Razonamiento Matemático
5to grado – I Bimestre
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Pág
Matemática recreativa
143
Conteo de segmentos
149
Conteo de figuras
155
Repaso
161
= =
= Sucesiones y arreglos literales =
167
Sucesión II
173
Distribuciones numéricas
177
Repaso general
181
=
Matemática recreativa Hola, bienvenido a esta hermosa familia "TRILCE", seguro que estás muy contento. Juntos desarrollaremos el curso de "Razonamiento Matemático" de una forma divertida y didáctica. El primer tema es "Matemática Recreativa", no necesitas saber fórmulas complicadas, ni teoremas complejos, solo un poco de ingenio y habilidad. ¿Estás preparado?
SÍ
NO
Problemas sobre palitos 1.
Con doce palitos de fósforo se ha formado el siguiente arreglo:
Ahora, resuelve los siguientes retos que se te presentan a continuación:
Primer Reto: "Quita" dos palitos de fósforo, de tal manera que queden solo dos cuadrados. ¡Vamos, tú puedes!
143
Razonamiento Matemático – 5to. grado
Segundo Reto: "Mueve" cuatro palitos de fósforo, de tal manera que formes tres cuadrados iguales a los iniciales.
1
Ahora dice "mover" y no quitar o sacar. Reto Final: Moviendo cuatro palitos de fósforo de la figura inicial, forma diez cuadrados.
No deben quedar palitos sueltos.
2.
Con diez palitos de fósforo, forma uno.
Resolución :
3.
Moviendo un palito de fósforo, haz que la igualdad resulte verdadera.
Resolución :
Razonamiento Matemático – 5to. grado
144
`4.
Con dieciséis palitos de fósforo, forma nueve.
1
Resolución:
5.
Con tres palitos de fósforo, forma cuatro.
Resolución :
6.
Con tres palitos de fósforo, forma seis.
Resolución :
7.
Con nueve palitos de fósforo, forma tres docenas.
Resolución :
145
Razonamiento Matemático – 5to. grado
1
8.
Quita cinco palitos de fósforo, de tal manera que queden tres cuadrados solamente.
Resolución :
9.
Mueve dos palitos de fósforo de tal manera que el recogedor quede de la misma forma, pero el corazón fuera de él.
Resolución :
10. Con cinco palitos de fósforo, forma dos triángulos equiláteros. Resolución :
Razonamiento Matemático – 5to. grado
146
Tarea domiciliaria
1.
Moviendo dos palitos de fósforo, cambia el arreglo de la figura I, por el arreglo de la figura II.
I
2.
II
¿Cuántos palitos de fósforo debes mover como mínimo, para transformar la casa de la figura I en la casa de la figura II? (I)
(II)
Rpta.:
3.
147
Moviendo un palito de fósforo, forma cuatro.
Razonamiento Matemático – 5to. grado
1
Rpta.:
Razonamiento Matemático – 5to. grado
148
1
4.
Con cinco palitos de fósforo, forma veintiuno.
Resolución :
Rpta.:
5.
En la figura, quita cuatro palitos de fósforo para formar cinco cuadrados.
Resolución :
Rpta.:
149
Razonamiento Matemático – 5to. grado
Conteo de segmentos Segmento es una porción de recta y es limitada, el segmento AB se denota así: AB
B A
⇒
Ejemplo 1: ¿Cuántos segmentos observas en la siguiente figura? P
E
R
U
Resolución: 1.
Asignamos una letra minúscula a cada parte.
a
P
b
E
2.
c
Contamos los segmentos de una parte (simples).
a
R
U
P
b
E
∴ 4.
Contamos segmentos de tres partes (compuestos).
5.
3.
c
E
R
R
Contamos segmentos de dos partes (compuestos).
a
U
P
Hay 3 segmentos.
b
E
∴
b
R
E
c
R
U
Hay 2 segmentos.
Hallamos la suma. Nº de Segmentos
a
P
b
E
c
R
U
∴ Hay 1 segmento.
De 1 parte
a; b; c
3
De 2 partes
ab; bc; cd
2
De 3 partes
abc
1 TOTAL 6
Rpta.: El número total de segmentos es 6. Pregunta a tu profesor si no hay algún método corto para la resolución de este problema. Razonamiento Matemático – 5to. grado
150
1
⇒
Ejemplo 2: ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? D
E
C
B A
F
G
H Rpta.:
Ejercicios para la clase 1.
¿Cuántos segmentos hay como máximo?
Resolución:
A
B
C
D
E
F
Rpta.:
2.
Halla el número total de segmentos en:
Resolución: E R
S
C
Q J
T P
I
V
A Rpta.:
3.
Halla el número total de segmentos en: D
E
F
G
H I
C J
B A
4.
1
Resolución:
K Ñ
N
M
L
Rpta.:
Halla el número total de segmentos, en el siguiente gráfico:
Resolución :
Rpta.:
5.
Halla el número total de segmentos en la siguiente figura:
Resolución :
Rpta.:
6.
Halla el número total de segmentos en la siguiente figura:
Resolución :
Rpta.:
1
7.
¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
Rpta.:
Tarea domiciliaria 1.
Halla el número total de segmentos en: A
2.
B
C
D
E
¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico? A B C
D
E
F
3.
¿Cuál es el número total de segmentos? A
B
1
C
N
D
M E
L K
4.
J
I
H
G
F
Halla el número total de segmentos en: A
M
I
G
O
S
Desafío SUDOKU Completa el cuadro de tal manera que cada fila, columna y cuadrado de 3 × 2 tengan los números del 1 al 6, sin repetirse.
2
6
4
4
3 5 4 1
6
2
2 1
Conteo de figuras Conteo de triángulos Observa el proceso de contar. Ejemplo 1: En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos como máximo observas?
1.
2.
a
De una parte:
b a
c c
d
3.
De 2 partes: a
b
4.
De 4 partes:
b a a
c
c
d
2 triángulos •
1 triángulo
Hallamos la suma: De 1 parte :
155
b
a, b, c
→
3 Razonamiento Matemático – 5to. grado
De 2 partes :
ab, ac
→
2
De 4 partes :
abcd
→
1
Total de triángulos: 6 triángulos
Razonamiento Matemático – 5to. grado
156
1
Ahora te toca a ti. Ejemplo 2: ¿Cuántos triángulos hay como máximo en la siguiente figura? 1 2 3 ∴ TOTAL =
Ejercicio para la clase 1.
Calcula el máximo número de triángulos en el siguiente gráfico.
Resolución:
2.
¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?
Resolución:
157
Razonamiento Matemático – 5to. grado
3.
Calcula el número total de triángulos, en el siguiente gráfico:
Resolución :
4.
Halla el número total de triángulos en:
Resolución :
5.
Halla el número total de triángulos en el siguiente gráfico:
Resolución :
1
1
Conteo de cuadriláteros Observa el proceso de contar. Ejemplo 1: ¿Cuántos rectángulos como máximo observas?
Resolución: 1.
Se asigna una letra a cada parte.
2.
Contamos los rectángulos de una sola parte (simples).
a b d
b
b
e
d
c
Contamos los rectángulos de tres partes (compuestos).
5.
e d
rectángulos.
b
rectángulos.
1
Nº de Rectángulos a; b; c; d; e; f
→
c
e f
Hay
Hay
e
Contemos el total de rectángulos.
Nº de partes a
2
→
3
→ TOTAL
→
rectángulos.
Ejercicios para la clase 1.
c
b
e f
Hay
d
Contamos los rectángu l o s que se forman con dos partes (compuestos).
a c
f
4.
3.
¿Cuántos cuadriláteros hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
2.
Halla el número total de rectángulos en:
Resolución:
3.
Halla el número total de cuadrados en:
Resolución :
4.
Halla el número total de cuadrados en la siguiente torre:
Resolución :
5.
Halla el número total de rectángulos en:
Resolución :
1
Tarea
1
domiciliaria 1.
¿Cuántos cuadrados hay en el siguiente gráfico?
2.
¿Cuántos triángulos hay?
3.
¿Cuántos rectángulos hay?
4.
Halla el número total de cuadriláteros en:
5.
Halla el número total de cuadrados en:
Repas o Hoy haremos un repaso de los tres temas que hemos visto hasta ahora. Si no has comprendido algunos problemas, lo harás en este repaso. ¡APROVÉCHALO!
1.
¿Cuántas cifras se deben mover como
5.
Quita ocho palitos de la figura, de tal
Ejercicios para la clase
mínimo para formar una verdadera igualdad?
manera que queden dos cuadrados.
13 - 32 = 4
2.
En la siguiente figura añade dos palitos para que dé cero.
6. 3.
¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?
4.
¿Cuántos palitos se deben quitar como mínimo para obtener solo cuatro cuadrados iguales?
Coloca las cifras del 1 al 5 en los círculos de la figura mostrada, (sin repetirlas) de tal manera que la hilera vertical y horizontal sumen lo mismo y esta sea igual a 9. ¿Cuál es la cifra que debe estar en el círculo central?
Coloca las cifras del 1 al 9 en los círculos de la figura mostrada, (sin repetirlos) de tal manera que todas las hileras formadas por tres círculos sumen lo mismo y esta cantidad sea igual a 12. ¿Cuál es la cifra que debe estar en el círculo central?
9.
Halla el número total de triángulos que hay en la siguiente figura:
= 12
1
7.
= 12
8.
¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?
10. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? O T
N
R
M
I
U
L
L A
C T
R
I
U
N
F
A
E
11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente 13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? figura?
12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente 14. Halla el número total de triángulos en la figura mostrada: figura?
1
1
15. ¿Cuántos triángulos hay en el gráfico mostrado?
Tarea domiciliaria 1.
Con trece palitos de fósforo, forma cuatro cuadrados iguales.
2.
¿Cuántos palitos se deben quitar como mínimo, para que queden solo cinco cuadrados iguales?
3.
¿Cuántas cifras se deben mover como mínimo para formar una verdadera igualdad?
32 - 23 = 1
4.
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
5.
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
1
1
Desafío El problema de los puentes de Königsberg En el siglo XVIII había una ciudad en Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos. ¿Es esto posible?
isla
isla
Sucesiones y arreglos literales Queridos amigos, el tema que desarrollaremos hoy es uno de mis favoritos; yo sé que también será de tu agrado, me refiero, al tema de Sucesiones y Arreglos Literales; pero ¿qué es una sucesión? Veamos el concepto.
SuceSión Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación. Dichos números son los términos de la sucesión. Por ejemplo, el siguiente conjunto ordenado de números: 2; 4; 6; 8; 10; ... tiene una ley de formación. En efecto, si aumentamos en dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el número siguiente. Por lo tanto: (2; 4; 6; 8; 10; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un orden y se les nombra del modo siguiente: 2:
primer término
4:
segundo término
6:
tercer término
8:
cuarto término, etc. Ahora veamos otra sucesión; 6; 10; 15; 21; ... ¿Podrías hallar el término que sigue?
Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se muestra a continuación:
6;
10;
15;
21;
... +4
+5
+6
+7
Por lo tanto, el número que sigue deberá ser: 21 + 7; esto es 28.
1
ArregloS literAleS Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para
encontrar
el criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer bien el abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe considerar las letras compuestas "CH" y LL". Por ejemplo: ¿Qué letra sigue? A; C; F; J; ...
Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente:
A;
C; B
F; DE
J GHI
Entre "A" y "C" hay una letra intermedia; entre "C" y "F" hay dos letras intermedias; entre "F" y "J" hay tres letras intermedias. Por lo tanto entre "J" y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias.
A;
C; B
F; DE
J; ... GHI
KLMN
Entonces la letra que sigue es: Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos saber es la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario.
A
B C D 1
2
3
E
4
F 5
6
Ñ O P Q R 15
16
17
18
G H
19
7
S 20
I
8
T 21
J 9
U 22
Recuerda que no se consideran las letras compuestas "CH" y "LL" en arreglos literales.
K
10
L M N
11
12
V W X 23
24
25
13
Y 26
14
Z 27
Ejercicios para la clase I.
Encuentra el número que sigue en cada uno de los siguientes sucesiones:
1)
2; 4; 6; . . .
6)
2; 4; 8; 14; . . .
2)
18; 15; 12; . . .
7)
5; 3; 6; 4; 8; 6; 12; . . .
3)
2; 4; 8; 16; . . .
8)
1; 1; 2; 6; . . .
4)
24; 12; 6; . . .
9)
1; 2; 4; 8; 10; . . .
5)
22; 18; 13; 7; . . .
II.
Encuentra la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales:
1)
A; D; G; J; . . .
10) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . .
2)
B; D; G; I; L; . . .
1
1
3)
C; E; I; Ñ; . . .
5)
B; C; E; H; L; . . .
4)
A; B; D; D; G; F; J; . . .
6)
A; D; I; O; . . .
Tarea domiciliaria I.
Halla el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones.
Resolución: 1)
2; 7; 14; 23; . . .
Resolución: 2)
2; 6; 4; 12; 10; 30; . . .
Resolución: 3)
1; 1; 3; 3; 9; 5; 27; . . .
Resolución: 4)
2; 5; 7; 10; 12; 15; . . .
Resolución: 5)
2; 3; 6; 7; 14; 15; . . .
Resolución : 6)
II.
1; 4; 9; 16; 25; . . .
Halla la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales.
Resolución : 1)
A; C; B; D; C; E; . . .
Resolución : 2)
B; D; F; H; . . .
Resolución : 3)
C; E; H; J; M; . . .
Resolución : 4)
A; Z; D; W; G; T; . . .
1
1
Resolución: 5)
A; B; D; H; . .
Resolución: 6)
B; E; H; K; N; . .
Desafío Cuadrado En un cuadrado debemos colocar los números del 1 al 9 sin repetir ninguno (uno en cada cuadro). Disponemos de las siguiente pistas: Los vecinos del 1 suman 15. Los vecinos del 2 suman 6. Los vecinos del 4 suman 23. Los vecinos del 5 suman 16. Sobre los vecinos del 6, 7, 8 y 9 no tenemos datos. Un número es vecino de otro solo si la casilla en la que está comparte alguno de sus lados con otra. ¿Qué número ocupará la casilla central?
?
Sucesiones II En este capítulo veremos una gran "variedad de sucesiones" y tenemos que encontrar la ley de formación de cada una de ellas, para luego hallar la solución que nos piden.
I.
Ejercicios para la Halla el número que sigue en cada sucesión: clase
1)
5; 9; 7; 11; 9; . . .
6)
2; 5; 10; 13; 26; . . .
2)
1; 1; 2; 4; 7; 11; . . .
7)
10; 20; 25; 50; 55; . . .
3)
26; 18; 11; 5; . . .
8)
1; 1; 2; 6; 24; 125; . . .
4)
1; 1; 3; 7; . . .
9)
3; 4; 8; 11; 12; 24; 27; . . .
5)
1; 3; 5; 15; 17; 51; . . .
10) 12; 15; 18; 21; 24; . . .
1
II.
Halla el valor de "x + y" en cada una de las siguientes sucesiones:
1)
1; 1; 5; 2; 9; 4; 13; x; y; . . .
6)
2; 5; 6; 10; 15; x; y; . . .
2)
3; 6; 9; 18; 21; x; y; . . .
7)
4; 3; 8; 6; 12; 9; 16; x; y; . . .
3)
1; 3; 4; 12; 13; x; y; . . .
8)
12; 11; 17; 15; 22; 19; 27; 23; x; y; . . .
4)
2; 4; 9; 18; 23; x; y; . . .
9)
31; 50; 35; 45; 39; 40; 43; 35; x; y; . . .
5)
8; 9; 11; 15; 22; x; y; . . .
10) 100; 12; 90; 20; 80; 28; 70; 36; x;y; . . .
Tarea domiciliaria 1.
¿Qué número sigue?
Resolución: 2; 3; 5; 10; 8; 17; . . .
2.
1
Halla "x + y" en:
Resolución: 66; 60; 30; 24; 12; x; y; . . .
3.
¿Qué número sigue?
Resolución : 2; 2; 4; 12; . . .
4.
Halla "x + y" en:
Resolución : 5; 6; 4; 12; 13; 11; x; y; . . .
5.
¿Qué número sigue?
Resolución : 1; 1; 4; 12; 27; . . .
1
Desafío SUDOKU Instrucciones: Completa los tableros (subdivididos en 9 cuadrados), llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9 sin que se repita ninguna cifra, en cada fila, ni en cada columna, ni en cada cuadrado. No necesitas sumar ni restar.
5 9 7
9 7 2 1
4 1 8 3
7
1 3
4 2 5
9
2
6 9
7
6 5 8 2
1
2 9
2 9
6
Vamos, tú puedes hacerlo.
Distribuciones numéricas Observa cómo se han distribuido los números en cada una de las siguientes figuras: 1 4
9
2 17
2
3
5
5
6
x 3
¿podrías hallar el valor de "x"? Claro que sí, solo tenemos que buscar la relación que existe entre los demás números dados. Veamos: De la primera figura tenemos que: de la segunda figura tenemos que:
4× 2+1= 9 3 × 5 + 2 = 17
y
Como verás, se ha encontrado una misma relación para las dos primeras figuras y esa relación se debe dar también en la tercera figura. Por lo tanto; de la tercera figura tenemos que: x = 6 × 3 + 5. Es decir, el valor de "x" es 23.
Ejercicios para la clase I.
Halla el valor de "x" en cada una de las siguientes distribuciones numéricas:
1)
2)
4
12
3
2
14
7
3
x
5
5
9
4
3
11
8
9
x
7
1
3)
4)
5)
6)
7)
13
8
19
x
3
8
10
5
11
12
18
20
4
3
2
3
6
x
4
5
2
7
1
3
5
2
x
3
16
5
6
13
2
2
x
8
4
3
2
10
2
5
4
6
5
6
10 20
8
2
5
x
8)
2
3 9
3
5
2 17
3
7
5 x
4
9)
10
16
1
x
2
3
5
2
3
5
4
1
3
2
5
2
10) 6 1
2
8
3
4
x 1
5
3
4
5
Desafío
1 JUGANDO CON LOS DOS
¿Puedes escribir todos los números de cero al diez utilizando cinco dos y los signos +, -, ×, ÷, además del paréntesis? Puedes empezar así: 0 = 2–
2 2
–
2 2
2 2
2
=
2 2
La habilidad mental es un factor muy importante de la persona.
1
8
9
2
7
10
3
6
4
5
Repaso general ¿Cómo estás amiguito? Esta es nuestra última clase del primer bimestre. Siento una inmensa alegría al saber que has aprendido mucho. Hoy repasaremos los temas de: Matemática Recreativa, Conteo de figuras I y II, Sucesiones I y II y Distribuciones. Tienes que aprovechar al máximo, pues "ya se viene" la evaluación bimestral. ¿Nervioso(a)? No te preocupes que yo te acompaño.
Ejercicios para la clase 1.
2.
¿Puedes quitar seis dígitos del siguiente arreglo para que te dé un total de 20? 1
1
1
7
7
7
9
9
9
Resolución :
Rpta.:
Se tiene la siguiente cantidad de palitos de fósforos.
¿Podrías transformar los 16 palitos de fósforo en nueve sin quitar ninguno de ellos? Además no puedes superponerlos.
Resolución:
1
3.
¿Cuántos triángulos hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
Rpta.: 4.
Halla el número total de triángulos que tengan una
en su interior:
Resolución :
Rpta.: 5.
Halla el número total de triángulos en el siguiente gráfico:
Resolución :
Rpta.: 6.
Halla el número total de cuadrados en el siguiente gráfico:
Resolución :
Rpta.: 7.
Halla el número total de rectángulos:
Resolución :
Rpta.:
8.
Halla el número total de cuadriláteros:
1
Resolución :
Rpta.: 9.
Halla el número total de segmentos: E
A
Resolución:
C
T
L I
U
R T
A
M
I
G
Rpta.:
O
10. ¿Qué números siguen en las siguientes sucesiones?
1; 5; 2; 10; 3; 15; 4;
;
2; 4; 7; 12; 20;
;...
;
;...
Resolución :
Rpta.: 11. ¿Qué letras siguen en el siguiente arreglo literal? Resolución : C; E; G; I;
;
;...
Rpta.: 12. ¿Qué número falta? 18
(48)
30
→
12
(30)
18
→
16
(
20
→
)
Rpta.:
13. ¿Qué número falta? 16
(9)
7
→
28
(16)
12
→
34
(
14
→
Rpta.:
)
1
14. Halla el valor de "x":
15. Halla el valor de "x":
3
8
2
→
5
3
1
→
1
2
10
→
2
4
1
→
4
4
x
→
1
1
x
→
Rpta.:
Rpta.:
Tarea domiciliaria
1.
¿Cuántos palitos se deben quitar como mínimo para que queden solo cuatro cuadrados iguales?
Resolución:
Rpta.: 2.
Halla el número total de triángulos:
Resolución:
Rpta.: 3.
¿Qué número sigue en la siguiente sucesión?
Resolución:
6; 12; 8; 10; 10; 8; . . . . .
Rpta.:
4. ¿Qué letra continúa?
1
Resolución:
E; H; K; N;
Rpta.: 5.
Halla el valor de "x".
2
6.
4
6
3
5
3
40
36
x
5
2
4
¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
1
2
3
4
5
6
Rpta.:
7.
Halla el número de rectángulos en:
Resolución:
Rpta.:
1
8.
Halla el total de triángulos en la siguiente figura:
Resolución:
Rpta.: 9.
¿Qué número sigue?
Resolución:
1; 2; 4; 7; 11; . . .
Rpta.: 10. ¿Qué número falta? Resolución: 1
1
0
5 1
1
4
13 2
4
4 ?
8
1
2
Rpta.: