ACADEMIA PRE LA NUEVA GENERACIÓN “
GEOMETRÍA
”
1. RELACIONES METRICAS a. RELACIONES MÉTRICAS TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EN
EL
En un triángulo rectángulo ABC (recto en A), se traza la altura AH, se tiene que sobre la hipotenusa “m” que es proyección del cateto “c” y el segmento “n” que es proyección del cateto “b”.
Teorema 5 En todo triángulo rectángulo la suma de los
inversos invers os del del cuadrado cuadrado de las l ongitudes de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la longitud la altura relativa a la hipotenusa.
A
c
1
1
1
b 2
c2
h2
b h
m B
b. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
n H
a
C
Según la gráfica anterior tenemos a los siguientes teoremas: Teorema 1 (Teorema de Pitágoras) El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. 2
2
Teorema 6 (Teorema de Euclides 1) En todo triángul tr iángulo, o, el cuadrado cuadrado de la longitud l ongitud del del lado que se opone al ángulo agudo es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. B
2
a = b + c
c
Teorema 2 El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
A
m
2
2
2
c = a + b – 2bn
2
c =a.m
c2
m
b 2
n
Teorema 3 En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la l a altura relativa relat iva a la hipotenusa hipotenusa es igual al producto producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos
C
n b
2
Consecuencia:
a h
2
2
a = b + c – 2bm
Teorema 7 (Teorema de Euclides 2) En tod t odoo triángul tr iánguloo ob obtusángulo, tusángul o, cuadrado cuadrado de la longitud longi tud del lado que se opone al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. B
sobre la hipotenusa. 2
c
h =m.n h
Teorema 4 En todo triángulo rectángulo el producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a ésta.
H
2
2
2
a
n
c = a + b + 2bn
b
C
A
2
b =a.n
1 a
b.c =a.h
n i g á P
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TEOREMA DE HERON C
h
2 b
p(p a)(p b)(p c ) c
Donde p=
a b c 2
a
= semiperímetro A
C b
TEOREMA DE LA MEDIANA B
c a
a
m
A
2
c
2
2
2m
b2 2
C b
TEOREMA DE STEWARD
c
a x
a2n c 2m
x2b bmn
n
m b
2. SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales. Sea: L 1//L2//L3//L4 S1
A a B b C m
S2
D c
L1
E
L2
d F n
L3 L4
a
c
b
d
a
c
b
d
m
n
m
n
2 a n i g á P
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COROLARIO DE THALES Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales. Si: L // AC B L
M
N
A
C
BM BA
BM MA
BN NC
BN BC
MA BA
NC BC
Si trazamos un segmento paralelo a uno de los lados de un triángulo, dicho segmento y los segmentos que determina con el vértice opuesto son proporcionales a los lados del triángulo. B
c M
A
Si: MN // AC
n
m
P
b
N
a
C
p
m
n
b
c
a
PRINCIPALES TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD TEOREMA DE BISECTRIZ En todo triángulo, una bisectriz cualquiera, determina sobre el lado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las l ongitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz.
BISECTRIZ INTERIOR B
a
n
c
m
a
c A
D
C n
m b
BISECTRIZ EXTERIOR B
c
A
a C
E
a
n
c
m
n m
3 a n i g á P
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TEOREMA DEL INCENTRO En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz, en dos segmentos, cuyas longitudes son proporcionales a la suma de los lados que concurren con dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.
B
a
I
c A
C
D
BI
a c
ID
b
b
TEOREMA DEL EXCENTRO En la figura adjunta, “E” es el excentro relativo al lado
AC
del ABC
B a
c A
b C
D
BE
a c
ED
b
E
TEOREMA DE MENELAO
Sea el triángulo ABC, de la figura. Una recta intersecta a los lados AB , BC y a la prolongación de AC , en los puntos E, F y H respectivamente. Se cumple que: B m b E F a n
A
c
C q
H
a.b.c = m.n.q TEOREMA DE CEVA Sean AE , BF y CR , tres Cevianas cualesquiera, del ABC, concurrentes en el punto Q. Se cumple, que: B y
b
R
a.b.c = x.y.z
Q
a A
E
x
F
z c
C
4 a n i g á P
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes y las longitudes de sus lados respectivamente proporcionales.
N B Si:
a
b
c
m
n
q
A
q
a
c
k
b
C
M
m
n
Q
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos tri ángulos serán semejantes si cumplen con cualquiera de los siguientes casos:
PRIMER CASO: (AAA) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes. Si: m ∡ A = m ∡ M y m ∡ C = m ∡ P B
Entonces: ABC
N
MNC
~ A
M
C
PC
SEGUNDO CASO: (LAL) Dos triángulos son semejantes cuando tienen un par de ángulos congruentes y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales. Si: m ∡ A = m ∡ M y
b
c
n
q
N
B
c
~
A
C
b
Entonces: ABC - MNQ
q
M
n
Q
TERCER CASO (LLL) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. SI:
a
b
c
m n
q
k
B N c A
a b
C
MNQ
m
q M
Entonces: ABC
n
5 a n i g á P
Q
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Nota: Si dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales a sus líneas homólogas (alturas, bisectrices, etc).
1.
5.
2.
6.
3.
7.
4. 8.
6 a n i g á P
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9.
11. Del gráfico adjunto se pide calcular MN, si AB
B) C) D) E)
excede a MN en 5 además BN/NC = 3/2. Si AB//MN 2/3 5/3 7/3 1/3 10/3
12. Encontrar x. En la figura, ABCD es un A) B) C) D) E)
13.
A) B) C) D) E)
GEOMETRÍA 14. Calcule el lado del cuadrado ABCD. ABCD es un
10.
A)
”
paralelogramo, 4BE = DE y BF=1. Calcule AF 1 2 3 4 5 Sea el triángulo ABC, donde AB = 5.7m y la altura correspondiente a esa base es h=9.5m. Dado un tri ángulo semejante al anterior su base es A'B'= 4.14m, calcul ar el área de éste triángulo. 14,583 14,483 14,283 14,683 14,983
cuadrado. Calcule X. A) 14/7 B) 25/7 C) 65/7 D) 32/7 E) 24/7 15. ABCD es un cuadrado de lado 12, calcule “X” A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 16. Halla CP. Si AC=12 y AB=3BC A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9 17. Hallar PQ, si PQ//AC A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. En la figura: m ABE=m EBD=m DBC=45º, AD=5 y EC=12. Calcula AC. A) 2 B) 15 C) 25 D) 12 E) 10 19. En un triangulo ABC, se traza la bisectriz AP, la mediana BQ y la ceviana CR, las cuales son concurrentes, Calcular AR, si AB=6 y AC=10. A) 9 B) 2,5 C) 3,5 D) 3,75 E) 4 20. En la figura, hallar X, si DE//BC A) 20/6 B) 15/6 C) 12 D) 15 7 a E) 8/6 n i g á P
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21. Una rueda descansa en el piso y está apoyada además en un ladrillo de 10 cm de alto, quedando su punto de apoyo en el piso a 25 cm del lado más cercano del ladrillo. Calcular el radio de la rueda. A) 36 cm B) 35 cm C) 36,25 cm D) 40 cm E) 27 cm
22. En un ABC, recto en B, se trazan la altura BH ; HE AB y HF BC (C en AB y F en BC ). Si AE = 1 cm y FC = 8 cm, Hallar la suma de las medidas de EB y BF. A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 10 cm
8 a n i g á P
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9 a n i g á P
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