MODUL 2
Rangkaian Pembagi Tegangan dan Pembagi Arus 2-6
Kombinasi Tahanan dan Sumber Beberapa penulisan pesamaan yang telah kita lakukan untuk rangkaian-
rangkaian seri dan paralel yang sederhana dapat dihindari. Hal ini dicapai dengan mengganti kombinasi tahanan (resistor) yang relatif sukar dengan sebuah tahanan ekivalen bila mana kita khususnya tak berminat menentukan arus, tegangan, atau daya yang berkaitan dengan masing-masing tahanan di dalam kombinasi tersebut. Semua hubungan yang menyangkut arus, tegangan, dan daya di dalam sisa rangkaian tersebut akan sama.
i
vs
R1
R2
R N
+ v1 -
+ v2 -
+ v N -
+ _
i
vs
+ _
(a)
Req
(b)
Gambar 2-15: (a (a ) Sebuah rangkaian yang mengandung kombinasi seri dari N tahanan. (b ) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana: Req
= R1 + R 2 + L + R N .
Mula-mula kita tinjau kombinasi seri N tahanan, yang diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 2-15. Garis terputus-putus yang mengitari tahanan-tahanan tahanan-tahanan tersebut dimaksudkan untuk menyarankan bahwa tahanan-tahanan tersebut dikurung di dalam sebuah “kotak hitam,” atau barang kali di dalam kamar lain, dan kita ingin mengganti ke N tahanan tersebut dengan satu tahanan dengan besar tahanan R eq eq sehingga sisa rangkaian, yang hanya hal ini hanya sumber tegangan tidak menyadari bahwa perubahan telah dilakukan. Arus sumber, daya, dan tentu saja tegangan akan sama sebelum dan sesudah perubahan tersebut.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
1
Kita pakai hukum tegangan Kirchhoff
vs
=
v1 + v2
+ L + v N
dan hukum Ohm
vs
= R1i + R2 i + L + R N i =
( R1 + R2
+ L + R N )i
dan kemudian membandingkan hasil ini dengan persamaan sederhana yang dipakai kepada rangkaian ekivalen yang diperlihatkan di dalam Gambar 2-15b ,
vs
= Req i
Jadi, harga dari tahanan ekivalen untuk N tahanan seri adalah
Req
= R1 + R2 + L + R N
(7)
Karena itu kita mampu menggantikan sebuah jaringan dua pintu yang terdiri N tahanan dalam seri, dengan satu elemen R eq berterminal dua , yang mempunyai hubungan v -i yang sama. Tak ada pengukuran yang dilakukan terhadap “kotak hitam” tersebut, dapat mengungkapkan yang mana dari jaringan yang asli. Pemeriksaan persamaan tegangan Kirchoff untuk sebuah rangkaian seri juga memperlihatkan dua penyederhanaan lain yang mungkin. Tak ada perbedaan dalam urutan tempat elemen-elemen di dalam sebuah rangkaian seri, dan beberapa sumber tegangan seri dapat diganti dengan sumber tegangan ekivalen yang mempunyai tegangan sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing tegangan tersebut. Biasanya ada sedikit keuntungan mengikutsertakan sebuah sumber tegangan tak bebas dalam sebuah kombinasi seri.
i
i 10 Ω
7Ω
5Ω
30 V 80 V
+
+
-
-
20 V
+
-
90 V
30 Ω
8Ω
(a)
(b)
Gambar 2-16: (a ) Sebuah rangkaian seri yang diketahui. (b ) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.
Penyederhanaan ini dapat digambarkan dengan meninjau rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 2-16a . Mula-mula kita pertukarkan kedudukan elemen-elemen dalam rangkaian, dan dengan seksama mempertahankan arah yang
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
2
wajar dari sumber, dan kemudian menggabungkan ketiga tegangan tersebut ke dalam sebuah sumber ekivalen 90-V dan keempat tahanan tersebut dalam sebuah tahanan ekivalen 30-Ω, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2-16 b . Jadi, dari pada menuliskan -80 + 10i - 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0 kita hanya mempunyai -90 + 30i = 0 dan
i = 3 A Untuk menghitung daya yang diberikan kepada rangkaian oleh sumber 80 V
yang muncul di dalam rangkaian yang diketahui, maka kita perlu kembali kepada rangkaian dengan mengetahui bahwa arusnya adalah 3 A. Daya yang ditanya adalah 240 W. Adalah hal yang menarik bahwa tidak ada elemen dari rangkaian semula yang tinggal di dalam rangkaian ekivalen, kecuali jika kita ingin menghitung kawatkawat penyambung sebagai elemen-elemen. Penyederhanaan yang serupa dapat diterapkan kepada rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N konduktansi yang dipasang paralel, seperti dalam Gambar 2-17a , menghasilkan persamaan hukum arus Kirchoff,
+
i1
+
i2 i N
v
G1
G
G2
v
Geq
is
-
-
(a)
(b)
Gambar 2-17: (a ) Sebuah rangkaian yang mengandung N tahanan paralel yang mempunyai konduktansi G1
+ G 2 + L + G N .
yang lebih sederhana: Geq
is atau
is
=
=
i1
=
G1
(b ) Rangkaian ekivalen
+ G 2 + L + G N .
+ i2 + L + i N
G1v + G2 v + L + G N v
=
(G1
+ G 2 + L + G N ) v
sedangkan ekivalennya di dalam Gambar 2-17 b memberikan
is
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
=
Geq v
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
3
sehingga
Geq
=
G1
+ G 2 + L + G N
Dinyatakan dalam tahanan dan bukan di dalam konduktansi,
1 Req atau
Req
=
=
1 R1
+
1 R2
+
1 3
+L+
1 R N
1 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 + L + 1 R N
(8)
Persamaan terakhir ini barangkali cara yang paling sering digunakan untuk mengkombinasikan elemen-elemen penahan yang pararel. Kombinasi pararel sering dinyatakan dengan tulisan R eq = R 1 ║ R 2 ║R 3, misalnya. Hal khusus untuk hanya dua tahanan paralel
Req
= R1 R2 =
1
atau
1 R1 + 1 R2
Req
= R1 R2 =
R1 R2
(9)
R1 + R2
seringkali diperlukan. Bentuk terakhir tersebut sangat baik untuk dihafal. Sumber-sumber
arus
pararel
dapat
juga
dikombinasikan
dengan
menambahkan secara aljabar masing-masing arus tersebut, dan urutan elemenelemen pararel dapat diatur sesukanya. Berbagai kombinasi yang diterangkan dalam bagian ini digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dari Gambar 2-18a. Misalkan bahwa kita ingin mengetahui daya dan tegangan dari sumber tak bebas. Boleh saja sumber tersebut kita biarkan sendirian, dan kemudian mengkombinasikan kedua sumber yang masih tinggal menjadi satu sumber 2 A. Tahanan dikombinasikan mulai dengan kombinasi paralel dari dua tahanan 6- Ω menjadi sebuah tahanan 3- Ω, diikuti oleh kombinasi
Ω dan 15 Ω. Elemen-elemen 18- Ω dan 9- Ω berkombinasi paralel untuk menghasilkan 6 Ω, dan sampai sejauh inilah yang dapat diteruskan. Tentu yang 6 Ω dalam susuna paralel dengan 3 Ω menghasilkan 2 Ω, tetapi arus i 3, pada mana seri dari 3
sumber tergantung menjadi hilang.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
4
+
i3
15 Ω 4A
6A
v 3Ω
9Ω 0,9i3 6Ω
-
6Ω
(a)
+
0,9i3
i3
v2 A
3Ω
6Ω
-
(b) Gambar 2-18: (a ) Sebuah rangkaian yang diketahui, (b ) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan.
Dari rangkaian ekivalen dalam Gambar 2-18 b , kita peroleh − 0,9i3 −
2 + i3
dan
v = 3i3
menghasilkan
i3
=
10 3
+
v
6
=
0
A
v = 10 V
Jadi, sumber tak-bebas menghasilkan v(0,9i3 ) = 10 0,9 ×
10
= 30 W kepada sisa
3
dari rangkaian. Sekarang jika kita akhirnya ditanyakan mengenai daya yang hilang pada tahanan 15- Ω, maka kita harus kembali kepada rangkaian semula. Tahanan ini adalah seri dengan tahanan ekivalen 3- Ω; tegangan sebesar 10 V terdapat melintasi
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
5
tahanan total 18-Ω, jadi arus sebesar
5 9
A mengalir melalui tahanan 15- Ω dan daya 2
5 yang diserap oleh elemen ini adalah (15) , atau 4,63 W. 9 Soal Contoh 2-6
Ohmmeter adalah sebuah alat yang mengukur nilai tahanan di antara kedua terminalnya.
Berapakah
pembacaan
yang
benar
jika
alat
tersebut
dipasangkan pada jaringan dari Gambar 2-19.
50 Ω
a
7Ω
16 Ω 25 Ω
30 Ω
b
15 Ω
4Ω
c
12 Ω
Gambar 2-19: Lihat Contoh Soal 2-6.
Jawab
a
50 Ω
25 Ω
7Ω
30 Ω
b
15 Ω
16 Ω
c
4Ω
12 Ω
Gambar 2-20: Bentuk lain dari Gambar 2-19.
Ω dan 4 Ω, menghasilkan tahanan 16 Ω, kemudian diparalelkan dengan tahanan 16 Ω menghasilkan tahanan 8 Ω. Tahanan 8 Ω tersebut diserikan lagi dengan tahanan 7 Ω menjadi 15 Ω. Langkah terakhir yaitu dengan memparalelkan tahanan 15 Ω tadi dengan tahanan 30 Ω menjadi tahanan 10 Ω. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat Mula-mula kita serikan tahanan 12
sebagai berikut :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
6
R S 1
= 12 +
4 = 16
R P1
= 16 16 =
R S 2
=
7 + 8 = 15
RP 2
=
30 15 =
Ω
16 ⋅ 16 16 + 16
=
8
Ω
Ω
30 ⋅ 15 30 + 15
= 10 Ω
Sehingga Gambar 2-20 dapat disederhanakan menjadi :
50 Ω
a
25 Ω
10 Ω
b
c
15 Ω
Gambar 2-21: Penyederhanaan Gambar 2-20. maka (a )
(b )
(c )
Req ( ab )
Req ( ac )
Req ( bc )
=
25 (10 + 50 + 15)
=
25 75 =
=
(25 + 15) (25 + 50 + 10)
=
40 60 =
= 15
25 + 75
40 ⋅ 60 40 + 60
= 18,75 Ω
=
24
Ω
(25 + 50 + 10)
= 15 85 =
2-7
25 ⋅ 75
15 ⋅ 85 15 + 85
= 12,75 Ω
Pembagian Tegangan dan Arus Dengan mengkombinasikan tahanan-tahanan dan sumber-sumber, maka kita
telah mendapatkan satu metode untuk memperpendek kerja dalam menganalisis sebuah rangkaian. Jalan singkat lain yang berguna adalah pemakaian ide pembagian tegangan dan arus.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
7
+ v1 -
i
+
R1
v
+ v2 -
R2
-
Gambar 2-22: Gambaran pembagian tegangan, v 2
=
R2 R1 + R2
v.
Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan melintasi salah satu di antara dua tahanan seri, dinyatakan dalam tegangan melintasi kombinasi itu. Di dalam Gambar 2-22, tegangan R 2 adalah
atau
v2
= R2 i = R2
v2
=
R2 R1 + R2
v R1 + R2
(10)
v
dan dengan cara yang serupa, tegangan melintasi R 1 adalah,
v1
=
R1 R1 + R2
v
(11)
Bila jaringan pada Gambar 2-22 digeneralisir dengan menggantikan R 2 dengan R 2, R 3, ......, R N yang berhubungan seri, maka didapat hasil umum pembagian tegangan melintasi suatu untaian N tahanan seri,
v1
=
R1 R1 + R2
+ L + R N
v
Tegangan yang timbul melintasi salah satu tahanan seri tersebut adalah tegangan total dikalikan rasio (perbandingan) dari tahanan dan tahanan total. Pembagian tegangan dan kombinasi tahanan keduanya dapat digunakan.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
8
i
+
v
i1
i2
G1
G2
-
Gambar 2-23: Gambaran pembagian arus, i 2
=
G2 G1
+ G2
i
=
R1 R1 + R2
i
Ganda (dual) dari pembagian tegangan adalah pembagian arus. Kita sekarang diberi arus total yang masuk ke dalam dua konduktansi pararel, sebagai yang digambarkan oleh rangkaian dari Gambar 2-23. Arus mengalir melalui G 2 adalah
i2
atau
dan, dengan cara yang serupa
=
G2 v
i2
=
=
1
G2
G1
G2 G1
+ G2
i1
=
+ G2
i G1
G1
+ G2
i
Jadi arus yang mengalir melintasi salah satu di antara konduktansi pararel tersebut adalah arus total dikalikan perbandingan dari konduktansinya dengan konduktansi total. Karena kita lebih sering diberikan nilai tahanan daripada konduktansi, maka bentuk yang lebih penting dari hasil terakhir didapatkan dengan menggantikan G 1 dengan 1/ R1 dan G 2 dengan 1/ R 2,
i2
=
R1 R1 + R2
i
dan
i1
=
R2 R1 + R2
i
(12)
Kedua persamaan terakhir mempunyai sebuah faktor yang sangat berbeda dari faktor yang digunakan dengan pembagian tegangan dan sejumlah usaha diperlukan
untuk
menghindari
kesalahan-kesalahan.
Banyak
mahasiswa
memandang pernyataan pembagian tegangan sebagai yang “jelas” dan pembagian
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
9
arus sebagai sesuatu yang “berbeda”. Akan menolong juga untuk menyadari bahwa tahanan yang lebih besar selalu mengangkut arus yang lebih kecil. Bisa juga kita generalisir hasil ini dengan menggantikan G 2 pada Gambar 223 dengan kombinasi pararel G 2, G 3, .... , G N . Jadi, bagi N konduktansi pararel,
i1
=
G1 G1
+ G2 + L + G N
i
Dinyatakan dalam harga-harga tahanan, hasilnya adalah
i1
=
1 / R1 1 / R1
+ 1 / R 2 + L + 1 / R N
i
Soal Contoh 2-7
Dalam rangkaian pada Gambar 2-24: (a ) pakailah metode k ombinasi tahanan untuk mencari R eq ; (b ) pakailah pembagian arus untuk mencari i 1; (c ) pakailah pembagian tegangan untuk mencari
; (d ) pakailah arus untuk mencari i 3.
υ 2
+ i1
− i3
9Ω
50 Ω
2A
υ2
Req
75 Ω
70 Ω
30 Ω
Gambar 2-24: Lihat Contoh Soal 2-7. Jawab (a )
Ω yang menghasilkan tahanan 21 Ω, kemudian diserikan dengan tahanan 9 Ω yang menghasilkan tahanan 30 Ω. R eq didapat dengan memparalelkan tahanan 70
Req
= =
(b )
R eq , 30
Ω dan
30
(70 30) + 9 70 ⋅ 30 70 + 30
Ω diparalelkan
+9 =
21 + 9 = 30
Ω
dengan tahanan 75 menghasilkan 21
3 7
Ω
kemudian dengan mempergunakan pembagian arus akan didapat,
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
10
21 i1
=
21 21 =
3 7 3
3 7
⋅2
+ 50
7 ⋅2 = 6 ⋅2 = 3 3 10 5 71 7
=
0,6 A
i1
2A
i1
50 Ω
75 Ω
30 Ω
21
50 Ω
2A
(a) Gambar 2-25: (a )Penyederhanaan dari Gambar 2-24.
3 7
Ω
( b)
(b ) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan
(c )
tahanan 50
Ω,
75
Ω dan
30
Ω memiliki tegangan yang sama karena
satu simpul (paralel) yaitu, = υ 75 = υ 30 =
υ 50
i1 ⋅ 50 = 0,6 ⋅ 50 = 30 V
Dengan mempergunakan pembagian tegangan, υ 2
= υ 9 = =
(d )
=
υ 2
9
=
dapat dihitung
9
⋅ 30 9 + 21 9 ⋅ 30 = 9 V 30
arus di tahanan 9 i9
υ 2
9 9
Ω adalah
= 1 A
maka i 3 dapat dihitung dengan mempergunakan pembagian arus,
i3
=
70 70 + 30
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
⋅1 =
0,7 A
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
11
Soal Latihan 4. Carilah R eq bagi jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 2-25.
9Ω
Req
2Ω
100 Ω
25 Ω
30 Ω
6Ω
30 Ω
3Ω
15 Ω
20 Ω
Gambar 2-25: Lihat Latihan Soal 4. 5. (a ) Tulis ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian tegangan, untuk mendapat
υ 57
dalam rangkaian pada Gambar 2-
24a . (b ) Tuliskan ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian arus, untuk mendapat i 57 bagi rangkaian pada Gambar 2-24b .
151 Ω 13 Ω
+ 60 V
207 Ω
23 Ω
57 Ω
υ57
_
( a) 23 Ω 10 A
151 Ω
i57
57 Ω
111 Ω
112 Ω
207 Ω
(b) Gambar 2-24: Lihat Latihan Soal 5.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
12
6. Rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar dibawah ini berisi jaringan tangga tahanan tiga seksi. (a ) Misalkan i O = 1 A dan setiap kali satu langkah dari kanan ke kiri jaringan kea rah sumber, tentukan V S. (b ) Berapakah V S bila i O = 0,4 A ? (c ) Bila V S = 100 V, carilah i O.
20 Ω
30 Ω
5Ω
io
V s
16 Ω
10 Ω
20 Ω
.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK
13
