HUBUNGAN ANTARA IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA
Disusun oleh:
Mauri Ericson Sombowadile 10/297675/PA/13053
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2011
Teorema 1: Jika merupakan suatu ideal maksimal di dalam suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan, maka merupakan ideal prima.
Tujuan dari paper ini adalah membuktikan teorema ini. Untuk membuktikan teorema ini, kita menggunakan teorema yang sudah diketahui bahwa setiap lapangan merupakan daerah integral. Jika kedua teorema di bawah terbukti, maka Teorema 1 akan jelas terbukti. Teorema 2: Misalkan merupakan suatu ideal dari suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan. Maka merupakan ideal maksimal jika dan hanya jika merupakan lapangan. Bukti. Asumsikan bahwa merupakan ideal maksimal. komutatif dengan , sehingga jelas bahwa juga komutatif dengan . Ambil sebarang dengan . Berarti .
Perhatikan ideal 〈 〉, yaitu ideal yang dibangun oleh {} (ideal terkecil yang memuat {}). Pertama, karena merupakan ideal, mudah dilihat bahwa subring terkecil yang memuat {} adalah (karena untuk semua ). Jadi 〈 〉 { } { } { } { } { }
(di mana kesamaan terakhir di sini diperoleh karena untuk semua dan untuk semua .) Karena ideal maksimal, berarti 〈 〉 . Secara khusus, ada dan yang sedemikian hingga . Berarti
yang menunjukkan bahwa mempunyai invers. Jadi merupakan lapangan. Asumsikan bahwa merupakan lapangan. Karena itu, . Misalkan merupakan suatu ideal di yang sedemikian hingga . Berarti ada dengan . Berarti , sehingga karena merupakan
lapangan, maka ada dengan yang mengakibatkan . Jadi, untuk suatu . Ini berakibat bahwa (karena merupakan ideal dan , maka untuk semua ). Jadi merupakan ideal maksimal.
Teorema 3: Misalkan merupakan suatu ideal dari suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan, dan . Maka merupakan ideal prima jika dan hanya jika merupakan daerah integral. Bukti. Asumsikan bahwa merupakan ideal prima. komutatif dan mempunyai elemen satuan, sehingga jelas bahwa juga komutatif dan mempunyai elemen satuan. sehingga . Akan dibuktikan bahwa
tidak memiliki pembagi nol. Ambil sebarang dengan . Berarti sehingga . Karena merupakan ideal prima, ini berarti bahwa atau , yaitu atau . Jadi, tidak memiliki pembagi nol sehingga merupakan daerah integral. Asumsikan bahwa merupakan daerah integral. Ambil sebarang dengan . Berarti sehingga , atau , yaitu atau . Jadi, merupakan ideal prima.
Jadi jika merupakan suatu ideal maksimal di dalam suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan, maka dari Teorema 2, merupakan suatu lapangan dan karena itu merupakan suatu daerah integral, sehingga dari Teorema 3, merupakan ideal prima. Ini membuktikan Teorema 1.
(Catatan: Dalam kuis di perkuliahan terakhir, tidak dikatakan bahwa komutatif dan memiliki elemen satuan, tapi itu baru dikatakan seusai kuis. Hal itu jelas membingungkan kami saat mencoba membuktikan bahwa atau komutatif dan memiliki elemen satuan.)