Psu Mate 2016 Datos y azar

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TOMO IV

Datos y Azar Contenidos y ejercicios de preparación PSU

Mauricio Andrés Chiong C. Ingeniero Civil Industrial (e) Pontificia Universidad Católica de Chile CEO Grupo Educativo Sinapsis


� COORDINACIÓN DE CONTENIDOS

Y EDICIÓN GENERAL Nicolás Pinto P. Lic. en Ciencias. Mención Matemáticas. Universidad de Chile. Ariel Reyes F. Lic. en Ciencias Exactas. Universidad de Chile.

� DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN Nicole Castro B.

Distribución gratuita, prohibida su venta.

Lic. en Artes Visuales. Diseñadora (e)

© Todos los derechos reservados.

Pontificia Universidad Católica de Chile.

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TOMO IV DATOS Y AZAR

PREFACIO Este libro fue confeccionado por Mauricio Chiong Ingeniero Civil Industrial(c) de la Pontificia Universidad Católica de Chile, fundador de la empresa Sacateun� y Director del Preuniversitario Gauss. En éste se plasma el conocimiento adquirido en arduos años de estudio, desde mi formación escolar en el Instituto Nacional, donde tengo gratos recuerdos de grandes profesores y maestros como Luis Arancibia y Belfor Aguayo, que hicieron que la motivación por la matemática se tradujera en el amor por enseñarla, hasta mi formación profesional, donde la Universidad traspasó su espíritu de excelencia académica y de compromiso social. Espero que este libro sirva de apoyo para lograr un alto puntaje, entrar a la carrera que quieren, y cumplir sus sueños Santiago, ��

Mauricio Chiong


5



ÍNDICE GENERAL Prefacio Nomenclatura 1. Estadística Definiciones básicas Gráficos Medidas de posición o tendencia central Medidas de localización Medidas de dispersión Ejercicios

2. Probabilidades Definiciones Básicas Combinatoria Probabilidades Clásica y Experimental Distribuciones de Probabilidad Esperanza Matemática Ejercicios

Respuestas

4 8 10 11 13 15 16 18 19

34 35 35 36 37 39 40

51


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CAPÍTULO 1

ESTADÍSTICA Este material fue descargado para uso exclusivo de Diego Olave, [email protected]. Se prohibe su reproducci—n. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com


DEFINICIONES BÁSICAS La estadística tiene dos ramas principales, una es la estadística descriptiva que se dedica a recopilar, organizar y analizar datos, los cuales pueden ser de un estudio de una población o una muestra de ella. Mientras que la otra es la estadística inferencial, la cual se dedica a tratar de deducir características o conductas de los objetos estudiados a partir de una muestra. Nos referiremos a ambos tipos sin distinción por el momento, para dar una serie de definiciones de conceptos básicos que necesitaremos manejar.

� Población (universo) Es el conjunto de todos los objetos que estamos estudiando u observando, y queremos hacerle un estudio estadístico. � Muestra Como en general los universos son muy grandes (por ejemplo si estamos estudiando la raza humana), entonces se toma una porción significativa de ellos para hacer el estudio más simple. A esta porción se le denomina muestra. � Variables Son características que se le asocian a los objetos de la muestra y que pueden ser observables o medibles. Las variables se dividen en dos tipos, la primera es la variable cuantitativa que es la que puede ser expresada a través de un número como por ejemplo la edad o la cantidad de hijos que tiene un individuo, que a su vez se dividen en discretas y continuas. L as discretas son las que son expresadas a través de números enteros, mientras que las continuas son expresadas a través de cualquier número real. El segundo tipo son las variables cualitativas las cuales expresan una cualidad de un objeto como por ejemplo su tipo de pelo o su sexo, las que se dividen en ordinales y nominales. Las ordinales son las que pueden ser ordenadas de manera lógica como por ejemplo el nivel de estudio, mientras que las nominales no pueden ser ordenadas como las personas por su color de pelo. � Tablas de frecuencia Las tablas de frecuencia sirven para ordenar los datos cuando la muestra es muy grande y que por ello sería muy poco práctico enlistarlas. Estas pueden ser de dos tipos, la primera es cuando el recorrido de l a variable es pequeño, que lo ilustramos con el siguiente ejemplo

Ejemplo / Veremos la cantidad de e-mails que recibe una persona por día durante un mes, arrojando los siguientes datos


9

CAPÍTULO 1 ESTADÍSTICA

� � � � � �

Notamos que obtenemos que el recorrido

� � � � � �

de la variable va entre � y �, por lo tanto

� � � � � �

podemos ponerlos en una tabla donde la

� � � � � �

frecuencia será el conteo de los días que

� � � � � �

recibió una cantidad fija de e-mails

Nº de e-mails

Frecuencia

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Total

��

La otra es cuando el recorrido de la variable también es muy grande y en este caso, usamos intervalos para poder disminuir el recorrido de la variable y quedar en el caso anterior. Por ejemplo si �� personas llegaron atrasadas a un matrimonio y se les pidió anotar cuantos minutos llegaron tarde, lo que se muestra a continuación ��

Podemos notar que en este caso el

��

recorrido es muy amplio, por lo que

��

�

� ��

��

� ��

��

Tiempo de atraso

si los clasificamos usando intervalos de �� minutos, entonces se obtiene la siguiente tabla de frecuencia Frecuencia

�-�

�

�� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

�

Total

��

En lo mostrado anteriormente, se usa la frecuencia o frecuencia absoluta (que es representada en general por f i ), que no es más que un conteo de las veces que aparece



la variable pedida, pero existen o tros tipos de frecuencia también

� Frecuencia relativa Se representa usualmente por hi y es la frecuencia absoluta dividida por el tamaño de la muestra, por lo que representa la razón entre la cantidad de veces que se repite un dato y el tamaño muestral. � Frecuencia absoluta acumulada No es más que la suma de todas las frecuencias absolutas de las variables menores o iguales (recordar que las frecuencias absolutas van ordenadas por una tabla) y se denota en general por Fi. � Frecuencia relativa acumulada Es lo análogo a la frecuencia absoluta acumulada pero usando la frecuencia relativa en vez de la absoluta.

GRÁFICOS Como su nombre lo dice, es la forma gráfica de representar una tabla de datos y existen principalmente tres: Histogramas o gráfico de barras, polígono de frecuencias y gráfico circular.

� Histogramas Los gráficos de barras se montan en ejes coordenados: en el eje X va el recorrido de las variables (como puntos o intervalos) y en el eje Y va la frecuencia absoluta.

Ejemplo / Si consideramos la tabla de frecuencias del ejemplo anterior Tiempo de atraso

Frecuencia

�-�

�

�� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

�

Total

��



Entonces su gráfico de barras o histograma será � � � � � ��

��

��

��

��

��

� Polígono de frecuencia Al igual que antes va en ejes coordenados, pero esta vez en el eje de las X marcamos los puntos medios de los intervalos considerados (representante del intervalo) y en el eje de las Y las frecuencias. Luego marcamos los puntos de la forma (representante del intervalo, frecuencia del intervalo) y los vamos uniendo por una línea.

Ejemplo / Usaremos la misma tabla de frecuencias del ejemplo anterior, y obtendremos el siguiente polígono de frecuencia, � � � � � ��

��

��

��

��

��

� Gráfico circular A diferencia de los anteriores, este no utiliza la frecuencia absoluta si no que la frecuencia relativa, asociando la porción de un disco circular correspondiente a su frecuencia relativa.



Ejemplo / Tomemos la tabla de frecuencia anterior y agreguemos la frecuencia relativa Tiempo de atraso

Frecuencia

Frecuencia relativa

�-�

�

1 10

�� - ��

�

7 30

�� - ��

�

3 10

�� - ��

�

4 15

�� - ��

�

�

�� - ��

�

1 10

Total

��

� � � � � � �

Por lo tanto, el gráfico circular resultante se ve como �� - ��

�� - �� - ��

MEDIDAS DE POSICIÓN O TENDENCIA CENTRAL Las medidas de posición o de tendencia central son tres: La media aritmética, Mediana y Moda. La primera de estas -la media aritmética- es el promedio que usualmente conocemos, es decir, la suma de todos los datos divididos por la cantidad total de ellos, por ejemplo si lo datos son �, �, � y �, entonces el promedio es 1 + 2 + 3 + 4 10 = = 2,5 4 4



El segundo de ellos -la mediana- es el valor que divide en dos partes iguales a la muestra cuando esta se encuentra ordenada ya sea de forma creciente o decreciente. Por ejemplo, si la muestra es �, �, �, �, �, �, �, �, �, � y �, entonces la mediana es �, ya que hacia la izquierda y hacia la derecha de � podemos encontrar � elementos de la muestra. El último de ellos -la moda- es el elemento de mayor frecuencia dentro de una muestra, por ejemplo si la muestra es �, �, �, �, �, �, �, �, �, � y �, entonces claramente la moda es �, ya que es el único que tiene frecuencia �. Debemos tener claro que la moda no es necesariamente única, puede ser una muestra bimodal o multimodal, o en caso que todos los elementos presentan la misma frecuencia diremos que la muestra es amodal o que no posee moda.

MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN Las medidas de localización, como dice su nombre, nos ayudan a saber con alguna precisión la ubicación de cierto elemento de la muestra. La precisión la dará el elemento de localización que usemos que son básicamente tres: Cuartiles, Deciles y Percentiles.

� Cuartiles Los cuartiles son tres valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales y denotaremos a esos valores por Qi. Si tenemos una serie de datos ordenados, entonces una forma de calcular los valores de los cuartiles es � Q�: Es la mediana de la primera mitad de los elementos � Q�: Es la mediana del conjunto � Q�: Es la mediana de la segunda mitad de los elementos

� Deciles Son básicamente lo mismo que los cuartiles pero en vez de tres elementos dividen los datos en � partes porcentualmente iguales, son � valores que dividen la muestra en �� partes porcentualmente iguales y los denotaremos por Di. Para su calculo veremos primero los percentiles y con ellos veremos como a partir de ellos puedo calcular los cuartiles y deciles.



� Percentiles Al igual que los anteriores y como dice su nombre, los percentiles son �� valores que dividen a los datos en �� partes porcentualmente iguales, a los que denotamos por Pi . Si un dato esta ubicado en el percentil Pi , significa que es mayor o igual , aproximadamente, que el i% de la muestra y menor que el �� − i% de la muestra. La relación entre los percentiles, deciles y cuartiles es la siguiente P�� = D� P�� = D� P�� = Q� P�� = D� P�� = D� P�� = D� = Q� = mediana P�� = D� P�� = D� P�� = Q� P�� = D� P�� = D� Por lo tanto si aprendemos a calcular los percentiles, sabremos calcular los deciles y los cuartiles. Para el calculo del percentil Pi consideraremos el siguiente valor n i x 100 ⋅

=

donde n es el tamaño de la muestra e i el percentil a calcular. Luego si llamamos E= [x] y D = {x}, entonces la siguiente función nos da el percentil correspondiente

 Elemento( E + 1)  Pi =  Elemento(E ) + Elemento(E + 1)  2

Observación Recordemos que [x] es la parte entera de x y {x} es la parte fraccionaria de x y se calcula x-[x]

Si D ≠ � Si D = �

Ejemplo / Suponga que se tiene una muestra ordenada de �� elementos y queremos ubicar el percentil número ��, esto es, el elemento que divide la muestra en dos partes de modo que el ��% de los datos se ubica por debajo de él (y el resto de la muestra corresponde al ��% mayor). Entonces aplicando la fórmula con n = �� e i = ��, obtendremos que

200 70 2 70 140 100 ⋅

x

=

=

⋅

=

Luego como x resultó ser un número entero, entonces debemos tomar la segunda rama de la función, es decir, tomaremos el elemento �� y �� de la lista, y el promedio resultará ser el percentil buscado.



MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión son aquellas que nos ayudan a medir qué tan separados están los datos unos de otros. Los que estudiaremos son tres: Desviación media, varianza y desviación estándar.

� Desviación media Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones, donde las desviaciones son la diferencia entre un dato (o el representante en caso que estemos viendo intervalos) y la media aritmética, es decir, N

Dm =

∑ i 1 x i − x =

N

donde xi es la variable (o el representante en caso de intervalos), N el tamaño de la muestra y x la media aritmética.

� Varianza La varianza se denota por σ� y es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones, es decir, N

σ

2

∑i =

=1

( x i − x )2 N

� Desviación estándar Este concepto se introduce debido a que la varianza esta medida en unidades cuadradas y estas pueden ser difíciles de interpretar. Por ello introducimos la desviación 2 estándar como la raíz cuadrada de la varianza, es decir, σ σ . =



EJERCICIOS

�. La siguiente tabla muestra la distribución de los puntajes obtenidos por un curso en una prueba Puntaje

Nº de alumnos

�-�

�

� - ��

�

�� - ��

�

�� - ��

��

�� - ��

�

¿Qué porcentaje de los alumnos del curso obtuvo �� o más puntos en la prueba?

�. El gráfico de la figura representa el número de iPhones que tiene en su casa los alumnos de un curso. De acuerdo con esta información, el número total de alumnos del curso es

Alumnos

��

A) ��% B) ��% C) ��,�% D) ��% E) Ninguna de las anteriores

� �

�

�

�

�

�

Número de IPhones �. Según información del INE (Instituto Nacional de Estadísticas), actualmente en Chile, �� de cada �.�� habitantes cursa estudios universitarios. Si en Chile hay �� millones de habitantes, con la información proporcionada por el INE, es posible afirmar que

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

A) Cursan estudios universitarios ��.�� habitantes. B) ��.�� habitantes cursan estudios universitarios. C) Quince mil habitantes cursan estudios universitarios. D) ��.�� habitantes cursan estudios universitarios. E) Menos de ��.�� habitantes han estudiado en la universidad.



�. La siguiente tabla muestra la distribución de personas que asistieron al cine en una semana. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) la información de la tabla? Día

Nº de personas

Lunes

��

Martes

��

Miércoles

��

Jueves

��

Viernes

��

Sábado

��

Domingo

��

Dom Lun

III. Sáb

Mar

Mié

Vie Jue

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

I. ��

�. Se quiere construir un gráfico circular a partir de los datos de la siguiente tabla

�� Lun

Mar

Mié

Jue

Vie

Sáb

Dom

II.

Estatura

Nº de alumnos

�� - ��,�

�

�� - ��,�

�

�� - ��,�

��

�� - ��,�

��

�� - ��,�

�

�� - ��

�

�� ¿Cuál debería ser la medida del ángulo correspondiente al intervalo �� - ��,�?

�� Lun

Mar

Mié

Jue

Vie

Sáb

Dom

A) ��º B) ��º C) ��º D) ��,�º E) �º



�. Si el promedio de las notas finales de un curso de �� alumnos es de � y el de otro curso de �� alumnos es de �, entonces el promedio de notas finales de los alumnos de ambos cursos es A) �,� B) �,� C) �,� D) � E) �,�

�. La tabla muestra los resultados de una prueba de Matemática Puntaje

Nº de alumnos

�� - ��

��

�� - ��

��

�� - ��

��

�� - ��

��

�� - ��

�

�� - ��

�

�. De acuerdo con la información entregada por la tabla, que nos muestra los años de escolaridad de menores en situación de abandono, ¿Cuál es la mediana de la muestra?

Años de escolaridad

Menores de edad

Frecuencia acumulada

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

Total

��

A) � B) �,� C) � D) �,� E) �

El representante del intervalo modal es A) �� B) �� C) �� 61 D) 150 E) ��,�



�. Se realiza un estudio sobre el número de días que los pacientes sufren mejorías de jaqueca crónica con un nuevo medicamento, presentado en la siguiente tabla ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Días

Frecuencia

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

�.��

��. Si la media aritmética entre a y b es � y la desviación estándar es 3 , entonces el valor de ab es A) � B) � C) � D) � E) ��

I. La mediana es igual a la moda II. El porcentaje de pacientes que sintió mejoría a los � días es el ��, ¯�%. III. El recorrido de la variable es �.��. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

��. Dado los datos �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, ¿cuál es la frecuencia de la moda? A) � B) � C) � D) � E) La muestra no posee moda



��. En una balanza, se pesan al mismo tiempo �� personas. Si la balanza registra �.�� kilogramos, ¿Cuál es el peso promedio de estas personas?

��. Respecto a la tabla de la pregunta anterior, ¿Cuál es la moda? A) � B) � C) � D) � E) �

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. En la siguiente tabla se muestran las notas de un grupo de estudiantes que rindió una prueba: Nota

fi

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

¿Cuántas personas rindieron la prueba? A) � B) � C) � D) �� E) ��

��. Una serie de camisas de iguales características valen $�.��, $�.��, $��.��, $��.�� y $��.��. Dados estos datos, ¿Cuál(es) de las siguientes características es(son) verdadera(s)? I. La moda es $��.�� II. La mediana es $��.�� III. La media es $�.�� A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III



��. Dada la siguiente tabla Nota

Fi

N�

F�

N�

F�

N�

F�

N�

F�

��. Dados los datos �, �, �, �, �, �, �, �. La media aritmética, la moda y la mediana son respectivamente A) �, � y � B) �, � y � C) �.�, � y � D) �.�, � y � E) �.�, � y �

La media es A) B)

N1 + N2 + N3 + N4 4 NF +N F +N F +N F 1 1 2 2 3 3 4 4

C)

4 NF +N F +N F +N F 1 1 2 2 3 3 4 4

D)

N1 + N2 + N3 + N4

F1 + F2 + F3 + F4 F1 + F2 + F3 + F4

E)Ningunade las anteriores

��. Con los siguientes datos: {A,A,A,B,B,B,C,C,D,D,D,E,E} es posible afirmar que A) No existe moda B) Existen dos modas C) Existen tres modas D) Todos los datos son moda E) El promedio es �



��. Según el gráfico, ¿cuál es la moda de los datos?

��. Si el promedio de edades entre � hermanos es de � años. Si a las edades les agregamos la edad del padre y la madre, entonces el promedio asciende a �� años. Entonces el promedio de las edades de los padres es

� A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

� � � �

�

�

�

�

�

A) � B) �,� C) � D) �,� E) �

��. Si se tienen los valores �, �, �, �, a, �, �, �, �, entonces se puede saber el valor de a si (�) La mediana es � (�) La moda es �

��. Un estudio estadístico emplea datos consistentes en el peso corporal de un grupo de personas. Respecto a estos datos, podemos decir que corresponden a una variable I. Cualitativa II. Continua III. Discreta

A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III



��. Las edades de un grupo de jóvenes misioneros es ��, ��, ��, �� y �� años. Entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La media es �� años II. La mediana es �� años III. La desviación estándar es � años A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

��. Si la media entre los datos a y b es � y la desviación estándar es

3 , entonces a� +b� es

igual a A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. La tabla adjunta, muestra el resultado obtenido por dos cursos del preuniversitario Gauss en un ensayo de lenguaje. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

��. La desviación estándar para los datos {�, �, �, �, �, �, �, �, �, �} es

A) 14 B) 1, 4 C) 0,14 D) 2,4 E) 0,24

Curso

Promedio

Desviación Estandar

Mañana

��

�,�

Tarde

��

�

I. El curso de la mañana es el más heterogéneo II. El curso de la mañana presenta menor dispersión en los puntajes III. La media aritmética (promedio) considerando los puntajes de los alumnos de ambos cursos es �� A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Solo I y II



��. La tabla adjunta, muestra la distribución de los puntajes de matemática de un grupo de estudiantes del preuniversitario Gauss. De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes fórmulas permite determinar el puntaje promedio de la muestra? Puntaje

Frecuencia

Pt�

A�

Pt�

A�

Pt�

A�

Pt�

A�

Pt�

A�

A)

Pt1 + Pt 2 + Pt 3 + Pt4 + Pt5

B)

A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

A) �� kilos B) �� kilos C) � kilos D) �� kilos E) No se puede determinar

5

C)

5 Pt1 + Pt 2 + Pt 3 + Pt4 + Pt5

D)

A1Pt1 + A2Pt2 + A 3Pt3 + A 4Pt4 + A5Pt5

E)

��. El promedio (media aritmética) de las masas de � personas es �� kilos. Si la suma de las primeras � personas es �� kilos, ¿cuál es la masa de la última persona?

A1 + A2 + A3 + A 4 + A 5 5 A1Pt1 + A2Pt2 + A 3Pt3 + A 4Pt4 + A5Pt5 A1 + A2 + A3 + A 4 + A 5



��. El gráfico de la figura muestra el resultado de una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su preferencia con respecto a sabores de helado.

��

��. La tabla adjunta, muestra los resultados obtenidos al lanzar un dado de � caras. Número

Frecuencia

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� Vainilla

Piña

� Leches

Frutilla

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I. La moda es �� II. El ��,�% de las personas encuestadas prefiere el helado de piña III. La media es �� A) Solo I B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores

I. El total de lanzamientos del dado fue �� II. La frecuencia de la moda es � III. La mediana es �,� A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores



��. La tabla adjunta, muestra el resultado de � cursos del preuniversitario Gauss en un mismo ensayo, ¿Cuál es el promedio (media) entre el total de alumnos de los tres cursos? (los puntajes se aproximan al entero mayor)

��. El gráfico circular de la figura, muestra las matrículas del preuniversitario en los meses de verano, las cuales suman �� alumnos.

Diciembre ��% Curso

Nº de alumnos

Promedio

Mañana

�

��

Tarde

�

��

Noche

�

��

Marzo ��%

Enero ��%

Febrero ��%

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Se matricularon �� alumnos en Febrero II. Se matricularon �� alumnos entre Diciembre y Enero III. La mayoría se matriculó en Febrero A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las anteriores



��. Dados los puntajes obtenidos por � personas en un ensayo de ciencias: ��, ��, ��, �� y ��, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. No existe moda II. La media es �� III. La mediana es �� A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

��. La tabla adjunta, muestra la cantidad de horas que dura un celular con sistema iOS si lo sometemos a un control de calidad. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Intervalo de horas

Frecuencia

[�� - ��[

��

[�� - ��[

��

[�� - ��[

�

I. La marca de clase en el intervalo [�� - ��[ es ��,� II. La media es el �� III. La mediana se encuentra en el intervalo [�� - ��[ ��. Si se suman los GB de internet utilizados en el celular durante �� días y se divide por ��, se obtiene A) La moda B) La mediana C) La desviación estándar D) La media aritmética E) Ninguna de las anteriores

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III



��. En una muestra de �� elementos, el elemento correspondiente al percentil �� es A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. La desviación estándar entre los elementos �, �, �, �, �, �, �, �, �, � y � es

A)

12 11

B)

14 11

C)

14 10

D)

17

10 E)Ningunade las anteriores

��. En la muestra {Pantalón,Pantalón,Pantalón, Zapato, Zapato,Polera,Polera,Polera,Polera}.

��. Si el promedio de los dos mejores alumnos de un curso es �,� y el de los dos peores es �,�, entonces el promedio entre los cuatro será

Es correcto afirmar que A) La moda es Zapato B) La media es Zapato C) El promedio es Calcetines D) La moda es Polera E) El promedio es Polera

A) � B) �,� C) �,� D) �,� E) �,�



��. Sea x > �. Si se considera el set de datos {�, �, �, �, �, �, �, x}, entonces el valor de x para que la media y la mediana coincidan debe ser A) �� B) �� C) �� D) �� E) Nunca coincidirán


TOMO IV

ESTADÍSTICA Y PROBALIDIDAD

MIS ANOTACIONES Te damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios


CAPÍTULO 2 PROBABILIDADES

CAPÍTULO 2

PROBABILIDADES Este material fue descargado para uso exclusivo de Diego Olave, [email protected]. Se prohibe su reproducci—n. Si quieres acceder gratuitamente a 32 este contenido visita www.psuparatodos.com


DEFINICIONES BÁSICAS Las probabilidades son la rama de la matemática que estudia el azar, es decir, eventos en los cuales uno conoce todos los posibles resultados pero no se conoce con certeza el resultado de él. Nuestra primera definición es la de experimento aleatorio, que es un objeto matemático en el cual sé los resultados posibles pero no puedo determinar con precisión un resultado particular. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda, sé que tiene sólo dos posibles resultados pero no puedo asegurar la ocurrencia de ninguno de los dos. Luego podemos definir el espacio muestral, que es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio dado. Por ejemplo, el espacio muestral de lanzar un dado es {�, �, �, �, �, �}. Llamaremos eventos o sucesos a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado el espacio muestral está compuesto por los n úmeros �, �, �, �, � y �. Un evento puede ser obtener un número par (formado por los resultados �, � y �). Cuando dos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea, los llamamos eventos mutuamente excluyentes. Por ejemplo, al lanzar un dado consideremos los eventos A = {�, �, �} (obtener un número impar) y B = {�, �, �} (obtener un número par). Como ningún resultado posible es simultáneamente par e impar, decimos que A y B son mutuamente excluyentes.

PROBABILIDADES CLÁSICA Y EXPERIMENTAL � Probabilidad Clásica Si en un experimento aleatorio, todos los resultados son equiprobables, es decir, todos tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces diremos que la probabilidad que ocurra cierto evento A es donde E es el espacio muestral. Cabe resal# A Número de casos de A tar que de la definición anterior se puede P( A) # E Número de casos totales observar que la probabilidad de cualquier evento esta entre los valores � y �, por el hecho que A ⊂ E. =

=



� Probabilidad Experimental Si tomamos por Fr la frecuencia relativa de un evento A, entonces definimos

Fr

=

Cantidad de veces que ocurre A Cantidad de veces que se realiza el experimento

La Ley de los Grandes Números nos dice que si repetimos dicho experimento una cantidad suficiente de veces, entonces el valor de Fr será cada vez más parecido a la probabilidad de ocurrencia del evento A. A continuación presentamos una pequeña lista con propiedades que se cumplen en las probabilidades, donde E siempre será el espacio muestral, P (·) la probabilidad y, A y B eventos. � P(E) = � � P(φ) = � � � ≤ P(A) ≤ � � Si A ∩ B = φ (son mutuamente excluyentes), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) � Si Ac = E\A, entonces P(Ac ) = �−P(A) � Si A ∩ B ≠ φ, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) � Si A y B son eventos independientes, entonces P(A ∩ B) = P(A)· P(B) � Probabilidad Condicionada Diremos que A y B son eventos dependientes si la ocurrencia de uno influye en la ocurrencia del otro, y en dicho caso tendremos la siguiente regla de probabilidad

P( A ∩ B) = P( A ) ⋅ P( B| A )

P( B| A) =

P( A ∩ B) P( A )

donde P(B|A) denota la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A. Por lo tanto, como consecuencia inmediata de lo anterior, si A y B son eventos independientes, se tendrá que P (B|A) = P (B)

DIAGRAMAS DE ÁRBOL A veces los problemas se presentan en varias etapas y para visualizarlos mejor, conviene pensar en las diferentes etapas como problemas separados. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: � de cada �� niños cree en las hadas. � de cada �� niños que cree en las hadas puede ver a Peter Pan. � de cada �� niños que no cree en las hadas puede ver a Peter pan. Si Peter Pan visita un niño al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el niño vea a Peter Pan?



No es fácil dar una respuesta tan sencilla, pues el resultado depende de si el niño cree o no en las hadas. Pensaremos primero en el caso en que el niño cree: Si el niño cree, entonces la probabilidad de que vea a Peter Pan es �.�; mientras que si no cree, la probabilidad es �.�. Podemos resumirlo en el siguiente diagrama.

�.�

�.�

Cree

No cree �.�

�.�

Ve a Peter Pan

�.�

No ve a Peter Pan

Ve a Peter Pan

�.�

No ve a Peter Pan

Para calcular la probabilidad de que el niño vea a Peter Pan, debemos multiplicar las probabilidades de las ramas que nos llevan a un resultado donde el niño ve a Peter Pan. Por ejemplo, en este caso, Debemos multiplicar las probabilidades que nos llevan al primer caso, es decir �,� · �,� y las que nos llevan al tercer caso (�,� · �,�). Al sumar ambas tenemos que la probabilidad de ver a Peter Pan es �· �,� · �,�. Este tipo de diagramas es conocido como diagrama de árbol y resulta muy útil para resolver este tipo de problemas.

COMBINATORIA Ya hemos visto que en un experimento aleatorio donde todos los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un evento A cualquiera puede calcularse según la regla de Laplace : P( A ) =

# A #Ω

En otras palabras, la probabilidad de que ocurra un evento A se obtiene como la razón del número de resultados favorables al evento A y el total de resultados en el espacio muestral .



Ejemplo: Una canasta contiene � manzanas rojas y � manzanas verdes. Si se extrae al azar una de las manzanas del cesto ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta ex traída sea de color rojo? Solución: El espacio muestral tiene � elementos (uno por cada manzana del canasto), luego #Ω = �. Si se define A como el evento donde se extrae una manzana roja, entonces # A = �, pues � de las manzanas del cesto son rojas. Así, de acuerdo a la regla # A 5 5 = de Laplace, P( A ) = . De donde la probabilidad buscada es . #Ω 9 9

A pesar de que el procedimiento detrás de este tipo de problemas es bastante sencillo, hay veces en que encontrar el número de elementos presentes en el espacio muestral o la cantidad de elementos del evento A puede ser muy complicado. Para ayudarnos a resolver estas dificultades, estudiaremos algunos elementos básicos de combinatoria, la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio del número de elementos que tienen los conjuntos finitos.

� Principio aditivo y principio multiplicativo Los principios básicos sobre los que estableceremos toda la teoría de combinatoria y técnica de conteo reciben el nombre de principio aditivo y principio multiplicativo. Estos resultados se presentan a continuación:

� Principio aditivo: Si un experimento tiene m resultados posibles y otro tiene n resultados posibles, hay m + n maneras en que se puede llevar a cabo solo uno de los experimentos.

Ejemplo / Carlos debe escoger entre adoptar un gato o un perro. Si le han ofrecido 4 gatos y 7 perros ¿Cuántas opciones tiene Carlos para adoptar un animal? R:

Carlos debe escoger uno de los dos experimentos, adoptar un gato o adoptar un perro. Como hay 4 opciones de gato y 7 de perro, de acuerdo al principio aditivo, Carlos tiene 7 + 4 = 11 opciones para escoger su próxima mascota.

� Principio multiplicativo: Si en un experimento hay m resultados posibles y en otro hay n resultados posibles, entonces al realizar ambos experimentos se tienen mn resultados posibles.



Ejemplo / Carlos desea adoptar un gato y un perro. Si le han ofrecido 4 gatos y 7 perros ¿Cuántas opciones tiene para escoger los animales que adoptará? R: Esta vez Carlos debe escoger ambos, un perro y un gato. Como hay 4 opciones para escoger un gato y 7 para escoger un perro, en virtud del principio multiplicativo se tienen 7 · 4 = 28 formas de escoger un animal de cada especie.

El siguiente ejemplo tiene por finalidad ilustrar cómo se aplican estos conceptos a problemas de probabilidad.

Ejemplo / Carlos desea adoptar dos animales. Le han ofrecido 4 gatos y 7 perros. Si escoge dos animales al azar entre sus opciones y los adopta ¿Cuál es la probabilidad de que adopte dos animales de diferente especie? R: Aplicando

la regla de Laplace, se tiene que la probabilidad de que adopte animales de distinta especie se calcula mediante la fórmula: # A P( A ) = #Ω' Donde #A es el número de elementos del evento donde Carlos adopta animales de especie distinta y # Ω representa el total de elementos en el espacio muestral. Para encontrar #Ω se aplica el principio multiplicativo: el experimento consiste en escoger dos animales. Como hay 4 gatos y 7 perros, Carlos tiene 11 opciones para escoger al primer animal (véase el Ejemplo 1). Sin embargo, Para escoger el segundo animal ya no tiene 11 opciones, pues al elegir su primera mascota ha eliminado una opción (No puede adoptar dos veces al mismo animal). En términos simples, una vez que escoge la primera mascota solo tiene 10 formas de escoger su segunda mascota, Así, el principio multiplicativo indica # Ω =11 · 10 = 110.



Para hallar #A debemos contar la cantidad de formas en que Carlos puede adoptar animales de especies diferentes. Notemos que esto se puede hacer adoptando primero un gato y luego un perro, o bien adoptando primero un perro y posteriormente un gato. La cantidad de maneras de adoptar un perro en la primera oportunidad es 7, pues hay 7 perros. Si luego se desea adoptar un gato, entonces hay 4 opciones para la segunda elección. Con esto se tiene que de acuerdo al principio aditivo, hay 7 · 4 = 28 maneras de adoptar primero un perro y luego un gato. La otra manera de adoptar dos animales de especies distintas es adoptar un gato primero y después un perro. Como hay 4 maneras de escoger el gato y 7 maneras de escoger el perro, entonces el principio multiplicativo indica que hay 4 · 7 = 28 formas de escoger primero un gato y luego un perro. Con esta información, podemos utilizar el principio aditivo para establecer la cantidad de maneras en que se pueden adoptar dos animales de especies distintas. Esto corresponde a sumar ambas cantidades, es decir, #A=28 + 28, obteniendo como resultado #A = 56. De acuerdo a la regla de Laplace, se tiene P (A)

=

56 110

=

28 55'

PERMUTACIONES A menudo interesa calcular probabilidades que tienen relación con la cantidad de maneras de ordenar un conjunto de objetos determinado. Las diferentes ordenaciones que puede tener un conjunto son llamadas permutaciones. Para motivar el estudio de las permutaciones, consideremos el siguiente problema:

Ejemplo / Fabián tiene una colección de 4 libros ordenados en su repisa según su fecha de lanzamiento. En un descuido, los libros se caen y Fabián los vuelve a poner en la repisa, pero sin percatarse del orden. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer y el segundo libro queden en su lugar?



R: Nuevamente, si se dene A como el evento donde el primer y el segundo libro quedan en los lugares que corresponden, la probabilidad de A está dada por P( A) =

# A # Ω'

Para hallar #A notemos que si el primer y el segundo libro quedan ubicados correctamente, entonces al ubicar un libro en la tercera posición el orden queda determinado de manera unívoca, pues solo queda una opción para poner en último lugar. En otras palabras, al contar los casos favorables para el evento A basta obtener la cantidad de maneras de ubicar el tercer libro cuando los primeros dos libros están en las posiciones que corresponden. Como hay dos maneras de hacer esto(colocar el tercer libro en su posición o en la posición del cuarto libro), se tiene #A = 2. Por otro lado, para hallar la cantidad # Ω de elementos en el espacio muestral, utilizamos el principio multiplicativo: El libro que ocupa la primera posición puede escogerse de 4 maneras, el libro que le sigue se puede escoger de 3 formas(pues uno de los libros ya está en la repisa). El siguiente se escoge de dos maneras, pues hay dos libros que ya están ubicados. Finalmente, el último libro solo se puede escoger de una manera. Como se deben hacer todas estas cosas simultáneamente, se aplica el principio multiplicativo. Así # Ω = 4 · 3 · 2 · 1. Finalmente, de acuerdo 2 1 a la regla de Laplace: P (A) 4 · 3 · 2 · 1 12' =

=

Si en el problema anterior hubiese más libros, por ejemplo, ��, el número de elementos en el espacio muestral se habría obtenido a partir de una multiplicación muy tediosa. Si el número de libros es suficientemente grande, ni siquiera cabría en la hoja. Esto genera la necesidad de definir nueva notación para contar la cantidad de permutaciones en un conjunto. A continuación se muestra una función cuyo dominio son los números cardinales y nos ayuda a simplificar este tipo de problemas. � Definición: Si n es un número cardinal, se define el factorial de n, anotado n! (se lee “ene factorial”), mediante la recursión:



�! = � (n + �)! = (n + �)n!

Ejemplo / Calcule los factoriales de todos los enteros comprendidos entre 0 y 5. R: Por

denición 0! = 1. De acuerdo a la segunda parte de la denición: 1! = (0+1)! = 1 · 0! = 1 · 1 = 1. Análogamente: 2! = (1 + 1)! = (1 + 1) · 1! = 2 · 1 = 2. Siguiendo de la misma forma: 3! = (2 + 1)! = (2 + 1)2! = 3 · 2! = 3 · 2 = 6. 4! = (3 + 1)! = (3 + 1) · 3! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2 = 24. 5! = (4 + 1)! = (4 + 1) · 4! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120. Observación: para números n mayores que 0, n! = n(n - 1)(n - 2) ··· 2 · 1

Ejemplo / Escriba como multiplicación el factorial de 10 R: De acuerdo a la observación,

10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

� Propiedad: El número de permutaciones existentes en un conjunto no vacío de n elementos es n!

� Demostración: Encontrar la cantidad de permutaciones equivale a encontrar la cantidad de maneras en que el conjunto puede ordenarse. El primer elemento se puede escoger de n maneras, el siguiente de n - � maneras (el primer elemento no puede ocupar el segundo lugar). El tercer elemento puede escogerse de n - � maneras. Prosiguiendo de esta forma hasta que solo queda un elemento se tiene que el número de permutaciones es n(n - �)(n - �)(n - �) ··· � · �. De acuerdo a la observación, esto es n! (note que n ≥ � debido a que por hipótesis el conjunto es no vacío).



Ejemplo / Bernardo pertenece a un curso de 40 alumnos. El profesor hace una interrogación sorpresa y llama, uno a uno, a los 40 estudiantes para hacerles preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que Bernardo sea el último integrante del curso en ser interrogado? R: El

espacio muestral se compone de todas las permutaciones existentes para el conjunto formado por los 40 alumnos del curso, es decir # Ω = 40!. Para determinar en cuántas de estas permutaciones Bernardo ocupa el último lugar, notamos que en un ordenamiento donde Bernardo está al nal, hay 39! Formas de ordenar al resto del curso. Luego la probabilidad de que Bernardo sea el último estudiante en ser interrogado es: P (A)

=

39! 39! 40! 40· 39! =

=

1 40

PERMUTACIONES CON ELEMENTOS INDISTINGUIBLES Hay veces en que en un conjunto se tienen dos elementos que para propósitos prácticos son indistinguibles. Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo / ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, pronunciables o no pronunciables, pueden formarse con las letras de la palabra MANADA? R: La

palabra MANADA consta de 6 letras, de modo que estas se pueden ordenar de 6! Formas diferentes. Sin embargo, Las tres letras A cumplen el mismo rol dentro de la palabra. Así, al intercambiar de lugar las tres letras A se obtiene la misma palabra. Dicho de otra manera, estamos contando más palabras de las que realmente existen al considerar las letras A como diferentes. Una forma de



solucionar este problema es notar que cada palabra se contó 3! veces, pues se puede formar de tantas maneras como se puedan reordenar las letras A. Así, para obtener la verdadera cantidad de palabras existentes, se debe dividir por 3!. Luego, existen 6! 6 · 5 · 4 · 3 ! 6 · 5 · 4 1 3! 3! 40 palabras distintas. =

=

=

� Propiedad: Si se tienen n elementos agrupados en k clases que se consideran indistinguibles, y el número de elementos en cada clase se anota por n�, n�, …, nk, entonces el número de permutaciones existentes en este conjunto está dado por

n! n1 ! n2 ! ··· nk!

Ejemplo / En una orquesta de 20 músicos se necesita un cantante de primera voz, 3 cantantes de segunda voz, 5 autistas, 4 tecladistas, tecladist as, 2 violinistas y 5 percusion percusionistas. istas. ¿Cuántas opciones tienen para asignar sus roles? R: Hay

n = 20 músicos. Se consideran indistinguibles los n1 = 3 cantantes de segunda voz, los n 2 = 5 autistas, los n3 = 4 tecladistas, los n 4 = 5 percusionistas, los n5 = 2 violinistas y se forma una clase de un elemento (n 6 = 1) donde solo está el cantante de primera voz. Así, la cantidad de opciones está dada por: 20! 3!5!4!5!2!1!

PERMUTACIONES SIN PRIMER PERMUTACIONES ELEMENTO �CÍCLICAS� En algunos problemas se desea calcular una permutación sin distinguir un elemento que inicia el orden. En estos casos, se fija un elemento arbitrario y se ordenan los demás a partir de su posición relativa al elemento fijo. En otras palabras, se fija uno y se ordena el resto. De modo que si un conjunto tiene n elementos, entonces hay (n - �)! Permutaciones cíclicas.



Ejemplo / Un collar circular está formado por una cadena que contiene 5 piedras: Rubí, zaro, jade, lapislázuli y amatista. ¿Cuántos diseños pueden existir para estos collares? R: Hay

cinco piedras, que pueden ordenarse de 5! mane ras diferentes. Sin embargo, al cerrar el collar, algunas ordenaciones se ven iguales(por ejemplo si se ponen en orden Rubí, zaro, jade, lapislázuli y amatista se forma el mismo collar que al colocar jade, lapislázuli, amatista, rubí y zaro). Para resolver el problema correctamente, suponemos ja una de las cinco piedras (supongamos que se escoge jade). La piedra que se ubica a la derecha del jade se puede escoger de 4 formas, la que sigue de 3, la siguiente de 2 maneras y la que se ubica a la izquierda solamente de una. Así, hay 4! Maneras de diseñar un collar con estas características.

CANTIDAD DE MUESTRAS EN UNA POBLACIÓN FINITA Con las herramientas que manejamos en este momento ya podemos determinar la cantidad de elementos de muchos espacios muestrales. En estadística discreta, a menudo interesa conocer la cantidad de muestras de un tamaño dado que se pueden extraer desde una población finita. Para ello clasificamos los procesos de muestreo de acuerdo a dos criterios. El primer criterio distingue si los elementos pueden extraerse más de una vez (muestreo con reposición) o una vez escogidos no pueden volver a formar parte de la muestra(muestreo sin reposición). El segundo criterio indica si una muestra formada por los mismos elementos en diferente orden se considera una muestra distinta (con orden) o si se considera como la misma muestra (sin orden). La siguiente tabla resume de cuántas formas se puede escoger una muestra de acuerdo a los dos criterios mencionados anteriormente. Si la población tiene n elementos y se extrae una muestra de tamaño k, entonces la cantidad de muestras posibles está dado por

Con orden Sin orden

Con reposición

Sin reposición

nk

V kn

( n + kk - � )

Observaciones El símbolo

se llama combinación

y se lee “n sobre k". Se define como

El símbolo Vkn es llamado variación o

arreglo y se lee “variación de n sobre k". Se define mediante la fórmula

La combinación a veces se anota C kn y la variación a veces se anota A kn.

( nk )



Ejemplo / El código genético se determina a partir de combinac combinaciones iones de cuatro bases nitrogenadas nitrogenadas:: Adenina, Citosina, Guanina y Timina (o Uracilo en el ARN). La unidad de información básica en el proceso de traducción del ARN mensajero es llamada codón y está determinada por una secuencia de tres bases nitrogenadas ¿Cuántos codones distintos pueden armarse con cuatro bases nitrogenadas? R: Una

base nitrogenada puede presentarse más de una vez en un codón, por lo tanto, estamos en presencia de un muestreo con reposición. Además, un codón con las mismas bases nitrogenadas en diferente orden almacena información diferente. En consecuencia, el orden es relevante. Como se extrae una muestra de tres bases nitrogenadas a partir de una población de cuatro bases nitrogenadas, con reposición y con orden, el número de codones es 43 = 64.

Ejemplo / En el ejército romano, cuando una tropa se acobardaba durante una batalla o mostraba señales de amotinamiento, se aplicaba un castigo conocido como diezmado ( decimatio ). ). Consistía en que la tropa se dividía en grupos de 10 personas y en cada grupo se escogía al azar un miembro que debía ser lapidado por los nueve restantes. Si se aplica esta medida en una tropa de 130 miembros, ¿De cuántas formas se pueden escoger los 13 miembros lapidados? R: Al

lapidar a los mismos 13 miembros en distinto orden, se tienen exactamente las mismas bajas dentro de la tropa. Esto indica que se realiza muestreo sin orden. Un individuo que es lapidado en un grupo no puede ser lapidado en otro grupo, por lo tanto se muestrea sin reposición. Como se escogen k=13 individuos en una tropa de n=130, se tienen 130 maneras de realizar el diezmado. 13

� �



Ejemplo / Cinco amigos salen de vacaciones en un auto. Si deben escoger un piloto y un copiloto, ¿Cuántas opciones tienen? R: Escoger

a los mismos dos individuos intercambiando posiciones es una elección diferente. Por lo tanto, el muestreo es ordenado. Además, no puede escogerse la misma persona de piloto y copiloto, por lo tanto es un muestreo sin reposición. En este caso n=5 y k=2, por lo tanto hay 5! 5! 5 5 · 4 20 V 2 (5 2)! 3! formas de escoger al piloto y al copiloto en este viaje. =

=

=

=

−

Ejemplo / ¿De cuántas formas se pueden colocar 5 bolitas idénticas en 4 urnas enumeradas del 1 al 4? R: Una urna puede contener más de una

bolita, por lo tanto es un muestreo con reposición. No importa qué bolita va en qué urna, sino cuántas van en cada una. Por lo tanto no importa el orden. Como se escogen k=5 urnas de un total de n=4, se tienen

 5 + 4 − 1  8 =  5    5  formas de llenar las urnas.



EJERCICIOS

�. Si se tiene el juego del Loto, donde para cada cartón de juego se eligen � números de ��, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de cartones de juego posibles?









A)  35   7  B)  35  7!  7  35! C) 7! 35 D) 7 E)Ningunade las anteriores

�. ¿De cuántas formas puedo ordenar � libros en un estante con � espacios? A) � B) �� C) �� D) �� E) ��

�. Una mujer tiene � clósets donde ordenar sus tres tipos de ropa: pantalones, blusas y abrigos. Si cada tipo de ropa va en un único closet, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ordenar?

�. Si se tiene un estante con � espacios para libros y se desea colocar � libros distintos en cualquier orden. ¿De cuántas maneras se pueden colocar los libros?

A) �! B) �! C) �! · � D) �! · �! E) ��

 

A)  7   4 

 

B)  7  4!  4  7! C) 4! 7 D) 4 E)Ningunade las anteriores



�. ¿De cuántas maneras pueden sentarse � personas en �� sillas? A) �! B) ��! C) ��

�

 

D)  10   4 

�. Hay que colocar a � mujeres y � hombres en una fila, de modo que los hombres usen las posiciones pares, ¿De cuántas maneras puedo hacer la fila? A) �! B) �! C) �! D) �!�!

 

E) �.��

E)  9   4 

�. Usando combinatoria, diga cual es el número de diagonales de un hexágono regular

�. ¿Cuántos números de � dígitos se pueden formar con las cifras {�, �, �, �, �, �, �, �, �}, permitiendo repetición?

A) � B) � C) � D) �� E) �

A) �! B) �� C) ��

  D)  9  4!  4  E) Ninguna de las anteriores



�. Si en la pregunta anterior no permitimos repeticiones, entonces ¿cuál es la nueva cantidad de números que puedo formar?

��. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta al azar de un mazo inglés, esta sea un � rojo?

A) �! B) �� C) ��

1 2 1 B) 13 1 C) 52 1 D) 26 E)Ningunade las anteriores

 

D)  9  4!  4 

 9

E)  

 4

��. Si a la pregunta anterior, agregamos que los números formados deben terminar en � y no se permite repetición, ¿cuál es la nueva cantidad de números que puedo formar?

 

A)  8  3!  3  B) 83 C)8 4

 

D)  9  3!  3 

 

E)  9   3 

A)

��. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados no cargados, la suma de los valores obtenidos sea mayor o igual que ��?

5 26 1 B) 6 5 C) 6 1 D) 9 5 E) 36 A)



��. Se extraen aleatoriamente, sin reposición, cuatro cartas de una baraja inglesa de �� cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una jota?

��. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados uno de ellos sea � si la suma de los dos es �? 1 5 1 B) 3 1 C) 2 2 D) 5 1 E) 6 A)

4

 1  A)    4  B)

1 2

C)1−

48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 52 ⋅ 51⋅ 50 ⋅ 49

D) No se puede calcular E) Ninguna de las anteriores

��. Una caja contiene � bolas rojas, � blancas, y � azules. Si se extraen � bolas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres bolas sean azules?

9 20 3 B) 20  9   3   C)  20   3   A)

 12   3   D)  20   3    20   3   E)  9   3  

��. Si se ha lanzado una moneda honesta �� veces, y en todos los lanzamientos se obtuvo un sello. ¿Cuál es la probabilidad que el lanzamiento �� sea una cara? 1 2 1 B) 765 1 C) 766 2 D) 766 2 E) 3 A)



��. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar � dados no cargados, se obtengan exactamente tres veces �? 1 72 1 B) 55 1 C) 6 1 D) 216 1 E) 18

��. Si se extraen dos cartas al azar de un mazo inglés ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que ambas sean de diamante?

A)

A) �,�� B) �,�� 1 2 1 D) 4 C)

E) �,��

��. En una sala de �� alumnos, se sabe que la probabilidad de escoger uno al azar y que este sea hombre es de

3 5

. De acuerdo a lo anterior,

¿Cuántas mujeres hay en el curso? A) �� B) �� C)

2 5

D) �� E) Ninguna de las anteriores

��. En Chile, una patente está formada por dos consonantes (distintas de ñ) seguidas de cuatro dígitos entre � y �. ¿Cuántas patentes distintas pueden formarse? A) �� B) �� · �� C) �� · �� · �� ·� · � · � D) �� + �� + �� + �� + �� + �� E) �� · ��



��. Cuando llueve, la probabilidad de que una 1 jugadora de fútbol anote un gol es . Si la 4 probabilidad de que no llueva es 2 , ¿cuál es la 3 probabilidad de que llueva y la jugadora haga un gol?

1 A) 6 1 B) 12 10 C) 14 1 D) 4 E)Otro valor

��. De un mazo inglés de cartas (�� cartas), se sacan � cartas al azar, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que de esas cartas una sea de diamante y la otra de trébol? A) B) C) D) E)

12 1.326 26 1.326 13 204 156 1.326 56

1.326

��. Se tienen � monedas, y se define el valor M� como la probabilidad de sacar sólo una cara y el valor M � como la probabilidad de sacar tres caras. Entonces el valor de M� −M� es A) � 1 B) 8 1 C) 16 1 D) 32 E) �



��. Si tenemos � conjuntos de números A, B, C y D dados por A = {�, �, �, �}, B = {�, �, �, �, �, �, �, �, �}, C = {�, �, �, �, �}, D = {�, �, �, �, �, �}. Si formamos al azar un número de cuatro dígitos de la forma digAdigBdigCdigD, donde dig A es un número del conjunto A y así sucesivamente, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que este sea divisible por �? 103 1.305 26 B) 25.430 130 C) 1.020 156 D) 25.430 12.715 E) 25.430 A)

��. En una sala de clases hay � hombres y � mujeres. Se sabe que � de esos hombres y � de esas mujeres prefieren clases interactivas y el resto prefiere clases tradicionales. Si se elige una persona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona sea hombre y prefiera las clases interactivas? 1 6 2 B) 3 2 C) 5 1 D) 12 3 E) 5 A)

��. Se tiene una bolsa con pelotitas numeradas del � al ��, todas de igual peso y tamaño. Si se extrae una bolita al azar, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par o múltiplo de �? ��. ¿Cuál de los siguientes eventos no tiene probabilidad � de ocurrencia? A) Escoger un número natural al azar mayor que � y que este sea primo o compuesto B) Nacer en un mes que tenga entre �� y �� días C) Lanzar un dado y que este nos entregue un número par o impar D) Lanzar tres dados y que el producto sea menor que �� E) Lanzar una moneda y obtener una cara o un sello

20 25 3 B) 25 2 C) 5 22 D) 25 E)Ningunade las anteriores A)



��. Si se lanza un dado de � caras, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar o un número mayor o igual que �?

��. Si se lanzan � monedas no cargadas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos?

1 6 1 B) 3 3 C) 4 D)1 E)0


��. Si se lanzan � monedas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un sello?

��. Si una gata tiene � gatitos, ¿Cuál es la probabilidad de que sean un macho y tres hembras?


4 9 1 B) 4 4 C) 5 1 D) 2 1 E) 3

A)

A)

A)

A)



��. En una caja hay �� aros de perla de igual peso y tamaño, de las cuales � son celestes, �� son blancos y el resto son rosados. Si se extraen � aros al azar, ¿Cuál es la probabilidad de extraer un aro celeste, uno blanco y uno rosado, en ese orden y sin reposición?

8 10 12 ⋅ ⋅ 30 30 30 8 10 12 B) ⋅ ⋅ 30 28 26 8 10 12 C) + + 30 28 26 8 10 12 D) ⋅ ⋅ 30 29 28 8 10 12 E) + + 30 29 28 A)

��. Un hotel para mascotas tiene �� perros entre café y negros, y se sabe que �� de ellos son café. Si se abre la puerta del lugar y se escapa un perro, ¿Cuál es la probabilidad de que sea negro? 10 23 5 B) 16 2 C) 5 3 D) 7 4 E) 11 A)

��. Una mochila de un alumno del preuniversitario Gauss tiene � guías de lenguaje, � guías de matemática y � de historia, todos de igual peso y tamaño. Si se extrae una guía al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea de matemática? 5 11 4 B) 11 6 C) 11 2 D) 11 E)Ningunade las anteriores A)



��. La tabla adjunta muestra el número de empresas que poseen un determinado número de software para administrar sus negocios. Al seleccionar una de estas empresas al azar. Nº de empresas

Nº de software

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��. La probabilidad de que al lanzar � dados, la suma de los números sea mayor o igual que � es 1 6 5 B) 6 3 C) 4 5 D) 9 6 E) 10 A)

¿Cuál es la probabilidad de que ésta tenga menos de cuatro software para sus negocios? 11 29 11 B) 27 15 C) 27 11 D) 30 13 E) 27 A)

��. Si se tiene una moneda cargada, donde la probabilidad de obtener cara es

1 3

y se sabe

que esta siempre sale cara o sello, entonces la probabilidad de sacar tres sellos en tres lanzamientos es 8 27 11 B) 27 15 C) 27 14 D) 27 13 E) 27 A)



��. En la pregunta anterior, la probabilidad de sacar al menos dos caras en tres lanzamientos es 8 27 5 B) 27 7 C) 27 11 D) 27 3 E) 27 A)

��. Según el problema anterior, la probabilidad de lanzar dos veces el dado y obtenerun � y un �, en ese orden es 2 49 1 B) 49 2 C) 25 1 D) 25 E)Ningunade las anteriores A)

��. Si se sabe que un dado está cargado, donde los números del � al � tienen la misma probabilidad y el � tiene el doble de probabilidad que ellos. Entonces la probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga � es 1 7 2 B) 7 1 C) 5 2 D) 5 E)Ningunade las anteriores A)


CAPÍTULO 3

INFERENCIA ESTADÍSTICA


CAPÍTULO 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA

INTRODUCCIÓN La rama de la estadística que veremos a continuación estudia cómo inferir o deducir características de una población a partir de una pequeña parte de ella, debido a que en muchos estudios es imposible tomar la totalidad de la población, esta forma de estudiar colecciones de datos es llamada Inferencia Estadística, y responde a las preguntas: ¿Cómo podemos sacar conclusiones acerca de las características de la población si no conocemos todos sus elementos? ¿Qué tan fiables son estas estimaciones? Para realizar inferencias estadísticas estudiamos una parte pequeña, pero representativa de la población que llamamos una Muestra, y extrapolamos (inferimos) conclusiones sobre la población general a partir de ella.

TÉCNICAS DE MUESTREO Llamamos muestreo a las técnicas que utilizamos para escoger una muestra a partir de una población. Los tipos de muestreo se clasifican en muestreos probabilísticos y no probabilísticos. En un muestreo probabilístico, cada elemento de la población tiene una determinada probabilidad de pertenecer a la muestra, y dicha probabilidad se puede calcular sin ambigüedad. En los muestreos no probabilísticos en cambio, se desconoce la probabilidad de que un individuo determinado per tenezca a la muestra. Siempre existe algún error pues la muestra no es completamente fiable, sólo una buena aproximación, y a este error se le llama error de muestreo. � Muestreo aleatorio Si todas las muestras posibles de una población pueden ser tomadas con la misma probabilidad, este muestreo es un Muestreo Aleatorio. Distinguimos dos tipos:

� Sin reposición: Una vez que un individuo es escogido para integrar la muestra, no puede volver a ser escogido Observación Al extraer todas las muestras de un

� Con reposición (muestreo aleatorio simple): Los individuos pueden aparecer más de una vez en la muestra.

tamaño dado en una población finita y calcular el promedio de las medias muestrales se obtiene la media poblacional.

El muestreo aleatorio es apropiado para poblaciones grandes y es más simple de implementar que otras técnicas de muestreo, pero requiere de un listado completo de todos los individuos que conforman la población.



El objetivo de extraer una muestra representativa es estudiar alguna característica de la población representada en una variable estadística , la cual toma la forma de una función que relaciona los miembros de la población con sus cantidades correspondientes, y dando algún patrón a partir del cual sacaremos conclusiones que aplicar a la población general. A estos patrones que encontraremos entre los datos los llamaremos Distribuciones. Observación

Por ejemplo: si realizamos un estudio sobre lo que compran los clientes de un supermercado no podremos entrevistar a todos, por lo tanto entrevistaremos a una muestra, y si nuestro estudio está bien hecho podremos obtener un perfil que nos diría cuánto gasta cada tipo de persona del supermercado. Este perfil de los clientes será una distribución de los gastos de los clientes en el supermercado.

La inferencia estadística sólo nos dará aproximaciones, nunca dará resultados para cada uno de los miembros de la población.

DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución más importante que se estudia es la llamada distribución normal o distribución Gaussiana , y es posible aplicar esta distribución a cualquier grupo de datos cuya distribución se asemeja al siguiente gráfico:

X

Es decir, un grupo de datos en el cual la mayoría de los datos se agrupa cerca de la media aritmética, y la cantidad disminuye suavemente hacia los extremos, formando una curva simétrica cuyo eje de simetría se encuentra en su media. Rigurosamente, este gráfico representa la siguiente función:

f (x)

=

σ

1 e 2π

( x µ )2 2σ 2 −

−



Donde µ corresponde a la media aritmética de la población y σ corresponde a su desviación estándar. σ 2 también es una medida común, y este representa la Varianza de la distribución.

100 80 a i c n e u c e r F

60 40 20 0 6

8

10

12

14

16

18

Cuando una variable X sigue una distribución normal de media µ y varianza σ 2 , escribimos X ∼ N (µ, σ 2 ).

� Propiedades de la distribución normal � La forma de la curva de la distribución depende de sus dos parámetros, la media y la desviación estándar � La media indica la posición de la campana. Al incrementar la media, la gráfica de la campana se desplaza hacia la derecha � A mayor desviación, la curva se volverá más plana, pues los datos tendrán mayor variabilidad � Si X ∼ N(µ, σ 2 ) y se extraen n observaciones de manera independiente en esta población, el promedio obtenido pertenece a una población normal de media µ y varianza

σ

2

n

� Si X ∼ N(µ, σ 2 ) no depende de Y ∼ N(v, τ 2 ), entonces X + Y ∼ N (µ + v, σ 2 + τ 2 )



� Intervalos de una distribución normal El objetivo de la distribución normal es poder conocer qué porcentaje de los d atos se encuentran en distintos intervalos, y nos permite responder preguntas como: � ¿Qué porcentaje de un grupo de atletas que sigue una distribución normal tiene un buen rendimiento? � ¿Cuánto puntaje debo tener para estar en el mejor ��% de los estudiantes que dan la PSU? Estas preguntas tienen una solución que es a la vez simple y complicada. La simple es: El porcentaje de datos que responde estas preguntas es el área bajo la cur va de la distribución normal que se encuentra entre los parámetros pedidos. Pero calcular esta área es extremadamente difícil, por lo que utilizamos unos intervalos notables con porcentajes ya conocidos para cualquier distribución normal. Si una población normal tiene media µ y desviación estándar σ , se tiene que: � El ��,�% de las observaciones se encuentra en el intervalo [µ - σ ,µ + σ ], es decir, el ��,�% de los datos se encuentra a menos de una desviación estándar de distancia de la media. � El ��,�% de los datos se encuentra en el intervalo [µ - �σ ,µ + �σ ], es decir, el ��,�% de las observaciones se encuentra a menos de dos desviaciones estándar de distancia de la media. � El ��,�% de los individuos se encuentra en el intervalo [µ - �σ ,µ + �σ ], es decir, el ��,�% de las observaciones se encuentra a menos de tres desviaciones estándar de distancia de la media. μ

d a d i l i b a b o r P

34%

14% 2% μ - 2σ μ - σ

(valor estimado)

34%

μ

μ + σ

2% μ + 2σ

Variable



� Variables estandarizadas (tipificadas) Si se necesita calcular otros percentiles, hay malas noticias: hasta el día de hoy no se ha descubierto un método para calcularla de manera exacta. Sin embargo, existen tablas con muy buenas aproximaciones. Ahora, no es posible escribir una tabla para cada una de las combinaciones posibles de media y desviación estándar, entonces convenimos en utilizar la distribución normal estándar o normal tipificada como referencia, a la cual llevaremos cualquier otra distribución. Definición: Si una variable Z sigue una distribución N (0,1), se dice que Z tiene una distribución normal estándar o normal tipificada.

Para llevar una distribución cualquiera a esta distribución N (0,1), utilizamos una técnica llamada estandarización o tipificación, que nos permite relacionar una distribución normal de media y desviación estándar arbitrarias con una distribución N (0,1). Propiedad: Si X ∼ N (µ, σ 2 ), entonces Z tándar.

=

X

−

µ

tiene una distribución normal es-

σ

Una vez convertida la variable de distribución N(µ, σ 2 ), en una de distribución N (0,1), podemos utilizar una tabla como la siguiente para encontrar los valores necesarios para resolver los problemas. z

P(Z < z)

0,67

0,749

0,99

0,839

1,00

0,841

1,15

0,875

1,28

0,900

1,64

0,950

1,96

0,975

2,00

0,977

2,17

0,985

2,32

0,990

2,58

0,995

0

z

Z



� Algunos ejemplos de fenómenos que se modelan con distribuciones normales: � Puntajes en pruebas nacionales (PSU, SIMCE) e internacionales(TOEFL, exámenes de admisión a distintas universidades). Los puntajes PSU de una generación tienen una distribución normal de media �� y desviación estándar ��. � Indicadores sicológicos como el coeficiente intelectual. � Fenómenos meteorológicos como la temperatura. � Estaturas y pesos de individuos de la misma ed ad siguen una distribución normal. � El error cometido al hacer mediciones en experimentos sigue una distribución normal.

INTERVALOS DE CONFIANZA Puede ocurrir que al tomar dos muestras representativas diferentes dentro de una misma población, se obtengan estadísticos diferentes. Esto no necesariamente significa que el estudio esté mal realizado, sino que simplemente es un reflejo de que hay azar involucrado en el proceso de muestreo. Para estimar el error que induce el azar, se establece un rango de valores que podrían contener el valor del parámetro poblacional estimado, con cierta probabilidad. A esta probabilidad se le conoce como nivel de confianza y su principal objetivo es evaluar la validez del muestreo. Un intervalo de confianza [a,b] para un parámetro poblacional es un intervalo de números reales que con cierto nivel de confianza (��%,��%, etc.) contiene al parámetro estudiado. Si se desea construir un intervalo de confianza para la media de una población normal con varianza conocida σ �, a partir de una muestra de tamaño n, media x, y nivel de confianza (�� - a)% está dado por

  x − z a   2    

σ

n

, x + z a 

 2   

  n 

σ



Donde z a corresponde al valor tal que el a % de los datos es mayor en una distribu�2� 2 ción normal estándar. σ

La cantidad z a  es llamada error de muestreo o error y suele ser expresado  2   n como porcentaje. Ejemplo: En un laboratorio, se cuenta con una muestra de �� frascos con jarabe, se sabe que la cantidad de sacarosa presente en ellos sigue una distribución normal de desviación estándar ��g. Si la media de la cantidad de sacarosa en estos �� frascos de jarabe es ��g, el intervalo del ��% de confianza, en gramos, está dado aproximadamente por [��,��; ��,��], con un error de �.�� ya que al reemplazar los valores correspondientes x = ��; σ = ��; n = �� y z�a� = z�,�� = �.�� se obtienen 2 dichos valores.

Ejemplo / Las estaturas de un grupo de personas siguen una distribución normal de media �,��m y desviación estándar �� cm.

(a) ¿Qué porcentaje ellos mide entre �,�m y �,�m? (b) ¿Qué porcentaje de elos mide menos de �,� metros pero más de �,�? Solución (a) Como el ��,�% de los individuos se ubica a menos de una desviación estándar de la media, podemos asegurar que el ��,�% de los estudiantes tiene una estatura x tal que |x - µ| ≤ σ, es decir, -σ ≤ x - µ ≤ σ. Al sumar µ en cada miembro de la desigualdad, resulta µ - σ ≤ x ≤ µ + σ. Considerando que µ = �,� y σ = �,� (al medir en metros) se obtiene �,� - �,� ≤ x ≤ �,� + �,�. Así, se sigue x ∈ [�.�,�.�]. Por lo tanto, el ��,�% de los integrantes mide entre �,�m y �,�m. Solución (b) Considerando que el ��,�% de los individuos tiene una estatura que se encuentra en el intervalo [µ - �σ,µ + �σ], se tiene que el ��,�% de las estaturas de los individuos se ubica en el intervalo [�,�;�,�]. Si de ese intervalo restamos el ��,�% de las personas cuyas estaturas estaban entre �,� y �,� (se calculó en (a)). En-



tonces tenemos que el ��,�% de los sujetos tiene estaturas que se encuentran en el intervalo [�.�,�.�] o que se encuentran en el intervalo [�.�,�.�]. Además, como la gráfica de la distribución es simétrica en torno a su media, se sigue que la cantidad de estudiantes en cada intervalo es la misma. Así, la mitad del ��.�% de los integrantes mide entre �.� y �.�, es decir, el ��.�% de ellos mide menos de �,� metros y más de �,�.

Ejemplo / En cierta ciudad, la temperatura diaria sigue una distribución normal de media ��° y desviación estándar �°. ¿Qué porcentaje de los días habrá una temperatura mayor a ��°? Solución Si llamamos T a la temperatura en un día, se tendrá que T ∼ N(��,�). Al estandarizar, se obtiene que (T - ��) / �

∼

N(�,�).

El siguiente paso consiste en relacionar la desigualdad T > �� con una desigualdad que involucre la variable estandarizada. Al restar �� y dividir por � en esta desigualdad resulta T − 18

2

>

20 − 18 , es decir, 2

T − 18

2

>

�. De acuerdo al valor tabulado,

el ��,�% de los días satisfacen que

T − 18

2

≤ �. Por lo tanto, el

��,�% restante satisface la condición buscada.





EJERCICIOS �. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Al estudiar características de una muestra, se obtiene una estimación de las características de una población B) Una muestra contiene más datos que una población C) Nunca es posible estudiar una población completa D) El muestreo aleatorio simple solo es válido en distribuciones normales E) Ninguna de las anteriores

�. En un estudio estadístico I. El muestreo garantiza ahorro económico al realizar el estudio II. El muestreo permite recolectar datos de manera más rápida III. El muestreo garantiza validez de las conclusiones respecto de la población A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) II y III

�. Son ventajas del muestreo aleatorio: I. Al escoger la muestra al azar, se previene cualquier sesgo que pudiese tener origen en la elección del investigador II. Al conocer la probabilidad de cada individuo de pertenecer a la población, se tiene información del error cometido en las conclusiones III. Se clasifica en muestreo sin reposición y con reposición A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

�. Si X ∼ N(�,�) ¿Cuál de estas variables tiene una distribución N(�,�)? x-1 2 x-1 B) 4 C) x-4 D) x-2 E)Ninguna de ellas A)



�. Si una población sigue una distribución normal estándar ¿Cuál de estos valores corresponde al percentil �� de la población? A) �,�� B) � C) �,�� D) �,�� E) �,��

�. Si Z ∼ N(�,�) ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene un valor igual a P(Z < -�)? A) P(Z > -�) B) P(Z ≤ �) C) P(Z > �) D) P(-� < Z < �) E) Ninguna de las anteriores

�. Una población sigue una distribución N(�,��) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

�. Una población sigue una distribución N(�,�) ¿Qué distribución tendrá si cada dato se multiplica por �?

A) La mediana de la población es � B) La desviación estándar de la población es �� C) La media de la población es � D) Aproximadamente el ��,�% de los datos se ubica en el intervalo [-�,�] E) Ninguna de las anteriores

A) N(�,�) B) N(�,��) C) N(�,��) D) N(�,��) E) N(�,��)



�. ¿Cuál de las siguientes cantidades no sigue una distribución normal? A) Los puntajes de la PSU de historia obtenidos por los postulantes que rindieron la prueba el año �� B) Las estaturas de niños de un curso C) El tiempo de vida útil de las ampolletas de una marca dada D) La temperatura media que se registra en un mismo mes E) Ninguna de las anteriores

��. La cantidad de teléfonos celulares por familia en una ciudad se modela por medio de una distribución normal con media µ y varianza �,��. Se toma una muestra aleatoria de �� familias de esta ciudad, obteniéndose una media de �,� celulares. Para los resultados de esta muestra, ¿Cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel �,�� para µ? A)[3,5-1,64 ·

B)[3,5-0,9 ·

��. Se dice que un individuo padece de retraso mental si su coeficiente intelectual está entre �� y �� puntos. El coeficiente intelectual de los individuos de un país sigue una distribución normal de media �� y desviación estándar ��. ¿Qué porcentaje de la población de este país padece de retraso mental? A) ��,�% B) ��,��% C) ��,�% D ��,��% E) ��,�%

1 1 ;3,5+1,64 · ] 40 40

1 1 ;3,5+0,9 · ] 200 200

C)[-1,64 ·

1 1 ;1,64 · ] 400 400

D) [-0,90·

1 1 ;0,90 · ] 20 20

E) [3,5 − 1,64 ·

1 1 ;3,5 + 1,64 · ] 20 20

��. Al respecto de la gráfica de una campana de gauss se afirma: I. Al incrementar la media poblacional, la gráfica se desplaza hacia la izquierda II. Es simétrica respecto de la media III. La curva se vuelve más plana al incrementar la varianza Es(son) verdadera(s) A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III



��. Se desea estimar el tiempo promedio que tarda un atleta en completar una carrera de �� metros planos. Tras observar a �� atletas se obtiene un intervalo de confianza de nivel �,�� dado por [��,��] medido en segundos. ¿Cuál de estas afirmaciones es verdadera? A) El ��% de los atletas tarda en promedio entre �� y �� segundos en completar una carrera de �� metros planos B) Hay una probabilidad de �,�� de que el tiempo que tardan los atletas en promedio de completar una carrera de �� metros planos se encuentre en el intervalo [��,��] C) Al observar más atletas, la probabilidad de que el promedio se encuentre en el intervalo de confianza incrementa D) Si el tiempo que tardan los atletas sigue una distribución normal, entonces la media muestral obtenida fue de ��,� segundos. E) Ninguna de las anteriores

��. Si Z ∼ N(�,�), entonces P(�,�� < Z < �,��) = A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) �,��

��. En un estudio se desea estimar el diámetro medio de las piernas en una población de jirafas. Considerando una distribución normal de varianza �� cm� para el diámetro de las piernas de las jirafas. Si [⋅] representa la función parte entera, ¿cuál debe ser el tamaño muestral para que la amplitud del intervalo de confianza al nivel �.�� construido a partir de la muestra sea menor a � cm? A)[(5 · 2,32)2 ]+1

��. Una población sigue una distribución normal estándar. ¿Cuál es el máximo valor que puede presentarse en una observación que pertenece al �% más pequeño? A) -�,�� B) -�,�� C) -�,�� D) -�,�� E) -�,��

B) [(5 · 0,839)2 ]+1 C) [(25 · 2,58)2 ]+1 2  5   D)  · 2,58  +1    2

E) [(5 · 2,58)2 ]+1



��. Un instructor de esgrima desea medir el tiempo que tardan sus deportistas en reaccionar a la señal de partida dada por el árbitro al comenzar los combates. Tras medir los tiempos de retardo en la reacción de sus �� alumnos obtiene las respuestas �, �, �, ��, �, �, �, �, �, ��, ��, �, �, �, �, �, medidas en centésimas de segundo. Si deseara tomar una muestra de tamaño �, ¿Cuál de estas no corresponde a un muestreo sin reposición? A) �, �, �, �, �� B) �, �, �, �, � C) �, �, �, ��, �� D) �, �, �, �, � E) A, C y D son correctas

��. ¿Cuál de los siguientes histogramas representa mejor a una distribucón normal?

A)

B)

C)

D)

E)

��. El diámetro de los troncos de los sauces sigue una distribución normal de media ��m y desviación estándar �m. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del tronco de un sauce mida menos de ��.� m? A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) �,��

��. Un señor del mal tiene �� esclavos. Cada mañana escoge a � por muestreo aleatorio simple con reposición y los castiga. ¿Cuál es la probabilidad de que el mismo esclavo sea castigado � veces durante una mañana? A)

B)

C)

D)

E)

1 10 1 100 3 10 2 10 1 1000



��. Con los datos de la pregunta anterior ¿Cuál es la probabilidad de que algún esclavo sea castigado exactamente dos veces durante la misma mañana? A)

B)

C)

D)

27 100 9 1000 9 100 27 1000

E) Otro valor

��. Con los datos de la pregunta ��, ¿Cuál es la probabilidad de que castigue a tres esclavos diferentes durante la mañana? A)

B)

C)

��. Un practicante de lucha Greco-romana postula a un cupo para un campeonato regional. Los organizadores declaran mediante un comunicado que solo aceptarán a los postulantes que pertenezcan al �.�% con mejor desempeño en una prueba de fuerza. Si nuestro luchador sabe que los puntajes de dicha prueba siguen una distribución normal con media � y desviación estándar �, ¿Cuál es el mínimo puntaje que debe obtener en la prueba para clasificar? A) �,�� B) ��,�� C) ��,�� D) ��,�� E) ��,��

��. ¿Cuál de los siguientes histogramas representa una distribución de mayor varianza?

28 100 72 1000 72

A)

B)

C)

D)

100

D) 1 E) Otro valor

E) No se puede determinar



��. La amplitud de un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal incrementa si I. La varianza poblacional incrementa II. La media muestral incrementa III. El tamaño muestral incrementa IV. El nivel de confianza del intervalo incrementa Son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo IV C) I y IV D) II y III E) I, III y IV

26. Si X  N (µ ,σ 2 ) entonces P (X A)

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E) Otro valor

��. Considere una población de distribución normal de varianza �. Si se desea construir un intervalo del ��% de confianza a partir de una muestra de tamaño ��, ¿cuál es el error de esta estimación? A)

1.96 5

B)

3.92 5

C)

1.96 50

D)

1.64 5

E) Ninguna de las anteriores

<

µ )=

��. Una empresa produce narices de payaso y desea estimar la cantidad de pintura roja necesaria para producir cada unidad. Suponga que la cantidad de pintura utilizada en la producción de una unidad se rige por una distribución normal. Si se desea obtener un error menor que �% al construir un intervalo de confianza de nivel ��% y la desviación estándar corresponde a �.�� ml ¿Cuántas narices de payaso, como mínimo, se deben incluir en la muestra? A) � B) � C) � D) � E) �



��. La efectividad de una vacuna en un paciente enfermo se rige por una distribución normal. Si se estudia la efectividad en una muestra de �� pacientes, obteniendo un error del ��% al construir un intervalo de ��% de confianza ¿Cuál es la desviación estándar de la efectividad de las vacunas? A)

1,21 6,6564

B)

0,1 28,38

C)

11 25,8

D)

1,1 2,32

E)

11 2,58

��. ¿Cuál de las siguientes cantidades no influye en el error de muestreo al construir intervalos de confianza para poblaciones normales?

��. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes tales que X ∼ N(�,�) e Y ∼ N(�,�). ¿Cuál es el valor de P(X + Y > �)? A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) Otro valor

��. Un capitán del equipo de atletismo debe escoger � competidores para una carrera de relevos. Tras poner a prueba a sus cinco candidatos en una carrera corta y promediar los tiempos (en segundos) de cada posible pareja obtiene los siguientes resultados: �, �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��

A) La varianza de la población B) La desviación estándar de la población C) La media de la población D) El tamaño muestral E) El nivel de confianza

¿Cuál es el tiempo promedio de los cinco corredores? A) �� B) ��,� C) �� D) ��,� E) Otro valor



��. Si X ∼ N(a + b,a + �b) e Y ∼ N(a + �b,a − b) son variables aleatorias independientes ¿Qué valor debe tomar a para que la variable aleatoria X + Y siga una distribución normal estándar? A)

B)

1 2 1 4

C) -

D)

��. Si X ∼ N (μ, �) ¿Qué valor debe tener μ para que P(X ≤ �) = �,�� A) � B) � C) � D) � E) Ninguno de los valores anteriores

1 2

3 4

E) No existe tal valor de a

��. Suponga que X ∼ N (�,��) e Y ∼ N (−�,��). Al respecto se afirma I. La población X es más homogénea que la población Y II. Al extraer muestras aleatorias de �� individuos de cada población, La media muestral de X tiene una varianza menor a la media muestral de Y III. La campana de Gauss asociada a la variable X tiene a la recta x = � como eje de simetría

��. Si X e Y son variables aleatorias independientes de distribución normal estándar ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que el interior del cuadrado de centro en el origen, lados paralelos a los ejes y lado � contenga al punto (X,Y)? A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) Otro valor

Es(son) falsa(s): A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) II y III E) I, II y III



��. Se puede conocer la media poblacional a partir de una muestra si (�) Se conoce la media muestral (�) Se conoce la varianza poblacional A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola E) Se requiere información adicional

��. Se puede conocer la probabilidad de que un individuo de una población pertenezca a una muestra si (�) Se conoce el tamaño muestral (�) La técnica de muestreo es muestreo aleatorio simple A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola E) Se requiere información adicional

��. Se puede determinar P(X > µ + �) si (�) X ∼ N(µ + �,�) (�) µ + � es la mediana de la población A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola E) Se requiere información adicional

��. Se puede conocer la mediana de una población normal si: (�) Se conoce la media (�) Se conoce la varianza A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola E) Se requiere información adicional




CAPÍTULO 4

VARIABLES ALEATORIAS



VARIABLES ALEATORIAS Una Variable aleatoria es una medida que utilizamos para cuantificar los resultados posibles de un experimento aleatorio, está definida como una función X que relacióna cada elemento del espacio muestral con un número real. Es decir: X:Ω→R

El recorrido de esta función entonces, es un subconjunto de los números reales que contiene todos los resultados posibles de esta variable, como imágenes de algún elemento del espacio muestral. Estas variables pueden ser discretas o continuas , dependiendo de la naturaleza de su recorrido.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS En el caso de una variable discreta, podemos hablar de una función de probabilidad f(x), esta es la función que relaciona cada elemento del recorrido con la probabilidad de que la variable tome dicho valor, es decir f(x0 ) = P(X = x 0 ). Ya que estamos hablando de una probabilidad, sabemos que debe cumplir las siguientes condiciones: � �

f(x0 ) ≥ 0 para todo x0 ∈ Rec( X )

∑

f (i) = 1

i ∈ Rec(X)

También podemos definir la función de distribución F(X), que nos indica la probabilidad de que la variable tome un valor igual o menor, es decir: F(x0) = P(X ≤ x0)


CAPÍTULO 4 VARIABLES ALEATORIAS

ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La Esperanza o Valor Esperado de una variable aleatoria es simplemente el valor promedio que uno obtendría al realizar infinitos experimentos, por lo tanto mientras más experimentos se realicen, más tiende a acercarse el promedio hacia la Esperanza. Esta se define como:

∑

E( X ) =

xi ∈ Rec(X)

f ( xi ) · xi

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Si entendemos esta esperanza, obtenemos como conclusión la ley de los grandes números que dice: Mientras más experimentos realice, más se acerca la frecuencia relativa de cada evento a su respectiva probabilidad, pero esta forma de enunciar la ley es equivalente a otra que relaciona esta ley con la esperanza: "Mientras más grande sea la muestra, más cercana será su media a la Esperanza de la Variable".

La Varianza es ligeramente distinta del concepto que usamos al t rabajar con datos, como estos están fijos su varianza sólo mide la dispersión de los datos, en el caso de una variable aleatoria la varianza mide su variación ideal, y se calcula muy fácilmente usando la esperanza: Var(X) = E(X � ) - [E(X)]�

Luego, la desviación estándar de un variable se encuentra de la misma forma que utilizando datos. StDev( X )

=

Var( x )



DISTRIBUCIONES IMPORTANTES DE VARIABLES ALEATORIAS � Distribución de Bernoulli La distribución de Bernoulli es la forma en la que se distribuyen los resultados de una variable que sólo tiene dos resultados posibles, a estos dos resultados los llamamos un éxito o un fracaso, por ejemplo lanzar una moned a sigue una distribución de bernoulli.

La ventaja es que esta moneda no debe ser justa, es decir las probabilidades de éxito o fracaso no necesitan ser mitad y mitad, formalmente: Si X es una variable aleatoria donde p es la probabilidad de éxito y q es la proba bilidad de fracaso, se cumple que P(X = �) = p y P(X = �) = q = � - p . Además, E(X) = p y Var(X) = pq = p(� - p).

� Distribución Binomial La distribución binomial es un caso similar al de la distribución de Bernoulli en el que también buscamos éxitos y fracasos, pero en lugar de medir esta probabilidad medimos la probabilidad de obtener cierta cantidad de éxitos en alguna cantidad de experimentos:

Una Variable aleatoria X sigue una distribución Binomial si la probabilidad de obtener k éxitos en n experimentos, donde la probabilidad de éxito en cada uno es p. (la frase anterior se resume en X ~ Bin(n,p)):

 n k p (1 − p)n − k   k 

P( X = k ) = 

Con esta distribución, podemos tambien obtener la esperanza y varianza fácilmente, entonces: Si X ~ Bin(n,p)

→

E(X) = np y Var(X) = np(� - p)

Como aprendimos en combinatoria, calcular estos coeficientes binomiales puede resultar complicado, pero una distribución binomial X ~ Bin(n,p) se puede aproximar a una distribución normal X ~ N(np,np(� - p)) ya que esta tiene la misma Esperanza y Varianza. Mientras más grande sea n, mejor será esta aproximación.



VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS En todos los casos anteriores hablamos de variables discretas, entonces tiene sentido pensar en cosas como “sumar todos los resultados del recorrido” porque estas cantidades son finitas, pero estos métodos no funcionan cuando hablamos de variables aleatorias no discretas, por ejemplo no sabemos cuanto es la suma de todos los números racionales entre � y �. Luego, ajustaremos nuestras definiciones para reutilizar los conceptos que vimos en variables aleatorias discretas en continuas. En lugar de hablar de una función de probabilidad, hablaremos de una Función de densidad, y esta mide cual es la probabilidad que una variable aleatoria tome un valor dentro de un intervalo . Ya que existen infinitos resultados posibles para una variable continua, no tiene sentido preguntar por la probabilidad de que caiga en valor particular, por lo que preguntamos cuan posible es que caiga dentro de un rango. Esta función cumple que: � La probabilidad de que la variable tome un valor, dentro de un intervalo de su recorrido no puede ser negativa. � La probabilidad de que la variable tome un valor dentro del intervalo del total de su recorrido es � Es importante notar que el ejemplo más claro y estudiado de una variable de este tipo es la Distribución normal en la cual los inter valos que nos dan la probabilidad son aquellas áreas bajo la curva de la distribución. Así, si vemos la normal como una Variable aleatoria continua, tenemos que el área total bajo la curva es �, y por lo tanto es exactamente lo mismo preguntar qué porcentaje de esta área se encuentra en un intervalo, a preguntar cual es la probabilidad de caer en ese intervalo si elijo un valor al azar



EJERCICIOS �. ¿Cuál de las siguientes es una variable aleatoria? A) El número de caras de un dado B) El punto de ebullición del agua, medido en grados Kelvin C) El resultado obtenido al lanzar un dado común D) El número de habitantes que había en Texas el día � de Enero de �� E) Ninguna de las anteriores

�. ¿Cuál de las siguientes no se clasifica como una variable aleatoria discreta? A) Se encuesta a �� personas al azar y se define la variable aleatoria X como el número de mujeres encuestadas. B) Se lanzan � dados comunes y se define X como la suma de las puntuaciones obtenidas. C) Se recorren �� calles de Santiago en Auto y se define X como el número de semáforos que se encuentran en luz roja al pasar por ellos. D) Se observa la carrera de un nadador y se define X como el tiempo que tarda en completar el recorrido. E) Ninguna de las anteriores.

�. Se lanzan dos monedas y se define X = � si las monedas tienen el mismo resultado y X = � si no lo tienen. ¿Cuál es el dominio de esta variable aleatoria? A) {(cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)} B) {cara, sello} C) {�, �} D) {�,�,cara, sello} E) No se puede determinar

�. Se define la variable aleatoria X como la suma de los resultados obtenidos al lanzar dos dados comunes. ¿Cuál es el recorrido de X? A) {�,�,�,�,�,�,�,�,��,��,��} B) {(�,�),(�,�),(�,�),(�,�)(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�), (�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�), (�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�), (�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�),(�,�)} C) {�,�,�,�,�,�} D) {�,�,�,�,�,�,�,�,�,��,��,��} E) Ninguna de las anteriores



�. Una urna contiene �� bolitas blancas y � bolitas negras. Se extraen al azar, sin reposición, � bolitas de la urna y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas blancas extraídas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. P(X = �) = � P (X

1)

10 14

II.

 10  4  3    2   III. P (X = 3) =  14  5  

=

=

�. Se pagan $��, se lanza un dado común y se reciben $�� multiplicado por el valor que muestra el dado. ¿Cuál es el balance esperado? A) -�� B) -�� C) � D) �� E) ��

A) Sólo I B) Sólo III C) I y III D) II y III E) I, II y III

1 �. Si X es una variable aleatoria tal que P(X = �) = 5 y P(X = �) = 1 , entonces 4 A) P(X = �) = B) P(X = �) < C) P(X = �) ≤ D) P(X = �) > E) P(X = �) ≥

11 20 11 20 11 20 11 20 11 20

�. Se entrevista a �� personas de manera independiente y se registra el número de personas bautizadas. Si se sabe que el ��% de la población se ha bautizado, ¿Qué distribución sigue esta variable aleatoria? A) Bernoulli B) Binomial C) Normal D) Hipergeométrica E) Ninguna de las anteriores



�. El tiempo de espera de las personas, en minutos, en cierto paradero de Transantiago, tiene una función de distribución dada por F(x) = � - e -�x ¿Cuál es la probabilidad de esperar � minutos o menos? A) e-� B) e-� C) � - e -� D) � - e-� E) Otro valor

��. Se lanza un dado �� veces y se definen las variables aleatorias X e Y, donde X es el número de veces que se obtiene un número par e Y es el número de veces que se obtiene un número impar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. P(X = �) = P(Y = ��) II. P(X = �) = P(Y = �) III. P(X = �) = P(X = ��) A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

��. En el bosque de caperucita roja se ha instalado un hogar de ancianos. Se sabe que una de cada �� ancianas que vive en ese hogar es un lobo disfrazado. Si el ��% de la gente que se queda en el hogar son ancianas y se escogen �� personas mediante muestreo aleatorio simple, al definir la variable aleatoria X como el número de lobos escogidos, resulta P(X = �) =

��. ¿Cuántas monedas se deben lanzar para que la varianza del número de caras sea �? A) � B) � C) � D) � E) No se puede obtener varianza �

 15 2 13 0,6 0,4  2    10 B)   0,12 0,913  2   15 C)   0,062 0,9413  13  10 D)   0,062 0,9413  2  A) 

E) Otro valor



��. ¿Cuál es el recorrido de una variable aleatoria normal de media � y varianza ��? A)  - {�} B) Q C) [-�,�] D) ]-�,�[ E) 

��. Defina la variable aleatoria X como el número obtenido al lanzar un dado común. Suponga que se lanza medio millón de dados comunes y se registran los resultados en una tabla de frecuencias. De acuerdo a la ley de los grandes números, ¿Cuál de estos valores es una mejor estimación para la frecuencia relativa acumulada del número de dados que muestran el número � en su cara superior? A) La función de densidad de probabilidad de X evaluada en � B) La función de distribución de X evaluada en � C) La función de probabilidad de X evaluada en � D) El valor esperado de X E) La varianza de X

��. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X. k P(X = k)

� p

� �p

� �p

� �p

¿Cuál es el valor de la función de distribución de X evaluada en �? A) �,� B) �,� C) �,� D) �,� E) No se puede determinar

��. Considere una variable aleatoria discreta X cuya desviación estándar es � y su recorrido es un subconjunto del intervalo ]-∞,�]. Considere además que E[X�] = ��. ¿Cuál es el valor esperado de X? A) � B) �� C) �� D) -� E) No se puede determinar



��. Se lanzan dos dados comunes de manera simultánea y se define la variable aleatoria X como el mayor valor obtenido. ¿Cuál es la función de probabilidad de la variable aleatoria X? A) f(x)=

 0, en otros casos

x

6 1 B) f(x)= 6 2x 1 C) f(x)= 36

Si se observa la laguna al medio día durante �� días, de acuerdo a la ley de los grandes números, ¿Cuántas veces se encontrarán exactamente � patos?

−

D) f(x)=

��. El número de patos que hay en una laguna al mediodía se rige por una función de probabilidad dada por  1 x   , si x ∈N f (x ) =   2 

x

36 E) Ninguna de las anteriores

��. En un programa de talentos la probabilidad de que un postulante sea aceptado es �/��. Si en una sesión hay � postulantes ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente � postulantes sean aceptados? 3

5

 5  1   9  A)        3  10   10  3 5  8  1   9  B)        3  10   10  3  8  1  C)      3  10  8  8  1  D)      3  10  8  1  E)    10 

A) Aproximadamente �/� B) Aproximadamente �� días C) Exactamente �� días D) Aproximadamente �� días E) Exactamente �� días

��. En la tabla adjunta se muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X. X P(X = x)

� a

� �a

� �a

� �a

Se afirma: I. La función de distribución de X, evaluada en �, corresponde a �,� II. La función de probabilidad de X evaluada en � corresponde a �,� III. El valor esperado de la variable aleatoria es �,� No son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III



��. En un control de calidad, se dejan caer �� botellas de vidrio y se define la variable aleatoria X como el número de botellas que se quiebran. Si la probabilidad de que una botella se quiebre es �/��, entonces al aproximar esta variable aleatoria mediante una distribución normal X ∼ (µ,σ�), el valor de σ es:

��. En un curso de �� estudiantes, de los cuales �� son mujeres y �� son varones, se escoge un integrante al azar. Se define la variable aleatoria X ∼ Bernoulli (p), que toma el valor � cuando se escoge una mujer y � cuando se escoge un varón. ¿Cuál es el parámetro p para esta variable aleatoria?

A) �� B) �� C) 3 10 D) �� E) ��

A)�� B) � C) �,� D) �,� E) Otro valor

��. Una variable aleatoria X tiene por recorrido al conjunto {�, �, �}. Si F(x) es su función de distribución distribuc ión y F(�) = �,�, entonces P(X = �) =

��. Una variable aleatoria tiene una distribución binomial de parámetros n y p, ¿Cuál de los siguientes no puede ser el valor de (n,p)?

A) �,� B) �,� C) � D) � E) Otro valor

1 A) (9, (9, ) 2 4 B) (3, (3, ) 9 1 C) (2, (2, ) 5 9 D) (9, (9, ) 7 E)Ningu E)Ninguna na de las ante anterio riore ress



��. En un estudio social se entrevistará a ��.�� personas y se preguntará si comen queso en el desayuno. Se estima que el ��% de las personas come queso al desayunar. Si se modela el número de personas encuestadas que responde que come queso durante el desayuno como una variable aleatoria de distribución binomial y se aproxima mediante una distribución normal, la probabilidad de que al menos �.�� personas respondan que no comen queso es: A) �,� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) Otro valor

��. Si X es una variable aleatoria de distribución binomial con parámetros � y �,� e Y es una variable aleatoria de distribución binomial independiente de X con parámetros � y �,�, entonces 2 A) X + Y  Bin(8, ) 5 2 B) X + Y  Bin(4, ) 5 4 C) X + Y  Bin(8, ) 5 4 D) X + Y  Bin(4, ) 5 E)Ningu E)Ninguna na de las las ante anterio riores res

��. Se ordenan al azar las letras de la palabra “PREUGAUSS” “PREUGAU SS” y se define la variable aleatoria X como el número de letras que quedan en el lugar correcto. Interpretando el concepto de variable aleatoria como función ¿Cuál es el valor de X (AUEUPRGSS)? A) � B) � C) � D) � E) �

��. Al lanzar un dado común y definir la variable aleatoria X como el resultado obtenido, la función f unción de distribución es: A) F(x) (x) = B) F(x) =

1 6 x

6 C) F(x F(x) = x D) F(x) (x) = 3,5 E)Otro valor valor



��. Con respecto a una variable aleatoria continua es siempre cierto que: A) Puede tener un recorrido finito B) Todos los elementos del recorrido tienen distinta probabilidad C) Su recorrido es el conjunto de los números reales D) Su dominio es infinito E) Ninguna de las anteriores

��. Se puede conocer el valor esperado de una variable aleatoria discreta X si se sabe: (�) La función de probabili probabilidad dad toma el mismo valor en todos los elementos del recorrido (�) El recorrid recorrido o de la variable aleatoria es {�,�,�,�,�,�,��} A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requier requiere e información adicional

��. Se lanzan �� monedas y se define la variable aleatoria X como la razón entre la cantidad de caras y el sucesor de la cantidad de sellos. ¿Cuál de los siguientes números números no pertenece al recorrido de X?

1 2 4 B) 7 8 C) 3 D) 10

��. Un ropero tiene n pares de zapatos. Se extraen al azar, azar, sin reposición �r zapatos y se define la variable aleatoria X como el número de zapatos que fueron extraídos sin extraer a su pareja. Se puede determinar el recorrido de X si

A)

E) Todas las alternativas anteriores pertenecen al recorrido de X

(�) r = � (�) n = � A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional



��. Se tiene una cierta cantidad de fichas rojas y blancas repartidas en dos urnas. Se extrae una ficha de cada urna y se define la variable aleatoria X como “la cantidad de fichas rojas extraídas”. Si en cada urna hay fichas de un único color, entonces el recorrido de la variable aleatoria es:

��. Se tiene una urna con �� bolitas iguales en cuyo exterior se escribieron números naturales. Si definimos la variable aleatoria X como “la cantidad de números pares que se obtienen al sacar � bolitas sin reposición”. Si P(X ≤ �)=� podemos asegurar que en la urna:

A) {�} B) {�,�} C) {��} D) {�,�, �, �, �, �, �, �, �, �,��} E) [�,��]

I . Hay �� números impares y � números pares II. Hay como máximo � números pares III. La probabilidad de obtener solo números impares al realizar el experimento es � A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I, II y III

��. Se tiene un saco con fichas de diferentes colores. Se extraen � fichas al azar y se define la variable aleatoria X como “la cantidad de fichas azules extraídas”. Si P(X >�) = � entonces P(X = �) = A) � B) � 1 C) 2 1 D) 3 E) No se puede determinar

��. Para el experimento de extraer una bolita de una urna que contiene �� bolitas iguales coloreadas unas de blanco y otras de azul se define la variable aleatoria X como “la cantidad de bolitas blancas extraídas”. Si sabemos que P(X = � )= 4 , entonces 9 P(X ≤ �) = 5 9 B) 1 1 C) 2 8 D) 18 A)

E)No se puede determinar



��. Se lanza una moneda n veces y se define la variable aleatoria S como "la cantidad de sellos que aparecen”. Si P(S = �) = 1 entonces n = 8 A) � B) � C) �� D) � E) �

��. De una urna con bolitas rojas, azules y blancas se extraen dos bolitas y se define la variable aleatoria X como “la cantidad de bolitas blancas extraídas”. Se pueden determinar los posibles valores de X si sabemos que: (�) La probabilidad de que las dos bolitas extraídas sean azules es de un ��%. (�) La probabilidad de no obtener ninguna bolita azul es de un ��%. A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

��. Dado un experimento aleatorio, se define una variable aleatoria X tal que los valores posibles son {�, �, �, ..., ��, ��}. Al respecto, es siempre verdadero que I. P(X = �) = P(X = �) = P(X = �) =...= P(X = ��) 1 II. P(X ≤ ��) = 2 III. P(X ≤ ��) = � A) Solo I B) Solo III C) I y II D) I y III E) I, II y III

��. Un saco contiene �� fichas con letras del abecedario. Se procede a sacar una ficha de la bolsa, se registra la letra y se devuelve a la bolsa, luego se extrae una segunda ficha y se registra la letra. Se define la variable aleatoria V como “la cantidad de vocales extraídas”. Podemos saber el recorrido de la variable aleatoria V si sabemos que (�) La probabilidad de obtener al menos una consonante es 9 25 (�) La probabilidad de obtener dos consonantes es de 2 50 A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional




NOMENCLATURA ∀ ∃ {a, b, c . . .}

∈ ∉ ⊂ ∪ ∩ Ac

φ 2 3 (a, b) (a, b, c) A × B N N0 Z Q I  C

= ≡ ∼ ≅ > <

Para todo Existe Conjunto formado por los elementos a, b, c . . . Pertenece No pertenece Subconjunto Unión Intersección Complemento de A Conjunto vacío Plano cartesiano Espacio Euclidiano Par ordenado Trío ordenado Producto cartesiano entre A y B Números naturales Números cardinales Números enteros Números racionales Números irracionales Números reales Números complejos Igualdad Equivalencia Semejantes Congruentes Mayor que Menor que



≥ ≤ z f(x) f −1(x)

±

±

ln Σ [a, b] (a, b) o ]a, b[ (a, b] o ]a, b] C(n, k) V (n, k) f i x

Me Mo σ σ2 PQ

// ⊥ AB

sin(α) cos(α) tan(α) m n

Mayor o igual que Menor o igual que Conjugado de z Función con variable independiente x Función inversa de f(x) Suma o resta Resta o suma Logaritmo natural o logaritmo en base e Sumatoria Intervalo cerrado desde a hasta b Intervalo abierto desde a hasta b Intervalo semi-abierto desde a hasta b Combinación de n sobre k Variación de n sobre k Frecuencia Media aritmética o promedio Mediana Moda Desviación estándar Varianza Segmento desde el punto P hasta Q Paralelos Perpendicular Arco desde A hasta B Seno de α Coseno de α Tangente de α Pendiente de la recta y = mx + n Coeficiente de posición de la recta y = mx + n


Psu Mate 2016 Datos y azar

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