TEMA:
REPRESENTACION GRÁFICA Y TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE LOS DATOS EXPERIMENTALES
ASIGNATURA: FÍSICA – FÍSICA – LABORATORIO LABORATORIO
DOCENTES:
JOSÉ CASTILLO
INTEGRANTES:
LYONNEL CERCADO WILSON ALEXANDER BLAS LÓPEZ CHIMBOTE- PERÚ 2013
REPRESENTACION GRAFICA Y TRATAMIENTO ESTADISTICO DE LOS DATOS EXPERIMENTALES
OBJETIVOS: Analizar las ecuaciones que permitan realizar los cálculos estadísticos de los datos de las medicines directas e indirectas y sus aplicaciones. Además de realizar las gráficas correspondientes.
FUNDAMENTO TEORICO: Proporcionalidad: En ciertos casos las relaciones funciones establecen una correspondencia muy simple entre las variables dependientes y la o las independientes. Muchas de las leyes de la física con las cuales trabajan los estudiantes, se expresan mediante funciones del siguiente tipo:
Y = a.Xn a y n son constantes reales positivas o negativas. La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes medibles. Es una buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones igualdad entre las magnitudes. Coeficiente K no nulo (5/4 ejemplo) tal que, si se consideran X1, X2, X3….Xn e Y1, Y2,…, Yn, como valores X e Y, entonces se dice que estas variables son proporcionales, la igualdad Y=K.X lo cual significa que “Y” es una función lineal de” X”. La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de “X” da lugar a una variación proporcional de “Y” (y recíprocamente, puesto que K≠0, Y = 1/K.x).
△
y = k.
△
x
Uso de los Gráficos:En la física experimental, la gráfica tiene tres aplicaciones principales. La primera es para determinar el valor de alguna magnitud, por lo general la dependiente o intersección de una línea recta, que representa la relación entre dos variables. El segundo que es el uso de las gráficas. Sirven de ayuda visual, existen diversas maneras en las cuales se relacionan las magnitudes físicas, el tercer uso de los gráficos en el trabajo experimental es dar una relación empírica entre dos magnitudes.
REGLAS PARA CONTRUIR GRAFICAS A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES
REGLA N°01: Decidir cuál variable es independiente y dependiente. La variable independiente se trazan como abscisas paralelas eje y las variables dependientes como ordenadas paralelas al eje y.
REGLA N°02: Escribir los números en los ejes y anotar los nombres de las cantidades que representan y el nombre de la unidad que se miden.
REGLA N°03: Las escalas se numeran de manera que la curva resultante no este confinado en un área pequeña del papel de la gráfica, los segmentos del eje X no necesariamente son iguales a las del eje Y; por otro lado, el origen tampoco es siempre cero.
REGLA N°04: Por lo común, no se dibujan las escalan en el límite que hay entre los gráficos y el margen, más bien tal como se muestra en la f igura:
REGLA N°05:Localiza cada punto, haciendo un punto pequeño con lapiz, cuando estes seguro de marco fuerte y dibuja un aspa (X), tambien puede dibujarse un circulo alrededor de el (O), triangulo (∆), cuadrado (i) y usar tintas de diferentes colores, si mas de una curva es representado toda en el mismo papel.
REGLA N°06: Dibuja la linea continua que creas se ajusta mejor a los puntos (ajuste visual). Si los puntos parecen encontrarse a lo largo de una linea recta, usa una regla trasparente para que puedas ver todos los puntos, mientras seleccionas la mejor posicion de la recta. Si los puntos parecen estar formando una curva, dibuja una curva continua, usa pistoletes trasparentes, no se debe tratar de forzar la curva para que pase por todos los puntos. Los errores experimentales, por lo general, haran que alguno o algunos de los puntos se encuentra fuera de la linea.
REGLA N°07: Cuando sea posible, las curvas deben tener uno pendiente geometrica que se aproxima a la unidad. Esto implica que la curva debe formar un angulo aproximado de 45° con el eje de las abscisas la pendiente geometrica se encuentra trzando la tangente de la curva y la del angulo incluido. Esto depende solo de las escalas escogidas.
La pendiente geometrica no es la misma que la pendiente real de la funcion (dx/dy). La “pendiente real” reqiere que se le cons ideren las unidades localizadas a los largo de cada eje. Al determinar una pendiente, usese una seccion de la curva tan grande como sea posible para obtener el mayor numero de valores y/x.
Esto asegura la correcion del valor calculado de la pendiente y tambien minimiza los errores debidos a las tecnicas de trazos.
CONSTRUCCIÓN DE GRAFICAS A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES
Esta dada por un conjunto de reglas que nos permitirán elaborar una gráfica en base a datos experimentales.
1.- Elegir el papel adecuado: TIPO DE PAPEL
CARACTERISTICA
ECUACION
Para coordenadas Milimetrico
rectangulares uniformes.
y= mx+b
Presenta un eje de Semilogaritmico
Logaritmico
coordenadas logaritmico y
Convierte y = Aemx en
otro eje de coordenadas
una recta
rectangulares.
( ln ( y ) = mln ( x ) + ln ( b)
Presenta ambos ejes de
Convierte y = Ax men
coordenadas logaritmicas.
una recta log(y ) = mlog( x ) + log (b)
2.- Elección de la escala: Procurar que las escalas presenten múltiplos de 2, 4, 5 etc., y no de 3, 7, 9, a fin de agilizar la lectura., localizar los puntos considerando una distribución de acuerdo a una nomenclatura, tal que no permita confusión, las escalas no se dibujan al borde, y finalmente las escalas no necesariamente necesitan empezar en cero, sino que la determinación se hará en función a los datos experimentales a representar.
3.- Trazando la curva: Si dentro de un mismo sistema de coordenadas se dibujan dos o más gráficas, entonces es necesario diferenciar cada una de ellas mediante un conjunto de símbolos que nos permitan distinguir una gráfica de otra. En cuanto al trazado, deberá hacerse con trazo fino de lápiz, y en el caso de ser una curva, deberá hacerse uso de los pistoletes procurando un trazo continuo.
4.- Pendiente Física: Es importante dentro de la confección de una gráfica lograr una pendiente que nos permita el cálculo de una magnitud, en cuyo caso habremos determinado el valor de la pendiente física que rige al fenómeno en estudio, está a diferencia de la pendiente geométrica, presenta unidades.
5.- Minimos Cuadrados: Cuando se hace el trazado de una recta, esta puede ser realizada mediante un ajuste visual, lo cual implica la mejor recta que ocupe la mayor cantidad de punto posibles, considerando que los puntos mas cercanos se encuentren equidistantes a la misma, de tal manera que la recta pueda ser observada en forma simetrica para su trazado. Sin embargo existe la posibilidad de mejorar este trazo haciendo uso del metodo de los minimos cuadrados. Consideran que la ecuacion de una recta esta regida por: y= mx + b, para determinar la respectiva pendiente e intercepto, se tiene las siguientes expresiones:
En algunos casos es necesario linealizar la curva, para ejecutar la gráfica respectiva, asítenemos, para el caso de la ecuación que gobierna el comportamiento de un termistor, es de la forma R= Ae
T/B
, donde A y B son constantes y T es la temperatura medida en kelvin, sin
embargo para desarrollar ésta gráfica es necesario realizar el cambio de variable respectivo a fin de brindarle la forma de una recta, así tenemos que al toma logaritmos en ambos miembros, se tiene: ln R = ln A + B/T, comparando con la ecuación de una recta, y = mx + b , se tiene : y = ln R; b = ln A; x = 1/T; m = B, de ésta manera haciendo uso de los mínimos cuadrados, se pueden hallar los valores de m y b, y por consiguiente los valores de A y B estarán establecidos, puesto que m = B y A = eb , resultados con los que podemos formular la correspondiente ecuación empírica , que gobierne el comportamiento del termistor en estudio, al reemplazar los datos hallados en la ecuación para R.
Cuando se asignan valores numéricos a las incertidumbres se hacen uso de ciertos índices deprecisión como los que señalaremos a continuación:
Me di a a ri tm é ti c a .- También denominada promedio, se le define con la siguiente ecuación:
Desvi ación media.- La desviación media de un conjunto de datos experimentales de unadeterminada magnitud X se define como:
Desv iac ión est ánd ar .- Es uno de los índices de dispersión de más utilidad, generalmenterepresentado por s, está definido para un conjunto infinito de lecturas, de la forma siguiente:
De la ecuación presentada, tenemos:
La determinación exacta de la desviación estándar es casi imposible, por lo que seconsidera a un conjunto finito de mediciones como una muestra de un conjunto infinito de las mismas y así poder calcular la mejor estimación de s, este cálculo se representa por “s”, cuyo valor se representa mediante la ecuación:
Dónde: S= Desviación Estándar de un conjunto finito de lecturas.
Desviación estándar del promedio
Dónde:
La última ecuación también puede ser calculada mediante la ecuación:
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN MEDICIONES INDIRECTAS Sea una magnitud Z, función de las variables X y W. Z = f (X, W), para determinar la des vi aci ón es tánd ar asociada a esta función se debe emplear laecuación:
A continuación estudiaremos algunos casos que pueden encontrarse dentro de este cálculo de ladesviación estándar, en función de dos variables asignadas.
Suma y diferencia de dos variables: Si Z = X± W, entonces:
Producto de dos variables: Si Z = X W, entonces:
También es factible la expresión:
Potencia: Dada la función Z X a, donde a es una constante, entonces:
Dónde:
Intervalo de Co nfiabilidad. Aplicación de criterio de aceptación de datos: [x- 3S; x + 3S]. Elfactor 3 que acompaña a S representa la probabilidad de que el 99.8% de los datos estén dentro del intervalo. Este es un criterio estadístico, por lo tanto, es objetivo y permite descartar datos según la distribución de éstos, en una campana de Gauss, cuya área bajo esa curva representa la probabilidad de encontrar cantidad de datos dentro del intervalo construido. Cualquier dato del conjunto de n medidas que sea menor que la cota inferior o mayor que la cota superior del intervalo de confiabilidad, puede ser descartado del conjunto y volver a calcular el promedio, la desviación típica y el nuevo intervalo de confiabilidad, hasta que ningún dato sea descartable. Hasta ahí todo el resto de datos son confiables y corresponde continuar con labúsqueda de la incertidumbre del promedio.
Cifras significativas. Cifras significativas son todos los dígitos seguros que entrega el instrumento más la primera cifra estimada. Son los dígitos de una lectura de medición que en notación científica aparecen al lado de la base 10 y el exponente. ( Por ejemplo, 102,35=1,0235x102 tiene 5 cifras significativas, mientrasque 0,0024=2,4x10-4presenta solo dos cifras significativas).
DISCUSIONES:
En la práctica realizada, para poder trazar la gráfica de la recta, tuvimos que lograr hallar la mejor línea entre los puntos obtenidos, ya que los valores de a y b fueron hallados por el método de los mínimos cuadrados.
Los procedimientos que utilizamos comúnmente, siempre son vulnerables o susceptibles a todo tipo de variación ya que aplicándolo, no podemos estar bien seguros de la importancia cuantitativa de los resultados. Sería más factible emplear un procedimiento matemático para que así pudiéramos identificar la mejor línea para un conjunto de puntos dados, porque de esta manera nos libraría de la inseguridad.
Sabemos que el principio de los mínimos cuadrados nos permite obtener inmediatamente valores de la desviación estándar, de la pendiente y ordenada al origen, lo que nos da incertidumbre de significación estadísticas conocidas (BAIRD).
Según las afirmaciones de Baird, y por lo observado en los experimentos, podemos afirmar que los resultados obtenidos por el método grafico o visual.
En los experimentos de la practica realizada se obtuvieron curvas, las cuales tuvimos que convertirlas en rectas; aplicando logaritmo natural y cambio de variable.
Conforme avancemos sobre la escala. Llegando a un punto en el cual ya no podremos dar con confianza la misma respuesta. En este punto detenernos y de este modo identificarnos un extremo del intervalo que se convertirá en nuestro valor medido.
Una vez más debemos de llegar a un valor en el cual no tendremos que detener porque a no podremos decir con seguridad que el resultado es mejor. Mediante la combinación de esos dos procesos identificamos un intervalo sobre la escala. Ese es el intervalo más pequeño que hasta donde podemos estar seguros, contiene el valor buscado; sin embargo, no sabemos de qué punto del intervalo esta ese valor.
Esta es la única consecuencia realista del proceso de medición. No podemos esperar resultados exactos, cuando hagamos mediciones e informemos de sus resultados debemos tener siempre en cuenta este punto clave y fundamental; las mediciones no son simples números exactos, sino que consisten en intervalos dentro de las cuales tenemos confianza de que se encuentre el valor esperado.
La curva suave y continua que hemos trazado proporciona una forma de hacerlo.
Debemos, no obstante, tener cuidado de recordar que resultado obtenido por interpolación es un valor inferido, puede empleare una curva suave y continua para extrapolar másallá del intervalo existente de valores. Este procedimiento nos permite hacer conjeturas sobre valores fuera del intervalo medido. Pero la validez del procedimiento obviamente es mucho más limitado que en el caso de interpolación.
Es posible obtener gráficos y sus respectivas ecuaciones empíricas, partiendo únicamente de simples valores numéricos que se da a cualquier variable, las cuales se ubica en el eje “x” y el eje “y” contenidos esto en un plano.
En el caso de obtener como grafica una recta, esta se adecua a una ecuación lineal; la cual nos hará posible la fácil obtención de valores numéricos que interceptándolos y uniendo dichos puntos obtenidos en el plano, trataron de buscar correspondencia entre el sistema y el modelo dado de dicha gráfica y empleando métodos como: método de los mínimos cuadrados y el método visual, se pueden obtener el valor del coeficiente de correlación (r) en el caso de dos variables medidas, donde uno puede considerarse como causa de la otra.
CONCLUSIONES: De acuerdo a lo realizado se puede llegar a las siguientes conclusiones:
Para trazar la mejor línea recta por el método de los mínimos cuadrados, debemos asegurarnos que el ajuste de la recta sea adecuado en todo o en parte del alcance de las observaciones; y que de hacerlo podemos dar lugar a errores muy graves en la interpretación del experimento realizado.
Se puede observar que el método de los mínimos cuadrados esmás factible y confiable que el método grafico o visual ya que nos proporcionara valores estadísticos significativos de las incertidumbres en la pendiente y en la ordenada al origen.
Debemos tener en cuenta que cuando una curva no sea fácil de identificar, se debe tratar de encontrar funciones que tengan algún grado de correspondencia.
Para el empleo del método visual, en el caso de una función exponencial, potencia o logarítmica, se requiere necesariamente lineal izar la función.
Si el valor numérico obtenido del coeficiente de correlación es cercano a uno entonces las aproximaciones hechas son las más precisas.
RECOMENDACIONES:
Se debería mejorar en algunos aspectos tales como la utilización precaria de los instrumentos de medición; tratar de ser un poco más precisos.
BIBLIOGRAFÍA
http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/kinematics/slopesAndA
reas/slopeOfvvst/slopeOfvvst.html
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados
http://www.monografias.com/trabajos16/metodos-lineales/metodos-
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http://www.google.com/search?hl=en&biw=1360&bih=544&q=minimos+cuadra
do&aq=f&aqi=g7g-m3&aql=&oq=&gs_rfai
http://www.foromultas.com/viewtopic.php?f=3&t=16034
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Lic. Oscar Carrillo Alva. El proceso de medición – Modulo de auto instrucción para física. Chimbote – Perú. 1987
D.C. Baird. Experimentación. Una introducción la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. 2da edición. Editorial Melo S.A. México. 1998
