Cálculo de Raízes de Funções
3-1
Cálculo de Raízes de Funções Introdução O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama de problemas de engenharia. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x) requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0. Por exemplo, considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2 o grau com coeficientes a, b, e c e que possui duas raízes. Essas raízes podem ser determinadas pela conhecida fórmula de Baskhara: b2
−b +
x1
=
x2
= −b −
− 4ac
2a
e b
2
− 4ac
2a
Para uma equação particular f(x) = x2 - 5x + 6 , temos que a = 1, b = -5 e c = 6, resultando na solução: x1
x2
= =
− (−5) + (−5) 2 − (4).(1).(6) (2).(1)
+ = 5 1=3 2
− (−5) − (−5) 2 − (4).(1).(6) (2).(1)
=
5 −1 =2 2
Substituindo-se o valor das raízes na expressão de f(x) = x2 - 5x + 6 , veremos que tanto x1, quanto x2 fazem com que esta função se anule, ou seja, que f(x1) = 0 e f(x2) = 0. As equações polinomiais também conduzem a soluções cujo domínio seja o dos números complexos. Por exemplo, a equação de 2 o grau f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta as seguintes raízes: x1 = x2 =
− ( −2) + ( −2) 2 − (4).(1).(2) ( 2).(1)
− ( −2) − ( −2) 2 − (4).(1).(2) (2).(1)
=4
+ −4
=4
− −4
2 2
+ − = 4 2 1 = 2+i 2
− − = 4 2 1 = 2−i 2
sendo que i = − 1 . Na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que possui uma solução analítica como a função de 2 o grau. As funções transcendentes, por exemplo, não possuem fórmula analítica para o cálculo das raízes. Nesses casos, pode-se calcular as raízes através de dois métodos: Cálculo Numérico e Computacional
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3-2
• Método gráfico • Métodos numéricos Nesta nota de aula, trataremos apenas dos métodos para o cálculo de raízes reais, embora os métodos numéricos possam calcular raízes complexas também.
Método Gráfico As funções transcendentes podem ter raízes reais e complexas. Entretanto, diferentemente das funções polinomiais, não se pode determinar nem se a função possui raiz real e nem a sua quantidade. O método gráfico é o procedimento inicial adotado para estimar as raízes e como a determinação da raiz com precisão não pode ser feita com este método, deve-se utilizar um método numérico para "refinar" a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da raiz. Vamos mostrar a avaliação da raiz de uma função pelo método gráfico através do exemplo de uma função transcendente do tipo: f(x) = ex - 3x, cujo gráfico está mostrado na Fig. 3.1. 5
4
3 x 3 x
e = ) x ( f
2
1
0
-1 -1
0
x R1
1
xR2
2
3
x
Fig. 3.1 - Gráfico da função f(x) = ex - 3x. No gráfico observa-se duas raízes indicadas como x R1 e xR2 e localizadas, respectivamente, nos intervalos [0,5;1] e [1,5;2]. Uma estimativa grosseira das raízes seria x R1 ≅ 0,6 e xR2 ≅ 1,5. O valor com maior precisão será calculado pelos métodos numéricos.
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3-3
Método da Bisseção O método da bisseção é um método conceitualmente simples e baseia-se na idéia de "cercar" a raiz xR por dois valores: um à esquerda da raiz ( xE ) e outro à direita ( xD), formando um intervalo que vai ser continuamente reduzido até que a largura final do intervalo seja tão pequena quanto o erro absoluto da raiz. A redução contínua da largura do intervalo é feita dividindo-se o intervalo em dois e definindo um valor médio xM .pela fórmula: xM
= ( xE
+ xD )
(3.1)
2
O valor médio xM estabelece dois sub-intervalos: um, entre xE e xM , outro entre xM e xD. A raiz xR estará em um dos dois sub-intervalos. Para determinar em qual dos dois sub-intervalos está localizada a raiz, calculamos f(xE ), f(xD) e f(xM ) e realizamos a seguinte comparação: Se sinal[ f(xM )] = sinal[f(xE )], então xR está no intervalo [ xE ; xM ] senão xR está no intervalo [ xM ; xD] Este procedimento está ilustrado para os dois casos nos gráficos da Fig. 3.2 e 3.3. Na Fig. 3.2 estão mostrados os valores [ xE , f(xE )] e [ xD, f(xD)], respectivamente à esquerda e à direita da raiz xR. Utilizando a equação (3.1) obtém-se o valor xM , que para este caso está localizado à esquerda da raiz. A verificação algébrica deste fato é feita comparando-se o sinal de f(xM ), que é positivo assim como é positivo o sinal de f(xE ). O gráfico da Fig. 3.3 ilustra o caso em que o valor calculado de xM está localizado à direita da raiz xR, porque, algebricamente, o sinal de f(xM ) é igual ao sinal de f(xD). y = f(x)
f(x E)
f(x M)
0 f(x D)
xE
xM
xR
xD
x
Fig. 3.2 - Método da bisseção para o caso do valor xM estar localizado à esquerda da raiz xR
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3-4
y = f(x)
f(x E)
0 f(x M)
xE
xR
xM
xD
x
f(x D)
Fig. 3.3 - Método da bisseção para o caso do valor xM estar localizado à direita da raiz xR Uma vez determinado em qual dos dois sub-intervalos está localizada a raiz, atribui-se o valor de xM ao valor de xE ou xD, conforme o resultado do teste algébrico descrito anteriormente e re-escrito na forma: Se sinal[ f(xM )] = sinal[f(xE )], então xE ← xM
senão
xD ← xM
Em linguagem C, o código para este teste é descrito por: if (signbit(f(xm) == signbit(f(xe))) { xe = xm; } else { xd = xm }
Uma vez estabelecido o novo intervalo [ xE ; xD], repete-se o cálculo do valor de xM e aplica-se novamente o teste para verificação do sub-intervalo em que está localizado a raiz. Atribui-se o valor de xM a xE ou xD , conforme o resultado do teste e redefine-se o novo intervalo, conforme ilustra a Fig. 3.4. Os cálculos e testes se repetem até uma determinada variável alcançar um critério de convergência. A este procedimento de cálculo automático denomina-se ITERAÇÃO (não confundir com interação, que tem outro significado) ou cálculo iterativo, que se baseia na repetição de cálculos à partir de valores iniciais arbitrariamente estabelecidos. Do dicionário Michaelis: i.te.ra.ção sf (lat iteratione ) Ato de iterar ou repetir. in.te.ra.ção sf ( inter+ação ) 1 > Ação recíproca de dois ou mais corpos uns nos outros. 2 Atualização da influência recíproca de organismos inter-relacionados. 3 Ação recíproca entre o usuário e um equipamento (computador, telev isor etc.).
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3-5
y = f(x)
0
xE
(1)
xE
(3)
xR
xD
(2)
xD
(1)
x
Fig. 3.4 - Determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR pelo método da bisseção. Os expoentes numéricos indicam a seqüência de iteração. O cálculo iterativo continua até que o seguinte critério de convergência seja satisfeito: xE − xD
< ε
(3.2)
no qual ε é o erro absoluto especificado. Quando o critério for satisfeito, a raiz xR será dada por: xR
= xM ± ε
(3.3)
Observar que o erro ε estabelece o número de casas decimais de precisão. Assim, se quisermos calcular a raiz de uma função com precisão de sete casas decimais, estabelece-se que ε = 10-7.
Exemplo Vamos ilustrar a aplicação do método da bisseção no cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x localizada no intervalo [0; 1], com erro de 10 -5. Solução A função f(x) = ex - 3x, como visto anteriormente, possui duas raízes, sendo que será calculada a raiz localizada no intervalo [0; 1]. Assim, esses valores serão os valores iniciais de -5 xE e xD. Como o erro é 10 , vamos apresentar os resultados do cálculo com cinco casas decimais na tabela 3.1. A 1 a coluna contém o contador do número de iterações, denotado pela letra i. O conteúdo das outras colunas estão identificadas pelo nome das variáveis na 1 a linha.
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3-6
Tabela 3.1 - Resultado do cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x no intervalo [0;1] pelo método da bisseção i
xE
xD
xM
f(xE)
f(xD)
f(xM)
erro
0
0,00000
1,00000
0,50000
1,00000
-0,28172
0,14872
1,00000
1 2
0,50000 0,50000
1,00000 0,75000
0,75000 0,62500
0,14872 0,14872
-0,28172 -0,13300
-0,13300 -0,00675
0,50000 0,25000
3 4
0,50000 0,56250
0,62500 0,62500
0,56250 0,59375
0,14872 0,06755
-0,00675 -0,00675
0,06755 0,02952
0,12500 0,06250
5
0,59375
0,62500
0,60938
0,02952
-0,00675
0,01116
0,03125
6 7 8 9
0,60938 0,61719 0,61719 0,61719
0,62500 0,62500 0,62109 0,61914
0,61719 0,62109 0,61914 0,61816
0,01116 0,00214 0,00214 0,00214
-0,00675 -0,00675 -0,00232 -0,00009
0,00214 -0,00232 -0,00009 0,00103
0,01563 0,00781 0,00391 0,00195
10
0,61816
0,61914
0,61865
0,00103
-0,00009
0,00047
0,00098
11 12 13
0,61865 0,61890 0,61902
0,61914 0,61914 0,61914
0,61890 0,61902 0,61908
0,00047 0,00019 0,00005
-0,00009 0,00019 -0,00009 0,00005 -0,00009 -0,00002
0,00049 0,00024 0,00012
14
0,61902
0,61908
0,61905
0,00005
-0,00002
0,00001
0,00006
15 16 17
0,61905 0,61905 0,61906
0,61908 0,61906 0,61906
0,61906 0,61906 0,61906
0,00001 0,00001 0,00001
-0,00002 0,00000 0,00000
0,00000 0,00001 0,00000
0,00003 0,00002 0,00001
18
0,61906
0,61906
0,61906
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
A raiz calculada após 18 iterações com ε < 10-5 é igual a 0,61906. Este resultado é exato com cinco casas decimais. Observar que quando o critério de convergência é atingido, os valores de xE , xD e xM são iguais com cinco casas decimais.
Método Iterativo de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson é um método numérico iterativo para o cálculo de raiz de uma função f(x). A fórmula para o cálculo iterativo pode ser obtida através da aproximação de uma função f(x1) em torno de um ponto x0 por uma série de Taylor de 1 o grau: f ( x1 ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 − x0 )
(3.4)
Se considerarmos que o valor de x = x1, está próximo à raiz, então podemos considerar que f(x1) ≅ 0, de modo que podemos escrever a equação na forma: x1
≈ x0 − f ( x0 ) f ′( x0 )
(3.5)
À partir de x1 podemos calcular um novo valor x 2 mais próximo ainda da raiz através da mesma aproximação anterior: f ( x2 ) ≈ f ( x1 ) + f ′( x1 )( x2
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− x1 )
(3.6)
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3-7
Neste caso, vamos considerar que f(x2) ≅ 0 e que f(x1) é pequeno porém diferente de zero. Assim, podemos re-escrever a equação como: x2
≈ x1 − f ( x1 ) f ′( x1 )
(3.7)
Se prosseguirmos, podemos escrever uma equação geral para o cálculo de x na iteração i+1 à partir do valor de x, f(x) e f’(x) em x = x0: xi +1
= xi −
f ( xi )
(3.8)
f ′( xi )
Este cálculo, denominado de cálculo iterativo, é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito: xi +1 − xi
≤ ε
(3.9)
Exemplo Vamos calcular novamente a raiz da função f(x) = ex - 3x localizada próxima ao valor x = 0 pelo método iterativo de Newton-Raphson. A Tabela 3.2 apresenta os valores calculados. Tabela 3.2 - Resultado do cálculo da raiz localizada próxima a x = 0 da função f(x) = e x - 3x pelo método iterativo de Newton-Raphson i
xi
f(xi)
f'(xi)
xi+1
erro
0
0,00000
1,00000 -2,00000
0,50000
0,50000
1
0,50000
0,14872 -1,35128
0,61006
0,11006
2
0,61006
0,01036 -1,15946
0,61900
0,00894
3
0,61900
0,00007 -1,14294
0,61906
0,00006
4
0,61906
0,00000 -1,14282
0,61906
0,00000
A raiz calculada após 4 iterações é igual a 0,61906 com erro menor do que 10 -5. Comparando-se este resultado com o obtido pelo método da bisseção, observa-se que a convergência do método da bisseção foi muito mais lenta do que a do método de NewtonRaphson. Isto deve-se ao fato que o método da bisseção apresenta erro proporcional ao intervalo |xE – xD|, isto é, de primeira ordem na variável x, ao passo que o método de NewtonRaphson apresenta erro de segunda ordem sobre a variável x.
Dificuldades no Cálculo de Raízes pelo Método de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson apresenta dificuldades no cálculo de raízes de funções polinomiais que apresentam pontos de mínimos e/ou máximos na vizinhança da raiz, como mostrado na Fig. 3.5.
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3
2
f(x) = 3x - x - 4x + 5 10
5
y
0
-5
-10 -2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x
Fig. 3.5 - Gráfico da função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 exibindo pontos de máximo e mínimo locais na proximidade da raiz. No exemplo, a função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 é uma função polinomial de 3 o grau que possui apenas uma raiz real ( x = -1) e duas raízes complexas. O gráfico cartesiano x-y mostra somente a raiz real e mostra também que a função possui um ponto de máximo local em x ≅ -0,57 e um ponto de mínimo local em x ≅ 0,79. Para exemplificar o problema da convergência do método de Newton-Raphson, vamos calcular a raiz real empregando o método de Newton-Raphson com x 0 = 5. Tabela 3.3 - Resultado do cálculo da raiz da função polinomial cúbica pelo método de Newton-Raphson. i
xi
f(xi)
f'(xi)
xi+1
erro
0
5,00000
335,00000
211,00000
3,41232
1,58768
1
3,41232
98,90543
93,97085
2,35981
1,05251
2
2,35981
29,41532
41,39873
1,64927
0,71054
3
1,64927
9,14139
17,18238
1,11725
0,53202
4
1,11725
3,46658
4,99978
0,42391
0,69335
5
0,42391
3,35320
-3,23055
1,46187
1,03797
6
1,46187
6,38783
12,30993
0,94296
0,51892
7
0,94296
2,85435
2,11659
-0,40560
1,34856
8
-0,40560
6,25771
-1,70821
3,25771
3,66331
9
3,25771
85,07572
84,99877
2,25681
1,00091
10
2,25681
25,36255
37,32498
1,57730
0,67951
11
1,57730
7,97532
15,23630
1,05386
0,52344
12
1,05386
3,18525
3,88786
0,23458
0,81928
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3-9
13
0,23458
4,04539
-3,97392
1,25256
1,01799
14
1,25256
4,31632
7,61508
0,68575
0,56681
15
0,68575
2,75417
-1,13922
3,10335
2,41760
16
3,10335
72,61888
76,47034
2,15372
0,94963
17
2,15372
21,71661
33,43898
1,50428
0,64944
18
1,50428
6,93188
13,35705
0,98531
0,51897
19
0,98531
2,95764
2,76687
-0,08364
1,06895
20
-0,08364
5,32582
-3,76975
1,32913
1,41278
21
1,32913
4,96100
9,24111
0,79229
0,53684
22
0,79229
2,69513
0,06498
-40,68675
41,47904
23
-40,68675
-27,09523
13,59152
24
-27,09523
-60296,80000
6657,55526
-18,03833
9,05690
25
-18,03833
-17856,25044
2960,51034
-12,00686
6,03148
26
-12,00686
-5284,02970
1317,49538
-7,99619
4,01066
27
-7,99619
-1560,76358
587,44457
-5,33933
2,65687
28
-5,33933
-458,79785
263,25419
-3,59653
1,74279
29
-3,59653
-133,11269
119,60839
-2,48363
1,11290
30
-2,48363
-37,19392
56,48287
-1,82513
0,65850
31
-1,82513
-9,26958
29,63008
-1,51228
0,31284
32
-1,51228
-1,61366
19,60760
-1,42999
0,08230
33
-1,42999
-0,09728
17,26372
-1,42435
0,00564
34
-1,42435
-0,00044
17,10769
-1,42433
0,00003
35
-1,42433
0,00000
17,10698
-1,42433
0,00000
-203547,62007 14976,07806
Por causa da presença de pontos de mínimo e máximo na vizinhança da raiz observa-se que o método de Newton-Raphson apresenta uma convergência lenta, principalmente quando o valor calculado de xi+1 cai na região compreendida pelos pontos de mínimo e máximo (iteração 22) para a qual f’(x) ≈ 0.
Método da Secante Apesar da convergência do método de Newton-Raphson ser rápida, ele apresenta uma dificuldade prática na implementação de um algoritmo para o cálculo de raízes de uma função genérica pelo fato de requerer o cálculo algébrico da derivada da função f(x). Este problema pode ser contornado através da aproximação da derivada exata (que requer um procedimento algébrico) pela diferença finita da função f(x), que é um procedimento numérico. Este método recebe o nome de método da secante, mas também é conhecido, com algumas variações, com o nome de método da falsa posição ou método regula falsi. O procedimento para dedução do método da secante pode ser explicado através do gráfico da Fig. 3.6. Nele vamos definir dois valores de x localizados à esquerda ( xE) e à direita (xD) da raiz xR, tal como no método da bisseção. No entanto, diferentemente deste, o valor que irá dividir o intervalo | xE – xD| em dois é estabelecido através de um cálculo que utiliza a uma reta secante (ou corda) que une os valores de f(xE) e f(xD).
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3-10
y y = f(x) f( x D)
Reta secante
xE
xR
xN
xD
x
f( xE )
Fig. 3.6 – Gráfico esquemático para dedução do método da secante. Por identidade entre os dois triângulos da figura, podemos escrever:
−
f ( x E )
f ( x D )
=
x N − x E xD
− x E
(3.10)
Rearranjando a expressão e isolando o termo para xN , obtém-se a equação: x ⋅ f ( x D ) − x D ⋅ f ( x E ) x N = E f ( x D ) − f ( x E )
(3.11)
Escrevendo-a na forma mais conveniente como: (i) x N
=
(i ) x E
(i)
− x(E i ) ) ⋅ f ( x (E i ) ) − (i) (i ) f ( x D ) − f ( x E ) ( xD
(3.12)
obtém-se uma expressão equivalente à expressão (3.8) do método de Newton-Raphson, na qual a derivada da função f(x) do denominador é substituída pela diferença finita [f(xD)-f(xE )]/(x D-xE )
na fórmula do método da secante. O critério de convergência é semelhante ao do método de Newton-Raphson (equação 3.9), porém aplicado sobre os valores de xN.
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3-11
Exemplo O cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x é apresentado na tabela seguinte empregando o método da secante. Tabela 3.4 - Resultado do cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x pelo método da secante. i
xE
xD
f(xE)
f(xD)
xN
erro
0
0,00000
1,00000
1,00000
-0,28172
0,78020
1
0,00000
0,78020
1,00000
-0,15869
0,67335
0,10686
2
0,00000
0,67335
1,00000
-0,05925
0,63568
0,03767
3
0,00000
0,63568
1,00000
-0,01874
0,62399
0,01169
4
0,00000
0,62399
1,00000
-0,00561
0,62051
0,00348
5
0,00000
0,62051
1,00000
-0,00165
0,61949
0,00102
6
0,00000
0,61949
1,00000
-0,00048
0,61919
0,00030
7
0,00000
0,61919
1,00000
-0,00014
0,61910
0,00009
8
0,00000
0,61910
1,00000
-0,00004
0,61907
0,00003
9
0,00000
0,61907
1,00000
-0,00001
0,61906
0,00001
10
0,00000
0,61906
1,00000
0,00000
0,61906
0,00000
Observa-se que após 10 iterações o método convergiu para a raiz 0,61906 com ε < 10-5. A convergência deste método é semelhante à do método de Newton-Raphson, porém, com a simplicidade conceitual do método da bisseção.
Exercícios propostos 1. Para cada uma das equações abaixo, encontre pelo menos uma das raízes para que f(x) = 0, empregando o método da bisseção e o método de Newton-Raphson: (a) ex/2 - x2 = y (b) x2 - 5x + 6 = 0 (c) ln x - x + 2 2 4 2 (d) x - senh x (e) x – 14x + 24x - 10 2. Um outro método para encontrar as raízes de f(x) = 0 é o chamado método iterativo linear, no qual a raiz é calculada re-escrevendo a função f(x) = g(x) - x, de maneira que o problema agora é encontrar o valor de x tal que g(x) = x por iteração. Encontre a função g(x) e resolva o problema do cálculo da raiz de x localizada no intervalo [0; 0,5] da função x f(x) = e – 3x empregando o método iterativo linear. 3. Escreva uma equação de iteração pelo método de Newton-Raphson para o cálculo da raiz quadrada e raiz cúbica de um número real x. Faça x = 2 e aplique a equação de iteração obtida para calcular a sua raiz quadrada e a sua raiz cúbica. 4. Duas escadas, uma de 20 m e outra de 30 m, apoiam-se em edifícios frontais a uma avenida, conforme ilustrado na Fig. P1. Se o ponto no qual as escadas se cruzam está a 8 m de altura do solo, determinar a largura da avenida. Gruenberger e Jeffrey, em Problems for Computer Solution (New York: Wiley, 1964), mostram que este problema pode ser formulado para pedir a solução da seguinte equação: y 4 − 16y 3 + 500y 2 − 8000y + 32.000 = 0 Cálculo Numérico e Computacional
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para o qual x = 400 − y 2 .
30 20
y
8
x
Fig. P1 5. Analisando-se o comportamento de compressores de ar a pistão, frequentemente é necessário obter-se gráficos de pressão versus rotação angular da árvore de manivelas do compressor durante o tempo de compressão. Esses dados podem ser aproximados analiticamente primeiro definindo-se um modelo para o compressor e, em seguida, aplicando-se fundamentos de mecanismos e termodinâmica ao modelo. Os componentes básicos do compressor a pistão são mostrados na Fig. P2, juntamente com os parâmetros geométricos usados na determinação do volume limitado entre o pistão e o cilindro. Pela aplicação dos fundamentos de mecanismos, este volume pode ser expresso como:
πD 2 V = Vc + r (1 − cos θ) + 4
2 r 1 − 1 − sen θ
(P5.1)
no qual: Vc - volume morto no ponto morto alto r - raio da árvore de manivelas D - diâmetro do cilindro - comprimento da biela θ - ângulo de rotação da árvore de manivelas a partir do ponto morto alto
Consideremos que o tempo de compressão ao se mover o pistão a partir do ponto morto baixo (θ = 180o) até o ponto morto alto ( θ = 360o). Um modelo freqüentemente usado para este processo supõe que as válvulas de admissão e escape conservam-se fechadas e que não há transferência de calor de ou para o ar durante o tempo de compressão. A aplicação da termodinâmica a este modelo fornece as seguintes relações entre pressão, volume e temperatura:
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3-13
T V 1 + B ( T − Ti ) + C ( T 2 − Ti2 ) + D n = 0 2 Ti Vi V T p = p i i ⋅ i V T
A n
(P5.2)
(P5.3)
nas quais: p - pressão V - volume T - temperatura absoluta A = 0,15787 B = 0,51001.10-4 C = 0,74171.10-8 D = 0,6855 e o índice i denota a condição inicial no início do tempo de compressão, que se supõe conhecido. As equações (P5.1), (P5.2) e (P5.3) podem ser usadas para determinar p versus θ. O procedimento para obter esses valores é selecionar um valor de θ entre 180o e 360o em (P5.1). O valor resultante para V pode ser usado em (P5.2), que pode ser resolvido pelo método de Newton-Raphson para se obter T. Os valores de T e V são, então, usados em (P5.3) para determinar o valor de p correspondente. Calcular uma tabela de θ versus p, V e T, para θ entre 180o e 360o com incremento de 10o. Com estes resultados, traçar o gráfico de p em função de θ. Considere para o problema que, para p i = 14,7 psi, T i = 530oR, θ = 240o, Vc = 6,3 ft3, r = 2,0 in, D = 3,5 in e = 7,0 in, os resultados aproximados poderiam ser p = 18,7 psi, V = 37,3 ft 3 e T = 568oR.
Válvulas de admissão e escape
Ponto morto alto (extremidade do pistão quando θ = 0o )
Cilindro d
Pistão
Biela
Ponto morto baixo (extremidade do pistão o quando θ = 180 )
¡
Virabrequim
θ
r
Fig. P2
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6. Deseja-se determinar o efeito da pressão sobre a temperatura do ponto de condensação do produto da combustão completa de hidrocarbonetos parafínicos com ar teórico. A temperatura de condensação, também chamada de ponto de orvalho, é definida como a temperatura na qual o vapor d’água começa a condensar-se à medida que o produto da combustão seja resfriado à pressão constante. Quando é alcançado o ponto de orvalho, a pressão parcial do vapor d’água no produto da combustão vai igualar a pressão do vapor de água pura na temperatura de condensação e esta relação pode ser usada para determinar o ponto de orvalho. Um hidrocarboneto parafínico tem fórmula química C nH2n+2 e a equação para combustão completa com ar teórico pode ser expressa como: C n H 2 n + 2 + ( 2n + 1) O 2 + ( 2n + 1)
79 79 N 2 → n CO 2 + (n + 1) H 2 O + (2n + 1) N 2 (P6.1) 21 21
da qual a fração molar do vapor d’água nos produtos é calculada por: x H2 O =
n+1 n+1 = n + ( n + 1) + (2n + 1) (79 / 21) 9 ,52n + 4 ,76
(P6.2)
A pressão parcial do vapor d’água no produto da combustão é igual ao produto da fração molar do vapor d’água pela pressão do produto da combustão. Assim, p H 2O = x H2 O ⋅ p =
( n + 1) p 9 ,52n + 4,76
(P6.3)
A relação entre a pressão do vapor de água pura e a temperatura é dada por:
x a + bx + cx 3 n p v = 8,07284 − 2,3026 T 1 + dx
(P6.4)
no qual: pv - pressão de vapor (psi) T - temperatura absoluta ( oR) x = 1165,09 - T a = 3,2437814 b = 3,2601444.10 -3 c = 2,0065808.10-9 d = 1,2154701.10 -3 Como a pressão parcial e a pressão do vapor d’água devem ser iguais no ponto de condensação, (P6.2), (P6.3) e (P6.4) podem ser combinados para se obter:
x a + bx + cx 3 ( n + 1) p n = 8,07284 − 2,3026 T 1 + dx 9,52m + 4,76
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(P6.5)
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3-15
que pode ser solucionado em T para valores dados de p e n. Como (P6.5) é uma equação não-linear, um método numérico como o Newton-Raphson deve ser usado. Com este objetivo, é conveniente reescrever (P6.5) como: ( n + 1) p x a + bx + cx 3 − n − 8,07284 = 0 f (T) = 2,3026 T 1 + dx 9,52 m + 4,76
(P6.6)
Para usar o método de Newton-Raphson é necessário diferenciar-se (P6.6) com relação a T, para se obter:
a + bx + cx 3 xd df 1165,09 x( b + 3cx 2 ) = 2,3026 − ⋅ − dT 1 + dx T(1 + dx) T 2 T(1 + dx)
(P6.7)
Para o etano (n = 2) sob 1 atm (p = 14,7 psi), o resultado é T = 582,97 oR = 323,87 K. Verificar este resultado e calcular o ponto de orvalho para o produto da combustão do metano (n = 1), do propano (n = 3), do butano (n = 4) e do pentano (n = 5). 7. O pH de soluções diluídas de ácidos fracos pode ser calculado pela fórmula: [ H + ] 3 + K a [H + ] 2 − (K a C a + K w )[H + ] − K w K a = 0 na qual:
(P7.1)
pH = - log [H +] Ka - constante de dissociação do ácido Ca - concentração molar do ácido Kw - produto iônico da água
Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a 24 oC sabendo-se que: Ka = 6,5.10-10 (moles/l) 2, Ca = 1,0.10-5 moles/l Kw = 1,0.10-14 (moles/l) 2
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