razones

ARITMÉTICA – 4to Sec.

Lic. Elvis Hermes Malaber

NIVEL: SECUNDARIA

CUARTO AÑO

RAZONES Y PROPORCIONES 

INTRODUCCIÓN Entre los años 550 a 450 a.C. se establece la era pitagórica. Pitágoras de Samos, personaje semilegendario creador de un gran movimiento metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico geométrico de los pitagóricos estaba en la geometría elemental, donde destaca el famoso Teorema de Pitágoras, el cual fue establecido por su escuela y donde la tradición de los pitagóricos llevó a atribuírselo a su maestro. Con respecto a la aritmética actual el saber de los pitagóricos era enorme. Fueron los primeros en analizar la noción de número y establecer las relaciones de correspondencia entre la aritmética y la geometría. Definieron los números primos, algunas progresiones y precisaron la teoría de las proporciones. Los pitagóricos propagaban de que todo podía expresarse por medio de números, pero luego tuvieron que aceptar que la diagonal de un cuadrado era inconmensurable con el lado del cuadrado.



CLASES D DE RRAZÓN 

Razón A Aritmética Es la comparació comparaciónn de de dos dos cantida cantidades des mediante la diferencia. Dicha diferencia diferencia determina en cuántas unidades excede una magnitud a la otra.

Ejemplo: En 4to. año del colegio Trilce asisten 25 varones y 18 mujeres. ¿Cuál es la razón aritmética?

Comparando: 25 varon arones es – 18 muje mujere ress = 7 var varon ones es antecedente consecuente

valor de la razón

En general: a –

b =

r

APLICACIÓN Las razones y proporciones, tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo en ingeniería se emplean las escalas para realizar pequeñas maquetas; en el área contable, para realizar movimientos financieros y en la vida diaria, para efectuar ciertos operaciones aritméticas.





RAZÓN

Razón Consecuente Antecedente



Razón GGeométrica Es la comparación de dos cantidades por medio del del cociente o división. división.

Ejemplo:

Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra otra nos nos pregun preguntam tamos os ¿en cuán cuántas tas unidades es mayor? ó ¿cuántas veces contiene la mayor o la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por división respectivamente.

La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 años respectivamente.

RECORDAR:

Interpretación:

Comparando: Padre : Hijo :



“Razón es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operación de diferencia o división”.



40 años =8 5 años

La edad del padre es 8 veces la edad del hijo. La edad del hijo es la octava parte de la edad del padre. padre.



a = k b

En general:

Donde: a : antecedente b : consecuente k : valor de la razón geométrica geométrica





PROPORCIÓN G GEOMÉTRICA (EQUI - COCIENTE) Igualdad de dos o más razones geométricas a c = b d o tambié también: n:

PROPORCIÓN

a : b :: c : d Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases: 

donde: “a” y “d” son términos extremos. “b” y “c” son términos medios.

PROPORCIÓN A ARITMÉTICA (EQUI - DIFERENCIA) Igualdad de dos o más razones ra zones aritméticos. a – b = c

- d

PROPIEDAD “Producto de medios igual a producto de extremos”.

medios

a . d = b . c

extremos

PROPIEDAD: D:

Las proporciones geométricas se dividen en dos tipos:

“Suma de medios igual a suma de extremos” 

Proporción G Geométrica D Discreta Cuando se cumple que sus cuatro términos son diferentes entre sí.

a + d = b + c Las proporciones aritméticas se dividen en dos tipos: 

a c = b d

Proporción A Aritmética D Discreta Cuan Cuando do se cum cumpl plee que que sus sus cuat cuatro ro términos son diferentes entre sí.

Observación:

a - b = c - d

“Al último término (d) se le denomina “Cuarta proporcional” de a, b y c.

Observación: Al último término (d) se le denota “Cuarta diferencial” de a, b y c.





Proporción G Geométrica CContinua “Cuando los términos medios son iguales” a b = b c

Proporción A Aritmética CContinua “Cuando los términos medios son iguales” a - b = b - c

Observación: A cada término igual (b) se le denomina “Media diferencial” de a y c; y a cada término distinto se le llama “Tercera Diferencial”.

Observación: A cada término igual (b) se le denomina “Media Geométrica o Media Proporcional” de a y c; y a cada término distinto se le llama “Tercera Proporcional”.



PROPIEDADES Si: 1.

a b



c d

4.

ab ab



cd cd

5.

ac bd



a b

an bn

cn dn

c d

a.d=b.c

2.

ab b

3.

ab b



cd d

6.



cd d

7.



n





a n b

n 

n

c d

RESUMEN

RAZÓN Comparación

de 2 cantidades

R. ARITMÉTICA

R. GEOMÉTRICA

Comparación por diferencia a - b=r

Comparación por Cociente a =k b

PROPORCIÓN Igualdad de dos

P. ARITMÉTICA Igualdad de

P.A. DISCRETA

razones aritméticas

P.A. CONTINUA

Todos los términos diferentes a– b = c – d

Términos medios iguales: a–b=b–c

d : cuarta diferencial

b : media diferencial o media aritmética a y c : tercera diferencial

cantidades

P. GEOMÉTRICA Igualdad de

P.G. DISCRETA Todos lo los términos diferentes a c  b d d : cuarta proporcional

razones geométricas

P.G. CONTINUA Términos medios iguales: a b  b c b : media geométrica o media proporcional a y c : tercera proporcional



Ejercicios d e A plicación 1.

Dos Dos númer números os están están en la la rela relació ciónn de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor: a) 20 d) 50

2.

b) 30 e) 60

c ) 40

Dos Dos númer números os está estánn en la rel relaci ación ón de de 3 a 7 y la diferencia de ellos ellos es 160. hallar el menor: menor: a) 60 d) 250

b) 120 e) 280

c ) 1 80

9.

En una una caja caja se se tienen tienen 140 bolas, bolas, 80 80 blanc blancas as y el el resto iguales, ¿cuántos bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancos por cada 6 bolas azules? a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c ) 30

10. En una una reunión reunión se observ observóó que por cada cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántos personas personas habían inicialmente en la reunión? a) 48 d) 38

b) 42 e) 24

c ) 32

11. Hallar Hallar la media media propor proporcio cional nal de 4 y 9 3.

Dos Dos núme números ros son entre entre sí como 5 es es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor: mayor: a) 60 d) 48

4.

c ) 1 88

b) 82 e) 86

c ) 1 20

Las Las eda edade dess de Juan Juan y Robe Robert rtoo son son 30 y 24 24 años años respectivamente. respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6? a) 10 d) 12

8.

c ) 340

Dos Dos núme números ros son entre entre sí como como 2 es a 5. 5. Si su razón aritmética es 72. Hallar el número mayor: a) 60 d) 96

7.

b) 224 e) 218

b) 18 e) 20

c ) 15

Mario Mario tiene tiene 38 38 años años y Jessi Jessica ca 24 24 años, años, ¿hace ¿hace cuántos años sus edades fueron como 2 a 1? a) 12 d) 15

b) 8 e) 6

c) 8

12. Hallar Hallar la media proporciona proporcionall de 12 y 27

La suma suma de dos número númeross es 320 y su su razó razónn geométrica es 3/7. Hallar el número número mayor: a) 336 d) 163

6.

b) 320 e) 360

b) 7 e) 10

c ) 36

La suma suma de dos dos núme números ros es 980 y su su razón razón es 5/9. Hallar el menor: menor: a) 300 d) 350

5.

b) 75 e) 45

a) 6 d) 9

c ) 10

a) 18 d) 15

b) 16 e) 21

c ) 12

13. Hallar Hallar la cuarta cuarta proporci proporcional onal de de 15; 20 y 18 a) 36 d) 28

b) 21 e) 32

c ) 24

14. La media media proporci proporcional onal de de “a” “a” y 27 es “b” “b” y además “a” es la tercera proporcional entre 3 y 27. 27. Hall Hallar ar (a - b) a) 81 d) 54

b) 162 e) 30

c ) 243

15. La cuarta cuarta diferen diferencial cial de “a”, “b” “b” y “c” “c” es 29, la la tercia proporcional de “a” y “b” es 36 y la media aritmética de “b” y “c” es 39. Hallar la tercera diferencial de “a” y “c”. a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c ) 22



Tarea Do m iciliaria

1.

En una una razó razónn geomé geométri trica ca el el antec antecede edente nte es 108 108 y el consecuente 4. ¿Cuál es el valor de la razón? a) 25 d) 31

b) 27 e) 33

c ) 29

2. Deter Determin minar ar el conse consecue cuente nte de de una razó razónn cuyo cuyo valor es 5/8 y el antecedente es 4/9. a) 32/45 d) 6/5

b) 45/32 e) 8/25

b) 2 e) 5

c) 3

4. La razó razónn ent entre re las las vel veloc ocida idade dess de de un un tren tren y de de un avión avión es 2 : 3 si la vel veloc ocid idad ad del del tren tren es de 600 km/h. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad del avión? avión? a) 150 km/h d) 600

b) 300 e) 900

c ) 4 50

5. La razó razónn de las las longi longitud tudes es de de los los lados lados de de un rectángulo es es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? a) 50 cm d) 80

b) 60 e) 90

b) 34 e) 75

b) 80 e) 200

c) 3440

9. Dos Dos ami amigo goss deb deben en repa repart rtir irse se $ 27 000 000 en en la la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor? a) $ 21000 d) 3000

b) 1 8 0 0 0 e) 2000

c) 9000

10. El dinero dinero de 2 personas personas están están en en la razón razón de 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene la menor? a) 1090 d) 1000

b) 1 1 9 0 e) 1990

c ) 1 1 20

11. Los ángul ángulos os interiore interioress de un un triángulo triángulo están en la razón de 5, 8 y 2. ¿Cuál es la medida de ángulo mayor? a) 90º d) 106º

b) 96º e) 160º

c) 100º

12. Calcul Calcular ar “M” si M = T + P + D Donde: T : media diferencial de 12 y P P : media proporc proporcional ional de 12 y 3 D : tercia proporcional de T y P a) 10 d) 19

b) 15 e) 20

c ) 18

a b c    k 4 6 9 se cumple cumple:: a + b + c - k = 54 Calc Calcul ule: e: a – b + c

13. 13. En la ser serie ie::

a) 14 d) 36

c) 51

7. La difer diferen encia cia entre entre el el peso peso de dos dos vehícu vehículos los es es 120 kg. kg. y están están en la la relació relaciónn de 7 : 4. ¿Calcule ¿Calcule el peso peso del vehícu vehículo lo menos menos pesado? pesado? a) 40 kg d) 160

b) 3640 e) 400

c ) 70

6. Las edades edades de de Ana Ana y Julia Julia está estánn en la la relaci relación ón de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas sumas de sus edades es 85 años? a) 17 d) 60

a) 3840 cm d) 800

c) 18/15

3. En una una razó razónn el conse consecue cuente nte es 8 y su valo valorr es 0,375. Determinar el antecedente. antecedente. a) 1 d) 4

8. El perím perímetr etroo de de un un rect rectáng ángulo ulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área.

c ) 1 20

b) 27 e) 12

c) 21

14. En una una proporci proporción ón geométri geométrica ca continua continua el producto de los los extremos extremos es es 144. 144. Hallar la media proporcional. a) 10 d) 21

b) 12 e) 24

c ) 18

15. En una una proporci proporción ón geométr geométrica ica la suma de antecedentes es 130 y la suma de los consecuentes es 208. 208. Si el producto de los términos medios es 5400. Hallar el mayor de los términos. a) 100 d) 180

b) 75 e) 240

c ) 1 20

razones

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