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ÍNDICE
Razonamiento matemático III ….……………..……………………………………...41 Capítulo I fracciones…………….…………………………………………………….….42
Fracciones 1 .Los camellos….……………………………….…………………….…....44 La Fracción……………………………………………........................................................45
Clasificación de las fracciones………………………………………………………..46 Fracción de fracción………………..……………………………………………………..48
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1
FRACCIONES
CAPACIDADES Al estudiar este capítulo el alumno será capaz de:
1.-Tres hijos comparten una herencia de siete camellos. El mayor reclama la mitad del rebaño, el segundo exige uno de cada cuatro y el tercero la octava parte. ¿Recibirán cada uno su parte sin matar y desjarretar un camello? Muhammad ibn Musa al-Kuarizmi (matemático árabe-hispano del siglo IX de la era cristiana, introdujo la matemática hindú en la astronomía árabe) y dejó escrito el siguiente problema:
Un rico mercader poseía 17 camellos. El testamento para sus tres hijos decía que el mayor recibiera la mitad de la manada; que el segundo recibiera la tercera parte y el menor la novena parte. ¿Cómo cumplir con la voluntad del padre sin matar ningún camello?
Identificar y definir una fracción. Reconocer las diferentes clases de fracciones. Ubicar en la recta numérica las fracciones Resolver y plantear problemas con fracciones. Utilizar gráficos en la solución de problemas con fracciones.. Aplicar las propiedades de la teoría de fracciones
Otro mercader poseía 23 camellos. El testamento para los tres hijos decía: La mitad del rebaño para el mayor, la tercera parte para el segundo y la octava parte para el tercer hijo. ¿Cómo cumplir con la voluntad del padre? Encontrar todas las posibles soluciones con este truco para tres hijos. SOLUCIONES: Le preguntan a un sabio y este les deja prestado un camello y reparten 8 camellos. La mitad son 4 camellos, la cuarta parte son 2 camellos y la octava parte es un camello. 4 + 2 + 1 = 7 camellos y le devuelven al sabio el camello prestado. H.2.- Solución: Solicitan consejo al sabio. El sabio dice que la mejor solución será que les da su camello y cuando puedan se lo devuelvan. Después de recibir del sabio el préstamo de un camello, el reparto será:9 camellos, 6 camellos y 2 camellos y se devuelve el camello prestado. Estos problemas tienen truco y cualquier reparto que se haga que no sume el total tiene su resto. En este problema el padre ha querido mejorar a unos hijos más que a otros. Tendría sus razones que no vienen al caso. De todas formas “es el mejor reparto” con las condiciones del enunciado.
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1.1 La fracción Concepto Se denomina así a la división indicada de la forma:
RECUERDA
a b
Para graficar una fracción en el cual el numerador es mayor que el denominador; es necesario considerar la unidad varias veces.
donde: a y b pertenecen a los enteros positivos (Z+).
Al dividir “a” entre “b” el resultado no es exacto;
es decir a no es múltiplo de b Ejemplo.
Las siguientes expresiones no son fracciones. 3 2 , ; 7 5
Ejemplo: Representar gráficamente 7/3
5 2 1/ 2 12 5 ; ; ; ; ; …………….. 8 5 2 4 3 5
Las siguientes expresiones si son fracciones: 8 6
;
2 72 5 1111 ; ; ; 8 13 4 3395
Representación gráfica de una fracción Para representar gráficamente a una fracción, debemos considerar lo siguiente:
Ejemplo: 3/5 indica que debemos tomar 3 de 5 partes:
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CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES RECUERDA 1. POR LA COMPARACIÓN DE SU VALOR RESPECTO DE LA UNIDAD:
a.
Fracción propia
De las fracciones impropias se derivan los números mixtos Ejemplo
Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad.
fracción propia:
3
a
a< b
b
3 4
se denomina número
mixto, porque tiene una parte entera y una parte fraccionaria.
4 2 3 8 ; ; ; ;... 7 11 20 9
Ejemplo:
15 3 3 4 4
a. Fracción impropia. Son aquellas en la cual el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad.
Fracción impropia :
a
a> b
b
5 16 21 15 ; ; ; ;... 3 12 11 4
Ejemplo:
2. POR SU DENOMINADOR a. Fracción decimal. Cuando su denominador es una potencia de 10 Ejemplos:
11 9 21 32323 ; ; ; ;... 100 10 1000 10000
b. Fracción ordinaria Cuando su denominador no es una potencia de 10. Ejemplos:
3
25 11 ; 7 101 3000 20 290 ;
5
;
7
;
46
3. POR LA RAZON DE IGUALDAD O DESIGUALDAD ENTRE SUS DENOMINADORES a. Fracciones homogéneas
RECUERDA
Es el conjunto de fracciones que tienen igual denominador.
Fracción Impura:
Fracción Impura es aquella cuyo numerador es múltiplo del denominador. Éstas fracciones equivalentes a un número entero.
2
=4
c)
5
1
;
7
7
10 1
;
7
b. Fracciones heterogéneas.
Ejemplo: a)
7
;
Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador.
Ejm.:
8
3
Ejemplo:
b)
15
3
5 d)
12 4 24
4
=
3 4
;
5 7
;
8 9
;
12 5
3 4. POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS:
6
a. Fracción reductible.
- Fracción Recíproca:
Inversa
o
Dos fracciones son inversas cuando el numerador de una de ellas es el denominador de la otra y recíprocamente.
Cuando su (no numerador y denominador en común son primos entre si). poseen factores Ejemplos :
3 6
;
21 30
;
12 14 4
;
100 ;… 384
b. Fracción irreductible. Cuando su numerador y denominador no poseen factores en común (son primos entre si).
Ejemplo:
Ejemplo: 5
3
a) 4 y 4; 7 9 9 7
d)
b) c)
17 40 40 17
13 20
;
7 3
;
5 11
;
10 1 7
;…
5. FRACCIONES EQUIVALENTES: 12 5 y 5 12
Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad.
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Se observa que:
RECUERDA Simplificación de Fracciones:
Simplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente cuyos términos sean más pequeños.
FRACCIÓN DE FRACCIÓN. Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad. Ejemplo: Determine la tercera parte de la mitad de la cuarta parte de la figura indicada.
4 6
2 3 ; 3 12
1 4
De lo dicho se deduce que si se multiplican o dividen el numerador y el denominador por un mismo número, la fracción que resulta es equivalente, o lo que es lo mismo, el valor de la fracción no varía.
En General:
a
Resolución.
b
a.m b.m
;
a b
a:m b :m
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PROBLEMAS RESUELTOS DE FRACCIONES 1. Si de un depósito que está lleno los 2/3 de lo que no está lleno, se extrae los 2/3 de lo que no se extrae, ¿qué fracción del volumen del depósito quedaría con líquido?
2.
Gasté los 2/5 de lo que no gasté, Regalando luego los 2/3 de los que no regalé y presté el doble de lo que no prest é. ¿Cuánto tení a al inicio, si la tercera parte de lo que me quedó al final es igual a S/. 10?
SOLUCIÓN: Graficando:
SOLUCIÓN: Graficando: No lleno = x
GASTÉ=
Se extrae=
Lleno=
M=Queda con líquido = y
N=El volumen es: x + =
Además:
De donde queda:
No se extrae= y Para saber que fracción del volumen queda con líquido dividimos:
Respuesta:
agua. ¿Cuántos litros de alcohol puro se deberá agregar a ésta mezcla para contener la concentración inicial?
NO REGALE=
La Tercera parte de lo que me quedo = 10=
Un obrero y dos ayudantes pueden hacer una obra en 6 días. Si el obrero trabajando sólo, hace la obra en 8 días. ¿En cuántos días harán la obra 4 ayudantes?
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN: Graficando:
En un día el obrero y su ayudante hacen de obra
Agua= 32 litros
80 litros de una solución
Alcohol= 48 litros
Agua =
Alcohol=
Se aumentará 60litros de alcohol 48+60 = 108 litros de alcohol
PRESTÉ=
de alcohol se le añade 40 litros de
32+40 = 72 litros de agua
NO REGALE= Y
Y = 90 Tenia al principio:
A 80 litros de una mezcla alcohólica con
REGALE=
X= 5k y = 2k
NO GASTÉ=X
NO PRESTÉ= Z
TENIA AL PRINCIPIO=
En un día el obrero solo hace
de obra
En un día el ayudante solo hace
-
de obra
X= 180
En un día 4 ayudantes harán obra
de
Los 4 ayudantes harán toda la obra en 6 días
180 – 72 = 108 El alcohol debe ser 108 litros , le falta 60 litros
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PROBLEMAS PROPUESTOS DE FRACCIONES 2. La fracción equivalente a: P=5,4+0,027+0,00027 + 0,0000027+… En su forma irreductible, tiene como suma de términos:
1. FRANCISCO tenia S/. 40 y sólo gastó S/ 10. I. ¿Qué fracción de lo que tenía gastó? II. ¿Qué parte de lo que no gastó, gastó? III. ¿Qué fracción es lo que no gastó, de lo
A) 591 D) 497
B) 721 E) 373
C) 707
que tenía? Resolución:
Resolución:
3. Si a la cuarta parte de los se le agrega los
2
de sus
5
3
2 5
4. En la figura (triángulo equilátero) ¿Qué de un número,
y se resta los 3/8
8
fracción de lo sombreado es la no sombreado?. A) 3/5 B) 5/3 C) ½ D) 5/7 E) 1/3
de su quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál es el número? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90
E) 120
Resolución:
Resolución:
50
5. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad ¿Cuál es la fracción? A) ¾ B) 3/7 C) 3/5 D) 3/8 E) 3/6 Resolución:
6. En una carreta llena de frutas pesa 30 Kg., cuando contiene los 2/3 de su capacidad pesa los 7/9 del peso anterior ¿Cuánto pesa la carreta vacía? A) 8 Kg. B) 12 Kg. C) 10 Kg. D) 9 Kg. E) 15 Kg. Resolución:
7. Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del Segundo. El consecutivo de la suma de los números es: A) 18 D) 20
B) 17 E) 21
C) 19
8. Un cilindro se encuentra lleno hasta sus 5/6 se consumen 3/8 del líquido. Hallar la capacidad de la parte vacía del cilindro. A) 23/48 D) 11/24
B) 25/48 E) 13/48
C) 5/16
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9. En la mitad de un terreno se siembra camote, en la tercera parte del resto se siembra papa y en los 2/7 partes de lo que queda se siembra maíz. ¿Qué fracción del terreno no sembrada con papa, quedo sin sembrar? A) 2/21 D) 5/14
B) 1/6 E) 10/21
C)
2/7
11. Una bola de PING – PONG cae desde una altura de 108 cm. Sobre una mesa de mármol. Cada vez que toca a la mesa, rebota y se eleva a una altura igual a la tercera parte de la altura igual a la tercera desde la cual cayó. ¿A qué altura se elevará la bola después de haber tocado a la mesa por tercera vez? A) 5 cm. D) 9 cm.
B) 4 cm. E) 12 cm.
C)
3
10. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gasto la quinta parte; el segundo día gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/. 15. ¿Cuál fue la cantidad entregada? A) S/.50 D) S/. 45
B) S/. 75 E) S/ 90
C)
S/.150
12. Gasté los 3/5 de lo que no gasté y aún me quedan S/ 60 más de lo que gasté ¿cuánto tenía? (en soles). A) 150
B) 190
D) 250
E) 240
C) 200
cm.
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13. Si transcurrió los 3/5 de lo que falta transcurrir de un día ¿Qué parte de lo que ya transcurrió representa el exceso de lo que falta transcurrir sobre lo ya transcurrido? A) 2/3 D) 3/5
B) 1/3 E) 2/7
14. Una persona compra naranjas, la mitad del total a 5 por 6 soles y la otra mitad restante a 6 por 7 soles. Vende los 3/5 del número a 3 por 5 soles y los demás a 4 por 7 soles. Se desea saber cuántas naranjas había vendido cuando gane 930 soles.
C) 2/5 A) 540 D) 1860
15. En un salón de la Academia sólo asisten a un examen los 2/3 de los alumnos, y de éstos aprueban los 3/7; si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula? A) 24 D) 63
B) 23 E) 96
B) 3200 E) 3400
C) 1800
16. Si te pago lo que te debo, me sobraría tanto como me faltaría, si quisiera pagarle a él, lo que le debo, ¿Qué fracción del total de mi deuda es lo que yo tengo? A) 1/3 B) 2/3 C) ½ D) ¼ E) faltan datos.
C) 36
53
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. ¿Cuál es la fracción equivalente a 70/98, tal que el producto de sus términos sea 315? (Dar como respuesta la diferencia de sus términos).
a) 18
b) 10
c) 12
d) 6
02. Ejecutar: 1
15
2
3 2
1
1 1
2
1 3
1
2
3
1 2
e) 8 a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3.
Después de una venta de sacos de arroz, un comerciante encontró que le quedaba 3/8 de su depósito de arroz. Al siguiente día vendió 1/3 de lo que quedaba.
4.
Las fracciones representadas gráficamente son f y g.
a) 7/8
b) 3/4
c) 1/2
d) 7/16
g
f
¿Qué parte del depósito está vacío?
e) 5/16 Entonces el valor de:
f + g – f : g, es:
a) 7/8
b) 5/6
c) 7/9
d) 1/8
e) 6/5
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5.
Dos sepulteros pueden cavar cada uno una fosa, separadamente; el primero en 12 horas y media, y el segundo en 10 horas. ¿Cuánto tiempo emplearían si trabajan los dos juntos, y si 2 horas y media después de iniciado el trabajo el primero siente un malestar que disminuye el rendimiento en 1/4?
06. Encontrar la diferencia entre la suma de la mayor y la menor de las fracciones: 21 13 7 17 ; ; ; ; y la suma de las otras es: 22 14 8 19
b) 25
a) 53
1204
a) 4
1 16
b) 5
16
c) c) 3
e) 7
15 16
d) 3
131
15 73
d)
11704
37 836
1 16
e) N.A.
1 16
07. Hallar la suma de los dos términos de una fracción irreductible, sabiendo que si se resta su inverso da como resultado: 1,805.
a) 10
b) 9
c) 12
d) 13
e) 15
08. Hallar “a + b”, sabiendo que son números naturales y que:
a 9
b 5
1,02
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
55
56
57
58
59
60