Departamento de Matemáticas
4º de ESO
RELACIÓN Tema 6: Ecuaciones y Sistemas. Problemas. Reflexión:
Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado. Un esfuerzo total es una victoria completa.
ECUACIONES DE 1ER GRADO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)
5 2 x 4 3x 1 10 x 20
e)
3 x 2 2 x 3 x 3x 6 4 3 6 4
b)
x 13 4 3x 4 x 2
f)
1 x x 1 1 1 x 2 3 2 9 2 2 3
c)
x 4 3 2 x 1 5 x 3 2 x 4 1
g)
11x x 3 x 4 2 x 3 1 6 6
5 x 9 1 x x 15 5 3
3 x 1 5 h) 3 3 1 x 5
d)
ECUACIONES DE 2º GRADO 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, aplicando el método adecuado en cada caso: a)
x 2 25 0
g)
3x 2 75x 0
m)
2 x 2 5x 2 0
b)
2x 2 8 0
h)
9 x 2 36 5x 2
n)
x 2 x 1 1
c)
2x 2 x 0
i)
5x 2 3x 3 x 7 9
ñ)
d)
x2 x 0
j)
x 2 4x 3 0
o)
1 2 x x40 2
e)
11 2 x 0 3
k)
x2 x 1 0
p)
x 32 x
f)
5x 2 720 0
l)
q)
3x 22 2x 3 2x 3 3 x 1
6 x 2 13x 6 0
2
3x 2 2 x 3 0
4
3. Escribe en cada caso la ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 5 y –2, y tal que: a) El coeficiente de
x 2 sea 4.
b) El coeficiente de x sea 9.
c) El término independiente sea –4. d) El coeficiente de
x 2 sea 5.
4. Encuentra las soluciones de una ecuación de segundo grado sabiendo que cumple que «la suma de dos números es 12» y «su producto 35». 5. Halla el valor de los coeficientes “b” y “c” en la ecuación x1 5 y x2 6 . 6. Calcula el valor del coeficiente “b” en la ecuación es la otra solución?
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7 x 2 bx c 0 , sabiendo que sus soluciones son
5x 2 bx 6 0 , sabiendo que una de sus soluciones es 1. ¿Cuál
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7. Calcula el valor de “a” y “b” para que la ecuación
ax 2 bx 1 0 tenga por soluciones x1 3 y x2 2 .
8. Determina si las siguientes ecuaciones tienen dos soluciones distintas, una solución doble o ninguna. a)
x 2 5x 1 0
b)
2 x 2 8x 8 0
x 2 3x 4 0
c)
9. Averigua el número de soluciones de las siguientes ecuaciones: a)
x 2 8x 16 0
b)
x2 x 2 0
2 x 2 4 x 13 0
c)
10. Determina para qué valores de “m” la ecuación
2 x 2 5x m 0 :
a) Tiene dos soluciones distintas.
b) Tiene una solución.
c) No tiene solución.
ECUACIONES BICUADRADAS 11. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a)
x 4 13x 2 36 0
e)
x 4 26 x 2 25 0
i)
x 4 1.296 0
b)
x 4 5x 2 4 0
f)
x4
12 x 2 15 3
j)
x 4 16 x 2 0
c)
x 4 4x 2 3 0
g)
x 2 1 2x 4
k)
5x 2 6 x 2 6 x 2
d)
x 4 10 x 2 9 0
h)
x 4 16 0
l)
3 x 3 x x 2 2x x 3 x 32 1
ECUACIONES FACTORIZADAS 12. Resuelve las siguientes ecuaciones factorizadas: a)
2x 1 x 0
b)
5 x x 4 0
x f) x
c)
2 x 5 2 x 3 0
g)
x
d)
4 x 3 3x 1 x 2 16 0
h)
3x 2 x 5 x 7 3x 21 5x 25 0
e)
2
5
2
2
2
4 x
3x 2 x 3 x 1 0 2
1 x 3 0
2
3 x 2 2x 1 x 2 x 1 0 2
3
4
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS 13. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos: a)
x 3 3x 2 x 3
e)
x3 x2 1 0
b)
x 3 2x 2 x 0
f)
x 4 11x 3 41x 2 61x 30 0
c)
x 3 2 x 2 5x 6 0
g)
x 5 5x 3 4 x 0
d)
15x 3 8x 2 9 x 2 0
h)
x 4 2x 3 x 2 0
ECUACIONES RACIONALES 14. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: NOTA: Comprueba que la solución obtenida es válida de la ecuación dada. a)
x 8 13 6 x
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g)
x
1 5 2x
m)
1 1 5 2 3x x 12
r)
1 x2 7 x2 x 4
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b)
x2 5 3 x 4
h)
2x 1 7x 3 2 3x x
n)
81 1 2 x3
s)
2 3 4x 1 4x 1
c)
2x 3 1 1 x x
i)
3 x 13 1 x 6
ñ)
1 1 1 1 x x2 3
t)
5x 8 5x 2 3x 4 3x 4
d)
2x 6 5 x3 x3
j)
1 1 1 x x 1
e)
4 x 12 x 2 x
k)
f)
x 2 5 2 x 2
l)
o)
1 1 4 x 1 x 1 3
x 1 3 x 2 x 1 x 1
p)
u)
x x 1 13 x 1 x 6
3x 1 x 1 2x 3 1 3 x x x2
2x 7 2x 1 0 5x 2 5x 4
1 1 1 3x 3 4 x 4 12 x 12
v)
x x 2 8x 7 x 2x 15 w) 4 4x 5 4 x 1 x 1 4
q)
15. Resuelve las siguientes ecuaciones algebraicas: NOTA: Comprueba que la solución obtenida es válida de la ecuación dada. a)
6 x 1 3 x 2 1 3x 18 5x 6 9
g)
2 6x 2 2 2 3 9 x 1 3x 1
m)
b)
2 2 x 1 3 2 x 1 5 0 2x 1 2x 1
h)
1 1 0 x x x 1
n)
c)
3x 12 x 1
18 x 1 2
i)
2
1 2x 1 2x 3x 14 1 3x 1 3x 1 9x 2
ñ)
3x 1 1 7 x 7 x 12 2 x 6 6 x 24 2
1
x 1
2
3 3 2x 2 2x 4
x 2 78 x 21 x2 2 3 2 x2 2x 3 2x x 6
d)
5x 2 7 x 3 1 0 7 x 5 x 1
e)
10 x 2 5 x 8 2 5 x 2 9 x 19
f)
2 3 3 2 8 4x 5 2x 3 2x 5 l) q) 2 0 2 2 2 x 4 x 3 x 7 x 12 x x x 1 15 x 7 x 2 12 x 7 x 10 20 x 29 x 5
x 1 2 x 2 2 x 2x x 2x x 4
j)
k)
o)
2
1 x 4 2 x 6 x 2 x 8 x 12
p)
x 1 x 1 5 x x 1 3 2 2 x 1 x 4 x 3x 4
x2 2x 5 x2 2 2 x 8 x 7 x 49 x 6 x 7 2
2
ECUACIONES CON RADICALES 16. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: NOTA: Comprueba que la solución obtenida es válida de la ecuación dada. a)
3x 2 4 0
i)
5 x 1 x 2
p)
x5 x 5
7 x4 x9
q)
x 1 x 9
r)
4 x 5 3x 1 1
x 3
s)
x 4 3 x 1
5 x 3 2x
t)
x 3 10 x 1 4x 1 x 2 1
b)
2 x 5 13 x
j)
c)
x 2x 1 1 x
k)
2 x 5 6 3x 3
d)
2x 3 1 x
l)
e)
x 4 x 1
m)
f)
x x 1
1 x 1
n)
169 x 2 17 x
u)
g)
7 3x x 7
ñ)
2x x 2 x 2 0
v)
h)
2x 1 x 1
o)
x 2 3x 7 5
w)
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2 x 4 5x 4 x 2 3 x 2 x 1
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17. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: NOTA: Comprueba que la solución obtenida es válida de la ecuación dada. a)
3 6 x 3x 4
b)
2
c)
21 6 x 1 2 3x 6x 1
h)
d)
x 5 3 x 7
i)
e)
x 3 x 4 4x 1
j)
f)
8x 4 6 x 5 2 x 9
8 2x x
g)
k)
3x 4
2
x 6 x 11 5 10 x
l)
x 6 x 1 7x 4
x3 2 x x x 1 1
o)
m)
n)
5
ñ)
3 4 3
2x 1 x 4 6 x 1
2 3x 4 2
32 3 3 x 2 9 15 x 6 2 x 3
PROBLEMAS DE ECUACIONES 18. Calcula un número sabiendo que al restarle la raíz cuadrada del número siguiente el resultado es 41. 19. Halla dos números positivos consecutivos cuyo producto sea 380. 20. Calcula dos números naturales impares consecutivos cuyo producto sea 195. 21. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 60 cm y que la base es el doble de la altura. 22. Halla en cada caso el valor de “x” para que los rectángulos tengan el área que se indica: a)
b)
23. En un texto matemático babilónico que se conserva en una tablilla en el Museo Británico de Londres, se lee: «Restamos al área de un cuadrado su lado y obtenemos 870.» Halla el lado de dicho cuadrado. 24. La oferta y la demanda del mercado de un modelo de pantalones vaqueros en cierto momento vienen dadas por las expresiones:
x0 0.5 p x2 40 p x 1.000
x D 10 p x 750
40 p x 60
Calcula el punto de equilibrio de este mercado y las unidades ofertadas y demandadas en este caso. 25. Las funciones de demanda y de oferta correspondientes al mercado de grabadoras de DVD para ordenador en cierto momento son:
x0
1 2 1 p x p x 180 20 2
xD
1 2 25 px p x 157.5 4 2
Calcula el punto de equilibrio y las unidades ofertadas y demandadas en este caso. 26. ¿Qué número aumentado en 3 unidades su raíz cuadrada da 12 ?
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 27. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: NOTA: Usa el método más adecuado y realiza la comprobación. a)
x y 3 4 x y 7
c)
x y2 x 3 y 8
e)
5 x 3 y 1 3x 5 y 7
f)
4 x 12 3 y 6 x 5 y 1 0
b)
11x 3 y 69 3x 3 y 3
d)
4x 3y 5 2 x 5 y 1
f)
12 x 7 y 3 15 x 3 y 21
h)
3x 2 y 2 5 x 4y 3
28. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: NOTA: Usa el método más adecuado y realiza la comprobación. a)
3x 2 y 1 x y 3 y 2 9x
b)
2 x 5 y 12 x3 y 2
d)
c)
x 2 4 y y 3 x 5
3x 3 y 1 2 2 2 x y
f)
e)
2 3x 2 5 3 2 x 3 y 12
x 2 x y 3 y 2 x y 3 3 2
h)
g)
0,2 x 0,5 y 0,8 0,4 x 2,1 y 4,6
6 x 12 y 66
2.000 x 2.000 y 4.000 0
29. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales eligiendo el método más adecuado:
2 x y 12 a) 3 x 5 y 2 2
y 3 b) y x4 4 x
c)
2x 3y 1 3 2 x y 4
4x y 6 d) y 1 5 x 2 2
e)
y2 1 4 3 x 5 2
x
x f) 3 x 2
y 4 2 y 2 4
y 2x 2 g) 10 x 3 5 y 1 5
x2 y 8 5 j) y 1 x 1 2 2 4
x 3 y 1 1 h) 2 3 3 4y x 3
x y 5 x 3 4 12 k) y x 1 x y 3 5 15
x 2y y 1 i) 3 2 2 3 x 1 2 y 4
3 y 26 5 l) 3 2 x 1 2 y 5 1 7 3 5 x 1
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 30. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de segundo grado:
2 x y 1 a) x 2 y 4 b)
3x y 9 y 2 x 2 5
2 x 2 2 y 10 c) x 2y 0
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x 2 y 2 25 d) 3 x y 0 4
g)
y 2 x 2 5 5 x 3 y 1
j)
x 2 y 2 3x y 20 x y2
x 2 y 2 25 x y7
h)
3x 2 5 y 2 2 2 x 2 3 y 2 1
k)
x 2 y 2 x 5 y 24 x y7
e)
x 2 y 2 18 f) yx
x 2 y 2 25 i) x y 25
y2 x2 5 l) 10 x 8 10 2y 3 3
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31. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
x 3 y 3 a) x y 6
x 4 y 3 e) x y 1
x 5 i) y 7 2 2 x y 1.184
1 1 2 13 2 x y m) 1 1 1 x y
x y 14 b) x y 15
x y 6 f) 2 x 2 y 2 1
1 1 1 j) x y 2 x 3 y 1
n)
x y 2 4x c) y x 1
x 2 y 2 5 g) x y 6
x2 y4 1 3 2 k) 2 4 x 3 y 2
ñ)
x y 15 x y 105
1 2 d) 3 x y 2
h)
o)
x2 y 3 5 2x x y
x y
2
y 1 x x y 2
x y
l)
x y 13 y x 6 x y 6
x y 105 x y 27
PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 32. Al dividir dos números que suman 147 se obtienen 5 de cociente y 9 de resto. ¿Cuáles son esos números? 33. Se busca un número de dos cifras. La suma de sus cifras es 10 y si se intercambian sus cifras, se obtiene otro número que supera en 36 unidades al número inicial. ¿Cuál es el número? 34. Siete chocolatinas y cinco refrescos cuestan 30 €. Tres chocolatinas y un refresco valen 10,80 €. ¿Cuánto costarán once chocolatinas y nueve refrescos? 35. En un concurso, se ganan 200 € por cada respuesta acertada y se pierden 500 € por cada fallo. Después de 20 preguntas, Jesús lleva ganados 500 €. Calcula el número de aciertos y fallos de Jesús mediante un sistema de ecuaciones. 36. En una papelería, venden el paquete de bolígrafos a un precio total de 12 €. Si el precio de un bolígrafo subiera 0,10 €, para mantener ese precio total del paquete cada uno debería tener 4 bolígrafos menos. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo y cuántos trae cada paquete? NOTA: Llama “x” al nº de bolígrafos que trae el paquete e “y” al precio de cada bolígrafo. Luego, plantea un sistema y comprueba que la solución obtenida verifica las condiciones del enunciado. 37. Una empresa aceitera ha envasado 3.000 l de aceite en 1.200 botellas de 2 l y de 5 l. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 38. En un hotel, hay habitaciones dobles y triples. En total, hay 43 habitaciones y 105 camas. La habitación doble cuesta 30 € por noche y la triple 40 € por noche. a) ¿Cuánto se recauda el día que el hotel está completo? b) Si se han recaudado 1.280 € y están todas las habitaciones dobles ocupadas, ¿cuántas triples quedan libres? 39. Si me das 70 monedas, tendré el triple de dinero que tú, pero si yo te doy las 70 monedas, entonces tú tendrás el quíntuplo que yo. ¿Cuántas monedas tendremos cada uno? 40. Dos capitales iguales se colocan al 3 % y al 4 %, respectivamente, durante un año. El segundo capital produce 12,50 € más de intereses que el primero. ¿A cuánto ascendían los capitales iniciales iguales?
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41. Un ciclista ha calculado la velocidad idónea para hacer un viaje de 30 km. Pero se entretiene y sale 3 minutos más tarde, con lo que viaja a 1 km/h más deprisa y llega a tiempo. Determina la velocidad prevista por el ciclista. PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 42. La suma de dos números enteros positivos es 36. El producto del primero, aumentado en 3, por el segundo aumentado en 2, es 408. ¿Cuáles son dichos números? 43. La suma de dos números es 7 y la de sus inversos es
7 . Hállalos. 12
44. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una? 45. El ayuntamiento ha vallado un recinto rectangular para construir una pista nueva de patinaje. El perímetro del recinto mide 94 cm y su diagonal 37 m. ¿Cuáles son sus dimensiones? 46. La suma de las superficies de dos salas de cine de baile cuadradas es 1.125 m 2 y su diferencia es 675 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones? 47. Todas las habitaciones de un hotel tienen forma cuadrada. La suma de las superficies de la habitación doble y la habitación sencilla es 45 m2, mientras que la diferencia entre sus superficies es de 27 m2. a) Calcula las dimensiones de los dos tipos de habitaciones. b) Si se quiere actualizar el suelo de las habitaciones con una tarima que cuesta 8,9 €/m 2, ¿qué presupuesto se requiere? 48. Calcula las dimensiones de los siguientes rectángulos. a) Su diagonal mide 10 m y su perímetro 28 m. b) Su diagonal mide 15 cm y su área 108 cm2. 49. El perímetro de un rectángulo mide 56 cm. Si se aumenta su base en 9 cm y se duplica su altura, se obtendrá un rectángulo mayor cuyo perímetro medirá 88 cm. ¿Cuáles son las dimensiones originales del rectángulo? 50. Calcula las dimensiones de un rectángulo de 30 cm de perímetro y 54 cm 2 de área. 51. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 56 m y la hipotenusa 25 m. Halla los lados. 52. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es 34 cm y su diagonal 13 cm. 53. Para vallar una finca rectangular de 750 m2, se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. 54. Un jardín de forma rectangular tiene 600 m2 de superficie y su perímetro mide 100 m. ¿Cuáles son sus lados? 55. Una habitación de suelo rectangular tiene una superficie de 30 m 2 con un perímetro de 22 m. Halla las dimensiones de la habitación.
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