Puntos De Inflexión
Puntos de inflexión Toda función que es una curva en su trazado define dos regiones: la región cóncava (o simplemente concavidad) y la región no cóncava. Observe la siguiente situación donde se describe la concavidad,
Sea f ( x ) una función, no resulta complicado verificar que en la región donde f ''( x ) > 0 implica que la función primera derivada f ' ( x ) es una función creciente y esto significa que la curva en dicha región es cóncava hacia abajo (como el segundo gráfico). Y si se cumple que f ''( x ) < 0, significa que la función primera derivada es decreciente y por lo tanto es cóncava hacia arriba en dicha región (como en el gráfico de la izquierda anterior)
De esta forma, si tenemos la siguiente gráfica
En el punto marcado por el círculo rojo hay un cambio en la concavidad, la correspondiente coordenada en el eje X es es llamado punto de inflexión, en el ejemplo corresponde su coordenada al valor de x = -1. Pues bien se dice que x* es un punto de inflexión de la función f( x ) si: f '' ( x* ) = 0, y además f '' (x* - h) y f '' (x* + h) tienen distinto signo. Veamos un ejemplo. Existe una función muy importante que usted estudiará en Probabilidades, y ésta es
Y cuya gráfica luce de la siguiente forma
Sin ninguna dificultad se demuestra que la segunda derivada de esta función es
Y en consecuencia, las raíces reales de esta función son x = -1 y x = 1. Se puede verificar que, a modo de ejemplo, n``( -1.111) y n``(-0.999) tienen distinto signo, al igual que n``( 1.111) y n``(0.999), lo que nos indica que los puntos x = -1 y x = 1 son los puntos de inflexión de la función n( x ).
Máximos y Mínimos
MAXIMOS Y MINIMOS El caso en que el máximo o el mínimo ocurra en el interior el intervalo es tan importante, que se puede enunciar como un teorema. Los valores máximo y mínimo de una función se suelen llamar valores extremos. Ahora bien: ¿Donde se presentan los valores extremos? Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio un intervalo I. Pero ese intervalo puede ser de cualquiera de los siguientes 9 tipos: 1. (a,b) = {x/aa} ( 9. (-∞,∞) = R Los valores extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados, a menudo se presentan en los puntos frontera.
Teorema: Sea f una función continua en un intervalo y teniendo su máximo o su mínimo, en un punto cualquiera (por ejemplo Xo) interior al intervalo, si f’(Xo) existe, entonces f’(Xo)=0 Los valores extremos se presentan también en los puntos estacionarios. Llamaremos así a un punto donde la gráfica de f se nivela, dado que la tangente es horizontal, es decir donde f’(c) = 0. También los extremos se presentan en los puntos singulares; es un punto donde la función tiene tangente vertical, o tal vez da un salto, o tiene un vértice agudo. (Picos) es decir el punto c donde no es diferenciable la función (f’(c) no existe) observe la gráfica siguiente. Estas tres clases de puntos (fronteras, estacionarias y singulares) son la clave de la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de una función f que sea frontera, estacionario o singular se llama punto crítico de f. Como ya sabemos identificar los puntos críticos: entonces vamos a establecer un procedimiento muy simple para encontrar. Los valores máximos y mínimos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado I. Paso 1. Encuentre los puntos críticos de f sobre el intervalo Paso 2. Evalúe f para cada uno de estos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor será el mínimo. Ya hemos visto que una función definida en un intervalo puede alcanzar su máximo y mínimo valor en él, a estos valores se les llama máximo y mínimo absoluto. Pero interior a este intervalo también pueden existir otros intervalos que contienen valores que alcanzan máximo y mínimo en ellos, estos valores se les llama máximo y mínimo relativos, veamos las definiciones:
Definición de máximo relativo Una función f tiene un máximo relativo en Xo si existe un intervalo que contiene a Xo como punto interior, tal que f (Xo) es el máximo de f en ese intervalo. Definición de mínimo relativo Una función f tiene un mínimo relativo en Xo si existe un intervalo que contiene a Xo como punto interior, tal que f(x0) es el mínimo de f en ese intervalo. Ejemplos Encuentre los puntos críticos de la función f(x) = 3x2+6x+1 en el intervalo -2 ≤ x ≤ 0 Solución: Como la función tiene dominio en el intervalo [-2,0] incluye los extremos entonces -2 y 0 son puntos críticos (Frontera) -. Calculamos ahora los puntos estacionarios hallamos la derivada: f’(x) = 6x+6 Igualamos la derivada a cero f’(x) = 0 . ·. 6x + 6 = 6 Resolviendo 6x = -6 x = -1 No hay puntos singulares por lo tanto los puntos críticos son -2, 0 y 1. Encuentre el máximo y el mínimo valor que puede tomar f(x) = 1/3x32x2+3x, en el intervalo cerrado [-1,3]. Solución Como la función es continua en el intervalo [-1,3] y, por tanto, la existencia del máximo y del mínimo absoluto está garantizada.
Paso 1. Encontrar los puntos críticos de f: -1 y 3 son puntos críticos por medio de la derivada de f. f’(x) = 3/3 x2 - 4x + 3 = x2 -4x+3 → Factorizando Ahora f’(x) = 0 ⇒ (x-1) (x-3) = 0 ⇒ x=1, x=3 1 y 3 son también puntos críticos (pts estacionarios) No existen puntos singulares Luego los puntos críticos son: -1, 1 y 3 Paso 2: Evaluando la función en los puntos críticos obtenidos f(-1) = 1/3 (-1)3 - 2(-1)2+3(-1) = -16/3 f(1) = 1/3 (1)3 - 2(1)2+3(1) = 4/3 f(3) = 1/3 (3)3 - 2(3)2+3(3) = 0 Luego: el máximo absoluto está en f(1) = 4/3 porque es el mayor de los valores obtenidos. Y el mínimo absoluto está en f(-1) = -16/3 porque es el menor de los valores obtenidos.
Ejercicios resueltos: 1. Calcular los valores de x, que hacen máximos o mínimos la función y = x 2 − 5x + 6 y' = 2 x − 5 y' = 0 2x − 5 = 0 5 x= 2 y' ' = 2 ∴ Existe un mínimo relativo
2
2. y =
x3 x − − 2x + 2 3 2
3x 2 2 x − −2 3 2 y' = x 2 − x − 2
y' =
y' = 0 x2 − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0 x − 2 = 0 => x = 2 x + 1 = 0 => x = −1 y' ' = 2 x − 1
2(2 ) − 1 = 4 − 1 => 3 > 0
2x −1 => 2(− 1) − 1 = −2 − 1 => −3 < 0
3 > 0 Tiene un mínimo -3 < 0 Tiene un máximo 3. y = −2 x 2 − 3 x + 1 y ' = −4 x − 3 y' = 0
− 4x − 3 = 0 3 4 y ' ' = −4 ∴ Existe un máximo relativo x=−
