a familias en que ambos padres trabajan son inferiores a aquellos en que sólo el padre trabaja.
2.-
Cuando las Varianzas son desconocidas: Sean x1 , x2 , ... , x n1 una muestra aleatoria seleccionada de una población normal
N 1 , 12
N 2 , 2 2
y
y1 , y 2 , ... , y n2
donde 12 y
una muestra aleatoria extraída de una población
22 son desconocidas y además ambas poblaciones son
independientes.
Si n1 n2 30 :
a)
H0 :
1
2
H0 :
2
H1 : 1 2
H1 : 1 2
z
Estadística de prueba:
1
z1
z
x
H0 :
1 2
H1 : 1 2
z /2
z /2
x
1 2 2 S2 S1 2 n1 n2
11
Ejemplo: Una compañía fabricante de chips de memoria RAM para computadora, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamblaje semiautomática, que tiene actualmente por otra completamente automatizada. Como le gustaría saber si debe actualizar su línea de ensamblado, ha reunido algunos datos sobre pruebas acerca de la producción por hora de chips, esos datos se resumen en la siguiente tabla: Línea
media
Desv.Est.
ni
198 206
32 29
150 200
Semiautomática Automática
Establezca y pruebe, con un nivel de significancia de 0,01, la hipótesis apropiada para ayudar a tomar una decisión a dicha compañía. Solución: 1.-
Hipótesis:
H0 : 1 2 H1 : 1 2 2.-
Valor Crítico:
Z Z0,01 2,33 3.-
Estadística de Prueba: Z
4.-
S2 2
S12 n1 n2
198 206 322 292 150 200
2,40
Decisión: -2,40 RR
5.-
x1 x 2
Rechazar H0
Conclusión: Con una confianza del 95%, se recomienda a la compañía sustituir su línea de ensamblaje semiautomática por aquella completamente automatizada.
12
b)
Si n1 n2 30 :
H0 :
1
varianzas desconocidas pero se supone iguales
2
H0 :
H1 : 1 2
1
2
H0 :
H1 : 1 2
2 1
σ22
1 2
H1 : 1 2
t1 , n1 n2 2
t , n1 n2 2
σ
t /2 , n1 n2 2
Estadística de prueba:
t
x
1
x
( n1 1 ) S12
2
( n2 1 ) S22 n1 n2 2
1 1 n n 2 1
Ejemplo: Una empresa grande de corretaje de acciones desea determinar qué tanto éxito han tenido sus nuevos ejecutivos de cuenta en la consecución de clientes. Después de haber terminado su entrenamiento, los nuevos ejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles clientes, tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con las empresas. Los datos siguientes dan el número de cuentas nuevas que fueron abiertas durante las primeras dos semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos de cuenta escogidos aleatoriamente. Ejecutivas : 12 11 14 13 13 14 13 12 14 12 Ejecutivos : 13 10 11 12 13 12 10 12 A un nivel del 5%, ¿Parece que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas? Solución:
n1 n2 18 30
t
Ejecutivas:
Ejecutivos:
n1 10
n2 8
x1 12,8
S1 1,03
x 2 11,6
0,05 /2 0,025 S2 1,2
1 /2 0,975
¿Es 12 2 2?
H0 : 12 22 H1 : 12 Valores Críticos:
22
F /2 , v1 , v2 F0,025 , 9 , 7 0,238 F1 /2 , v1 , v2 F0,975 , 9 , 7 4,82
13
Estadística de Prueba:
S12
F 1.-
1,032
S2 2
0,74
2
1,2
RA
Aceptar H0 :
12 2 2
Hipótesis:
H0 : 1 2 H1 : 1 2 2.-
Valor Crítico:
t1 , n1 n2 2 t0,95 , 16 1,746 3.-
Estadística de Prueba:
t 4.-
12,8 11,6
2
9 1,03 7 1,22 1 1 16 8 10
Decisión: 2,28 RR
5.-
2,28
Rechazar H0
Conclusión: Con una confianza del 95%, se puede aceptar que las mujeres son más efectivas.
c)
Si n1 n2 30 :
H0 :
1
varianzas desconocidas pero se supone diferentes
2
H0 :
H1 : 1 2
1
2
H0 :
H1 : 1 2
t , g
σ
2 1
σ22
1 2
H1 : 1 2
t1 , g
t /2 , g
t /2 , g
Estadística de prueba: 2
t
x1 x 2 S12 n1
S2 2 n2
S12 S22 n n 2 1 g 2 2 2 S22 S1 n 1 n2 n1 1 n2 1
* El valor de g, siempre se aproxima al menor entero.
14
Ejemplo: Una compañía quiere probar la resistencia de dos tipos de vigas de acero, A y B. Para esto, toma una muestra de 16 vigas del tipo A y una muestra de 10 vigas del tipo B, obteniendo los siguientes resultados: Tipo A B
media 70,5 84,3
varianza 81,6 280,5
¿La resistencia media de los dos tipos de vigas es la misma? Solución:
nA nB 26 30
0,05
t
/2 0,025 ¿Es 2A 2 B?
1 /2 0,975
Hipótesis:
H0 : 2A 2B H1 : 2A
2B
Valores Críticos:
F /2 , v1 , v2 F0,025 , 15 , 9 0,32
F1 /2 , v1 , v2 F0,975 , 15 , 9 3,77
Estadística de Prueba: F
1.-
S2A
S2 B
81,6 0,29 280,5
RR
Aceptar H1 :
12 2 2
Hipótesis:
H0 : A B H1 : A B 2.-
4.-
+2,179
Valor Crítico:
g
3.-
-2,179
S2A S2 B n nB A 2
2
2
S2A S2B n A nB nA 1 nB 1
81,6 280,5 10 16 81,6 16 15
Estadística de Prueba: 70,5 84,3 t 81,6 280,5 16 10 Decisión:
2,4 RR
2
2
280,5 10 9
2
12,33
g = 12
t / 2 , g
t0,025 , 12 2,179
2,4
Rechazar H0
15
PRÁCTICA Nº 3 1.-
Se desea comparar la efectividad de dos métodos de enseñanza de la programación. El método 1 que es la instrucción directa a través de las instrucciones de la computadora y el método 2 que implica la atención personal de un instructor y alguna experiencia directa trabajando con la computadora. Se toman muestras al azar de estudiantes instruidos por ambos métodos, los estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones: Método 1 Método 2
: :
71 90
75 80
65 86
69 84
73 85
68 80
74
70
a) Se afirma que en el método 2 el promedio aritmético es más representativo. ¿Existen evidencias suficientes para aceptar la afirmación como válida. Tenga en cuenta que sería desastroso si se comete error tipo I. * ep = 0,76 aceptar Ho b) Considerando que durante los últimos años se ha venido obteniendo una varianza de 18; ¿se puede afirmar que el verdadero promedio del método 1 es superior a 72?. * ep = -0,91 P = 0,804 2.-
Un instituto de investigación informática quiere comparar estadísticamente dos tipos de microprocesadores. Se selecciona al azar una muestra de 20 ordenadores de una población de ordenadores comparables. A 12 de ellos se les instala el primer tipo de microprocesador y a los 8 restantes el segundo tipo. Los resultados del tiempo de ejecución de una determinada tarea son los siguientes: Tipo I II
ni 12 8
media
Desv. Estándar
4,3 3,9
0,9 1,3
¿Puede afirmarse que los microprocesadores del primer tipo son significativamente mejores en el tiempo de ejecución que los del segundo? * No ep = 0,82 P = 0,788 3.-
El gerente de operaciones de computadora de una compañía grande desea estudiar el uso de computadoras en dos departamentos de la compañía, el departamento de contabilidad y el departamento de investigación. Se seleccionaron una muestra aleatoria de cinco tareas del departamento de contabilidad realizados durante la semana anterior, y seis trabajos del departamento de investigación realizados, también, durante esa semana, y se registró el tiempo de procesamiento (en segundos) para cada trabajo con los resultados siguientes: Departamento Contabilidad Investigación
Tiempo de procesamiento (seg.) 9 3 8 7 12 4 13 10 9 9
6
¿Existe evidencia de una diferencia en la dispersión del tiempo de procesamiento entre los dos departamentos? Utilice un nivel de significancia del 5%. * ep = 1,08 aceptar Ho 4.-
En una fábrica de conservas de frutas se desea verificar si las latas tienen un peso promedio inferior a 1 kg. Se sabe que el tamaño de la fruta puede introducir una variación en los pesos de las latas de manera que éstos se distribuyan normalmente con una desviación estándar de 0.08. Se toma una muestra de 100 latas en la que se determina los pesos, resultando un promedio de 980 gr. Se desea saber si la muestra comprueba tal afirmación. Utilizar un nivel de significación del 2.5%.
16
5.-
Se somete a un Ingeniero de Sistemas a unos tests psicológicos para determinar si es o no emocionalmente apto para trabajar como docente en la universidad Alas Peruanas. a) Si la universidad formula la hipótesis de que el ingeniero es apto: - formular la hipótesis alternativa. - ¿cuáles son las consecuencias de un error tipo I y de un error de tipo II? b)
6.-
Si la hipótesis es que el ingeniero no es apto: - formular la hipótesis alternativa. - ¿cuáles son las consecuencias de un error tipo I y de uno de tipo II?
El tiempo de respuesta de computadora se define como el tiempo que un usuario debe esperar mientras la computadora accede a información en el disco. Suponga que un centro de datos desea comparar los tiempos de respuesta medios de sus dos unidades de disco de computadora. Si 1 es el tiempo de respuesta medio del disco 1 y 2 es el tiempo de respuesta medio del disco 2, queremos detectar una diferencia entre 1 y 2, si es que existe. Se seleccionaron muestras aleatorias independientes de 13 tiempos de respuesta para el disco 1 y 15 tiempos de respuesta para el disco 2. Los datos (registrados en milisegundos), se presentan a continuación. Disco 1 59 19 73 96
73 62 53
Disco 2 70 84 58
65 54 23
61 38 47 48
63 48 41 58
40 60 44 39
34 55 53
a)
Con una confianza del 90%, ¿podemos afirmar que no existe diferencia entre los verdaderos promedios de los discos? * ep = 1,89 P = 0,078
b)
Si tuvieras que recomendar que no compren uno de los discos, ¿cuál sería? ¿Por qué? * Disco 1
7.-
Su supervisor le ha encargado elegir nuevas máquinas de fax para las oficinas de su empresa en todo el mundo. Tiene que considerar varios factores, entre ellos la variabilidad del tiempo de transmisión. Dos modelos son similares en muchos aspectos importantes, pero uno cuesta más que el otro. Para establecer una comparación de variabilidad en el tiempo que se tarda en transmitir un documento se eligen 10 máquinas de fax del tipo primero y se transmite el mismo documento. La desviación típica del tiempo de transmisión es de 2,7 minutos. Se someten 16 máquinas del segundo tipo a una prueba similar y se obtiene una desviación típica de 3,4 minutos. Al nivel del 10%. Se tomó la decisión de elegir las máquinas del tipo 1, ¿es correcta esta decisión? * 0,24 ; 1,89
8.-
Muchos paquetes de software para computadora utilizan interfaces con el usuario controladas por menús a fin de mejorar la "amabilidad con el usuario". Una característica que puede incorporarse en la interfaz es una presentación de menús apilados. Cada vez que se selecciona una opción de un menú, aparece un submenú superpuesto parcialmente al menú original, creando así una serie de menús "apilados". Un grupo de investigación informó de un estudio para determinar los efectos de la presencia o ausencia de una estructura de menús apilados sobre el tiempo de búsqueda. Se colocó a 22 sujetos aleatoriamente en uno de dos grupos, y a cada uno se le pidió buscar una opción en particular en un paquete de software controlado por menús. En el grupo experimental (con 11 sujetos) se utilizó el formato de menús apilados; en el grupo control, también formado por 11 sujetos, se exhibió únicamente el menú actual. Los tiempos de búsqueda medios para los dos grupos fueron 11,02 segundos y 11,07 segundos, respectivamente; mientras que las desviaciones estándar fueron 3,08 y 4,02. La hipótesis inicial del investigador es que el tiempo medio necesario para encontrar una opción objetivo no difiere para las dos presentaciones de menús. * ep = -0,03 P = 0,974
17
9.-
Un analista de sistemas está probando la posibilidad de usar un nuevo sistema de computadoras. El analista cambiará el procesamiento al nuevo sistema sólo si hay pruebas de que el nuevo sistema usa menos tiempo en el procesamiento que el sistema antiguo. A fin de tomar una decisión, se seleccionaron dos muestras aleatorias de trabajos y se registró el tiempo de procesamiento en segundos, en los dos sistemas, con los siguientes resultados: Antiguo Nuevo
: :
5 7
12 6
6 9
7 8
14 7
7 6
8 7
Al nivel de 0,01; ¿adoptará el nuevo sistema para el procesamiento? * ep = 1,42 10.-
15 8 P = 0,097
Una profesora de computación está interesada en estudiar la cantidad de tiempo que le llevaría a los estudiantes inscritos en el curso de Introducción a la Computación escribir y correr un programa en C++. La profesora le contrata a usted para analizar los siguientes resultados (en minutos) obtenidos de una muestra aleatoria de nueve estudiantes: 10 13 9 15 12 13 11 13 12 Ella le pide comparar los resultados de este grupo de estudiantes con los resultados obtenidos en una muestra de once estudiantes avanzados de computación, con el propósito de determinar si existe evidencia de que los estudiantes avanzados pueden escribir el programa en C++ en menos tiempo (en promedio) que los estudiantes del curso introductorio. La media de la muestra de los estudiantes avanzados es de 8,5 minutos y la desviación estándar de la muestra es de 2,0 minutos. * ep = 4,07 P = 0,00
11.-
Se diseño un estudio para comparar las actitudes de dos grupos de estudiantes hacia las computadoras. El grupo 1 había tomado con anterioridad un curso de métodos estadísticos que implicó una interacción significativa con la computadora a través de la utilización de paquetes estadísticos. El grupo 2 también tomó un curso de métodos estadísticos, pero sin computación. Las actitudes de los estudiantes se midieron aplicando el Computer Anxiety Index (de temor hacia las computadoras). Los resultados fueron: Grupo 1 (con computación) 2 (sin computación)
ni 10 12
media
Desv. Estándar
60,3 67,2
7,5 2,1
¿Indican estos datos que el resultado promedio de quienes tuvieron experiencia computacional fue significativamente menor que el de aquellos sin tal experiencia? * ep = -2,82 P = 0,009 12.-
La empresa Megatec, una compañía fabricante de chips de memoria RAM para computadoras, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamblaje semiautomática, que tiene actualmente, por otra completamente automatizada. Como le gustaría saber si debe actualizar su línea de ensamblado, Megatec ha reunido algunos datos sobre pruebas acerca de la producción por hora de chips, esos datos son los siguientes: Línea Semiautomática Automática
media 198 206
Desv. Estándar 32 19
Ayuda a Megatec a tomar una decisión altamente significativa. * ep = -0,76 13.-
n 16 12 aceptar Ho
Dos empresas competidoras (A y B) en un mismo sector han puesto en marcha, casi 18
simultáneamente, páginas de Internet para la venta electrónica. Se han elegido al azar ocho clientes que han visitado la página A y, de manera independiente, otros ocho que han visitado la página B y se ha medido el tiempo (en minutos) de la duración de la visita de cada cliente. Los resultados fueron los siguientes: Página A Página B
2,3 1,3
3,5 2,3
4,2 4,4
3,2 3,7
4,4 2,8
2,1 6,5
1,6 3,6
5,3 4,5
¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística, al nivel del 10%, para afirmar que los tiempos de duración de las visitas en ambas páginas son igualmente homogéneas? * ep = 0,65 aceptar Ho 14.-
Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleado en la misma era de 6.5 años con una desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica no es superior a 6 años?
15.-
El Departamento de Control de Calidad de una empresa que fabrica computadoras estima que si la longitud de una determinada pieza presenta una desviación estándar mayor que 1,8 irremediablemente se producirá la inutilización de una plaqueta en el término de 6 meses de uso. Una muestra aleatoria de 15 piezas arrojó una longitud media de 5 mm. Con una varianza de 1,44. ¿Qué conclusiones puede obtener el Departamento de Control de Calidad de la empresa en cuanto a la calidad de las piezas analizadas? * ep = 6,22 aceptar Ho
16-
Si la hipótesis es que un puente resiste con seguridad un tráfico de 50 toneladas. a) Explicar en qué consisten los errores tipo I y tipo II. b) ¿Cuál de estos errores preferiría cometer? ¿por qué?
17.-
Una compañía supone que una llamada telefónica logra acelerar más que una carta el cobro de cuentas morosas. Dos grupos de esos clientes fueron contactados, uno por cada método, y se registró el tiempo transcurrido entre el envío de la carta o llamada telefónica y la recepción del pago: Método aplicado Carta Llamada telefónica
10 7
8 4
9 5
Días para cobrar 11 11 14 4 8 6
10 9
Cuando = 0,025, ¿Debe la compañía concluir que las cuentas morosas se cobran más rápidamente con llamadas telefónicas que enviando cartas? * ep = 4.16 P = 0,001 18.-
La consistencia en el sabor del vino es una cualidad importante para mantener la lealtad de la clientela. La variabilidad en el sabor de un vino dado puede verse afectado por la longitud del periodo de fermentación, variación en los ingredientes y diferencias en el equipo de fermentación. Un fabricante con dos líneas de producción, 1 y 2, ha hecho ligeros cambios a la línea 2 buscando reducir la variabilidad. Se toman al azar muestras de 21 vasos de vino de cada línea de producción y se determina el índice de sabor con un instrumento apropiado, obteniéndose: Línea de Producción 1 2
promedio 4,2 1,82
varianza 4,0 0,79
¿Presentan estos datos suficiente evidencia para indicar que existe diferencia entre la variabilidad del proceso A y la variabilidad del proceso B? * ep = 5,06 rechazar Ho
19
19.-
En una ciudad se utilizan ampolletas de la marca A durante años pero se contempla cambio a la nueva marca B debido a su mejor precio. Los vendedores de la marca B afirman que su producto es tan bueno como el de la marca A pero es más uniforme. A fin de docimar la afirmación de los vendedores de la marca B con respecto a la uniformidad, se probaron 16 de tales ampolletas, que fueron adquiridas en los establecimientos del ramo, obteniéndose una desviación estándar de 80 horas en el tiempo de encendido mientras que una muestra aleatoria de 25 ampolletas de la marca A, ha mostrado una desviación estándar de 90 horas. ¿Se puede afirmar que ambas poblaciones son homocedásticas? * ep = 1,27 aceptar Ho
20.-
El director de una editorial de libros de texto debe decidir si publicará un texto escrito por un catedrático particular. Con base en los costos de publicación, el director ha llegado a la siguiente conclusión. Si hay pruebas de que más del 15% de las instituciones en el país considerarían la adopción de este libro de texto, entonces se publicará. Si no se puede probar, no se publicará. Se seleccionará una muestra aleatoria de 100 instituciones de nivel profesional. a) Explique el significado de los errores tipos I y II. b) ¿Cuál error sería más importante para el director? ¿por qué? c) ¿Cuál error sería más importante para el catedrático? ¿por qué?
21.-
Para juzgar ciertas características de seguridad de un automóvil, un ingeniero debe saber si el tiempo de reacción del conductor ante una situación de emergencia determinada tiene una desviación estándar de 0,010 segundos o si ésta es mayor que 0,010 segundos. ¿Qué puede concluir en el nivel 0,05 de significancia, si obtiene una desviación estándar de 0,014 seg. para una muestra aleatoria de tamaño 15? * ep = 27.44 rechazar Ho
22.-
En un gran supermercado, el tiempo de espera de los clientes para comprar se distribuyen aproximadamente en forma normal, con una desviación estándar de 2.5 minutos. Una muestra de 24 clientes perdiendo tiempo produjo una media de 10.6 minutos. Es ésta suficiente evidencia para rechazar la afirmación del supermercado de que el tiempo de compras de sus clientes promedia en no más de 8 minutos? Usar un nivel de 0.02.
23.-
Dos técnicas de ventas son aplicadas por dos grupos de vendedores; la técnica A, por 12 vendedores y la técnica B, por 16 vendedores. El gerente de ventas piensa en el futuro aplicar sólo la técnica B pues cree que le dará mejores resultados. Al final de un mes, se obtuvieron los siguientes resultados: Técnica A B
promedio 78 82
varianza 45 70
¿Tiene razón el gerente? Obtenga una conclusión altamente significativa. * ep = -1,36 aceptar Ho 24.-
Una empresa comercializa una bebida refrescante, en un envase en cuya etiqueta se puede leer: “contenido 250 cc”. El Departamento de Consumo, toma aleatoriamente 36 envases y estudia el contenido medio, obteniendo una media de 234 cc y una desviación estándar de 18 cc. ¿Puede afirmarse con un 1% de significación que se está estafando al público?
25.-
Una persona quiere tener desconectado su teléfono, si el promedio de llamadas que hace al día es inferior a 2. Elige aleatoriamente ocho días y anota el número de llamadas, obteniendo los siguientes resultados: 0 2 1 1 2 2 1 1 ¿Debería retirar el teléfono? Obtenga una conclusión altamente significativa. * ep = -2,988 aceptar Ho
20
26.-
Un fabricante de cierto tipo de acero especial afirma que su producto tiene un severo servicio de control de calidad, que se refleja en la desviación estándar de la resistencia a la tensión, la cual no es mayor que 4,5 kg por cm 2. Un comprador, deseando verificar la veracidad de la afirmación, tomó una muestra de 11 varillas y los sometió a una prueba de tensión. Los resultados fueron los siguientes:
x 263 y S2 48 . ¿Estos resultados traen alguna evidencia en contra de la afirmación del fabricante? * ep = 23,7 rechazar Ho 27.-
El director de presupuestos de una empresa deseaba determinar si había alguna diferencia en las cuentas de gastos de representación de los ejecutivos de dos departamentos de la empresa. Se seleccionó una muestra aleatoria de 11 cuentas de gastos del departamento 1 y 11 cuentas de gastos del departamento 2. Los resultados fueron: Departamento 1 2
media 33 000 27 200
varianza 27 900 9 000
Al nivel de significancia de 0,01, ¿Es más alto el gasto de la representación promedio en el departamento 1? * ep = 100,14 P = 0,00 28.-
Se sabe que la varianza de los puntajes de CI no verbal en una población de niños es 134. Una muestra aleatoria de diez niños de la misma edad pero de otra población arrojó una varianza muestral de 289. Con base en estos datos; con un nivel del 5%, ¿podríamos concluir que la población de la cual se tomó la muestra es más variable respecto de los puntajes de CI no verbal que la otra población?. ¿Qué suposiciones hay que hacer? * ep = 19,41 rechazar Ho
29.-
Se espera que dos operadores produzcan en promedio, el mismo número de unidades terminadas en el mismo tiempo. Los siguientes datos son los números de unidades terminadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo. Operador 1 Operador 2
: :
12 14
11 18
18 18
16 17
13 16
Si se supone que el número de unidades terminadas diariamente por los dos trabajadores son variables aleatorias independientes con distribución normal. ¿Podemos afirmar que el operador 2 es más uniforme con respecto a su producción? * ep = 3,04 aceptar Ho 30.-
Una empresa ha adoptado la siguiente regla de decisión con respecto a la introducción de un nuevo producto: si el consumo promedio mensual es de 300 onzas o más, entrará en el mercado de prueba. Una prueba de colocación del producto en 80 hogares generó los siguientes resultados: consumo medio mensual 320 onzas, desviación estándar 45 onzas, ¿qué decisión debería tomarse? Tome una decisión poco significativa. * ep = 3,98 aceptar Ho
31.-
Dos técnicas de ventas son aplicadas por dos grupos de vendedores; la técnica A, por 16 vendedores y la técnica B, por 10 vendedores. Se espera que la técnica B dé mejores resultados. Al final de un mes, se obtuvieron los siguientes resultados. Técnica A B
media 74 80
varianza 21 70
La gerencia de ventas está pensando en utilizar la técnica B, sin embargo no está muy seguro de esta decisión. ¿Podría ayudarle a tomar la decisión correcta? * ep = -2,08 P = 0,030
21
32.-
En la industria de manufacturas metálicas, la productividad y consecuentemente la utilidad, dependen grandemente de la calidad y uniformidad de las materias primas necesarias. Suponga que se tienen bajo consideración dos fuentes principales de materia prima, ambas fuentes parecen tener características de control similares, pero el fabricante no está seguro acerca de su respectiva uniformidad en el contenido de impurezas. Se toman 13 muestras de 80 kg cada una de cada fuente y se determina la cantidad de impurezas en cada muestra. Los resultados son los siguientes: Material media varianza A 41,3 39,6 B 18,75 7,85 ¿Sugieren estos datos la existencia de una diferencia en la uniformidad de contenido de impurezas en los dos materiales? * ep = 5,04 rechazar Ho
33.-
La directora de una agencia publicitaria está preocupada por la efectividad de un anuncio en televisión. ¿Qué hipótesis nula está probando si comete: a) Un error tipo I cuando afirma erróneamente que el comercial es efectivo? b) Un error tipo II cuando afirma erróneamente que el comercial es efectivo?
34.-
Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política salarial es a través de las desviaciones típicas de los salarios de los empleados. La fábrica A dice ser más justa en la política salarial que la fábrica B. Para verificar esa afirmación, se sortea una muestra de 10 funcionarios no especializados de A, y 16 de B, obteniendo las desviaciones típicas 1 y 1,6 respectivamente. ¿Es cierta la afirmación de la fábrica A? * ep = 0,391 aceptar Ho
35.-
Un grupo de investigadores compararon la planificación humana en tiempo real en un entorno de procesamiento con un enfoque automatizado que utiliza robots computarizados y dispositivos sensores. El experimento consistió en ocho problemas de planificación simulados. Cada tarea fue realizada por un planificador humano y por el sistema automatizado. El desempeño se midió en términos de la tasa de rendimiento, definida como el número de trabajo aceptables producidos ponderados según la calidad del producto. Las tasas de rendimiento obtenidas fueron las siguientes: Planificador humano Método automatizado 185,4 240,0 180,4 269,3 146,3 253,8 248,5 249,6 174,4 238,8 185,5 282,0 184,9 263,5 216,4 315,9 ¿Se puede afirmar que el método automatizado es mejor? * ep = 1,44 P = 0,914
36.-
En el caso de un empleado que se está investigando por un desfalco. Formular las hipótesis nula y alternativa. Explique los dos tipos de errores. ¿Preferiría cometer un error del tipo I o del tipo II? explique.
37.-
Para reducir el incremento de sus costos, una empresa está considerando un proceso de reducción de varianzas, el cual no se implantará a menos que se verifique estadísticamente que con un nivel de significancia del 1%, se reduce la desviación estándar. Suponga que un estudio produce los siguientes datos: Proceso Antiguo Nuevo ¿Debe implantarse el nuevo modelo?
ni 13 11
varianza 3,61 1,72 * No
ep = 2,099
22
38.-
Una de las maneras de mantener bajo control la calidad de un producto es controlar su varianza. Una máquina para enlatar conserva de pescado está regulada para llenar con una desviación estándar de 10 gr. Y media 500 gr. El peso de cada lata de conserva sigue una distribución normal (,2). ¿Diría usted que la máquina ha sido adecuadamente regulada en relación a la varianza, si una muestra de 16 latas de conserva dio una varianza de 169 gr2? * ep = 25,35 aceptar Ho
39.-
Se quieren comparar dos modelos A y B de calculadoras electrónicas por lo que toca a su eficiencia. Para este fin se eligen al azar seis estudiantes del curso de Inferencia Estadística, y a cada uno se le instruye en la forma óptima de usar cada modelo para el fin propuesto. Posteriormente, a cada uno de los seis se le pide que diga el tiempo que demoró (en minutos) en cada intento. A : 13,8 18,6 19,2 12,6 16,4 15,8 B : 14,7 20,3 20,6 15,3 19,9 21,4 ¿Se puede decir que existe diferencia poco significativa entre el rendimiento promedio de las calculadoras? * ep = -1,65 P = 0,129
40.-
Considere el siguiente caso no matemático como una prueba de hipótesis. En la escena de un accidente grave, un médico contrasta la hipótesis nula “esta víctima está viva”. a) Establezca cuidadosamente el significado de los cuatro resultados posibles. b) Decida sobre la gravedad de los dos errores posibles.
41.-
Si la hipótesis es que un alumno está aprobado en Inferencia Estadística. a) ¿En qué consisten los errores tipo I y tipo II? b) ¿Cuál error sería más grave?
42.-
Un grupo de investigadores publicó en el año 2001 un estudio sobre diferencias en el tiempo de desarrollo de un programa según el lenguaje de programación utilizado (Lisp o Java). Catorce programadores de Lisp se sometieron a un banco de pruebas con el siguiente resultado para el tiempo de desarrollo en Lisp: media 243 horas con una desviación estándar de 18.7 horas. Un estudio previo mucho más extenso para la misma prueba había determinado un tiempo medio de desarrollo en Java de 250 horas. Se supone que el tiempo de desarrollo se distribuye normalmente. a) ¿Es el tiempo medio de desarrollo con Lisp significativamente menor que el tiempo medio de desarrollo con Java? b)
Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar el tiempo medio de desarrollo con Lisp, con un nivel de confianza de 0.95 y un error máximo de estimación de 10 horas, sabiendo que la desviación estándar del tiempo de desarrollo con Lisp es inferior o igual a 30 horas.
43.-
Una Editorial debe decidir si publicará un libro de estadística aplicada a la Ingeniería. Con base en los costos de publicación, la Editorial ha llegado a la siguiente conclusión: si hay pruebas de que más del 15% de los alumnos que estudian Ingeniería considerarán la adopción del libro, entonces se publicará. Si no se puede probar, no se publicará. a) Formular las hipótesis nula y alternativa. b) Explicar el significado de los errores tipo I y tipo II. c) ¿Cuál error sería más importante para la Editorial? ¿por qué? d) ¿Cuál error sería más importante para el autor? ¿por qué?
44.-
Se ha puesto un examen durante varios años con media 70 y varianza 9. Un profesor que utiliza por primera vez este examen lo puso para 25 alumnos, que obtuvieron una media de 71 y una varianza de 12. ¿Hay razón para creer que las calificaciones de todos los estudiantes tuvieron una varianza de 9? * ep = 32 aceptar Ho
23
45.-
En una sucursal bancaria se había establecido que la desviación estándar del tiempo de atención a cada cliente en la ventanilla correspondiente era de 2.3 minutos. Para tratar de disminuir el valor de este parámetro, las cajeras fueron obligadas a tomar un breve curso de capacitación. Después del curso, se tomó una muestra aleatoria de10 clientes, con los siguientes tiempos de espera (en minutos) frente a la ventanilla correspondiente: 1.8, 5.2, 4.3, 6.6, 2.5, 3.4, 2.6, 5.6, 4.7, 4.0.
¿Podemos afirmar que el curso de capacitación sirvió de algo? * ep = 3,91 46.-
aceptar Ho
Un fabricante de baterías para automóvil afirma que su producto durará, en promedio, al menos cuatro años (48 meses); un grupo de defensoría del consumidor desea evaluar la afirmación del fabricante y selecciona una muestra aleatoria de 20 de las baterías mencionadas, para ser probadas. Los datos dados a continuación corresponden a la duración (en meses) de cada una de las baterías (es decir, el tiempo que funcionaron adecuadamente antes de fallar). 42,3 31,6
39,6 45,1
25,0 40,8
56,2 42,4
37,2 38,9
39,3 49,0
39,2 41,5
47,0 60,1
47,4 34,6
39,7 50,4
El grupo defensor del consumidor ha decidido multar al fabricante, ¿es una decisión acertada? Justifique. * ep = -3,14 rechazar Ho 47.-
Un fabricante reclama que un sensor especial en una máquina de fotocopias debe durar en promedio 35 000 copias antes de que necesite reemplazarse. Como trabajas para del Departamento de Asuntos del Consumidor, se te encomienda que verifiques este reclamo. Así, tomas 50 de esos sensores y las pruebas. Tu resultado indica que la media del número de copias es de 34 000 con una desviación estándar de 2400. Formula una hipótesis adecuada, ¿qué decisión tomarías? ¿Por qué? * ep = -2,95 rechazar Ho
48.-
Un fabricante de cosméticos adquirió una máquina para llenar botellas de perfumes de 3 ml. Para probar la precisión del volumen que deposita la máquina en cada botella, se hizo una corrida de prueba con 18 recipientes. Los volúmenes resultantes (en ml) de la prueba fueron los siguientes: 3,02 2,97
2,89 2,95
2,92 2,90
2 ,84 2,94
2,90 2,96
2,97 2,99
2,95 2,99
2,94 2,97
2,93 3,01
La compañía no está dispuesta a recalibrar la máquina a menos que el volumen de llenado esté 0.04 ml por debajo de los 3 ml. ¿Deberán recalibrarla? * ep = -0,85 aceptar Ho 49..-
Un psicólogo industrial desea estudiar los efectos de la motivación en las ventas de una empresa en particular. De 24 vendedores nuevos que están en entrenamiento, a doce se les va a pagar por hora de trabajo y a los otros doce se les pagará por comisión. Los 24 individuos fueron asignados de manera aleatoria a los dos grupos. Los datos siguientes representan el volumen de ventas (en miles de soles) logrado durante el primer mes de trabajo. Salario por Hora Comisión 25,6 21,2 22,4 26,1 23,9 21,6 25,4 22,8 22,2 23,6 27,3 23,4 20,7 21,9 28,5 22,5 22,8 22,5 23,7 23,2 24,1 23,0 27,7 24,5 ¿Existe evidencia de que los incentivos salariales (a través de comisiones) producen un volumen de ventas promedio mayor? * Sí ep = -2,75 rechazar Ho
24
50.-
Una característica importante en el diseño de una página web es el tiempo que el usuario tardará en abrir esa página. Con el objeto de tratar de estimar el tiempo medio, se seleccionan al azar 121 páginas entre las que se han diseñado en cierta empresa en el último año, obteniéndose los siguientes datos (en centésimas de segundos) Tiempo de descarga Nº de páginas
55 14
60 24
62 30
64 23
65 18
69 12
¿Se podría concluir que el tiempo medio de descarga de las páginas que se diseñan en esa empresa es significativamente distinto de 63 centésimas? 51.-
En la compañía de fósforos La Central afirman que en el pasado, la desviación estándar de los pesos de las cajas de fósforos de 40 gramos era de 0,25 gr. Se sospecha que con el uso de las máquinas, el valor de la desviación estándar ha aumentado, lo que ocasiona más variabilidad en el contenido de las cajas y quizás amerite una revisión de las máquinas, pero ello implicaría un costo al detener la producción durante algunos días. Se decide realizar una prueba de hipótesis, para ello se tomó una muestra aleatoria de 20 cajas y se obtuvo una desviación estándar de 0,32 gramos. ¿Ameritará esa variabilidad aparente detener la producción para revisar las máquinas? * Sí ep = 31,13 rechazar Ho
52.-
Trabajas como supervisor de una máquina dedicada a la producción de piezas metálicas cuya longitud sigue una distribución normal con media 75,20 mm y desviación estándar 0,5 mm. Tras realizar un reajuste en la máquina, sospechas que el promedio ha cambiado mientras que la desviación estándar de dicha variable no se ha visto alterada. Se ha tomado una muestra aleatoria de unidades producidas y registrado su longitud. Los resultados son los siguientes: 75,3
76,0
75,0
77,0
75,4
76,3
77,0
74,9
76,5
Al nivel del 1%, ¿se puede afirmar que tu sospecha es válida? *ep = 2,95 P = 0,016 y ep = 21,34 53.-
75,8 aceptar Ho
Una línea de producción funciona con un peso de llenado de 16 gr. Pro envase. De acuerdo con datos anteriores, se sabe que el peso sigue una distribución normal. El exceso o defecto de peso en el llenado son problemas graves, y la línea de producción debe parar si se presenta alguno de ellos. Un inspector de calidad toma una muestra de 30 artículos y de acuerdo con los resultados toma la decisión de parar la línea o dejarla trabajando. a) Si se encuentra que el promedio es 16.32 gr. y la desviación estándar 0.8 gr. ¿qué acción recomendarías? ¿Por qué? b)
Para el mismo valor de desviación estándar, ¿qué acción recomendarías si se obtiene como promedio 15.82 gr.?
54.-
Un banco quiere analizar si las comisiones que cobra a sus clientes por operaciones en el mercado bursátil difieren significativamente de las que cobra la competencia, cuya media es de 12 euros mensuales con una desviación estándar de 4,3 euros. Este banco toma una muestra aleatoria de 64 operaciones bursátiles y observa que la comisión promedio es de 13,6 euros. Contrastar, al nivel de significación del 5%, que este banco no difiere significativamente en el cobro de las comisiones por operaciones en la Bolsa con respecto a la competencia. * ep = 2,98 P = 0,0028
55.-
El requerimiento de sal es de 220 mg/día. Si una muestra de 38 raciones iguales de un cereal para desayuno tiene un contenido promedio de sal de 196 mg con una desviación estándar de 24.5 mg, ¿se podría afirmar que una ración de este cereal satisface el requerimiento diario de cloruro de sodio? Se sabe que la concentración de esta sustancia en el cereal se distribuye normalmente.
25
56.-
Un jefe de personal está dispuesto a contratar una secretaria para ocupar un puesto a menos que ella cometa más de una equivocación por página mecanografiada. Se elige una muestra aleatoria de páginas escritas por la aspirante. Las equivocaciones por página son: 3 3 2 0 1 2 1 1 2 Tomar una decisión altamente significativa. * ep = 2,0 P = 0,04
57.-
Una distribuidora de gas ofrece a sus clientes el servicio en un máximo de espera de 48 horas. Se toma una muestra aleatoria de 6 hogares que hicieron pedidos y se encontró lo siguiente: 20 24 60 72 40 30 Al nivel del 1%, ¿se puede creer lo ofrecido por la distribuidora? * ep = -0,82
58.-
P = 0,776
Un fabricante registró el número de artículos producidos diariamente, durante 8 días, para un grupo de obreros, que operaban con base en un plan de salarios fijos. El fabricante introdujo un plan de incentivos salariales para otro grupo de obreros y registró la producción durante 10 días. El número de artículos producidos diariamente fueron: Grupo: 1 : 75 76 74 80 72 78 76 73 2 : 86 78 86 84 81 79 78 84 88 80 Suponiendo que los salarios pagados a cada grupo fueron iguales, ¿puede el fabricante concluir que el plan de incentivos fue efectivo? * ep = -4,48 P = 0,00
59.-
El fabricante de un cierto modelo de automóvil afirma que el kilometraje medio de este modelo es de 12 kilómetros por litro de gasolina corriente. Un organismo de defensa del consumidor piensa que ese kilometraje promedio ha sido exagerado por el fabricante. 9 automóviles de este modelo son conducidos del mismo modo con un litro de gasolina corriente. Los kilómetros recorridos por los automóviles son: 12,0
11,0
10,0
10,5
11,5
11,0
12,5
10,0
10,5
Si el organismo desea rechazar una afirmación verdadera no más de una vez en 100, ¿Rechazaría la afirmación del fabricante? * ep = -3,46 P = 0,004 60.-
Suponga que se tienen los siguientes datos de muestras de dos poblaciones: Tiempo medio de respuesta Desviación estándar Número de Observaciones
Agencia A 4 hr 1 hr 13
Agencia B 5 hr 1,2 hr 16
Empleando el nivel de significación de 0,01, pruebe la aseveración de que el tiempo medio de respuesta de la Agencia B es mayor que el de la Agencia A. * ep = -2,40 P = 0,012 61.-
Muchos estudiantes se han quejado de que la máquina vendedora de refrescos A (instalada en el comedor de estudiantes) despacha menos bebida que la máquina B (localizada en el de profesores). Se tomaron varias muestras para contrastar esta sospecha y se obtuvieron los siguientes resultados: Máquina A B
ni 10 12
media 5,38 5,92
Desv. estándar 1,59 0,83
Con un nivel del 10%, ¿respalda esta evidencia la queja de los estudiantes? * ep = -1,02 P = 0,159
26
62.-
Una compañía embotelladora afirma que sus botellas plásticas de refresco tienen una capacidad promedio de 300 ml. Un cliente de la compañía piensa que esa cantidad está sobreestimada pues, en una muestra de 72 botellas se obtuvo un peso promedio de 295 ml. por botella. Asumiendo que la desviación estándar poblacional de los pesos es de 3 ml. ¿Habrá suficiente evidencia para apoyar la afirmación del cliente? Usar un nivel de significación del 1%. * ep = -14,14 P = 0,00
63.-
Considere el siguiente caso no matemático como una prueba de hipótesis. Se acaba de recibir un paracaídas sobre el cual un inspector postula la hipótesis nula “este paracaídas funcionará”. a) Establezca con cuidado el significado de los cuatro resultados posibles. b) Decida sobre la gravedad de los dos errores posibles.
64.-
Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran en la tabla: Método 1 2
ni 31 25
Desv. Estándar 50 24
¿Se puede concluir que en el método 2 el promedio aritmético es más representativo? * ep = 4,34 rechazar Ho 65.-
Supongamos que una empresa desarrolló un curso de entrenamiento para sus técnicos, formando dos grupos y aplicando métodos distintos de entrenamiento. Los dos grupos se consideran homogéneos en capacidad. El primer grupo lo componen 36 técnicos que obtuvieron un puntaje de 6 (en una escala de 0 a 10 puntos) y una desviación típica de 4 puntos y el segundo grupo de 40 técnicos cuyo promedio fue 8,2 y desviación típica de 4,3 puntos. ¿Se puede concluir que el método aplicado al segundo grupo fue superior al primero? Usar un nivel del 1%. * ep = -2,31 aceptar Ho
66.-
Una industria cervecera desea adquirir una máquina embotelladora y somete a consideración dos modelos distintos, el modelo A y el modelo B. Suponga que las máquinas resultan bastante parecidas y aproximadamente con el mismo costo, por lo que el factor decisivo será la variabilidad de la cantidad embotellada (se preferirá aquel modelo con menor variabilidad en la cantidad embotellada). Para demostrar que la variabilidad de su máquina es menor que la del modelo B un vendedor de la compañía A consigue una muestra de 25 registros de embotellado del modelo A y una muestra de 10 registros del modelo B. Las varianzas muestrales fueron 0,027 y 0,065 respectivamente. ¿Proporcionan estos datos apoyo estadístico para la suposición del vendedor? * ep = 0,415 rechazar Ho
67.-
Suponga que una planta industrial produce pernos de 70 mm en dos máquinas diferentes. Se toman muestras hechas por ambas máquinas y se miden sus diámetros en milímetros, los resultados son: Máquina A B
ni 31 41
varianza 0,045 0,080
Usar = 0,10 ¿Podemos afirmar que no existe diferencia significativa entre el grado de dispersión de las máquinas? * ep = 0,563 aceptar Ho 68.-
Has sido nombrado, director de personal de una gran compañía, y se requiere que establezcas, el número medio por empleado de días de baja laboral. Has realizado un estudio basado en 40 empleados elegidos aleatoriamente, y obtienes una media de 16 días por año, con una desviación estándar de 2.4 días. ¿Podrías decir a tus superiores que la media es de 18 días con un nivel de significación del 5%?
27
69.-
En una empresa estaban interesados en estudiar el tiempo medio necesario para terminar una unidad en una línea de armado. Se sabía que la distribución del tiempo medio de armado de una unidad era Normal con desviación típica 1.4 minutos. Bajo condiciones de operación idóneas, el tiempo medio por unidad era de 10 minutos. Sin embargo, el gerente de planta sospecha que el tiempo promedio de armado era mayor que 10 minutos. Para comprobarlo se observaron los tiempos de armado de 25 unidades seleccionadas al azar, se obtuvo una media de 12 y se fijó como nivel de significación 0.06. ¿Está acertado el gerente en su sospecha?. * ep = 7,14 P = 0,00
70.-
El tiempo promedio de duración de un artículo es de 5 años. Para comprobarlo, se toma una muestra de 11 artículos y se obtienen los siguientes resultados: 4,8
5,6
5,3
5,2
4,9
4,7
5,7
4,9
5,7
4,9
4,6
Si se supone que el tiempo de duración se encuentra modelado en forma adecuada por una distribución Normal. Con un nivel de significancia del 2%, ¿se puede afirmar que hemos sido estafados? * ep = 0,97 P = 0,822 71.-
En un proceso de fabricación de tubos de aluminio, la longitud de éstos se distribuye como una normal de media 110 cm y varianza 16 cm2. Se realiza una reparación y ahora se desea discernir si ha habido un cambio en la longitud media de los tubos. Para ello se toma una muestra de tamaño 16 y nos ha dado una media muestral de 112 cm. Con un nivel del 10%, ¿a qué conclusión se llega? * ep = 2,0 P = 0,064
72.-
Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente distinto. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes: Diseño 1 2
ni 15 10
Media 24,2 23,9
varianza 10 10,89
Determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente de los dos diseños. * ep = 0,23 P = 0,821 73.-
Los niños con neurosis liminar, que asisten a una clínica de evaluación de desarrollo, se dividieron en dos grupos con base en la presencia o ausencia de un probable factor etiológico que produce la neurosis liminar. Se midió la concentración de plomo en la sangre de cada niño y se obtuvieron los siguientes resultados: Factor ausente Factor presente
: :
25,5 21,2
23,2 19,8
27,6 20,03
24,3 21,0
26,1 19,6
25,0
¿Indican los datos una diferencia altamente significativa en la magnitud de variabilidad de la concentración de plomo en la sangre para los dos tipos de niños? * ep = 4,32 aceptar Ho 74.-
Queremos comparar la duración de las cintas de video de dos marcas, A y B, con un cierto interés en probar que las cintas de la marca B tienen una duración mayor. Para esto, obtenemos dos muestras aleatorias con los siguientes resultados. Marca A Marca B
230 232
235 234
238 239
242 245
242 248
246 253
Aceptando normalidad, ¿se puede considerar estadísticamente probado al nivel del 1% que la duración media de las cintas de la marca B es superior a la duración media de la marca A?
28
75.-
Sabemos que una determinada máquina produce láminas de aluminio cuya longitud sigue una distribución aproximadamente normal, cuya media debería ser de 40 cm y cuya desviación típica es de 0,4 cm. A fin de comprobar si la máquina funciona correctamente, el operario encargado de la misma toma, de forma periódica, muestras compuestas por 5 láminas cada una. La última de dichas muestras ha proporcionado los siguientes datos en cuanto a longitudes (en cm.) de las láminas: 40,1
39,2
39,4
39,8
39,0
La media de esta muestra es de 39,5 cm., valor que difiere de la media ideal. ¿Es esta diferencia estadísticamente significativa?, es decir: ¿se debe esta diferencia a fluctuaciones aleatorias o por el contrario debemos concluir que la máquina está funcionando mal? * ep = -2,50 P = 0,067 76-
Un dispensador de gaseosas está diseñado para descargar 7 onzas. Si se selecciona una muestra aleatoria de 16 vasos para medir su llenado, observando que el promedio es de 5,8 onzas con una desviación estándar de 1,6 onzas, ¿se puede concluir que la máquina no funciona correctamente? * ep = -3,0 P = 0,009
77.-
Un ingeniero de control de calidad, que trabaja en la División de Limpiaparabrisas de una empresa está examinando dos nuevos productos de goma sintética; se le ha encargado investigar si tienen diferente durabilidad. Para poder efectuar la prueba correspondiente se seleccionaron aleatoriamente 24 limpiaparabrisas, 16 con la sustancia A y el resto con la sustancia B. Al final se presentaron los siguientes resultados: Sustancia A B
promedio 221 254
Desv. estándar 75 27
¿A qué conclusión llegará el ingeniero? * ep = -1,57
aceptar Ho
78.-
Un distribuidor de botas especiales para trabajo, garantiza al gerente de una empresa, que el promedio de duración de las botas es de 8,10 meses. La empresa decide comprar 25 pares de botas, que en promedio duran 7,15 meses, con una varianza de 12,5. ¿Se podrá decir que el distribuidor mintió al gerente de dicha empresa? * ep = -1,34 P = 0,096
79.-
Un complicado programa es procesado por dos tipos distintos de ordenadores. El tiempo que demoran los ordenadores en procesarlo sigue una distribución normal, independiente de unos tipos a otros (con desviaciones típicas conocidas e iguales a 0.51 y 0.33, respectivamente). Estudiados siete ordenadores del tipo I y ocho del tipo II, se obtuvieron unos tiempos medios de proceso de 7.514 segundos y 7.5 segundos, respectivamente para cada tipo de ordenador.
80.-
a)
Se creía que el tiempo que demoraba el ordenador del tipo I en procesar el programa era de 7.58 segundos. Al 95%, ¿rechazarías esta afirmación?
b)
Se piensa que el tiempo medio de procesado del ordenador de tipo II es mayor o igual que 7.8 segundos, ¿qué puedes concluir al 90%?
De los datos experimentales se deduce que la duración de una pila sigue una distribución normal. El fabricante asegura que el tiempo medio de vida es de 15 horas de duración. Temiendo que la duración pueda ser menor se toma una muestra de 10 pilas y los datos que se obtuvieron fueron los siguientes: 14.0
14.5
15.0
15.5
13.0
16.5
10.5
15.5
14.5
14.0
Decidir si en base a los datos obtenidos debemos rechazar o no la afirmación del comerciante con un nivel de significación de 0.01.
29
81.-
El advenimiento de materiales sintéticos tales como el nylon, poliéster y látex, y su introducción en el mercado ha suscitado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas con las fibras naturales. Un fabricante de una nueva fibra sintética afirma que su producto posee una mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales. Se seleccionaron al azar 10 fibras sintéticas y 10 fibras naturales para determinar su resistencia. Las medias y las varianzas para las dos muestras son las siguientes: Fibra Natural Sintética
media 272 335
varianza 1636 1892
¿Confirman estos datos la afirmación del fabricante? Use un nivel de significancia del 1%. * ep = -3,35 P = 0,002 82.-
Durante los últimos 5 años el número de computadoras que vende por semana cierta empresa informática es aproximadamente normal. En una muestra aleatoria simple de 10 semanas de los últimos cinco años, dicha empresa vendió: 175
168
171
169
183
165
188
177
167
180
Contrastar si el valor medio de las ventas es 200 para un nivel de confianza del 99%. 83.-
Un proveedor nacional de software para ordenadores utiliza dos empresas de correo distintas E y F para la entrega; y le preocupa la uniformidad del servicio de atención a clientes. Una muestra aleatoria de 21 entregas de E tuvo una desviación típica de 1,2 días, mientras que 16 entregas de F dieron una desviación típica de 0,9 días, Al nivel del 10%, ¿Podemos afirmar que la empresa F es más heterogénea con respecto a los tiempos de entrega? * ep = 1,78 aceptar Ho
84.-
Un ingeniero industrial ha ideado dos métodos para ensamblar bombas de agua. Con el primer método ensambló una muestra de 40 unidades en un promedio de 20,2 minutos por unidad y con una desviación estándar de 2,5 minutos. Con el segundo método ensambló 56 unidades en un promedio de 21 minutos cada una con una desviación estándar de 3,1 minutos. A un nivel de significancia del 10%, ¿Hay una diferencia significativa en el tiempo requerido entre los dos métodos de ensamble de este producto? * ep = -1.40 aceptar Ho
85.-
Un biólogo sospecha que debido a la escasez de alimento que hay en un río, la talla promedio de las truchas adultas que viven en el mismo no alcanza el tamaño mínimo de pesca permitido que es de 25 cm. Si se comprueba la sospecha del investigador se prohibirá la pesca de truchas en ese río, de lo contrario no se tomará ninguna medida. ¿Se puede afirmar que es válida la sospecha del biólogo? ¿Por qué?
86.-
Los tiempos medios de ejecución de dos programas probados en diferentes bancos de datos independientes ( n1 50 y n 2 100 ) han sido 24 y 21 respectivamente; siendo 64 y 36 las varianzas correspondientes. ¿Podemos afirmar que ambos programas difieren en cuanto a su rendimiento? * ep = 2,34 rechazar Ho
87.-
Un químico está tratando de determinar si dos materiales orgánicos de distinta procedencia tiene el mismo contenido de fósforo. Para tal fin seleccionó dos muestras de 25 porciones del mismo peso de cada material y utilizando la misma metodología midió el contenido de fósforo en ambas muestras, encontrando que en el material A el contenido medio del elemento fue de 37.75 ug con una desviación estándar de 4.71 ug y en el material B el contenido medio fue de 35.00 ug con una desviación estándar de de 3.89 ug. Suponiendo que el contenido de fósforo es una variable que se distribuye normalmente, ¿cuál debe ser la conclusión del investigador?
30
88.-
Se estudia la longitud de los mensajes que se dejan en un foro. Se eligen al azar 10 de estos mensajes, obteniendo que el número medio de caracteres fue 879.5 y la desviación típica 687.5. Suponiendo las condiciones de normalidad necesarias; a) ¿Se puede considerar que el número medio de caracteres en los mensajes de este foro es, en general, de 300? b) ¿Se puede concluir que la desviación estándar difiere de 700? c) Se compara la longitud de los mensajes con los de otro foro en el que, para su estudio, se han elegido al azar 16 mensajes, de los cuales, el número medio de caracteres es 2552 y la desviación típica 690. ¿Es la longitud de los mensajes del primer foro significativamente inferior a los del segundo?
89.-
Las ventas mensuales de una cadena de establecimientos de alimentación pueden considerarse como una variable aleatoria con distribución normal de parámetros desconocidos. Con el fin de aumentar sus ventas se decide realizar una campaña publicitaria que sólo se mantendrá si las ventas medias mensuales sean superiores a 20 millones de euros. Para estudiar la eficacia de la campaña se seleccionan con posterioridad a la publicidad 30 establecimientos y se comprueba que las ventas medias de dicha muestra es de 21 millones de euros con una desviación típica de 300 euros. Con una probabilidad de error de tipo I del 5%, ¿crees que debe mantenerse la campaña publicitaria?
90.-
En un informe presentado por un reportero a una revista femenina se afirma que el número medio de horas semanales de conexión a Internet es el mismo para hombres que para mujeres. Sin embargo no parece prudente publicar estos datos sin contrastarlos estadísticamente. Se selecciona para ello una muestra de 75 hombres y 50 mujeres. Los resultados muestrales fueron los siguientes: media 7.42 5.34
Hombres Mujeres
Desv.estándar 9.08 7.24
¿Es correcta tal afirmación? Obtener una conclusión al nivel del 90%. 91.-
En la fabricación de chips para circuitos integrales hay una variable, denominada amplitud de ventana, que está relacionada con los procedimientos de interconexión entre los circuitos. Se desea estudiar el efecto que tiene sobre la amplitud de ventana una determinada reacción química que se produce durante el proceso de fabricación de los chips. Para ello se ha medido dicha variable, obteniéndose (en milimicras) los siguientes resultados: 3.21
2.49
2.94
4.38
4.02
3.82
3.30
2.85
3.34
3.91
Con una confianza del 98%, ¿se puede concluir que la amplitud media de ventana es de 3 miligramos? 92.-
El diseñador de una máquina para producción industrial asegura que su nueva máquina puede producir un determinado producto con mayor rapidez que la anterior máquina. Se tomaron dos muestras, una de cada máquina, anotando el tiempo en segundos necesario para producir el producto. Los resultados fueron los siguientes: Máquina Antigua Nueva
ni 9 9
media
Varianza
35.22 31.56
195.5 160.22
¿Se puede admitir lo que afirma el diseñador? Suponer normalidad.
31
93.-
Un grupo editorial quiere estimar el volumen medio de ventas de un libro de inferencia estadística del autor X en el último año académico. El departamento comercial señala que no ha superado los 50 ejemplares. Para comprobar esta hipótesis, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 20 librerías especializadas y se observó una media de 37 libros vendidos con una varianza de 36. Suponiendo normalidad en la variable, contrastar al 5% de significación si hay alguna razón para no admitir la hipótesis del departamento comercial.
94.-
Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente distinto. El departamento de ingeniería ha obtenido los siguientes datos: Diseño
ni 15 10
1 2
media
Varianza
24.2 23.9
10 10.89
¿Existe alguna diferencia altamente significativa en el flujo de corriente de los dos diseños? 95.-
Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir materia prima, y la concentración de un elemento en particular en este material es importante. La concentración promedio de ambos proveedores es la misma, pero se sospecha que la variabilidad en la concentración puede diferir en las dos compañías. La desviación estándar de la concentración en una muestra aleatoria de 15 lotes producidos por la compañía A es 4.7 g/l, mientras que para la compañía B, una muestra de 20 lotes proporciona una desviación estándar de 5.8 g/l. ¿Existe suficiente evidencia en los datos para concluir que la variabilidad en la compañía B es menor que la variabilidad de la compañía A?
96.-
Los sacos de café que recibe un exportador deben tener un peso promedio de 100 kilogramos. Un inspector tomó una muestra de 50 sacos de un lote de 500 sacos de café encontrando una media de 98 kg y una desviación estándar de 3 kg. ¿Es razonable que el exportador rechace el lote de sacos de café?
97.-
Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política salarial, es a través de las desviaciones estándar de sus salarios. La fábrica A afirma ser más homogénea en la política salarial que la fábrica B. Para verificar esa afirmación, se escoge una muestra aleatoria de 10 empleados no especializados de A y 9 de B, obteniendo las desviaciones estándar 10 y 15 respectivamente. Suponiendo poblaciones normales y con un nivel de significación del 1%, ¿cuál sería su conclusión?
98.-
Se sospecha que el tiempo que demora en cargarse una determinada página Web, puede ser diferente en función del lugar desde donde se realice la conexión. Se han estudiado dos posibles conexiones: Casa y Universidad. Sabiendo que el tiempo de carga sigue una distribución normal, independientemente desde donde se realice la conexión, se han tomado nueve observaciones desde cada una de las plataformas, con los siguientes resultados. Casa Univ.
11.5 13.3
6.2 11.6
7.9 8.5
9.1 10.1
11.9 10.7
12.0 9.2
11.8 9.9
10.0 10.2
11.6 12.8
Al nivel del 10%, ¿se puede concluir que la sospecha es válida?
32