Reglas de inferencia

1. REGLA DE ELIMINACIÓN DEL CONDICIONADOR O “MODUS PONENDO PONENS” (MP)

Si tenemos como premisa un condicional y su antecedente se infiere como conclusión el consecuente.

XY X . Y

a) -1 -2 -3 -4

Demostrar “p” ¬m→¬n t→¬m ¬np t

b) -1 -2 -3

Demostrar “¬ p ¬ q” ¬ (r s) → m m → (¬ p ¬ q) ¬ (r s)

c) -1 -2 -3 -4 -5 -6

Demostrar “¬ t” p→¬q ¬q→n n→m m → ¬ r ¬ r→ ¬t p

d) Demostrar “¬ (r → ¬ s)” -1 (p q) → ¬ n -2 ¬ t → (p q) -3 ¬ n → ¬ (r → ¬ s) -4 ¬ t

e) -1 -2 -3 -4

Demostrar “¬ (¬ m ¬ n)” (¬ s ¬ t) → (¬ p → ¬ q) (¬ p → ¬ q) → w w → ¬ (¬ m ¬ n) ¬ s ¬t

f) -1 -2 -3 -4

SIMBOLIZACIÓN DE ARGUMENTOS

a) Si el cobre es un metal (p), será buen conductor de la electricidad (q). El cobre, efectivamente, es un metal, lego será buen conductor de la electricidad. p → q, p ├ q b) Si digo siempre la verdad (p), los demás confían en mi (q). Y si los demás confían en mi, me siento seguro (r) e independiente (s). Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema (t). Como yo digo siempre la verdad, se deduce que soy capaz de afrontar cualquier problema. p → q, q → (r  s), (r  s) → t, p ├ q DERIVACIÓN

-1 p → q -2 p -3 q

(a) -1 -2 MP (1,2) -3 -4 -5 -6 -7

p→q q → (r  s) (r  s) → t p q (r  s) t

(b)

Demostrar “p → (¬ t ¬ u)” ¬ q → [ p → (¬ t ¬ u)] (¬ m → ¬ n) → (r s) (r s) → ¬ q ¬ m→ ¬n

MP (1,4) MP (2,5) MP (3,6) 1

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2. REGLA DE ELIMINACIÓN DEL CONDICIONADOR O “MODUS TOLENDO TOLENS” (MT)

Si tenemos como premisa un condicional y la negación del consecuente se infiere como conclusión la negación del antecedente.

XY ¬Y

a) -1 -2 -3 -4

Demostrar “¬ (¬ p ¬t n→s s→t (¬ p q) → n

c) -1 -2 -3 -4

e) -1 -2 -3

q)”

b) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “¬ (¬ p → ¬ q)” (r s) → (¬ u ¬ w) (¬ u ¬ w) → t (¬ p  ¬ q) → (m n) ¬t (m n) → (r s)

Demostrar “¬ [ r → (s t) ]” (¬ m ¬ n) → p ¬ (¬ u → ¬ w) q  (¬ u → ¬ w) [ r → (s t) ] → (¬ m ¬ n)

d) -1 -2 -3 -4

Demostrar “¬ (s t)” ¬ (p → q) (r s) → n (u w) → (p → q) ¬ n → (u w)

Demostrar “¬ p” u → (w m) s→t q → r

f) -1 -2 -3

Demostrar “¬ (¬ p w → (r ¬ s) ¬ (u  h) t → (m ¬ n)

¬X


a) Si se estructura la historia desde el punto de vista de la pasapsicología (p), los hechos se interpretan como consecuencias de premoniciones (q). Pero los hechos no pueden interpretarse así, por tanto la historia no se puede estructurar desde las afirmaciones de la parapsicología. p → q, ¬ q ├ ¬ p b) Si fueras un mandarín de la China (p), vivirías con lujo (q) y no tendrías que trabajar (¬ r). Si vivieras de esa manera, te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo (s) o alimentando a los faisanes de tu majestuoso palacio (t). Como no es el caso que te distraigas con tales cosas, deduzco que no eres un mandarín de la china. ├

¬ q)”







3. REGLA DEL SILOGISMO DISYUNTIVO O “MODUS TOLENDO PONENS” (SD)

Si tenemos como premisas una fórmula disyuntiva y la negación de uno de sus miembros, podemos inferir como conclusión la afirmación a firmación del otro miembro de la disyunción. XY ¬X . Y

o también

XY ¬Y X


a) La Tierra es el centro del Universo (p) o la Luna es el satélite de la tierra (q). Pero la Tierra no es el centro del Universo, luego la Luna es el satélite de la Tierra. p q, ¬ p ├ q b) Este hombre o es abogado (p), o es parlamentario (q). Pero o no es parlamentario o le habrían visto en las sesiones plenarias (r). Pero no le han visto jamás, luego es abogado. p q, ¬ q r, ¬ r ├ p

a) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “p” p q ¬ q r ¬ r s ¬s t ¬t

b) -1 -2 -3 -4

Demostrar “¬ (p q)” ¬ (¬ w ↔ u) ¬ (r → s) (¬ m ¬ n) ¬ (p q) (r → s) ¬ (¬ m ¬ n) (¬ w ↔ u)

c) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “q” ¬t (p → m) q t ¬s (r ¬ w) ¬ (p → m) s ¬ (r ¬ w)

d) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “¬ n” ¬¬¬q ¬n ¬¬t ¬¬¬m ¬¬q ¬¬¬t s ¬s ¬¬m

e) Demostrar “p” -1 ¬ ¬ (u ↔ w)

f) Demostrar “m” -1 ¬ s t







4. REGLA DE LA DOBLE NEGACIÓN (DN)

Si tenemos como premisa una proposición doblemente negada, podemos inferir como conclusión su afirmación y viceversa. ¬¬X X

o también

Demostrar “m n” ¬s ¬ q → ¬ r r s ¬ ¬ q → (m n)

b) -1 -2 -3 -4

Demostrar “r” p q q → r q→s ¬ r

c) -1 -2 -3 -4

Demostrar “m → n” ¬w ¬¬t ¬s ¬ ¬ ¬ t → (m → n) w s

d) -1 -2 -3 -4

Demostrar “p” ¬t ¬s ¬q→t ¬¬s ¬ q p

e) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “q” ¬t→s w ¬u t→¬w ¬m

f) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “n” s m s→q w → ¬ r ¬m

X ¬¬X


a) Si no es cierto que Russell y Whitehead no son los autores de los “Principia Mathemática”, entonces es cierto que lo son. Llamamos “p” a «Russell es el autor de los “Principia”» y llamamos “q” a «Whitehead es el autor de los “Principia”». ¬ ¬ (p q) ├ p q b) Si no es cierto que no bromeo (¬ ¬ p), entonces llueve (q). Y si llueve, no hace frío (¬ t). Por si te sirve de ayuda te diré que no es verdad que no haga frío (¬ ¬ t). Luego no bromeo. ¬ ¬ p → q, q → ¬ t, ¬ ¬ t ├ ¬ p DERIVACIÓN

a) -1 -2 -3 -4







5. REGLA DE LA INTRODUCCIÓN DEL CONJUNTOR (Prod.)

Si tenemos como premisa dos fórmulas, podemos inferir como conclusión la conjunción de ambas.

X

X Y

. Y

o también

Y

Y X

a) -1 -2 -3 -4

Demostrar “m p→m q→n p q

c) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “s” m t n p (m n) → s ¬t ¬p

e) -1 -2 -3

Demostrar “t r s t p→q

n”

b) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “¬ r ¬ s” ¬t s→n r→¬m m t ¬n

d) -1 -2 -3 -4 -5 -6

Demostrar “p n u ¬ m → r ¬u m→p ¬ r n→p

q”

f) -1 -2 -3

Demostrar “m ¬¬w q→t m ¬n

t”

. X


a) Si es cierto que Miguel Ángel pintó la capilla Sixtina («Miguel Ángel fue pintor» = “p”) y que Miguel Ángel esculpió el Moisés («Miguel Ángel fue escultor» = “q”), entonces también será cierto que Miguel Ángel fue pintor y escultor. e scultor. p, q ├ p q b) Si el páncreas no segrega la suficiente insulina (¬ p), aparecerían síntomas de diabetes (s). Y si la glándula suprarrenal produjese adrenalina en exceso (q) sucedería lo mismo. En este caso no aparecen síntomas de diabetes (¬ s). De ahí que el páncreas segregue la suficiente insulina y que la glándula suprarrenal no se excite en sus funciones. ¬ p → s, q → s, ¬ s ├ p ¬ q

¬ p”







6. REGLA DE LA ELIMINACIÓN DEL CONJUNTOR (Simp.)

Si tenemos como premisa una fórmula conjuntiva, podemos inferir como conclusión cualquiera de sus miembros. X

X

Y

o también

X

Y

a) Si es cierto que Freud inventó el Psicoanálisis (p) y que Pavlov fue el pionero de la Reflexología (q), se deduce que también es cierto que Freud inventó el Psicoanálisis. p q ├ p b) Si utilizo un amperímetro (p) averiguaré la intensidad de la corriente (q). Si utilizo un voltímetro (r) mediré la diferencia de potencial (s) existente entre dos puntos del mismo. Si averiguo la intensidad y la diferencia de potencial podré calcular la resistencia eléctrica del conductor (t). Dispongo de un amperímetro y de un voltímetro, luego podré calcular la diferencia eléctrica del conducto c onducto p → q, r → s, (q s) → t, p r ├ t q

(a) -1 p → q Simp.(1) -2 r s

Demostrar “p” (p q) r r→t ¬t

c) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “u m→u s→w p q p → (m n) q → (r s)

b) -1 -2 -3

Demostrar “w” m ¬p p q q → (u w)

d) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “t” p → (m t) q→p n→q n r ¬ r

Y


-1 p -2 p

a) -1 -2 -3

(b)

e) Demostrar “n” -1 p q -2 p (m n)

w”

f) Demostrar “p” -1 (m n) → t -2 m r









7. REGLA DE LA INTRODUCCIÓN DEL DISYUNTOR (Ad.)

Si tenemos como premisa una fórmula «X», podemos inferir como conclusión una disyunción compuesta por la fórmula dada más cualquier otra. X

a) -1 -2 -3

Demostrar “m m p p → r ¬ r

n”

b) -1 -2 -3

Demostrar “p” (m ¬ n) → p ¬ ¬ m r ¬ r s

X . Y


c) Demostrar “p -1 ¬ p → m -2

(t

s)”

d) Demostrar “¬ u -1 p → ¬ q -2 t

w”







a) -1 -2 -3 -4

Demostrar “¬ w” t → (¬ m q) (q ¬ r) → n w→¬n ¬ ¬ t → ¬ r

c) Demostrar “¬ p”

b) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “n (r s) → q (r s) m m→w ¬w ¬u q → (p n)

d) Demostrar “u”

p”

g) -1 -2 -3

Demostrar “t ¬ m” (¬ s ¬ s) n (p q) → (t s) (p q) r

i) Demostrar “(u

r)

h) -1 -2 -3 -4

(z

Demostrar “r u” (¬ q ¬ q) w (t s) q (m n) → ¬ (s t) r (n m)

s)” j) Demostrar “w

¬ u”







8. REGLA DE TRANSITIVIDAD TRANSITIVIDAD DEL CONDICIONADOR (Sil.)

Si tomamos como premisas dos condicionales tales que el consecuente del primero sea el antecedente a ntecedente del segundo, se infiere como conclusión otro condicional donde antecedente y consecuente son los miembros extremos de las premisas. XY YZ XZ

a) -1 -2 -3

Demostrar “p → (r s)” p→¬q ¬ q → (m n) (m n) → (r s)

b) -1 -2 -3

Demostrar “¬ r → ¬ t” ¬ r → (¬ m ¬ n) p→¬t (¬ n ¬ m) → p

c) -1 -2 -3

Demostrar “(p → q)” p → ¬ (m n) ¬ (m n) → ¬ t ¬t→p

d) -1 -2 -3

Demostrar “(m n) → s” (m n) → ¬ (¬ u ¬ w) ¬ (¬ u ¬ w) → (¬ t r) (¬ t r) → s







9. REGLA DE INTRODUCCIÓN DEL BICONDICIONAL (IB)

Si tenemos como premisa dos condicionales tales que el consecuente de uno de ellos es el e l antecedente del otro y viceversa, podemos inferir como conclusión un bicondicional formado por los términos de uno de los condicionales. X→Y Y→Z X↔Y

o también

a) -1 -2 -3 -4

Demostrar “p ↔ s” ¬t→p ¬r→s p → ¬ r s→¬t

b) -1 -2 -3 -4 -5

Demostrar “p ↔ (r s)” (r s) → p (¬ m ¬ n) → t r (¬ m ¬ n) ¬t r → [ p → (r s)]

X→Y Y→Z Y↔X c) Demostrar (p ↔ ¬ m) -1

¬p

d) Demostrar ““u ↔ w” -1







10. REGLA DE ELIMINACIÓN DEL BICONDICIONAL (EB)

Si tenemos como premisa un bicondicional, bic ondicional, podemos deducir como conclusión un condicional con los mismos miembros. o también, si X ↔ Y presuponemos X↔Y X→Y la propiedad Y→X conmutativa SIMBOLIZACIÓN DE ARGUMENTOS

a) -1 -2 -3

Demostrar (p q) → (m (u w) ↔ (m n) (r s) ↔ (u w) (p q) ↔ (r s)

c) Demostrar “¬ t” -1 ¬ p s -2

n) b) -1 -2 -3

Demostrar “r” p↔q p m p ↔ r

d) Demostrar “t → r” -1 t ↔ ¬ w -2



























Reglas de inferencia

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