Problema 1. La potencia de radiación de un cuerpo negro es de 34 kW . Hallar la temperatura de este cuerpo si el área de su superficie es de 2 0,6m . Datos: 3 R t = 34∙10 W t 2 A = 0,6 m -2 σ = σ = 5,67∙10-8 W ·m ·K -4
Solución: Si Rt es la potencia potencia radiada por toda la la superficie superficie del cuerpo, cuerpo, entonces la potencia radiada rad iada por la uni unidad dad de superficie superficie (radiancia) (radiancia) es igu igual al a
Según la ley de Stefan-Bolttzman: 4 R = σT . Por consiguiente,
Problema 2. Una lámina de color negro se encuentra colocada de manera tal que los haces de luz incidente caen sobre ella perpendicularmente. 2 ¿Hasta que temperatura se calienta la lámina s i en cada minuto caen 2 calorías por 1cm de su superficie? Datos: U = 2 cal = 2∙4,1869 J = 8,3738 J 2 -4 2 A = 1cm = 1∙10 m = 60s t = 1mi n -8 -2 5,67·10 · m ·K -4 σ = W
Solución: Consideramos que la lámina se comporta como un cuerpo absolutamente negro y que se encuentra en el equilibrio térmico. Esto significa que la energía que incide sobre la lámina es igual a la energía que ella emite. La energía recibida por la lámina por unidad de superficie y de tiempo (la radiancia R) es igual a
4
Sustituyendo R en la fórmula de Stefan-Boltzman R = σT por su valor numérico obtenido, se calcula la temperatura.
La temperatura de la lámina en grados Celsius es de 123° (t°C = T -273 = 396 - 273 = =123°C).
Problema 3. Calcule la temperatura de la superficie del sol, si se sabe que en el espectro de radiación del sol, lo corresponde -5 una mayor emisión de energía a la longitud de onda de 4,75·10 cm . Considere que el sol emite como un cuerpo negro. Datos: -5 -7 λ = 4,75∙10 cm = 4,75∙10 m -5 b = 289∙10 m ∙K
Solución: Utilizando la ley de desplazamiento de Wien, se calcula la temperatura T .
Problema 4. 2 Generalmente se considera que el valor medio de la energía que emite 1 cm de la superficie terrestre en un minuto es de 0,13 calorías. Considerando la Tierra como un cuerpo negro, determine la temperatura media de su superficie y la longitud de onda a la cual corres ponde el máximo de la energía que s e radia. (1 cal = 4,18 J ). Datos: 2 -4 2 A = 1 cm = 1·10 m U = 0,13 cal = 0,13·4,18 J = 0,5434 J t = 1 mi n = 60 s -2 -4 σ = 5,67·10-8 W ·m ·K . -5 b = 289∙10 m ∙K
Solución: La radiancia del cuerpo negro, es decir, la energía que emite en 1 s la unidad de superficie del cuerpo negro, se determina por la fórmula de Stefan-Boltzman R = σT4. De otro lado,
por lo tanto,
La longitud de onda a la cual corresponde la radiancia máxima se calcula,. utilizando la ley de Wien
donde b es la constante de Wien.
Así pues, el máximo del poder emisivo de la superficie terrestre corresponde a la parte de onda larga (infrarroja) del espectro. Hay que aclarar que la Tierra tendría la temperatura media tan baja (200K = -73°C), si faltara la atmósfera. La atmósfera absorbe la radiación de la Tierra y se calienta por ésta, pero, a su vez, la atmósfera calentada la emite. Una parte de esta radiación va a la Tierra y se absorbe por ella, originando el calentamiento de la superficie terrestre. Por eso la temperatura media real de la Tierra resulta mucho más alta que la calculada anteriormente. La atmósfera preserva la superficie terrestre de demasiado enfriamie nto, crea un efecto invernadero.
Problema 5. Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 10 6 K , b) 103K . Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de energía emitida. Datos: 6 T 1 = 1∙10 K 3 T 2 = 1∙10 K -5 b = 289∙10 m ∙K -2 -4 σ = 5,67∙10-8 W ∙m ∙K
Solución: Aplicando la fórmula de la ley de desplazamiento de Wien
se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor máximo para cada temperatura. A la temperatura de 1∙106 K corresponde la longitud de onda
y a la temperatura de
1∙103 K corresponde
La mayor cantidad de energía emitida corresponde la longitud de onda de
2,89∙10-9 m.
Problema 6. La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas “enanas blancas” es de 1∙10 4K . ¿En qué parte del espectro se encuentra el máximo de su radiación? Datos: 4 T = 1∙10 K
Solución: Utilizando la fórmula de la ley de desplazamiento de Wien, se calcula la longitud de onda λmá x que corresponde a la temperatura de 10 4 K .
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro.
Las “enanas blancas” son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la 1% del radio del Sol. Las estrellas cuya temperatura es de
7∙104 K se llaman
estrellas calientes.
masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al
Y si la temperatura es de 5∙10 3 K las estrellas
se laman frías.
Problema 7. 2 Sobre 1 cm de la superficie terrestre caen 1,92 calorías de energía térmica por minuto. Encuentre cuál es la temperatura de la superficie del sol, bajo la suposición que éste radia como un cuerpo negro. La distancia entre el sol y la tierra es 1,5·10 11 m y su radio es de 6,96∙108 m . Datos: 2 2 A = 1 cm = 1∙10-4 m t = 1 mi n = 60 s U = 1,92 cal = 8,064 J s = 1,5∙1011 m 8 R sol = 6,96∙10 m. -8 -2 -4 ∙m ∙K σ = 5,67∙10 W
Solución: La energía irradiada por toda la superficie del sol 2 U S = (4π R sol ). RS , (1) 2 donde (4πR sol ) es el área de la superficie del sol ; RS , la radiancia del sol. La energía que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo (2) Por otro lado, según los datos del problema (3) Sustituyendo U S en la fórmula (2) por la expresión (1), obtenemos
(4) Según la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energía emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a: 4 R S = σT . Poniendo la última expresión en la igualdad (4) y sustituyendo U T por (3), se obtiene
Problema 8. Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K . Como resultado de enfriamiento de este cuerpo, la longitud de onda corres pondiente a la radiancia es pectral máxima sufrió una variación de 9 nm . ¿Hasta qué temperatura se enfrió el cuerpo? Datos: T 1 = 2900 K Δ λ = 9 nm = 9∙10-9 m b = 289∙10 5 K ∙m
Solución: Según la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const . En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye ( T 2 < T 1), por lo que la longitud de onda λmá x aumenta (ver la figura). Pues, entonces Como λmá xT = const , entonces se puede escribir
(1) Según la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ 1máx
en la expresión (1), se obtiene
Poniendo los valores numéricos del problema, se calcula la temperatura T 2.
Problema 9. Un filamento metálico cuyo diámetro es 0,2 mm se calienta con corriente eléctrica hasta una temperatura de 3000 K . Calcule que tiempo demorará en enfriarse, después de apagarse (desconectarse), hasta una temperatura de 800 K . Considere que el filamento emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energía del medio que le rodea. Desprecie cualquier efecto que produzca la 3 perdida de su energía. La densidad del filamento es 19 g /cm y el calor específico es 0,037 cal /(g ·K ). (1 cal = 4,1868J ). Datos: d = 0,2mm = 2∙10-4 m 3 T 1 = 3∙10 K 2 T 2 =8∙10 K 3 3 /cm = 19∙103 kg /m ρ = 19 g ∙K ) = 154,9 J /(kg ∙K ) c = 0,037 cal /(g /(m 2 ∙ K 4 ) σ = 5,67∙10-8 W
Solución: Si A es el área de la superficie del filamento y R es la energía emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia), entonces la energía U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA. El área de la superficie del filamento A = (πd)l , donde l es la longitud del filamento. Según la ley de Stefan-Boltzman R = σT 4 . Por lo tanto, U = σT 4 (πd)l . (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energía Udt = - mcdT , donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento. Sustituyendo U por la expresión (1), se obtiene σT 4(πd )ldt = - mcdT ,
Integrando la última expresión, tenemos
(2) La masa del filamento m = Vρ, donde V es su volumen.
Sustituyendo m en la expresión (2), obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numéricos del problema, se obtiene
El filamento se enfríe rápidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T 4 .
Problema 10. Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metálico cuyo diámetro es 0,1 mm que se encuentra en una bombilla al vacío, para que su temperatura s ea de 2500 K . Considere que el filamento e mite como un cuerpo negro. De sprecie las pérdidas de energía por conducción. La resistividad del filamento e s de 2,5∙10-4 Ω∙cm .
Datos: -4 d = 0,1 mm = 1∙10 m T = 2500 K ρ = 2,5∙10-4 Ω·cm = 2,5∙10-6 Ω·m σ = 5,67∙10-8 W ∙ m-2 ∙ K -4 Solución: Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la fórmula de Stefan-Boltzman, se calcula la potencia emitida por el filamento por unidad de superficie (la radiancia) 4 R = σT . La potencia total emitida por toda la superficie del filamento 4 W tot = RA1 = σT A1 , donde A1 = (2πr )l =(πd )l es el área de la superficie del filamento, considerándolo como un cilindro cuyo diámetro es d y largo es l . 4 W tot = σT (πd )l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eléctrica I : 2 W = rI , donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd 2 /4 es el área transversal del filamento.
En el filamento la energía eléctrica se transforma en la energía de radiación térmica ( W = W tot ), o sea,
Rectificando las unidades y poniendo los valores numéricos del problema, se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11. ¿Cuál es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 1,0 m de longitud que tiene un diámetro de 0,15 cm a una temperatura de 727° C si su emisividad es de 0,92? Datos: l = 1 m d = 0,15cm = 0,19·10-2 m ; T = 727 + 273 = 1000 K t = 727°C = 0,92 e
Solución: La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es Rt = RA, donde R es la potencia emitida por unidad de superficie; A, el área de la superficie del alambre.
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la fórmula R = eσT 4. 4 Por consiguiente, Rt = eσT πdl . Rectificando las unidades y poniendo los valores numéricos, se obtiene [ Rt ] = W ∙m-2 ∙K -4 ∙ K 4 ∙m∙m = W Rt =
0,92∙ 5,67∙10 -8 ∙(103)4∙3,14∙0,15∙10-2 ∙1 = 245,69(W )
Problema 12. A partir de la fórmula de Planck para la radiancia es pectral encontrar: a) la ley de Stefan-Boltzman, b) la ley de desplazamiento de Wien.
Solución: a) Planck descubrió la forma de la función R λ = f ( λ, T ):
(1) donde C 1 y C 2 son constantes. C 1 = 2πc2 h y C 2 = hc/k ; -23 8 -34 k = 1,38066·10 J / K es la constante de Boltzman; c = 2,9979·10 m / s, la velocidad de la luz y h = 6,626176·10 J . s, la constante de Planck. Esta fórmula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente, como casos particulares, la ley termodinámica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien. La radiancia R (es decir, la cantidad total de energía radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiación emitida en todos los intervalos de longitud de onda:
(2) donde R λ es la radiancia espectral. Si la distribución de la energía entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias, en lugar de R λ hay que tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias. Entonces, (3) R λ dλ = Rνdν y la expresión (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = c/ν, donde c es la velocidad de la luz en el vacío,
│dλ│= cν -2dν, y poniendo
este valor en (3), obtenemos:
Sustituyendo en la fórmula (1) λ por c/ν ( λ = c/ν), la fórmula de Planck se transforma en la siguiente expresión:
y, por consiguiente,
(5) Poniendo la expresión (5) en (4), se obtiene la energía total emitida por el cuerpo
Utilicemos el método de integración por sustitución. Podemos introducir una nueva variable
Entonces,
donde
Por lo tanto,
Sustituyendo las constantes C 1 y C2 por sus respectivas expresiones , se obtiene
donde b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien, utilizando la fórmula de Planck, es necesario encontrar analíticamente la expresión de la posición del máximo en la curva que responda a la distribución de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda. Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmá x para el cual la función R λ = f( λ,T ) para la temperatura constante tiene su valor máximo, por lo que debe cumplirse la condición
Sacando factor común, se obtiene
De aquí tenemos
Realizando el cambio de variable (1) tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador, comparando con e x, entonces ya tenemos una primera solución aproximada para x : Tomando este valor como punto de partida, podemos encontrar el valor real de x . Por ejemplo, utilizando el método de aproximaciones sucesivas, obtendremos x 1 = 4,965. Sustituyendo x en la expresión (1) por el valor numérico encontrado de x 1, se obtiene
donde C 2 /5 = b, que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien. Calculando b, se obtiene su valor numérico
Es evidente, que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numérico de x , ya que λT = C 2 / x = const.
