Reactor CSTR

MODELAMIENTO Y PERTURBACIÓN PERTURBACIÓN DE UN U N REACTOR CSTR

J. Betancur P., A. Franco P.; P.; D.A. Gomez . 21 Abril del 2014

Introducción Los reactores químicos son generalmente la parte más importante de una planta química. Ellos forman el núcleo del proceso, ya que es allí donde las materias primas se convierten en productos. [1] En este documento se compara la dinámica de idealidad de un reactor de tanque agitado bajo diferentes condiciones, reacciones simples de primer orden, orden, reacci reaccione oness de equili equilibri brio, o, reacci reaccione oness parale paralelas lasyy finalm finalment entee se incluy incluyee el anális análisis is de los reacto reactores res no isotér isotérmic micos. os. Todo este análisis dinámico se realiza por medio de un modelo de caja negra con apoyo de herramientas de programación como Matlab y Simulink; para así establecer el comportamiento que presenta el sistema de reacción. Se estudia el cambio en las diferentes variables variables de salida del sistema, ante cambios o perturbaciones en las variables de entrada, para finalmente por medio de un análisis de sensibilidad efectuado por una matriz dinámica identificar las variables determinantes para la implementación posterior de un sistema de control automático.

Objetivos Modelar el sistema de estado estable de un reactor CSTR a diferentes condiciones. Especificar el sistema, realizando un análisis de grados de libertad. Aplicar conocimientos propios de control de procesos, para especificar las variables de entrada (manipulables, perturbaciones) perturbaciones) y las variables de salida (medidas, no medidas). Describir el comportamiento dinámico del reactor CSTR. Realizar perturbaciones a diferentes variables e interpretar el comportamiento de las variables de salida. Realizar una matriz dinámica, con la cual poder definir posteriormente un modelo de control, que permita la eliminación de perturbaciones, la estabilización y la optimización del proceso de autorregulación de temperatura

1. Mode Modela lado do 1.1. 1.1. Ley cero cero de control control Se considera un reactor de tanque agitado continuo (CSTR) con un flujo continuo de entrada y de salida, en donde ocurre: Caso 1: reacción química de primer orden con respecto al reactivo reactivo y al producto, homogénea, isotérmica irreversible. irreversible. Caso 2: reacción química de primer orden, homogénea reversible, reversible, isotérmica. 1

Caso3: reacción química de primer orden, homogénea consecutiva, isotérmica Caso 4: reacción química de primer orden, homogénea irreversible, irreversible, adiabática. Algunas características del sistema general son: Se asume que el reactor está completamente lleno, es decir, se supone que el nivel es constante. El reactor está idealmente mezclado, es decir, no hay gradientes de concentración y la concentración del reactor es la misma que la concentración de salida. La densidad es la misma durante todo el proceso e independiente de la concentración de los componentes y de la temperatura. Inicialmente se analizara la dinámica de cada uno de los cuatro casos, para realizar posteriormente el control del caso 4, reactor no isotérmico con reacción homogénea irreversible irreversible de primer orden.

1.2. 1.2. Descri Descripci pcion on del equipo equipo Reactor   CSTR Es un tanque en el cual la masa reaccionante es continuamente agitada de tal manera que se considera como una mezcla completa y, por lo tanto, se asume que sus propiedades son uniformes en todo el interior del reactor para un tiempo especificado. [2]

1.3. 1.3. Diagra Diagrama ma de flujo

Figura 1: Reactor CSTR

1.4. Tabla de propiedades propiedades y parametr parametros os Se hace importante ante antes de entrar a dar solución al modelo, analizar las variables y parámetros con los cuales se trabajara , analizar las unidades y verificar que sean consistentes.

2

Simbolo F CAin V A B CA CB K1 K3 K4 CB CA CA0 F R A

Significado Caso 1 A → B Flujo entrada del reactor Concentración de entrada reactivo A Volumen del Reactor Componente A Componente B Concentración de salida A Concentración de salida B Constante de velocidad reaccion directa Contantes de ganancia Contantes de ganancia Variable de desviación de la concentración de B Variable de desviación de la concentración de A Variable de desviación desviación de llaa concentración concentración entrada de A Variable de desviación flujo del reactor Constate de tiempo igual al tiempo de residencia Constate de tiempo debido a la reacción

Unidades m 3 /s kg/ m 3

kg/ m 3 kg/ m 3

Cuadro 1: Tabla de propiedades y paramtros caso 1

Simbolo F CAin V A CA CB K1 K2 B

CB CA CA0 F K4 K5 s

Significado Caso 2 A ↔ B Flujo entrada del reactor Concentración de entrada reactivo A Volumen del Reactor Componente A Concentración de salida A Concentración de salida B Constante de velocidad reacción directa Constante de velocidad reacción reversible reversible B =  R  Constate de tiempo igual al tiempo de residencia Variable de desviación de la concentración de B Variable de desviación de la concentración de A Variable de desviación desviación de llaa concentración concentración entrada de A Variable de desviación flujo del reactor Constantes de ganancia Constantes de ganancia Constate de tiempo Cuadro 2: Tabla de propiedades y parametros caso 2

3

Unidades m 3 /s kg/ m 3 m3 kg/ m 3 kg/ m 3

Simbolo F CAin CB0 CC0 V A B C CA CB CC K1 K2 rA rB rC CB CA CC CA0 K5 K6 R

Significado Caso 3 A → B → C Flujo entrada del reactor Concentración de entrada reactivo A Concentración inicial reactivo B Concentración inicial reactivo C Volumen del Reactor Componente A Componente B Componente C Con Concen centrac tració iónn de sali salida da com ompo ponnent ente A Con Concen centrac tració iónn de sali salida da com ompo ponnent ente B Con Concen centrac tració iónn de sali salida da com ompo ponnent ente C Constante de velocidad reacción A → B Constante de velocidad reacción B → C Velocidad de reacción de A Velocidad de reacción de B Velocidad de reacción de C Variable de desviación de la concentración de B Variable de desviación de la concentración de A Variable de desviación de la concentración de C Variable de desviación desviación de llaa concentración concentración entrada de A Constantes de ganancia Constantes de ganancia Constate de tiempo igual al tiempo de residencia

Unidades m 3 /s kg/ m 3 kg/ m 3 kg/ m 3 m3

kg/ kg/ m3 kg/ kg/ m3 kg/ kg/ m3

Cuadro 3: Tabla de propiedades y parametros caso 3

U T Tc M Cp E R K0 CA A CAin R0 H UA F

Caso 4 Reaccion no Isotermica Coeficiente de transferencia de calor Temperatura en el reactor Tempe empera rattura ura media edia en el serpe erpenntí tínn de enfr enfria iam mient ientoo Masa Calor especifico Energía de activación de la reacción Constante de los gases Factor pre exponencial Concentración del componente A Área del reactor Densidad Concentración de entrada reactivo A Velocidad de reacción en estado estacionario Calor de reacción Producto Producto del coeficient coeficientee de transfere transferencia ncia de calor calor y área Flujo volumétrico total Cuadro 4: Tabla de propiedades y parametros caso 4

4

K K kJ / kg.K kJ / mol kJ / mol.K

kg/m3 kg/m 3 kJ / kg kJ/K.sec kJ/K.sec m3

1.5. Variables ariables fundamentale fundamentaless Caso I

Caso II

Caso III

Caso IV

Variables Fundamentales

Masa

Masa

Masa

Masa

Variables de caracterización

Concentración, Flujos de

Concentración, Flujos de

Concentración, Flujos de

Concentración, Flujos de

entrada y salida

entrada y salida

entrada y salida

entrada y salida, temperatura

Parámetrso de Caracterización

Altura del liquido, densidad,

Altura del liquido, densidad,

Altura del liquido, densidad,

Altura del liquido, densidad,

temperatura, volumen del

temperatura, volumen del

temperatura, volumen del

temperatura, volumen del

reactor, presión

reactor, presión

reactor, presión

reactor, presión,capacidad calorifica

Cuadro 5: Variables fundamentales

1.6. Volumen olumen de control control Es necesario identificar los flujos de masa y energía, comprobar si estas variables se conservan en los volúmenes a definir (suponemos que se mezclan perfectamente, y tienen patrón de flujo uniforme), teniendo claridad en esto se selecciona un volumen de control definido por el contenido del reactor.

1.7. 1.7. Grados Grados de lib libert ertad ad Para simular el proceso, debemos primero asegurarnos que las ecuaciones del modelo (diferenciales y algebraicas) constituyen un conjunto solucionable de relaciones, es decir que el número de incógnitas iguale el número de ecuaciones algebraicas o diferenciales según sea el caso. El número de grados de libertad NF, puede ser calculado con la siguiente expresión:  NF  =  NV  − NE 

Dónde: NV: NV: Número total de variables variables en el proceso NE: Número de ecuaciones independientes está dado por n ecuaciones diferenciales y m ecuaciones algebraicas. algebraicas. Reactor CSTR Variables Flujo Composiciones Presión Temperatura Total Grados de libertad

Ecuaciones 4 Balance de materia 2C Balance de energia 4 Composiciones 4 Equilibrio mecánico 2C+12   Equi Equili libr brio io térm térmic icoo Equi Equili libr brio io quim quimic icoo Total   2C+12-2C-4

C 1 2 1 1 C-1 C-1 2C+4 8

Cuadro 6: Grados de libertad Este análisis nos determina que para satisfacer el proceso debemos especificar ocho variables variables dentro del proceso. Las ocho variables a especificar serán: el flujo de alimentación, la temperatura de alimentación, la constante de velocidad, la temperatura de entrada del fluido de servicio, el coeficiente global de transferencia, área del reactor, volumen de reacción, presión del reactor. Podemos clasificar el análisis así: NF = 0, el modelo del proceso está especificado, es decir que el número de ecuaciones es igual al número de variables y el sistema de ecuaciones tiene solución. En realidad nunca se resuelve un problema de optimización considerando el número de grados de libertad que inicialmente se plantean en el problema. Por el contrario, se debe comenzar por calcular un caso base, en el que, se han 5

agotado los grados de libertad que se detectó al formular el problema. Sobre los resultados obtenidos se realizará un análisis de significación de las potenciales variables de decisión, para determinar la influencia que cada una de ellas tiene sobre la función objetivo objetivo adoptado.

2. Estrategia Estrategia general general de solución solución 1. Analizar y comprender detalladamente detalladamente el artículo base "Dynamics of Chemical stirred tank reactors". 2. Establecer variables de entrada y salida del sistema. 3. Determinar el volumen de control. 4. Hacer uso de las propiedades de los componentes componentes involucrados involucrados en la reacción y los parámetros parámetros del reactor para el modelamiento del sistema. 5. Desarrollar el modelo matemático del sistema, balances de materia y energía para el reactor y condensador, verificar las unidades del modelo. 6. Hacer uso de relaciones adicionales, linealizar linealizar los términos que lo requieran, y obtener expresiones dinámicas dinámicas en función de variables variables conocidas o fácilmente relacionables. relacionables. 7. Analizar el proceso en estado estable, usaremos un código de programación en Matlab en el cual desarrollará el modelo matemático en estado estable. 8. Posterior a esto se podrá obtener un modelo dinámico del sistema, al cual se le dará solución en un programa en Matlab. 9. Se realizará distintas perturbaciones perturbaciones a las variables de entrada al sistema, para analizar cómo afectan los valore valore de variables de salida usando el complemento de Matlab, Simulink; obteniendo una respuesta diferente para cada perturbación. 10. Se obtendrá una matriz dinámica del sistema, con la cual se podrá realizar un emparejamiento de variables, determinando la sensibilidad del sistema. 11. Finalmente se realiza un análisis a los resultados.

3. Desc Descri ripc pció iónn 3.1. Modelo Modelo fenomenológi fenomenológico co Los balances consisten en un conjunto de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera fijas, los cuales se resuelven de manera simultánea usando el software matlab con la función ode45 que este trae. Para resolver el sistema de ecuaciones es necesario establecer las condiciones iniciales del proceso, las cuales se establecen en base a las suposiciones descritas en el artículo estudiado. [1] Una vez se establece las condiciones iniciales del sistema, se identifica los parámetros y las relaciones adicionales del sistema en el conjunto de ecuaciones, con el fin de establecer el código de programación en matlab. Con esta resolución del sistema de ecuaciones, se logra modelar el comportamiento de las variables del sistema con el tiempo. Este es un modelo matemático consta de siete ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. Es necesario hacer uso tanto de distintas relaciones adicionales como de suposiciones para la simplificación simplificación del modelo. Se analizan cuatro condiciones diferentes para el reactor. reactor. Sistema con reacción irreversible isotérmica.

Dos supuestos adicionales se realizan: La reacción es del tipo A → B, con una constante de velocidad k 1 . La reacción es de primer orden en el componente A, por lo tanto la velocidad de reacción puede ser descrita por r = k 1 CA 6

 dC  A V  = F (C  Aic − C  A ) − rV  =  =  F (C  Ain − C  A ) − V k 1C  A dt 

(1)

Sistema con reacción reversible isotérmica

Se supone que la reacción de A a B es una reacción de equilibrio, A B, con con k1  constante de velocidad para la reacción hacia adelante y constante k 2  para la reacción reversible. La velocidad de reacción puede ahora ser dada por: r  =  =  k 1C  A − k 2C  B

(2)

 dC  A V  = F (C  Ain − C  A ) − rV  =  =  F (C  Ain − C  A ) − V K 1C  A + V k 2C  B dt 

(3)

 dC  B V  = −FC  B + rV  =  = −FC  B + V k 1C  A − V k 2C  B dt 

(4)

Sistema con reacción consecutiva isotérmica

Se supone que la reacción se lleva a cabo de acuerdo con el siguiente esquema:  A →K 1  B →K 2 C 

Y las velocidades de reacción se supone que son de primer orden en los componentes: r  A  = −k 1C  A

(5)

r  B  =  k 1C  A − k 2C  B

(6)

r c  =  k 2C  B

(7)

Los balances de componentes para todos los tres componentes se pueden escribir como:  dC  A V  = F (C  Ain − C  A ) − V k 1C  A dt 

(8)

 dC  B V  = −FC  B + V k 1C  A − V k 2C  B dt 

(9)

 dC C  C  V  = −FC C  C  + V k 2C   B dt 

 

(10)

Sistema con reacción irreversible adiabático

Supuestos: El coeficiente de transferencia de calor global U se supone que es constante La temperatura en el reactor es T (idealmente mixta) y la temperatura media en el Serpentín de enfriamiento es Tc, la capacidad de calor del serpentín de refrigeración y el contenido de la bobina de refrigeración puede ser ignorada ya que es pequeño en comparación con la capacidad de calor del reactor. Nota: la capacidad de calor se define por C = Mcp, donde M es la masa y el calor específico cp . La reacción a considerar es A → B La velocidad de reacción es de primer orden en el componente A ρ V C  p

dT  dt 

 

= F ρC  p (T in in − T ) + rV △ H − UA (T  − T c )  dC  A V  = F (C  Ain − C  A ) − V r  dt 

7

 

(11) (12)

3.2. 3.2. Estado Estado estable estable Para analizar las respuestas del modelo ante perturbaciones, y las fluctuaciones de las variables variables del proceso, debemos tener una referencia con la cual podamos analizar la desviación. Por esto se hace importante realizar el modelado en estado estable. Para la demostración del estado estable se igualan a cero las ecuaciones diferenciales que representan el modelo dinámico del proceso, los resultados obtenidos serán el valor de las variables a tiempo infinito; es decir el estado ha alcanzado un estado estable. Para la comprobación del estado estable se realizó una simulación en Matlab en la cual se usó el comando ode45 para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales y analizar el tiempo en el que se alcanza el estado estable para cada caso. Figura 2

Figura 2: Arranque del reactor para los cuatro casos Analizando las gráficas observamos que se alcanza el estado estable para los cuatro casos. Estos valores se reportan en el cuadro 7.

Númer Númeroo de caso caso Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Concen Concentra tració ciónn A 266.6669 300.0001 11.1111 210.3751

Concen Concentra tració ciónn B 533.3331 499.9999 29.6668 589.6249

Concen Concentra tració ciónn C 57.5389 -

Tempera emperatur turaa 429.2843

Cuadro 7: Valores de estado estable

3.3. 3.3. Modelo Modelo de caja caja negra negra Este modelo es estudiado desde el punto de vista de las entradas que recibe y las salidas o respuestas que produce, sin tener en cuenta su funcionamiento interno. En otras palabras, del modelo de caja negra nos interesará su forma de interactuar con el medio que le rodea entendiendo qué es lo que hace, pero sin dar importancia a cómo lo hace.

8

Figura 3: Modelo de caja negra  Modelamiento en simulink para una perturbación escalón

El bloque MATLAB Function el cual contiene la función de matlab es el encargado de transportar toda la informaciónacerca del modelo dinámico hacia el bloque integrator el cual se encarga de resolver el conjunto de ecuacionesdiferenciales o transformarlas de modo que sean susceptibles a perturbar, para tal fin se llevan los datos de salida delbloque integrator hacia la entrada del bloque demux en el cual se introduce a la vez una perturbación mediante otrobloque y los datos una vez combinados generan la respuesta dinámica del sistema lacual es enviada como una señal de salida del bloque demux hacia el bloque de la función de Matlab donde los resultadosson nuevamente procesados como se explicó anteriormente con la excepción de que ahora en la salida del bloque integrator se crea una derivación que tiene como objetivo enviar la información a la entrada del bloque mux dondees descompuesta totalmente en sus variables constituyentes y enviada mediante múltiples salidas que son iguales alnúmero de partes descompuestas hacia los bloques Scope que son los encargados de dar una representación representación gráfica dela señal de salida. Analizado esto podemos entrar a definir las variables del sistema

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Variables de entrada Perturbaciones Flujo Flujo y concen concentra tració ciónn de entrad entradaa Flujo Flujo y concen concentra tració ciónn de entrad entradaa Flujo Flujo y concen concentra tració ciónn de entrad entradaa Flujo,conc Flujo,concentra entración ción y temperat temperatura ura de entrada entrada

Manipuladas Flujo Flujo de entrad entradaa Flujo Flujo de entrad entradaa Flujo Flujo de entrad entradaa Flujo Flujo de entrada entrada

Variables de salida Medidas No medidas Flujo Flujo de salida salida Concen Concentr traci ación ón de salida salida Flujo Flujo de salida salida Concen Concentr traci ación ón de salida salida Flujo Flujo de salida salida Concen Concentr traci ación ón de salida salida Flujo Flujo de salida salida Concentra Concentración ción de salida salida

Cuadro 8: Variables Variables de entrada y salida de caja negra

Nota: cuando nos referimos a variables de entrada y salida, hablamos no de la estructura física del sistema desde el punto de vista de corrientes de entrada y salida, sino que variables pueden generar cambios al sistema o el sistema que cambios puede efectuar a los alrededores.

4. Matr Matriz iz diná dinámi mica ca Después de modelado el proceso, y definidas las variables de entrada, se realizan diferentes tipos de perturbaciones aestas, para determinar el efecto y comportamiento en las variables de salida del sistema de control. Se presenta unamatriz dinámica en la cual se pueden observar estos comportamientos: Estos valores valores de estado estable son los que se usarán en el modelo dinámico que se trabajará en Simulink para estudiarel comportamiento de las perturbaciones del sistema.A continuación se muestran los resultados obtenidos en Simulink para una perturbación escalón al flujo de entrada al reactor, reactor, entre valores de 0.011- 0.020-0.030. 9

Figura 4: Matriz dinámica perturbación flujo entrada reactor

10

Para los casos 1, 2 y 3 se generaron las respuestas a una perturbación escalón unitario en el flujo de alimentación al reactor. Figura 5-6-7

Figura 5: Dinámica ante perturbación escalón unitario caso 1

Figura 6: Dinámica ante perturbación escalón unitario caso 2

Figura 7: Dinámica ante perturbación escalón unitario caso 3

5. Anál Anális isis is Para la dinámica de arranque, se alcanza el estado estable deseado. Las respuestas en el cambio de la concentración de A son inversamente proporcionales a las de B en los casos 1,2 y 4; mientras que para el caso 3 no se observa esa misma proporcionalidad, debido a que se genera una reacción consecutiva. 11

Examinando la matriz dinámica el sistema siempre alcanza un estado estable, no presenta polos integrantes. Como observamos en la Figura 4 al perturbar el reactor en su flujo de entrada a diferentes magnitudes responde produciendo un cambio en el estado estable de operación hacia un nuevo estado estable. Se generan grandes cambios en la concentración y temperatura, con cambios de 10% en el flujo de entrada, lo que confirma que el sistema es muy sensible respecto a cambios en esta variable. El cambio en la temperatura es el menos significativo, mientras que la concentración se altera en 20 unidades, lo que la hace la variable más sensible ante los cambios en el flujo de entrada. Este cambio sigue siendo mucho mayor a perturbaciones de magnitudes más grandes. Como la reacción es exotérmica se hace necesario mantener la temperatura a condiciones moderadas. La disminución de la temperatura ante una perturbación del flujo moderado no implica un problema serio a controlar, pero si el cambio en el flujo es grande, la disminución de temperatura es mayor, lo que ocasionaría que la reacción se apague.

6. Conc Conclu lusi sion ones es Conocer la ley cero de control permite contextualizar al lector para comprender el procedimiento y solución del sistema reaccionante. Es importante modelar el sistema de estado estable de un reactor CSTR a diferentes condiciones condiciones para determinar las condiciones críticas de operación. Antes de dar solución al sistema, es necesario especificar las variables haciendo uso de un análisis de grados de libertad, para este caso nos permitió conocer cuales variables debían ser conocidas. Para los cuatro casos el sistema alcanza no presenta polos integradores, lo que hace que se alcance un nuevo estado estable. El análisis de la dinámica del reactor en condiciones adiabáticas nos permitió conocer que variables son críticas en el manejo del sistema, para la posterior implementación de un sistema de control. Los resultados se pudieron reproducir exactamente a los presentados en el artículo, debido a que se contaba con los datos necesarios.

7. Recome Recomenda ndacio ciones nes Es importante antes de dar solución a cualquier tipo de problema, seguir un procedimiento riguroso, en el cual se tengan ciertos criterios de partida como los objetivos de modelado los criterios de validación y un modelo matemático en el cual basarse para un análisis posterior del sistema; todo esto seguido de: definir el problema, identificar los factores de control, evaluar la información, configurar el modelo, verificar la solución, resolver y por último validarlo. Cuando se decide reproducir cualquier artículo científico es importante analizar las ecuaciones y simplificaciones realizadas, de donde proceden y asegurarse que no se presenten errores tipográficos, los que posiblemente generarán errores, y provocarán un alejamiento al modelo real.

Referencias [1] Dynamics of Chemical Stirred Stirred Tank Tank Reactors [2] K.R.Westerterp,W.P.M.van Swaaij, A.A.C.M. Beenackers, Che- mical reactor design and operation, JohnWiley,New York, 1984. [3] W.L. Luyben, ECect of imperfect imperfect mixing mixing on autorefrigerated autorefrigerated reactor stability, stability, AIChE Journal 14, (1968) (1968) 880-885.

12

[4] J.D. Seader,Ernest J. Henley, Henley, Separation Process Principles, Second Edition. John Wiley Wiley & Sons. 2006. Douglas, J.M., Conceptual Design of Chemical Processes, Mc-Graw Hill, 1988 [5] Douglas, J.M., Conceptual Design Design of Chemical Processes, Processes, Mc-Graw Hill, Hill, 1988

Anexos Traduccion Traduccion del Articulo guia para la realización de este trabajo.

8. DINÁMICA QUÍMICA DE REACTORES REACTORES DE TANQUE TANQUE AGITADO GITADO En este capítulo, se analizará la dinámica de idealidad de los reactores de tanque agitado. En primer lugar, se analizarán los supuestos necesarios para limitar la complejidad del modelo, posterior se tendrán en cuenta los distintos tipos de reacción, tal como reacciones simples de primer orden, reacciones de equilibrio, reacciones paralelas, etc y finalmente se incluyen en el análisis los reactores no isotérmicos. Se presentan ejemplos numéricos de reactores químicos con las descripciones de los modelos no lineales y se comparan con las descripciones de los modelos linealizados.

8.1. 8.1. Introd Introducc ucción ión Los reactores químicos son generalmente la parte más importante de una planta química. Ellos forman el núcleo del proceso, donde las materias primas se convierten en productos. En general el modelamiento de reactores químicos y en particular la cinética, no son sencillos, sin embargo: depende en gran medida de los objetivos que nos gustaría alcanzar. alcanzar. En muchos casos, no toda la materia prima se convierte y puede ser importante para controlar la concentración de los componentes que no han reaccionado, como para tener una idea de la conversión que se ha logrado. La concentración de salida del reactor de un componente que no ha reaccionado a menudo es la variable más importante importante y es en la que estamos interesados. Para simplificar la descripción del reactor, se han hecho las siguientes suposiciones: Se asume que el reactor está completamente lleno, es decir, se supone que el nivel es constante El reactor está idealmente mezclado, es decir, no hay gradientes de concentración y la concentración del reactor es la misma que la concentración de salida La densidad es la misma durante todo el proceso e independiente de la concentración de los componentes y de la temperatura

8.2. REACCIÓN REACCIÓN ISOTÉRM ISOTÉRMICA ICA DE PRIME PRIMER R ORDEN ORDEN En esta esta secció sección, n, se consid considera erará rá una reacci reacción ón a condic condicion iones es isotér isotérmic micas, as, por lo que la reacci reacción ón ti tiene ene lug lugar ar a temper temperatu atura ra constante. El rendimiento del reactor F (m 3 /s) y la concentración de entrada C Ain  (kg/m3 ). El volumen del reactor es V (m 3 ). Las concentraciones de salida del reactor son C A (kg/m3) y CB (kg/m3 ). En reactor se muestra en la Fig. 8.

13

Figura 8: Reactor quimico isotermico Dos supuestos adicionales se realizan: La reacción es del tipo siguiente, A

→ B, con una constante de velocidad k 1

La reacción es de primer orden en el componente A, por lo tanto la velocidad de reacción puede ser descrita por r = k1 CA En la mayoría de los casos será deseable controlar la conversión del componente A, que está directamente relacionada con el rendimiento del componente B, por lo tanto, la respuesta de C A a los cambios en C Ain y F son importantes. El modelo de comportamiento del reactor se muestra en la figura 9.

Figura 9: Modelo comportamiento reactor isotermico Puesto que no hay balance de energía, ni un balance de masas en general, el único balance dinámico que se mantiene es un balance por componente para el componente A y/o B. Para describir la concentración concentración de salida del componente A, el balance de interés es el del componente dinámico A y puede escribirse como:  dC  A V  = F (C  Aic − C  A ) − rV  =  =  F (C  Ain − C  A ) − V k 1C  A dt 

 

(13)

El término derivado en el lado izquierdo del signo igual representa la acumulación de masa del componente A en kg/s; el prim primer er térm términ inoo del del lado lado dere derech choo repr repres esen enta ta la dife difere renc ncia ia entr entree el flujo flujo de entr entrad adaa y flujo flujo de sali salida da del del comp compon onen ente te A, y el segundo término lado derecho representa la desaparición del componente A través de la reacción. Similarmente, el balance para el componente B, aumiendo que B no entra el reactor, puede escribirse como:  dC  B V  = −FC  B + rV  =  = −FC  B + V k 1C  A dt 

14

 

(14)

8.2.1. Linealizació Linealizaciónn del del modelo modelo de ecuac ecuación ión Las ecuaciones (13) y (14) son ecuaciones simples y pueden ser fácilmente linealizadas. La Linealización de la ecuación. (13) se traduce en:  

V sδ C  C A   = (C  Aic − C  A )o δ F  + C Ain   − F o δ C  C A  − V k 1 δ C  C A   + F o δ C 

(15)

Que puede también ser reorganizada reorganizada así: δ C  C A   =

K 1

τ  A s + 1

δ F  +  +

K 2

τ  A s + 1

 

δ C  C Ain  

(16)

Con: τ  A  =

τ  R  =

V  Fo

Tiempoderesidencia; K 1  =

V  F o + V k 1

=

τ  R 1 + k 1 τ  R

(17)

F o  (C  Aic − C  A )o  (C  Aic − C  A )o /F o 1 = ; K 2 = = F o + V k 1 F o + −V k 1 1 1 + k 1 τ  R

(18)

Linealizando la ecuaion (14), resulta:  

V sδ C  C B   = −F o δ C  C B  − C  B0 δ F  + C A   + V k 1 δ C 

(19)

Tambien puede ser escrita como: δ C  C B   = −

K 3

τ  R s + 1

δ F  +  +

K 4

τ  R s + 1

 

δ C  C A 

(20)

Con: K 3  = C  B0 /F 0

 

(21)

K 4  = V k 1 /F 0

 

(22)

8.2.2. Análisis Análisis del modelo De las ecuaciones (16) y (19) se pueden obtener las funciones de transferencia (y relaciones) de interés. De la ecuación. (16) se puede observar que la relación entre C A y F es una función de transferencia transferencia de primer orden con aumento de K 1  y una constante de tiempo . Del mismo modo, la relación entre C A  y CAin  es una función de transferencia de primer orden con aumento de K 2 y una constante de tiempo . Para las reacciones rápidas (alto valor de k 1 ), se acerca al valor de 1/k 1 , que se aproxima a cero: en otras palabras, la respuesta será instantánea. Además, las ganancias K 1 y K 2  se vuelven pequeños. Esto significa que toda la materia prima se convierte casi instantáneamente y el flujo de entrada y la concentración de entrada no afectan mucho la concentración de salida. La respuesta entre C B y C Ain es interesante: se puede escribir como: k 1 τ  R

δ C  C B  δ C  C B  δ C  C A  K 2 K 4 1+k 1 τ  R = =  = δ C  C Ain   δ C  C A  δ C  C Ain   (τ  R s + 1)(τ  A s + 1) (τ  R s + 1)(τ  A s + 1)

 

(23)

Esta es una función de transferencia de segundo orden (dos funciones de transferencia de primer orden en serie) con una constante de tiempo igual al tiempo de residencia ( R) y uno debido a la reacción ( A ). Por lo tanto la respuesta depende del tiempo de residencia y las características de la reacción. La razón de que las dos funciones de transferencia de primer orden están en serie es debido al hecho de que no existe ninguna retroalimentación desde C B a C A .  Ejemplo:

Suponga k1 = 0.1 s1,  R  = 20 s. Se puede calcular calcular entonces que = 6.67 s, K2 = 0.333 y K4 = 2. El modelo en relación cB a cAin se muestra en la Fig 10. 15

Figura 10: Funciones de transferencia transferencia reactor isotérmico para los cambios en C Ain Las respuestas de CA y CB  a cambios en Caín se muestran en la figura 11. Es evidente que la respuesta de primer orden de la CA y la respuesta de segundo orden del banco central se puede ver.

Figura 11: Respuesta concentración del reactor al cambio escalón unitario en C Ain

8.3. Reacciones Reacciones en equilibrio equilibrio En esta sección, se considerará el mismo reactor. Sin embargo, se supone que la reacción de A a B es una reacción de equilib equilibrio, rio, A B, con k1  constante de velocidad para la reacción hacia adelante y constante K 2  para la reacción reversible. reversible. La velocidad de reacción puede ahora ser dada por: r  =  =  k 1C  A − k 2C  B

 

(24)

La ecuación (13) tiene ahora que ser modificado para:  dC  A V  = F (C  Ain − C  A ) − rV  =  =  F (C  Ain − C  A ) − V K 1C  A + V k 2C  B dt 

 

(25)

y la ecuacion (14) se pueden modificar en consecuencia:  dC  B V  = −FC  B + rV  =  = −FC  B + V k 1C  A − V k 2C  B dt 

 

(26)

El modelo de comportamiento comportamiento también cambiará cambiará y se muestra en Figura 12 Se puede observar que hay una interacción interacción entre los balances de componentes

16

Figura 12: Modelo comportamiento reactor isotermico con reacción en equilibrio También en este caso, el rendimiento del componente B se determina directamente directamente por la conversión del componente A, por lo tanto, la medición de la concentración de salida del componente A sería de interés. La Linealización de las ecuacioens. (25) y (26) es sencillo y resulta en: δ C  C A   =

K 1

τ  A s + 1

δ F  +  +

K 2

τ  A s + 1

δ C  C Ain    +

K 3

τ  A s + 1

 

δ C  C B 

(27)

donde ya se definieron  A , K1 y K 2 en la ecuación. (18), K 3  ahora se puede dar a través de: K 3  =

V k 2 F 0 + V k 1

=

k 2 τ  R

(28)

1 + k 1 τ  R

y δ C  C B   = −

K 4

τ  B s + 1

δ F  +  +

K 5

τ  B s + 1

δ C  C A 

 

(29)

Donde la constante de tiempo y ganancias se definen por: τ  B  =

K 4  =

K 5  =

V  F 0 + V k 2 C  B0 F 0 + V k 2 V k 1 F 0 + V k 2

=

= =

τ  R 1 + k 2 τ  R

(30)

C  B0 /F 0

(31)

1 + k 2 τ  R k 1 τ  R

(32)

1 + k 2 τ  R

Se puede observar que la ec (27) tiene una C B adicional en comparación con la ec. (16). Además, la ec. (29) es similar a la ecuación. (20), sin embargo,  R  ha sido sustituido por  B . Si k2  = 0, entonces  R  =  B  y el aumentos K 4  y K5  en las ecuaciónes. (30),(31) y (32) se reducen a los valores dados en las ecuaciónes. (21) y (22). Ahora la respuesta de C Ain  a CA  cambia, en comparación con el caso anterior, debido al hecho de que C Ain también afecta CB via CA , y CB a su vez afecta a C A ; en otras palabras, los balances de los componentes se han convertido en interactiva. interactiva. Esto se puede ver cuando combinamos las ecuaciones. (27) y (29): C A   = [ K 1 (τ  B s + 1) − K 3 K 4 ] δ F  + C Ain   [(τ  A s + 1)(τ  B s + 1) − K 3 K 5 ] δ C   + K 2 (τ  B s + 1)δ C 

 

(33)

La relación entre la cA y cAin ya no es una función de transferencia de primer orden, orden, como se muestra en la ecuación. (16): ahora se puede dar a través de: δ C  C A  K 2 (τ  B s + 1) = δ C  C Ain   (τ  A s + 1)(τ  B s + 1) − K 3 K 5

(34)

El término K3 K5  describe la interacción entre los balances de componentes. Del mismo modo, la respuesta a los cambios en la C B debido a los cambios en C Ain se puede describir como: δ C  C B  K 2 K 5 = δ C  C Ain   (τ  A s + 1)(τ  B s + 1) − K 3 K 5

17

(35)

 Ejemplo:

Suponga los mismos valores de los parámetros como en el caso anterior, con k 1  = 0,1 s-1, k2  = 0,01 s-1 y  R  = 20 s. El valor de  B  = 16.67, K2 = 0,333, K3 = 0,067 y K5 = 1,667, por lo tanto, la ecuación. (34) se convierte en: δ C  C A  0,333(16,67s + 1) 0,374(16,67s + 1) =  = δ C  C Ain   (6,67s + 1)(16,67s + 1) − 0,11 (124,85s2 + 26,21s + 1

 

(36)

 

(37)

y la ecuación 35 se convierte en: δ C  C B  0,555 0,624 =  = δ C  C Ain   (6,67s + 1)(16,67s + 1) − 0,11 (124,85s2 + 26,21s + 1

La respuesta se muestra en la figura 13.

Figura 13: Respuesta concentración del reactor C A al cambio escalón unitario en C Ain Como se puede ver, la respuesta se parece a una respuesta de primer orden, que se llama respuesta de pseudo primer orden. Podría aproximarse razonablemente bien por una función de transferencia de primer orden: δ C  C A  0,374 = δ C  C Ain   (9s + 1)

 

(38)

La respuesta de CA  a los cambios de C Ain  se ha vuelto un poco más lento. Debido a la interacción, la constante de tiempo se incrementó de 6,67 s a 9 s. La respuesta para C B  a los cambios en C Ain  apenas cambio, la amortiguación sólo aumentó 1,15 a 1,17, la ganancia disminuyó 0,666 hasta 0,624. La respuesta de CA  a los cambios en el flujo F cambió también. En el caso anterior se trataba de una función de transferencia de primer orden con K 1  ganancia y A  constante de tiempo (Ec. 16). De la ecuación. (33) se puede observar que: δ C  C A  K 1 (τ  B s + 1) − K 3 K 4 = δ F  (τ  A s + 1)(τ  B s + 1) − K 3 K 5

(39)

Como puede verse, la respuesta de C A a los cambios en F podría mostrar una respuesta inversa, cuando K 1 K3 K4 <0, la cual no se producirá en la realidad.  Ejemplo

Suponga que los siguientes valores se mantienen para esta reacción, V=1m 3, F=0.05m3 /s, y para K 1 R =2 esto puede ser calculado para C A =0.375CAin si CAin0 =800 Kg/m3 , entonces CA0 =300Kg/m3 y CB0 =500Kg/m3 . Los valores de 18

las ganancias pueden ser calculados como: K 1 = 333.3, K3 = 0.0667, K4= 8333.3, K5 = 1.667. Sustituyendo los valores para las ganancias y las constantes de tiempo en la ecuación 39, resulta en: δ C  C A    3120,8(20,0s + 1) = δ F  124,85s2 + 26,21s + 1

 

(40)

Que también puede escribirse como una función de transferencia de pseudo-primer orden (compare ecuaciones (36) y (37)).

8.4. Reacciones Reacciones consecutiva consecutivass En esta sección se investigarán reacciones consecutivas. En los dos ejemplos anteriores, la maximización del rendimiento de componente B se puede lograr mediante la maximización de la conversión del componente A, que es equivalente a la minimización de la concentración de salida del componente A. Se supone que la reacción se lleva a cabo de acuerdo con el siguiente esquema:  A →K 1  B →K 2 C 

 

(41)

Y las velocidades de reacción se supone que son de primer orden en los componentes:  

r  A  = −k 1C  A

 

r  B  =  k 1C  A − k 2C  B r c  =  k 2C  B

(42) (43)

 

(44)

Los balances de componentes para todos los tres componentes se pueden escribir como:  dC  A V  = F (C  Ain − C  A ) − V k 1C  A dt 

 

 dC  B V  = −FC  B + V k 1C  A − V k 2C  B dt   dC C  C  V  = −FC C  C  + V k 2C   B dt 

(45)  

 

(46) (47)

El modelo de comportamiento del proceso se muestra en la figura 14.

Figura 14: Modelo de comportamiento comportamiento para el reactor en el que tienen lugar reacciones consecutivas. consecutivas. Sin entrar a analizar el modelo podemos ver dos cosas importantes: La función de transferencia desde C Ain hasta CC  será el tercer orden, ya que cada balance constituye una función de transferencia de primer orden. La función de transferencia de F a C C  será una combinación de primer orden, de segundo orden y la función de transferencia de tercer orden. El modelo global dependerá de los valores de las ganancias de los modelos individuales. 19

La función de transferencia entre C C y cAin se puede obtener fácilmente a través de linealización y la transformación de Laplace de la ecuación. (46), (47) y (48): δ C  CC     C = δ C  C Ain  

� δ  � � δ  � � δ  � C  C A 

δ C  C Ain  

C  C B 

C  CC     C

δ C  C A 

δ C  C B 

=

K 2

K 5

K 6

K 1 τ  R

K 2 τ  R

1+K 1 τ  R 1+K 2 τ  R

(τ  A s + 1) (τ  B s + 1) (τ  R s + 1) (τ  A s + 1)(τ  B s + 1)

 

(48)

Donde K2 , A  y  R  están dadas por la ecuación. (17), K 5 y  B  están dadas por la ecuación. (30), (31) y (32), mientras que K6 está dada por K 6 = k2 R . Sistemas de tercer orden no suelen ser difíciles de controlar con el uso de los controladores de tipo estándar. Esto será discutido en un capítulo posterior. Si B es el componente preferido, uno debe darse cuenta de que la concentración de B tiene un máximo. Para ver esto, primero las respuestas de C A  y CB  a CAín  tienen que ser derivada. La respuesta de C A a los cambios en C Aín es el mismo en este caso; dada en la ecuación. (16) y: 1

δ C  C A  1+K 1 τ  R = δ C  C Ain   τ  A s + 1

 

(49)

La relacion entre C B y C Ain esta dada por: k 1 τ  R

1

δ C  C B  1+K 1 τ  R 1+K 2 τ  R = δ C  C Ain   (τ  A s + 1) (τ  B s + 1)

 

(50)

La relación estática entre los cambios de concentración y cambios en C Ain  se puede derivar mediante el establecimiento de s = 0 en las ecuaciones (48), (49) y (50). Uno puede ver que todas las ganancias son una función de k 1 R y k2 R . Suponiendo diferentes valores para k 1 R y una relación fija entre K 1 y K 2 , los valores de las ganancias se pueden calcular. Los resultados se muestran en la figura. 12.8 para k 2  = 0.25k1 . La curva puede ser generada mediante la ejecución de programa F1208.m Se puede observar que la concentración máxima máxima de B se alcanza a un valor de k 1 R = 2,0. Esto también le dará la máxima producción del componente B. Sin embargo, uno puede estar más interesado en una situación en la que la diferencia entre la producción de los componentes B y C es máxima. Esto se puede lograr en un valor de k1 R  = 1,0. Esta situación puede ser deseable si el componente B y C tienen que ser separados en un tren de separación donde se requiere la energía mínima de separación.

Figura 15: Perfil de concentraciones concentraciones en el caso de reacciones consecutivas consecutivas Se puede ver que el control del tiempo de residencia R  es importante. Cuando el tiempo de residencia cambia, la concentracion del componente B cambia. El control puede lograrse mediante la medición de la concentración de salida del componente B y manipular el rendimiento del reactor F. Como se puede ver en la figura 14, la relación entre las dos variables será una combinación de una función de transferencia de primer y segundo orden. La función 20

de transferencia global se puede derivar fácilmente de las ecuaciónes (45), (46) y (47). La ecuación (45) es la misma que la ecuación (13), por lo tanto la linealización de la ecuación (45) resulta en la ecuación. (17). La ecuación (46) es la misma que la ecuación (26), por lo tanto la linealización de la ecuación. (46) resulta en la ecuación. (29). Combinación de las ecuaciones (16) y (29) se traduce en: δ C  C B  −K 4 (τ  A s + 1) + K 1 K 5 = δ F  (τ  A s + 1) (τ  B s + 1) − K 2 K 5

(51)

La respuesta de C B a los cambios en F dará una respuesta inversa si (K 4 +K1 K5 ) > 0. Esta condición se puede escribir como: −

C  B0 /F 0

1 + k 2 τ  R

+

 (C  Ain − C  A )0 /F 0 k 1 τ  R >0 1 + k 1 τ  R 1 + k 2 τ  R

(52)

que puede ser reescrito: k 1 τ  R (C  Ain − C  A − C  B )0  > C  B0

 

k 1 τ  R  > 0

(53) (54)

Esta condición se muestra en la Figura 16, donde k 1R , así como la relación C B0 /CC0  se representan gráficamente. Además, la concentración de componente B se representa gráficamente.

Figura 16: Indicación de respuesta inversa de acuerdo con las ecuaciones 53 y 54 Para valores de k 1 R > 2, el reactor puede presentar una reacción inversa, es decir, cuando los cambios de flujo son tales que el valor de los cambios k 1 R , pero sigue siendo mayor que 2, habrá una respuesta inversa de la concentración del componente B a los cambios de flujo. Si el control dará ningún problema aún no se ha determinado mediante la sustitución de los valores numéricos de los parámetros del proceso. El objetivo del controlador de la composición dependerá de si uno está interesado en la producción máxima de B o una energía de separación mínima. Otra característica interesante que muestra Figura 15 es el llamado multiplicidad de estado. Dos valores diferentes del tiempo de residencia, k 1 R  = 1.0 (primer punto de operación) y k 1 R  = 4.0 (segundo punto de trabajo), dan lugar a la misma concentración del componente B. El segundo punto de trabajo no es de interés, ya que la concentración del componente C es alta y la separación de los componentes B y C será costoso. Por otra parte, la alimentación del reactor es más pequeña en el punto dos de funcionamiento funcionamiento que en un punto de operación. Los modelos (C B /F) en los dos puntos de funcionamiento son bastante diferentes. 21

8.5. Reacciones Reacciones no Isotermicas Isotermicas A menudo, las reacciones no se producen en condiciones isotérmicas. En ese caso el exceso de cantidad de calor se retira del reactor por enfriamiento o se suministra al reactor por calentamiento. A menudo se utiliza un reactor con camisa o reactor con serpentín de refrigeración/calefacción o tuberías. Los balances de componentes están también afectados por la temperatura, ya que la velocidad de reacción dependerá de la temperatura. temperatura. Supongamos que tenemos que hacer frente a una reacción exotérmica con el calor de la deltaH y que el exceso de calor en el reactor se retira a través de un serpentín de enfriamiento con área de transferencia de calor A. Los supuestos de la sección 8.1 siguen siendo válidos (con excepción de condiciones isotérmicas ) , además , se están realizando los siguientes supuestos: El coeficiente de transferencia de calor global U se supone que es constante. La temperatura en el reactor es T (idealmente mixta) y la temperatura media en el Serpentín de enfriamiento es Tc La capacidad de calor del serpentín de refrigeración y el contenido de la bobina de refrigeración puede ser ignorada ya que es pequeño en comparación con la capacidad de calor del reactor. Nota: la capacidad de calor se define por C = mCp, donde M es la masa y el calor específico Cp. La reacción a considerar es A → B. La velocidad de reacción es de primer orden en el componente A. Supongamos que la Tin
 

(55)

Donde E es la energía de activación de la reacción, R la constante de los gases y k 0  el factor pre-exponencial. T es la temperatura y C A la concentración del componente A. El balance de energía para el reactor puede ser escrito como: ρ V C  p

dT  dt 

 

= F ρC  p (T in in − T ) + rV △ H − UA (T  − T c )

(56)

donde el lado izquierdo de la ecuación representa la acumulación temporal de la energía en el reactor, (J / s), el primer término del lado derecho representa el calor sensible de entrada al reactor, el segundo término de la derecha representa la energía que se genera debido a la reacción, y el tercer término lado derecho es el calor retirado del reactor. reactor. En algunos casos, especialmente cuando las propiedades físicas dependen de la temperatura, temperatura, es mejor utilizar un balance de entalpía, en lugar de un equilibrio para el cambio de temperatura. En la ecuación 56 se supone que la temperatura de referencia es igual a cero. La combinación de la ecuación. 13 con la ecuación 55 resulta en:  dC  A V  = F (C  Ain − C  A ) − V r  dt 

 

Un diagrama de comportamiento basado en las ecuaciones. (56) y (57) se muestra en la figura 17

Figura 17: Interacción entre el componente y el balance energético. 22

(57)

En general, la concentración de salida ca es controlada por la alimentación del reactor F y la temperatura del reactor T está controlada por el flujo de agua de refrigeración, que es en este caso equivalente a cambiar la temperatura T C del agua de refrigeración. Vamos, Vamos, por tanto, a investigar lo que estos modelos son. La ecuación (57) se puede linealizar a: δ C  C A   =

K 1 δ F 

τ  R s + 1

 +

δ C  C Ain   τ  R δ r  − τ  R s + 1 τ  R s + 1

 

(58)

 

(59)

Con τ  R = V /F 0 , K 1  = (C  Ain − C  A )0 /F 0

La ecuacion (55) y (56) pueden ser linealizadas a: δ T  =  =

−K 2 δ F  K 3 δ T in K 4 δ r  K 5 δ T C  in  +  +  + τ T  τ T  τ T  τ T  T s + 1 T s + 1 T s + 1 T s + 1

 

(60)

Con τ T  T  = τ  R /(1 + UA /F 0 ρ C  p )

K 2  =

K 3  =

K 4  =

K 5  =

 

(T  − T in in )0 /F 0 1 + (UA /F 0 ρ C  p )

1 1 + (UA /F 0 ρ C  p ) V △ H /F 0 ρ C  p

1 + (UA /F 0 ρ C  p ) UA /F 0 ρ C  p

1 + (UA /F 0 ρ C  p )

(61)

 

(62)

 

(63)

 

(64)

 

(65)

La ecuación (55) puede ser escrita como: δ r  = C A   + r 2 δ T   =  r 1 δ C 

r 1  =

r 2  =

� ∂  � r 

∂ C  C A  0

� ∂  � r 

∂ T  0

= r 0 /C  A0

 

(66)  

(67)

= E r 0 / RT 2

(68)

En el que R0  es la velocidad de reacción en la situación de estado estacionario.

8.5.1. Condiciones Condiciones para la estabilidad estabilidad Las condiciones para la estabilidad del reactor pueden ser fácilmente determinadas por el supuesto de que no hay perturbaciones externas, es decir, Delta F = 0, C Ain = 0, Tc = 0 y Tin = 0. En el capítulo 7 se analiza la estabilidad del reactor, sin embargo, por razones de simplicidad simplicidad se ignoró la FCp plazo (Tin-T) en ese momento. En el siguiente análisis se tendrá en cuenta. Las ecuaciones (58), (60) y (66,67,68) a continuación, se pueden escribir como: C A   = −r 2 τ  R δ T  (τ  R s + 1 + r 1 τ  R )δ C 

 

(69)

C A  (τ T  T s + 1 − Kr 42 42 )δ T  = K 4 r 1 δ C 

 

(70)

23

Lo que resulta en la llamada ecuación característica 2 τ T  T τ   R s + (τ   R − r 2 τ   R K 4 + τ T  T  + r 1 τ T  T τ  R )s + (r 1 τ   R − r 2 K 4 + 1) = 0

(71)

La primera condición para la estabilidad se llama la condición estática r 1 τ  R − r 2 K 4 + 10

(72)

La sustitución de parámetros y combinación con la versión estática de la ecuación (57) resulta en: C  Ain0 C  A0

≥

F 0 (C  Ain0 − C  A0 )△ H   E 

(F 0 ρ C  p + UA )

(73)

 RT 02

La condición para la estabilidad dinámica es: τ  R − r 2 τ  R K 4 + τ T  T  + r 1 τ T  T τ   R ≥ 0

(74)

La sustitución de parámetros y combinación con la versión estática de la ec. (57), los resultados en: C  Ain

F 0 ρ C  p

C  A0 F 0 ρ C  p + UA

+1 ≥

F 0 (C  Ain0 − C  A0 )△ H   E  F 0 ρC  p + UA

(75)

 RT 02

Si la ecuación (73) se cumple, la ecuación (75) también se cumple. Si la ecuación (73) no se cumple, el reactor es inestable. Su comportamiento puede entonces ser caracterizada por una función de tiempo exponencial creciente.

8.5.2. La inestabilidad inestabilidad estática estática El comportamiento estático del reactor también se puede mostrar en un plano de fase de conversión de temperatura. El balance de energía estática ecuación (56) se puede combinar con el equilibrio componente estático ecuación (57) para dar: T  =  =

F 0C  A0V △ H  F 0 ρ C  p + UA

C +

F 0 ρ C  p F 0 ρC  p + UA

T 0in

UA F 0 ρ C  p + UA

 

T C 0

(76)

Que muestra una relación lineal entre la temperatura T y la conversión C. La conversión se puede calcular mediante la combinación de las ecuaciones (55) y (57), que se traduce en: C  =  =

 C  Ain − C  A C  Ain

=

k 0 τ  R k 0 τ  R + e E / RT 

 

(77)

Tanto la ecuación (76) y (77) se pueden mostrar en el plano C-T, se obtiene un punto de funcionamiento estable cuando el calor producido es igual al calor que se extrae por el serpentín de refrigeración (los puntos A y B). Esto se muestra en la figura. 18. El punto C es un punto de funcionamiento inestable, cuando una perturbación actúa sobre el sistema, el reactor se mueva a punto de funcionamiento A o B, dependiendo de la dirección de la perturbación.

Figura 18: Estado plano conversión-temperatura conversión-temperatura para el reactor. reactor. 24

8.5.3. Inestabilid Inestabilidad ad dinámica dinámica Si la ecuación (74) no se cumple, se pueden producir inestabilidades dinámicas. Esto es debido al hecho de que hay una interacción entre el componente de equilibrio y el balance de energía. Un aumento de la temperatura hará que la reacción prosiga más rápida, lo que resulta en una disminución del componente A. En consecuencia, la temperatura disminuirá y la concentración del componente A aumenta de nuevo. Este ciclo puede continuar, continuar, y bajo determinadas condiciones, a la inestabilidad. inestabilidad.

8.5.4. Relación entre entre los cambios cambios de concentración y de de alimentación Supongamos que se han cumplido todas las condiciones para la estabilidad estática y dinámica y que nos gustaría para controlar la concentración de salida del componente A con el flujo de alimentación F. Analizar el modelo, combinamos las ecuaciones (58), (60) y (61,62,63,64,65) utilizando C Ain  = 0, Tin = 0 y Tc = 0. Esto da como resultado, después de una considerable reescritura, reescritura, en: δ C  C A  K 1 τ T  T s + (K 1 − K 1 K 4 r 2 + K 2 τ   R r 2 ) = 2 δ F  τ 1 τ T  T s + (τ   R + τ T  T  − r 2 τ   R K 4 + r 1 τ T  T τ   R )s + (r 1 τ  R − r 2 K 4 + 1)

 

(78)

Como se puede ver, el segundo término del denominador es la expresión de la ecuación. (74), el tercer término en el denominador es la expresión de la ecuación. (72). La forma de la respuesta final depende del signo de b = K 1 -K1 K4 r2 + K2 R r2 . Si las ecuaciones (75) y (77) se cumplen y K 1 > 0, podemos distinguir dos situaciones: B> 0, esto resulta en una respuesta de pseudo-primer orden para C A / Df  B <0, esto le dará una respuesta de fase no mínima para C A / Df  La relación de T / Tc (o entre la temperatura del reactor y el flujo de agua de refrigeración) se puede derivar de una manera similar. El modelo ha continuación se extendió con una ecuación, que relaciona el Tc temperatura del agua refrigerante para el flujo de agua de refrigeración.  Ejemplo

Supongamos que el reactor está funcionando con los siguientes datos: V = volumen del reactor 5 m 3 concentración de salida cA del componente A = 213.8 kg/m 3 concentración de entrada Caín del componente A = 800 kg/m 3 Flujo volumétrico total de F = 0,01 m 3 k constante pre-exponencial = 25,0 s-1 E energía de activación para la reacción = 30 kJ / mol Temperatura Temperatura reactor T = de 428,5 K Temperatura de estaño de flujo de entrada = 353 K densidad = 800 kg/m 3 calor específico cp = 1,0 kJ / kg.K H calor de reacción (exotérmica) = 125 kJ / kg La temperatura del agua de enfriamiento media Tc = 300,0 K UA producto del coeficiente de transferencia de calor y el área = 1,0 kJ / K.sec R = constante de los gases 0.00831 kJ / mol.K Los valores de las constantes de tiempo y ganancias en las ecuaciones (59) y (61,62,63,64,65) se puede calcular como:

25

Para Parame metr tros os R

K1   UA/F0 Cp   T K2   K3  

Valor alor 500.0 58620 58 0.125 44 4 44.4 67 6711.1 0.889

Para Parame metr tros os K4   K5   r0   r1   r2  

Valor alor 69.4 0.111 1.172 0.0055 0.023

Cuadro 9: Constantes de tiempo y ganancias para reactor no isotérmico. La función de transferencia de la ecuación. (78), ahora se puede calcular. La ecuación (78) se convierte en: δ C  C A    29377(633,7s + 1) = δ F  1,9 E 5s2 + 808,3s + 1

 

(79)

El modelo no lineal y el modelo linealizado de la ec. (79) son simuladas en F1212.mdl, la respuesta a la concentración para un cambio de paso de 10% en el flujo se muestra en la figura 19. Se puede observar que las respuestas parecen muy similares: la respuesta final es algo diferente, el modelo se calcula un cambio de concentración de 32,0 kg/m 3 el otro modelo calcula un cambio en la concentración de 29,3 kg/m 3 . La respuesta "picos" algo alrededor de t = 600 s, lo que es debido al gran valor de la constante de tiempo positivo (633,7) en el numerador. El denominador tiene dos constantes de tiempo del orden de magnitud 450-500 segundos. Si la constante de tiempo en el numerador es menor que estas constantes de tiempo, la respuesta sería así una respuesta de primer orden.

Figura 19: Respuesta de la concentración de salida del reactor al escalonar cambio en el flujo.

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Figura 20: Respuesta de la temperatura del reactor al escalonar cambio en el flujo La respuesta de la temperatura del reactor se muestra en la figura 20, como se puede esperar de esta respuesta también tiene un carácter no mínima de fase.

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