Departamento de Matemáticas
4º de ESO
RELACIÓN Tema 5: Polinomios. Raíces. Factorización. Problemas. Reflexión:
El éxito no se logra con la suerte, es el resultado de un esfuerzo constante; depende de la voluntad.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 1. Opera y simplifica: a) b)
2 x 3x 7 x 1 4 x 5x 9 x 9 5x 3x 9 x 3 4 x 5x 2
3
2
2
3
3
4x4
c)
2 x 3x 2 9 5x 23x 2
2
4x3
d)
8 3x 16x
2
6 x 3 9 3x 5x 2
OPERACIONES COMBINADAS CON POLINOMIOS 2. Dados los polinomios:
A( x) x 3 7 x 2 5 , B( x) x 4 3x 3 2 x 9 y C( x) x 4 3x 3 2 x 2 6 x 10 .
Halla: a) A(x) + B(x) + C(x) 3. Sean los polinomios:
b) A(x) + B(x) – C(x)
c) 2 · A(x) – 3 · C(x)
A( x) 3x 2 3x , B( x) 2 x 2 3x , C( x) 3x 4 2 x 3 x 2 5 y D( x) x 3 . Calcula:
b) A(x) + B(x) + C(x)
d) 5 · A(x) – 2 · B(x)
g) C(x) · D(x)
c) A(x) – B(x) – C(x)
e) A(x) · B(x)
h) C(x) · A(x)
d) A(x) + 2 · B(x) – C(x)
f) B(x) · C(x)
i) [D(x)]2
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 4. Efectúa y reduce: a) b)
x 5 2 x 4 d) 4 x 9 x 1 7 x 2
2 x x 5 x 3 x 5x 3 4 x 5
c)
2
2
2
x x 2 x 4 x 3 f) x 5x 7 x 9 x 6 x 8 e)
3
2
2
2
4
3
2
POTENCIA DE UN BINOMIO. TRIÁNGULO DE TARTAGLIA 5. Obtén, utilizando el triángulo de Tartaglia, el desarrollo de las siguientes potencias: a)
3x 42
b)
2 4x 3
c)
2 x 33
d)
x
e) f)
2
g)
x 244
x 3y 3
h)
3x
x 14
i)
2
2x
3
2
y
4
x y 5
j)
x
k)
x y 6
l)
x
2
2
y
y
5
6
OPERACIONES COMBINADAS CON POLINOMIOS 6. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante: a) b) c)
x x 1 3x x 3 2 x 2 x
x 2 x 3 x 2 x 3 3x 5 x 3 x 1 3x 7
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d)
3x x 7 2 x 1 3x 2
e)
2 x
f)
x x 3 y x 4 y x y
2
x 1 x 3 2 x 1 x 2 x
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7. Multiplica y simplifica las siguientes expresiones:
a)
4 x 4 3 x 2 2 x 3 2 x x 2 5
b)
3 y 1 3 y 1 4 y 32 2 2 y 2 16 y 16
c)
3x y x y 2x 3 y 2 x x y
2
IDENTIDADES NOTABLES 8. Efectúa las siguientes operaciones, teniendo en cuenta las identidades notables:
x
1
a)
3x 4 3x 4
d)
x 32
g)
8x 42
j)
b)
3x 2
e)
x 5
h)
3x 5
1 k) x 2 2
c)
5x 3 5x 3
f)
2 x 62
i)
3x
l)
2
2
2
2
2x
2
2
2
2
3x 1 3x 1
9. Desarrolla las siguientes expresiones notables: a)
3x 4t
c)
7 j 8k 7 j 8k
e)
xy 2x
3 2 2 g) xy 2 x y 5
b)
5z 6w2
d)
x x y y 2 2
f)
5xy 12
h)
2
2
3x
2
2
y x 2 3x 2 y x 2
10. Expresa como una identidad notable: a)
x 2 8x 16
d)
x 2 10 x 25
g)
16 x 2 24 x 9
j)
36 x 2 25
b)
9x2 9
e)
49 x 2 14 x 1
h)
1 2 x 3x 9 4
k)
1 2 x 9 4
c)
81x 2 1
f)
25x 2 10 x 1
i)
1 2 1 4 x x 16 3 9
l)
4 6 25 x 9 16
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 11. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones; así como, comprueba que los polinomios obtenidos son correctos utilizando la prueba de la división. a) b) c) d) e) f)
x 3x 2 : x 1 x 2x 1 : x 1 x 7 x 5x 1 : x 2x 3x 8x 9x 2x 7 : x x 1 x 3x 2 x 3 : x 3x 6 x 2x 3x 5x 6 : x 3x 2 3
2
2
3
2
5
3
4
3
3
2
4
3
2
5
4
2
12. Escribe el dividendo
2
2
2
2x 2x 2x 2x : x x 1 g) x 3x 2 x 5x 7 : x 3x 1 h) x x x x : x x 1 i) 3x x 5 : 2 x 1 f)
5
4
6
7
3
4
5
3
2
3
4
4
2
3
j)
x10 : x 1
k)
x10 : x 1
P(x) de una división de polinomios en la que el divisor es Q( x) x 2 , el cociente es
C ( x) 4 x x 2 y el resto es R( x) 2 . 2
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13. ¿Cuánto deben valer “a” y “b” para que la división 14. Halla “a” y “b” para que sea exacta la división
x
4
x
5x 2 ax b : x 2 3x 1 sea exacta?
3
5x 3 3x 2 ax b : x 2 5x 1 .
REGLA DE RUFFINI 15. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto; así como, comprueba que los polinomios obtenidos son correctos utilizando la prueba de la división.
d)
x 1 : x 1 2x x 5 : x 3 2x x 3x 1 : x 2 x 5x 7 x 9: x 7
e)
x
a) b) c)
3x 2x x 3 : x 1 g) x 2 x x 1 : x 1 h) 3x 3x 4 : x 1 i) 5x 7 x 3x 5x 3x 1 : x 1 f)
3
3
2
3
2
3
4
4
2
5
3
5
2
2
5
1 : x 1
j)
4
3
2
1 3 1 2 x x 1 : x 1 3 2
SACAR FACTOR COMÚN 16. Extrae el factor común en las expresiones siguientes: a)
3x 6 x 2
g)
3x 2 y 6 xy 2 9 x 2 y 3
m)
x 2 y 2 z 2 3xy 3 z 2
b)
x 2 3x 2 x 3
h)
12 x 2 y 3 4 x 3 y 6 x 2 y 2
n)
2 xy 2 z 4 xy 3 z 2
c)
3x 2 2 x 3x 3
i)
4 x 2 y 3 3xy 3 3xy 2
ñ)
1 2 1 x y xy 2 4 2
d)
8a 10b 6c
j)
7 x 2 5 x 2 3 x 2
o)
2 2 1 z t zt 2 5 10
e)
a 3 3a 2 4a
k)
x 1 x 2 3x x 1 2 x 3 x 1
p)
1 2 3 1 x y x 2 2
f)
2ab 7b3 ba 2
l)
2 x 4 6 x 1 x 2 4 x 3
q)
1 1 a 2 b ab ab 3 3 6
17. Dados los polinomios
P( x) 2 x 3x 2 , Q( x, y ) 2 xy 2 6 y y R( x, y ) 4 x 2 y 2 xy 3 y , calcula y extrae el
factor común. a) P(x) · Q(x)
b) Q(x,y) · R(x,y) TEOREMA DEL RESTO
18. Calcula el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas. ¿Qué teorema has utilizado? a) b) c)
x 32 : x 2 x x 1: x 1 2x 15x 8 : x 3
x e) x f) x d)
5
4
7
3x 2 1 : x 1
101
2
3
5
2 : x 1
2 x 3 3 : x 3
19. Calcula el resto de la división
x
20. Calcula el resto de la división
P( x) : x 6 , sabiendo que P(6) 3 .
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49 x 38 17 : x 1 .
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21. Si
P(0) 7 , ¿puede ser P( x) ax 2 bx 8 ? Razona tu respuesta.
2 x 4 mx3 15x 2 12 sea divisible por x 2 .
22. Calcula el valor de “m” para que el polinomio 23. La división de
P( x) 2 x 3 4 x 2 k entre Q( x) x 3 da de resto 0. ¿Cuánto vale “k”?
24. Halla “a” para que la división
x
5
3x 3 ax 2 4 : x 2 sea exacta.
25. Halla “a” para que la división
x
6
4 x 5 5x 4 5x 3 4 x 2 ax 2 : x 1 tenga de resto 2.
26. Halla el valor de “k” en los siguientes polinomios, teniendo en cuenta los datos indicados. a)
x 3 k 2 x 1 es divisible entre x 1 .
b)
x
c)
x 4 3x 3 kx2 x 6 tiene por factor x 3 .
4
27. Sabiendo que a)
kx2 2 x 1 : x 1 tiene –4 de resto.
P(2) 1 , halla el valor de “m” en cada uno de los siguientes polinomios:
P( x) x 2 mx 2
b)
P( x) mx 2 2 x 7
c)
P( x ) 2 x 2 3 x m
RAÍCES O CEROS DE UN POLINOMIO 28. Entre los siguientes valores, indica el posible número de raíces del polinomio
P( x) x 3 3x 5 8x 15 . Razona
tu respuesta. a) 5
b) 3
c) 6
d) 1
29. Comprueba si 5 y –5 son raíces del polinomio 30. Dado el siguiente polinomio
P( x ) x 3 5 x 2 5 x 5 .
P( x) 27 x 3 108x 2 3x 12 , contesta:
a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo? Razona tu respuesta. b) ¿Puede ser raíz x 5 del polinomio? Razona tu respuesta. c) ¿Es x 1 raíz del polinomio? ¿Y x 4 ? Razona tu respuesta. 31. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios: a)
P( x) x 2 7 x 10
c)
P( x ) x 3 x 2 9 x 9
b)
P( x) x 2 8x 15
d)
P( x) x 3 x 2 25x 25 TEOREMA DEL FACTOR
32. Comprueba si
x 1 es un factor de los siguientes polinomios:
a)
A( x) 3x 4 2 x 2 x
c)
C( x) x 7 1
b)
B( x) 2 x 2 3x
d)
D( x) 2 x 3 3x 1
33. Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio a)
x 1
b)
x3
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c)
x 1
d)
P( x ) x 3 3 x 2 6 x 8 .
x2
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34. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si
x 6 divide a
b) Si
B(5) 0 , entonces x 5 es un factor de B(x) .
A(x) , entonces 6 es una raíz de A(x) .
c) Un polinomio de grado 5 no puede tener 6 raíces. d) Un polinomio con término independiente igual a 0 posee al menos una raíz. 35. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? a) Un factor de
x 2 1 es x 1 .
b) Un factor de
x 2 1 es x 1 . RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD ENTRE POLINOMIOS
36. ¿Es divisible el polinomio
x 9 39 entre x 3 ? Razona tu respuesta.
37. Sin realizar la división, explica razonadamente si
4 x 4 8x 3 2 x 2 6 x 4 es divisible por x 2 .
MULTIPLICIDAD DE UNA RAÍZ. POLINOMIO FACTORIZADO 38. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios: a)
P( x) 3 x 1 x 2 x 4
b)
P( x) 2 x 5
3
c)
P( x) x 6 x 1 2
2
39. Escribe un polinomio de tercer grado que tenga por raíces: a) 2, 3 y –1
b) –2 y 5
40. Escribe un polinomio de tercer grado que sea divisible por x 1 y por x 2 . 41. Escribe un polinomio que tenga las siguientes raíces y el coeficiente del término de mayor grado: a) Raíces: 1, –2 y 3. Coeficiente: –4.
c) Raíces: –2 y –3. Coeficiente: –1.
b) Raíces: 2 (raíz doble). Coeficiente: 2.
d) Raíces: 1, 1, 2 y –3. Coeficiente: 5.
42. Halla tres polinomios distintos que tengan las mismas tres raíces: 1, −1 y −5. 43. Escribe un polinomio con las siguientes características: a) De grado 4 y con 3 términos. b) De grado 3, con 3 términos, con término independiente nulo y 5 como coeficiente de
x2 .
44. Halla un polinomio de segundo grado cuyas: a) Raíces sean 3 y -4. b) Raíces sean 3 y -4 y que, además, cumpla que
P(1) 20 .
45. Escribe un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean
x1 1 , x2 2 y x3 4 . ¿Existen más polinomios que
verifiquen esas condiciones? ¿Por qué? 46. El polinomio P(x) es de grado 3, y sabemos que
P(1) P(2) P(0) 0 .
a) ¿Cuál es la posible expresión del polinomio P(x) ? b) Y si además sabemos que
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P( 2) 16 , ¿cuál es entonces su expresión exacta?
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FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI 47. Comprueba con la regla de Ruffini si los números 2 y –3 son soluciones de la ecuación 48. Factoriza el siguiente polinomio por la regla de Ruffini
x 4 3x 3 x 3 0 .
x 3 3x 2 34 x 48 .
49. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios y factorízalos usando la regla de Ruffini. a)
x 2 8x 7
c)
x 4 2 x 3 11x 2 12 x 36
b)
2 x 3 x 2 11x 10
d)
x 4 6 x 3 10 x 2 6 x 9
P( x) 6 x 3 7 x 2 1 sabiendo que x
50. Factoriza el polinomio
51. Sabiendo que
x
1 es una de sus raíces y calcula el resto de ellas. 3
1 3 2 es una raíz de P( x ) 16 x 40 x 17 x 2 , factorízalo y calcula el resto de sus 4
raíces. FACTORIZACIÓN 52. Factoriza el polinomio
P( x) 2 x 3 7 x 2 3x 18 , sabiendo que verifica las siguientes condiciones:
3 P 0 , P(2) 0 y P( 3) 0 . 2 53. Dada la expresión
P( x) 3x 1 3x 1 . 2
a) Desarróllala, escribiéndola como un polinomio ordenado de segundo grado. b) Factorízala como producto de dos polinomios de primer grado. c) Calcula el valor numérico de P(x) en los puntos
x
1 y x 0. 3
54. Utiliza las igualdades notables para factorizar los siguientes polinomios: a)
9 x 2 30 x 25
b)
1 2 x x1 4
c)
x4 x3 x2 4
d)
x4 4
55. Factoriza los siguientes polinomios, usando las fórmulas de las identidades notables, e indica sus raíces y su orden: a)
x 2 10 x 25
d)
9 x 2 12 xy 4 y 2
g)
4 4x x2
j)
x4 2x3 x2
b)
16 x 2 1
e)
x2 1 2x
h)
x4 x2
1 4
k)
4x2 9
c)
4 x 2 12 x 9
f)
x4
1 4
i)
l)
36 x 2 12 x 1
9 x 2 25
56. Extrae el factor común para factorizar los siguientes polinomios: a)
5x 3 15x 2
c)
2 x 3 3x 2 x
e)
2 x 3 y 2 2 xy 4
g)
2 x 3 y 3 4 xy 4
i)
3 3 2 x xy 9 15
b)
4 x 4 8x 3
d)
x 4 3x 3 5x 2
f)
15x 3 y 25x
h)
9 x 2 y 6 3x 2 y 2
j)
1 2 2 1 x y y 2 6
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57. Factoriza los siguientes polinomios de cuarto grado de exponentes pares (bicuadradas), haciendo el cambio de variable correspondiente, e indica sus raíces y su orden: a)
x 4 3x 2 2
b)
2x 4 4x 2 6
c)
x 4 5x 2 36
d)
x 4 5x 2 4
58. Factoriza los siguientes polinomios, indicando los métodos que utilizas, y di cuáles son sus raíces, así como, indica su orden: a)
x 2 144
h)
b)
2 x 2 3x
i)
c)
x2 x 1
d)
x 3 9x
n)
x3 1
t)
x4 1
x 3 x 2 6x
ñ)
x 3 2x 2 x 2
u)
3x 4 2 x 2 x
j)
x4 x2
o)
x3 x2 9x 9
v)
x 4 3x 3 3x 2 11x 6
x 2 12 x 32
k)
3x 4 12 x 2
p)
x 3 x 2 4x 4
w)
x 4 2 x 3 7 x 2 16
e)
3x 2 x 2
l)
2 x 3 12 x 2 18x
q)
x 3 x 2 4x 4
x)
x5 2 x 2 1
f)
9 x 2 12 x 4
ll)
5x 4 50 x 3 125x 2
r)
2x3 7x2 2x 3
y)
x 7 5x 4 3
g)
2 x 2 x 15
m)
s)
3x 3 9 x 6
x 4 6x 3 7 x 2
z)
10 x 5 57 x 4 96 x 3 47 x 2 6 x
PROBLEMAS 59. Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita: a) El cociente entre un número y su siguiente. b) El cociente entre dos números pares consecutivos. c) Un número menos su inverso. d) El inverso de un número más el inverso del doble de ese número. e) La suma de los inversos de dos números consecutivos. 60. Encuentra la expresión algebraica que describe cada uno de los siguientes enunciados: a) La propiedad distributiva de tres números reales a, b y c. b) El producto de potencias de base a y exponentes n y m es una potencia de base a cuyo exponente es la suma de los exponentes. c) El logaritmo en base a de x es y. d) El espacio recorrido en un tiempo t por un móvil que lleva una velocidad constante v. e) El perímetro de un rectángulo de base b y altura h. f) El perímetro de un triángulo isósceles de lados iguales x y lado desigual y. g) El área de un rectángulo de base b y altura h. h) El área de un cuadrado de lado l. i)
El área de un rombo de diagonal mayor D y diagonal menor d.
j) El volumen de un cubo de arista x. k) El volumen de un cilindro de radio r y altura h. l)
El volumen de un prisma de base cuadrada de lado x y altura h.
61. ¿Cuál es el volumen de un cubo de lado
a b ?
62. La página de un libro mide el doble de alto que de ancho, y los márgenes laterales miden 2 cm, y los márgenes superior e inferior, 3 cm. a) Expresa la superficie total de la página en lenguaje algebraico. b) Haz lo mismo con la superficie útil de papel (lo que queda dentro de los márgenes). Gema Isabel Marín Caballero
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63. Calcula las expresiones algebraicas que representan el área A(x) y las longitudes B(x) y C(x) de la figura.
64. Comprueba que al reducir la expresión
m 1 m 4 2m 9 obtienes una fracción numérica. 2m 4m 6m
65. La trayectoria de una pelota de tenis viene dada por la expresión algebraica
H 2,2 7t t 2 , donde H es la
altura de la pelota en metros y t es el tiempo en segundos. a) Indica el grado del polinomio y los monomios que lo forman. b) Halla la altura a la que se encuentra la pelota, para cada uno de estos tiempos: t=0 s, t=3 s, t=5,5 s, t=7 s. 66. Relaciona en tu cuaderno las magnitudes indicadas correspondientes a un triángulo equilátero de lado x con los monomios de la columna derecha. Perímetro Área Altura
3 x 2 3x
3 2 x 4
67. Considera un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide la mitad que uno de los lados iguales. Llama x al lado menor y encuentra la expresión algebraica del perímetro y del área. 68. Expresa con un polinomio la fórmula del volumen de los siguientes ortoedros: a) Sus aristas miden x, 2xy, 3z+1, respectivamente. b) Sus dimensiones son números consecutivos, siendo x el mayor de ellos. 69. Sean los polinomios
5 E x 4x 2 , F x 2x 2 10x y Gx x 2 asociados a distintas figuras 3
geométricas. Relaciona en tu cuaderno las cantidades de estas tres columnas. Volumen de un cono de radio 3 y altura 5
E(3)
36π
Área de un cilindro de altura 5 y radio 3
G(3)
15π
Volumen de una esfera de radio 3
F(3)
48π
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