La résistance au cisaillement des sols
I. Introduction : L’interaction sol-structure sol-structure se vérifie généralement par: •
•
Une vérification vis-à-vis la ruine, assurée par un coefficient coefficient de sécurité : la théorie théor ie de la plasticité est adoptée. Une vérification des déformations admissibles pour la bonne bo nne tenue de l’ouvrage: on utilise la théorie de l’élasticité.
En géotechnique , on s’intéresse plutôt à la résistance au cisaillement car la rupture se produit sous des contrainte de cisaillement excessive
Surface de rupture
II. Répartition des contr contraintes: aintes: 1) Rappel de la MMC:
Tenseur des contraintes:
Il existe trois plans orthogonaux privilégiés appelés plans principaux sur lesquels les contraintes sont normales au plan principal considéré Ces contraintes sont les contraintes contraintes principales: σ1 pour la plus grande contrainte contrainte principale σ2 pour la plus petite σ3 pour la contrainte contrainte intermédiaire
En mécanique des sols les problèmes peuvent être ramené à deux dimensions
Rhéologie des corps
2) Convention de signe :
Si σ est une compression, σ est positif Si τ engendre des couples qui s’exercent dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à un point situé en dehors de l’élément , τ est alors positif.
3) Contraintes Contraintes en un point , cercle de Mohr:
On suppose un volume de sol sur lequel est appliqué un ensemble de force Fi (i=1..n) pour un certain point O du domaine l’ensemble des forces peut être décomposé en petit élément On cherche les contraintes tangentielles et normales par rapport à un plan passant par O et faisant un angle α avec l’horizontale
Soit le petit élément suivant :
AC a une longueur unitaire; L’épaisseur normale par rapport au plan est unitaire
= 1 ∗ sin
= 1 ∗ cos
À l’équilibre : ∑ = c o s s i n = 0 : ∑ = s i n c o s = 0 En terme de contrainte :
s i n c o s sin = 0 c o s s i n cos = 0 On résout le système
= = cos2 2 2 = sin cos = sin2 2 sin
cos
+ − = cos2 − = sin2
( )²=( )²cos²2 2 2 − ( ) ² = ( )²sin²2 L’équation d’un cercle de rayon
( − )
et de centre situé en [ + ; 0]
Les contraintes et d’un point sur le cercle sont les contraintes normale, σN , et de cisaillement τ, agissant sur un plan incliné d’un angle α avec le plan principale majeur ; Lorsque ce cercle est porté sur un graphique τ-σ , on l’appelle cercle de contrainte de Mohr Ce cercle intersecte intersecte l’axe l’axe de σ en σ1 et σ3
Remarque : La même échelle doit être utilisée pour τ et σ afin d’obtenir un cercle Vu la symétrie on ne trace que la partie supérieure du cercle de Mohr
Exemple : 1) Tracer acer le le cerc cercle le de de Mohr Mohr de l’élément suivant 2) Déterminer Déterminer la contrainte contrainte normale et la la contraint contraintee de cisaillement cisaillement pour un angle α=35° =35° 3) Dét Déterm erminer iner la la contra contraint intee de cisail cisailleme lement nt maximal maximalee τmax
Solution :
1)
−
2) = 2
−
= sin 70° ∗ = 18 18,8 ,8 = 2 2 = 38 38,8 ,8 2 2 − 3) = = 20kPa
III. Critère de rupture de mohr coulomb: résistance : la contrainte maximale ou la contrainte correspondant à une déformation préalablement définie comme le point de rupture. Le critère le mieux adapté pour l’étude l’étude des sols est celui de MohrCoulomb 1)Critère de rupture selon Mohr : à la rupture la contrainte contrainte de cisaillement sur un plan de rupture est fonction unique de la contrainte contrainte normale sur ce plan
= ( )
Critère de rupture de Mohr
La courbe précédente peut être obtenue en amenant plusieurs échantillons à la rupture, puis en traçant les cercles de Mohr correspondant. Il est évident évident que tous les cercles doivent être en dessous de la courbe courbe enveloppe
Cercles de Mohr à la rupture servant à définir l’enveloppe de rupture de Mohr
Les cercle se trouvant en dessous de l’enveloppe l’enveloppe sont dans des conditions stables ( cercle cercle A) . Les cercles qui ont ont atteint atteint la rupture sont tangent tangent à la courbe enveloppe ( cercle C) Le cercle B n’a pas de signification, car le matériau se rompt avant d’atteindre cet état de contrainte .
2) Équation de résistance de Coulomb : Coulomb a établit une relation relation linéaire entre la résistance résistance au cisaillement et la contrainte normale. L’équation de Coulomb est la suivante :
= tan résistance au cisaillement du sol contrainte normale C cohésion intrinsèque angle de frottement interne
Remarques:
et c ne sont pas des caractéristiques intrinsèques du sol , mais dépendent des condition de l’essai. Si les axes du diagramme de Mohr représentent représentent les contraintes contraintes effectives l’équation devient : = ( ( ) ) tan ′ ’
3) Critère de Mohr Coulomb Linéarisation de l’enveloppe de Mohr, Mohr, à l’aide de l’équation de Coulomb
= tan
4) Relation Relation entre contraintes principales , et contrainte à la rupture: Soit un sol d’angle de frottement φ , en utilisant l’hypothèse de Mohr Coulomb on peut déduire l’angle α qui définit le plan de rupture est donné par la relation: = 45° 2
Soit le cercle de ci-dessous : Le sol est soumis à des contraintes inférieures aux contraintes nécessaires pour la rupture τ appliqué est la résistance au cisaillement mobilisée sur le plan de rupture potentiel τ disponible est la contrainte contrainte de cisaillement à la rupture, sur le plan de rupture. On définit le coefficient de sécurité :
.= é
Remarque : Le coefficient de sécurité F.S définit la réserve de résistance « non atteinte » Si on augmente le chargement , le cercle de Mohr se développe pour atteindre finalement la courbe de rupture •
•
•
La rupture ne se développe pas forcément sur le plan correspondant à
Pour c=0 on démontre qu’à qu’à la rupture les relations suivantes sont vérifiées :
= tan (45° ) 2 = tan (45° ) 2
Démonstration : On a sin =
=
+
= sin 2 cos si = 0 = sin
− +
sin =
on obtient
+ +
− −
ou bien = = − − + +
Les relations trigonométriques donnent:
Et
= tan (45° ) =
tan (45° )
relations d’obliquité
IV. Essais de résistance au cisaillement des sols , mesure de C et φ : Essai au laboratoire : 1) Essa Essaii de cis cisai aillllem emen entt rect rectililig igne ne 2) Essai triaxial 3) Essa Essaii de compr ompres essi sion on simp simple le •
•
Essai in situ :
1) Essai au phicomètre phicomètre : sols grossiers grossiers hétérogènes hétérogènes , non testable au laboratoire 2) Essai au scissomètre : adapté aux sols argileux de consistance molle
1) Es Essa saii de ci cisa sailille leme ment nt di dire rect ct •
•
•
L’essai consiste à soumettre le sol à un cisaillement direct, La boite de cisaillement cisaillement est est composée d’une d’une fixe et d’une autre partie mobile les deux séparées par un plan horizontal. L’éprouvette de sol (section circulaire ou carrée de 10cm de coté, épaisseur = 3 à 4cm) est placée à l’intérieur l’ intérieur de la boite
Étapes à suivre: 1. On confine l’échantillon à l’intérieur de la boite; 2. On app appliliqu quee une une char charge ge nor norma male le con const stan ante te;; 3. On cisai cisaille lle le le sol à vite vitesse sse cons constan tante te tout tout en en mesura mesurant nt la for force ce de cisaillement appliquée ainsi que les déplacements horizontaux horizontaux et verticaux ( tassement ou gonflement)
En notant A la section de l’échantillon : = contrainte normale appliquée à l’échantillon = contrainte de cisaillement à la rupture L’essai peut être réalisé sur plusieurs éprouvettes avec différentes valeurs de σ , les contraintes maximales (σ (σ,φ) peuvent être portées sur le diagramme de Coulomb . Les valeurs de c et φ peuvent ainsi être déduites
Avantages : Simple; Rapide ; économique •
•
•
Inconvénients : •
•
•
Conditions de drainage non maitrisés La surface de l’échantillon , soumise aux efforts de cisaillement varie au cours de l’essai; l’essai; La répartition des contraintes sur le plan de cisaillement n’est pas uniforme;
Exemple : Soit les conditions de contraintes contraintes initiales et à la rupture de la figure suivante , en supposant que φ est connu et c=0 , trouver les contraintes principales à la rupture.
Solution :
Aux conditions initiales :
À la rupture : contraintee La contrainte σr sur le plan de rupture est égale à la contraint initiale σn droite de pente φ on détermine la C=0 donc en traçant la droite contrainte contrainte de cisaillement à la rupture τr On trouve le centre du cercle en traçant la perpendiculaire à l’enveloppe l’enveloppe de rupture au point ( σr ; φr ) On trace le cercle et ainsi on retrouve σ1r et σ3r
2) Essai triaxial
l’éprouve l’éprouvette tte de forme cylindrique est placé dans une chambre appelée cellule triaxial. une membrane élastique étanche et déformable recouvre l’échantillon. Des parois poreuses permettent le drainage des faces inférieures inférieures et supérieures On applique une pression isotrope σ3 ( pression de confinement) , en remplissant la cellule d’eau. Un robinet permet de réaliser réaliser un essai drainé ( s’il s’ il est ouvert), ou bien un essai non drainé ( s’il s’ il est fermé) Si le robinet est fermé , le sol est saturé , il est possible de mesurer les pressions interstitielles Si le robinet est ouvert un dispositif permet de mesurer la quantité d’eau expulsée ou absorbée par l’échantillon On applique une charge axiale on mesure les changements de volume de l’échantillon si l’essai est drainé, ou bien les pressions interstitielles si l’essai est non drainé
État de contrainte dans l’essai triaxial
En répétant l’essai pour différentes valeurs de σ3 , plusieurs cercle de Mohr peuvent être déterminés. On trace alors la courbe intrinsèques
Conditions particulières de l’essai triaxial :
La consolidation : •
•
•
Elle consiste à appliquer , préalablement préalablement à l’essai l’essai , une contrainte isotrope à l’échantillon saturé , l’échantillon se consolide sous cette contrainte . Durant cette étape le piston est toujours libre. Un essai peut être de type consolidé ou non consolidé selon que la consolidation a été réalisé ou non
Le drainage : l’essai est drainé si le robinet est ouvert pendant le chargement Outre la possibilité du sol de se drainer , la vitesse de l’essai doit être telle que les pressions interstitielles restent nulles ( la notion de rapidité de l’essai dépend de la perméabilité du sol ) •
•
Conditions de drainag drainage e Avant Avant le cisaillement cisaillement
Pendant le cisaillement
symbole
Non consolidé
Non drainé
UU
Consolidé
Non drainé
CU
consolidé
Drainé
CD
Caractéristiques non consolidées non drainées ( apparentes) : Sols non saturés : angle de frottement apparent φuu Cohésion apparente Cuu ( kPa) Sols saturés Cohésion non drainée Cu ( kPa) avec = 0 Remarques: Ces caractéristiques décrivent le comportement du sol lorsque les sollicitations son telles qu’aucune consolidation n’a le temps de se produire. Pour un sol saturé chaque augmentation de σ se traduit par une augmentation
de la pression interstitielle ( pas de consolidation) consolidati on) la contraintes effective = et la valeur de τ ne sont pas donc influencés , la rupture se fait donc pour la même valeur de τ
Caractéristiques Caractéristiqu es consolidées drainées ( eff effectives): ectives):
(degré s) Angle de frottement effectif φ’ (degrés)
Cohésio n effective c’ ( Kpa) Cohésion Remarques : Ces caractéristiques représentent le comportement comportement du sol lorsque les pression
interstitielles sont connues ou bien nulles;
φ’ et c’ sont déterminés à l’aide de : => Un essai triaxial CD => Un essai triaxial consolidé non drainé avec mesure de u => Un essai de cisaillement cisaillement direct lent
Caractéristiques Caractéris tiques consolidées non drainées:
Facteur d’augmentation de la λcu ( ou angle de frottement frottement consolidé non drainé) Cohésion consolidée non drainée ( ou )
Remarques : Ces caractéristiques représentent: => L’augmentation de résistance résistance lorsque lorsque le sol est soumis à des pressions de consolidation de plus en plus élevées; => La cohésion apparente minimale
λcu et sont mesurés par: => Un essai de cisaillement cisaillement consolidé rapide => Un essai triaxial consolidé consolid é non drainé
Essai A :consolidation sous ′ ; comportement sans drainage => C uA Essai B :consolidation sous ′ ; comportement sans drainage => C uB
Variation de la cohésion non drainé Cu en fonction de la contrainte effective de ∆ consolidation : tan λ = ∆ Donc = tan λ
essai
Consolidation Consoli dation
Drainage
Mesure de u
résultat
Type d’essai
triaxial
Non
Non
Non
φuu ; cuu
Non consolidé non drainé
Ou
Cu ( φ=0) Oui
Non
Non
λcu ;
Consolidé non drainé
Oui
Non
Oui
φ’ ; c’
λcu ;
Consolidé non drainé avec mesure de u
oui
oui
Oui: u=0
φ’ ; c’
Consolidé drainé
Essai
consolidation
Vitesse
U non mesuré
résultat
Type d’essai
Cisaillement
Non
rapide
φuu ; cuu
Non consolidé rapide
Ou
Cu ( φ=0) Oui
rapide
λcu ;
Consolidé rapide
oui
lente
φ’ ; c’
Consolidé lent
V. Rhéologie des sols: 1.Comportement des sables Un sol est pulvérulent si sa cohésion est nulle : c=0
Conséquence: la courbe intrinsèque passe par l’origine l’origine O Angle de repos du sable : C’est l’angle de frottement interne du matériau granulaire dans son état le plus lâche.
Exemple : Dune de sable
Démonstration : Soit un sable sec formant un talus d’angle α
Montrons que l’angle d’équilibre limite correspondant à φ’
À la profondeur h , sur la facette parallèle au talus nous avons :
′ = γ. ℎ. cos = . ℎ. sin . cos
Et
À la limite de rupture = = tan′
≤ . ℎ. sin . cos ≤ γ. ℎ. cos tan′ ta n
≤ ta n
≤′
Allure des courbes de cisaillement: Les courbes effort effort déformation déformation ont généralement généralement l’une des allures de la figure suivante . On distingue deux comportement différents selon l’état de densité du sable État de densité du sable
Lâche
Comportement
•
•
•
Rupture plastique L’indice des vide e l diminue jusqu’à jusqu’à ecl ecl≈ecrit
dense •
•
•
Rupture fragile L’indice des vide ed diminue puis augmente jusqu’à ecd ecd≈ecrit
Remarque ecrit : indice des vides pour lequel la courbe contrainte déviatorique-déformation serait une droite horizontale. σ’3crit la contrainte de confinement correspondant à e crit Les mot « lâche » et « dense » sont relatifs relatifs à la pression pression de confinement
Essais triaxiaux avec mesure mesure des variations variations de volume volume
2. Comportement des sols cohérents: Soit deux échantillons échantillons d’une d’une même argile l’un surconsolidé et l’autre normalement consolidé. si l’on l’on cisaille les deux échantillons échantillons à la même contrainte contrainte de confinement, on remarque que : L’échantillon surconsolidé présente une résistance plus grande La rupture pour l’échantillon surconsolidé se produit à une déformation plus faible
Remarques: Le comportement des argiles est voisin de celui des sables , ( argile surconsolidé ≡ sable dense ; argile normalement consolidé ≡ sable lâche ).
3-3 Essai de compre compression ssion simple L’essai de compression simple est un cas particulier de l’essai triaxial: la contrainte est nulle . La contrainte de rupture à la compression est liée à Cuu et à par la formule suivante :
= 2 tan( ) 4 2 Si le le sol est est purement cohérent ( = 0 ) ∶ = 2 Remarques : Cette dernière formule permet d’évaluer la cohésion apparente des argiles saturées à partir d’un essai simple et peu couteux .
V. Importance de la résistance au cisaillement des sols : Évaluation Évaluation de la capacité portante des sols Calcul des fondations superficielles et profonde stabilité des pente et glissement de terrain Calcul de la stabilité Calcul des poussés et butés
Exemple d’ d’application application des caractéristiques apparentes , et effectives , Soit un terrain argileux peu perméable sur lequel est fondé une construction appliquant la charge Q sur ce sol
Justification de la stabilité des fondations En fin de construction
caractéristiques non consolidées non drainées et ou bien , ( caractéristiques à court terme )
à la fin de la consolidation primaire
Caractéristiques consolidées drainées et ( caractéristiques à long terme )
Exemple d’application du facteur d’augmentation Soit un sol argileux saturé sur lequel est prévu un préchargement préchargement puis la construction d’un réservoir
À l’état l’état initial le sol a les caractéristiques apparentes = 0 , ≠ 0
Apres le préchargement préchargement : le sol se consolide sous , sa cohésion non drainé s’améliore . À ce stade , si l’on réalise un essai CU sur un échantillon on aura les caractéristiques = 0 , L’essai consolidé non drainé permet de mesurer l’augmentation de résistance du sol sous l’effet de la consolidation
Supposons qu’un réservoir doit va être construit après enlèvement enlèvement de la surcharge , la stabilité à court terme du sol sera vérifié à l’aide de
V.I la liquéfaction des sols 1) De Desc scri ript ptio ion n du ph phén énom omèn ènee : La vibration des sols ( comme après un séisme ) provoque dans ces derniers des contraintes de cisaillement Lorsque les sollicitations sont brèves les sols saturés ( même les sables ) se trouvent en conditions non drainés . Les pressions interstitielles augmentent rapidement et les contraintes effectives chutent . Ces modifications conduisent dans certains cas à une perte totales de résistance , le sol devient comme un liquide
Photo d'un immeuble sur radier ayant basculé sous l’effet du tassement de sol consécutif à un phénomène de liquéfaction. Dans ce cas, les fondations ne descendaient pas au delà de la zone liquéfiable. Une couche supérieure d’argile de résistance mécanique apparemment suffisante pour un radier peut dissimuler une couche liquéfiable plus profonde. Séisme de Taiwan
Tassement du sol sous l’effet d’un phénomène de liquéfaction . La présence de fondations descendues au bon sol a permis d’éviter à la citerne de basculer. Séisme de Kobé, 1995
2)Quelques procédés d’ d’amélioration amélioration des sols liquéfiables : Consolidation statique statique : injection : utilisée dans les terrains sableux, limoneux, ou argileux, humides ou saturés . La technique consiste consiste à introduire, sous pression dans le sol un « mortier » visqueux à base de ciment. But :augmenter :augmenter le niveau de contrainte entre les grains du sol
Foreuse pour injections
Consolidation dynamique : Méthode applicable à une grande variété de sols, mais pas pour tous les sites. La technique consiste à laisser tomber des pilons de plusieurs dizaines de tonnes, en chute libre sur une hauteur de plusieurs dizaines de mètres. Le choc engendre des trains d'ondes qui améliorent le sol. But : provoquer le tassement sans attendre le séisme. séisme . L’inconvénient de cette technique est que les trains d’ondes peuvent agir sur plusieurs centaines de mètres à la ronde..
Les colonnes ballastées : La technique consiste à descendre dans le sol un vibrateur vibrateur manipulé par une grue, qui sous son propre poids, et sous l'influence du lançage d'eau et des vibrations, atteint les profondeurs profondeurs souhaitées. On élimine au fur et à mesure les boues qui remontent en surface pour la substitution du sol. Puis, le vibrateur vibrateur retiré, retiré, il y a mise en place de matériau d'apport à gros grains et compactage à nouveau avec le vibrateur.
Substitution en surface : Lorsque la profondeur de terrain à traiter est faible, inférieure à 3 ou 4 mètres, on peut envisager de réaliser la substitution par un autre matériau.
Préchargementt : Préchargemen Si les délais le permettent, pour limiter le coût des interventions précédentes les terrains à traiter peuvent être au préalable préchargés.
