MATEMATIKA
BAB 1
EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. EKSPONEN
2.
Persamaan Eksponen
Denisi Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat posif (bilangan asli), maka:
a. b.
= ag( x ) ⇒ f (x) = g(x) = b f ( x ) ⇒ f (x) = 0 g( x ) h( x ) f ( x ) = f ( x ) maka:
a
n
= a × a × a × a × ... × a
c.
n n
Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
dan p adalah adalah bilang bulat posif, a, b ∈ R , Jika m, n, dan p maka: m+n
n
3.
f x
b. c.
(a ) = a
d.
(a b )
a.
e.
am amp bn = bnp , b ≠ 0
f.
a
=1,a ≠ 0 1 n a− = n , a ≠ 0
c.
a
n
m
n
m
n p
mn
= a mpbnp
p
g.
0
a
Pertidaksamaan Pertidaksamaa n Eksponen
( ) > a ( ) maka berlaku: Jika a f ( x x ) > g( x x ) , untuk a untuk a > > 1 n f ( x x ) < g( x x ) , untuk 0 < a < 1 n
×a = a a m : a n = a m−n , a ≠ 0
a.
m
g( x x ) = h( x x ) f ( x x ) = 1 f ( x x ) = –1, g( x x ) dan h( x x ) sama-sama genap/ ganjil f ( x x ) = 0, g( x x ) dan h dan h(( x x ) sama-sama posif
n
Dengan: a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen
1.
a f ( x ) f ( x ) a
g x
B. BENTUK AKAR Sifat-sifat Sifatsifat Bentuk Akar n
a
a ⋅ b = a⋅b
b.
a b
d. e.
=a
n
n
=
am 1
a
a b
=a
=
m n
1
a
×
a a
=
1
a
a
[email protected]
C. LOGARITMA Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. a
log b = c ⇔ a
c
=b
Di mana: 1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau a > 1, 2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan b > 0, 3. c dinamakan hasil logaritma.
1.
Sifat-Sifat Logaritma
a.
a
log b = c ⇔ a
b.
a
log b + log c = log bc
a
c.
d.
an
=b
a
a
l og b − l og c = l og
l og b
a
=
m
m n
a
+ bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 . 2
Jenis-jenis Akar
Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai: 1. akar real jika D ≥ 0 , 2. akar real berlainan jika D > 0 , 3. akar real kembar jika D = 0 , 4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 , dengan D = b2 − 4ac . 2
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Diketahui x1 dan x 2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax
log b =
log b
p
log b =
log a 1
b
log a
a
, dengan 0 < p < 1
h.
=b a log b ⋅ b log c ⋅ c log d = a log d
2.
Persamaan Logaritma
a
∨ p>1
log b
log f (x ) = log g (x ) ⇒ f (x ) = g (x ) a
Pertidaksamaan Pertidaksamaa n Logaritma
Jika log f ( x) ≤ log g(x ) , maka berlaku: I. Syarat Basis: 1. Untuk 0 < a < 1 a
2.
a
f ( x) ≥ g( x ) Untuk a > 1
f ( x) ≤ g( x ) Syarat Numerus: 1.
f ( x ) > 0
2.
g(x ) > 0
PERSAMAAN PERSAMA AN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
ax
2
p
g. a
II.
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
2.
a
c
A. PERSAMAAN KUADRAT
1.
f.
b
⋅ a l og b
BAB 2
a
3.
Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut. c
e.
+ bx + c = 0 , maka:
x1
+ x 2 =
−b a
x1 ⋅ x 2
=
c a
x1
− x 2 =
D a
+ x22 = ( x1 + x2 )2 − 2x1 ⋅ x 2 x12 − x22 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x 2 ) 3 x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x 2 ) 1 1 x + x + = 1 2 x1 x2 x1 ⋅ x 2 x1
3.
2
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat ax 2
+ bx + c = 0
de-
ngan x1 dan x 2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui:
1.
Kedua akarnya posif, jika: x1
+ x2 > 0 ; x1 ⋅ x 2 > 0 ; D ≥ 0
[email protected]
2.
Kedua akarnya negaf, jika: x1
3.
+ x2 < 0 ; x1 ⋅ x 2 > 0 ; D ≥ 0
Kedua akarnya berlainan tanda, jika: x1 ⋅ x 2
4.
Fungsi kuadrat f ( x) = ax
+ x 2 = 0
1.
Kedua akarnya berkebalikan, jika:
2.
=1
Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan 2
Sumbu simetri: x = D
Nilai ekstrem:
−4a
2
+ bx + c
−b 2a
=
b2
− 4ac −4a
adalah
− (α + β ) x + α ⋅ β = 0
3.
Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat
a.
Diketahui k puncak ( x p , y p ) dan k lain y = a(x − x p )2
B. FUNGSI KUADRAT
b.
Fungsi f yang didenisikan sebagai f (x) = ax
2
Diketahui k potong dengan sumbu x, ( x 1 ,0) dan y = a(x − x1 )( x − x2 )
c.
Diketahui ga k pada parabola
Hubungan a, b, c, dan D
y = ax 2
Fungsi kuadrat f ( x) = ax + bx + c didapat hubungan: a. “a” menentukan keterbukaan kurva. i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas. ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.
+ yp
( x 2 ,0) serta k lain
+ bx + c
di mana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 didenisikan sebagai fungsi kuadrat.
1.
mempunyai:
Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. Nilai ekstrem minimum jika a > 0.
Menentukan Persamaan Kuadrat
x
Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat
<0;D>0
x1 ⋅ x 2
4.
2.
Kedua akarnya berlawanan, jika: x1
5.
dua k. ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x. iii. D < 0 ⇒ parabola dak memotong sumbu x.
+ bx + c
2
4.
Defnit
a.
Denit Posif Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai posif untuk semua x disebut denit posif. Syarat: D < 0 dan a > 0 Denit Negaf Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negaf untuk semua x disebut denit negaf. Syarat:
a<0 a>0
b. b.
c.
Jika a ⋅ b > 0 maka puncak berada di sebelah kiri sumbu y. Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah kanan sumbu y. “c” menentukan k potong dengan sumbu y. i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y posif. ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0). iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negaf.
D < 0 dan a < 0
d. “ D = b − 4ac ” menentukan k potong dengan sumbu x. i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di 2
[email protected]
BAB 3
PERTIDAKSAMAAN
A. SIFAT UMUM
C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR
Sifat yang berlaku pada perdaksamaan, untuk a, b, c, dan d ∈ R adalah sebagai berikut. 1. a > b maka a + c > b + c 2. a > b, c > d maka a + c > b + d 3. a > b, b > c maka a > c 4. a > b, c > 0 maka a c > b c 5. a > b, c < 0 maka a c < b c
Langkah penyelesaian: 1. Kuadratkan kedua ruas. 2. Syarat di dalam akar harus
a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2
7.
a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2 a > 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0 b
ì x jika x > 0 ï ï ï x = ï í-x jika x < 0 ï ï ï ï î 0 jika x = 0
B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN
Beberapa sifat penyelesaian perdaksamaan mutlak:
Tanda koesien pangkat ternggi sama dengan tanda pada ruas yang paling kanan. Pangkat genap memiliki tanda yang sama. Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.
n
n n
BAB 4
D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK Nilai mutlak untuk x Î R didenisikan:
6.
8.
1.
x £ a Û -a £ x £ a
2.
x ³ a Û x £ -a atau x ³ a
3.
f (x) £ g( x) Û ( f ( x) + g( x))( f ( x) - g( x )) £ 0 f ( x )
4.
g(x )
B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN
Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi dak sekaligus benar dan salah. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat n variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut digan konstanta dalam himpunan semestanya. Beberapa operator yang digunakan dalam logika. n
Operator Nama Lambang
Ar Tidak, bukan
Konjungsi
Ù
dan, tetapi
3
Disjungsi
∨
atau
4
Implikasi
Þ
jika...maka
5
Biimplikasi
Û
jika dan hanya jika
Negasi
2
∧q
p
q
~ p
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
p
p
∨ q
pÞq
pÛ q
B
B
B
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
C. NEGASI/INGKARAN No
~
1
£ k Û ( f ( x) - k × g(x))( f ( x) + k × g( x )) £ 0
LOGIKA MATEMATIKA
A. DEFINISI
No
≥ 0.
Pernyataan
Negasi/Ingkaran
1
pÙq
pÚ
q
2
pÚq
pÙ
q
3
pÞq
pÙ
q
4
pÛq
pÙ
q Ú
[email protected]
pÙ q q
D. EKUIVALENSI
F.
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama. Contoh: p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ p ∨ q
Modus Ponens
E.
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
n
Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p
n n
BAB 5
PENARIKAN KESIMPULAN
p Þ q
(B)
p
(B)
\ q
(B)
Modus Tollens
Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan: n Metode eliminasi Metode substusi n n Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
p Þ q
(B)
q
(B)
q Þr
(B)
\
p (B)
\ p Þ r (B)
n
Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika
n
m1 × m2 = -1 Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut sebesar a dengan =
m1 - m2
1 + m1 × m2
Melalui k ( x1 , y 1 ) dengan gradien m, berlaku: y − y1
= m(x − x1 )
Garis yang melalui ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y 2 ) , berlaku: y − y1 y2
3.
(B)
tan a
2.
p Þ q
SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS
A. SISTEM PERSAMAAN
1.
Sillogisme
− y1
=
x − x1 x2
− x1
Memotong sumbu x di k (b, 0) dan sumbu y di k (0, a) berlaku: y ax + by = a.b a b
x
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS Diketahui garis g : y = m1 x + c1 dan garis
h : y = m2 x + c2 maka Garis g dan h sejajar jika m1 n
=
m2
[email protected]
BAB 6
STATISTIKA DAN PELUANG Data kelompok:
A. STATISTIKA 1.
∑ f c
12 n − Me = Q2 = tb + f k
Rata-rata/mean ( x )
Data tunggal: n
x =
x1
+ x2 + ... + x n n
n = banyak data, x i = data ke-i, i = 1, 2, 3, …, n.
∑ x
i
=
i =1
n
∑ f
4. n
x =
t b = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2
+ ... + fn x n = f1 + f2 + ... + f n
= jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
f k = frekuensi kelas yang memuat Me
Data kelompok:
f1 x1 + f2 x2
∑ ∑ f
fi x i
i =1 n
f i = banyak data x i, n = f1 + f2 + ... + fn .
Kuartil
Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian. Data kelompok:
∑ f ) c
14 n − ( Q1 = tb1 + f 1
i
i =1
2.
Kuarl bawah (Q1):
Modus (Mo)
Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul. Data tunggal: n Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7. Modus dari data tersebut adalah 7. Data kelompok: n Mo = tb
d + 1 c d1 + d 2
t b = tepi bawah kelas modus d 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = panjang kelas
3.
Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median bisa disebut juga kuarl 2 atau kuarl tengah. Data tunggal:
Kuarl atas (Q3):
Jika n genap maka: Me =
x n
+ x n
( ∑ f ) / ( ∑ f )
2
2
= jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3 f 1 / f 3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3 1
3
5.
Jangkauan (J)
n
Jangkauan atau range dirumuskan dengan: J = xmax
n
H = Q3 n
− x min
Jangkauan antarkuarl (H):
− Q1
Jangkauan semi antarkuarl (Qd ): 1 Qd = (Q3 − Q1 ) 2
6.
Simpangan rata-rata (SR) Data tunggal: Data kelompok: n
SR = i =1 +1
3
Dengan: t b1 /t b3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3
i
2
∑ f ) c
∑| x − x |
Me = x n +1
1
43 n − ( Q3 = tb3 + f 3
Median (Me/Q 2)
Jika n ganjil maka:
n
2
[email protected]
n
∑ f | x − x | SR = ∑ f i
i
i =1
n
i
i =1
7.
Ragam/variansi (R) Data tunggal:
n
n
∑| x − x |
i
i
R=S
=
R=S
i =1
n
∑ f | x − x | = ∑ f
× A2 × A3 × ... × In
Notasi Faktorial
2
2
2
A1
Data kelompok:
2
i
n! = 1
i =1
× 2 × 3 × ... (n – 1) × n
1! = 0! = 1 dengan n bilangan asli
n
i
i =1
1. 8.
Simpangan baku/deviasi standar (S) Data tunggal: Data kelompok: n
n
∑| x − x | i
S=
n
i =1
S=
n
∑
fi | xi − x |
n
i =1
n
∑
f i
i =1
9.
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhakan urutannya ( AB ≠ BA) Rumus dan notasi yang digunakan dalam permutasi adalah: Banyaknya permutasi n unsur yang diambil dari n unsur adalah P(n, r ) = n! Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur: P(n , r ) =
Perubahan data
Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang sama, berlaku Perubahan data
Ukuran pemusatan
Ukuran penyebaran
+ x :
+ x :
TETAP TETAP x :
Catatan: Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo, Me, Q1 . Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H, Qd , S, R.
n
n
An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke- n setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi. Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah:
Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan unsur yang sama adalah: cara
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur adalah (n – 1)!
2.
n
Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan: n A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama. n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi. n A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kega setelah tempat pertama dan kedua terisi.
(n − r )!
m!⋅ n!⋅ !
B. PELUANG Aturan Perkalian
n!
k !
n
n
Permutasi
n
Kombinasi Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhakan urutan-nya ( AB = BA). Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan dengan nC k atau C (n, k ) . Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur adalah
C (n, k ) =
3.
n! (n − k)! k !
Peluang Kejadian
Peluang kejadian A ditulis P( A), ditentukan dengan rumus:
P(A) =
n(A) n(S )
n(S) = banyaknya anggota semesta n( A) = banyaknya anggota A P( A) = peluang kejadian A
[email protected]
4.
Peluang Komplemen Suatu Kejadian
b.
Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka
P(A ) = 1 − P( A) c
5.
Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling lepas bila A dan B dak punya irisan, yang berakibat P( A ∩ B) = 0, sehingga
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah
FH( A) = n
c.
× P( A)
Kejadian Saling Bebas A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu dak dipengaruhi kejadian lainnya. P(A ∩ B) = P( A) ⋅ P(B)
6.
Peluang Kejadian Majemuk
a.
Gabungan Dua Kejadian Untuk seap kejadian A dan B berlaku P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P( A ∩ B)
BAB 7
TRIGONOMETRI
Dalam sebuah segiga ABC berlaku hubungan: A b sin x = c c a cos x = b c b x tan x = C B a a
Sin Cos Tan
o
o
o
30
0
½
½
1
½
3
0
1
3
3
o
45
60
2
½
3
½ ½
2 1
3
sin(180o - a) = sina
sin(90o + a) = cos a
sin(180o + a) = -sina
o
A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA 0
o sin(90 - a) = cos a
o
cos(180 - a) = -cos a
o cos(90 + a) = -sina
o cos(180 + a) = -cos a
tan(90o - a) = cot a
tan(180o - a) = -tan a
tan(90o + a) = -cot a
tan(180o + a) = tan a
sin(270 o - a) = -cos a
sin(360 - a) = -sina
sin(270 o + a) = -cos a
sin(360
90
1
0 ~
o
cos(90 - a) = sina
o
cos(270 - a) = -sina cos(270
o
+ a) = sina
o o
+ a) = sin a
cos(360 o - a) = cos a cos(360 o + a) = cos a
tan(270o - a) = cot a
o tan(360 - a) = -tan a
tan(270o + a) = -cot a
tan(360o + a) = tana
B. SUDUT-SUDUT BERELASI C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
90o y Kuadran II
Sin, Cosec 180o posif Kuadran III
Tan, Cot Posif
Kuadran I
Semua posif 0o Kuadran IV
Cos, Sec Posif 360o
Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat: sin x 2 2 1. = tan x 4. tan x + 1 = sec x cos x 1 2 2 = sec x 2. sin x + cos x = 1 5. cos x 2 2 1 3. 6. 1 + cot x = cos ec x = co sec x sin x
[email protected]
D. ATURAN SINUS DAN COSINUS Pada seap segiga sembarang ABC berlaku aturan sinus, yaitu:
C a
b
a
A
2sin x cos y = sin(x + y) + sin( x - y )
sin A
B
c
=
b sin B
=
2cos x sin y = sin(x + y) - sin( x - y ) 2cos x cos y = cos(x + y) + cos( x - y )
-2sin x sin y = cos(x + y) - cos( x - y )
c sin C
Pada ap segiga sembarang ABC berlaku aturan cosinus, yaitu:
H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI a.
2
= b + c - 2bc cos A
2
= a + c - 2ac cosB
2
= a + b - 2ab cos C
a
b c
2
2
2
2
2
2
Sinus sin x = sinα x1
b.
= α + k.360o
atau x1
= (180o − α ) + k .360 o
Cosinus cos x = cos α
E.
x = ±α + k .360
MENGHITUNG LUAS SEGITIGA
Jika pada suatu segiga ABC diketahui besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan: L=
C a
b A
F.
L=
B
c
L=
1 2 1 2 1 2
c.
Tan tan x = tanα
x = α + k .180
bc sinA
k = ..., –1, 0, 1, 2, … ac sinB ab sinC
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT sin( A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin( A − B) = sin A cos B − cos A sin B cos( A + B) = cos A cos B − sin Asin B cos( A − B) = cos A cos B + sin Asin B tan ( A + B) = tan ( A − B) =
tan A + tan B 1 − tan A ⋅ tan B tan A − tan B
sin 2 x = 2 sin x cos x 2 2 cos2 x = cos x − sin x
= 2cos2 x − 1 = 1 − 2sin2 x tan2 x =
2tan x 1 − tan x 2
1 + tan A ⋅ tan B
G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS 1 1 sin A + sin B = 2sin ( A + B)cos (A − B) 2 2 1 1 sin A − sin B = 2cos (A + B)sin (A − B) 2 2 1 1 cos A + cos B = 2cos (A + B)cos (A − B) 2 2 1 1 cos A − cos B = −2sin (A + B)sin (A − B) 2 2
[email protected]
o
o
BAB 8
DIMENSI TIGA B. SUDUT
A. JARAK n
Jarak Antara Dua Tik Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan kedua k itu. A
n
n
Sudut Dua Garis Bersilangan Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara melukis sudut antara garis g dan h adalah: lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h, sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.
n
Sudut Antara Garis g dan Bidang V Langkah: proyeksikan garis g ke bidang V , sebut hasilnya g’, sudutnya = sudut antara garis g dan g’.
n
Sudut Antara Dua Bidang Langkah: tentukan perpotongan antara bidang V dan W sebut l, lukis garis di bidang V tegak lurus l , sebut g, lukis garis di bidang W tegak lurus l , sebut h, sudutnya = sudut antara garis g dan h.
B
Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara k A dan k B. Jarak Tik ke Garis Adalah panjang garis tegak lurus dari k ke garis.
A g B
n
AB menunjukkan jarak antara k A dan garis g yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak lurus g. Jarak antara Tik dengan Bidang Adalah panjang garis tegak lurus dari k ke bidang atau panjang garis lurus dari k ke k proyeksinya pada bidang. Jarak antara P dan bidang ditun jukkan oleh garis m yang tegak lurus bidang.
BAB 9
LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan k-k yang berjarak sama terhadap suatu k tertentu.
n
A. PERSAMAAN LINGKARAN n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari jari = r . y x 2 + y 2 = r 2 r (0, 0)
x
Persamaan lingkaran dengan pusat ( a, b) dan jari jari = r . y 2 2 ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 (a, b) r (0, 0) x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan menyinggung sumbu x :
[email protected]
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
y 2
2
( x − a ) + ( y − b ) = b (0 , b)
2
r
1.
x n
Diketahui k singgungnya ( x1 , y 1 ) Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + n y 2 = r 2 di k ( x 1, y 1). Rumus: x1 x
Persamaan lingkaran dengan pusat ( a, 0) dan menyinggung sumbu y : y 2
n
(a, b)
n
2
2
( x − a ) + ( y − b ) = d 2
d
x ap + bq + r
Dengan d =
p
adalah d .
2
+q
2
r 2
2
( x − a ) ( x1 − a ) + ( y − b ) ( y1 − b ) = r 2
r
Persamaan lingkaran dengan pusat ( a, b) dan menyinggung garis px + qy + r = 0. y px + qy + r = 0
=
Persamaan garis singgung pada lingkaran 2
x
n
y1 y
( x − a ) + ( y − b ) = r 2 di k ( x 1, y 1). Rumus:
2
( x − a ) + ( y − b ) = a2 (a, 0)
+
Persamaan garis singgung di k P( x 1, y 1) pada lingkaran: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0. Rumus: x1 x
2.
+ y1 y +
a( x1 + x) + b(y1
+ y) + c = 0
Diketahui gradien m Persamaan garis singgung dengan gradien m n pada lingkaran yang berpusat di k O(0, 0) dan jari–jari r. Rumus: 2 y = mx ± r 1 + m
. Jari-jari lingkaran
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran ( x – a)2 + (y – b)2 = r 2. Rumus: y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m2
1.
Persamaan Umum Lingkaran x
2
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN
+ y 2 + Ax + By + C = 0
Diberikan garis g: Pusat
2.
− A , − B dan jari-jari r = 2 2
2
A
4
2
+
B
4
− C
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan L: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah k A( x 1, y 1). Kedudukan k A( x 1, y 1) terhadap lingkaran L adalah: K = x 12 + y 12 + 2ax 1 + 2by 1 + c n
n
n
K > 0 maka k A( x 1, y 1) berada di luar lingkaran. K < 0 maka k A( x 1, y 1) berada di dalam lingkaran. K = 0 maka k A( x 1, y 1) berada pada lingkaran.
y = mx + n dan lingkaran:
2 2 2 L ≡ x + y = r . Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara: n Substusi garis g ke L. Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi, n yaitu: 1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada dua k, 2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada satu k (garis menyinggung lingkaran), 3. D < 0, maka garis dak menyinggung lingkaran.
1
2
[email protected]
3
BAB 10
SUKU BANYAK
Bentuk umum: f ( x ) = an x n + an-1 x n-1 + an-2 x n-2+ ... + a1 x + a0,
n
dengan an ≠ 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1, a0 disebut koesien-koesien suku banyak dari masingmasing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta real dan an ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap (konstanta).
A. NILAI SUKU BANYAK
a
a
n
ah
ah2 + bh
ah3 + bh2 + ch
ah + b
ah2 + bh + c
ah3 + bh2 + ch + d
n
n
OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK
n
Fungsi derajat ga: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 b x1 + x2 + x 3 = − a c x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 = a d x1 . x2 . x 3 = − a
n
Fungsi derajat empat: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 b 1. x1 + x2 + x3 + x 3 = − a c 2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x 4 = a d 3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x 4 = − a e 4. x1 .x2 .x3 .x 4 = a
Berar kalikan dengan h
B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
f ( x ) = h( x ) g( x ) + s( x ) Keterangan: f ( x ) = yang dibagi g( x ) = pembagi h( x ) = hasil bagi s( x ) = sisa Catatan: k < n
à berderajat
n à berderajat k à berderajat (n – k ) à berderajat (k – 1)
Jika f (a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat nol suku banyak f (x), maka ( x – a) adalah faktor dari suku banyak f (k ). Jika pada suku banyak f ( x ) berlaku f (a) = 0 dan f (b) = 0, maka f ( x ) habis dibagi ( x – a) ( x – b). Jika ( x – a) adalah faktor dari f ( x ), maka x = a adalah akar dari f ( x ).
E.
+
Jika suatu suku banyak f ( x ) berderajat n dibagi oleh suku banyak g( x ) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h( x ) dan sisa pembagian s( x ), secara matemas pembagian ini dapat ditulis:
Jika ( x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f ( x ) maka f (a) = 0.
D. TEOREMA FAKTOR n
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan: 1. Cara Substusi Jika f ( x ) = x 4 – 2 x 3 + x + 5 maka nilai suku banyak tersebut untuk x = 1 adalah f (1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 5 2. Metode Horner Jika ax 3 + bx 2 + cx + d adalah suku banyak maka f (h) diperoleh cara sebagai berikut. a b c d h
Suatu suku banyak f ( x ) jika dibagi (ax – b) maka sisanya = f ( b ).
C. TEOREMA SISA n
n
Suatu suku banyak f ( x ) jika dibagi ( x – a) maka sisanya = f (a). Suatu suku banyak f ( x ) jika dibagi ( x + a) maka sisanya = f (–a).
[email protected]
BAB 11
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan seap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis f : A → B .
f
x
x
f ( x ) =
g( f ( x ))
B go f
C
ax + b cx + d
Sifat-sifat fungsi komposisi:
n
f g ≠ g f f (g h) = ( f g) h = f g h I adalah fungsi identasi di mana I( x ) = x, maka berlaku I f
-1
( x ) =
f
n
Þf
= f I dan f f −1 = f −1 f = I
-dx + b
cx - a
C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI
( g f )( x ) = f ( f ( x ) )
n
= b ⇔ f -1 (b) = a
Rumus,
f ( x )
A
B
Sehingga jika f ( x ) = y maka f -1 (y ) = x . Fungsi invers berlaku:
f (a) g
f -1
A
A. FUNGSI KOMPOSISI f
f ( x )
g
x
f ( x )
g( f ( x ))
A
B go f
C
(go f )-1
Sifat: −1
( g f ) ( x ) = ( f −1 g −1 ) ( x )
B. FUNGSI INVERS Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f ( x ) − dinotasikan f ( x ) . 1
BAB 12
LIMIT
A. TEOREMA LIMIT
n
n
Jika f ( x ) = k , maka lim f ( x ) = k , dengan k konstanta, x→a k dan a ∈ real
n
Jika f ( x ) = x , maka lim f ( x ) = a
n
n n
lim k . f ( x ) = k . lim f ( x ), k konstanta
x →a
lim { f ( x ). g( x )} = lim f ( x ). lim g( x ) x →a x →a f (x ) f ( x ) xlim lim , lim g(x ) ≠ 0 = →a x →a g( x ) lim g(x) x→a x →a
x →a
x →a
lim { f ( x )
x →a
± g( x )}
= lim f ( x ) x →a
x →a
g( x ) ± lim → x
a
n
n
lim{ f (x)} x →a
f (x )} = {lim x→ a
n
[email protected]
B. LIMIT ALJABAR 1.
2.
0
Bentuk a. b.
C. LIMIT TRIGONOMETRI lim
0
x →0
Dengan pemfaktoran. Dengan aturan L’Hospital diperoleh: F ( x) F '( x) F '(a) lim lim = = x→a G( x) x→a G '( x) G '(a)
Bentuk tak tentu
lim x →0
lim x →0
∞ ∞
lim x →0
n n
3.
a
⇒L= p Untuk n > m ⇒ L = ∞ Untuk n < m ⇒ L = 0 Untuk n = m
Bentuk tak tentu
x x
=1
x →0
=1
sin x tan x x x
lim lim
sin mx
=
m
nx n sin m( x − a)
x →a
n(x − a)
=
m n
=1
tan x
=1
Beberapa rumus bantu:
+ bx n−1 + ... + c lim =L x →∞ px m + qx m−1 + ... + r ax n
n
sin x
2
2
1. 2.
sin x + cos x = 1 sin 2 x = 2 sin x cos x
3.
cos 2 x = cos x – sin x
4.
1 – cos 2 x = 2 sin x
5.
1 + cos 2 x = 2cos x
2
2
2
2
∞−∞
Rumus cepat: lim
x ®¥
(
)
ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r = =
b-q
(Jika a = p) 2 a ( Jika a > p)
=-
BAB 13
( Jika a < p)
TURUNAN
A. DEFINISI
3.
y ' = f '(x ) = lim
Jika y = u( x )
f ( x + h) − f (x )
h→0
h
Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.
4.
± v ( x ) maka y ’ = u’( x ) ± v ’( x )
Turunan perkalian fungsi. Jika y = u( x ).v ( x ) maka y ’ = u’(x).v ( x ) + u( x ) v’( x )
B. RUMUS DASAR 1.
5.
Turunan suatu konstanta c.
Jika y =
Jika y = c maka y ’ = 0
2.
Turunan perkalian fungsi dan konstanta. Jika y = c f ( x ) maka y ’ = c f ’ ( x )
Turunan pembagian fungsi.
6.
u(x ) v(x )
maka y ' =
u '(x ).v( x) − u(x).v '(x) v 2 (x )
Turunan fungsi komposisi (dalil rantai). Jika y = f (g( x )) adalah
[email protected]
dy dx
=
dy dg . dg dx
7.
Turunan fungsi pangkat.
Gradien = nilai turunan pertama f ( x ) keka x = x 1. −
m = f ’( x 1)
n 1
n
Jika f ( x ) = ax maka f’ ( x ) = a.n x
Persamaan garis singgungnya:
Turunan Trigonometri
y − y1
n
f ( x ) = sin ax , maka f ’( x ) = a cos ax f ( x ) = cos ax , maka f ’( x ) = –a sin ax
n
f ( x ) = tan ax , maka f ’ ( x ) = a sec ax
n
2
C. PENERAPAN TURUNAN n
Gradien (m) garis singgung di k ( x1 , y 1 ) pada kurva f ( x ) m = f ’( x )
f ( x )
BAB 14
C. INTEGRAL PARSIAL
∫ f ′(x)dx = f (x) + C
∫UdV = UV − ∫ VdU D. LUAS DAERAH
A. RUMUS DASAR
3. 4. 5. 6. 7. 8.
Keadaan stasioner Bila keadaan stasioner terjadi di k ( x1 , y 1 ) maka f ’( x 1) = 0. y1 = f ( x 1 ) disebut nilai stasioner. Jadi nilai maksimal/minimum adalah . ( x1 , f ( x 1 )) Catatan: Tik stasioner sama arnya dengan k puncak/ k balik.
INTEGRAL
Integral adalah an turunan.
2.
Interval fungsi naik dan interval fungsi turun Kurva naik jika: f’(x) > 0 Kurva turun jika: f’(x) < 0
n
( x1 , y 1 )
1.
n
= m(x − x1 )
∫ a dx = ax1+ C ∫ x dx = n + 1 x + C , syarat n ≠ −1 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C 1 ∫ s in x c os xdx = m + 1s in x + C −1 ∫ cos x sinx dx = m + 1 cos x + C ∫ ( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f( x) dx ± ∫ g(x) dx
b
L=
n+1
n
m+1
m
n
∫ f '(x) ⋅ ( f (x)) dx =
( f (x ))
L=
∫ ( y
2
− y1 )dx
a
d
L=
∫ ( x
kanan
− xkiri )dy
c
d
L=
∫ ( x
n+1
n +1
− ybawah ) dx
b
c
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
atas
a
m+1
m
∫ ( y
+ C
[email protected]
2
− x1 ) dy
E.
VOLUME BENDA PUTAR
Jika x 1 dan x 2 dua fungsi konnu pada r ≤ x ≤ s , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x 1 dan x 2 terhadap sumbu y.
Jika y 1 dan y 2 dua fungsi konnu pada p ≤ x ≤ q , maka volume benda putar yang dibatasi oleh y 1 dan y 2 bila diputar terhadap sumbu x. q
V
= π ∫ (y2 )2 − (y1 )2 dx
p q
V
= π ∫ (y jauh )2 − (ydekat )2 dx
p
s
V
= π ∫ (x2 )2 − (x1 )2 dy
r s
V
= π ∫ (x jauh )2 − (xdekat )2 dy
r
BAB 15
PROGRAM LINEAR
Program linear adalah salah satu bagian dari matemaka terapan yang dapat memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, di mana model matemaka terdiri atas perdaksamaan-perdaksamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian opmum). Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model n matemaka kendala/syarat/masalah berupa sistem perdaksamaan linear. Hasil yang opmum ditentukan dengan terlebih n dahulu membuat model matemaka. Sasaran program berupa sebuah fungsi linier yang disebut fungsi sasaran/tujuan/objekf.
A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN Daerah (himpunan) penyelesaian perdaksamaan Ax + By + C ≥ 0 atau Ax + By + C ≤ 0 dapat ditentukan sebagai berikut. Jadikan A (koesien x ) bernilai posif. n Jika tanda perdaksamaan ≥ , maka daerah pen nyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By + C = 0 . n Jika tanda perdaksamaan ≤ , maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By + C = 0 .
s
B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF Hasil opmum terletak pada/di sekitar k pojok atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem perdaksamaan, dengan demikian nilai opmum (maksimum/minimum) fungsi objekf dapat ditentukan dengan: Penggunaan Garis Selidik Jika fungsi objekf f (x , y) = Ax + By + C , maka garis selidiknya adalah Ax + By + C = k . Nilai maksimum terjadi di k pojok/garis n batas paling kanan yang dilintasi garis selidik. Nilai minimum terjadi di k pojok/garis n batas paling kiri yang dilintasi garis selidik. Pengujian Tik Pojok Jika fungsi objekf f ( x , y) = Ax + By + C disubstusi dengan seluruh koordinat k pojok, maka hasil yang terbesar/terkecil merupakan nilai opmum dari fungsi objekf tersebut.
[email protected]
BAB 16
BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMATIKA Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama. Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2.
n
U Rasio ⇒ r = 2 U1 Suku ke-n
n
n n
Suku ke-n
= a + (n − 1)b
Sn
=
2
Sn
n
(2a + (n − 1)b) atau Sn
U3 U2
= ... =
=
n
Un−1
= a ⋅ r n−1
=
a (1 − r n ) 1 − r
=
atau Sn
− 1) r − 1
a ( r n
2
Rumus jumlah deret geometri tak hingga: S∞ =
(a + Un ) n
a 1 − r
Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:
B. BARISAN GEOMETRI
Sganjil =
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan adalah sama. Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2 Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan barisan geometri, maka:
Un
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Jumlah n suku pertama (Sn ) n
=a
Jumlah n suku pertama (Sn )
Suku pertama = U1
Un
=
Un
=a Beda ⇒ b = U2 − U 1 = U3 − U2 = ... = Un − Un−1
n
Suku pertama = U1
n
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada barisan aritmaka maka: n
n
suku-suku
n
n
1 − r
2
Jumlah tak hingga dari suku-suku genap: Sgenap =
pada
a
ar 1 − r
2
Rasio deret geometri tak hingga: Sgenap r = Sganjil
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika −1 < r < 1 ⇔ r < 1 .
BAB 17
MATRIKS
Matriks adalah kumpulan elemen–elemen disusun dalam baris dan kolom. Contoh: a11 a1n
am1
A =
yang
amn
Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m × n, dan ditulis Amn.
Dengan: a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1 amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
Kesamaan Matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika: 1. ordonya sama 2. anggota yang seletak harus sama
[email protected]
Contoh: a1 a2 a3 A = a4 a5 a6
Determinan matriks B:
b1 b4
B=
– – –
b6
b2 b3 b5
=
det B
Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6
B
=
Transpose matriks A = At = AT
n
BAB 18
c
d
e
f
d
e
f
g
h
i
g
h
i
C. INVERS n
Suatu matriks mempunyai invers jika determinannya dak nol . a b d 1 −1 A = A ⇒ = ad − bc −c c d
−b a
b
n
( A− ) = A
d
n
b
c
e
f
h
1
A ⋅ A
−1
−1
=
A
−1
⋅A =
1 Dengan: I2×2 = 0
= ad − bc
I
0
1
identas.
1 I3 x 3 = 0 0
0
0
1
0 ,
I = matriks 1
0
i
VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan
2.
arah. Notasi vektor: a, b, c , dan seterusnya. B(x2 , y2 , z2 )
A(x 1 , y1 , z1 ) AB = B − A = ( x2
− x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Vektor posisi adalah vektor dengan k pangkalnya adalah pusat koordinat. Vektor posisi dari k A adalah OA = a . Sehingga dari denisi vektor posisi AB = b − a . Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.
3.
=
a12
+ a22 + a32
Jika a = ( a1 , a2 ,a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a + b = ( a1 4.
+ b1 ,a2 + b2 ,a3 + b3 )
Jika k adalah skalar, dan a = ( a1 , a2 ,a3 ) maka
ka = ( ka1 , ka2 , ka3 )
Vektor Satuan n
n
A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
a1 a = a1i + a2 j + a3 k = ( a1 , a2 , a3 ) = a2 a3
Panjang vektor a dinotasikan sebagai
a
a dibaca “vektor a”.
1.
b
Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0
Determinan matriks A: det A = A
a Matriks 3 × 3: B = d g
a
n
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi. n
c
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
B. DETERMINAN
a Matriks 2 × 2: A = c
b
+ + +
Transpose Matriks Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu matriks baru yang disebut transpose matriks.
a
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1, 0, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu y adalah j = ( 0, 1, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu z adalah k = ( 0, 0, 1) .
n
Vektor satuan dari a adalah
[email protected]
a a
.
C. PROYEKSI
Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika p adalah vektor posisi dari k P yang membagi garis AB dengan perbandingan
a
AP : PB = m : n , maka
p =
m.b + n.a
m+n
c
Diketahui a = ( a1 , a2 ,a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
+ a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3
Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ):
B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)
a.b = a1 ⋅ b1
b
Bila c adalah vektor proyeksi a pada b maka: n
n
c
θ
= a cosθ =
n
a.b
b
Vektor c proyeksi vektor a pada b :
a.b c = 2 .b b
n
Diketahui a , b dan
a.b = a . b .cosθ
BAB 19
∠ ( a, b ) = α maka ⇔ cos θ =
a.b
a.b
TRANSFORMASI GEOMETRI
Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks a b MT →P '(x ', y ') dengan MT = maka P(x , y) c d
x ' a y' = c
B. REFLEKSI/PENCERMINAN n
b x
d y
A. TRANSLASI
Pencerminan k P( x ,y ) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan P’( x , –y ). sumbu x P(x , y) → P '( x , −y) Matriks transformasinya adalah
n
Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Pencerminan k P( x ,y ) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan P’(– x , y ). sumbu y P(x , y) → P '(− x , y) Matriks transformasinya adalah
n
Jika sembarang k P( x ,y ) ditranslasi dengan matriks T x ' x a a = , maka = + . Jadi P '( x + a , y + b) . y ' y b b
1 0 0 −1
−1 0 0 1
Pencerminan k P( x ,y ) terhadap sumbu y = x menghasilkan bayangan P’(y , x ). garis y=x P(x , y ) →P '(y , x ) Matriks transformasinya adalah
[email protected]
0 1 1 0
n
Pencerminan k P( x ,y ) terhadap garis y = – x menghasilkan bayangan P’(–y , – x ) garis y=− x →P '(−y , − x) P(x , y) Matriks transformasinya adalah
n
Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α
0 −1 −1 0
Matriks reeksi terhadap garis y = x + k x ' 0 1 x 0
y' = 1
n
n
+ k
0 y − k
x '− a cosα − sinα x − a y '− b = sinα cosα y − b
Matriks reeksi terhadap y = – x + k x ' 0 −1 x 0
y ' = −1
0
y − k + k
n
Reeksi terhadap garis x = h x =h P(x , y) →P '(2h − x , k)
n
Reeksi terhadap garis y = k y =k P(x , y) →P '(x ,2k − y)
n
Reeksi terhadap garis x = h lalu y = k x =h ,y =k P(x , y) → P '(2h − x ,2k − y)
n
Pencerminan terhadap dua garis yang saling berpotongan Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan yaitu garis y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 akan menghasilkan rotasi dengan: a. pusat di k potong dua garis, b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat sudut antara kedua garis, c. arah rotasi sama dengan arah dari garis pertama ke garis kedua. Jika α sudut yang dibentuk antara garis y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 , maka tanα =
m1 − m2 1 + m1 ⋅ m2
.
D. DILATASI Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi dak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh k pusat dan faktor dilatasi (faktor skala). Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k n adalah k 0
0
n
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k x ' k 0 x
y' = 0
n
k y
Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k x '− a k 0 x − a
y '− b = 0
E.
k
k y − b
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika transformasi T 1 bersesuaian dengan matriks M1
C. ROTASI
dan transformasi T 2 bersesuaian dengan matriks M2 ,
Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh k pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah posif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, berlaku sebaliknya. Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α n
maka transformasi T 1 lalu transformasi T 2 ditulis T2 T 1
bersesuaian dengan matriks M2 ⋅ M1 .
x ' cosα − sinα x y ' = sinα cosα y
[email protected]
