Pruebas de Hipótesis Paramétricas. Definición. Una hipótesis estadística, estadística, es una aseveración que se hace a cerca de la distribución de una o más variables aleatorias (o poblaciones). Se puede especificar una hipótesis, dando el tipo de distribución distribución (generalmente se asume) y el valor o valores del parámetro o los parámetros que la definen. Ejemplo l promedio salarial por semana de los obreros en la industria panificadora es de !"#.###, es decir µ $70.000 por semana $a proporción de los alumnos de %ngeniería de la Universidad de &ntofagasta que aprueban la asignatura de 'robabilidades y stadística es p #. Partes de una prueba estadística l ob*etivo de una prueba estadística estadística es probar hipótesis hipótesis acerca de uno o más parámetros de una población. n una prueba estadística se encuentran involucrados los siguientes siguientes elementos. +ipótesis +ipótesis nula +ipótesis +ipótesis alternativa stadístico de prueba ivel de significación -egión crítica o de rechaa -egla de decisiones /onclusiones. La hipótesis alternativa ( H A ) . s aquella que el investigador desea apoyar. =
$a hipótesis nula ( H 0 ) es la contradicción de la hipótesis hipótesis alternativa, es la que será probada. specifica los valores de la hipótesis para uno o más parámetros de la población. n nuestro caso los parámetros a usar son la media µ en una población normal, normal, la proporción ' en una población 0inomial, diferencias de medias µ X µ Y ,en dos poblaciones normales con variana com1n, −
diferencia de proporciones
P 1
−
P 2 en
dos poblaciones 0inomiales, la variana σ 2 en una población
2
normal, el cuociente de variana,
σ 2
2
σ 1
en dos poblaciones normales.
Metodología para realiar una prueba. !. Planteamiento de la hipótesis
H A1 : θ ≠ θ 0 (bilateral ) H 0 : θ = θ 0 v / s H A = H A 2 : θ > θ 0 (unilateral ) H : θ < θ (unilateral 0 A3 ". Estadístico de Prueba s una variable que sigue un cierto modelo de probabilidades conocido (ormal, /hi2cuadrado, t2Student) t2Student) que evaluado a partir de los datos dados obtenidos en la muestra aleatoria y suponiendo suponiendo que la
hipótesis nula es verdadera (θ = θ 0 ) se puede tomar una decisión respecto de ( H 0 )
#. $ivel de significación (α ) Un error tipo % en una prueba estadística estadística es el error que se comete al rechaar rechaar la hipótesis nula cuando esta es cierta. $a probabilidad de cometer el error tipo %, se denota por (α ) . Su complemento 1 − α recibe el nombre de nivel de confiana de la prueba. %. &egión 'rítica o de &echao. l con*unto de todos los posibles valores que el estadístico de prueba puede tomar se divide en dos con*untos, o regiones, uno que corresponde a la región de rechao y el otro que corresponde a la región de aceptación.. $a región de rechao queda determinada por la hipótesis alternativa y los límites o puntos críticos los que se obtienen seg1n el modelo de probabilidades del estadístico de prueba y el nivel de significación. (. &egla de Decisión. Si el estadístico de prueba, al ser calculada a partir de una muestra en particular, toma un valor que se encuentra en la región de rechao, entonces se rechao, la hipótesis ula a un nivel de significación α .
(o un nivel de confiabilidad 1 − α ). n caso contrario no se rechaa ( H 0 ) 3. 'onclusiones Se debe interpretar la decisión tomada en el punto 4) seg1n la problemática analiada. 'asos Particulares de pruebas de hipótesis. Prueba de Hipótesis respecto a la media en una población normal .
Ejemplo !. Un fabricante de drogas dice que el tiempo promedio para que se disuelva el contenido de cierta cápsula es de 4# minutos. l equipo de investigaciones de una empresa competitiva o cree en esto. 'or eso, hace una prueba al aar de 5# cápsulas y calcula una media muestral de 46 minutos y desviación típica típica de 74. 8'roporcionan estos estos datos del equipo investigaciones investigaciones que el tiempo tiempo
/arlos 9arías 9arías
promedio que se requiere para que se disuelva el contenido es mayor que 4# minutos:. Use α 0.05 . Suponga que los tiempos de disolución de la muestra tiene una distribución apro;imadamente normal 7.2 Planteamiento de la Hipótesis H 0 : l tiempo promedio requerido para que se disuelva el contenido de la cápsula es de 4# minutos. H A : l tiempo promedio requerido para que se disuelva el contenido de la cápsula es mayor de 4# minutos. =
H 0 : µ ≤ 50 v / s H A : µ > 50
5.2 $ivel de significación α 0.05 .2 Estadístico de prueba l estadístico pertinente x ) como n < # y σ es desconocido además. Se supone que los tiempos de disolución de la muestra tiene una distribución apro;imadamente normal l estadístico de prueba es x − µ ⋅ n ≈ t ( n − 1) t = 1−α s =
&ceptando como verdadero H 0 : µ 6. &egión crítica R /alculamos
50 tenemos t obs
= { t / t > t 1− } {t / t > t 0.95 }
54 − 50
=
15
⋅
20 7.7=
α
t 0.95 (19)
R.C = { t / t > t 0.95 }
=
7."
=
= { t / t > 1.729132792}
&egla de decisión. /omo
t o bs
t o se rechaa
< c
H 0
'onclusión. /on una confiabilidad del =4> podemos decir que el tiempo promedio requerido para que se disuelva el contenido de la cápsula es de 4# minutos.
$a decisión de aceptar o rechaar la hipótesis nula ( H 0 ) se basa en la información contenida en la muestra tomada en la población de inter?s. Prueba de hipótesis respecto a la probabilidad p *proporción+ en una población ,inomial Se @ una variable aleatoria que sigue un modelo binomial y p la probabilidad que ocurra un cierto suceso de inter?s con parámetro p desconocido 7.2 'lanteamiento de la hipótesis
H 1 : p ≠ p 0 H 0: p = p0 vAs H 2 : p > p 0 H : p < p 0 3 *emplo. Un doctor afirma que el 75> de todas sus citas son canceladasB durante un periodo de 3 semanas, fueron canceladas 57 de 5## citas al doctor. Cetermine si la verdadera proporción de todas las citas que son canceladas es diferente del 75>. Use α #.#4 7. Planteamiento de la hipótesis H 0: p = 0.12 v / s H 1: p ≠ 0.12 5, $ivel de significación α #.#4 . Estadístico de prueba . pˆ − p 0 Z = ≈ N (0,1) p0 (1 − p 0 )
n -uponiendo verdadero H 0: p
=
0.12
obtenemos el
Z obs
=
0.105 − 0.12 0.12 ⋅ 0.88 2#.34 200
6. &egión crítica z / z obs Z 0.975
=
z c o Zobs
< −
>
Zc
=
z / z obs
1.96
/arlos 9arías 9arías
z
< − 0, 975
o Z obs
>
Z 0,975
(. &egla de decisión
/omo z o bs
> − 1.96 ∧ z obs < 19.6 . o se rechaa H 0: p = 0.12
. 'onclusión o e;iste evidencia suficiente para rechaar la afirmación con una confiabilidad de =4> Prueba de hipótesis respecto a la variana en una población $ormal Sea ; una variable que sigue un modelo normal de media µ y variana σ5 es decir X ≈ N ( µ , σ 2 ) , µ y σ5 7.2 'lanteamiento de la hipótesis
H 0: σ 2
H 1 : σ 2 ≠ σ 02 = σ 02 vAs H 2 : σ 2 > σ 02 H : σ 2 < σ 2 0 3
*emplo Un ingeniero cree que la variana de los tiempos de espera en segundos de los mecánicos en su almac?n de herramienta es mayor que 54. 'ara probarlo escoge una muestra aleatoria de # operadores situados en el almac?n y encuentra que S 5 67.6 (segundos)5. Si suponemos que los tiempos de espera se distribuyen 2 normalmente, ponga a prueba la hipótesis nula. H 0 : σ = 25 . Use α #.#4 7. Planteamiento de la hipótesis H 0 : σ 2
= 25 vAs H 0 : σ 2 > 25
5. ivel de significación α #.#4 . Estadístico de prueba
X = 2 p
2 X obs
( n − 1) S x2 σ
=
2
2 ≈ x 2 (29) , aceptando como verdadero H 0 : σ = 25
( 29) ⋅ 41.4
25 6. &egión crítica R.C = { x 2 / x 2
= 48.02
> x02.95 ( 29)} = { x 2 / x02.95 ( 29) > 42.6}
4. &egla de decisión /omo
2
2
x o bs > x0.95 . o se acepta
H 0
3. 'onclusión /on una confiana del =4> podemos concluir que la variana de los tiempos de espera en segundos de los mecánicos en su almac?n de herramienta es mayor que 54
/arlos 9arías 9arías
