Reglas de Probabilidad Existen tres reglas fundamentales para resolver problemas en donde se desea determinar la probabilidad de un suceso si se conocen conocen las probabilidades probabilidades de otros sucesos que están relacionados con él. Estas dos reglas son : Regla de la Adición ,Probabilidad Condicional y Regla de la Multiplicación o Probabilidad Conjunta . Existe otra regla muy importante que es El Teorema de Bayes, pero en esta Unidad dedicaremos un aparte especial a ella.
Regla de la Adición:
Esta regla expresa la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, P ( A U B). Puede presentarse de dos formas: para conjuntos con intersección y para conjuntos mutuamente excluyentes. Veamos:
Para conjuntos con Intersección: Intersección:
Esto se debe a que sumamos la probabilidad de A más la probabilidad de B , pero como ya habíamos sumado la intersección, entonces la restamos.
Para conjuntos con Mutuamente excluyentes: excluyentes:
En este caso, no hay ningún problema en sumar ambas probabilidades.
lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado resultado Ejemplo 1: Se lanzan es par ó divisible por tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar ? Lo que primero hacemos es definir los sucesos : Sea A = resultado par : A = { 2, 4, 6 } Sea B = resultado divisible por 3 : B = { 3, 6 } . Ambos sucesos tienen intersección ? Luego,
Ejemplo 2 : Se tiene una baraja de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿ Cuál es la probabilidad de sacar una Reina ó un As ?
Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces :
NOTA: Si observas observas esta regla, puedes puedes notar que se relaciona relaciona fuertemente
con la Unión entre conjuntos ( ó ) y es una suma.
Probabilidad Condicionada:
Es la probabilidad de obtener un suceso, dado dado que ya ya ocurrió otro. Es decir, si tenemos tenemos los sucesos sucesos A y B que pertenecen a un mismo espacio muestral S , y si la P (A) es diferente de cero, entonces esta probabilidad que esta designada por :
Para calcular esta probabilidad probabilidad es necesario conocer tanto la probabilidad marginal de uno de los sucesos ( P(A) ) como la probabilidad de la intersección de ambos ( o la probabilidad cuando ocurran los dos sucesos a la vez ).
probabilidad de que una persona tenga una cuenta de ahorros Ejemplo 3 : La probabilidad es de 0,65 y la probabilidad de que invierta en un un CDT y ahorre ahorre en una cuenta de ahorros es de 0,30. Se seleccionó una una persona al azar y resultó tener una cuenta cuenta de ahorros ¿ Cuál es la probabilidad probabilidad de que tenga también un CDT ? Sea A = tener una cuenta de ahorros , B = tener un CDT
Reglas de Probabilida Probabilidad d Probabilidad total
Sean A y B dos sucesos definidos en el experimento E, cada uno de los cuales puede presentarse o no cada vez que se realiza realiz a el experimento. Plantee estos dos sucesos en cada uno de los experimentos dados. Nos interesa considerar considerar el suceso suceso aparición de “al menos uno de ellos”
Es decir, el suceso se cumplirá si aparece A, si lo hace B o si lo hacen ambos. Para calcular esta probabilidad se pueden presentar dos casos:
Se puede obtener para tres sucesos y luego generalizar más.
Probabilidad condicional
Hay situaciones en las que interesa calcular la probabilidad de sucesos que tienen cierta información con respecto a un experimento. Dicha información reduce el espacio muestra original a uno de sus subconjuntos. De esta forma la probabilidad de un suceso será diferente si se tiene o no información adicional. Así por ejemplo, un animal elegido de aquellos que están vacunados tendrá una probabilidad mayor de no contraer la enfermedad que aquel seleccionado entre el conjunto total de animales. Este tipo de probabilidad se denomina probabilidad condicional y se expresa: P(A / B) que se lee: probabilidad de que habiendo ocurrido B ocurra A, o probabilidad de A habiendo ocurrido B.
Probabilidad compuesta o conjunta
La probabilidad condicional estudiada nos conduce a observar reglas de probabilidad para sucesos conjuntos, es decir, la probabilidad de que dos o más sucesos aparezcan al mismo
tiempo. Dado que:
Se debe introducir en este momento un concepto nuevo: el de sucesos independientes . Dos sucesos se dicen independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no es afectada por la ocurrencia del otro. Luego
Regla de multiplicación de probabilidades 1. Regla de multiplicaci multiplicación ón de probabilidades
Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos. Ejemplos: 1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?
La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:
2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?
Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables: HHM HMH MHH – – La probabilidad de cada uno de estos eventos es:
Por lo tanto, la probabilidad pedida es Para profundizar conceptos de http://www.arrakis.es/~mcj/azar06.htm
esta
unidad
te
recomendamos:
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total: total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). La fórmula del Teorema de Bayes es:
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige
que el suceso A forme un sistema completo.
Ejercicio 1º: El 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: niebla: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla: niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori". posteriori". Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
TECNICAS DE CONTEO El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener o btener más de un premio? Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.
n 10 x 9 x 8 = 720
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n. El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea n 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:
* La técnica de la multiplicación * La tecnica aditiva * La tecnica de la suma o Adicion * La técnica de la permutación * La técnica de la combinación.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo cabo de N1 maneras o formas, el segundo segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a
producto.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas Ejemplo: Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última úl tima de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas formas
Ejemplos: 1) Una persona desea comprar una lavadora lavadora de ropa, ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la l a otra pueden efectuarse de: m+n maneras.
Ejemplo: Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano Provenzal
m=2
n=3
2+3= 5 maneras
PRINCIPIO DE PERMUTACION: A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r) r) Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos:
n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Donde: n= número total de objetos o bjetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n. NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !
PRINCIPIO DE COMBINACION: En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos do s funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo g rupo de n objetos sin importar el orden. La fórmula de combinaciones es: n C r = n!
r! (n – r)!
Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? Usando la fórmula de combinaciones: n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
Estas son una pagina interactiva interesantes, que les puede ser muy util para el mejor entendimiento de las Tecnicas de Conteo:
http://portal.perueduca.edu.pe/modulos/mod_matconteo/mod_4publish/index.html http://cibermath.com/cuarto/principios-fundamentales-de-conteo.htm
