Exercícios Resolvidos sobre Colisões Exercício Exercí cio Res Resolv olvido ido 2.1 (Al (Alaor aor Cha Chaves ves): ): Uma Uma nave nave de mass massaa igua iguall a 300 300 kg, kg, com com velocidade de 40,0 km/s em relação ao Sol, faz uma colisão com Marte (velocidade orbital de 24,1 km/s). km/s). A nave se aproxima aproxima de marte com velocidade velocidade oposta à do planeta e o contorna, adquirindo adquirindo velocidade final paralela à dele (figura 2.1). Qual é a velocidade da nave após a colisão ?
v 1i
v 2i≈ v 2f
v 1f Figura 2.1: Colisão com Marte Resolução: Este exercício é interessante, porque mostra uma colisão que não ocorre de forma quase instantânea. Uma colisão, do ponto de vista físico, é um interação entre dois corpos que ocorre em um determinado período de tempo, ou seja existe um "antes" e um "depois" da colisão, e só neste intervalo entre o "antes" e o "depois" é que ocorre a interação entre os dois corpos. Fora deste intervalo de tempo a interação entre eles pode ser desprezada. Outra coisa a ser observada é que Marte é muito, mas muito mais massivo mesmo, do que a espaçonave, então sua massa pode ser considerada infinita em nossa análise. Como Marte e a nave estão na mesma direção antes e depois da colisão, o problema é uma colisão unidimensional. Usando a fórmula (2.10) do fascículo da disciplina (não é pra decorar, mas eu não vou repetir aqui a conta que eu já fiz lá, OK ?), e considerando a nave como o corpo 1 e marte como o corpo 2, temos que a velocidade final da nave é
v 1f
=
m1 − m2 m1 m 2
v 1i
2 m2 m1 m 2
v 2i
.
(1)
Considerando que m2 ≫ m1 , (1) pode ser simplificada (ver discussão fascículo) para v 1f = − v 1i 2 v 2i ,
(2)
e usando os valores dados no problema (considerando o sentido inicial da velocidade da nave como positivo), obtemos v 1f = − 40 2. −24.1 = −88,2 (km/s). Ou seja, a velocidade final da nave é de 88,2 km/s, com sentido oposto ao seu sentido inicial.
Exercício Resolvido 2.2 (Alaor Chaves): Dois prótons, em um instante inicial t = 0 , estão muito distantes um do outro, movendo-se com velocidade relativa 2 v , e caminham para uma colisão frontal, como mostra a figura 2. A energia potencial entre as duas, decorrente da força −38 2,32×10 de repulsão elétrica vale U x = (J), com x (dado em metros) sendo a separação x
entre os centros das duas partículas. Sabendo que cada partícula tem massa de 1,67 ×10−27 kg e 6 v = 5,27×10 m/s, calcule a distância mínima entre as partículas.
v
−v
Figura 2: Colisão entre dois prótons, no referencial do CM Resolução: Na situação inicial, em que as partículas estão muito distantes uma da outra, a energia potencial é zero, consequentemente a energia inicial é toda cinética, e igual a 2.
1 2 −14 m v = 4,64× 10 J. E mais: a energia é conservada nesta colisão (me perguntem porque 2
na conferência web), ou seja −14
U x K = 4,64 ×10
J,
(3)
para todos os valores possíveis da distância x. O valor máximo de obter este valor mínimo de que,
U x
corresponde ao valor mínimo da energia cinética K . Vamos através da lei da conservação do momento linear total. Sabemos
K
P
=
m v m − v
= 0 ,
(4)
v 1 é sempre igual a −v 2 e, consequentemente, a energia cinética total é então K =
1 1 1 1 2 2 2 2 2 m v1 m v2 = m v1 m v1 = m v1 . 2 2 2 2
(5)
O valor mínimo possível de K é K = 0 , quando v 1 = v 2 = 0 . Assim, o máximo de U x ocorre quando K = 0 . Neste caso, (3) nos fornece U x = 4,64 ×10−14 J. Com isto, calculamos o valor mínimo possível de x, resolvendo o problema −38
2,32×10 U x = x
= 4,64×10−14
x mín = 5 ×10−25 m
.
(6)
Exercício Resolvido 2.3 (Alaor Chaves): a) Resolva o exercício anterior no referencial do laboratório (aquele em que o segundo próton está em repouso no instante inicial). b) Calcule também a velocidade (no referencial do laboratório) dos dois prótons no instante de aproximação máxima. Resolução: A situação inicial neste referencial está ilustrada na figura 3.
2 v
Figura 3: Colisão de dois prótons no referencial do laboratório. (a)A
energia
cinética
inicial
(que
é
a
energia
total)
agora
é
1 −14 2 2 m 2 v = 2 m v = 9,28×10 J, o dobro do valor obtido no exercício anterior. Por outro 2 lado o momento linear total agora não é mais zero. O momento linear total, calculado no instante inicial é P = m. 2 v = 2 m v .
(7)
Como esta quantidade é conservada, temos que, em qualquer instante,
=
P
m v 1 m v 2
= 2mv ,
(8)
consequentemente v 1 = 2 v − v 2 m/s .
(9)
A energia cinética é dada por K =
1 1 2 2 m v1 m v 2 . 2 2
(10)
Substituindo (9) em (10), obtemos K =
1 1 2 2 2 m 4 v − 4 v v2 v 2 m v 2 2 2 .
K =
(11)
1 2 2 m 4 v − 4 v v2 2 v 2 2
A expressão de K dada em (11) é uma parábola com concavidade para cima. O mínimo de K , dK
que calculamos resolvendo (11) obtemos K mín = m v
d v2 2
.
= 0 , ocorre quando v 2 = v . Substituindo este resultado em
Lembrando que U x K = 2 m v 2 , então U máx
= 2 m v 2 − K mín =
mv
2
= 4,64× 10−14
(12)
Consequentemente, obtemos para a distância x mínima o mesmo valor obtido no referencial do CM (como não poderia deixar de ser, afinal classicamente a distância entre dois pontos é uma quantidade independente do referencial 1 ) (b) Na máxima aproximação, v 1 = v 2 = v = 5,27 ×10
6
m/s.
Exercício Resolvido 2.4 (Alaor Chaves): Uma partícula de massa igual a 1 g, inicialmente com a velocidade de 30 m/s, colide com outra partícula parada, cuja massa vale 2 g, e sofre um desvio de 30º em sua trajetória. Na colisão, 30% da energia mecânica do sistema são perdidos. Calcule a velocidade das duas partículas após a colisão. Resolução: Esta é uma colisão inelástica bidimensional. No fascículo não discutimos este assunto, então este exercício nos possibilitará abordá-lo. A equação da (variação da) energia mecânica é 0,7
1 1 1 2 2 2 m1 v 1i = m1 v 1f m 2 v 2f , 2 2 2
(13)
expressando que a energia mecânica final é apenas 70% da energia mecânica inicial. As equações da conservação do momento linear são m 1 v 1i = m1 v 1f cos30º m 2 v 2f cos .
(14)
m2 v 2f cos = m1 v 1i− m 1 v 1f cos30º ,
(15)
m2 v 2f sin = m1 v 1f sin 30º Reescrevendo a primeira das equações (14) como
e elevando esta equação e a segunda equação de (14) ao quadrado e somando as duas, eliminamos a variável , ficando com 2
2
m 2 v 2f
=
2
2
2
2
2
m 1 v 1i− 2 m 1 v 1i v 1f cos30º m 1 v 1f
.
(16)
Substituindo os dados do problema em (16) obtemos
1
Quando estudarmos a Teoria da Relatividade de Einstein, lidaremos com situações em que a distância entre dois pontos depende do referencial em que é feita a medida. Mas isto já é outra história...
2
2
4 v 2f = 30 − 60 v 1f
3 2
v 21f .
(17)
v22f = 225−13 v1f 0,25 v 21f Substituindo (17) em (13), juntamente com os dados do problema, obtemos 2
2
2
0,7.30 = v1f 450− 26 v 1f 0,5 v 1f
.
1,5
2 v 1f
(18)
−26 v 1f − 180 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau (18), obtemos v 1f = 22,6 m/s. Substituindo este resultado em (17) obtemos v 2f = 7,7 m/s. Para obter o ângulo , basta substituir v 1f e v 2f em (14), obtendo = 47,2º .