Estadística y Probabilidades Prueba de Hipótesis
Prueba de hipótesis Hipótesis estadística
Se denomina hipótesis estadística a cualquier afirmación o conjetura que se hace acerca de la distribución de una o más poblaciones. Esta puede referirse bien bi en a la forma o tipo de distribución de probabilidades la población en estudio bien referirse al valor o valores de uno o mas parámetros de la distribución, conocida su forma
Algunos de ejemplos de hipótesis estadísticas son:
La longitud media de un tipo de objetivos es 10 centímetros.
La proporción de objetos defectuoso producido por cierto
Hipótesis Simple e Hipótesis Compuesta
Se denomina hipótesis simple a cualquier hipótesis estadística que especifique un valor del parámetro. Por ejemplo, afirmar que es una hipótesis simple Si la hipótesis no indica un valor específico del parámetro se dice que es una hipótesis compuesta. Por ejemplo afirmar es una hipótesis compuesta
Hipótesis Nula o Hipótesis Alternativa
La hipótesis nula consiste en una afirmación acerca de la población de origen de la muestra. Usualmente, es más simple si mple (menor número de parámetros, por ejemplo) que su antagonista. Se designa a la hipótesis nula con el símbolo H0. La hipótesis alternativa es igualmente una afirmación acerca de la población de origen. Muchas veces, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de H0. La hipótesis alternativa se designa con el símbolo H1. De momento trataremos el caso más sencillo, en el cual las dos hipótesis se refieren a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro θ (theta). La formulación es: H0: θ = θ0 H1: θ = θ 1
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Prueba de una Hipótesis Estadística
Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez de combustión del agente propulsor presentado con anterioridad. La hipótesis nula es que la rapidez promedio de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis alternativa es que ésta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar: Ho; H1 ;
= 50 cm/s 50 cm/s
Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especímenes, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestra. La media maestral es un estimador de la media verdadera de la población. Un valor de la media maestral que este próximo al valor hipotético
= 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero
valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es, tal evidencia apoya la hipótesis nula Ho. Por otra parte, una media maestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hipótesis alternativa H 1. Por tanto, en este caso, la media maestral es el estadístico de prueba.
ERROR TIPO 1 Y ERROR TIPO 2
A base de la información de una muestra nosotros podemos cometer dos tipos de errores en nuestra decisión. 1. Podemos rechazar un H0 que es cierto. 2. Podemos aceptar un H0 que es falso. El primero se llama error Tipo 1 Error Tipo 1: Cuando rechazamos una Hipótesis Nula que es cierta cometemos error tipo 1.
Y el segundo error se llama error Tipo 2. Error Tipo 2: Cuando aceptamos una Hipótesis Nula que es falsa cometemos error tipo 2.
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Region Critica
La región crítica o región de rechazo es la región que contiene los resultados menos favorables a H 0 , en el supuesto de que H 0 sea verdadera y la región de no rechazo es la que contiene los valores más favorables a H 0. Estas regiones están separadas por los valores críticos del estadístico de contraste que corresponden a un nivel de significación dado.
Según sea el tipo de hipótesis se tendrán regiones críticas para los dos lados (bilaterales o de dos colas) o para un solo lado (unilaterales o de una cola), Ver figura 9.1. Procedimiento De La Prueba De Hipotesis .Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1.
Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian. La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho. La hipótesis nula es una afirmación que no se r echaza a menos que los datos maestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del pa rámetro. Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.
Nivel de significacia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, tambiιn es denominada como nivel de riesgo, este termino es mas adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando
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en realidad es verdadera. Este nivel esta bajo el control de la persona que realiza la prueba. Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuerade área de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.
La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo (aceptación). Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación, no se puede rechazar la hipótesis nula. La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si l a hipótesis nula es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de presentarse si la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de rechazo.
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Las suposiciones para esta prueba son mínimas. La población o distribución de interés 2
tiene una media μ y una varianza σ , conocida. El estadístico de prueba se basa en la media
muestral
X ,
por lo que también se supondrá que la población esta distribuida de manera
normal o que se aplican las condiciones del teorema del limite central. Esto significa que la distribución de
2
X es aproximadamente normal con una media μ y una varianza σ /n.
Desarrollo del procedimiento de prueba
Contraste bilateral
Hipótesis nula: H 0 : Hipótesis alternativa:
0
H 1
:
0
Donde μ0 es una constante especifica. El Estadístico de contraste es: Z c
X 0
donde Z c A.. Z ..calculado, X
1 n
n
en
n
X i
, siendo
X 1 ,..., X una muestra de la n
i 1
población considerada normal N ( , ) , varianza conocida y n = tamaño de la muestra. Puesto que desviación
X
tiene una distribución aproximadamente normal con media μ0 y una n
si la hipótesis nula es verdadera, entonces puede conseguirse una
región critica con en el valor calculado de la media muestral prueba para
H 0
:
0
utiliza el estadístico de prueba
X .
Z c
El procedimiento de X 0
nula
H 1
:
0
es verdadera, entonces
E ( X ) 0
n
, si la hipótesis
, de donde se desprende que la
distribución Z es la distribución
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10.2 pruebas de hipótesis de la madia de una población con varianza desconocida
Prueba unilateral de la cola a la derecha Para H1: > valor aceptado, la región de rechazo está dada por:
(Cola derecha, z ó t)
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Prueba unilateral de cola a la izquierda Para H1: m< valor aceptado, la región de rechazo está dada por:
(Cola izquierda, z ó t)
Prueba bilateral o de dos colas Para H1: m¹ valor aceptado, la región de rechazo es de dos colas y está dada por: (2-colas, z ó t) /2
/2
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10.3 Prueba de hipotesis de la media de una poblacion con varianza desconocida
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10.4 Pruebas de hipotesis de la diferencia de las medias de dos poblaciones 10.4.1 prueba de hipotesis de la diferencia de medias de dos poblaciones con varianzas conocidas
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10.4.2 Prueba de hipotesis de la diferencia de medias de dos poblaciones con varianzas desconocidas
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10.5 Prueba de hipotesis de la diferencia de medias de dos poblaciones: Con observaciones pareadas
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