WALTER MONROY P.
JOHN MAMANI M. D. EN ARREGLOS SOMBREADOS
Para arreglos de esta forma
Caso General O N N H H H S S S S
CAPÍTULO V RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es un razonamiento que consiate en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir
Casos particulares N 1 = 97 × 92
J O N H S
O N N H H H S S S S
5 niveles
El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:
N 2 = 997 × 992 N 3 = 9997 × 9992
1 2 3
Casos particulares
B. EN ARREGLOS GRÁFICOS
3
18 19 20
n −1
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer
Caso General
JOHNS será 3
CASO 1
5 −1
4
= 3 = 81
Para arreglos de esta forma INDUCCIÓN
CASO GENERAL
Si en cada caso se requiere saber el resultado, el número de cerecillos, el número de palabras y el número de esferas sombreados, lo podemos obtener relacionando los resultados de los casos particulares con la cantidad de cifras, el número de filas, número de letras…
CASO 1
1
99 100
2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
1 2
CASO 1
Casos particulares Casos particulares
Observación
Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones. Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo. Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original. Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares. En este tema podemos observar tres tipos de problemas.
1
1
2
50 cifras
Academia SERUNA
3
2
I O
A Y
O C
I O
O
Casos particulares A
D D
A A
Y
Y
A Y
Y
I
O
O
Y I
I
JOHNS será 2
50 cifras
77
n
78
5 −1
5
JOHNS será 2 − 1 = 31 ¡Tenga en cuenta que…! Además en este tema, los números triangulares son muy usados.
n −1
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer
A Y
I
5 niveles
I
2 D
A
C I
El número de maneras de leer la palabra ROCIO se determina mediante la siguiente expresión:
I I I I R R R R R O O O O O O
El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer
C
Y
5 niveles
R O
D Y
J O J N O J H N O J
2 −1
Caso General A
J O N H S
Para arreglos de la siguiente forma
C. EN ARREGLOS LITERALES
A. EN ARREGLOS NUMÉRICOS Caso General N = 999......97 × 999......92
1
J
J J O J O N O N H
4
= 2 = 16
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1
3
6
10
1× 2 2
2× 3 2
3× 4 2
5×6 2
Academia SERUNA
WALTER MONROY P.
JOHN MAMANI M. a) 4924 d) 4936
ARREGLOS NUMÉRICOS
b) 4862 e) 4816
2 −1
E = (999....995) 2 a) 901 d) 907
b) 307 e) 607
4 sumandos ; R = 1 + 2 + 4 + 8
=
Resultado Suma de cifras 9025 → 1 ×9 +7
9952
=
990025
=
999952
99900025
→ →
= 9999000025 →
2 ×9 +7 4 ×9 +7
M= a) 2 d) 1
PROBLEMA 02 R = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ......
a) 2
40
−1
b) 2
d) 2
39
−1
e) 2
+1
39
+1
Resolución Analizando por partes, tenemos:
c) 2
40
b) 900 e) 320
c) 1089
b) 900 e) 1080
c) 180
Siempre sale el último número Entonces
b) 360 e) 540
c) 630
2
101cifras
2 1 −1
2 sumandos ; R = 1 + 2 2 2 −1 Academia SERUNA
a) 606 d) 500
PROBLEMA 03
Si:
a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161
b) 600 e) 909
c) 630
05. Calcular la suma de cifras del resultado de:
E = (33......34)2
Calcular: R = a + aa + aaa + ..... " a " sumandos
2
31cifras
a) 925 d) 62
b) 279 e) 155
c) 277
08. Hallar la suma de cifras del resultado:
A = (333......33)2 + (999......99)2
A = 36 × (111...111 )
1 sumando ; R = 1
c) 229
07. Hallar la suma de las cifras de:
04. Calcular la suma de las cifras de A
M = 3 9999 × 10000 × 10001 + 10000 M = 10000
b) 228 e) 265
A = (999...995)
50 cifras
a) 900 d) 450
c) 129
30 cifras
03. Calcula la suma de las cifras del resultado de: A = (999...999) × 12
M2 = 3 3 × 4 × 5 + 4 = 4
b) 128 e) 125
06. Hallar la suma de cifras del resultado:
a) 277 d) 130
2
100 cifras
a) 1800 d) 720
a) 127 d) 130
E = (999....994)2
E = (999......99)
M2 = 3 2 × 3 × 4 + 3 = 3
Calcular:
2
02. Hallar la suma de cifras de:
Resolución M1 = 3 1 × 2 × 3 + 2 = 2
40 sumandos 40
+1
100 cifras
a) 9000 d) 300
Analicemos los tres casos particulares
100 cifras
Entonces: R = 4 + 44 + 444 + 4444 R = 4936
121 = 11
01. La suma de cifras de: E = (333...333)
9999 × 10000 × 10001 + 10000 b) 10000 c) 9999 e) 10001
→ 100 × 9 + 7 = 907
a5 × a8 + 1 = 2161
¡Comprueba lo que sabes!
Halle el valor de M. 3
+1
Luego para el caso pedido
Por tanteo a = 4
PROBLEMA 04
3 ×9 +7
Cantidad de cifras "9" (999...995)2 =
2×5
2 40 −1
361 = 19
a5 × a8 = 2160 45 × 48 = 2160
25 = 5
+1
2 × 3× 4 × 5 + 1 =
40 sumandos ; R = 1 + 2 + 4 + 8 + .......
95 2
9995
1× 4
c) 405
Analicemos por Inducción.
2
1 × 2× 3× 4 + 1 =
2 4 −1
Resolución
3×6
Analizamos los casos particulares con el producto de cuatro números consecutivos.
2 3 −1
101 cifras
3 × 4× 5× 6 + 1 =
Resolución
3 sumandos ; R = 1 + 2 + 4
PROBLEMA 01
Calcule el valor de E y de cómo respuesta la suma de las cifras del resultado.
c) 4546
21 cifras
a) 199 d) 201
b) 189 e) 203
21 cifras
c) 198
09. Hallar la suma de las cifras del resultado de: E = (999...999) × (777...777) a) 450 d) 700
50 cifras
50 cifras
b) 630 e) 2500
c) 350
21 cifras
79
80
Academia SERUNA
WALTER MONROY P. 10. Halle la suma de cifras del resultado de: A = 888.....888 × 999.....999 100 cifras
a) 800 d) 700
20 cifras
c) 178
101 cifras
N = 999......94 × 999......96
307 a) 308 301 d) 302
101 cifras
298 b) 299 300 e) 301
305 c) 306
13. Calcule la suma de cifras del siguiente producto: 222.....222 × 999.....998 51 cifras
a) 567 d) 163
51 cifras
b) 546 e) 357
c) 239
(n − 3) cifras
c) 9n + 20
a) 100 d) 90
c) 13/12
a) 300 d) 900
20 sumandos
c) 20/25
2
2
2
2
2
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ⋯ + 21 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 21 a) 1 b) 21 c) 3 d) 1/21 e) 4
2
a) 1 d) 90
1 × 3 + 3 × 5 + 5 × 7 + ⋯ + 59 × 61 + 30 2
2
2
2
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 30 b) 2 c) 30 e) 40
2
c) 13/12
9 + 45 + 105 + ...... + 3n 3 + 12 + 27 + ...... " n " sumandos
b) 4 e) 25
Academia SERUNA
a) 100 d) 300
b) 200 e) 400
c) 450
100 × 101 × 102 × 103 + 1 b) 10030 c) 13001 e) 10301
b) 362 e) 456
c) 452
29. Halle el valor de N(152) si N(1) = (1 × 2) + 3 N(2) = (2 + 3) × 4 N(3) = (3 × 4) + 5 N(4) = (4 + 5) × 6 Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 24 b) 25 c) 26 d) 18 e) 29 30. Dada la siguiente sucesión R(1) = 1 × 2 + 3 R(2) = 2 + 4 + 1 R(3) = 3 × 4 + 3 R(4) = 4 + 16 + 1 R(5) = 5 × 6 + 3 R(6) = 6 + 36 + 1 Hallar el valor de: R(14) + R(17) a) 520 b) 400 c) 540 d) 420 e) 440
94 × 96 × 98 × 100 + 16 b) 9440 c) 9040 e) 9004
27. Sabiendo que: A(1) = 1 × 100 + 50 A(2) = 2 × 99 + 49 A(3) = 3 × 98 + 48 Calcular: A(20) a) 1551 b) 1651 c) 2236 d) 1546 e) 1561 28. Si se cumple que: M(1) = 2 + 1 − 1 M(2) = 4 − 4 ÷ 3 M(3) = 6 × 9 − 5 M(4) = 8 + 16 ÷ 7 Halle: M(19)
444....444 − 888....888 100 cifras
E= a) 10310 d) 10410
S=
24 cifras
" n " sumandos
100 cifras
M = 1 + 40 × 41 × 42 × 43 + 1 Dé como respuesta la suma de sus cifras a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
a) 9404 d) 9044
24 cifras
b) 13 e) 13/24
b) 100 e) 200
a) 348 d) 286
26. Halle el valor de:
13 1313 131313 1313...13 E= + + + ... + 12 1212 121212 1212..13
a) 12 d) 1/2
c) 180
25. Hallar:
19. Calcule el valor de la siguiente expresión A=
b) 99 e) 200
24. Calcule el valor de
18. Calcule el valor de la expresión
P=
10 cifras
200 cifras
2 + 5 + 8 + 11 + 14...... 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ...... b) 62/65 e) 61/65
20 cifras
M = 111....111 − 222....222
20 sumandos
a) 18/11 d) 80/81
1000....000 − 1999....999
23. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
17. Calcule el resultado en la expresión
21. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
2
a) 1 d) 16
b) 13 e) 13/14
(n − 3) cifras
b) 9n + 27 e) 9n − 23
15. Hallar " K ", si:
K=
A=
20. Calcular “E”
14. Calcula el valor de "N" y dar como respuesta la suma de sus cifras en: E = 999.....992 × 999.....992 a) 9n + 18 d) 9n − 20
a) 12/13 d) 14/11
M=
12. Hallar a ÷ b si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N. M = 999......93 × 999......97
101 cifras
1 + 9 + 25 + ...... 4 + 16 + 36 + ...... 20 sumandos
b) 174 e) 176
101 cifras
M=
c) 1000
11. Hallar la suma de cifras del resultado: N = 999......97 × 999......93 a) 179 d) 271
22. Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente operación.
20 sumandos
100 cifras
b) 900 e) 1200
20 cifras
16. Calcule el valor de la expresión
JOHN MAMANI M.
50 cifras
c) 600
c) 9
81
82
Academia SERUNA
WALTER MONROY P.
05. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?
ARREGLOS GRÁFICOS SUCESIVOS
iii
PROBLEMA 01
¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?
9 puntos de contacto = 3 × 3 = 3(1+2) 2 ×3 2
Fig. 2
18 puntos de contacto = 3 × 6 = 3(1+2+3) 3 ×4 2
Fig. 3 Fig.1
Fig.2
a) 260 d) 644
JOHN MAMANI M.
Fig.3
b) 307 e) 630
Fig.20
Fig. 1 a) 440 d) 380
Fig. 2 b) 450 e) 500
iii 20 × 21 2
3 puntos de contacto = 3 × 1 = 3(1) 1 ×2 2
Fig. 1
Fig. 1 a) 210 d) 240
Fig. 20
Fig. 2 b) 220 e) 250
iii Fig. 1 a) 100 d) 600
Fig. 2 b) 200 e) 800
Fig. 3
iii Fig. 1
c) 400
a) 59 d) 63
02. Se sigue la secuencia, ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 100?
Fig. 1
Fig. 2 b) 60 e) 64
Fig. 1
iii
iii
Fig. 1 a) 200 d) 404
Fig. 2 b) 400 e) 800
Academia SERUNA
Fig. 3 c) 440
Fig. 1
a) 299 d) 399
b) 300 e) 400
Fig. 2 b) 440 e) 500
b) 55 e) 100
Fig. 3 c) 27
12. Calcule el número total de bolas que se ubican en la figura 10.
iii
c) 61
a) 420 d) 480 Fig. 2
Fig. 3
a) 50 d) 42
Fig. 2
c) 24
08. ¿Cuántos puntos de cortes tenemos en la figura 20?
Fig. 3
04. Siguiendo la secuencia mostrada, determine cuántos segmentos tendrá la figura 100.
Fig. 1
Fig. 2 b) 22 e) 26
11. Determine el número total de esferas oscuras que habrá en la figura 10.
c) 230
iii
a) 21 d) 25
Fig. 3 c) 135
iii
07. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?
03. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?
Fig. 2 b) 134 e) 136
Fig. 3
¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cuántos puntos de corte tendrá la figura 100?
c) 8008
10. Halle el número de esferas que hay en la figura 15.
Fig. 1 a) 133 d) 132
c) 635
Resolución
b) 4004 e) 1608
iii
Fig. 3 c) 400
06. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?
3(1+2+3+.....+20) = 630
a) 2002 d) 8007
Fig. 1 a) 100 d) 101
Fig. 2 b) 90 e) 120
Fig. 3 c) 99
13. Calcule el número de esferas que tiene la figura 50.
Fig. 3 c) 460
iii
09. ¿De cuántos lados constará la figura 2002?
Fig. 3 c) 397
iii F(1)
83
84
F(2)
F(3)
Fig. 1 a) 250 d) 200
Fig. 2 b) 110 e) 400
Fig. 3 c) 120 Academia SERUNA
WALTER MONROY P. 14. ¿Cuántas bolitas pintadas hay en la figura 15?
18. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contaran en la figura 25?
iii iii Fig. 1 a) 240 d) 225
Fig. 2
Fig. 3
b) 140 e) 150
Fig. 1
c) 340
a) 625 d) 250
15. En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.
JOHN MAMANI M.
Fig. 2 b) 600 e) 750
ARREGLOS GRÁFICOS En el problema:
PROBLEMA 01
Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre.
Fig. 3 c) 500
19. Halle el número de cerillas de la figura 20.
iii Fig. 1 a) 201 d) 181
b) 131 e) 231
16. ¿Cuántos triángulos ubicación 100?
a) 842 d) 867
c) 151 se
contarán
en
la
Fig. 2
1
Fig. 3
b) 754 e) 859
2
3
28 29 30
2
1 2 a) 900 d) 907
c) 782
3
28 29 30 c) 405
b) 307 e) 899
20. Determine el número total de cerillas desde la figura 1 hasta la figura 20.
⇒ 30 − 1
∴ Nº de palitos = 899
PROBLEMA 02
Resolución
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Caso 1:
1
2
3 = 2 −1
iii
iii
1
2 3
2
Caso 2: Fig. 1 a) 103 d) 275
Fig. 2
Fig. 1
Fig. 3
b) 300 e) 725
c) 301
a) 2250 d) 2050
17. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(n)?
iii F(1)
F(2)
a) 4n d) 4n + 2
b) 4n –1 e) 3n –1
b) 2450 e) 2375
Fig. 3 8 = 3 −1
1
2
3
18 19 20 a) 400 d) 907
Caso 3:
b) 307 e) 300
c) 405
Resolución iii
F(3)
c) 4n + 1
2
c) 6160
21. ¿Cuál es la suma del número de triángulos de la figura n + 1 y el número de cuadriláteros de la figura n − 1 ?
Fig. 1 a) 4n + 1 d) n
Academia SERUNA
Fig. 2
Fig. 2 b) 4n e) 4 + n
2
15 = 4 − 1
Analizando por partes, tenemos: Caso 1
Fig. 3
1 triángulo = 12
c) 2n + 1 1
85
86
2
3
4
1 Academia SERUNA
WALTER MONROY P.
a) 10 d) 13
En el problema:
Caso 2
1
4 triángulos = 22
1
JOHN MAMANI M. b) 11 e) 14
c) 12
08. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?
2 3
2
202 = 400 triángulos
05. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura
18 19 20
Caso 3
1
∴ el total de triángulos es 400.
9 triángulos = 32
2 3
1
¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcule el número total de cerillos en el siguiente gráfico.
a) 2450 d) 4500
b) 1350 e) 1325
2
a) 1010 d) 10197
c) 1225
03. Halle el número total de cerillos en el gráfico.
3
1 2 a) 6225 d) 4525
98 99 100
b) 5000 e) 20097
c) 10027
06. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura
1
2
3
a) 2400 d) 2560
39
b) 2460 e) 2580
40
c) 2500
2 3 4
a) 800 d) 982
b) 881 e) 884
38 39 40 41
1
c) 882
04. Halle el número total de palitos utilizados en la construcción del siguiente gráfico.
a) 5000 d) 4080
2
3
b) 5050 e) 5060
48
49
50
c) 4060
4 b) 7550 e) 3125
97 98 99 100 c) 8950
09. Halle el número total de palitos en la siguiente figura:
1 1
3
2 3
a) 250 d) 5050
4
b) 2450 e) 1275
47
48 49
50
c) 1324
10. ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se pueden contar en la siguiente figura?
07. Hallar el número total de puntos de contacto.
02. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?
1
1
2
3
4
Academia SERUNA
47
48 49
50
2
3
48
49
50
Dé como respuesta la suma de sus cifras.
87
1 2 3 a) 290 b) 870 d) 1305 e) 2875
88
28 29 30 c) 420
1 2 3
a) 625 d) 450
48 49 50
b) 756 e) 650
c) 240 Academia SERUNA
WALTER MONROY P. ARREGLO MATRICIALES
PROBLEMA 01
Calcule la suma de todos siguiente arreglo. 3 5 7 1 3 5 7 9 5 7 9 11 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 49 51 53 55 a) 30625 d) 87815
los elementos del
b) 12254 e) 13315
... 49 ... 51 ... 53 ⋮ ... c) 32350
Resolución Analizamos tres casos particulares de matrices más pequeñas.
[1]
2 1+1 Suma : 1 = 1 × 1 = 1 × 1 = 1 2
2 1 3 2 3+1 3 5 Suma : 12 = 3 × 4 = 3 × 2 = 3 2
1 3 5 2 3 5 7 2 5+1 Suma : 45 = 5 × 9 = 5 × 3 = 5 2 5 7 9
Por lo tanto para la matriz de 49 3 5 … 1 2 ⋮ ⋮ ⋮ … Suma : = 49 49 + 1 = 30625 2 49 51 ⋮
2
¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo: 1 2 3 4 ⋯ 12 2 3 4 5 ⋯ 13 3 4 5 6 ⋯ 14 4 5 6 7 ⋯ 15 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 12 13 14 15 ⋯ 23 a) 1608 b) 1728 c) 1624 d) 1526 e) 1804 02. Hallar la suma de siguiente matriz 1 2 2 3 3 4 4 5 ⋮ ⋮ 10 11 Academia SERUNA
a) 100 d) 2000
... 10 4 5 ... 11 5 6 ... 12 6 7 ... 13 ⋮ ⋮ ⋮ 12 13 ... 19
c) 8000
03. calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 10
5 4 3 4 5 4 3 2 3 4 10
3 2 1 2 3
10
4 3 2 3 4
todos los elementos de la
3
b) 1000 e) 1500
5 4 3 4 5
4
a) 1000 d) 3781
10 b) 2000 e) 1331
JOHN MAMANI M. 04. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución numérica cuadrada si consta de 400 números 1 5 9 13 ... 77 5 9 13 17 ... ⋮ 9 13 17 21 ... ⋮ 13 17 21 25 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 77 ... ... ... ... a) 32800 b) 30800 c) 30600 d) 32600 e) 30400 05. Hallar la suma de los siguiente matriz de 10 × 10 6 8 2 4 8 10 4 6 6 8 10 12 8 10 12 14 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 20 22 24 26 a) 1800 b) 2000 d) 2400 e) 2700
... ... ... ...
20 22 24 26 ⋮ ... 38 c) 2100
06. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución cuadrada de 20 × 20 2 5 8 11 ... 59 5 8 11 14 ... ⋮ 8 11 14 17 ... ⋮ 11 14 17 20 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 59 ... ... ... ... a) 22600 b) 21600 c) 23400 d) 23800 e) 23600 07. Hallar la suma numérico: 1 + 3 3 + 5 5 + 7 7 + 9
c) 3000
elementos de la
a) 3780 d) 1650
b) 1700 e) 1500
c) 1900
08. Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente. F1 F2
1 4
F3 F4
9 16 ⋰
a) 44000 d) 10000
4 9
16 ⋰
9 16
.
16 ⋱
b) 44100 e) 12100
⋱
c) 14400
09. Calcular la suma de la fila 50 Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 + 5
Fila 3 : 7 + 9 + 11 a) 125000 b) 12500 c) 25000 d) 75000 e) 250000 10. Calcular el valor de "R", si: (n + 2) R= (n + 1) (n + 2) + n (n + 1) + ⋮
3 2
3+ 2+
1 1+
n+2 n +1 n+3 d) n+4
a)
n+3 n +1 n+3 e) n+2 b)
c)
1 2
n+5 n+3
total en el siguiente arreglo + + + +
5 7 9 11
+ + + +
7 9 11 13
+ + + +
... ... ... ...
+ + + +
19 21 23 25
⋮ 19 + 21 + 23 + 25 + ... + 37
89
90
Academia SERUNA
WALTER MONROY P.
JOHN MAMANI M.
Resolución
PROBLEMA 03
ARREGLO LITERALES En el problema:
PROBLEMA 01
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"?
SEBASTIAN : 9 letras
−1
S E A T
A
A
N
N
A
a) 256 d) 444
I A
N
S T
I
A N
S T
I
a) 64 d) 256
A
S T
I
B A
S
T I
B A
S
2 8 = 256 formas
E
B
T I
N
N
A N
b) 307 e) 322
PROBLEMA 02
I
A
A N
N
¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra LIBROS uniendo las letras adyacentes?
c) 435 L I
Resolución R
−1
O
S
→ 2 formas = 2
E E
O S
R O
S
b) 63 e) 31
1
O S
S
Resolución
−1
S → 4 formas = 2
E E
1 1
2
1 1
B B B
1
SEBA : 4 letras S E B
1 3
6 10
1 4
10
5
1
E
→ 8 formas =2
B A
01. Halle de cuantas maneras se puede leer la palabra RIOS, en el siguiente arreglo numérico R I I O O O S S S S a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2
E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O
3
A
Academia SERUNA
91
4
1
16 8
2
4
4
1
16 16
8 1
4
64 32
64
16
128 64
16
∴ Total de palabras 128
c) 72
03. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “ESTUDIO”, uniendo círculos consecutivos?
1
1 1
¡Comprueba lo que sabes!
∴ Total de palabras 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
B A
2
4 5
−1
1
3
b) 128 e) 36
02. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra YELSIN? Y E E L L L S S S S I I I I I N N N N N N a) 4 b) 128 c) 16 d) 32 e) 64
c) 62
Resolveremos por el triángulo de pascal
SEB : 3 letras
A
B R
O
a) 64 d) 32
−1
B R
S
S → 1 formas = 2 0 SE : 2 letras
I
B
Cuando la palabra tiene:
S : 1 letra
¿Cuántas palabras RAZONAMIENTO se pueden leer en total uniendo letras adyacentes? Z N E A A I T R Z O N M E N O A A I T Z N E
92
a) 64 d) 128
b) 32 e) 49
c) 56
04. De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCE uniendo letras vecinas. E C U D N I N D U C E E C U D N D U C E E C U D U C E E C U C E E C E E a) 16 d) 64
b) 32 e) 63
c) 31
05. ¿De cuantas formas diferentes se puede leer la palabra RAZONAR, uniendo letras vecinas, en el siguiente arreglo? RAZONARANOZAR RAZONANOZAR RAZONOZAR RAZOZAR RAZAR RAR R a) 63 d) 128
b) 64 e) 256
c) 127
06. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas distintas se lee la palabra INDUCTIVO uniendo letras vecinas? Academia SERUNA
WALTER MONROY P.
a) 60 d) 68
b) 65 e) 120
c) 75
07. ¿De cuantas maneras distintas se puede leer la palabra ROMA en el siguiente arreglo triangular: R R O R R O M O R R O M A M O R a) 12 b) 32 c) 15 d) 18 e) 23 08. ¿De cuantas maneras se pude leer la palabra COMPLETA, de modo continuo y uniendo letras vecinas en la siguiente distribución? C O O M M M P P P P L L L L L E E E E E E T T T T T T T A A A A A A a) 124 b) 126 c) 253 d) 128 e) 254 09. ¿De cuantas maneras se puede leer, de forma continua y uniendo letras vecinas, la palabra LEONEL en el siguiente esquema? L L L E E E E O O O O O N N N N N N E E E E E E E L L L L L L a) 96 b) 95 c) 92 d) 93 e) 94
10. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer ESTUDIOSO en el arreglo mostrado? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O S S S S S S S S a) 256 b) 254 c) 512 d) 128 e) 126 11. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra SALSA, de forma continua y uniendo letras vecinas en el siguiente esquema? S A A L L L S S S S A A A A A L L L L L L S S S S S S S A A A A A A a) 80 b) 90 c) 88 d) 76 e) 78 12. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra música, de forma continua y uniendo letras consecutivas en el siguiente diagrama? C I S U M U S I C A C I S U S I C A A C I S I C A A C I C A A C A a) 63 b) 62 c) 61 d) 60 e) 59
JOHN MAMANI M.
01. Halle la suma de las cifras del producto de: A = 7777777 × 999999999
a) 22 d) 30
b) 24 e) 20
c) 26
UNAP–2008
a) 82 d) 19
b) 18 e) 81
c) 80
06. ¿Cuántas bolitas tiene la posición número 20?
02. Halle la suma de cifras del resultado de: E = (3333......3333) 2 100 cifras CEPREUNA–BIO–2012
a) 900 d) 1098
b) 1000 e) 9000
c) 300
03. Calcular la suma de cifras del resultado de:
Nº 1
Nº 2
Nº 3 UNAP–EXT–2014
a) 180 d) 420
b) 280 e) 400
c) 300
07. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 10?
2
E = (333.....333) × 6 50 cifras CEPREUNA–BIO–2014
a) 650 d) 750
b) 450 e) 350
c) 550 F1
04. Si se observa que: 2
F2
F3
F4 UNAP–SOC–2015
1 = 2 − 3×1
a) 150 d) 100
2
2 = 3 + 4×2 2
3 = 4 − 5× 3
b) 50 e) 160
c) 90
08. ¿Cuánto triángulos habrá en la figura F10 ?
2
4 = 5 + 6×4
iii
Halle el valor de: 15 CEPREUNA–BIO–2014
a) 2 d) 5
b) 3 e) 1
F1
c) 4
F2
F3
F4
UNAP–EXT–SOC–2015
05. Calcule; f(20) si: f(1) = 2 + 1 − 1 f(2) = 6 − 3 × 2 f(3) = 12 × 6 ÷ 3 f(4) = 20 ÷ 10 + 4 f(5) = 30 + 15 − 5 f(6) = 42 − 21 × 6 UNAP–SOC–2013
a) 14 d) 19
b) 15 e) 21
c) 17
09. Halle el numero de cuadradosque hay em la figura 10.
Figura 1 Figura 2
Figura 3 CEPREUNA–SOC–2014
Academia SERUNA
93
94
Academia SERUNA
WALTER MONROY P. a) 19 d) 23
b) 21 e) 17
c) 25
14. ¿Cuántas esferas hay en la f(11)?
JOHN MAMANI M. 18. Halle el total de palitos de fosforo en P(10).
10. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(10)?
F(2)
F(3)
b) 43 e) 41
f (2)
c) 44
a) 28 d) 30
b) 20 e) 36
F(1)
F(2)
F(3)
c) 25
CEPREUNA–BIO–2015
a) 440 d) 210
15. ¿Cuántos cuadrados se obtiene en la posición número 50 de esta figura?
11. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?
b) 220 e) 110
c) 100 f(1)
19. Dado el esquema: S1 =
F(2)
#2
F(3)
#3
UNAP–ING–2007/2014
a) 77 d) 92
b) 88 e) 81
c) 64
12. ¿Cuántos cuadrados posición número 20?
se
encontraran
b) 1175 e) 1375
c) 1075
16. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 19?
f(3) UNAP–BIO–2014
b) 1060 e) 1260
c) 1160
23. Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular
S3 =
UNAP-ING-2012
a) 1475 d) 1275 en
#4
f(2)
a) 1000 d) 1200
S2 =
F(1)
c) 320
f (3) UNAP–EXT–ING–2015
CEPREUNA–ING–2015
a) 47 d) 42
b) 380 e) 400
22. ¿Cuántas bolitas se contaran en la figura f(20)? f (1)
F(1)
a) 225 d) 256
S4 =
¿Cuántas bolitas habrá en S12 ? CEPREUNA–2007
F(1)
F(2)
F(3)
Fig. 1
Fig. 2
CEPREUNA–BIO–2013
a) 96 d) 144
b) 81 e) 400
c) 399
13. Si se dispone del siguiente arreglo de esferas
a) 4095 d) 1645
Fig. 3 CEPREUNA–ING–2014
a) 190 d) 210
b) 240 e) 200
c) 120
b) 4810 e) 4050
17. ¿Cuántos puntos de intersección hay en la figura 20? Fig (2)
13 14 15 UNAP–EXT–SOC–2015
20. En la siguiente secuencia, calcular el número de circunferencias en la figura 20.
Fig (1)
1 2 3
c) 5155 a) 120 d) 160
b) 240 e) 180
c) 150
24. Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular
Fig (3) CEPREUNA–BIO–2014
¿Cuántas esferas se necesitan cuando en la base del arreglo existan 30 esferas?
Fig (1)
Fig (2)
UNAP–SOC–2012
a) 425 d) 496
b) 450 e) 435
c) 465
Fig (3) UNAP–ING–2012
a) 490 d) 480
b) 840 e) 449
c) 400
a) 3
21
d) 3
20
−1
b) 2
21
e) 2
21
−1
c) 2
20
−1
21. ¿Cuántos puntos de intersección se contaran como máximo al intersectar 20 circunferencias? CEPREUNA–BIO–2014
Academia SERUNA
95
96
1
2 3
48 49 50 CEPREUNA–SOC–2015
Academia SERUNA
WALTER MONROY P. a) 1215 d) 1275
b) 1200 e) 1300
c) 1225
28. Calcule el número total de palitos que conforman la figura siguiente
JOHN MAMANI M. 31. Según el siguiente el esquema ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra SOCIALES? S
25. Se tiene la siguiente formación de ladrillos, cuantos ladrillos se contaran en total.
O C I A L E
1 1
2
3
3
4
27 28 29 30
18 19 20 CEPREUNA–BIO–2012
a) 250 d) 210
2
b) 710 e) 211
c) 510
26. Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo.
S
b) 890 e) 899
A
A L
E S
I
a) 81 d) 163
A L
E
L E
S
c) 900
29. Halle el número máximo de triángulos que hay en la figura.
a) 120 d) 128
b) 200 e) 512
E
S
S
S
c) 256
1
2
29
30
UNAP–SOC–2008/2014
a) 1395 d) 1590
b) 1585 e) 1251
c) 1495
2
3
4
47 48 49 50 CEPREUNA–ING–2014
a) 4851 d) 5253
b) 5000 e) 4735
c) 5050
3 4
c) 24
792 791 792 + 790 791 + ⋮
3
1 2 3
3+
5 6
6 7
⋯ 22 ⋯ 23
b) 8000 e) 5000
c) 9000
36. Calcula la suma de todos los siguiente matriz 3 5 7 1 5 7 9 3 5 7 9 11 9 11 13 7 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 99 101 103 105
elementos de la
... ... ... ... ...
99 101 103 105 ⋮
CEPREUNA–ING–2014
a) 247500 d) 254700
2 2+
4 5
UNAJ–2014
33. Calcule:
30. ¿Cuantos ladrillos hay en total?
27. Halle la cantidad de palitos de la figura.
35. Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 1 2 3 4 ⋯ 20 2 3 4 5 ⋯ 21
a) 6000 d) 7000 UNAP–2006
b) 16 e) 36
c) 153
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 20 21 22 23 ⋯ 39
N U U M M M E E E E R R R R R O O O O O O
1
b) 144 e) 177
32. ¿De cuantas formas se puede leer la palabra “NUMERO”?
a) 8 d) 32
Q CEPREUNA–BIO–2014
A L
E S
P
C I
CEPREUNA–SOC–2013
UNAP–2010
a) 690 d) 906
I
L E
S
O C
1 1+
b) 275400 e) 245700
c) 274500
1 2
CEPREUNA–ING–2013
1
2
3
38 39 40
100 UNAP–ING–2015
a) 14250 d) 15650
b) 13250 e) 15150
Academia SERUNA
c) 14650
794 a) 793 793 d) 794
CEPREUNA–BIO–2013
a) 4000 d) 1800
b) 1000 e) 2000
c) 1600
97
791 b) 792 792 e) 793
c)
793 792
34. Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a PQ al interior del triángulo. ¿Cuántos triángulos se contaran en total?
98
Academia SERUNA
